文档文本内容
专题03 函数导数及应用
内容概览
01 命题探源·考向解密
02 根基夯实·知识整合
03 高频考点·妙法指津（5 大命题点+4 道高考预测题，高考必考·（18-27）分）
考点 函数导数及应用
命题点1 导数中切线问题
命题点2 含参函数单调性问题
命题点3 导数中恒（能）成立问题
命题点4 证明类问题
命题点5 零点问题
高考预测题
4 道
04 好题速递·分层闯关（精选10 道最新名校模拟试题+10 道高考闯关题）
考点
考向
命题特征
函数导数及应
用
导数中切线问题
含参函数单调性问题
导数中恒（能）成立问题
证明类问题
零点问题
高考数学函数导数及应用命题核心特征：以 “小题基础 +
大题压轴” 布局，分值占比高。重点考查导数几何意义、
函数单调性、极值与最值，深度融合不等式、零点问题。
注重知识交汇与分类讨论、数形结合思想，强调逻辑推理
与运算素养，兼具稳定性与创新性，区分度显著。
1
2
考点 函数导数及应用
《解题指南》
导数解题需紧抓定义与法则两大核心。定义上，牢记导数是增量比的极限，判断可导性先看连续性。求
导法则要熟练掌握四则运算、复合函数链式法则，避免漏层求导。
应用层面，切线问题先求导得斜率，再代入切点坐标写方程；单调性问题通过解导数正负区间判定，注
意导数为零的点需验证是否变号。
易错点：忽视函数定义域，复合函数求导不彻底，切线与法线斜率混淆。解题步骤：一审定义域，二求
导化简，三结合题意分析，四验证结果合理性。
命题点01 导数中切线问题
【典例01】（2025 年高考全国一卷数学真题）若直线
是曲线
的一条切线，则
.
【答案】
【解析】法一：对于
，其导数为
，
因为直线
是曲线的切线，直线的斜率为2，
令
，即
，解得
，
将
代入切线方程
，可得
，
所以切点坐标为
，
因为切点
在曲线
上，
所以
，即
，解得
.
故答案为：
.
法二：对于
，其导数为
，
假设
与
的切点为
，
则
，解得
.
故答案为：
.
【典例02】（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线
在点
处的切线也是曲线
3
的切线，则
.
【答案】
【解析】由
得
，
，
故曲线
在
处的切线方程为
；
由
得
，
设切线与曲线
相切的切点为
，
由两曲线有公切线得
，解得
，则切点为
，
切线方程为
，
根据两切线重合,所以
，解得
.
故答案为：
命题点02 含参函数单调性问题
【典例01】（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设
，若函数
在
上
单调递增，则a 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数的解析式可得
在区间
上恒成立，
则
，即
在区间
上恒成立，
故
，而
，故
，
故
即
，故
，
4
结合题意可得实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【典例02】（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数
在区间
上单调递增，则a
的最小值为（ ）．
A．
B．e
C．
D．
【答案】C
【解析】依题可知，
在
上恒成立，显然
，所以
，
设
，所以
，所以
在
上单调递增，
，故
，即
，即a 的最小值为
．
故选：C．
命题点03 导数中恒（能）成立问题
【典例01】（2025 年高考全国一卷数学真题）（1）求函数
在区间
的最大值；
（2）给定
和
，证明：存在
使得
；
（3）设
，若存在
使得
对
恒成立，求b 的最小值．
【解析】（1）法1：
，
因为
，故
，故
，
当
时，
即
，
5
当
时，
即
，
故
在
上为增函数，在
为减函数，
故
在
上的最大值为
.
法2：我们有
.
所以：
.
这得到
，同时又有
，
6
故
在
上的最大值为
，在
上的最大值也是
.
（2）法1：由余弦函数的性质得
的解为
，
，
若任意
与
交集为空，
则
且
，此时
无解，
矛盾，故无解；故存在
，使得
，
法2：由余弦函数的性质知
的解为
，
若每个
与
交集都为空，
则对每个
，必有
或
之一成立.
此即
或
，但长度为的闭区间
上必有一整数
，
该整数
不满足条件，矛盾.
故存在
，使得
成立.
（3）法1：记
，
因为
，
故
为周期函数且周期为
,故只需讨论
的情况.
