2024年高考数学试卷（文）（全国甲卷）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（西藏）数学高考真题

绝密★启用前 2024 年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷文科数学 使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮 擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． A=1,2,3,4,5,9 B=  x x+1ÎA  A B= 1. 集合 ， ，则 I （ ） A. 1,2,3,4 B. 1,2,3 C. 3,4 D. 1,2,9 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合B的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合B中的元素x，满足x+1=1,2,3,4,5,9， 则x可能的取值为0,1,2,3,4,8，即B={0,1,2,3,4,8}， 于是AÇB={1,2,3,4}. 故选：A 2. 设z = 2i，则z×z =（ ） A. -i B. 1 C. -1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据共轭复数的定义写出z，然后根据复数的乘法计算. 第1页/共15页 学科网（北京）股份有限公司【详解】依题意得，z =- 2i，故zz =-2i2 =2. 故选：D ì4x-3y-3³0 ï 3. 若实数x,y满足约束条件íx-2y-2£0 ，则z = x-5y 的最小值为（ ） ï 2x+6y-9£0 î 7 1 A. 5 B. C. -2 D. - 2 2 【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得. ì4x-3y-3³0 ï 【详解】实数x,y满足íx-2y-2£0 ，作出可行域如图： ï 2x+6y-9£0 î 1 1 由z = x-5y可得 y = x- z ， 5 5 1 1 1 即z的几何意义为 y = x- z 的截距的- ， 5 5 5 则该直线截距取最大值时，z有最小值， 1 1 此时直线 y = x- z 过点A， 5 5 ì 3 ì4x-3y-3=0 ïx= æ3 ö 联立í ，解得í 2，即A ç ,1 ÷， î2x+6y-9=0 ï îy =1 è2 ø 3 7 则z = -5´1=- . min 2 2 故选：D. 4. 等差数列 a  的前n项和为S ，若S =1，a +a =（ ） n n 9 3 7 7 2 A. -2 B. C. 1 D. 3 9 【答案】D 【解析】 第2页/共15页 学科网（北京）股份有限公司【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成a 和d来处理，亦可用等差数列的性质进行 1 处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 9´8 由S =1，根据等差数列的求和公式，S =9a + d =1Û9a +36d =1， 9 9 1 2 1 2 2 又a +a =a +2d +a +6d =2a +8d = (9a +36d)= . 3 7 1 1 1 9 1 9 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，a + a = a + a，由S =1，根据等差数列的求和公式， 1 9 3 7 9 9(a +a ) 9(a +a ) 2 S = 1 9 = 3 7 =1，故a +a = . 9 2 2 3 7 9 故选：D 方法三：特殊值法 1 2 不妨取等差数列公差d = 0 ，则S =1=9a Þa = ，则a +a =2a = . 9 1 1 9 3 7 1 9 故选：D 5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种； 于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意； 基本事件总数显然是A4 =24， 4 8 1 根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为 = . 24 3 故选：B y2 x2 6. 已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F 0,4,F 0,-4 ，点P-6,4 在该双曲 a2 b2 1 2 线上，则该双曲线的离心率为（ ） 第3页/共15页 学科网（北京）股份有限公司A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由焦点坐标可得焦距2c，结合双曲线定义计算可得2a，即可得离心率. 【详解】由题意，F 0,-4 、F 0,4 、P-6,4 ， 1 2 则 FF =2c=8， PF = 62 +4+42 =10， PF = 62 +4-42 =6， 1 2 1 2 2c 8 则2a = PF - PF =10-6=4，则e= = =2. 1 2 2a 4 故选：C. 7. 