为什么说“两大模型”可以解决小学数学大多数问题?小学数学教师怎么教?

2022版义务教育数学课程标准对“数与代数”领域进行结构化重构，划分出数与运算和数量关系两大并列学习主题。自此，数量关系摆脱了过去依附于习题、零散分布于“解决问题”板块的处境，成为小学数学的核心学习内容。

所谓数量关系，就是运用数、符号、文字、图形等多种形式，表达现实情境里数量之间的联系与变化规律。开展数量关系教学，重在发展学生发现、提出、分析、解决问题的“四能”，培育模型意识与应用意识。与之相配套的新版人教版教材，增设“数量间的加减关系”“数量间的乘除关系”“加法模型和乘法模型”等独立专题单元，打破传统教学中题型碎片化的困境，走向“以类统学、整体建模”的教学新样态。

一、加法模型、乘法模型——数量关系的底层支架

新课标明确以加法模型、乘法模型统领小学阶段绝大多数实际问题。减法归为加法模型的逆运算，除法归为乘法模型的逆运算，不再单独设置减法、除法模型。

加法模型的核心内涵是分量＋分量＝总量，对应部分与整体的关系。正向运用，通过合并若干部分求出整体总量；逆向运用，则是已知整体与其中一部分，求解另一部分。我们熟悉的比差关系，包括求相差数、求比一个数多几或少几的数，都可以在加法模型框架下得到解释。无论是一步加减应用题，还是两步、多步加减复合问题，本质上都是加法模型的直接应用或者多次叠加。

乘法模型可以概括为每份数×份数＝总量，教材重点落地总价＝单价×数量、路程＝速度×时间两组范式。教材选择这两组模型并非随意设定，而是遵循儿童由静态走向动态的认知发展路径。一方面，购物场景下的总价模型具象易懂，行程情境的路程模型实现向动态变化关系的进阶；另一方面，单价、速度是小学生最早接触的比率型复合量，既是归一、归总问题的学习基础，也为后续正比例学习、初中理化相关概念做好认知铺垫。

总价模型属于静态份数范式，份数是物品、组数这类离散的计数单位，总产量、方阵计数等问题均由此衍生；路程模型属于动态速率范式，以时间作为连续计量份数，工作效率、注水速率等动态问题都属于该范式的延伸。二者外在场景、计量单位虽各不相同，但拥有完全一致的底层数学结构，都是相同基准量的重复累加。除法作为乘法的逆运算，用来求解基准量或者份数，比倍关系也依托乘法模型展开。

两大模型具备极强的迁移覆盖能力。一步实际问题可以直接归入对应模型；两步及以上复合问题，本质是多个基础模型的叠加组合；归一、归总问题依托乘除互逆关系展开；分数、百分数实际问题，依旧需要借助加法、乘法模型分析；正比例则是乘法模型的函数化提升。即便是鸡兔同笼、植树这类典型问题，虽拥有专属解题策略，其内在的数量骨架，依旧脱不开两大基础模型。

二、教材编排转向：从题型记忆走向结构理解

伴随新课标的落地，新版教材在数量关系板块做出系统性调整。第一，实现算用一体化，摒弃以往“先学计算、后练应用题”的割裂模式，将数量关系的感悟嵌入四则运算意义建构全过程，让学生理解运算的意义，就是理解数量关系。第二，设置独立专题单元，把分散在不同年级的同类数量关系集中编排，实现“类的整体建模”。第三，补齐知识断层，构建起从整数、小数到分数百分数、比与比例的完整学习链条。整体编排导向发生根本转变，由过去侧重题型训练、机械刷题，转向看透情境背后的数学结构，发展学生的模型意识。

三、立足两大模型的课堂教学实践路径

（一）更新教学理念，把握问题大逻辑

教师要摒弃“看见一共就用加法”这类关键词解题套路。关系式、计算公式是学生情境探究之后归纳生成的产物，不能作为课堂教学的起点。面对实际问题，引导学生先把握题目“大逻辑”，优先判断情境归属于加法模型还是乘法模型，再处理细节条件。

以乘法模型教学为例，应当遵循“区分差异—横向对比—揭示同源”三步走。先分清静态总价范式与动态路程范式的不同；再对比两类模型在场景、乘数含义、复合单位上的差异；最后揭示二者同源的数学本质。以速度概念教学为例，切忌直接抛出“路程=速度×时间”，可以创设动物竞走的探究情境，设置“时间相同比路程、路程相同比时间、路程时间均不同”的认知冲突，促使学生自主生成速度概念，理解“米/分”这类复合单位的由来。同时要明确，小学数学中的速度是平均速率，教学当中应当谨慎使用线段图。单价教学则可以结合购物小票，帮助学生深度理解复合量的现实含义。

（二）落实多元教学策略，发展模型意识

第一，坚持举一反三，落实“知二求一”。同一组三量关系，正向、逆向变式要配套训练。课本习题大多以正向问题为主，教师需要主动补充逆向习题，打破学生的思维固化。

第二，做到概念与关系互相促进。面对速度、单价这类复合量，要先建立概念认知，再推导数量关系式，让学生读懂复合单位背后的量纲意义，明白异类量相乘、相除产生新计量单位的道理。

第三，重视多元表征转换，落实几何直观。打通文字语言、图形语言、符号语言之间的相互转化，借助手势演示、情景再现、圈画批注、示意图、列表等方式，把看不见的抽象数量关系变得直观可感。

第四，坚持探究、发现、概括的学习路径。选用购物、校园生活等学生熟悉的真实素材，通过画图、列表，让学生自主挖掘数量变化规律；还可以开展“根据关系式编现实故事”的课堂活动，体会一个模型可以解释万千生活情境。

第五，遵循学段梯度循序渐进。低段一二年级扎根四则运算现实原型，以一步实际问题为主，多用画图、文字描述，少出示抽象关系式；中段三至四年级正式抽象两大模型，学习归一归总、多步复合应用题；高段五至六年级迁移模型解决分数、百分数问题，尝试用字母表达数量关系，渗透正比例函数思想。

第六，将问题解决方法渗透日常课堂。综合法、分析法，图示、列表等辅助方法，假设、倒推、枚举等特殊方法，不需要开设专门的专题课，融入每一节数量关系课堂潜移默化即可。

第七，重构课堂评价标准。评价不能只聚焦计算结果的对错，更要关注学生能否清晰表述背后的数量关系，面对变式、逆向题目思维是否灵活，能不能借助画图、列表表征关系，是否养成把结果带回原题检验反思的习惯。

四、“数量关系”教学常见误区

在实际课堂当中，容易出现几类误区：把总价、路程两套公式当成互不关联的独立知识点，不去挖掘统一底层逻辑；直接让学生背诵关系式，跳过情境归纳过程，造成学生只会套公式，遇到陌生情境无从下手；将比差、比倍关系作为孤立题型教学，没有纳入两大模型体系；只训练正向习题，缺少逆向变式练习，催生机械的条件反射，把数量关系教学等同于题型记忆。

总之，数量关系主题下的加法、乘法两大模型，不是给学生增加记忆负担，而是交给学生两把通用的思维钥匙。教学的终极追求，不是让学生背熟几组公式，而是引导学生完成“现实情境—数学化表征—模型建构—迁移应用”完整的数学化过程。透过纷繁多样的生活问题，抓住不变的数学结构，跳出机械刷题的桎梏，真正落实推理意识、模型意识、应用意识等数学核心素养。教师既要吃透数学本体知识，又要立足儿童认知视角，让数量关系教学真正走向深度理解。（整理不易，转载请注明转载自公众号“在数学里遇见孩童”，谢谢）