广州初中数学教研群常规讨论记录5

垂线引出定圆：一道面积最大值题的七种手稿

—— 广州初中数学教研群讨论实录（第二辑）

引言：题目短小干净，解法却百花齐放——坐标复数、比例设参、角参数、判别式、四点共圆轮番登场。多位老师的手稿殊途同归：动点 F 的轨迹落在一段定圆弧上，最值随之而来。

01题目　PROBLEM

（广州甘清改）如图，Rt△ABC 中，BC=3，D 在 AB 上，AD=2，DE∥AC 交 BC 于点 E，BF⊥DE，垂足为 F，连接 FC，求 △BFC 面积最大值。

图 1：题目原图

02罴神法一　COORDINATE

罴神以坐标设参、配合复数运算定出轨迹，再由圆心与半径收束出最值，手稿如下：

图 2：黑神法一手稿

03罴神法二　TWO LINES

罴神的第二个方法只有两行关键式，点到为止：

且 ∠BFC 为定角。手稿如下：

图 3：黑神法二手稿

04金刚老师法二　SUBSTITUTION

金刚老师把底边分段设参，列比例式求最值：

后续演算见手稿：

图 4：金刚老师法二手稿

05陈老师手稿　ANGLE PARAMETER

陈老师以角为参数（图中标注 α、β），关键一步是：

图 5：陈老师手稿

06张老师手稿　TRIGONOMETRY

张老师同样走三角路线，设 F 到 BC 的距离为 h，一路化到最值：

于是 △BFC 的面积：

图 6：张老师手稿

07Zosimos 手稿　DISCRIMINANT

Zosimos 老师先代数设参、用判别式求出最值，再在图中点破本质：F 在以 O 为圆心、半径为 √13/2 的圆上，于是：

图 7：Zosimos 手稿

08平头哥手稿　CYCLIC QUADRILATERAL

金刚老师和平头哥的构造最为漂亮，以下是平头哥的手稿：作 □ADGC，则 B、G、C、F 四点共圆，半径 r=√13/2；F 到 BC 的距离 h≤r−OH，即：

于是：

图 8：平头哥手稿

09结语　SUMMARY

七份手稿，殊途同归：F 的轨迹是一段定圆弧，圆的半径为 √13/2，△BFC 面积的最大值为 (3√13−6)/4。感谢做题老师，各种方法各有味道。

欢迎评论区思考其他方法．

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