曲线 f x= x6 +3x-1在 0,-1 处的切线与坐标轴围成的面积为（ ） 1 3 1 3 A. B. C. D. - 6 2 2 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积. 【详解】 f¢x=6x5 +3，所以 f¢0=3，故切线方程为y =3(x-0)-1=3x-1， 1 1 1 1 故切线的横截距为 ，纵截距为-1，故切线与坐标轴围成的面积为 ´1´ = 3 2 3 6 故选：A. 8. 函数 f x=-x2 +  ex -e-x sinx在区间[-2.8,2.8]的大致图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 第4页/共15页 学科网（北京）股份有限公司【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入x=1可得 f 1>0，可排除D. 【详解】 f -x=-x2 +  e-x -ex sin-x=-x2 +  ex -e-x sinx= f x ， 又函数定义域为 -2.8,2.8 ，故该函数为偶函数，可排除A、C， æ 1ö æ 1ö π e 1 1 1 又 f 1=-1+ ç e- ÷ sin1>-1+ ç e- ÷ sin = -1- > - >0， è eø è eø 6 2 2e 4 2e 故可排除D. 故选：B. cosa æ πö 9. 已知 = 3，则tan ç a+ ÷ =（ ） cosa-sina è 4ø 3 A. 2 3+1 B. 2 3-1 C. D. 1- 3 2 【答案】B 【解析】 cosa 【分析】先将 弦化切求得tana，再根据两角和的正切公式即可求解. cosa-sina cosa 【详解】因为 = 3， cosa-sina 1 3 所以 = 3，Þtana=1- ， 1-tana 3 æ pö tana+1 所以tança+ ÷= =2 3-1， è 4ø 1-tana 故选：B. 原10题略 10. 设a、b是两个平面，m、n是两条直线，且a I b=m.下列四个命题： ①若m//n，则n//a或n//b ②若m^n，则n^a,n^b ③若n//a，且n//b，则m//n ④若n与a和b所成的角相等，则m^n 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 第5页/共15页 学科网（北京）股份有限公司【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当nÌa，因为m//n，mÌb，则n//b， 当nÌb，因为m//n，mÌa，则n//a， 当n既不在a也不在b内，因为m//n，mÌa,mÌb，则n//a且n//b，故①正确； 对②，若m^n，则n与a,b不一定垂直，故②错误； 对③，过直线n分别作两平面与a,b分别相交于直线s和直线t， 因为n//a，过直线n的平面与平面a的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知n//s， 同理可得n//t，则s//t，因为sË平面b，t Ì平面b，则s//平面b， 因为sÌ平面a，a b=m，则s//m，又因为n//s，则m//n，故③正确； I 对④，若aÇb=m,n与a和b所成的角相等，如果n//a,n//b，则m//n，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. π 9 11. 在 ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c，若B= ，b2 = ac，则sinA+sinC =（ ） V 3 4 3 7 3 A. B. 2 C. D. 2 2 2 【答案】C 【解析】 1 13 【分析】利用正弦定理得sinAsinC = ，再利用余弦定理有a2 +c2 = ac，再利用正弦定理得到 3 4 sin2 A+sin2C 的值，最后代入计算即可. p 9 4 1 【详解】因为B= ,b2 = ac，则由正弦定理得sinAsinC = sin2 B= . 3 4 9 3 第6页/共15页 学科网（北京）股份有限公司9 由余弦定理可得:b2 =a2 +c2 -ac = ac， 4 13 13 13 即:a2 +c2 = ac，根据正弦定理得sin2 A+sin2C = sin AsinC = ， 4 4 12 7 所以(sin A+sinC)2 =sin2 A+sin2C+2sin AsinC = ， 4 7 因为A,C 为三角形内角，则sin A+sinC >0，则sin A+sinC = . 2 故选：C. 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分． 原13题略 12. 函数 f x=sinx- 3cosx在 0,π 上的最大值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. æ πö π é π 2πù 【详解】 f x=sinx- 3cosx=2sin ç x- ÷，当xÎ0,π 时，x- Î ê - , ú ， è 3ø 3 ë 3 3 û π π 5π 当x- = 时，即x= 时， f x =2. 3 2 6 max 故答案为：2 1 1 5 13. 