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初中数学学霸秘籍6:中位线一出手, 动点 G 搬进了定圆里
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【二日一题261006】中位线 ＋ 直径圆 ＋ 一箭穿心
【题目】如图，在平行四边形 ABCD中，AD=6，AB=4，∠ABC= 60°，点E为BC上的动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，点G为AF中点，点H为BC上一点，且BC=3BH，连接HG，则HG的最小值为（ ）
E 一动，F、G 全跟着动——但有一条"暗线"把它们拴在定圆上
先说答案：(√57 − 3)/2。这题是"中点 + 垂直"的黄金组合：中位线送来一个直角，直角送来一个直径圆，动点 G 换乘到定圆上，剩下就是"定点到圆"的老套路。
1第一步：把"定"的都挖出来——H 竟然是垂足
作 AH⊥BC 于 H₀。在 Rt△ABH₀ 中，∠ABC = 60°，AB = 4：
BH₀ = AB·cos60° = 2，AH₀ = AB·sin60° = 2√3
而题目说BC=3BH，BC=AD=6，所以BH=2——正好等于BH₀！
两件事一对照：H 就是那个垂足。于是 H 是定点，且 AH=2√3、AH⊥BC——条件"BC = 3BH"看似绕口令，其实是把垂足偷偷塞给了你。
图 2 红色虚线圆就是 G 的全部活动范围，H 恰好站在垂足上
2第二步：中位线造直角
取 AD 的中点 O（定点）。看 △ADF：O 是 AD 的中点，G 是 AF 的中点，所以 OG 是中位线：OG ∥ DF，且 OG = ½DF
而 DF⊥AE，G 又在 AE 上，所以 OG⊥AG，即
∠AGO = 90°（恒定）
3第三步：直角换隐圆，G 完成换乘
A、O 是两个定点，∠AGO = 90° 恒定——G 始终在以 AO 为直径的 ⊙I 上（圆周角定理的逆用：直径所对的圆周角是直角）。I 是 AO 的中点，
AO = ½AD = 3 ⟹ 半径 = AI = 3/2
至此动点完成"换乘"：E 在 BC 上怎么跑，G 就在定圆 ⊙I 上怎么跑。求 HG 的最小值，变成了"定点 H 到定圆 ⊙I 的最短距离"。
4第四步：定点到定圆，减个半径
过 I 作 II′⊥BC 于 I′，则水平方向的 HI′ = 3.5 − 2 = 3/2，竖直方向的 II′ = 平行线间距离 = AH = 2√3，勾股定理同样得到 HI = √57/2。HI ≈ 3.78 > 1.5，H 在 ⊙I 外部，所以
HGmin = HI − 半径 = (√57 − 3)/2 ≈ 2.27
取等位置是射线 HI 与 ⊙I 的交点 G′。负责任的检查：把 G 放到 G′，反推 F（G 是 AF 中点），再让直线 AF 交 BC 于 E——实算 E 落在 BC 线段上、F 也落在 AE 段内，取等真实可达。
图 3 沿 HI 方向的交点 G′ 给出最短距离
一句话记住这题的骨架：见"中点 + 垂直"，先想中位线搬直角，再想直径圆收动点。E 是演员，⊙I 才是舞台。
三句话带走
·先定后动 —— 把 BH = 2 算出来，发现 H 是现成的垂足，定点全部亮牌。
·中位线搬直角 —— 两个中点一拉，OG∥DF，垂直就传到了 ∠AGO 上。
·直角对定线段 = 直径圆 —— ∠AGO = 90° 对定线段 AO，G 的轨迹是 ⊙I，最值 = HI − 半径。
· 照例双向检验：取等点能反演出合法的 E，特例代回去也对得上。
— END —
答案：(√57 − 3)/2，选它。哪一步卡住了，留言说一声。！
学习加总结可成学霸。
