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专题24.49 几何模型专题（隐形圆解决最值问题）
一、单选题
1．如图， 中， 是 内部的一个动点，且满足 ,
则线段 长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 是半圆 的直径，点 在半圆 上， ， ， 是 上的一个动点，
连接 ，过 点作 于 ，连接 ，在点 移动的过程中， 的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，在 中， ， ， ， 是以斜边 为直径的半圆上一动点，
为 的中点，连结 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
4．如图， 的半径为2，弦 ，点P为优弧AB上一动点， ，交直线PB于点C，则 的最大面积是
A． B．1 C．2 D．
5．如图，点 是矩形 的边 ， 上的点，过点 作 于点 ，交矩形 的边
于点 ，连接 ．若 ， ，则 的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，以G（0，3）为圆心，半径为6的圆与x轴交于A．B两点，与y轴交于C，D两点，点E为
⊙G上一动点，CF⊥AE于F，点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为（ ）
A． -1 B．2 -2 C．3 D．3 -3
7．如图， 是半圆 的直径，点 在半圆 上， ， ， 是弧 上的一个动点，
连接 ，过 点作 于 ，连接 ，在点 移动的过程中， 的最小值是（ ）A．6 B． C． D．7
8．如图，将 绕点 逆时针旋转60°得到 ，连接 ．若 ， ，则四边形
面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点D在半圆O上，半径OB＝ ，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，
∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图，在 中， ， ， ，D是 内一动点， 为 的外接
圆， 交直线BD于点P，交边BC于点E，若 ，则AD的最小值为（ ）A．1 B．2 C． D．
二、填空题
11．如图，在矩形 中， ， ，M，N分别是 ， 上的动点，连接 ， 交
于点E，且 ．
（1） ．
（2）连接 ，则 的最小值为 ．
12．如图，在矩形 中， 为 的中点， 为 边上的任意一点，把 沿 折叠，得到
，连接 ．若 ， ，当 取最小值时， 的值等于 ．
13．已知 中， ，则 的最大值为 ．
14．如图， ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D为 ABC所在平面内一点，
∠BDC=90°，以A△C、CD为边作平行四边形 ACDE，则CE的最小值为 △ ．15．如图，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的两个顶点C、A分别在OM，ON上移动，若AC=8，则
点O到AC距离的最大值为 ．
16．如图，已知A（﹣4，0），B（0，2），以AB为直径作圆C，P（m，n）是第二象限圆上一点，
则m﹣n的最小值为 ．
17．如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE、CF相交于
点P．将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°的过程中，线段OP的最小
值为 ．
18．如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， 是以 为圆心，1为半径的
圆上一动点，连结 、 ．则 面积的最小值是 ．三、解答题
19．已知等边 的边长为8，点P是 边上的一个动点（与点A、B不重合）．
（1）如图1．当 时， 的面积为 ；
（2）直线l是经过点P的一条直线，把 沿直线l折叠，点B的对应点是点 ．
①如图2，当 时，若直线 ，求 的长度；
②如图3，当 时，在直线l变化过程中．请直接写出 面积的最大值．
20．（1）如图①，点A、点B在线段l的同侧，请你在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小（不需
要说明理由）．
（2）如图②，菱形ABCD的边长为6，对角线AC=6 ，点E，F在AC上，且EF=2，求DE+BF的最小
值．
