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专题04 幂函数与二次函数（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
幂函数与二次函数近几年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2021 年全国乙（文科），第20 题,12 分
含参二次函数判断正负
导函数
2021 年全国乙（理科），第11 题,5 分
二次函数求最值
椭圆
2022 年全国乙（文科），第20 题,12 分
含参二次函数判断正负
导函数
2022 年全国甲（理科），第17 题,5 分
二次函数求最值
数列
2023 年全国甲（文科），第11 题,5 分
二次函数的单调性
指数函数、不等式比较大小
2023 年全国甲（理科），第13 题,5 分
二次函数的奇偶性
三角函数的奇偶性
2023 年全国乙（文科），第8 题,5 分
含参二次函数判断正负
导函数
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本小节是高考必考点，考查二次函数求最值以及含参二次函数判断正负；
2.幂函数考查性质；
【备考策略】1.了解幂函数的概念，结合函数的图象，了解它们的变化情况；
2.会用二次函数的思想求最值；
3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；
4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题；
5.会讨论含参二次函数的正负，从而判断函数的单调性；
【命题预测】1.利用二次函数的思想求最值；
2.讨论含参二次函数的正负，从而判断函数的单调性；
3.会利用幂函数的性质比较大小；
1
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知识讲解
一、幂函数
1.幂函数的定义
形如
y=x
α
的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α 为常数.
2.常见的5 种幂函数的图象
2
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3.常见的5 种幂函数的性质
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=x
1
2
y=x-1
定义域
R
R
R
[0,
+∞
)
{x|x∈R,且
x≠0}
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{ y|y
∈
R,
且
y ≠ 0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非
偶函数
奇函数
4.幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第
一、二象限(图象关于
轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶
函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在
都有定义，并且图象都通过点
．
③单调性：如果
，则幂函数的图象过原点，并且在
上为增函数．如果
，则幂函数的图
象在
上为减函数，在第一象限内，图象无限接近
轴与
轴．
④奇偶性：当
为奇数时，幂函数为奇函数，当
为偶数时，幂函数为偶函数．当
（其中
互
质，
和
），若
为奇数
为奇数时，则
是奇函数，若
为奇数
为偶数时，则
是
偶函数，若
为偶数
为奇数时，则
是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数
，当
时，若
，其图象在直线
下方，若
，
其图象在直线
上方，当
时，若
，其图象在直线
上方，若
，其图象在直线
下方．
二、对勾函数
1.定义:形如f(x)=ax+b
x (ab>0)的函数.
2.图象:当a,b 同号时,对勾函数f(x)=ax+b
x 的图象形状类似双勾,故称“对勾函数”,如图所示:
3
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当a,b 异号时,函数f(x)=ax+b
x 的图象形状发生了变化,如图所示:
3. 性质:以一般式y=ax+b
x (x≠0)(a>0,b>0)为例.
(1)定义域:
( -∞
,0)
∪
(0,
+∞
)
.
(2)值域:(-∞,-2√ab]∪[2√ab,+∞).当且仅当ax=b
x ,即x=±√
b
a
时取到端点值.
(3)奇偶性:在其定义域上是
奇函数
.
(4)单调性:在-√
b
a,0 和0,√
b
a
上严格单调递减,在-∞,-√
b
a
和√
b
a,+∞上严格单调递增.
判断函数为幂函数的方法
(1)自变量x 前的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数为常数.幂函数的特征:(1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确
定其解析式.(2)判断幂函数y=xα(α∈R)的奇偶性时,当α 是分数时,一般先将其化为根式,再判断.(3)若幂函数
y=xα在(0,+∞)上单调递增,则α>0,若在(0,+∞)上单调递减,则α<0.
要注意对勾函数的定义域,一般地,对勾函数在整个定义域内没有最值,但在局部有最值;要结合图象,理解与记
忆对勾函数的单调性、对称性、奇偶性等.