当
时，
，
当
时，
，
此时
，
令
，则
，
而
，
7
，故
，
当
，在（2）中取
，则存在
，使得
，
取
，则
，取
即
，
故
，故
，
综上
，可取
，
使得等号成立.
综上，
.
法2：设
.
①一方面，若存在
，使得
对任意
恒成立，
则对这样的
，同样有
.
所以
对任意
恒成立，这直接得到
.
设
，则根据
恒成立，有
所以
均不超过
，
再结合
，
就得到
均不超过
.
8
假设
，则
，
故
.
但这是不可能的，因为三个角
和单位圆的交点将单位圆三等分，
这三个点不可能都在直线
左侧.
所以假设不成立，这意味着
.
②另一方面，若
，则由（1）中已经证明
，
知存在
，使得
.
从而
满足题目要求.
综合上述两个方面，可知
的最小值是
.
【典例02】（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求
的取值范围．
【解析】（1）
时，
，其中
，
则
，
9
因为
，当且仅当
时等号成立，
故
，而
成立，故
即
，
所以
的最小值为
.，
（2）
的定义域为
，
设
为
图象上任意一点，
关于
的对称点为
，
因为
在
图象上，故
，
而
，
，
所以
也在
图象上，
由
的任意性可得
图象为中心对称图形，且对称中心为
.
（3）因为
当且仅当
，故
为
的一个解，
所以
即
，
先考虑
时，
恒成立.
此时
即为
在
上恒成立，
设
，则
在
上恒成立，
设
，
则
，
10
当
，
，
故
恒成立，故
在
上为增函数，
故
即
在
上恒成立.
当
时，
，
故
恒成立，故
在
上为增函数，
故
即
在
上恒成立.
当
，则当
时，
故在
上
为减函数，故
，不合题意，舍；
综上，
在
上恒成立时
.
而当
时，
而
时，由上述过程可得
在
递增，故
的解为
，
即
的解为
.
综上，
.
命题点04 证明类问题
【典例01】（2025 年高考天津卷数学真题）已知函数
(1)
时，求
在点
处的切线方程；
(2)
有3 个零点，
且
.
11
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明
．
【解析】（1）当
时，
，
，
则
，则
，且
，
则切点
，且切线的斜率为，
故函数
在点
处的切线方程为
；
（2）（i）令
，
，
得
，
设
，
则
，
由
解得
或
，其中
，
；
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
且当
时，
； 当
时，
；
如图作出函数
的图象，
12
要使函数
有3 个零点，
则方程
在
内有个根，即直线
与函数
的图象有个交点.
结合图象可知，
.
故
的取值范围为
；
（ii）由图象可知，
，
设
，则
，
满足
，由
可得
，
两式作差可得
，
则由对数均值不等式可得
，
则
，故要证
，
即证
，只需证
，
即证
，又因为
，则
，
所以
，故只需证
，
13
设函数
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减；
故
，即
.
而由
，
可知
成立，故命题得证.
【典例02】（2023 年天津高考数学真题）已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线斜率；
(2)求证：当
时，
；
(3)证明：
．
【解析】（1）
，则
，
所以
，故
处的切线斜率为
；
（2）要证
时
，即证
，
令
且
，则
，
所以
在
上递增，则
，即
.
14
所以
时
.
（3）设
，
，
则
，
由（2）知：
，则
，
所以
，故
在
上递减，故
；
下证
，
令
且
，则
，
当
时
，
递增，当
时
，
递减，
所以
，故在
上
恒成立，
则
，
所以
，
，…，
，
累加得：
，而
，
因为
，所以
，
则
，
所以
，故
；
综上，
，即
.
15
命题点05 零点问题
【典例01】（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）函数
存在3 个零点，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，则
，
若
要存在3 个零点，则
要存在极大值和极小值，则
，
令
，解得
或
，
且当
时，
，
当
，
，
上单调递增，
在
上单调递减，
故
的极大值为
，极小值为
，
若
要存在3 个零点，则
，即
，解得
，
故选：B.
16
【典例02】（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线
关于直线
对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明理由.
(3)若
在
存在极值，求a 的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，
则
，
据此可得
，
函数在
处的切线方程为
，
即
.
（2）令
，
函数的定义域满足
，即函数的定义域为
，
定义域关于直线
对称，由题意可得
，
由对称性可知
，
取
可得
，
即
，则
，解得
，
经检验
满足题意，故
.
17
即存在
满足题意.
