26秋十 9月月考真题 补充练习1 讲解与解析(附手写识别文字解析)

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26秋十 · 9月月考真题 补充练习 · 手写解答

第 1 节 · 练习 1 · 共 5 题

第 1 节 · 练习 1

第 1 题

▍题目

1. 若 𝑃=√𝑎+3+√𝑎+5，𝑄=√𝑎+1+√𝑎+7（𝑎≥ 0），则 𝑃、𝑄 的大小关系是（B）

A. 𝑃=𝑄

B. 𝑃>𝑄

C. 𝑃<𝑄

D. 由 𝑎 的取值确定

▍答案

B（𝑃>𝑄）

▍解析

∵ 𝑎≥ 0，∴ 𝑃>0，𝑄>0。

𝑃²=𝑎+3+2√(𝑎+3)(𝑎+5)+𝑎+5=2𝑎+8+2√𝑎²+8𝑎+15；

𝑄²=𝑎+1+2√(𝑎+1)(𝑎+7)+𝑎+7=2𝑎+8+2√𝑎²+8𝑎+7。

∵ 𝑎²+8𝑎+15>𝑎²+8𝑎+7，∴ 𝑃²>𝑄²；又 𝑃>0，𝑄>0，∴ 𝑃>𝑄。

第 2 题

▍题目

(多选) 3. 下列说法中正确的为（BCD）

A. 当 𝑥>0，𝑦>0 时，1𝑥+1𝑦≤ 2√𝑥𝑦

B. |𝑥+2|+1|𝑥+2| 的最小值为 2

C. 若非负实数 𝑥、𝑦 满足 𝑥+𝑦=1，则 √𝑥+1+√𝑦+2 的最大值为 2√2

D. 若第一象限的点 (𝑎,𝑏) 的坐标是方程 1𝑥+1𝑦=1 的一组解，则 1𝑎²+2𝑏² 的最小值为 23

▍答案

BCD

▍解析

A：1𝑥+1𝑦≤ 2√𝑥𝑦 等价于 𝑥+𝑦𝑥𝑦≤ 2√𝑥𝑦，即 𝑥+𝑦≤ 2√𝑥𝑦，也就是 (√𝑥−√𝑦)²≤ 0，只当 𝑥=𝑦 时才成立，故 A 错误。

B：|𝑥+2|+1|𝑥+2|≥ 2√|𝑥+2|· 1|𝑥+2|=2，当且仅当 |𝑥+2|=1|𝑥+2|，即 (𝑥+2)²=1，𝑥=−1 或 𝑥=−3 时取等，故 B 正确。

C：由 (𝑚+𝑛)²≤ 2(𝑚²+𝑛²) 得 (√𝑥+1+√𝑦+2)²≤ 2[(𝑥+1)+(𝑦+2)]=2(𝑥+𝑦+3)=8，故 √𝑥+1+√𝑦+2≤ 2√2；当且仅当 √𝑥+1=√𝑦+2，结合 𝑥+𝑦=1、𝑥,𝑦≥ 0 得 𝑥=1、𝑦=0 时取等，故 C 正确。

D：由 1𝑎+1𝑏=1 得 1𝑎=1−1𝑏。令 𝑡=1𝑏，则 1𝑎²+2𝑏²=(1−𝑡)²+2𝑡²=3𝑡²−2𝑡+1=3(𝑡−13)²+23，故最小值为 23（此时 𝑡=13，即 𝑏=3，𝑎=32），D 正确。

第 3 题

▍题目

已知命题 𝑝：∃ 𝑚∈{𝑚| −1≤ 𝑚≤ 1}，𝑎²−5𝑎+3<𝑚+2。若 𝑝 是假命题，则实数 𝑎 的取值范围是 (−∞,0]∪[5,+∞)。

▍答案

𝑎∈(−∞,0]∪[5,+∞)

▍解析

𝑝 为假命题，则 ¬ 𝑝 为真：∀ 𝑚∈[−1,1]，𝑎²−5𝑎+3≥ 𝑚+2 恒成立。

即 𝑎²−5𝑎+3≥ (𝑚+2)ₘₐₓ=3，得 𝑎²−5𝑎≥ 0，即 𝑎(𝑎−5)≥ 0。

∴ 𝑎≤ 0 或 𝑎≥ 5，即 𝑎∈(−∞,0]∪[5,+∞)。

第 4 题

▍题目

用 𝐶(𝐴) 表示非空集合 𝐴 中的元素个数，定义 𝐴*𝐵=|𝐶(𝐴)−𝐶(𝐵)|。已知集合 𝐴={𝑥| 𝑥²−1=0}，𝐵={𝑥| (𝑎𝑥²+3𝑥)(𝑥²+𝑎𝑥+2)=0}，若 𝐴*𝐵=1，则实数 𝑎 的取值可能是 0,3,−3,2√2,−2√2。