三、二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：
②顶点式：
③两根式：
4
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（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③若已知抛物线与
轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求
更方便．
（3）二次函数图象的性质
①二次函数
的图象是一条抛物线，对称轴方程为
顶点坐标是
．
②当
时，抛物线开口向上，函数在
上递减，在
上递增，当
时，
；
当
时，抛物线开口向下，函数在
上递增，在
上递减，当
时，
．
③二次函数
当
时，图象与
轴有两个交点
．
④与y 轴的交点坐标为：(0,c)
（4）一元二次方程
根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统
和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二
次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．
设一元二次方程
的两实根为
，且
．令
，
从以下四个方面来分析此类问题：
①开口方向：
②对称轴位置：
③判别式Δ=b2−4ac ④端点函数值符号．
①k＜x1≤x2
af (k)>0
②x1≤x2＜k
af (k)>0
5
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③x1＜k＜x2
af (k)<0
④k1＜x1≤x2＜k2
f (k1)⋅f (k2)>0
⑤k1＜x1＜k2 ＜x2
f (k1)⋅f (k2)<0
（5）二次函数
在闭区间
上的最值
设
在区间
上的最大值为
，最小值为
，令
．
（Ⅰ）当
时（开口向上）
①若
，则
②若
，则
③若
，则
6
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①若
，则
②
，则
(Ⅱ)当
时(开口向下)
①若
，则
②若
，则
③若
，则
①若
，则
②
，则
．
考点一、幂函数
1．（2023 年辽宁省名校联盟联考）幂函数
在第一象限内是减函数，则
（
(
)
2
b
f
a
0x
(
)
2
b
f
a
0x
(
)
2
b
f
a
(
)
2
b
f
a
(
)
2
b
f
a
0x
(
)
2
b
f
a
(
)
2
b
f
a
0x
7
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）
A．2 B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据幂函数定义求出m 的可能值，再结合函数的单调性即可得解.
【详解】由幂函数的定义可知
，解得
，
由幂函数的单调性可知
，所以
．
2．（2014 年全国普高招生统考北京卷（理科））下列函数中,在区间
上为增函数的是( ).
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】试题分析：对A，函数
在[−1，+∞)上为增函数，符合要求；
对B，
在（0，1）上为减函数，不符合题意；
对C，
为[−∞，+∞)上的减函数，不符合题意；
对D，
在[−1，+∞)上为减函数，不符合题意.
3．设a＝
，b＝
，c＝
，则a，b，c 的大小关系是( )
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>a>b
D．b>c>a
【答案】A
【详解】试题分析：∵函数
是减函数，∴
；又函数
在
上是增函数，故
.
1．幂函数
在
上为减函数，则
的值为______.
【答案】
【分析】由函数
是幂函数，列方程求出
的值，再验证是否满足题意.
【详解】由函数
是幂函数，则
，
解得
或
；
当
时，
，在
上为减函数，满足题意；
当
时，
，在
上为增函数，不合题意.
8
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2．下列函数中，在区间
上是减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的单调性及对数型复合函数的单调性判断即可.
【详解】对于A：
在定义域
上单调递增，故A 错误；
对于B：
在定义域
上单调递增，故B 错误；
对于C：
定义域为
，因为
在
上单调递减且值域为
，
又
在定义域上单调递减，所以
在
上单调递增，故C 错误；
对于D：
，函数在
上单调递减，故D 正确；
3．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数
的单调性可得
，然后利用函数指数函数和幂函数的单调性可得.
【详解】因为函数
在R 上单调递减，
，
所以
，
因为函数
在R 为增函数，所以
，
又
在
上单调递增，所以
，
综上，
.
考点二、对勾函数的图象与性质
9
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1．(2023·河北模拟)已知函数f(x)= x
2+ 4
x
,则该函数在(1,3]上的值域是( ).
