文档内容
数论-整除-整除的基本概念-5 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
整除的基本概念 A 1、了解整除的定义。 少考
2、会判定一个数能不能被另一个数
整除。
知识提要
整除的基本概念
定义
如果整数 a 除以整数 b（b ≠ 0），除得的商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b
整除，也可以说 b 能整除 a ，记作 b∣a ．
注意：如果除得的结果有余数，我们就说 a 不能被 b 整除，也可以说 b 不能整
除 a ．
整除的性质
性质1：如果 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和与差也能被 c 整除。
性质2：如果 b 与 c 的积能整除 a ，那么b与c都能整
除 a 。
性质3：如果 b 、 c 都能整除 a ，且 b 和 c 互
质，那么 b 与 c 的积能整除 a 。
性质4：如果 c 能整除 b ， b 能整除 a ，那么 c
能整除 a 。精选例题
整除的基本概念
1. 表中第 1 行是把 1～100 的整数依次全部排列出来，然后从第 2 行起是根据规律一直排
到最后的第 100 行．请问：这个表中一共有多少个数能被 77 整除？
【答案】 62
【分析】 在这个表里，有的数字的正下方写着比它大 4 的数．
假如，某数字是不能被 77 整除的数字，那么不管它被 4 乘多少回，也不能被 77
整除．于是我们得知不能被 77 整除的数字下面写的数字都不能被 77 整除．那么，如果某
数字是可以被 77 整除，不管乘多少回 4，得出的数字都可以被 77 整除．可被 77 整除的
数字下面都可以被 77 整除．题目的表中从左右两边第 N 个的下面写着 N 个整数．表的第
一行从右数第 24 个是 77，在它下面写的 24 个整数都可以被 77 整除．另外，从左数第
二行第 38 个是 38+39=77，所以在它下面写的 38 个整数都可以被 77 整除．在表的第
一行和第二行里除此之外再没有可以被 77 整除的数了．从整个表来看，除了上述的
24+38=62 个以外，再也没有可以被 77 整除的数了，所以答案为 62．2. 我们将具有如下性质的自然数 K 称为“高思数”：如果一个整数 M 能被 K 整除，则
把 M 的各位数字按相反顺序重写时所得到的数也能被 K 整除，请求出所有的“高思数”．
【答案】 1、3、9、11、33、99
【分析】 易知，1 必为“高思数”；因为一个数反序重写数字和不变，所以 3、9
为“高思数”；因为一个数反序重写奇位和与偶位和之差也不变，所以 11 为“高思数”，由
整除规律，33、99 也是“高思数“．除此之外，感觉是没有了，下面给出证明．
引理（可以看做是先证明一个小结论）：对于任意的不含 2 或 5 的正整数 n，形如 1、11、
111、1111、…的数中一定有无数个是 n 的倍数．
证明：由于 1,11,111,1111,⋯,11⋯1 这 n+1 个数中一定存在 2 个数关于 n 同余，那么
¿
这两个数的差一定是 n 的倍数，而这两个数的差是形如 11⋯100⋯0 的数，说明 11⋯1
¿ ¿ ¿
是 n 的倍数，同理可得这里面有无数个数是 n 的倍数．
首先说明“高思数”的个位数字只能是 1、3、7、9．因为，“高思数”肯定不是偶数，否则
肯定能得到它的某个倍数的首位是 1，那么这个偶数就无法整除这个倍数的反序数．同理，
“高思数”的个位数字也不能是 5．所以“高思数”的个位数字只能是 1、3、7、9．
若 K 是“高思数”，根据引理得一定存在某个自然数 l 使得 K∣11⋯1 ，那么
¿
K∣77⋯7
，进一步得
K∣77⋯100⋯0+77⋯1
，即
K∣77⋯78477⋯7
，利用“高思
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
数”的性质得
K∣77⋯74877⋯7
，利用整除的性质得
¿ ¿
K∣77⋯78477⋯7-77⋯74877⋯7
，即
K∣9900⋯0
．因为“高思数”的个位数字只
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
能是 1、3、7、9，所以“高思数”分解质因数后一定不含质因数 2 和 5，故 K∣99，所以
K 只可能是 1、3、9、11、33、99，经验证这 6 个都是“高思数”，至此已求出所有的
“高思数”．
3. 试求不大于 100，且使 3n+7n+4 能被 11 整除的所有自然数 n 的和．
【答案】 1480
【分析】 通过逐次计算，可以求出 3n 被 11 除的余数，依次为：31 为 3，32 为
9，33 为 5，34 为 4，35 为 1，⋯，因而 3n 被 11 除的余数 5 个构成一个周期：3，9，
5，4，1，3，9，5，4，1，⋯；类似地，可以求出 7n 被 11 除的余数 10 个构成一个周
期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，⋯；于是 3n+7n+4 被 11 除的余数也是 10 个
