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2024 年高考数学第一次模拟考试
数学（文科）·参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D A A B B A C B D B A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13． 14． 15．-6 16．14
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
【详解】（1）将 的等号左右两边同时取自然对数得 ，
所以 ． ，
而 ，
所以 ，
．
所以 ，即 ，
所以 ．..................................................................6分
（2）2023年对应的年份代码为7，
当 时， ， ，
所以（1）中求得的回归方程 是理想的．.............................................................12分
18．（12分）
【详解】（1）设数列 的公比为 ，因为数列 是正项等比数列，所以
当 时， 为常数，所以 是等差数列..................................................................6分
（2）因为 ， ，所以 ，
所以 ， ， ，
数列 的公差 ， ，
因为 ， ，
所以
..................................................................12分
19．（12分
【详解】（1）证明：方法一 如图所示：
连接AG并延长交PD于点M，延长AE交DC的延长线于点N，连接MN．
∵ 且 ，
∴ ， ．
∵G为 PAD的重心，∴ ．
∴ ，∴ ．
∵ 平面PCD， 平面PCD，
∴ 平面PCD．.................................................................6分
方法二 如图所示：
延长PG交AD于点O，取线段AD上靠近点D的三等分点F，则 ．
连接EF，FG．
∵ 且 ，∴ ．∵ 平面PCD， 平面PCD，∴ 平面PCD．
∵G为△PAD的重心，∴ ．
又 ， ，
∴ ．∴ ，∴ ．
∵ 平面PCD， 平面PCD，
∴ 平面PCD．
又∵ ，EF， 平面EFG，
∴平面 平面PCD．
又∵ 平面EFG，
∴ 平面PCD．.................................................................6分
（2）延长PG交AD于点O，连接AC，如图：
∵ PAD为等边三角形， ，∴ ， ．
∵ ， ，AD， 平面ABCD，
∴ 平面ABCD．
∵四边形ABCD为直角梯形， ， ，
∴ ， ， ．
在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ．.................................................................8分
∵ ， ，AD， 平面PAD，
∴ 平面PAD．
∵ 平面PAD，∴ ．
设点C到平面PAE的距离为h．
∵ ，，
又∵ ，∴ ．.................................................................12分
故点C到平面PAE的距离为 ．
20．（12分）
【详解】（1） ，
令 ，
则 ，其中 ，
所以 在 上单调递减，且 ，
所以当 时， ，即 单调递增，
当 时， ，即 单调递减，
故当 时， 取得极大值 ，无极小值...............................................................5分
（2）由题得 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立.
令 ，
所以 ，
令 ，
所以 ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递
增，.................................................................8分所以 ，
又 ，
所以当 时，
单调递增；
当 时， 单调递减，
所以 ，所以 ，
即 的取值范围是 ...............................................................12分
21．（12分）
【详解】（1）抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过 ， ， ，
四点中的两点，
由对称性，点 和点 不可能同时在抛物线T上，点 和点 也不可能同时在
抛物线T上，
则抛物线只可能开口向上或开口向右，
设 ，若过点 ，则 ，得 ，
∴ ，抛物线过点 ，∴ 符合题意；
设 ，若过点 ，则 ，得 ，
∴ ，但抛物线不过点 ，不合题意．
综上，抛物线T的方程为 ．..............................................................5分
（2） ，设直线 ，即 ，
由AB与圆相切得 ，∴ ，设 ，同理可得 ，
∴ 是方程 的两根， ．
联立 ，消y得 ，∴ ，
同理 ，
∴
所以 为定值16．.................................................................12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分．
【详解】（1）由曲线 的参数方程为 （ 为参数），得 ，
， ，即 （为焦点在 轴上的椭
圆）.............................................................4分
（2）设直线 的倾斜角为 ，直线 过点
直线 的参数方程为 （ 为参数），
将直线 的参数方程代入 ，可得 ，，.............................................................6分
设 ， 两点所对的参数为 ， ，
曲线 与 轴交于 两点，
在曲线 的内部， 一正一负，
，而 ， ，
， ， ，
解得 ， 为直线 的倾斜角， ，
， ， 或 ，
直线 的倾斜角为 或 ..............................................................10分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）
【详解】解：（1） ，即 ，利用零点分区间法，对 去绝对值，
当 时，由 ，得 ，所以 ，
当 时， 成立，所以 ，
当 时，由 ，得 ，所以 .
综上可知，不等式 的解集为 ...............................................................5分
（2）由题意，可知 ，
由（1）得当 时， 恒成立，因为 ，所以 时不等式恒成立；
当 时， 恒成立，所以 时不等式恒成立；
当 时， 恒成立，而 ，所以 时不等式恒成立；当 时，即 恒成立，而 ，
所以 不等式恒成立.
综上，满足要求的 的取值范围为 .............................................................10分