A．[4,5)
B．(4,5)
C．
[13
3 ,5)
D．[
13
3 ,5]
【答案】A
【详解】∵f ( x)= x2+4
x
=x+ 4
x
,
∴f (x)在（1,2）上单调递减,在[2,3]上单调递增，
∴f (2)=4 是f ( x)在(1,3]上的最小值，
又f (1)=5,f (3)=13
3 ，∴f ( x)在(1,3]上的值域为[4,5).
2．已知函数
f ( x)=ax + b
x ,其中a,b 为常数,且f (1)=5,f (2)=4 .
(1)求a,b 的值;
(2)求函数f ( x)在区间[1,3]上的最大值和最小值.
【详解】(1)因为
f ( x)=ax + b
x ,所以{
f (1)=a+b=5,
f (2)=2a+ b
2
=4 ,
解得{
a=1,
b=4.
(2)由(1)可得
f ( x)=x+ 4
x ,所以函数f ( x)在区间(2,3]上是严格增函数,在区间[1,2)上是严格减函数,所以
f ( x)min=f (2)=4 ,因为f (1)=5 ,
f (3)=13
3 ,所以f ( x)max=f (1)=5 .
1．已知函数
y=x+ a2
x (a>0)
在(−∞，−a)和（a,+∞）内均为单调递增函数,在(−a，0)和（0,a）内均为单
调递减函数.若函数
f ( x)=x+ t
x (t>0)
在集合N*内为单调递增函数,则实数t 的取值范围为 .
【答案】(0,2)
【详解】根据题意f ( x)在（−∞，−√t ）,(√t ,+∞)内为单调递增函数.要使f ( x)在N*内为单调递增函数,则
{
t>0,
f (1)<f (2), 即{
t>0,
1+t<2+ t
2 , 解得
0<t<2
,所以实数
t
的取值范围为
(0,2)
.
10
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2．关于函数
f ( x)=x+ 2
x ( x≥2)
,以下命题正确的是( ).
A．f ( x)的图象关于y 轴对称 B．f ( x)的图象关于原点对称
C．f ( x)无最大值 D．f ( x)的最小值为2√2
【答案】C
【详解】因为f ( x)=x+ 2
x ( x≥2)的定义域不关于原点对称,所以其图象不关于y 轴对称,也不关于原点对
称,故A,B 错误;由对勾函数的性质可知,f ( x)=x+ 2
x
x
在≥2上单调递增,故f ( x)min=f (2)=3 ,无最大值,
故C 正确,D 错误.
考点三、二次函数
1．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
2．函数
的最小值为（ ）
A．2 B．0
C．
D．6
【答案】B
【分析】设
，则
，结合二次函数性质求其最小值即可.
【详解】因为
，设
，则
，由二次函数性质
可得当
上单调递减，所以当
，
取最小值，最小值为0，故当
时，函数
取最小值，最小值为0.
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3．设
，二次函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
,二次函数
，那么可知，
在A 中，a<0,b<0,c<0，不合题意；
B 中，a<0,b>0,c>0，不合题意；
C 中，a>0,c<0,b>0,不合题意，故选D.
1．（2021 年北京市部分名校模拟）函数
是单调函数的充要条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】因为函数
在
上单调递增，且在
上是单调函数，比较即可求解参数
范围．
【详解】函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又在区间
上是单调函数，所以
，解得
.
2．函数
的最大值是：（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】函数式的分母是二次函数，求出分母的取值范围后利用不等式的性质可得结论．
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【详解】∵
，
∴
，最大值为
．
【点睛】本题考查求函数的最值，利用二次函数的性质和不等式的性质易得．
3．已知函数y=f ( x)的图象与函数y=ax(a>0
a
且≠1)的图象关于直线y=x 对称，记
g( x)=f ( x)[f ( x)+f (2)−1]．若y=g( x)在区间
上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先表述出函数
的解析式然后代入将函数
表述出来，然后对底数
进行讨论即可得到答
案．
【详解】已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，
则
，记
．
当
时，若
在区间
上是增函数，
为增函数，
令
，t∈
，要求对称轴
，无解；
当
时，若
在区间
上是增函数，
为减函数，
令
，t∈
，要求对称轴
，
解得
，所以实数a 的取值范围是
.
