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第24 章 圆（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在平面直角坐标系中，点P的坐标为 ，以原点O为圆心，6为半径作圆，则点P与⊙O的位置关
系为（ ）
A．点P与⊙O内 B．点P与⊙O上 C．点P与⊙O外 D．无法确定
2．如图，线段 是 的直径， 于点E，若 长为16， 长为6，则 半径是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
3．一个三角形的一边长为12，另外两边长是一元二次方程 的两根，则这个三角形外接圆
的半径是（ ）
A． B．5 C． D．8
4．如图，木工用角尺的短边紧靠 于点A，长边与 相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知
， ，则 的半径为（ ）
A．8 B．5 C．10 D．
5．如图，正五边形 内接于 ，若 的半径为10，则 的长为（ ）A． B． C． D．
6．如图，将⊙O沿弦 折叠，点C在弧 上，点D在弧 上，若 ，则 （ ）
A．70° B．110° C．125° D．140°
7．如图①，点A、B是 上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点
A，运动时间是 ，线段 的长度是 .图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（ ）A． B． C． D．
9．如图所示，已知三角形 为直角三角形， ，BC为 切线， 为切点， 为 直径，
则 和 面积之比为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，⊙O是 ABC的外接圆，将 ABC绕点C顺时针旋转至 EDC，使点E在⊙O上，再将 EDC
沿CD翻折，点E恰△好与点A重合，已知△∠BAC=36°，则∠DCE的度△数是（ ） △
A．24 B．27 C．30 D．33
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，点A在半圆O上， 是直径， ．若 ，则 的长为 ．
12．如图，在 中，弦 的长为10，圆周角 ，则这个圆的直径 为 ．13．如图，A，B，C，D四点都在 上，则图中一定和 相等的角是 ．
14．已知 的半径是一元二次方程 的一个根，圆心 到直线 的距离 ，则直线 与
的位置关系是 ．
15．如图， 与 的边 ， ， 分别相切于点 ， ， ，如果 ， ， ，
那么 的长为 ．
16．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是 的中点，AC与BD交于点E．若E是BD
的中点，则AC的长是 ．
17．如图，正方形 内接于⊙O，线段 在对角线 上运动，若⊙O的周长为 ， ，则
周长的最小值是 ．18．如图，在 中， ， ，以点A为圆心， 长为半径画弧，交 延长线于点
D，过点C作 ，交 于点 ，连接BE，则 的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知：如图，在 中， 为互相垂直的两条弦， ，D、E为垂足．
(1)若 ，求证：四边形 为正方形．
(2)若 ，判断 与 的大小关系，并证明你的结论．
20．（8分）如图，在菱形ABCD中， ，P为AC，BD的交点， 经过A，B，P三点．
(1)求证：AB为 的直径．
(2)请用无刻度的直尺在圆上找一点Q，使得BP=PQ（不写作法，保留作图痕迹）．21．（10分）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结CG，DG
(1)若∠A＝25°，求弧CD的度数；
(2)求证：∠DGC＝2∠BAC；
(3)若⊙O的半径为5，BE＝2，求弦AC的长．
22．（10分）如图， 是以 为直径的半圆上的两点， ，连结 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求阴影部分的面积．23．（10分）如图，以线段 为直径作 ，交射线 于点 ， 平分 交 于点 ，过点
作直线 于点 ，交 的延长线于点 ．连接 并延长交 于点 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的长．
24．（12分）已知四边形 内接于 ，对角线 于 ，连接 交 于点 ．
(1)如图1，延长 交 于 ，连接 ，求证： ；
(2)如图2，作 于 ，交 于 ，连接 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，连接 ，若 ， ， ， ，求 长．参考答案
1．A
【分析】先计算 的长度，再与半径 比较：若 ，则点在圆上；若 ，则点在圆外；若 ，
则点在圆内．
【详解】解：
∵
∴点P与⊙O内
故选：A
【点拨】本题考查点与圆的位置关系．掌握相关结论是解题关键．
2．D
【分析】连接 ，由垂径定理可得 ，由勾股定理计算即可获得答案．
【详解】解：如图，连接 ，∵线段 是 的直径， 于点E， ，
∴ ，
∴在 中，可有 ，
∴ 半径是10．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．
3．C
【分析】先求出方程的解，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半作答．
【详解】解： ，
因式分解得 ，
解得 ，
∵ ，