已知a >1， - =- ，则a =______． log a log 4 2 8 a 【答案】64 【解析】 【分析】将log a,log 4利用换底公式转化成log a来表示即可求解. 8 a 2 1 1 3 1 5 【详解】由题 - = - log a=- ，整理得log a2 -5log a-6=0， log a log 4 log a 2 2 2 2 2 8 a 2 Þlog a=-1或log a=6，又a >1， 2 2 所以log a=6=log 26，故a=26 =64 2 2 故答案为：64. 第7页/共15页 学科网（北京）股份有限公司14. 曲线y = x3-3x与y =-x-12 +a在 0,+¥ 上有两个不同的交点，则a的取值范围为______． 【答案】 -2,1 【解析】 【分析】将函数转化为方程，令x3-3x=-x-12 +a，分离参数a，构造新函数 gx= x3+x2 -5x+1,结合导数求得gx 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令x3-3x=-x-12 +a，即a = x3 +x2 -5x+1，令gx= x3+x2 -5x+1x>0, 则g¢x=3x2 +2x-5=3x+5x-1 ，令g¢x=0x>0 得x=1， 当xÎ0,1 时，g¢x<0，gx 单调递减， 当xÎ1,+¥ 时，g¢x>0，gx 单调递增，g0=1,g1=-2， 因为曲线y = x3-3x与y =-x-12 +a在 0,+¥ 上有两个不同的交点， 所以等价于y =a与gx 有两个交点，所以aÎ-2,1 . 故答案为： -2,1 三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17题第 21题为必 考题，每个考题考生必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60分． 15. 已知等比数列 a  的前n项和为S ，且2S =3a -3. n n n n+1 （1）求 a  的通项公式； n （2）求数列 S  的通项公式. n n-1 æ5ö 【答案】（1）a = ç ÷ n è3ø 第8页/共15页 学科网（北京）股份有限公司n 3æ5ö 3 （2） ç ÷ - 2è3ø 2 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用等比数列的求和公式可求S . n 【小问1详解】 因为2S =3a -3,故2S =3a -3， n n+1 n-1 n 5 所以2a =3a -3a n³2 即5a =3a 故等比数列的公比为q= ， n n+1 n n n+1 3 5 æ5ö n-1 故2a 1 =3a 2 -3=3a 1 ´ 3 -3=5a 1 -3，故a 1 =1，故a n = ç è3 ÷ ø . 【小问2详解】 é æ5ö nù 1´ê1- ç ÷ ú 由等比数列求和公式得 êë è3ø úû 3æ5ö n 3 . S = = - ç ÷ n 5 2è3ø 2 1- 3 16. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形， BC //AD,EF //AD，AD=4,AB= BC = EF =2，ED= 10,FB=2 3，M 为AD的中点. （1）证明：BM//平面CDE； （2）求点M 到ABF 的距离. 【答案】（1）证明见详解； 6 13 （2） 13 【解析】 【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证BM//CD，进而得证； 第9页/共15页 学科网（北京）股份有限公司（2）作FO ^ AD，连接OB，易证OB,OD,OF三垂直，结合等体积法V =V 即可求解. M-ABF F-ABM 【小问1详解】 因为BC//AD,BC =2,AD=4,M 为AD的中点，所以BC//MD,BC = MD， 四边形BCDM 为平行四边形，所以BM//CD， 又因为 BM Ë 平面CDE，CDÌ平面CDE，所以BM//平面CDE； 【小问2详解】 如图所示，作 BO ^ AD交 AD于O，连接OF ，因为四边形 ABCD为等腰梯形， BC//AD,AD=4, AB= BC =2，所以CD=2， 结合（1）BCDM 为平行四边形，可得BM =CD=2， 又AM =2，所以 ABM 为等边三角形，O为AM 中点，所以OB= 3， V 又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD中点，所以EF =MD,EF//MD， 四边形EFMD为平行四边形，FM = ED= AF ，所以△AFM 为等腰三角形， V ABM 与△AFM 底边上中点O重合，OF ^ AM ，OF = AF2 -AO2 =3， 因为OB2 +OF2 = BF2，所以OB^OF ，所以OB,OD,OF互相垂直， 1 1 3 由等体积法可得V =V ，V = S ×FO= × ×22×3= 3， M-ABF F-ABM F-ABM 3 △ABM 3 4  2  2 FA2 + AB2 -FB2 10 +22 - 2 3 1 39 ， cosÐFAB= = = ,sinÐFAB= 2FA×AB 2× 10×2 2 10 2 10 1 1 39 39 S = FA×AB×sinÐFAB= × 10×2× = ， △FAB 2 2 2 10 2 1 1 39 设点M 到FAB的距离为d，则V =V = ×S ×d = × ×d = 3， M-FAB F-ABM 3 △FAB 3 2 6 13 6 13 解得d = ，即点M 到ABF 的距离为 . 