乘法算得又快又稳，靠的不是死记硬背，而是"找规律"。这一站先看清一件事：乘数变了，积会跟着怎么变。

🎯 本节学习目标

① 一个乘数变了、另一个不变时，积会怎么变；② 末尾有 0 的乘法，怎么三步就写出答案；③ 为什么"多写一个 0"就等于"扩大 10 倍"。

💡 从文具店的价签说起

一支中性笔 3 元，买 4 支是 12 元。如果买 8 支呢？不用一支一支地加，只要发现：支数翻了一倍，总价也跟着翻了一倍——8 支就是 24 元。同样，买 2 支（支数变成原来的一半），总价也变成 6 元。价签没变、单价没变，变的只是"数量"，而总价总是老老实实跟着数量一起变。这就是这一站要抓的规律。

🔍 规律一：一个乘数变几倍，积就变几倍

先看一组算式：3 × 4 = 12；把 3 换成它的 2 倍（6），变成 6 × 4 = 24——积 24 正好是 12 的 2 倍；再把 12 缩小到它的三分之一（4），4 × 4 = 16，积 48 也正好缩小到三分之一。藏在里面的这条规律，是全单元第一块地基：一个乘数不变，另一个乘数扩大几倍，积就扩大几倍；缩小几倍，积也缩小几倍。为什么会这样？因为乘法说到底就是"几个几"——乘数变几倍，等于份数（或每份的个数）变几倍，总数当然跟着一起变。

🔍 规律二：末尾有 0 的乘法，三步就到位

文具店进了一箱铅笔，每盒 150 支，一共 30 盒。150 × 30 看着吓人，其实只要三步：先把末尾的 0 遮起来，变成 15 × 3 = 45；再数一数两个乘数末尾一共有几个 0（1 个 + 1 个 = 2 个）；最后把 2 个 0 补在 45 后面，得 4500。这条算法的通行结论是：末尾有 0 的乘法，先把 0 前面的数相乘，再在积的末尾补上两个乘数末尾 0 的总个数。

🔍 为什么"补 0"就等于"扩大 10 倍"

在 45 后面添一个 0 变成 450，正好是 45 的 10 倍；再添一个变成 4500，又是一个 10 倍，也就是 100 倍。所以 150 的末尾那个 0，其实代表"×10"；30 的末尾那个 0，也代表"×10"。把两个 10 先放到一边，算完 15 × 3 = 45，再把两个 10 一起乘回去（×100），就得到 4500。四年级不用写这么长的式子，但心里要有这本账：末尾的一个 0，就是一档"×10"；有几个 0，最后就乘几次 10。想通这一点，以后算 180 × 50、1200 × 40 都是一个套路。

📘 课本原句 → 大白话

课本说："观察下面的算式，你发现了什么规律？"（3 × 4 = 12，6 × 4 = 24，12 × 4 = 48）

课本不会直接把规律写给你，它要你自己"找"。找规律的最佳姿势是三步：先算（把每道题的结果算出来）→ 再比（比一比乘数变了多少倍、积跟着变了多少倍）→ 后说（用自己的话把规律说出来）。比如上面三题，乘数从 3 到 6 是 ×2，积从 12 到 24 也是 ×2；乘数从 6 到 12 是 ×2，积从 24 到 48 还是 ×2。一句话总结："积总是跟着乘数一起变同样的倍数"——这句话说得出来，这道题才算真会。

🔗 这一站在知识网里的位置

"乘数变几倍、积变几倍"是整单元的总规律：下一站用点子图拆 14 × 12，靠的就是"拆成 14 × 10 和 14 × 2 再合起来"，本质还是这条规律在帮忙；末尾有 0 的算法，会直接用在后面 150 × 30、180 × 50 这类题上；而估算时把 21 看成 20、26 看成 25，也是因为"变一点点，积也变一点点"，可以放心地估。