（3）如图③，四边形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠BCD=120°，四边形ABCD的周长是否存在最
大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．21．小华同学学习了课本1.4节“问题6”后，在已知条件不变的情况下，又对该例题进行了拓展探究．
请你和他一起解决以下几个问题：
问题6，如图， 在矩形 中， ， ，点 从点 出发沿 以 / 的速度向
点 移动，同时，点 从点 出发沿 以 / 的速度向点 移动．
（1）几秒钟后点P、Q的距离为 ？请说明理由；
（2）几秒钟后 为直角？请说明理由；
（3）当 时， 内有一个动点M，连接 、 、 ，若 ，线段
的最小值为________．
22．【问题情境】如图①，在四边形 中， ，求证：A、B、C、D四点共圆．
小吉同学的作法如下：连结 ，取 的中点 ，连结 、 ，请你帮助小吉补全余下的证明过
程；【问题解决】如图②，在正方形 中， ，点 是边 的中点，点 是边 上的一个动
点，连结 ， ，作 于点P．
（1）如图②，当点P恰好落在正方形 对角线 上时，线段 的长度为 ；
（2）如图③，过点P分别作 于点 ， 于点 ，连结 ，则 的最小值为
．
23．【问题提出】
（1）如图①，在正方形 中，点 分别在边 上，连接 ，延长 到点 ，
使 ，连接 ．若 ，则可证 __________；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若 ，求 面积的最小值；
【问题解决】
（3）如图②， 是一条笔直的公路，村庄 离公路 的距离是5千米，现在要在公路上建两个快
递转运点 ，且 ，为了节约成本，要使得 之和最短，求 的最小
值．
24．问题提出（1）如图，在四边形 中， ，图中已作出辅助线，请你
按照这种思路，求出四边形 的面积；
问题解决
（2）如图，等腰 是某公园的一块空地， ， ．园区管理员想要在这块
空地内修建两条观光小路 和 （小路宽度不计，F在 边上，H在 边上），将其分成三个区域
种植不同的花卉，且在 边上的点E处修建一个凉亭．根据实际需要， ， ，
并且要求四边形 的面积尽可能大．请问，是否存在满足条件的四边形 ？若存在，求四边形
的面积最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C【分析】首先证明点P在以AB为直径的 O上，连接OC与 O交于P点，此时PC最小，利用勾股定
理求出OC即可解决问题.
解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP =90°，
∴∠APB=90°，
∴OP=OA=OB，
∴点P在以AB为直径的 O上，连接OC交于 O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC= ,
∴PC=OC-OP=5-3=2，
故选C.
【点拨】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是根据题意作图进行求解.
2．D
【分析】首先利用圆周角是直角所对的弦是直径和 判断出点H的运动轨迹，然后确定当
取最小值是H的位置，最后利用勾股定理解直角三角形即可.
解：连接BD，
∵ 是 上的一个动点，
∴点H也是一个动点，
∵DH=90°
∴H的运动轨迹是以AD为直径的圆周上，
如图所示，设AD中点为M，点M即为以AD为直径的圆的圆心，且直径为10.连接BD交 于点H
此时的BH最小.∵AB是直径
∴∠ADB=90°
∴BD=
=12
在Rt△BMD中
BM=
=
=13
∴BH=BM－MH
=13－5
=8
故选D.
【点拨】此题考查的是利用圆周角是直角所对的弦是直径，确定动点的运动轨迹，然后利用勾股定理
求线段的长度.
3．C
【分析】取 中点 ，连接 、 ， ，根据等腰三角形的性质可得 ，根据圆周角定
理可知点 在以 为直径的圆上，取 中点 ，以 为圆心， 为直径作 ，连接 ，交 于
，可得 即为 的最小值，利用勾股定理可求出 的长，根据直角三角形斜边中线的性质可得
，可求出 ，利用勾股定理即可求出 的长，进而可得 的长，可得答案.
解：取 中点 ，连接 、 ， ，
∵ ， 为 中点，
∴
∴点 在以 为直径的圆上，
取 中点 ，以 为圆心， 为直径作 ，连接 ，交 于 ，
∴ 即为 的最小值，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选C.
【点拨】本题考查圆周角定理、垂径定理、直角三角形斜边中线的性质及勾股定理，根据圆周角定理
确定点M的运动轨迹是解题关键.