（3）由函数的解析式可得
，
由
在区间
存在极值点，则
在区间
上存在变号零点;
令
，
则
，
令
，
在区间
存在极值点，等价于
在区间
上存在变号零点，
当
时，
，
在区间
上单调递减，
此时
，
在区间
上无零点，不合题意;
当
，
时，由于
，所以
在区间
上单调递增，
所以
，
在区间
上单调递增，
，
所以
在区间
上无零点，不符合题意；
当
时，由
可得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
故
的最小值为
，
令
，则
，
18
函数
在定义域内单调递增，
，
据此可得
恒成立，
则
，
由一次函数与对数函数的性质可得，当
时，
，
且注意到
，
根据零点存在性定理可知:
在区间
上存在唯一零点
.
当
时，
，
单调减，
当
时，
，
单调递增，
所以
.
令
，则
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
，
所以
19
，
所以函数
在区间
上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数
得取值范围是
.
高考预测题
1．函数
在
上单调递增的必要不充分条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由函数
在
上单调递增，得
在
上恒成立，
则
，解得
，
因此A 是充分条件，B 是充要条件，C 是既不充分也不必要条件，D 是必要不充分条件.
故选：D
2．若
时，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，即
.
设
，则
.
由
，得
.
20
设
，则
，
所以
在
上单调递增，
由
知
，所以
，
即
，
，
，所以
.
设
，
，则
，
所以
在
单调递减，所以
，
所以
的取值范围是
.
故选：B.
3．曲线
在点
处的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由函数的解析式可得
，
所求切线的斜率为
．由于切点坐标为
，
故切线方程为
，即为
．
故选：C．
4．已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)设函数
，已知
有两个极值点
．
21
①求
的取值范围；
②求证：
．
【解析】（1）对函数
求导得，
，
若
，则
，
若
，
，此时
在定义域
上单调递增，
若
，则
，当
或
时，
，当
时，
，
此时
在
上单调递增，在
上单调递减，
若
，则
，当
或
时，
，当
时，
，
此时
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上所述，若
，则
在定义域
上单调递增；
若
，则
在
上单调递增，在
上单调递减；
若
，则
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）①
，
求导得
，
因为
有两个极值点
，所以
有两个“变号”零点，
即
有两个零点，
22
令
，
是一一对应的，
从而
有两个零点，
设
，该二次函数开口向下，对称轴是
，
注意到
，所以
，
即
的取值范围是
；
②由（2）①不妨设
，即
，
等价于
，
由韦达定理有
，
，
，
令
，
，
所以
单调递增，
从而
.
好题速递
23
1．（2025·全国·模拟预测）若对任意
，满足
恒成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若
，则对任意
，
，
，
，
所以对任意
，不等式
恒成立，
若
，则
，
不等式
可化为
，
故
，即
，
由已知
在
恒成立，
令
，
，则
，
恒成立，
因为
时，
，
所以函数
在
上单调递增，又
，
，
所以
恒成立，其中
，
，
即
恒成立．
令
，
，
所以
在
上单调递增，则
，
所以
．
综上可得
，
24
故选：B．
2．（2025·全国·模拟预测）曲线
的一条切线的斜率为
，则该切线的方程为 ．
【答案】
【解析】设曲线
在
处的切线斜率为
，
由
，可得
，所以
，
所以
，所以
，解得
，
解得
，所以
，
所以切点为
，
所以切线方程为
，即
.
所以切线方程为
.
故答案为：
.
3．（2025·全国·模拟预测）设实数
，若对
，不等式
恒成立，则
的取值范
围为 ．
【答案】
【解析】由题意当
时，因为实数
，所以
成立，
当
时，
,
，
令
0，
25
所以
在
上为增函数，
则
.
即对
，不等式
恒成立，
则
．
令
，
当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，即
，
综上可得，
的取值范围为
．
故答案为：
4．（2025·全国·二模）若函数
与
的图象在第一象限内有公共点，则实数
的取值范围为
.
【答案】
或
【解析】若函数
与
的图象在第一象限内有公共点，
则方程
在
上有解，
即方程
在
上有解，显然
不是方程的解，
所以方程
在
上有解，
则函数
与函数
，
的函数图象有交点，
26
又
，所以当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
又
时
，
时
；
时
，
时
，
，
所以
或
.
