天津高考真题拆解篇|连乘 + 累加型压轴(2023、2026 天津卷)

〇、上一篇的方法，这篇要 "用起来"

上一讲我们讲了导数不等式里最常用的一招 ——构造 + 放缩（没看的同学建议先翻上一篇，这篇会用到那个思路）。

这一讲我们往前走一步，看导数压轴第 (3) 问里最难、也最有区分度的一类：

连乘 ∏ 和累加 Σ。

很多同学一看到一长串相乘、或者带求和符号的式子就慌。其实这类题的套路非常固定，而且有个共同特点：

第 (3) 问的答案，几乎全靠第 (2) 问已经证好的那个不等式。

今天用 2023、2026 两道真题，把这个 "借力打力" 的过程完整走一遍。

（还不了解这个合集的同学说明一下：「天津高考真题拆解」专门把天津卷真题拆开，一道题讲透一个能复用的方法，不堆题、不炫技。）

例题一：2026 天津卷第 20 题第 (3) 问

【题目】

已知函数 f (x) = eˣ − ⅔sinx。

求实数 a 的最大值，使对任意 n ∈ N*，都有：

f(1)·f(½)·f(⅓)…f(1/n) ≥ (n+1)ᵃ

【分析】

注意，这道题的第 (2) 问已经证明了：

f(x) ≥ 1 + x/3

而第 (3) 问左边是 f 在 1、½、⅓… 这一串点上的连乘。

思路一下子就清楚了：把第 (2) 问的不等式，分别用到这一串点上，再把它们乘起来。

【解答】

▍第一步：调用第 (2) 问，代入一串点

在 f (x) ≥ 1 + x/3 中令 x = 1/k，得：

f(1/k) ≥ 1 + 1/(3k)

这样，每一项 f (1/k) 都有了一个下界。

▍第二步：证明 a = ⅓ 可行

我们想把这些下界乘起来，凑出 (n+1) 的形式。关键是注意到：

(1 + 1/(3k))³ = 1 + 1/k + 1/(3k²) + 1/(27k³) ≥ 1 + 1/k

（后面两项是正的，所以立方之后不小于 1 + 1/k。）

对 k = 1, 2, …, n 连乘：

∏(1 + 1/(3k))³ ≥ ∏(1 + 1/k)

右边是一个 "望远镜乘积"，中间全部约掉：

∏(1 + 1/k) = (2/1)(3/2)(4/3)…((n+1)/n) = n + 1

所以：

∏(1 + 1/(3k)) ≥ (n+1)¹⁄₃

再结合 f (1/k) ≥ 1 + 1/(3k)，得：

∏f(1/k) ≥ (n+1)¹⁄₃

这说明a = ⅓ 是可行的。

▍第三步：证明 a > ⅓ 不可行

光找到 ⅓ 还不够，题目要的是 "最大值"，我们得说明 a 不能再大。

这需要给连乘找一个 "上界"。由二次求导可以证明，x ∈ [0,1] 时：

f(x) ≤ 1 + x/3 + 2x²

令 x = 1/k：

f(1/k) ≤ 1 + 1/(3k) + 2/k²

连乘之后取对数：

ln∏f(1/k) ≤ Σ 1/(3k) + 2Σ 1/k²

利用 Σ1/k ≤ lnn + 1、Σ1/k² 有界（小于一个常数），可得：

∏f (1/k) ≤ C・n¹⁄₃（C 为常数）

也就是说，连乘的增长速度最多和 n¹⁄₃ 一样快。如果 a > ⅓，右边 (n+1)ᵃ 的增长速度是 nᵃ，比 n¹⁄₃ 更快，对充分大的 n 一定不成立。

所以：

a ≤ ⅓

综上，a 的最大值为：

a = ⅓

例题二：2023 天津卷第 20 题第 (3) 问

【题目】

已知函数

f(x) = (1/x + ½)ln(x+1)