4．B
【分析】连接OA、OB，如图1，由 可判断 为等边三角形，则 ，
根据圆周角定理得 ，由于 ，所以 ，因为 ，则要使
的最大面积，点C到AB的距离要最大；由 ，可根据圆周角定理判断点C在 上，如
图2，于是当点C在半圆的中点时，点C到AB的距离最大，此时 为等腰直角三角形，从而得到
的最大面积．
解：连接OA、OB，如图1，， ，
为等边三角形，
，
，
，要使 的最大面积，则点C到AB的距离最大，
作 的外接圆D，如图2，连接CD，
，点C在 上，AB是 的直径，
当点C半圆的中点时，点C到AB的距离最大，此时 等腰直角三角形，
， ，
AB CD ，
的最大面积为1．
故选B．
【点拨】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判断与性质；记住等腰直
角三角形的面积公式．
5．A
【分析】由 可得∠APB=90°，根据AB是定长，由定长对定角可知P点的运动轨迹是以AB
为直径，在AB上方的半圆，取AB得中点为O，连结DO，DO与半圆的交点是DP的长为最小值时的位置，用DO减去圆的半径即可得出最小值．
解：∵ ，
∴∠APB=90°，
∵AB=6是定长，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，
取AB得中点为O，连结DO，DO与半圆的交点 是DP的长为最小值时的位置，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
由勾股定理得：DO=5，
∴ ，即 的长的最小值为2，
故选A．
【点拨】本题属于综合难题，主要考查了直径所对的角是圆周角的应用：由定弦对定角可得动点的轨
迹是圆，发现定弦和定角是解题的关键．
6．D
【分析】如图，连接AC，作GM⊥AC，连接AG，由CF⊥AE于F可知，点F在以AC为直径的圆M上移
动，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理求出MF，MG
即可解答．
解：如图，连接AC，作GM⊥AC，连接AG，
∵GO⊥AB，
∴OA=OB
在Rt△AGO中，AG=6，OG=3，
∴AG=2OG，OA= ，
∴∠GAO=30°，∠AGO=60°，
∵GC=GA=6，
∴∠ACG=∠CAG，
∵∠AGO=∠ACG+∠CAG，∴∠ACG=∠CAG=30°，
∴AC=2AO=6 ，MG= ，
∴AM=3 ，
∵CF⊥AE于F，
∴点F在以AC为直径的圆M上移动，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值为FM-MG=3 -3，
故选：D．
【点拨】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
7．A
【分析】取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推
出当M、H、B共线时，BH的值最小.
解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD=90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
∴BD= ，
BM= ，
∴BH的最小值为BM-MH=8-2=6．
故选：A．
【点拨】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅
助线，利用辅助线圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
8．D
【分析】将四边形的面积转化为 ，再进行分析解答
解：由旋转得： ，
∴ ，
设四边形 面积为S，
∴ ．
由旋转可知，AB＝AD，而∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴ ，∠ADB＝∠ABD＝∠DAB＝60°，
∴ ，
∴ 最大时， 最小，
作 的外接圆 ，
易知 ．∴ ， ．
当 为 中点时， 面积最大，
过 作 于 ，则 ．
设 ， ．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
故选D．
【点拨】本题求面积的最小值，考查的知识点有等边三角形的判定与性质、圆周角定理、旋转的性质、
勾股定理等知识，综合性强，难度较大．
9．D
【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M
上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小．
解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝ ＝12，
BM＝ ＝ ＝13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：D．
【点拨】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅
助线，利用辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
10．C
【分析】由 ，可推出 ，即可求出 ，即说明点D在以BC为
弦， 的圆弧上运动，设其圆心为点G，连接AG、DG．根据图形易证 为等边三角形，
从而得出 ，又可间接证明 ，即可利用勾股定理求出AG的长，最后利
用三角形两边之差小于第三边即可求出答案．
解：∵ ，
∴ ，即 ．
∴ ．
即说明点D在以BC为弦， 的圆弧上运动，设其圆心为点G，连接AG、DG．
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ．
∴在 中， ．
∵ ，即 ．
∴当点A、D、G三点共线时AD最小，最小值为 ．
故选C．