【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数互为反函数．这里注意指数函数和对数函数的增减性与底数的
大小有关，即当底数大于1 时单调递增，当底数大于0 小于1 时单调递减．
【基础过关】
1．已知
，
，
，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】注意到
，
，后利用指数函数，幂函数单调性可比较
大小.
【详解】因函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，则
，
，
.
又函数
在
上单调递增，则
，又
，则
.综上，
.
2．若函数
，当
时函数值
，则
的取值范围是（ ）
A．
；
B．
；
C．
；
D．
．
【答案】D
【分析】分
与
去解不等式，求出
的取值范围.
【详解】当
时，
，解得：
，与
取交集，结果为
；当
时，
，
解得：
，综上：
的取值范围是
.
3．已知幂函数f (x)=(a2+3a−3)xa+3在（0，+∞）上单调递减,若f (x)−f (3−2x)<0,
x
则的取值范围
是( ).
A．（1,3） B．（−∞，0）
C．（−∞，1）∪（3，+∞）
D．（−∞，0）∪（1，3
2
）
【答案】D
【详解】因为f ( x)=(a2+3a−3)xa+3为幂函数,所以a2+3a−3=1，
解得a=−4
a
或=1，又函数f (x)在（0，+∞）上单调递减,故a=−4 ，此时f ( x)=x−1=1
x ，为奇函数.
由
f (x)−f (3−2x)<0
f
得(x)<f (3−2x)
，等价于{
x>0,
3−2x>0,
x>3−2x
或{
x<0,
3−2x<0,
x>3−2x
或{
x<0,
3−2x>0, ，
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解得
1<x< 2
3 或⌀或x<0 ，所以x 的取值范围为
（−∞，0）∪(1，3
2).
4．已知幂函数
的图象在
上单调递减，则
的取值为__ ____.
【答案】
【分析】利用幂函数定义得
，解得
或
，再分别代入检验函数的单调性，即可得解.
【详解】由幂函数定义得
，解得
或
，
当
时，
，利用幂函数性质知：
在
上单调递减；
当
时，
，利用幂函数性质知：
在
上单调递增，不符题意舍去.
综上，
的取值为.
5．函数
在
上是减函数，则
的取值范围是__________．
【答案】
【分析】依题意函数
是由
向右平移个单位得到，再由幂函数的性质判断
的单调性，
即可得到
的单调性，从而求出参数的取值范围.
【详解】因为函数
是由
向右平移个单位得到，
函数
为偶函数，且函数在
上单调递增，则在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递增，则在
上单调递减，
又函数
在
上是减函数，所以
，即
的取值范围是
.
6．（2011 年全国普高招生统一考试文科陕西卷）函数
的图象是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】试题分析：先找出函数图象上的特殊点
（1,1）（8,2）
，(
1
8 ，1
2)，再判断函数的走向，结合图形，选
出正确的答案．
解：函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；
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由特殊点（8,2），(
1
8
，1
2)，可排除C．
点评：幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，
熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x 来刻画其它幂函数在第一象限
的凸向．
7．（2011 年上海市普高招生考试(文科)）下列函数中，既是偶函数，又是在区间
上单调递减的函数
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数， C.
在区间
上单调递增函数，故选
A．
考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．
点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．
8．(2023·郑州模拟)若幂函数f ( x)=(m2−3m+3)xm 的图象关于y 轴对称,则实数m= .
【答案】2
【详解】∵函数f ( x)=(m2−3m+3)⋅xm是幂函数,
∴m2−3m+3=1,解得m=1
m
或=2.
当m=1时,函数y=x 的图象不关于y 轴对称,舍去;
当m=2 时,函数y=x2的图象关于y 轴对称,∴m=2 .