故答案为：
或
5．（2025·全国·二模）若函数
，
，且
，满足
，则
的最大值为 .
【答案】
【解析】由
，
，
则
，
由
，且
，满足
，则函数
在
上单调递增，
又
，则
恒成立，
令函数
，
，则
，
27
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此
，则
，解得
，所以
的最大值为
.
故答案为：
.
6．（2025·全国·模拟预测）已知函数
存在极值点
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)求b 的取值范围并证明
；
(3)若
且
，求a 的取值范围．
【解析】（1）由题意，当
时，
，
，
有
，
，
时
，
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
（2）由题意，
，
，
记
，
，
所以
在
单调递增，
.
若
，则
，
，
无极值点，不符合题意，
28
若
，则
，取
，则
，
所以
，使得
，即
，
且
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
综上，b 的取值范围为
，并且有
；
（3）由（2），需
，
设
，有
，则
，
，
函数
，有
，所以a 关于t 单调递增.
而
，
即
.
（i）若
，显然成立，此时
，
则
，即
，
（ii）若
，则
设
，则
，
记
，则
，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
29
，
所以
，所以
在定义域内单调递增，
所以只需求
，使得
，则
，
即
，即
，
记
，
在
上恒成立，
在
单调递增.
又
，所以
，所以
，
所以
，所以
.
综上，
.
7．（2025·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求
的单调区间；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
【解析】（1）当
时，
的定义域为
，
，显然
，
令
，
，
则
，令
，则
，
当
时，
，所以
在区间
上单调递减；
当
时，
，所以
在区间
上单调递增，
所以
，即
，
30
故
的单调递增区间为
，无单调递减区间．
（2）由
，
，
则
，因为
，
所以要使当
时，
，则必须满足
，即
．
下面证明：
．
当
时，
，
令
，
，
由（1）知，
在
上单调递增，
所以
，即当
时，
；
而当
时，令
，
，
则
，故
在
上单调递增，
（ⅰ）当
时，
，
，
所以存在
，使得
，
又
在
上单调递增，
所以当
时
，
即
在
上单调递减，所以
；
（ⅱ）当
时，
，
所以当
时，
不恒成立．
综上所述，实数
的取值范围是
．
31
8．（2025·全国·模拟预测）定义双曲正弦函数
，双曲余弦函数
，双曲正切
函数
.
(1)证明：
；
(2)证明：当
时，
；
(3)证明：
．
【解析】（1）证明：
.
（2）证明：注意到
，且
．
设
，则
．
因为
是增函数，所以当
时，
．
从而当
时，
，即
在
上单调递增，
所以
，则
，当且仅当
时等号成立．
（3）证明：
，
，
，
，
，
，
32
令
，则
且
，
即证
，
令
，
因为
，
令
，
则
，
所以当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，则
，
即
在
单调递增，且
，
所以
时，
，
时，
，
即
在
且
时恒成立，
故
．
9．（2025·全国·模拟预测）已知函数
.
(1)求过点
并与
图象相切的直线；
(2)若实数
满足
，求证：
；
(3)若
，求证：对于任意
，直线
与
有唯一的公共点.
【解析】（1）设经过点
的直线与函数
相切时的切点为
，
33
因
，由
，可解得
.
即切点为
，
，故所求的切线方程为：
，即
.
（2）因
，可设
，
则
，
设
，则
，
设
，则
，由
可得
.
当
时，
，则
在
上单调递增，又
，故
，
即函数
在
上单调递增，故
，即此时
；
当
时，
，则
在
上单调递增，又
，故
，
即函数
在
上单调递减，故
，即此时
.
综上可得，
成立.
（3）依题意，要证
，直线
与
有唯一的公共点，
即证
，
只有一个实根，即需对
，
只有一个实根.
设
，
，则
，设
，则
，
由
，可得
，由
，可得
，
即函数
（即
）在
上单调递减，在
上单调递增，故
.
①若
，即
时，
，则函数
在
上单调递增，
故
与
只有一个交点，即方程
只有一个实根，命题得证；
②若
，即
时，因
，
34
又当
时，
，故必存在
，使得
（*），
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
而
；由（*）
，可得
，
于是
，
，
不妨设
，则
，
即函数
在
上单调递增，故
，即
，
故当
时，
与
只有一个交点，即方程
只有一个实根.
综上所述，对于任意
，直线
与
有唯一的公共点.