📌 一句话记住：一个乘数不变，另一个乘数扩大几倍，积就扩大几倍；末尾有 0 的乘法，先遮 0、再算、最后把 0 补回来。

🔊 口诀：乘数翻几倍，积就翻几倍；末尾先遮住，算完再补回。

三年级我们算过两位数乘一位数、两位数乘整十数。这一站把两个本领合起来，一次算出 14 × 12 这样的题。

🎯 本节学习目标

① 用点子图把 14 × 12 拆成两块，看得见"为什么能拆"；② 竖式为什么要"分层写、错一位"；③ 两位数乘两位数，结果大概是几位数、怎么一眼估出来。

💡 运动会上的方阵

运动会入场式，四年级的同学排成一个方阵：一共 12 排，每排 14 人。要算人数，就是 14 × 12。可是两位数乘两位数还没学过呀！别急，我们不动这支队伍，只是用一根想象的线把方阵切开：上面 2 排、下面 10 排。切开之后，上面那块是 14 × 2，下面那块是 14 × 10——这两道题我们都会算。把两块加起来，答案就出来了。

🔍 点子图：把 12 排切成"2 排 + 10 排"

下图中的每一个小圆点，代表方阵里的一个同学：14 列代表每排 14 人，12 行代表 12 排，一共 168 个点。把它切成上 2 排、下 10 排之后：上块有 14 × 2 = 28 个点，下块有 14 × 10 = 140 个点。两块的答案都是学过的，加起来 28 + 140 = 168，所以 14 × 12 = 168。这里的道理只有一句：把一个乘数拆成两个数，分别相乘，再把积相加，结果不变。这也就是"为什么两位数乘两位数可以拆开来算"的答案。

🔍 拆数的两种办法，都行

刚才我们是把 12 拆成 10 + 2（横着切）。也可以把 14 拆成 10 + 4（竖着切）：12 × 10 = 120，12 × 4 = 48，加起来也是 168。两种切法结果一样，因为方阵还是那个方阵，只是切的方向不同。这说明一件事：拆数的关键是"拆得干净"——每一块都要是你已经会算的题。但要注意，不能把两个乘数的拆法混着用：14 × 12 = 14 × 10 + 10 × 2 这样写就错了，因为 10 × 2 这一块把 14 和 12 都换掉了，方阵里根本没有这么一块地方。

🔍 从点子图到竖式：第二层为什么要"错一位"

把点子图的两块"叠"成竖式，就成了下面的样子：第一层 14 × 2 = 28；第二层是 14 × 10 = 140，但我们只写 14，然后把这个 14 往前挪一位（个位空着）——这就是"错一位"。为什么可以省掉那个 0？因为只要把位置错开，那个 0 就"藏"在空位里了。核心结论：第二层积要错一位写，因为第二个乘数十位上的数表示的是几个十。12 里的"1"站在十位上，它其实是 10，乘以 14 当然得 140。最后两层相加：28 + 140 = 168。

📘 课本原句 → 大白话

课本说："先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，再用十位上的数去乘，最后把两次乘得的积加起来。"

翻译一下："第一次乘"得出来的是第一层积（个位上的数在乘）；"第二次乘"得出来的是第二层积（十位上的数在乘）。为什么第二位要单独算一层？因为 12 里的"2"代表 2 个一，而"1"代表 1 个十，它们不是一回事，所以得分开乘、分开写。写竖式时就三条军规：第一层对齐个位；第二层末位对齐十位（错一位）；最后把两层加起来。记住这三条，两位数乘两位数就再也不会错。

🔗 这一站在知识网里的位置

三年级学的"两位数乘一位数"（14 × 2）和"两位数乘整十数"（14 × 10），在这一站被合成同一个竖式里的两层。这套"分层相乘、分层相加"的办法，下一站原封不动地搬到三位数乘两位数（114 × 21）上去用；再往后学多位数的乘法，还是这三条军规。可以说，这一站是整单元竖式的模板。