13 13 第10页/共15页 学科网（北京）股份有限公司17. 已知函数 f x=ax-1-lnx+1． （1）求 f x 的单调区间； （2）若a£2时，证明：当x>1时， f x1时，ex-1-2x+1+lnx>0即可. 【小问1详解】 1 ax-1 f(x)定义域为(0,+¥)， f¢(x)=a- = x x ax-1 当a£0时， f¢(x)= <0，故 f(x)在(0,+¥)上单调递减； x æ1 ö 当a>0时，xÎ ç ,+¥ ÷时， f¢(x)>0， f(x)单调递增， èa ø æ 1ö 当xÎ ç 0, ÷时， f¢(x)<0， f(x)单调递减. è aø 综上所述，当a£0时， f(x)在(0,+¥)上单调递减； æ1 ö æ 1ö a>0时， f(x)在ç ,+¥ ÷上单调递增，在ç 0, ÷上单调递减. èa ø è aø 【小问2详解】 a£2，且x>1时，ex-1- f(x)=ex-1-a(x-1)+lnx-1³ex-1-2x+1+lnx， 令g(x)=ex-1-2x+1+lnx(x>1)，下证g(x)>0即可. 1 1 g¢(x)=ex-1-2+ ，再令h(x) = g¢(x)，则h¢(x)=ex-1- ， x x2 显然h¢(x)在(1,+¥)上递增，则h¢(x)>h¢(1)=e0 -1=0， 第11页/共15页 学科网（北京）股份有限公司即g¢(x)=h(x)在(1,+¥)上递增， 故g¢(x)> g¢(1)=e0 -2+1=0，即g(x)在(1,+¥)上单调递增， 故g(x)> g(1)=e0 -2+1+ln1=0，问题得证 x2 y2 æ 3ö 18. 设椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F ，点Mç1, ÷在C上，且MF ^x轴． a2 b2 è 2ø （1）求C的方程； （2）过点P4,0 的直线与C交于A,B两点，N 为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证 明：AQ^ y轴． x2 y2 【答案】（1） + =1 4 3 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设Fc,0 ，根据M 的坐标及MF ^ x轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设 AB: y =k(x-4)， Ax ,y  ， Bx ,y  ，联立直线方程和椭圆方程，用 A,B的坐标表示 1 1 2 2 y - y ，结合韦达定理化简前者可得y - y =0，故可证AQ^ y轴. 1 Q 1 Q 【小问1详解】 b2 3 a2 -1 3 设Fc,0 ，由题设有c=1且 = ，故 = ，故a=2，故b= 3， a 2 a 2 x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 【小问2详解】 直线AB的斜率必定存在，设AB: y =k(x-4)，Ax ,y  ，Bx ,y  ， 1 1 2 2 ì3x2 +4y2 =12 由í 可得  3+4k2 x2 -32k2x+64k2 -12=0， îy =k(x-4) 第12页/共15页 学科网（北京）股份有限公司1 1 故Δ=1024k4 -4  3+4k2 64k2 -12  >0，故- 0，故a< 1， 3 \ AB = s -s = s +s 2 -4ss = 8a-12 -8(a2 -1) =2，解得a= . 1 2 1 2 1 2 4 ìy = x+a 法2：联立í ，得x2 +(2a-2)x+a2 -1=0， îy2 =2x+1 Δ=(2a-2)2 -4  a2 -1  =-8a+8>0，解得a< 1， 第14页/共15页 学科网（北京）股份有限公司设Ax ,y ,Bx ,y  ,\x +x =2-2a,x x =a2 -1， 1 1 2 2 1 2 1 2 则 AB = 1+12 × x +x 2 -4x x = 2× (2-2a)2 -4  a2 -1  =2， 1 2 1 2 3 解得a= 4 20. 实数a,b满足a+b³3． （1）证明：2a2 +2b2 >a+b； （2）证明： a-2b2 + b-2a2 ³6． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用2a2 +2b2 ³(a+b)2即可证明. （2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明. 【小问1详解】 因为2a2 +2b2 -a+b2 =a2 -2ab+b2 =a-b2 ³0， 当a =b时等号成立，则2a2 +2b2 ³(a+b)2， 因为a+b³3，所以2a2 +2b2 ³(a+b)2 >a+b; 【小问2详解】 a-2b2 + b-2a2 ³ a-2b2 +b-2a2 = 2a2 +2b2 -(a+b) =2a2 +2b2 -(a+b)³(a+b)2 -(a+b)=(a+b)(a+b-1)³3´2=6 第15页/共15页 学科网（北京）股份有限公司