【点拨】本题为圆的综合题．考查圆周角定理，圆的外接三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理以及三角形三边关系等知识．根据题意判断出点D在以BC为弦，
的圆弧上运动，并作出辅助线是解答本题的关键．
11． /90度 2
【分析】（1）由 ， 推出 ，最后利用矩形
的性质即可得解；
（2）先确定E点的运动路径是个圆，再利用圆的知识和两点这间线段最短确定 最短长度，然后利
用勾股定理即可得解．
解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∴
.∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为 ．
（2）∵ ，点E在以 为直径的圆上，设 的中点为O，则当O，E，C三点共线时，
的值最小，此时
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为2．
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，最短距离，圆等知识的应用，熟练掌握其性质是解决此
题的关键．
12．【分析】点 在以 为圆心 为半径的圆上运动，当 、 、 共线时时，此时 的值最小，根据
折叠的性质，得出 ，再根据全等三角形的性质，得出 ， ，再根据勾股定理
求出 ，根据折叠的性质，可知 ，再根据线段之间的数量关系，得出 ，再利用勾股
定理，列出方程，解出即可得出答案．
解：如图所示，点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，当 、 、 共线时时，此时 的值
最小，
根据折叠的性质， ，
， ，
是 边的中点， ，
，
，
，
．
由折叠可知： ，
，
在 中，根据勾股定理得：
，
，
解得 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短的综合运
用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
13．【分析】过点C作 ，垂足为D，取 ，即可说明 是等腰直角三角形，求出
，进一步求出 ，继而将 转化为 ，推出点D在以 为直
径的圆上，从而可知当 为等腰直角三角形时， 最大，再求解即可．
解：如图，过点C作 ，垂足为D，取 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，而 一定，
∴当 的面积最大时， 最大，
∵ ，
∴点D在以 为直径的圆上，
∴当D平分 时，点D到 的距离最大，即高最大，则面积最大，
此时 ，则 为等腰直角三角形，
∴ ，
故答案为： ．．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角
定理，解题的关键是添加辅助线，将最值转化为 的长．
14．
【分析】延长AE，交BD于点F，连接BE，由题意易得∠AFB=∠CDB=∠DFE=90°，AC=DE=AB，进而可证
△AFB≌△DFE，则有BF=EF，∠BEF=45°，然后得到∠AEB=135°，因为AB=2，则有点E的运动轨迹为圆的运
动轨迹，最后根据圆的最值问题进行求解即可．
解：延长AE，交BD于点F，连接BE，如图所示：
∵四边形AEDC是平行四边形，
∴AE∥CD，AC=ED，∠EAC=∠CDE，
∵AB=AC=2，∠BAC=90°，∠BDC=90°，
∴ED=AB=AC=2，∠BAF+∠CAE=90°,∠CDE+∠EDF=90°，∠AFB=∠CDB=∠DFE=90°，
，
∴∠BAF=∠EDF，
∴△AFB≌△DFE（AAS），
∴BF=EF，
∴∠BEF=45°，
∴∠BEA=135°，
∴点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，连接MB、MA、MC，MC与⊙M交
于点 ，则根据圆外的点到圆上的点距离最值问题可得： 即为CE的最小值，如图所示：∴∠AMB=90°，
∵AM=BM，AB=2，
∴∠MBA=45°， ，
∴∠MBC=90°，
∴在Rt△MBC中， ，
∴ ，即CE的最小为 ；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的基本性质、动点的运动轨迹及圆的最值问题是解题的
关键．
15．
【分析】作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC于点Q，延长QP交于⊙P与点E，连接PA、PC、
CE、EA，当点O在圆周上运动到点E时，点O到AC距离最大，然后求解即可．
解：如图，作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC于点Q，延长QP交于⊙P与点E，连接PA、PC、
CE、EA，当点O在圆周上运动到点E时，点O到AC距离最大，
∠MON＝45°，
∠CEA＝45°，∠CPA＝90°，
PQ⊥AC，AC=8，
，
，
，
；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查圆的基本性质，关键是根据题意作出三角形的外接圆，然后根据圆的最值问题
进行求解即可．
16．
【分析】如图，在y轴的正半轴上取一点G（0，4），连接PA，PG，AG，作PM⊥OG于M，作
PN⊥OA于N．m﹣n＝﹣ON﹣PN＝﹣（PM+PN），欲求m﹣n的最小值，只要求出PM+PN的最大值即可，
由S AOGP＝S PAO+S PGO＝S AOG+S PAG，可得 ×4×PM+ ×4×PN＝ ×4×4+S PAG，推出PM+PN
四边形
△ △ △ △ △
＝4+ S PAG，推出当△PAG的面积最大时，PM+PN的值最大．
△
解：如图，在y轴的正半轴上取一点G（0，4），连接PA，PG，AG，作PM⊥OG于M，作PN⊥OA于
N．
由题意P（m，n）在第二象限，
∴m＝﹣ON＝﹣PM，n＝PN，