📌 一句话记住：两位数乘两位数＝拆开算、分层写；个位层对齐个位，十位层错一位，两层加起来才是答案。

🔊 口诀：拆开算，合起来；第二层，错一位；两层积，加一次。

我国第一颗人造卫星"东方红一号"绕地球一圈要 114 分钟。绕 21 圈要多少分钟？这就是三位数乘两位数要闯的第一道大关。

🎯 本节学习目标

① 三位数乘两位数的竖式五步，一步都不跳；② 中间有 0、连续进位这两种"难缠情况"怎么处理；③ 怎样用估算给答案"兜个底"。

💡 卫星绕地球 21 圈

一圈 114 分钟，大约就是 1 小时 54 分——比一场电影还长一些。那 21 圈呢？动笔之前先估一估：114 接近 110，21 接近 20，110 × 20 = 2200。"两千多分钟"这个量级先在脑子里落定，等会儿算出结果再看一眼，就能立刻判断有没有算错。这就是"先估后算"的好习惯。

🔍 五步走：114 × 21 一步一步来

① 拆数：21 = 20 + 1，把这道大题拆成两道小学过的题。
② 个位乘：114 × 1 = 114，这是第一层积。
③ 十位乘：先算 114 × 2 = 228，再在末尾添一个 0 变成 2280（因为十位的 2 表示 20）。
④ 错一位写：把第二层积写进竖式时末位对齐十位，相当于把那个 0 藏进空位里。
⑤ 两层相加：114 + 2280 = 2394。

五步里最关键的是第 ③④ 步，也是全单元最大的失分点。请把这句话刻进脑子：用十位上的数去乘时，乘出来的积要比个位乘出来的积向左错一位。2394 分钟换算一下，大约是 39 小时 54 分——卫星要在天上飞一天半还多，才能绕完 21 圈。

🔍 难缠情况一：中间有 0（208 × 34）

乘数中间夹着一个 0，很多人会"顺手跳过"。可 0 也是一位数，它必须参加每一次乘法。看 208 × 34 的个位层：8 × 4 = 32，写 2 进 3；接着算十位的 0——0 × 4 = 0，再加上进上来的 3，得 3；最后 2 × 4 = 8。所以个位层是 832，不是 832 少一位的 82，也不是跳过后算错的其他数。记住这句话：乘数中间的 0 也要乘，0 乘任何数得 0，但别忘了加上前面的进位。至于末尾的 0 呢？那是另外一击——先用"遮 0 再补 0"的简便算法处理。

🔍 难缠情况二：连续进位（165 × 38）

两位数乘两位数的乘法里，最容易被"吞掉"的就是进位的数。先看个位层 165 × 8：5 × 8 = 40，个位写 0、进 4；6 × 8 = 48，加上进上来的 4 得 52，十位写 2、进 5；1 × 8 = 8，加上进上来的 5 得 13，百位写 3、进 1，千位就是那个 1——所以结果是 1320。再看十位层 165 × 3 = 495，错一位写成 4950。最后两层相加：每一位都要先乘、再加上进上来的数，进位不能丢，1320 + 4950 = 6270。165 × 38 = 6270。

🔍 最后一步：两层积相加（1320 + 4950）

两层算完别急着写答案，还要把它们加起来。相加的时候同样会进位：十位 2 + 5 = 7；百位 3 + 9 = 12，写 2 进 1；千位 1 + 4 再加进上来的 1，得 6。所以 1320 + 4950 = 6270。算出答案以后，还有一个"免费"的检查办法：把两个乘数交换位置再算一遍，两次结果应该一样（38 × 165 也得 6270）。

🔍 错得最多的一步：第二层到底对哪一位（114 × 21）

🔍 完整流程：先估 → 再算 → 最后验一遍

📘 课本原句 → 大白话

课本说："三位数乘两位数，先用两位数个位上的数去乘三位数，再用两位数十位上的数去乘，最后把两次乘得的积加起来。"

大白话就是：把两位数"劈成"个位和十位两半，分别去乘三位数，得两层积；第二层积要从十位开始写（错一位）；最后两层相加。为什么第二层要"错一位"？因为十位上的数表示的是"几个十"，乘出来的其实是"几十个"那么大，位置当然要往左挪一格。至于每一步的乘法本身，就是三年级学的"三位数乘一位数"——所以这一站不难，难的是别丢进位、别错位、别忘加这三件事。

