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初中数学学霸秘籍3:把动比例＂搬＂到定圆上k 的最小值就出来了
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【261003】平行线 ＋ 手拉手相似 ＋ 隐藏圆：两种造法，同一个 √2 − 1
【题目】如图，在四边形 ABCD 中，AB = 2√3，AC = 2，∠BAC = ∠ACD = 60°，设 AD = k·BD，则 k 的最小值为______。
k 是两条动线段的比，硬算没门——先找到那把"钥匙"
这题的条件只有三个，但个个有用：两个 60° 拼出平行，一条定长垂线当"尺子"，一个直角牵出隐藏圆。下面按法一走全程，法二给另一种造法——你会看到它们其实是同一件事。
1破题：两个 60° 先送一条平行线
∠BAC 和 ∠ACD 是直线 AB、CD 被 AC 所截形成的内错角，它们都是 60°——内错角相等，两直线平行：
AB ∥ CD
这下图形看清了：D 只能在过 C 且平行于 AB 的那条直线上滑动。A、B、C、那条直线全是定的——动的只有 D 一个。接下来的一切，都是围绕"怎么用这条平行线"展开。
2法一第一步：作垂线，抓一条定长线段
过 B 作 BT ⊥ CD（垂足 T 在 DC 延长线上），过 C 作 CE ⊥ AB 于 E：
因为 AB ∥ CD，两条平行线之间的距离处处相等，所以 BT = CE。而 CE 在 Rt△AEC 里直接可算（∠EAC = 60°）：
BT = CE = AC·sin60° = 2 × (√3/2) = √3
注意 T 是定点（B 定、CD 那条线定，垂线段就定）。另外 BT ⊥ CD 而 CD ∥ AB，所以 BT ⊥ AB，即 ∠ABT = 90°——这个直角后面要用。
3法一第二步：造相似，把 k "搬"到一条线段上
现在的困境：AD 和 BD 都会动，比值 k 抓不住。办法是造一个相似，给 k 找个"替身"：作点 F，使
△BFT ∽ △BAD（B↔B，F↔A，T↔D）
由对应边成比例：FT/AD = BT/BD，移一下就是——
k = AD/BD = FT/BT = FT/√3
k 变成了 F 到定点 T 的距离！下一步只需弄清 F 在哪儿。两个相似三角形共顶点 B，手拉手再拉出一对：△BAF ∽ △BDT，于是对应角
∠AFB = ∠DTB = 90°（BT ⊥ CD）
∠AFB = 90° 意味着什么？F 始终在以 AB 为直径的圆上——圆心 O 是 AB 中点，半径 = AB/2 = √3。隐藏圆现身了：
图 2 F 被锁在红色虚线圆上，FT 的最小值就是答案的 √3 倍
4法一收口：定点到定圆，减个半径
T、O 都是定点。Rt△OBT 中，∠OBT = 90°（第 2 步埋下的直角），OB = √3，BT = √3：
OT = √(OB² ＋ BT²) = √(3 ＋ 3) = √6
F 在半径 √3 的圆上，T 在圆外，所以 FT ≥ OT − OF = √6 − √3（F 落在线段 OT 上时取等）。代回 k 的"替身式"：
k = FT/√3 ≥ (√6 − √3)/√3 = √2 − 1
负责任的检查：取等时 F 在线段 OT 上，对应的 D 可以真实作出（此时 CD = √6 − √3 ＋ 1，按坐标实算 ∠ACD = 60°、比例关系全部吻合），所以 √2 − 1 取得到，是最小值。
5法二：把比例写成乘积，再拉一个更大的圆
法一是"造相似搬比例"，法二换个包装——把比例写成乘积。在 BD 上取点 O，使 BO·BD = BA² = 12；在 BT 上取点 F，使 BT·BF = 12（BF = 12/√3 = 4√3，F 在 BT 延长线上）。
由 BO·BD = BT·BF，加上公共角 ∠OBF = ∠TBD，得 △BOF ∽ △BTD，于是
∠BOF = ∠BTD = 90°
所以 O 在以 BF 为直径的圆上：圆心 M 是 BF 中点，半径 = 2√3。∠MBA = 90°（BM 沿 BT，而 BT ⊥ AB），在 Rt△MBA 中：
MA = √(MB² ＋ BA²) = √(12 ＋ 12) = 2√6
于是 AO ≥ MA − MO = 2√6 − 2√3。还差最后一块拼图：BO·BD = BA² 就是 BO/BA = BA/BD，加上公共角 ∠OBA = ∠ABD，得 △BOA ∽ △BAD，所以
AD/BD = AO/AB
代进去：
k = AO/AB ≥ (2√6 − 2√3)/(2√3) = √2 − 1
图 3 图中的 O 恰好落在 AM 上——这正是取等的位置
6两种造法，其实是同一件事
把两种方法摆在一起看：
· 法一：△BFT ∽ △BAD，比例系数 BT/BD —— F 是 D 的"缩放影子"；
· 法二：BO·BD = BA² ＝ BT·BF，本质还是那对相似 —— O 是 D 的另一个影子；
· 共同点：先靠 平行 拿到定长和直角，再用 相似 把动线段搬到一个定点附近，最后让 隐藏圆 给出最小值。
顺带一提：法一造的圆小（半径 √3），但 T 离得近；法二造的圆大（半径 2√3），但 A 离得也远。算到最后，√2 − 1 分毫不差——好方法殊途同归。
三句话带走
·见等角先找平行 —— 内错角相等一出手，动点 D 就上了固定轨道，图形立刻"定"了一大半。
·动比例搬搬家 —— 造 △BFT ∽ △BAD（或写成乘积 BO·BD = BA²），k 变成"定点到影子的距离"。
·相似附赠直角，直角送来隐圆 —— 90° 一现身就是直径圆，最小值 = 定点到圆心的距离 − 半径。
· 照例检验取等位置真实存在，才算闭环。
— END —
答案：√2 − 1。哪一步卡住了，留言说一声。
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学习加总结可成学霸。
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