∴m﹣n＝﹣ON﹣PN＝﹣（PM+PN），∴欲求m﹣n的最小值，只要求出PM+PN的最大值即可，
∵S AOGP＝S PAO+S PGO＝S AOG+S PAG，
四边形
△ △ △ △
∴ ×4×PM+ ×4×PN＝ ×4×4+S PAG，
△
∴PM+PN＝4+ S PAG，
△
∴当△PAG的面积最大时，PM+PN的值最大，
当PC⊥AG时，△PAG的面积最大．
如图1中，过点C作JT∥AG交x轴于J，交y轴于T，当PC⊥AG时，过点P作PK⊥PC交y轴于K，此
时PK是⊙C的切线，
作TQ⊥PK于Q，则四边形PCTQ是矩形，QT＝PC＝ ，
由题意△TQK是等腰直角三角形，可得TK＝ ，
∵直线JT的解析式为y＝x+3，
∴OT＝3，
∴OK＝3+ ，GK＝3+ ﹣4＝ ﹣1，
∴G到PK的距离＝ （ ﹣1）＝ ﹣ ，
∵PK∥AG，
∴点P到AG的距离为 ﹣ ，
∴△PAG的面积的最大值＝ ×4 ×（ ﹣ ）＝2 ﹣2，∴PM+PN的最大值＝4+ （2 ﹣2）＝3+ ．
∴m﹣n的最小值为﹣3﹣ ．
故答案为﹣3﹣ ．
【点拨】本题考查圆的综合题，熟练掌握圆的性质、切线的性质、一次函数的图象和性质是解题的关
键．
17．2 ﹣2．
【分析】如图点P运动的路径是以G为圆心的弧 ，在⊙G上取一点H，连接EH、FH，只要证明
∠EGF＝90°，求出GE的长，根据OP≥PG−OG即可解决问题．
解：如图点P运动的路径是以G为圆心的弧，在⊙G上取一点H，连接EH、FH．，连接OP，PG．
∵四边形AOCB是正方形，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AFP＝ ∠AOC＝45°，
∵EF是⊙O直径，
∴∠EAF＝90°，
∴∠APF＝∠AFP＝45°，
∴∠EPF＝135°，
∵EF是定值，
∴点P在以点G为圆心，GE为半径的圆上，
∴∠H＝∠APF＝45°，
∴∠EGF＝2∠H＝90°，
∵EF＝4，GE＝GF，∴EG＝GF＝2 ，
∵OG＝OE＝2，PG＝2 ，
∴OP≥PG﹣OG
∴OP≥2 ﹣2，
∴OP的最小值为2 ﹣2．
故答案为2 ﹣2．
【点拨】本题考查正方形的性质、旋转的性质、轨迹、圆等知识，解题的关键是正确发现轨迹的位置，
学会添加辅助线，利用圆的有关性质解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
18．
【分析】过 作 于 ， 的延长线交 于 ，连接 ，根据一次函数求出点A、B的
坐标，然后利用等面积即可求出CM的值，根据圆上距离直线AB最近的点为CM与 的交点，从而求出
面积的最小值．
解：过 作 于 ，连接 ，
将x=0，代入 中，得y=-3，将y=0代入 中，得x=4
∴点B的坐标为（0，-3）点A的坐标为（4,0）
∴OA=4，OB=3，BC=1－（-3）=4
根据勾股定理可得AB=则由三角形面积公式得， ，
∴ ，
∴ ，
∴圆 上点到直线 的最小距离是 ，即点P为CM与 的交点时
∴ 面积的最小值是 ，
故答案是： ．
【点拨】此题考查的是求一次函数图象与坐标轴的交点坐标、圆上动点问题和三角形的面积，掌握坐
标轴上点的坐标特征、利用等面积求高和求圆上距离直线最近的点到直线的距离是解决此题的关键．
19．（1） ；（2）① ；②
【分析】（1）先根据等边三角形的边长为8，计算等边△ABC的面积，由同高三角形面积的比等于对
应底边的比，可得△PBC的面积；
（2）①如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．证明△PEB是等边三角形，求出OB
即可解决问题；
②如图3中，过点P作PH垂直于AC，当B'、P、H共线时，△ACB′的面积最大，求出PH的长即可
解决问题．
解：（1）如图1中，
∵等边△ABC的边长为8，
∴等边△ABC的面积= ，
∵PB=3AP，
∴△BPC的面积为 ；故答案为：12 ；
（2）①如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O，
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，
∴△PEB是等边三角形，
∵PB=5，且B，B′关于PE对称，
∴BB′⊥PE，BB′=2OB，
∴∠PBO=30°，
∴OP= PB= ，OB= ，
∴BB′=5 ；
②如图3中，过点P作PH垂直于AC，
由题意可得：B'在以P为圆心半径长为6的圆上运动，
当HP的延长线交圆P于点B′时面积最大，
在Rt△APH中，∵AB=8，PB=6，
∵PA=2，
∵∠PAH=60°，
∴AH=1，PH= ，∴BH=6+ ，
∴S ACB = ×8×（6+ ）=4 +24．
′的最大值
△
【点拨】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，勾股定理，含30°
的直角三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
属于中考压轴题．
20．（1）见分析；（2）DE+BF的最小值为2 ；（3）四边形ABCD的周长最大值为12+4 ．
【分析】（1）如图①中，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，则点P即为所求的点；
（2）如图②中，作DM∥AC，使得DM=EF=2，连接BM交AC于F，由四边形DEFM是平行四边形，可
得DE=FM，从而可得DE+BF=FM+FB=BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，由四边形ABCD
是菱形，在Rt BDM中，利用勾股定理求得BM即可得；
（3）如图△③中，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC，先证明AC=CD+CB，然后证明当AC为
ABC的外接圆的直径时，四边形ABCD的周长最大即可得.
