26秋十 9月月考真题 补充练习5 讲解与解析(附手写识别文字解析)

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26秋十 · 9月月考真题 补充练习 · 手写解答

第 5 节 · 练习 5 · 共 5 题

第 5 节 · 练习 5

第 1 题

▍题目

某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有 75 人听了数学讲座，68 人听了历史讲座，61 人听了音乐讲座，17 人同时听了数学、历史讲座，12 人同时听了数学、音乐讲座，9 人同时听了历史、音乐讲座，还有 6 人听了全部讲座。求听讲座的人数。

▍答案

听讲座的人数为 172 人。

▍解析

设听数学、历史、音乐讲座的人分别为集合 𝐴、𝐵、𝐶，则 |𝐴|=75，|𝐵|=68，|𝐶|=61，

|𝐴∩ 𝐵|=17，|𝐴∩ 𝐶|=12，|𝐵∩ 𝐶|=9，|𝐴∩ 𝐵∩ 𝐶|=6。

由容斥原理：|𝐴∪ 𝐵∪ 𝐶|=|𝐴|+|𝐵|+|𝐶|−|𝐴∩ 𝐵|−|𝐴∩ 𝐶|−|𝐵∩ 𝐶|+|𝐴∩ 𝐵∩ 𝐶|

=75+68+61−17−12−9+6=204−38+6=172。

答：听讲座的人数共 172 人。

第 2 题

▍题目

定义 𝑏−𝑎 叫做集合 {𝑥| 𝑎≤ 𝑥≤ 𝑏} 的长度。已知集合 𝑀={𝑥| 𝑥²−2𝑚𝑥−3𝑚²≤ 0}，集合 𝑁={𝑥| 𝑥²+𝑚𝑥−2𝑚²≤ 0}，若集合 𝑀∩ 𝑁 的长度为 2，则 𝑀∪ 𝑁 的长度为（C）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 10

▍答案

C（长度为 5）

▍解析

𝑀：𝑥²−2𝑚𝑥−3𝑚²≤ 0 即 (𝑥−3𝑚)(𝑥+𝑚)≤ 0；𝑁：𝑥²+𝑚𝑥−2𝑚²≤ 0 即 (𝑥+2𝑚)(𝑥−𝑚)≤ 0。

当 𝑚>0 时，𝑀=[−𝑚,3𝑚]，𝑁=[−2𝑚,𝑚]，𝑀∩ 𝑁=[−𝑚,𝑚] 的长度为 2𝑚=2，得 𝑚=1；

当 𝑚<0 时，𝑀=[3𝑚,−𝑚]，𝑁=[𝑚,−2𝑚]，𝑀∩ 𝑁=[𝑚,−𝑚] 的长度为 −2𝑚=2，得 𝑚=−1；

（𝑚=0 时长度为 0，舍去。）

∴ 𝑀∪ 𝑁 的长度为 |3𝑚−(−2𝑚)|=|5𝑚|=5，故选 C。

第 3 题

▍题目

设 𝑎₁，𝑎₂，𝑎₃，𝑎₄ 是 4 个有理数，且 {𝑎ᵢ𝑎ⱼ| 1≤ 𝑖<𝑗≤ 4}={−18,−3,−1,−16,12,6}，则 𝑎₁𝑎₂𝑎₃𝑎₄= 3。

▍答案

𝑎₁𝑎₂𝑎₃𝑎₄=3

▍解析

六个两两乘积恰为 {𝑎ᵢ𝑎ⱼ} 的全部元素，其中每个 𝑎ᵢ 都出现了 3 次。

∴ (𝑎₁𝑎₂𝑎₃𝑎₄)³=(−18)×(−3)×(−1)×(−16)× 12× 6=27。

∴ 𝑎₁𝑎₂𝑎₃𝑎₄=3。

第 4 题

▍题目

Labubu 已然成为 2025 年年轻人的新宠。现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为 15 万元，每生产 𝑥 千件需另投入 𝑐(𝑥) 万元，其中 𝑐(𝑥) 与 𝑥 的关系为：当 0<𝑥<20，𝑥∈ ℕ* 时，𝑐(𝑥)=𝑎𝑥²+𝑏𝑥；当 𝑥≥ 20，𝑥∈ ℕ* 时，𝑐(𝑥)=22𝑥+𝑐𝑥−2−950。且函数 𝑐(𝑥) 的图象过 𝐴(3,9)，𝐵(6,24)，𝐶(82,1054) 三点。通过市场分析，公司决定每千件 Labubu 售价定为 12 万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完。

