芯知学堂|【专业知识点②】数学:描绘世界运行规律的语言(下)

很多复杂的信号波形，看起来杂乱无章，而傅里叶变换揭示了一个简洁的规律：在满足一定条件下，信号可以展开为不同频率正弦分量的叠加。

正弦波是最干净、最基础的波动单元。调整每一组正弦波的高低、相位，一层层叠加，最终就能拼出任意想要的波形。以理想方波为例：它棱角分明，却可以由大量奇数倍频率的正弦波叠加生成。只叠加少数几条时，波形边缘还带着波纹；不断增加更多高频正弦分量，波纹会一点点消失，轮廓越来越接近标准方波。

图1 | 不同频率正弦波逐层叠加，高频分量越多，合成波形越接近理想方波

傅里叶级数收敛过程

狄拉克曾说，研究自然的人，首要目标之一，就是去发现大自然背后的数学之美。傅里叶变换正是这样一种美：它将复杂的动态波形拆解为简单、独立的基础波动。

在电路、音频、图像领域，这套思想无处不在。音频降噪就是把噪声对应的高频分量剔除；图像压缩，本质上舍弃人眼不敏感的高频分量。复杂的信号，就这样被拆解、简化，这也是数学简化世界的一种方式。

图2 | 把复杂波形分解成独立频率，是音频降噪、图像压缩的底层原理

下面以大学物理中的磁场高斯定律为例。数学独特的力量，不止于描述世界，更在于界定世界。客观世界的一切存在，都必须服从数理规则的约束。违背现有数学规律的现象，要么在现实中彻底不存在，要么倒逼人类突破旧理论、开辟全新科学领域。

 磁场积分形式高斯定理：

它说的是：任意取一个闭合曲面，穿进去多少磁感线，便会穿出来多少。如果把这个结论翻译成局部描述，就是：

意思是：空间中的磁场都没有“源头”。

这条公式锁定了宏观电磁世界的重要规则：在经典电磁理论框架下，磁场是无源场，不存在已观测到的孤立磁荷，也就是磁单极子。麦克斯韦方程组也由此成为经典电磁理论的基础。

但科学的魅力，藏在突破与探索之中。

1931 年，狄拉克在研究量子力学中的电荷量子化时发现，如果允许磁单极子存在，电荷的量子化条件可以自然地推导出来。后续的大统一理论、弦论等前沿框架中，磁单极子作为拓扑缺陷也会自然地出现，并给出了质量估算。然而，这些理论本身尚未被实验证实。至今，没有任何实验确证磁单极子的存在。

换言之，高斯定律是宏观电磁实验的精确总结；磁单极子的理论可能性来自量子理论与统一理论的深层结构，而非来自经典电磁学本身。两者并不矛盾，而是分属不同尺度下的物理描述。

这恰好印证了数学与世界的关系：数学是认知的边界。旧的数理规则定义了现有世界，新的数理模型为人类探索未知宇宙提供了新方向。科学进步的过程，很大程度上就是不断用数学拟合世界、突破边界、趋近真理的过程。                

导数关注变化本身，积分关注变化产生的累积结果。而电磁理论，则进一步把这些数学关系推广到了真实物理世界。

冯·诺依曼说：“数学并不只是用来描述现象的工具，它是理解现象的方式。”从基础电路到高端芯片，从日常传感检测到前沿量子物理，人类已有的工程创新、科学探索，很大程度上都是在运用数学去读懂世界的秩序。

读懂数学，读懂的不仅是一门学科，更是读懂了自然有序、万物有迹、因果闭环的世界本质。

未来芯知学堂将持续深耕理工底层知识，拆解学科背后的数理逻辑与科学规律，跳出浅层学习，去剖析工科技术与自然世界的本质原理。

图3 | 导数描述变化速率，积分计算累积效应，数学是解读世界秩序的工具

（注：本文基于公开资料，结合AI工具辅助信息整理与润色，内容经人工核实校对。图片来源于网络，如有侵权请联系删除。）