△ 解：（1）如图①中，作点A关于直线 的对称点A′，连接A′B交直线 于P，连接PA，则点P即为所求
的点．
（2）如图②中，作DM∥AC，使得DM=EF=2，连接BM交AC于F，
∵DM=EF，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴DE=FM，
∴DE+BF=FM+FB=BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=3 ，
在Rt ADO中，OD= =3，
△
∴BD=6，
∵DM∥AC，
∴∠MDB=∠BOC=90°，
∴BM= ．
∴DE+BF的最小值为2 ．
（3）如图③中，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC．
∵∠DAB=60°，∠DCB=120°，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∵AD=AB，∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠ACD=∠ADB=60°，
∵DM=DC，
∴△DMC是等边三角形，
∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC，
∴∠ADM=∠BDC，
∵AD=BD，∴△ADM≌△BDC，
∴AM=BC，
∴AC=AM+MC=BC+CD，
∵四边形ABCD的周长=AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC，
∵AD=AB=6，
∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，
∴当AC为 ABC的外接圆的直径时，四边形ABCD的周长最大，易知AC的最大值=4 ，
△
∴四边形ABCD的周长最大值为12+4 ．
【点拨】本题考查四边形综合题，涉及到轴对称、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性
质、四点共圆等知识，灵活运用所学知识、利用辅助圆解决最值问题是解题的关键.
21．（1） 或2秒钟后点P、Q的距离为 ；（2） 或6秒钟后 为直角；（3）
【分析】（1）设x秒钟后点P、Q的距离为 ，得出 ， ，再根据勾股定理求解
即可；
（2）设y秒钟后 为直角，得出 ， ， ， ，再根据勾股定理
得出 ， ， ，最后根据勾股定理的逆定理求解即可；
（3）先根据 求出 ，从而得到 与 的长，再根据 推出点M的运动路
径，得知点M在以 为直径的 上运动，连接 与 交于点M，此时 即为最小，求出此时的
即可．
解：（1） 或2秒钟后点P、Q的距离为 ，
理由如下：设x秒钟后点P、Q的距离为 ，
由题意可得 ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，在 中， ，
∴ ，
解得 ， ，
∴ 或2秒钟后点P、Q的距离为 ；
（2） 或6秒钟后 为直角，
理由如下：设y秒钟后 为直角，
此时 ， ， ， ，
由勾股定理得 ， ， ，
∵ 为直角，
∴ ，
即 ，
解得 ， ，
∴ 或6秒钟后 为直角；
（3）当 时，有 ，
解得 ，
∴此时 ，
如图， 内动点M使得 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点M在以 为直径的 上运动，
如图，连接 与 交于点M，此时 即为最小，
，
，
∴ ，
∴线段 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形上的动点问题，勾股定理以及逆定理，圆的基本性质等知识点，理解题意，
找出动点的运动路径是解题的关键．
22．问题情境：见分析；问题解决：（1） ；（2）
【分析】[问题情境]连结 ，取 的中点 ，连结 、 ，根据直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半，可得 ，以此即可证明；
[问题解决]（1）根据题意可得 ，由[问题情境]结论可知 、 、 、 四点共
圆，根据圆周角定理以及正方形的性质可得 ，则 为等腰直角三角形，设 长为 ，
则 长为 ，根据勾股定理列出方程，求解即可；
（2）由[问题情境]结论可知 、 、 、 四点共圆，过点 作 于点 ，作 于点，连接 交 于点 ，连接 ，根据题意可得四边形 为矩形，则要求 的最小值，即求
的最小值，根据平行线的性质和中点的定义可得 为 的中位线，得 ， ，同理可证
四边形 为矩形，以此得到 ， ，根据勾股定理得 ，根据两