第 (2) 问已证：x > 0 时 f (x) > 1。

证明：

⅚ < ln(n!) − (n+½)lnn + n ≤ 1

【分析】

这道题看起来是 "对数 + 阶乘"，更吓人。但它和例题一是同一个套路：

核心工具仍然是第 (2) 问的 f (x) > 1。

我们要做的，是把这个长长的式子设成一个数列 Aₙ，通过研究它 "相邻两项的差"，把第 (2) 问嵌进去。

【解答】

▍第一步：设 Aₙ，计算相邻两项之差

令：

Aₙ = ln(n!) − (n+½)lnn + n

先算初值：

A₁ = ln1 − (3/2)ln1 + 1 = 1

关键是算相邻两项的差。经过整理：

Aₙ − Aₙ₋₁ = 1 − (n−½)ln(n/(n−1))

注意到右边的 (n−½) ln (n/(n−1))，正好就是 f 在 1/(n−1) 处的值：

f(1/(n−1)) = (n−½)ln(n/(n−1))

所以：

Aₙ − Aₙ₋₁ = 1 − f(1/(n−1))

▍第二步：证明上界 Aₙ ≤ 1

由第 (2) 问 f (x) > 1，得：

f(1/(n−1)) > 1

于是：

Aₙ − Aₙ₋₁ < 0

这说明 Aₙ 是递减的，结合 A₁ = 1：

Aₙ ≤ 1

▍第三步：证明下界 Aₙ > ⅚

上界有了，下界需要更精细一点的放缩。由求导可以证明（m ≥ 2）：

f(1/m) − 1 < 1/[12m(m−1)]

首项单独估计：

f(1) − 1 = (3/2)ln2 − 1 < 1/12

把 Aₙ 写成 "初值减去各项之和"：

Aₙ = 1 − Σₘ₌₁ⁿ⁻¹ (f(1/m) − 1)

代入上面的放缩：

Aₙ > 1 − 1/12 − Σₘ₌₂ⁿ⁻¹ 1/[12m(m−1)]

括号里的和可以裂项：

Σₘ₌₂ⁿ⁻¹ 1/[m(m−1)] = 1 − 1/(n−1) < 1

所以：

Aₙ > 1 − 1/12 − 1/12 = ⅚

综上：

⅚ < Aₙ ≤ 1证毕。

【方法小结】

这两道题，本质上是同一个 "模板"：

1.    连乘 / 累加型的第 (3) 问，答案几乎全靠第 (2) 问的不等式，不要另起炉灶；
2.    把第 (2) 问用到 1、½、⅓… 这一串点；
3.    连乘配合 "逐项立方" 和望远镜：∏(1+1/k) = n+1；
4.    累加配合 "裂项求和"：1/[m(m−1)]；
5.    求参数最大值：先证一个值可行（下界），再用增长速度证明更大不行（上界）。

一句话总结：第 (2) 问是钥匙，第 (3) 问是把同一把钥匙用很多次。

【配套练习】

证明：∏ₖ₌₁ⁿ (1 + 1/(2k)) ≥ √(n+1)。

解：

关于这个合集

「天津高考真题拆解」导数部分的完整顺序：

• 切线、单调区间与极值（保分基础）
• 恒成立求参数
• 构造 + 放缩
• 连乘、累加型压轴（本篇）

建议关注公众号、点开合集按顺序看，后面的方法会反复用到前面的结论。

往期回顾

天津高考真题拆解篇｜导数不等式：构造+放缩（2026 天津卷）

天津耀华学长数学，公众号：天津耀华学长数学天津高考真题拆解篇｜导数不等式：构造 + 放缩（2026 天津卷）

下期预告

导数部分告一段落，下一篇进入数列，先讲求和三板斧：错位相减、裂项、分组。

PDF 领取

需要《连乘累加型压轴・方法卡 + 2023/2026 真题详解》，后台回复关键词「导数压轴」领取。

💡 觉得有用，欢迎点赞・在看・转发给身边的天津家长。

需要导数专项或强基规划，可添加微信：【AH56892】

作者 | 耀华学长

深耕天津高中数学培优 | 强基计划升学规划

天津本土视角，只讲能落地的干货