∴这个三角形是直角三角形，且斜边为13，
∴这个三角形外接圆的半径是斜边长的一半即 ，
故选C．
【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理和求三角形外接圆的半径，熟记直角三角形外
接圆的半径等于斜边的一半是解题的关键．
4．C
【分析】连接 ，过点A作 ，垂足为D，利用勾股定理得出 ，求解即可．
【详解】连接 ，过点A作 ，垂足为D，如图，∵ 与 相切于点B，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
设圆的半径为 ，
在直角 中，由勾股定理得， ，
即 ，
解得 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是
解题的关键．
5．B
【分析】先根据题意求出中心角 的度数，再根据弧长公式进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接 ，
由题意得， ，
∴ 的长 ，
故选B．
【点拨】本题主要考查了正多边形与圆，弧长公式，正确求出中心角 的度数是解题的关键．6．B
【分析】作出弧 所对的圆周角 ，求出 即可．
【详解】解：作出弧 所对的圆周角
∵
∴
∵⊙O沿弦 折叠
∴
故选：B
【点拨】本题考查了折叠的对称性、圆的内接四边形互补等知识点．作出弧 所对的圆周角 是解
题关键．
7．D
【分析】从图2看，当 时， ，即此时 、 、 三点共线，则圆的半径为 ，当
时，由勾股定理逆定理可知， ，则点 从点 走到 、 、 三点共线的位置时，此时 ，
走过的角度为 ，可求出点 运动的速度，当 时， ，即 是等边三角形，进而求
解．
【详解】解：从图2看，当 时， ，即此时 、 、 三点共线，
则圆的半径为 ，
当 时， ，
是直角三角形，且 ，
则点 从点 走到 、 、 三点共线的位置时，如图所示，此时 ，走过的角度为 ，则走过的弧长为 ，
点 的运动速度是 ，
当 时， ，即 是等边三角形，
，
，
此时点 走过的弧长为： ，
，
故选：D．
【点拨】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系．
8．B
【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定的数据由勾股定理求出母线 的长度，
再用侧面积公式即可得出结论．
【详解】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，
，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥的计算、勾股定理等知识，由几何体的三视图可得出原几
何体为圆锥是解题的关键．
9．B
【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算即可．
【详解】解：如图取 中点O，连接 ．
∵ 是圆O的直径．
∴ ．
∵ 与圆O相切．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
又∵ ．
∴ ．
∵ ， ， ．
∴ ．
∴ ．
∵点O是 的中点．
∴ ．
∴ ．
∴
故答案是：1∶2．
故选：B．
【点拨】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．
10．B
【分析】延长CD交 O于点F，连接AF，则由CD经过圆心O可得∠CAF＝90°，先由翻折得到∠BCA
＝∠DCA，AB＝AD，⊙∠CAD＝∠CAB＝36°，然后得到∠FAD＝54°，再由圆周角定理得到AB＝AF，进
而得到AF＝AD，也就有∠ADF＝∠AFD＝63°，再由三角形的外角性质得到∠ACD的大小，最后由旋转
的性质得到∠DCE的大小．
【详解】解：如图，延长CD交 O于点F，连接AF，
⊙
由题可知， ,
垂直平分 ,
CD经过圆心O，
∴∠CAF＝90°，
由翻折得，∠DCA＝∠BCA，AB＝AD，∠CAD＝∠CAB＝36°，
∴∠FAD＝∠CAF﹣∠CAD＝90°﹣36°＝54°，AB＝AF，
∴AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD＝ （180°﹣∠DAF）＝ （180°﹣54°）＝63°，
∵∠ADF是△ACD的外角，
∴∠ACD＝∠ADF﹣∠CAD＝63°﹣36°＝27°，
∴∠BCA＝27°，
由旋转的性质得，∠DCE＝∠BCA＝27°，
故选：B．
【点拨】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、翻折的性质、三角形的外角性质，解题的关键是熟知“直径所对的圆周角为直角”求得∠DAF的大小．
11．
【分析】连接 ，由圆心角，弦，弧的关系可得 ，结合等腰直角三角形的性质可求解 的长，
进而可求解 的长．
【详解】解：连接 ，
∵ ， 是直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解 ， 的长是解题的关键．
12．
【分析】连接 ，根据勾股定理和圆周角定理的推论即可求解．
【详解】连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵直径 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．【点拨】本题考考查圆周角定理和勾股定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键
13．
【分析】可求 ， ，据此即可求解．