点之间线段最短得 ，以此即可求出 的最小值，从而求得 的最小值．
解：[问题情境]证明：如图，连结 ，取 的中点 ，连结 、 ，
， 为 的中点，
，
、 、 、 四点共圆；
[问题解决]
（1） 四边形 为正方形，点 是边 的中点， ，
， ，
，
由[问题情境]结论可知， 、 、 、 四点共圆，如图，
，
为正方形 的对角线，
，
，
为等腰直角三角形，设 长为 ，则 长为 ，
，
即 ，
解得： ， （不合题意，舍去），
线段 的长度为 ；
故答案为： ；
（2）由[问题情境]结论可知， 、 、 、 四点共圆，
如图，过点 作 于点 ，作 于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
， ，
，
四边形 为矩形，
，
要求 的最小值，即求 的最小值，
由（1）知， ，
，
，且点 为 的中点，
，
为 的中位线，
， ，
， ，
四边形 为矩形，， ，
，
在 中， ，
根据两点之间线段最短得， ，
，
的最小值为 ，
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查四点共圆、正方形的性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理、中位线的判定
与性质、平行线的判定与性质，属于圆的综合题，熟练掌握相关知识是解题关键．
23．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）先证明 得到 ，再证明 ，即可证
明 ；
（2）由（1）可得 ，则 的面积等于 面积．如图①，作 的外接圆
，连接 ，过点 作 于点 ，设 的半径为 ．先求出 ．则可得
．由 ，得到 ，由此得到 得到最小值为 ，据此即
可得到答案．
（3）如图，在 上分别截取 ， ，连接 ，先根据等边对等角和三角形内角
和定理证明 ，作 的外接圆 ，分别过点 作 于点 ， 于点 ，
由已知得 ．连接 ，设 的半径为 ，利用圆周角定理求出 ，则
．即可得到 ，再由 ，推出 ，由此求出 得最小值为
，则可得 的最小值为 ．解：（1）∵四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）由（1）可得 ，则 的面积等于 面积．
如图，作 的外接圆 ，连接 ，过点 作 于点 ，
设 的半径为 ．
，
∴ ，
．
在 中， ， ．
．
又 ， ，
，
．
当 时， 取得最小值即 ．
的最小面积为 ．的最小面积为 ．
（3）如图，在 上分别截取 ， ，连接 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
作 的外接圆 ，分别过点 作 于点 ， 于点 ，由已知得 ．
连接 ，设 的半径为 ，
由 可得 ，则 ．
，
， ，
，即
，
当 四点共线时， 取最小值10，此时 ，
∴ ．
，
的最小值为 ．【点拨】本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的性质与判定等等，正
确作出辅助线是解题的关键．
24．（1）8；（2）
【分析】（1）如图所示，过点A作 于F， 交 延长线于E，先证明四边形
是矩形，得到 ，再证明 ，得到 ，则四边形 是正
方形，则 ；
（2）如图所示，过点E作 于D，由题意得到 ，则 是等腰直角三角形，
由此求出 ；再求出 ；将 绕点E顺时针旋转 得到 ，则
， ，证明 三点共线；由
，可知当 的面积最小时，四边形 的面积最大，作 的外接
圆 ，连接 ，过点O作 于N，设 ，求出 ，得到
，则 是等边三角形，即可得到 ， ，由 ，求出
，则 的最小值为 ，则 的最大值为 ．
（1）解：如图所示，过点A作 于F， 交 延长线于E，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，过点E作 于D，
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
将 绕点E顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，∴ 三点共线，
∵
，
∴当 的面积最小时，四边形 的面积最大，
作 的外接圆 ，连接 ，过点O作 于N，设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
∴ 的最大值为 ．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，
旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