构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，⋯；这就表明，每一个周期中，只有第
3、4、6 个这三个数满足题意，即 n=3,4,6,13,14,16,⋯,93,94,96 时 3n+7n+4 能被 11
整除，所以，所有满足条件的自然数 n 的和为：
3+4+6+13+14+16+⋯+93+94+96
13+43+⋯+283¿=¿1480.¿
¿
4. 有 3 个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能
被第三个数整除．请问：满足上述条件的 3 个自然数之和最小是多少？【答案】 31
【分析】 先证明这 3 个数每个都至少含有 2 种质因数．
证法一：假设这三个数为 A、B、C，其中 A 只有一种质因数 p，那么 B 不可能只有质因
数 p，否则 B 和 A 必定是倍数关系，同理，C 也不可能只有质因数 p．
根据 C∣AB，假设 C 有除 p 以外其他质因数 q，可以得到 q∣B，同理，C 所有除了 p
以外的质因数都是 B 的质因数；再根椐 B∣CA，同理得，B 所有除了 p 以外的质因数也
是 C 的质因数，那么 B、C 必定是倍数关系，与题意矛盾．所以这 3 个数中不可能出现只
含 1 种质因数的数，即每个都至少含有 2 种质因数．
证法二：假设这三个数为 A、B、C，其中 A 只有一种质因数 p，设 A=pa．因为
A∣BC，所以乘积 BC 中一定含有质因数 p；但 A 不能整除 B，也不能整除 C，说明 B、
C 中都含有 p，且次数都低于 a；又 B 不能整除 A，C 也不能整除 A，所以 B、C 中
都含打除了 p 以外的质因数，设 B=▫ ×pb ，C=▫ ×pb ，其中 ▫ 表示 B 分解质因数后不
b c b
包含 p 的部分，▫ 同理．
c
因为 B∣AC，所以 ▫ ∣▫ ；同理，因为 C∣AB，所以 ▫ ∣▫ ，说明 ▫ =▫ ，那么 B 和 C
b c c b c b
是倍数关系，与题意矛盾．所以这 3 个数中不可能出现只含 1 种质因数的数，即每个都至
少含行 2 种质因数．
若这三个数里一共恰有 2 种质因数，最小为 2 和 3，最小符合题意的情况是 22×32、
2×33、23×3，和为 36+54+24=114；
若这三个数里一共恰有 3 种质因数，最小为 2、3、5，最小符合题意的情况是 2×3、2×5、
3×5，和为 6+10+15=31；
若这三个数里一共恰有 4 种质因数，最小为 2、3、5、7，在不考虑题意的情况下，3 个不
同的各含两种质因数的数最小是 2×3、2×5、2×7，和为 30，但这组不符合题意，很明显
如果要符合题意，和肯定大于 31；
若这三个数里一共恰有 5 种质因数，最小为 2、3、5、7、11，在不考虑题意的情况下，3
个不同的各含两种质因数的数最小是 2×7、2×11、3×5，和为 51，大于 31；
很明显，当含有的质因数种类再增多时，三个数的和肯定都大于 31；
综上，满足上述条件的 3 个自然数之和最小是 31．
5. 某住宅区有 12 家住户，他们的门牌号分别是 1,2,3,⋯,12．他们的电话号码依次是 12
个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除．已知这些电话的首位
数字都小于 6，并且门牌号码是 9 的这一家的电话号码能被 13 整除．请问：这一家的电话
号码是多少？
【答案】 388089
【分析】 设第一家住户的电话号码为 n+1，则
1∣n+1,2∣n+2,3∣n+3,⋯,12∣n+12, 由此可知 n 能被 1∼12 同时整除，而 1∼12
的最小公倍数为 23×32×5×7×11=27720，则 n=27720m，其中 m 为正整数．由条件
“门牌号码是 9 的这一家的电话号码能被 13 整除”可得，13∣27720m+9．而
27720m+9≡4m+9(mod13)，所以 m=14 时满足条件，这一家的电话号码为
27720×14+9=388089．6. 小明与小华玩游戏，规则如下：开始每人都是 1 分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分
数乘以 3，输的小朋友保持分数不变，最后小明获胜，他比小华多的分数是 99 的倍数，那
么他们至少玩了多少局？
【答案】 9
【分析】 设小明和小华最后的分数分别为 3a 和 3b，其中 a>b，所以
99∣3a-3b=3b [3(a-b)-1]．因为 [3(a-b)-1] 和 3 互质，所以 b 最小为 2 且有
11∣3(a-b)-1，经尝试，a-b 最小为 5 的时候符合，所以小华最少玩了 2 局，小明 7 局，
一共 9 局．
7. 已知 M、N 是互为反序的两个三位数，且 M>N．请问：
（1）如果 M 和 N 的最大公约数是 7，求 M；
（2）如果 M 和 N 的最大公约数是 21，求 M．
【答案】 （1）952；（2）861
【分析】 （1）设这两个三位数分别为 M=abc、N=cba（M>N），那么
{a=8, {a=9,
7∣M-N=99(a-c)，所以 或 经枚举验证只有 M=952 时符合最大公约
c=1, c=2,
数是 7．