10．（2025·全国·模拟预测）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当
在
处的
阶导数都存在时，
（注：
表示
的2 阶导数，即为
的导数，
表示
的
阶导数，该公式也称
麦克劳林公式）由该公式可得：
．
．若
，
(1)求
的导数，并比较
的大小；
(2)设
，证明：
；
(3)试讨论方程
在区间
上根的情况．
35
【解析】（1）因为
，所以
，
当
时，
，得
在
上单调递增，
由余弦函数性质得
，易得
，
由正弦函数性质得
，
因为
均小于2，所以只需比较这三个数的大小即可．
设
，
当
时，令
，则
，
得到
在
上单调递减，而
，即
，
则
，得到
，而
，
因为
，所以
，当
时，可得
，
因为
，所以
成立，
设函数
，则
，
令
，
，
可得
在
上单调递增，则
，
得到
在
上单调递增，则
，
当
时，可得
，
即
，得到
，
36
综上可得
，即
.
（2）由（1）得
，即证得
，
即
．所以
，
而
，
即有
，
得到
，
而
0，
则
，故
得证.
（3）对于方程
在区间
上根的情况，作出如下讨论，
①当
时，
，符合题意，
②当
时，设
，即讨论
在
上的零点情况，
即
，则
．
（ⅰ）令
，当
时，
，可得
在
上单调递减．
37
因为
，
，
所以存在唯一的
，使得
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减．
（ⅱ）当
时，令
，
，
令
，解得
，则
在
上单调递减，
故
在
上单调递减，则
，猜测
，
欲证
，则证
，
令
，则
，
，
令
，解得
，则
在
上单调递减，
可得到
在
上单调递减，即
，
令
，由正弦函数性质得
在
上单调递减，
得到
，
则
，可得
，故
在
上单调递减，
（ⅲ）当
时，
，得到
在
上单调递减．
由（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）可得，
在
上单调递增，在
上单调递减，
38
因为
，
，
所以存在唯一的
，使得
，
综上，方程
在区间
上仅有两个实数根．
高考闯关
1．（2025·全国·二模）已知函数
.
(1)求函数
的图象在
处的切线方程；
(2)（i）函数
是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由；
（ii）证明：
（
，且
）.
【解析】（1）由
，得
，则
，又
，
所以函数
的图象在
处的切线方程为
，即
.
（2）（i）函数
不存在极值，理由如下：由
，解得
且
，
所以函数
的定义域为
，由
，则
，
令
，
，则
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，所以
，
39
即
，所以
在
和
上单调递减，则函数
不存在极值.
（ii）由（i）知，函数
在
上单调递减，则对任意
，
，
即
，
所以当
时，
，则
，即
，
所以
，
，
，…，
，
以上式子相加得，
，
即
（
，且
且
时，等号成立），
2．（2025·全国·二模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性：
(2)若
恰有两个零点
，且
（i）求
的取值范围；
（ii）设
在定义域内单调递增，求出k 与
的函数关系式，并证明
．
【解析】（1）因为
的定义域为
，所以
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递增，
，
在
上单调递减，
综上所述，当
时，
在
上单调递增，当
时，
在
上单调递增，
在
40
上单调递减．
（2）（i）由（1）知，需满足
，
在
处取得极大值，且
，
，令
，显然
在
上单调递减，
，
所以
，又因为
，
，
所以
在
和
上各有一个零点，且
，
综上所述，
．
（ii）
，
所以
恒成立，
当
时，
不能恒成立，所以
，
由均值不等式知：
，且
时等号成立，
所以
，（*）
当因为
，则
，所以不等式（*）要成立，则
，
得
，此时
.
因为
，所以
整理得
，即
，又
，
所以
，由（1）得，
．
41
3．（2025·湖南·模拟预测）已知
为奇函数.
(1)求a 的值；
(2)解不等式：
；
(3)证明：函数
有3 个零点.
【解析】（1）由
可得定义域为
，
因为
是奇函数，所以
，
即有
；
（2）由（1）得：
，有
，
再由复合函数单调可知：
在
上单调递增函数，
所以原不等式变形为
，
根据单调性可得：
；
即原不等式的解集为：
（3）因为
是奇函数，所以
也是奇函数，由
，
要证函数
有3 个零点，只需要证明
在
上仅有一个零点，
则由
得：
，
构造
，求导得
，
42
当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
则在
上，
，
设
,
当
单调递增，当
单调递减，所以
，故
由于
恒成立，则
，
所以有
，
由于
根据
在
上单调递减，且
，所以在
上
不存在零点，
又根据
在
上单调递增，且
，所以在区间
必存在唯一零点，
故可证明
在
上仅有一个零点，
即函数
有3 个零点得证.