▍答案

𝑎∈{0,3,−3,2√2,−2√2}

▍解析

由 𝑥²−1=0 得 𝑥=± 1，故 𝐴={1,−1}，𝐶(𝐴)=2。由 𝐴*𝐵=1 知 𝐶(𝐵)=1 或 3。

𝐵 中：𝑥(𝑎𝑥+3)(𝑥²+𝑎𝑥+2)=0，显然 0∈ 𝐵。

① 若 𝐶(𝐵)=1，则 𝐵={0}，需 𝑎𝑥+3≠ 0 且 𝑥²+𝑎𝑥+2≠ 0 恒成立，即 𝑎=0 且 Δ=𝑎²−8<0，得 𝑎=0。

② 若 𝐶(𝐵)=3：当 𝑎≠ 0 时，𝑎𝑥+3=0 给出一根 𝑥₁=−3𝑎，𝑥²+𝑎𝑥+2=0 给出两根 𝑥₂、𝑥₃，共需 3 个不同元素。

情形一：𝑥₂=𝑥₃≠ 𝑥₁，即 Δ=𝑎²−8=0，𝑎=± 2√2，此时 𝑥₂=𝑥₃=∓√2，与 𝑥₁ 不同，成立。

情形二：𝑥₁=𝑥₂≠ 𝑥₃，把 𝑥=−3𝑎 代入 𝑥²+𝑎𝑥+2=0 得 9𝑎²−3+2=0，𝑎²=9，𝑎=± 3，此时 Δ=𝑎²−8>0，𝑥₂≠ 𝑥₃，成立。

综上，𝑎∈{0,3,−3,2√2,−2√2}。

第 5 题

▍题目

记关于 𝑥 的不等式 𝑎𝑥²−(𝑎+1)𝑥+1>(2−𝑎)𝑥−1 的解集为 𝐸。

(1) ① 若 𝐸={𝑥| 𝑥<1 或 𝑥>𝑏}，求实数 𝑎、𝑏 的值；② 当 𝑥>0，𝑦>0 且满足 𝑎𝑥+𝑏𝑦=1 时，2𝑥+𝑦≥ 𝑘²+𝑘+2 恒成立，求 𝑘 的取值范围；

(2) 求关于 𝑥 的不等式 𝑎𝑥²−(𝑎+1)𝑥+1<0 的解集。

▍答案

(1) ① 𝑎=1，𝑏=2；② 𝑘∈[−3,2]；

(2) 𝑎=1 时解集为 ∅；𝑎<0 时解集为 (−∞,1𝑎)∪(1,+∞)；𝑎=0 时解集为 (1,+∞)；0<𝑎<1 时解集为 (1,1𝑎)；𝑎>1 时解集为 (1𝑎,1)。

▍解析

原不等式化为 𝑎𝑥²−(𝑎+1)𝑥+1−(2−𝑎)𝑥+1>0，即 𝑎𝑥²−3𝑥+2>0。

(1) ① 由 𝐸={𝑥| 𝑥<1 或 𝑥>𝑏} 知 𝑎>0，且 𝑎𝑥²−3𝑥+2=𝑎(𝑥−1)(𝑥−𝑏)。比较系数：𝑎(1+𝑏)=3，𝑎𝑏=2。

由 𝑎𝑏=2 得 𝑎=2𝑏，代入得 2𝑏(1+𝑏)=3，解得 𝑏=2，𝑎=1。

② 由 ① 得 𝑎=1，𝑏=2，即 1𝑥+2𝑦=1（𝑥>0，𝑦>0）。

2𝑥+𝑦=(2𝑥+𝑦)(1𝑥+2𝑦)=2+4𝑥𝑦+𝑦𝑥+2=4+𝑦𝑥+4𝑥𝑦≥ 4+2√4=8，当且仅当 𝑦𝑥=4𝑥𝑦，即 𝑦=2𝑥，结合 1𝑥+2𝑦=1 得 𝑥=2、𝑦=4 时取等号。

∴ 2𝑥+𝑦 的最小值为 8。由 2𝑥+𝑦≥ 𝑘²+𝑘+2 恒成立得 8≥ 𝑘²+𝑘+2，即 𝑘²+𝑘−6≤ 0，(𝑘+3)(𝑘−2)≤ 0，得 −3≤ 𝑘≤ 2，即 𝑘∈[−3,2]。

(2) 𝑎𝑥²−(𝑎+1)𝑥+1<0 即 (𝑎𝑥−1)(𝑥−1)<0。

① 当 𝑎=0 时，−(𝑥−1)<0，得 𝑥>1，解集为 (1,+∞)。

② 当 𝑎>0 时，𝑎(𝑥−1𝑎)(𝑥−1)<0，即 𝑥 取 1𝑎 与 1 之间：0<𝑎<1 时 1𝑎>1，解集为 (1,1𝑎)；𝑎=1 时 (𝑥−1)²<0，解集为 ∅；𝑎>1 时 1𝑎<1，解集为 (1𝑎,1)。

③ 当 𝑎<0 时，𝑎(𝑥−1𝑎)(𝑥−1)<0 化为 (𝑥−1𝑎)(𝑥−1)>0，解集为 (−∞,1𝑎)∪(1,+∞)。

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