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【初中数学】解题:哈尔滨德强中学2026-2027学年九年级上学期9月月考第27题
【初中数学】解题:哈尔滨德强中学2026-2027学年九年级上学期9月月考第27题在平面直角坐标系里，O为坐标原点，抛物线y=-(x+1)(x-3)与x轴负半轴交于A点，与x轴正半轴交于B点，与y轴交于C点。P在抛物线第一象限上，PD⊥x轴于D，AP交x轴于点E。（求OD与OE的函数关系式） 点F在OC延长线上，点B关于y轴的对称点为G，∠DFO=∠CGE。 连接GC、BC、GE，点M在CE上，∠CMP=∠GEO。 点H在第四象限内，连接HE、HB，∠GEH=∠CBH=90°。 3(HE-PM)=√10CF，求EM的长。 
--------我是解题分割线-------- 我把原题重新解读抄写，第一问直接当作已知，第二问也简略。 由题意得，A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)，G(-3,0)。 设OD=t，PD=(t+1)(3-t)，△AEO相似△ADP，则AO/AD=OE/DP，即OE=3-t，CE=t。 第三问，给的条件是三组角和一组边。 其中∠CMP=∠GEO最容易判断，GE//PM，也就是说，P点是动点，当P确定为某处时，E点就确定了，直线GE也确定了，直线PM也确定了，M点就确定了。 ∠DFO=∠CGE，因为∠CGO=45°，可以理解成当P点确定，E点也确定，D点也确定了，∠CGE就确定了，∠DFO也确定下来，F点也就固定不动了。 这时最后一个等式3(HE-PM)=√10CF就是用来解P点位置的，但是又涉及点H了，还有一个条件∠GEH=∠CBH=90°来确定H点呢。 C、B都是定点，则直线BH是确定的，当E点确定时，EH⊥GE交BH于H，所以H点也能确定下来。∠OBC=∠OBH=45°，所以EH这条线段比较特殊，似乎能倒出来一线三垂直模型，嗯，就从它入手。 G(-3,0)，E(0,3-t），则直线GE：y=(t/3)x+t，因为EH⊥GE，易求直线EH：y=(-3/t)x+t，直线BH：y=x-3，联立EH、BH，解得H(3-t,-t)，即GE=EH。 互相垂直的两条直线如何求，这里初中生可以用辅助线来解决，在高中解析几何里，直接用斜率互为负倒数和点斜式方程可求，我就直接简写结论，没画那么多线了。 所以3(HE-PM)=√10CF中的HE换成了GE，GE//PM，那么他们俩的差，是可以用相似三角形的其他边来表示的。 过M作MN⊥PD于N。易证△GOE相似△MNP；顺便把∠DFO=∠CGE利用上，再构建一个相似三角形吧，过E做EK⊥GE于K，则△GEK相似△FDO。 
∵CE=OD=t，∠GEO=45°，∴△GEK相似△FDO的相似比为1:√2，OF=√2GK，GC=3√2，则GK=√2(3-t/2），OF=6-t，CF=3-t。 GO=3，MN=t，则△GOE相似△MNP的相似比为3:t，PM/GE=t/3，PM=(t/3)GE，GE-PM=(1-t/3)GE。 ∵3(HE-PM)=√10CF，所以3(1-t/3)GE=√10(3-t)，即GE=√10，由△GEO勾股定理得，t=2，P(2,3)，E(0,1)，易求EM=4/3。 --------我是招生分割线-------- 初中八年级、九年级数学超前班 【初中招生】新八年级、新九年级超前学习培训班招生 招生：八年级、九年级学生，校排名前15%吧，省重点一批次配额一般是各校学生的11%左右，前15%即基本上能进省重点中学。 学习内容：略讲初中数学，高中数学一轮、二轮。 时间：即日起，秋季学期、寒假、春季学期、暑假。九年级下学期备战中考。 目标：保证初中校内成绩的前提下，提前布局高中学习，若有可能，高一高二冲击数学联赛、西交中科大少年班、高三冲击强基计划；若力所不及，至少高中数学学习较为轻松吧。 主讲老师：我自己，北京普通大学毕业，高中陪跑十多年。 --------我是另一个招生分割线-------- 高中六实一数学培优班 【高中招生】新高一六实一数学特优培训班开始招生啦 招生：高一学生，喜欢数学有一定特长，能考上六中、省实验、一中或意外落入强市重点的学生。 学习内容：高中数学一轮（顺序有调整），略超高考难度，内容略多高考。 时间：即日起，暑假、秋季学期、寒假、春季学期。 目标：保证高中校内成绩的前提下，若有可能，高二高三冲击数学联赛、升学多一个选择（强基计划）；若力所不及，转为普通班学习正常高考内容吧。 主讲老师：我自己，北京普通大学毕业，高中陪跑十多年。 某信工重号：冰城数理思维 某因：有派 --------我是加好友分割线-------- 冰城数理思维，致力于培养学生数学逻辑思维能力，学习演绎、归纳、类比等推理方式，让孩子爱上数学，让天赋得以发挥。关注我公众号，加我微信。 
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