（2）设这两个三位数分别为 M=abc、N=cba(M>N)，那么 7∣M-N=99(a-c)，所
{a=8, {a=9,
以 或 经枚举验证只有 M=861 时符合最大公约数是 21．
c=1, c=2,
8. 定义运算“⊙”如下：
对于两个自然数 a 和 b，它们的最大公约数与最小公倍数的差记为 a⊙b．
比如：10 和 14，最小公倍数为 70，最大公约数为 2，则 10⊙14=70-2=68．
（1）求 12⊙21，5⊙15；
（2）说明，如果 c 整除 a 和 b，则 c 也整除 a⊙b；如果 c 整除 a 和 a⊙b，则 c
也整除 b；
（3）已知 6⊙x=27，求 x 的值．
【答案】 （1）81；10；
（2）见解析；
（3）x=15
【分析】 （1）为求 12⊙21，先求出 12 与 21 的最小公倍数和最大公约数分别为
84，3，
因此 12⊙21=84-3=81，同样道理 5⊙15=15-5=10．（2）如果 c 整除 a 和 b，那么 c 是 a 和 b 的公约数，则 c 整除 a,b 的最大公约数，
显然 c 也整除 a,b 最小公倍数，所以 c 整除最小公倍数与最大公约的差，即 c 整除
a⊙b．
如果 c 整除 a 和 a⊙b，由 c 整除 a 推知 c 整除 a,b 的最小公倍数，再由 c 整除
a⊙b 推知，整除 a,b 的最大公约数，而这个最大公约数整除 b，所以 c 整除 b．
（3）由于运算“⊙”没有直接的表达式，解这个方程有一些困难，我们设法逐步缩小探索范
围．因为 6 与 x 的最小公倍数不小于 27+1=28，不大于 27+6=33，而 28 到 33 之间，
只有 30 是 6 的倍数，可见 6 和 x 的最小公倍数是 30，因此它们的最大公约数是
30-27=3．由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积 = 这两个数的积”，得到
30×3=6×x．所以 x=15．
9. 有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 1 号到 15 号，1 号同学写了一个自然数，
其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除．1 号作了检验：只有编号连续的两位同学说
的不对，其余同学都对，问：
（1）说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？
（2）如果告诉你 1 号写的数是五位数，请找出这个数．
【答案】 （1）8 和 9；（2）60060
【分析】 （1）为了表达方便，不妨设 1 号同学写的自然数为 a．根据 2～15 号
同学所述结论，2∼15 中只有两个连续的自然数不能整除 a，其他的数都能整除 a．由于
2∼7 中的每一个数的 2 倍都在 15 以内，如果 2∼7 中有某个数不能整除 a，那么这个
数的 2 倍也不能整除 a，然而 2∼7 中的这个数与它的 2 倍不可能是两个连续的自然数，
所以 2∼7 中每一个数都是 a 的约数．由于 2 与 5 互质，那么 2×5=10 也是 a 的约数．
同理可知，12、14、15 也都是 a 的约数．还剩下的四个数为 8、9、11、13，只有 8、9
是两个连续的自然数，所以说的不对的两位同学，他们的编号分别是 8 和 9．
（2）1 号同学所写的自然数能被 2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15 这 12
个数整除，也就是它们的公倍数．它们的最小公倍数是：22×3×5×7×11×13=60060．因
为 60060 是一位五位数，而这 12 个数的其他公倍数都是它们的最小公倍数 60060 的倍数，
且最小为 2 倍，所以均不是五位数，那么 1 号同学写的五位数是 60060．
10. 请将 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11 按合适的顺序写成一行，使得这一行数中
的任何一个都是它前面所有数之和的约数．
【答案】 其中一个答案是 6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11．
【分析】 设填好后的数从左往右依次为 a ,a ,⋯,a , 所有数的和为 66，那么有
1 2 11
a ∣66-a ，故 a ∣66，可以设 a =11，则其余数的和为 55，那么倒数第二个数肯定是
11 11 11 11
55 的约数，可以填 5；还剩 50，那么倒数第三个数肯定是 50 的约数，可以填 10，最后
经过尝试得到 6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11 和 8、1、9、3、7、2、6、4、10、
5、11 等答案．
观察 6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11 这组答案，可以发现一个一般的规律：
若所给数是 1∼2n+1，则 n+1，1，n+2，2，⋯，2n，n，2n+1 符合题意；
若所给数是 1∼2n，则 n+1，1，n+2，2，⋯，2n，n 符合题意．