4．（2025·全国·模拟预测）已知函数
，记
为
从小到大排序的第
个极值点．
(1)证明：
在区间
的最大值为
；
(2)直接判断
与
的大小关系并证明：
为递减数列；
(3)设为正整数，
为奇数，
为偶数，且
，证明：
．
【解析】（1）
，
，
43
则
，令
，
当
，由
，
；
由题意，
为
从小到大排序的第
个极值点，
则
，即
，又
，
故
，且
，
又
，
，
所以
在
与
上都有零点，
又
，
当
时，
，
故
在
单调递减，故在每一个区间
（
）都有唯一零点，记为
，
且当
，
，即
，则
在
单调递增；
当
时，
，即
，则
在
上单调递减；
故每一个
，
都为
的极大值点.
令
，
则
，
当
时，
，
在
上单调递增，
44
又
，
所以在每一个区间
内，都存在唯一零点，使
，
记为
，
.
故当
时，
，
在
上单调递减；
当
，
，
在
上单调递增；
故
在每一个区间
内，也都有唯一零点，且都为
的极小值点，
记为
，
，
综上可知，极值点
，当
为奇数时，即
；
当
为偶数时，
，
且
为极大值点，
为极小值点，其中
.
由上可知，
在
单调递增，在
单调递减，
故
在区间
的最大值为
.
（2）由（1）可知
，且
在
上先减后增，
因为任意
，
，
，
所以
，
所以
，
又
是
的极小值点，
是
的极大值点，
所以
，同理，有
.
45
所以
，
又
.
又由
，则
，
所以有
，
故
所以有
，
故数列
为递减数列；
（3）由（1）可知，
，
又
.
由
为奇数，
为偶数，且
，．
要证
，固定
只需证
，
只需证
.
下面证明
也为递减数列；
由
，
所以
，
又由
，可得
，
故
，
46
即
故
也为递减数列.
所以
.
下面证明
也为递减数列；
由
，
所以
，
由
，所以
，
故
也为递减数列，得证；
所以
，
即
，得证.
5．（2025·全国·模拟预测）已知函数
(1)若
，证明：
(2)若
，求
的取值范围
【解析】（1）当
时，
，
要证
，即证
，
则令
，则
，
令
，则
，
47
，当且仅当
即
时等号成立，
故
，则
在
上单调递增，即
在
上是增函数，
当
时，
，故
在
上单调递增，
当
时，
，故
在
上单调递减，
，即
，
当
时，
；
（2）要使
有意义，则应有
恒成立，
，
若
恒成立，则
恒成立，
即取
时，
恒成立，当
时，该式成立，
构造
，由于
，
则求导得
，导函数单调递增，
且
，
所以存在
，使得
，
所以当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，所以
，
又
，所以存在
，所以
或
；
取
时，
恒成立，
48
构造
，则
，
所以
在
上单调递减，
且
，
所以存在
使得
，所以
，
又当
时，
，
所以
，
以下进行充分性证明：
①当
且
时，
，
，
在区间
上单调递减，
，
设
，则
，
，
单调递减，
，
当
时，
；
②当
且
时，设
，
，
，
当
时，
，
单调递减，
49
当
时，
，
，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递减，
当
且
时，
，
由（1）知，
，
，
综上，若
，则
的取值范围是
.
6．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知函数
.
(1)求证：
；
(2)若
，求
的取值范围；
(3)求证：
.
【解析】（1）因为
，所以
，
令
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，
，即
，
所以
；
（2）
，
50
即
在
上恒成立，
令
，
则
，
当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，
所以
，
即
，所以
符合题意；
当
时，注意方程
的
，
若
，则
，所以
，即
，
所以函数
在
上单调递增，
所以
，
即
，所以
符合题意；
若
，则方程
有两个不等的实根，记为
，
则
，
所以函数
在
上有唯一的零点
，
则当
时，
，函数
为减函数，
所以当
时，
，即
，
与
矛盾，所以
不符题意，
51
综上所述，
的取值范围为
；
（3）由（2）知，当
时，
，
即
，所以
，
令
，则
，
故
，
所以要证
，
只需要证明
，
两边取对数，整理得
，
当
时，左边
，
当
时，令
，
则
，
令
，
则
，
所以函数
在
上单调递减，
所以
，即
，
52
所以函数
在
上单调递减，
所以
，
所以
恒成立，
所以
.
