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2023年天津市高考数学试卷解析
一、选择题
1. 答案：A
解析
由题意，全集 ，集合 ， 。
先求 ： 。
再求并集： 。
故选 A。
2. 答案：B
解析
判断 与 的条件关系：
必要性：若 ，则 ，显然 ，必要性成立。
充分性：若 ，则 但 ，充分性不成立。
故选 B。
3. 答案：D
解析
比较 、 、 的大小：
指数函数 递增，故 。
幂函数 递增，故 。
综上， ，故选 D。4. 答案：D
解析
函数图象关于 轴对称，为偶函数。排除 B（奇函数）、A、C（ 时函数值为正）。
验证 D： 为偶函数，且在 时可正可负，符合题意。故选 D。
5. 答案：B
解析
周期为 4，排除 C、D（周期为 8）。
对称轴为 ，代入验证：
（非对称轴），排除 A。
（对称轴），故选 B。
6. 答案：C
解析
由递推关系 ，令 得 ，令 得 。
联立方程解得 ，公比 ，故 。故选 C。
7. 答案：C
解析
散点图呈从左下到右上分布，说明正相关。相关系数 ，故选 C。
8. 答案：B
解析
设 ， ，利用体积比：
故选 B。
9. 答案：D
解析
渐近线方程 ，由 得 。
设 ，由斜率 解得 ，双曲线方程为 。故选 D。二、填空题
10. 答案：
解析
11. 答案：60
解析
展开式通项 ，令 得 ，系数为 。
12. 答案：6
解析
设切线方程为 ，由 得 。
13. 答案：① ；②
解析
① 各盒取黑球概率为 。
② 白球总数 ，总球数 ，概率为 。
14. 答案：① ；②
解析
① 。
② 通过向量运算和基本不等式，最大值为 。
15. 答案：
解析
分情况讨论绝对值函数，解得 。
三、解答题
16. 答案
(1)
(2)
(3)
解析
(1) 正弦定理： 。
(2) 余弦定理： 。
(3) 由正弦定理得 ，计算 ， ，代入差角公式得结果。17. 答案
(1) 证明略
(2)
(3)
解析
(1) 证明四边形 为平行四边形，得 。
(2) 作垂线构造二面角，计算得余弦值为 。
(3) 等体积法： 。
18. 答案
(1) 方程 ，离心率
(2) 直线方程
解析
(1) 由 ， 解得 ， ， 。
(2) 设直线 方程为 ，联立椭圆方程，利用面积关系解得 。
19. 答案
(1) ，和为
(2)(I) 证明略；(II) ，和为
解析
(1) 由 ， 解得 ， 。
(2)(I) 数学归纳法证明 。
(II) 猜测 ，验证公比 ，求和得结果。
20. 答案
(1) 斜率
(2) 证明略
(3) 证明略
解析
(1) 导数计算： 。
(2) 构造 ，证明 。
(3) 作差法证明单调性，放缩累加得不等式。