【详解】解：由题意得
四边形 是 内接四边形，
，
，
；
故答案： ．
【点拨】本题考查了圆的内接四边形的性质，掌握性质是解题的关键．
14．相交或相切
【分析】利用因式分解法求得一元二次方程的两个根，再根据直线与圆的位置关系求解即可．
【详解】解：由 可得
解得 ，
即 的半径是3或4
当 的半径是3时， ，即 ，直线与圆相切，
当 的半径是4时， ，即 ，直线与圆相交，
故答案为：相交或相切
【点拨】此题考查了一元二次方程的求解以及直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握一元二次方程的求
解以及直线与圆的位置关系．
15．7
【分析】由切线长定理证明 ， ， ，结合 ， ，可得
， ，从而可得答案．
【详解】解：∵ 与 的边 ， ， 分别相切于点 ， ， ， ，∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为7
【点拨】本题考查的是切线长定理的应用，熟记切线长定理的含义是解本题的关键．
16．
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF=CF，进而证得DF=BC，根据三角
形中位线定理求得OF= BC= DF，从而求得BC=DF，利用勾股定理即可求得AC．
【详解】解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是 的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF= BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF=BC，
∴OF= DF，
∵OD=3，
∴OF=1，AB=2OD=6，
∴BC=2，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的
关键．
17． /
【分析】过点 作 ，令 ；可推出四边形 为平行四边形，有 ；根据
可知当 时， 周长有最小值.
【详解】解：过点 作 ，令
∵⊙O的周长为 ，
∴⊙O的半径为
∴
∵ 且
∴四边形 为平行四边形
∴
由正方形的对称性可得：
∴∴
故：当 时， 周长有最小值
此时：
∴ 周长的最小值是
故答案为：
【点拨】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质等．推出当 时， 周长有最
小值是解题关键．
18． ．
【分析】连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，设AC=BC=a，求出
AF=CF= ，由勾股定理求出CE，再由勾股定理求出BE的长即可得到结论．
【详解】解：连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，如图，
设AC=BC=a，
∵
∴ ，
∴ ，
∵
∴∵
∴
∴
∴
设CE=x，则FE=
在Rt△AFE中，
∴
解得， ， （不符合题意，舍去）
∴
∵
∴
∴
∴
在Rt△BGE中，
∴
∴
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与圆的基本概念等知识，正确作出辅助
线构造直角三角形是解答此题的关键．
19．(1)见解析
(2)OD＜OE【分析】（1）先根据垂径定理，由OD⊥AB，OE⊥AC得到AD＝ AB，AE＝ AC，且∠ADO＝∠AEO＝
90°，加上∠DAE＝90°，则可判断四边形ADOE是矩形，由于AB＝AC，所以AD＝AE，于是可判断四边形
ADOE是正方形；
（2）由（1）得四边形ADOE是矩形，可得OE＝AD＝ AB，OD＝AE＝ AC，又AB＞AC，即可得出OE
和OD的大小关系．
【详解】（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，
∴四边形ADOE为矩形，
且OD平分AB，OE平分AC，
∴BD＝AD＝ AB，AE＝EC＝ AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∴四边形ADOE为正方形．
（2）解：OD＜OE，
理由如下：由（1）得四边形ADOE是矩形，
∴OE＝AD，OD＝AE，
∵AD＝ AB，AE＝ AC，
∴OE ＝ AB，OD＝ AC，
又∵AB＞AC，
∴OD＜OE．
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、也考查了正方形
的判定．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据菱形的性质可得∠APB=90°，再由90°角所对的弦为圆的直径，即可求证；
（2）延长DA交 于点Q，连接PQ，则PQ即为所求，理由：连接BQ，根据AB为 的直径，可得∠AQB=90°，从而得到∠BDQ+∠PBQ=90°，再由菱形的性质可得∠ABP+∠PBQ=90°，再由圆周角定理，即
可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠APB=90°，
∵ 经过A，B，P三点．
∴AB为 的直径；
（2）解：如图，延长DA交 于点Q，即为所求，
理由：连接BQ，
∵AB为 的直径，
∴∠AQB=90°，
∴∠BDQ+∠PBQ=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=AD，
∴∠APB=90°，∠BDQ=∠ABP，
∴∠ABP+∠PBQ=90°，
