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2024 年高考考前信息必刷卷 03（天津专用）
数 学
天津卷考试题型为9（单选题）＋6（填空题）＋5（解答题），其中第19题第20题属
于压轴题目，去年高考第19题创新考查了数列的极限，此外对于数列的求和问题也是别出
心裁，具有很强的创新性。第20题依旧是导数的综合应用，结合不等式与数列综合性很强。
天津卷坚持“以德为先，能力为重，全面发展”的命题理念，稳妥推进新高考的改革，
形成了“一个中心，两个着力点，三个突出，四条路径”的评价体系。
即以立德树人为中心，以数学素养和创新能力为两个着力点；突出对主干知识、思想
方法、问题解决能力的考查；通过优化试卷结构、创新呈现方式、精选试题素材，突出学
科本质，达到落实高考育人的目的。
天津卷通过设计创新性和综合性问题，实现对逻辑推理、直观想象、数学运算、数学
抽象、数学建模、数据分析六大素养的综合考查。设置创新和思维深刻的问题，考查学生
的创新能力。重点关注学生应知应会的内容，淡化机械记忆，关注学生的不同发展水平。
本套试卷中选择题中第6题在对双曲线的考察中结合了圆的知识，运用勾股定理再加
三角形等面积法得到a，b，c的数量关系进而求出结果。第7题依旧考察数列的相关知识，
着重考察了等差数列的性质，及等差数列的求和公式。第 8题借助实际问题的形式考察四
面体外接球的知识，考察学生的空间想象能力，以及做图能力。第 9题综合性的考察了三
角函数的图像与性质，中间也涉及到辅助角公式的考察这在以往的高考题中是没有出现过
的。
填空题方面13题考察了二项分布，延续高考的考察形式，并未涉及到数学期望，第
14题关于向量的综合考察，涉及到三点共线的推论，以及学生对于建立坐标系之后的运算。
第15题主要考察学生的数形结合能力，此外结合了导数的几何意义，整体难度不大。
大题方面在16题对于三角形的考察方面，考查内容较多，涉及正余弦定理，二倍角公
式，以及三角形面积公式，相对往年的高考题目更加全面。18题解析几何考察椭圆相关知
识，需要学生讲题干面积问题改为坐标比例问题进而进行化简运算。第 19题关于数列的考
察整体难度不大，涉及到错位相减与裂项相消求和，本题难度主要在于计算量较大。第 20
题作为导数压轴题，仍然常规考察切线方程，以及单调性最值问题，第三问需要将问题转
化，这个思路比较新奇，对学生而言难度较大。
总之，2024年高考数学继续保持“入口易、口径宽，深入缓、出口难”的特点，坚持
“立德树人、服务选才、引导教学”的命题指导原则，形成了“一个中心，两个着力点，
三个突出，四条路径”的评价体系，导向中学对“四具备”人才的培养，即具备自觉的数
量观念的人、具备严密推理逻辑的人、具备高度抽象概括的人、具备一丝不苟、精益求精
作风的人。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合 ，1，3，5，7， ， ， ， ，5， ，则
A． ， B． ，5， C． ，1，3， D． ，1，3，7，
2．若 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
4．函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为
A． B．
C． D． ．
5．某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），
成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是
A．频率分布直方图中 的值为0.004
B．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75
C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D．估计总体中成绩落在 ， 内的学生人数为1506．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，以线段 为直径
的圆与 的渐近线在第一象限的交点为 ，且 ．设 的离心率为 ，则
A． B． C． D．
7．若 是等差数列， 表示 的前 项和， ， ，则 中最小的项
是
A． B． C． D．
8．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠
最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似
今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家
非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点 ， ， ， ，四面体 的体积
为 ， 经过该鞠的中心，且 ， ，则该鞠的表面积为
A． B． C． D．
9．如图是函数 的部分图象，将函数 的图象向
右平移 个单位长度得到 的图象，给出下列四个命题：
①函数 的表达式为 ；
② 的一条对称轴的方程可以为 ；
③对于实数 ，恒有 ；
④ 的最大值为2．其中正确的个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
10．复数 的实部为 ．
11． 的展开式中含 的项的系数为8，则 ．
12．已知直线 被圆 截得的弦长为2，则 的值为 ．
13．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，
恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖．则获奖的概率是 ，有3个人参与这个
游戏，则恰好有1人获奖的概率是 ．
14．在 中， ， ， ．若点 为边 的中点，则
；若点 在边 上（不包含端点），延长 到 ，使得 ，且满足
为常数），则 ．
15．设函数 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围为
．
三、解答题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ， ．
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）求 的面积．17．如图，在三棱锥 中， 底面 ， ，点 ， ， 分别为
棱 ， ， 的中点， 是线段 的中点， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）已知点 在棱 上，且直线 与直线 所成角的余弦值为 ，求线段 的长．18．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线 与
交于 ， 两点， 的周长为8，当直线 垂直于 轴时， ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆 的右顶点为 ，直线 ， 分别交直线 于 ， 两点，当
的面积是 面积的5倍时，求直线 的方程．19．已知 为等差数列， 为等比数列， ， ， ．
（Ⅰ）分别求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，
（ⅰ）求证 ；
（ⅱ）对任意的正整数 ，设 ，求数列 的前 项和．20．已知函数 ．
（1）当 时，求 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）若对 ， ，都有 恒成立，求 的取值范围；
（3）已知，若，且满足，使得，求证：．