🔗 这一站在知识网里的位置

三年级你算过 114 × 2、114 × 20 这样的"单层"题，这一站把它们并排写进同一个竖式，于是三位数乘两位数、四位数乘两位数都归到一套办法里。这套竖式的耐心与严谨，往后还有大用处：四年级下册的除法竖式要一层一层减，五年级的小数乘法也要先按整数乘、最后点小数点——都是同一副骨架。这一站是整数乘法的总闸门，过得了这一关，后面的多位数乘法全都顺着走。

📌 一句话记住：个位乘一层、十位乘一层，第二层错一位写；中间有 0 也要乘，进位一个都不能丢，两层相加才是答案。

🔊 口诀：分层乘、错一位，0 要乘、进位记，两层积、加一起。

计算器算得又快又准，但"会用计算器"和"会算数"是两件事。这一站把它的每个键都认清楚。

🎯 本节学习目标

① 计算器上各键的分工；② CE 和 C 两个"清除键"有什么不一样；③ 什么时候该用计算器、什么时候必须自己算。

💡 从算筹到计算器

古人用小竹棍（算筹）摆出数字来算，后来有了噼啪作响的算盘，再后来有了计算尺、手摇计算机，直到今天按一下就出答案的电子计算器。工具越变越聪明，但有一点从没变：它只负责"算"，不负责"想"——该用哪个数、该怎么列式、算出来合不合理，都得由你来判断。

🔍 认键：每个键都有分工

计算器的面板分四块：最上面是显示屏（你输进去的数和算出来的结果都出现在这里）；中间是 0～9 的数字键；右边一列是 ＋ − × ÷ 这样的运算键；还有两个最容易混淆的键——ON/C（有的机器写作 AC）和 CE。按 ON/C打开电源；算完一道题想重新开始时，也按它。养成一个好习惯：每道题开始前先看一眼显示屏，确认是干净的"0"，再把数字按进去。

🔍 两个"清除键"不一样：CE 与 C

这两个键长得像，作用差很多：CE（Clear Entry，清除当前输入）只擦掉你刚刚打进去的那一个数，前面的算式还在——比如要算 165 × 38，手滑按成 165 × 83，按一下 CE，把 83 擦掉重新按 38 就行，165 和乘号都不用重来。而 C / AC（Clear All，全部清除）是把整道题都清空，从"0"重新开始。一句话记住：CE 改一个数，C 全清零。按错键的时候先想清楚要"改一个"还是"全重来"，就不会手忙脚乱了。

🔍 用它算本单元的题：按键顺序

算 165 × 38，按键顺序是：1 → 6 → 5 → × → 3 → 8 → =，屏幕上出现 6270。多位数要一位一位慢慢按，按的时候眼睛盯着屏幕，看看数字有没有"少按一位"（比如把 165 按成 16，屏幕会立刻显出来）。还有一个好消息：乘法的两个数交换位置，结果一样，所以按成 38 × 165 也得到 6270——这顺手还相当于做了一次验算。想再快一点，可以先用估算把答案的范围算好（165 × 38 大约 6400），再看屏幕，一眼就知道有没有按错。

📘 课本原句 → 大白话

课本说："用计算器算一算，看看结果对不对。"（并给出 ON/C、CE 等按键的图示）

这句话里有两层意思：一是会用——开机、输入、按等号、清除各归各位；二是会判断——"看看结果对不对"这句话才是重点。计算器不会告诉你答案合不合理，只有"估算"能做裁判：心里先有一个大约的数，屏幕上出现离谱的数字，立刻就知道是按键出了问题，而不是把错答案抄到本子上。