∵∠ABP+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠PBQ，
∵∠BAP=∠BQP，
∴∠PBQ =∠BQP，
∴BP=PQ．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，菱形的性质，熟练掌握圆周角定理，菱形的性质是解题的关键．
21．(1)
(2)见解析(3)
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，得 ，根据∠A=25°，即得 为50°，即可
得到 ；
（2）连接AD，根据弦CD⊥直径AB，可得∠BAC=∠BAD，即∠DAC=2∠BAC，又∠DGC=∠DAC，即可得
∠DGC=2∠BAC；
（3）连接OC，由⊙O的半径为5，BE=2，得OC=5，OE=3，AE=8，根据CD⊥AB，得CE2=16，在
Rt ACE中，即可得AC=4
△
【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴ ，
∵∠A=25°，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：连接AD，如图：
∵弦CD⊥直径AB，
∴ ，
∴∠BAC=∠BAD，
∴∠DAC=2∠BAC，又∵∠DGC=∠DAC，
∴∠DGC=2∠BAC；
（3）连接OC，如图：
∵⊙O的半径为5，BE=2，
∴OC=5，OE=OB-BE=3，AE=AB-BE=8，
∵CD⊥AB，
∴CE2=OC2-OE2=52-32=16，
在Rt ACE中，AE2+CE2=AC2，
△
∴ ．
【点拨】本题考查圆的性质及应用，涉及勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理、圆周角定理等圆的性质
及熟练运用勾股定理．
22．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝
∠ACD，进而得到结论；
（2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形 的面积相等，继而得到结论．
【详解】（1）证明：∵ = ，
∴∠ACD＝∠DBA，
又 ∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴ ；
（2）解：如图，连结OC，OD．∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°,
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵ ，
∴S DOC=S DBC，
△ △
∴S =S COD+S DOC=S COD+S =S COD，
阴影 弓形 弓形 DBC 扇形
△ △
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S = ．
扇形COD
∴S ．
阴影=
【点拨】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的
关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明OD AC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明
直线DE是⊙O的切线；
（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM；
（3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则 ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝
30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，△得BF＝BD＝2．
【详解】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）证明： 线段 是 的直径，
，
∴∠ADM＝180°－∠ADB＝ ，
∴∠M＋∠DAM＝ ，∠ABM＋∠DAB＝ ，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
【点拨】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性
质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半
等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图1中，根据圆周角定理的推论得到 ，利用等角的余角相等证明即可
（2）利用角度之间的关系证明 垂直平分 即可解决问题；
（3）如图3中，作 交 于点 ， 于点 ， 于点 ，证明 和
都为等腰直角三角形，进一步证明 ，推出 ， ，推出
，推出 ，可得 ，由此即可解决问题．
【详解】（1）解： 为 直径，
，
，
与点 ，
，
，
，
；
（2） 于点 ，
，
于点 ，
，，
，
，
，
，
，
垂直平分 ，
；
（3）如图，作 交 于点 ， 于点 ， 于点 ，
，
，
，
，
和 都为等腰直角三角形，
， ， ，
，
，
， ，
，
，
，设 ，
，
，
解得： ，
，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，
勾股定理，解答本题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
