文档文本内容
专题03 函数导数及应用
内容概览
01 命题探源·考向解密
02 根基夯实·知识整合
03 高频考点·妙法指津（5 大命题点+4 道高考预测题，高考必考·（18-27）分）
考点 函数导数及应用
命题点1 导数中切线问题
命题点2 含参函数单调性问题
命题点3 导数中恒（能）成立问题
命题点4 证明类问题
命题点5 零点问题
高考预测题
4 道
04 好题速递·分层闯关（精选10 道最新名校模拟试题+10 道高考闯关题）
考点
考向
命题特征
函数导数及应
用
导数中切线问题
含参函数单调性问题
导数中恒（能）成立问题
证明类问题
零点问题
高考数学函数导数及应用命题核心特征：以 “小题基础 +
大题压轴” 布局，分值占比高。重点考查导数几何意义、
函数单调性、极值与最值，深度融合不等式、零点问题。
注重知识交汇与分类讨论、数形结合思想，强调逻辑推理
与运算素养，兼具稳定性与创新性，区分度显著。
1
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考点 函数导数及应用
《解题指南》
导数解题需紧抓定义与法则两大核心。定义上，牢记导数是增量比的极限，判断可导性先看连续性。求
导法则要熟练掌握四则运算、复合函数链式法则，避免漏层求导。
应用层面，切线问题先求导得斜率，再代入切点坐标写方程；单调性问题通过解导数正负区间判定，注
意导数为零的点需验证是否变号。
易错点：忽视函数定义域，复合函数求导不彻底，切线与法线斜率混淆。解题步骤：一审定义域，二求
导化简，三结合题意分析，四验证结果合理性。
命题点01 导数中切线问题
【典例01】（2025 年高考全国一卷数学真题）若直线
是曲线
的一条切线，则
.
【典例02】（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
.
命题点02 含参函数单调性问题
【典例01】（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设
，若函数
在
上
单调递增，则a 的取值范围是 .
【典例02】（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数
在区间
上单调递增，则a
的最小值为（ ）．
A．
B．e
C．
D．
命题点03 导数中恒（能）成立问题
【典例01】（2025 年高考全国一卷数学真题）（1）求函数
在区间
的最大值；
（2）给定
和
，证明：存在
使得
；
（3）设
，若存在
使得
对
恒成立，求b 的最小值．
3
【典例02】（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求
的取值范围．
命题点04 证明类问题
【典例01】（2025 年高考天津卷数学真题）已知函数
(1)
时，求
在点
处的切线方程；
(2)
有3 个零点，
且
.
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明
．
【典例02】（2023 年天津高考数学真题）已知函数
．
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(1)求曲线
在
处的切线斜率；
(2)求证：当
时，
；
(3)证明：
．
命题点05 零点问题
【典例01】（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）函数
存在3 个零点，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例02】（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线
关于直线
对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明理由.
(3)若
在
存在极值，求a 的取值范围.
高考预测题
1．函数
在
上单调递增的必要不充分条件为（ ）
5
A．
B．
C．
D．
2．若
时，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．曲线
在点
处的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)设函数
，已知
有两个极值点
．
①求
的取值范围；
②求证：
．
好题速递
1．（2025·全国·模拟预测）若对任意
，满足
恒成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·全国·模拟预测）曲线
的一条切线的斜率为
，则该切线的方程为 ．
6
3．（2025·全国·模拟预测）设实数
，若对
，不等式
恒成立，则
的取值范
围为 ．
4．（2025·全国·二模）若函数
与
的图象在第一象限内有公共点，则实数
的取值范围为
.
5．（2025·全国·二模）若函数
，
，且
，满足
，则
的最大值为 .
6．（2025·全国·模拟预测）已知函数
存在极值点
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)求b 的取值范围并证明
；
(3)若
且
，求a 的取值范围．
7．（2025·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求
的单调区间；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
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8．（2025·全国·模拟预测）定义双曲正弦函数
，双曲余弦函数
，双曲正切
函数
.
(1)证明：
；
(2)证明：当
时，
；
(3)证明：
．
9．（2025·全国·模拟预测）已知函数
.
(1)求过点
并与
图象相切的直线；
(2)若实数
满足
，求证：
；
(3)若
，求证：对于任意
，直线
与
有唯一的公共点.
10．（2025·全国·模拟预测）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当
在
处的
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阶导数都存在时，
（注：
表示
的2 阶导数，即为
的导数，
表示
的
阶导数，该公式也称
麦克劳林公式）由该公式可得：
．
．若
，
(1)求
的导数，并比较
的大小；
(2)设
，证明：
；
(3)试讨论方程
在区间
上根的情况．
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高考闯关
1．（2025·全国·二模）已知函数
.
(1)求函数
的图象在
处的切线方程；
(2)（i）函数
是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由；
（ii）证明：
（
，且
）.
2．（2025·全国·二模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性：
(2)若
恰有两个零点
，且
（i）求
的取值范围；
（ii）设
在定义域内单调递增，求出k 与
的函数关系式，并证明
．
3．（2025·湖南·模拟预测）已知
为奇函数.
(1)求a 的值；
(2)解不等式：
；
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(3)证明：函数
有3 个零点.
4．（2025·全国·模拟预测）已知函数
，记
为
从小到大排序的第
个极值点．
(1)证明：
在区间
的最大值为
；
(2)直接判断
与
的大小关系并证明：
为递减数列；
(3)设为正整数，
为奇数，
为偶数，且
，证明：
．
5．（2025·全国·模拟预测）已知函数
(1)若
，证明：
(2)若
，求
的取值范围
6．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知函数
.
(1)求证：
；
(2)若
，求
的取值范围；
(3)求证：
.
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7．（2025·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)求证：函数
有极小值；并求
的极小值为0 时
的值；
(2)若
，求
的取值范围．
8．（2025·广东深圳·二模）已知函数
，函数
图象上的一点
，按照如
下的方式构造切线
：在点
处作
的切线
，记切线
与x 轴交点的横坐标为
．
(1)写出
与
的递推关系式；
(2)记
的零点为r，且
．
（i）证明：当
时，
；
（ii）证明：对于任意的
，都有
．
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9．（2025·全国·模拟预测）已知函数
的导函数为
．
(1)当
时，求
的图象在
处的切线方程；
(2)若
有三个不同的零点，求实数
的取值范围；
(3)已知
，若
在定义域内有三个不同的极值点
，且满足
，求实数
的取值范围．
10．（2025·天津南开·二模）已知函数
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)解关于
的不等式
（其中
为
的导数）.
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