🔗 这一站在知识网里的位置

这一站是工具站：它把"算得准"这件事外包出去，让你省下时间去想更重要的东西——怎么列式、怎么判断。但工具站也藏着一句提醒：估算才是给计算器把关的本事。所以下一站我们玩好玩的数字规律，再下一站（电影院）专门练估算与解决问题：当你能用脑子判断答案合不合理，计算器才真正成为你的帮手。

📌 一句话记住：ON/C 开机与全清，CE 只清刚输进去的一个数；先估后用，算完看一眼屏幕再抄。

🔊 口诀：先估后用不慌张，边按边看屏幕亮；CE 改一个，C 全清光。

有些算式算着算着，答案会自己"排起队"来。这一站不讲新算法，只玩规律——看懂规律，你就能一直算下去。

🎯 本节学习目标

① 1111 × 1111 为什么等于 1234321；② 999 × 999 = 998001 里藏着什么规律；③ 142857 为什么像个转圈圈的车轮；④ 怎样用"观察—猜想—验证"把规律抓在手里。

💡 计算器上的惊喜

在计算器上依次按下 1 × 1、11 × 11、111 × 111……屏幕上跳出来的数字一个比一个好看：1、121、12321——它们像小山坡一样，一级一级往上叠。数字的世界里藏着很多这样的小魔法，它们不是巧合，而是十进位制的结构在起作用。这一站我们一个个把它们看穿。

🔍 魔法一：1 家族的数字金字塔

注意积的"形状"：1 × 1 = 1；11 × 11 = 121；111 × 111 = 12321；1111 × 1111 = 1234321。乘数里有几个 1，积就从 1 数到几，再原路数回来——像爬山，上去再下来。为什么如此整齐？把 111 拆成 100 + 10 + 1，用竖式一层层乘就会发现：每一位上"叠"起来的 1 的个数，正好就是从 1 到 3 再回到 1 的个数。结论是：几个 1 乘几个 1，积就是从 1 数到几、再数回 1 的"山形数"。

🔍 魔法二：9 的叠罗汉

再看 9 家族的表演：9 × 9 = 81；99 × 99 = 9801；999 × 999 = 998001；9999 × 9999 = 99980001。规律一句话说得清：n 个 9 乘 n 个 9，积就是（n−1）个 9，跟着一个 8，再跟着（n−1）个 0，最后收一个 1。为什么？想想 999 × 999 = 999 × （1000 − 1）＝ 999000 − 999 ＝ 998001——原来是"满 1000 减一位"造成的漂亮错位。这类规律的价值不在背，而在于让你发现：很多看着神奇的结果，背后都有一句朴素的道理。

🔍 魔法三：142857——转圈圈的车轮数

142857 这个数更神奇：它乘 1 到 6，得到的还是"1、2、4、5、7、8"这六个数字，只是换了个位置排队；乘到 7 的时候，突然变成 999999。因为 142857 × 7 = 999999，所以它是 999999 ÷ 7 的商——它其实是从 1 ÷ 7的循环小数里"走出来"的数。有意思的是：142857 × 1~6 是同一组数字换位置，×7 一下子变成 999999。玩到这里你会明白：数学里的"巧合"，往往是最讲道理的必然。

📘 课本原句 → 大白话

课本说："用计算器算一算，再观察算式和结果，你发现了什么规律？"

"观察"这两个字是这一站的灵魂。所谓找规律，不是盯着答案发呆，而是三步走：①先算几个（至少算三道，把结果排成队）；②再比一比（比数字的个数、位置、形状有什么变化）；③然后猜（用一句话把你的猜想说出来）；最后千万别忘了第④步——再算一道验证它。猜了不验，叫瞎猜；猜了能验，才叫规律。这套"观察—猜想—验证"的功夫，期末的"找规律填数"全靠它。

🔗 这一站在知识网里的位置

这一站没有新算法，练的却是数学里最重要的能力——观察、猜想、验证。它和前面几站是配套的：上一站用计算器把"算"这件事变简单，这一站正好用这份省下来的力气去"想"。往后学运算律、找数列规律、做探究题，用的都是这套功夫；高年级的"探索与发现"栏目，本质上就是把这一站的做法变成常规动作。

