八上习题16.3:平方和怎样求?一串2的幂怎样巧算?

教材原题｜习题16.3 拓广探索

7. 已知a＋b＝5，ab＝3，求a²＋b²的值。

8. 计算下列式子： （x－1）（x＋1），（x－1）（x²＋x＋1），（x－1）（x³＋x²＋x＋1），…。 你能发现什么规律？验证你发现的规律，并利用你发现的规律，计算 2⁹＋2⁸＋2⁷＋…＋2＋1。

同学们，有些题并不需要先求出每个字母，也不需要把一长串数字逐项相加。观察目标式的结构，把学过的乘法公式正着用、倒着用，或者展开后合并同类项，就能找到更简洁的办法。今天的两题正好体现这两种思路。

先猜一猜

第7题中，a＋b＝5，能直接写a²＋b²＝25吗？第8题中，括号里的项越来越多，乘出来会不会也越来越长？先别急着回答，让我们用展开式检查自己的直觉。

01 · 找出多出来的2ab，再整体代入

第7题分析：和的平方，比平方和多了什么？

分析：完全平方公式告诉我们，（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²。左边是“和的平方”，而题目要的是“平方和”，中间恰好多出一个两数乘积的两倍。

因此只要从和的平方中减去2ab，就能得到a²＋b²。已知给出了a＋b与ab这两个整体，已经足够，不必先把a、b分别求出来。

第7题解｜a²＋b²＝19

解：∵（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²， ∴ a²＋b²＝（a＋b）²－2ab。 ∵ a＋b＝5，ab＝3， ∴ a²＋b²＝5²－2×3＝25－6＝19。

等号两边同时减去2ab，才得到所需的变形。书写时先写出公式变形，再代入数字，能让读者看清每一步的依据，也能减少漏掉系数二的错误。

“平方和”与“和的平方”不是同一件事

例如一与二的平方和是五，而它们的和的平方是九，相差四，恰好等于两个数乘积的两倍。遇到这类题，先确认括号包住了谁，不能把括号外的平方直接分配给括号里的每一项。

02 · 乘x升一次，乘负一变号，中间项成对抵消

第8题先计算：展开后哪些项抵消？

分析：把第一个括号中的x与－1分别乘进第二个括号。乘x会让每一项的次数增加一，乘－1则把原来的每一项变号。将同类项上下对应地看，就能发现抵消现象。

前三个式子的结果

（x－1）（x＋1） ＝x²＋x－x－1 ＝x²－1。

（x－1）（x²＋x＋1） ＝x³＋x²＋x－x²－x－1 ＝x³－1。

（x－1）（x³＋x²＋x＋1） ＝x⁴＋x³＋x²＋x－x³－x²－x－1 ＝x⁴－1。

观察三个结果，第二个括号的最高次数依次为一、二、三，结果的最高次数依次为二、三、四，常数项都为负一。中间项并不是被省略了，而是同类项系数相加后都变成了零。

发现规律：最高次数增加一，只剩首尾

猜想：当n为正整数时， （x－1）（xⁿ＋xⁿ⁻¹＋…＋x＋1）＝xⁿ⁺¹－1。

使用这个规律时，要检查第二个括号：从最高次幂一直到一次项、常数项，次数逐次下降一，每一项的系数都是一。如果缺了一项，或者某项系数不是一，中间项就不一定能全部抵消。

怎样验证这个规律？

验证：把左边展开为两部分： x（xⁿ＋xⁿ⁻¹＋…＋x＋1） －（xⁿ＋xⁿ⁻¹＋…＋x＋1） ＝（xⁿ⁺¹＋xⁿ＋…＋x²＋x） －（xⁿ＋xⁿ⁻¹＋…＋x＋1） ＝xⁿ⁺¹－1。

其中从x到xⁿ，每一种幂都出现一次正项和一次负项，恰好抵消。只有第一部分的最高次项xⁿ⁺¹找不到相反项，第二部分的常数项－1也找不到相反项，所以最后只剩这两项。

算出前三个例子只能帮助提出猜想，不能代替一般验证。上面的展开说明，不论正整数n取多少，同样的抵消过程都成立，这才说明规律可靠。

代入x＝2，算出这串幂之和

解：在已验证的规律中取x＝2，n＝9，得 （2－1）（2⁹＋2⁸＋…＋2＋1）＝2¹⁰－1。 ∵ 2－1＝1， ∴ 2⁹＋2⁸＋2⁷＋…＋2＋1 ＝2¹⁰－1＝1024－1＝1023。

为什么是二的十次方，而不是二的九次方？因为乘x后最高次数会增加一。题目最高次是九次，结果就对应十次；整串共有十项，最后的一也包含在内。

换一种看法：把整个和记作S

设S＝2⁹＋2⁸＋…＋2＋1。两边乘二后，2S＝2¹⁰＋2⁹＋…＋2²＋2。用2S减去S，中间各项抵消，得到S＝2¹⁰－1。

这与前面的乘法规律本质相同：先把每一项向更高次移动一格，再相减。它不是另一条需要死记的新公式，而是多项式乘法与合并同类项的直接应用。

三个检查点：漏项、符号、适用条件

第7题别漏掉2ab中的二；第8题别漏掉末尾的常数项一；展开负括号时，每一项都要变号。本题使用的是乘法恒等式，没有除以x－1，因此恒等式本身在x＝1时也成立，两边都等于零。

底数换成三，还能直接减一吗？

不能直接照搬最后一步。若把规律中的x换成三，左边还带着三减一这个因数，也就是二。想求括号内的和，必须把右边的结果再除以二。本题之所以特别简洁，是因为二减一恰好等于一，而不是所有底数的求和都能直接写成下一次幂减一。

例如三的平方加三加一等于十三，而三的三次方减一等于二十六，后者正好是前者的两倍。用这个小例子检查，就能发现是否漏掉了括号前面的因数。

怎样用小范围计算检查大规律？

可以先取较小的最高次数，直接相加再与规律比较。例如二的平方加二加一等于七，二的三次方减一也等于七。这个检查能帮助发现次数差一的错误，但它仍然只是验算，不能替代前面适用于任意正整数次数的展开证明。

名师方法｜先变形，再代入；先猜想，再验证

求式子的值，先把目标改写成已知的整体，再代入数值。发现规律时，先算几个简单例子，再用展开、合并说明一般情况。最后应用规律，要核对最高次数、是否连续、系数和常数项，避免只凭外形相似就套用。

当堂检测

1. 若a＋b＝6，ab＝4，a²＋b²等于多少？ 2.（x－1）（x⁴＋x³＋x²＋x＋1）等于什么？ 3. 2⁴＋2³＋2²＋2＋1等于多少？

想好再看：28；x⁵－1；31。第三问要用二的五次方减一，而不是二的四次方减一。

内容依据：新人教版八年级上册数学第十六章《整式的乘法》第118页，习题16.3“拓广探索”第7、8题。