9．函数
的最大值为___________．
【答案】
/
【分析】由二次函数的性质即可得出函数
的最大值.
【详解】函数
，
所以函数
的最大值为
.
10．若函数
在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则
的值( ).
A．与a 有关，且与b 有关
B．与a 有关，但与b 无关
C．与a 无关，且与b 无关
D．与a 无关，但与b 有关
【答案】B
16
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【详解】因为最值在
中取，所以最值之差一定与
无关，选B．
【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，
结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在
区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区
间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．
12．若函数
，
的图象关于直线
对称，则
____ __.
【答案】6
【分析】根据给定的二次函数，利用二次函数的性质列式计算作答.
【详解】函数
的对称轴为：
，
依题意，
且
，解得
，
，
所以
.
13．已知a ，b ，c∈R ，函数f ( x)=ax 2+bx +c .若f (0)=f （4）>f (1)，则（ ）
A．a>0 ，4 a+b=0 B．a<0 ，4 a+b=0
C．a>0 ，2a+b=0
D．a<0 ，2a+b=0
【答案】A
【分析】由已知得f ( x)的图象的对称轴为x=2 且f ( x)先减后增，可得选项.
【详解】由f (0)=f （4），得f ( x)=ax 2+bx +c 图象的对称轴为x=−b
2a=2，∴4 a+b=0 ，
又f (0)>f （1），f （4）>f (1)，∴f ( x)先减后增，于是a>0 .
【能力提升】
1．（2023 年广东省部分名校联考）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别由指数、对数、幂函数的性质可得
，
，
，即可得出答案.
【详解】由题知，
，
，
，所以
.
2．若f ( x)=x
2
3−x
1
2 ，则满足f ( x)<0 的x 取值范围是_____.
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【答案】
【详解】根据幂函数的性质，由于
，所以当
时
，当
时，
，因此
的解集为
.
【考点】幂函数的性质.
3．若函数
在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数
在
上是增函数，则a＝______.
【答案】
【详解】 当
时，有
，此时
，此时
为减函数，
不合题意.若
，则
，故
，检验知符合题意.
4．已知幂函数
（
且p 与q 互质）的图像如图所示，则（ ）
A．p、q 均为奇数且
B．p 为奇数，q 为偶数且
C．p 为奇数，q 为偶数且
D．p 为偶数，q 为奇数且
【答案】D
【分析】根据图像的对称性及形状结合幂函数的图像特征可直接解答.
【详解】由图像知函数为偶函数，所以p 为偶数，且由图像的形状判定
，
又因为p 与q 互质，所以q 为奇数.
5．已知
，
，
，则a、b、c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】化简
，
，所以
，再化简
，
，故可
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得出答案.
【详解】∵
，
，∴
，
，∵
，
且
在R 上为增函数，∴
，即
.
6．（2012 年全国普高招生统一考试文科（重庆卷））设函数
集合
则
为( ).
A．
B．（0，1）
C．（-1，1）
D．
【答案】D
【详解】
,令
,则原不等式等价于
,
解得
或
,∴
或
，∴
或
，
∴
或
，即
或
.
,∴
,
∴
.