📌 一句话记住：先算几个看形状，再把猜想说出来，最后一定再算一道验证它——猜了能验，才叫规律。

🔊 口诀：算一算、比一比、猜一猜、验一验。

这一站把整单元的本事用起来：拿到一道实际问题，先估算判断"够不够"，再精确算出答案。

🎯 本节学习目标

① 什么叫往小估、往大估；② 判断"够不够"为什么要把乘数往小估；③ 估算结果怎么写（≈ 号）才不算错。

💡 学校包场看电影

学校组织四年级去看电影，剧场一共 21 排，每排 26 个座位，来了 500 名同学。带队老师最关心的问题不是"一共多少个座"，而是"坐得下吗"。要回答这个问题，其实不用精确算出座位数——估一估就够了，而且更安全。

🔍 第一步：把不好算的数换成好算的数

估算的动作很简单：把乘数看成离它最近的整十数，比如 21 看成 20、26 看成 25（或 30），再算 20 × 25 = 500。这就是"往小估"——两个乘数都往小里看。估算的好处是：估算的结果要用"≈"（约等于）来写，它只是一个大概的数，不是精确答案。所以要写 21 × 26 ≈ 500，而不能写等号。估算还有一个特点：同一个式子可以有不同的估法（21 × 26 也可以估成 20 × 30 = 600），只要"好算"并且"离得不太远"，都算对。

🔍 第二步：为什么"够不够"要用往小估

这是全单元最讲道理的一处。往小估的意思是：把两个乘数都换小一点再相乘，得到的数一定小于或等于真实结果。如果连这个"变小了的结果"都够用，那真实的结果当然更够——所以 往小估说"够"，就一定是够。反过来判断"一定不够"要用往大估：把乘数都往大估，如果连估大的结果都比需要的人数少，那真实座位只会更少，一定不够。总结成一句：判断"够不够"往小估，判断"一定不够"往大估。这就是估算比精确计算更"敢下结论"的原因。

🔍 第三步：精确算一遍，心里彻底踏实

估算给出结论，精确计算给出答案，两者都要会。21 × 26 的竖式：个位层 21 × 6 = 126；十位层 21 × 2 = 42，错一位写成 420；两层相加 126 + 420 = 546。所以一共 546 个座位，比 500 人多 46 个。答的时候要把话说完整：先算座位数，再比较，最后回答——"546 个座位，500 名同学坐得下，还剩 46 个空座"。这一步写全，才是完整地解决了一道问题。

📘 课本原句 → 大白话

课本说："估一估，500 名同学坐得下吗？"

这句"估一估"不是让你随便猜一个数，而是让你用估算来下判断。它的完整思路是三句话：①把乘数换成好算的整十数（20 × 25 = 500）；②看清这次是往大估还是往小估（这里是往小估）；③根据"往小估都够"得出结论（一定坐得下）。如果题目问的是"够不够"就写判断和理由；如果题目还要求"一共多少个"或"差多少"，那就再精确算一遍补上。

🔗 这一站在知识网里的位置

这是本单元的收官站：找规律让算式算得快，竖式让算式算得准，计算器让算式算得省力，有趣的算式让脑袋转得灵活——而估算让这一切"算得放心"。往后学小数乘法、解决面积与单价问题，判断"够不够、装不装得下、钱够不够花"，用的正是这一站"往小估、往大估"的思路。

📌 一句话记住：先估后算心里有底；判断够不够就"往小估"；估算写 ≈，精确写 =，答完还要说清比较和结论。

🔊 口诀：够不够，往小估；先估后算，心里有数。

六个站点都走完了！最后一站把散落的知识串成三张网：算得快、算得准、算得活，再做一次全景复习。

🎁 读到这里，《整数乘法（二）》整个单元你已经完整走了一遍。合上屏幕，试着把必背清单里 10 条结论自己复述一遍——说得出来的，就是真正学会的。哪条卡壳了，就回到对应的那一站再读一遍。下一单元的讲义，我们再见。