高中数学| 高中数学单调性知识点总结

函数单调性的定义法证明步骤
用定义法证明单调性，按 “取值→作差 / 作商→变形→定号→下结论” 五步走，区间内任意取 x₁、x₂且 x₁＜x₂。
步骤
取值：∀x₁, x₂∈D，x₁＜x₂。
作差 / 作商：Δf=f (x₁)−f (x₂)；作商需 f (x₂)＞0，比较 f (x₁)/f (x₂) 与 1。
变形：因式分解、通分、有理化、配方，尽量化为乘积 / 商式。
定号：判断 Δf 的正负；作商看与 1 的大小。
结论：Δf＜0⇒增；Δf＞0⇒减（作商反之）。
例
f (x)=x² 在 (0,+∞)：Δf=(x₁−x₂)(x₁+x₂)＜0⇒增。
f (x)=x+1/x 在 (0,1)：Δf=(x₁−x₂)(1−1/(x₁x₂))，因 x₁x₂＜1⇒1−1/(x₁x₂)＜0⇒Δf＞0⇒减。
易错
必须 “同一区间内任意取”，不能取特定值。
变形要彻底，符号由各因子符号决定。
区间不能用并集，用 “，” 或 “和”。
作商
需先证 f (x)＞0；f (x₁)/f (x₂)＜1⇨f (x₁)＜f (x₂)。