(1) 求 𝑎，𝑏，𝑐 的值，并写出年利润 𝐿(𝑥)（万元）关于年产量 𝑥（千件）的函数解析式；

(2) 当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润。

▍答案

(1) 𝑎=13，𝑏=2，𝑐=16000；𝐿(𝑥) 解析式见解析。

(2) 当年产量为 42 千件时年利润最大，最大年利润为 115 万元。

▍解析

(1) 把 𝐴(3,9)、𝐵(6,24) 代入 𝑐(𝑥)=𝑎𝑥²+𝑏𝑥：9𝑎+3𝑏=9，36𝑎+6𝑏=24，即 3𝑎+𝑏=3，6𝑎+𝑏=4，解得 𝑎=13，𝑏=2。

把 𝐶(82,1054) 代入第二段：22× 82+𝑐82−2−950=1054，即 1804+𝑐80−950=1054，解得 𝑐=16000。

∴ 0<𝑥<20 时 𝑐(𝑥)=13𝑥²+2𝑥；𝑥≥ 20 时 𝑐(𝑥)=22𝑥+16000𝑥−2−950。

年利润 𝐿(𝑥)=12𝑥−𝑐(𝑥)−15：当 0<𝑥<20 时 𝐿(𝑥)=−13𝑥²+10𝑥−15；当 𝑥≥ 20 时 𝐿(𝑥)=−10𝑥−16000𝑥−2+935。

(2) ① 当 0<𝑥<20 时，𝐿(𝑥)=−13(𝑥−15)²+60，故 𝑥=15 时 𝐿(𝑥) 取最大值 60 万元。

② 当 𝑥≥ 20 时，𝐿(𝑥)=−10(𝑥+1600𝑥−2)+935=−10[(𝑥−2)+1600𝑥−2]+915；

∵ (𝑥−2)+1600𝑥−2≥ 2√1600=80，∴ 𝐿(𝑥)≤ −800+915=115，当且仅当 𝑥−2=1600𝑥−2，即 𝑥=42 时取等号。

综上，当年产量为 42 千件时年利润最大，最大年利润为 115 万元。

第 5 题

▍题目

已知集合 𝑀={𝑥| 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐≤ 0}。

(1) 若 𝑎=𝑐=1 且 𝑀=∅，求实数 𝑏 的取值范围；

(2) 若 𝑐=−1，𝑏=𝑎−1，求集合 𝑀；

(3) 若 𝑀={𝑥| 𝑥=−𝑏2𝑎}，且关于 𝑥 的不等式 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐≤ 4 的解集为 {𝑥| 𝑚≤ 𝑥≤ 𝑚+4}，求实数 𝑎 的值。

▍答案

(1) 𝑏∈(−2,2)；

(2) 𝑎=0 时 𝑀=[−1,+∞)；𝑎>0 时 𝑀=[−1,1𝑎]；𝑎=−1 时 𝑀=ℝ；−1<𝑎<0 时 𝑀=(−∞,1𝑎]∪[−1,+∞)；𝑎<−1 时 𝑀=(−∞,−1]∪[1𝑎,+∞)；

(3) 𝑎=1。

▍解析

(1) 𝑎=𝑐=1 时 𝑀 即 𝑥²+𝑏𝑥+1≤ 0 的解集，𝑀=∅ 等价于 Δ=𝑏²−4<0，得 −2<𝑏<2。

(2) 𝑐=−1，𝑏=𝑎−1 时，𝑀 为 𝑎𝑥²+(𝑎−1)𝑥−1≤ 0 的解集，即 (𝑎𝑥−1)(𝑥+1)≤ 0。

① 𝑎=0 时，−(𝑥+1)≤ 0，得 𝑥≥ −1，𝑀=[−1,+∞)；

② 𝑎>0 时，−1≤ 𝑥≤ 1𝑎，𝑀=[−1,1𝑎]；

③ 𝑎<0 时化为 (𝑥−1𝑎)(𝑥+1)≥ 0：𝑎=−1 时 (𝑥+1)²≥ 0 恒成立，𝑀=ℝ；−1<𝑎<0 时 1𝑎<−1，𝑀=(−∞,1𝑎]∪[−1,+∞)；𝑎<−1 时 1𝑎>−1，𝑀=(−∞,−1]∪[1𝑎,+∞)。

(3) 由 𝑀={𝑥| 𝑥=−𝑏2𝑎} 知 𝑎>0，且 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐≥ 0 恒成立、等号仅在 𝑥=−𝑏2𝑎 处取到，即 Δ=𝑏²−4𝑎𝑐=0，𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐=𝑎(𝑥+𝑏2𝑎)²。

此时 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐≤ 4 即 𝑎(𝑥+𝑏2𝑎)²≤ 4，得 |𝑥+𝑏2𝑎|≤ 2√𝑎，解集的长度为 4√𝑎=4，

∴ √𝑎=1，𝑎=1。

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