7．（2025·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)求证：函数
有极小值；并求
的极小值为0 时
的值；
(2)若
，求
的取值范围．
【解析】（1）由题意，
，所以
，
因为
，
都是增函数，且由题意知
，所以
是增函数，
又因为
，所以
时，
；
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
有极小值
，
由
，得
.
（2）由题意知
，所以
是增函数，由
得
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
由
对任意实数
成立，得
，所以
，即
的取值范围是
.
53
8．（2025·广东深圳·二模）已知函数
，函数
图象上的一点
，按照如
下的方式构造切线
：在点
处作
的切线
，记切线
与x 轴交点的横坐标为
．
(1)写出
与
的递推关系式；
(2)记
的零点为r，且
．
（i）证明：当
时，
；
（ii）证明：对于任意的
，都有
．
【解析】（1）
，
，
则函数
在点
处的切线方程为
，
令
，得
．
（2）（i）当
时，
，
当
时，
，
单调递增，
又因为
，
所以
有唯一的零点
，其中
．
令
，则
，
当
时，
，故
在
上单调递增．
因为
，所以
．
因为
在
上单调递增，所以当
时，
，
54
又因为
，所以
，
即证得：当
时，
．
（ii）由（i）知：因为
，从而
，进而
，
由此递推可知：当
时，
，
令
，
下面证明：对于任意的
，都有
成立，
即
．
因为
，所以只需证明
，
即
，
令
，其中
，
则
，
因为
，
所以
，故
，
从而
在
上单调递增，可知
，
故
在
上单调递增，因此
，
因为
，故
，
即对于任意的
，都有
成立，
由此可得：
，
所以对于任意的
，都有
．
55
9．（2025·全国·模拟预测）已知函数
的导函数为
．
(1)当
时，求
的图象在
处的切线方程；
(2)若
有三个不同的零点，求实数
的取值范围；
(3)已知
，若
在定义域内有三个不同的极值点
，且满足
，求实数
的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，则
，
所以
，则
，
所以
的图象在点
处的切线方程为
，即
．
（2）由题知，
，
因为
有三个不同的零点，
所以方程
有三个不等实根，
化简可得方程
有三个不等实根，
即可看成直线
与曲线
有三个不同的交点，
，
所以当
或
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，
所以当
时，
有极小值为
，
当
时，
有极大值为
，
56
当
时，
，且当
时，
，
所以作出函数
的图象如图1 所示，
所以数形结合可知
，即实数
的取值范围为
．
（3）由题知，
，其定义域为
，
则
，
令
，得
或
，
设
，则
，
当
时，
，所以
单调递增；
当
时，
，所以
单调递减，
又当
时，
；当
时，
，且
，
所以
的大致图象如图2 所示，
57
因为
在定义域内有三个不同的极值点
，
所以
与
有两个不同的交点，所以
，
不妨设
，则
，
所以
，所以
所以
，
令
，则
，
因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，
所以
，
又
，
所以
，所以
在
上单调递增，
因为
，
所以当
时，
恒成立，
即当
时，
恒成立，
所以实数
的取值范围是
．
10．（2025·天津南开·二模）已知函数
.
58
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)解关于
的不等式
（其中
为
的导数）.
【解析】（1）
，可得
，又
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）当
时，
，
，所以
，
在
上单调递减，
当
时，令
，
因为
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，所以
在
上单调递增，
所以
，
若
恒成立，则
，
整理得
，解得
或
.
（3）由
得
，
即
，
当
时，
，不等式
成立；
当
时，
，不等式
化为
，
当
时，不等式的左边
右边，所以
，
59
①当
时，令
，
所以函数
在
上单调递减，
所以
，即
，
令
，
则
单调递减；
单调递增，
所以
，
所以
，故
，
②当
时，不等式
化为
，
令
，
，函数
在
上单调递增，
所以
，
由
，得
，
所以不等式
成立，
综上，不等式
的解集为
.
60
61