7．已知函数f ( x)=2 x+bx ，则“b<0 ”是“f (f ( x))的最小值与f ( x)的最小值相等”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】试题分析：由题意知
，最小值为
．
令
，则
，
当
时，
的最小值为
，所以“
”能推出“
的最小值与
的最小值相等”；
当
时，
的最小值为0，
的最小值也为0，所以“
的最小值与
的最小值相
等”不能推出“
”．故选A．
考点：充分必要条件．
8．（2014 年全国普高招生统一理科（上海卷））f ( x)={
( x−a)2, x≤0,
x+ 1
x +a, x>0, 若
f (0)
是
f ( x)
的最小值，则
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a 的取值范围为（ ）
A．[-1,2]
B．[-1，0]
C．[1，2]
D．
【答案】D
【详解】由于当
时，
在
时取得最小值
，由题意当
时，
应
该是递减的，则
，此时最小值为
，因此
，解得
，选D．
【考点】分段函数的单调性与最值问题．
9．（2021 陕西省部分名校模拟）函数
和
的递增区间依次是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】通过作图，可直接求出两个函数的单调区间．
【详解】分别作出f(x)与g(x)的图象
得：f(x)在[0，＋∞)上递增，g(x)在(－∞，1]上递增，
【点睛】本题考查函数的单调性和图象，常见函数的图象考生应强化记忆：一次函数、二次函数、反比例
函数、含绝对值的函数（需要理解绝对值在函数中的几何意义）．
10．（2015 年全国普高招生统一考试理科（四川卷））如果函数
在区间
上单调递减，则mn 的最大值为（ ）
A．16
B．18
C．25
D．
【答案】B
【详解】
时，抛物线的对称轴为
.据题意，当
时，
即
.
.由
且
得
.当
时，抛物线开口向下，据题
意得，
即
.
.由
且
得
，故
20
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应舍去.要使得
取得最大值，应有
.所以
，所以最
大值为18.选B..
考点：函数与不等式的综合应用.
11．（2014 年全国普高招生统一考试理科（天津卷））已知函数
，
．若方程
恰有4 个互异的实数根，则实数
的取值范围为__________．
【答案】
．
【详解】试题分析：（方法一）在同一坐标系中画
和
的图象（如图），问题
转化为
与
图象恰有四个交点．当
与
（或
与
）相切时，
与
图象恰有三个交点．把
代入
，得
，即
，由
，得
，解得
或
．又当
时，
与
仅两个
交点，
或
．
（方法二）显然
，∴
．令
，则
∵
，∴
．结合图象可得
或
．
【真题感知】
1．（2023 年新高考天津数学高考真题）若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
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【详解】由
在R 上递增，则
，
由
在
上递增，则
.
所以
.
2．（2022 年高考天津卷真题）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出
、
、的大小关系.
【详解】因为
，故
.
3．（2021 年山东省春季高考数学真题）关于函数
，以下表达错误的选项是（ ）
A．函数的最大值是1
B．函数图象的对称轴是直线
C．函数的单调递减区间是
D．函数图象过点
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可.
【详解】
，最大值是1，A 正确；
对称轴是直线
，B 正确；
单调递减区间是
，故C 错误；
令
的
，故
在函数图象上，故D 正确.
4．（2019 年全国统一高考（理科卷）（新课标Ⅱ））若a>b ，则（ ）
A．1n(a−b)>0
B．3a<3b
C．a3−b3>0
D．|a|>|b|
【答案】C
【分析】本题也可用直接法，因为
，所以
，当
时，
，知A 错，因为
是增函数，所以
，故B 错；因为幂函数
是增函数，
，所以
，知C 正确；取
，满足
，
，知D 错．
【详解】取
，满足
，
，知A 错，排除A；因为
，知B 错，排除
B；取
，满足
，
，知D 错，排除D，因为幂函数
是增函数，
，所
以
.
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算
能力素养，利用特殊值排除即可判断．
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5．（2007 年全国普高招生统一考试理科卷）函数
的一个单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化简
为关于
的二次函数，然后换元，分别求出单调区间，再利用单调
性的性质即可判断每个选项
【详解】解：由题意，
，
令
，则
，所以函数
在
上单调递减，
在
上
单调递增，
而
的单调增区间是
，单调减区间是
，
对于A，当
时，
单调递减，且
，此时
单调递减，所以
是
的一个单调增区间；
对于B，当
时，
单调递减，
，此时
不是单调函数，所以
不
是
的一个单调增区间；
对于C，当
时，
单调递减，
，此时
单调递增，所以
不是
的
一个单调增区间；
对于D，当时，单调递减，，此时单调递增，所以不是的一个单调增区间，则也不是的一个单调增区间；
23
