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阿丘学堂每讲的后几道题会比较有挑战性，是专门针对学有余力、
想要寻求更多挑战的小朋友设计的，同学们酌情挑战哦！
第1 讲
分数四则混合运算··························· 1
第2 讲
商高、赵爽与毕达哥拉斯（一）·················· 7
第3 讲
沙漏与金字塔模型·························· 13
第4 讲
浓度问题（一）····························· 19
第5 讲
分数应用题（二）··························· 25
第6 讲
余数的性质································ 33
第7 讲
方程不够怎么办···························· 40
第8 讲
圆与扇形进阶······························ 48
第9 讲
探索平方的奥秘···························· 54
参考答案·································· 60
1
≈
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
分数四则
分数四则
分数四则
分数四则
分数四则
分数四则
分数四则
分数四则
分数四则
分数四则
分数四则
分数四则
分数四则
分数四则
分数四则
分数四则
分数四则
混合运算
混合运算
混合运算
混合运算
混合运算
混合运算
混合运算
混合运算
混合运算
混合运算
混合运算
混合运算
混合运算
混合运算
混合运算
混合运算
混合运算
2
1. 0.4×
[11
52 ÷23
4 ×(4.3−1.8)
]
×26 =
2. 计算：10×
[(4
5 −0.5
)
÷ 3
7
]
=
3. 计算：100÷1.2×3÷ 5
6 ×1 4
15 =
。
3
4. 110
19 −
(23
7 −1.5
)
×1 3
25 ÷1.9 =
/
（先填分子，后填分母）
5. 36÷1.26−7× 8
13 +54× 1
6 −2 9
13 =
6. 计算：55.76+3 5
17 +44.23+210
17 +0.01+4 2
17 =
。
4
7. 计算：4
7 ×2312
13 +16× 1
7 + 1
7 × 4
13 =
8. 计算：0.4×31
3 + 2
5 × 5
3 −1÷5×10 =
9. 计算：3.5×12
3 + 7
2 +21
3 ×14÷4 =
5
10.32.1×7.9+19×1 1
20 +42.6×2.1 =
11.计算：
1
3 ×
(
4.3×33
5 −3.6+6.7÷ 5
18
)
−
(
1.23÷132
3 −5−0.09
)
=
12.
1
2 + 1
3 + 1
4
1
6 + 1
7
=
/
6
13.计算：
1
1+
1
1+ 1
8
+
1
2+ 1
8
=
14.若
1
1+
1
2+ 1
x
= 9
13 成立，则x =
。
15.计算：
[
47−
(
18.75−1÷ 8
15
)
×2 6
25
]
÷0.46 的结果是
。
7
≈
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
商高、赵爽与毕
商高、赵爽与毕
商高、赵爽与毕
商高、赵爽与毕
商高、赵爽与毕
商高、赵爽与毕
商高、赵爽与毕
商高、赵爽与毕
商高、赵爽与毕
商高、赵爽与毕
商高、赵爽与毕
商高、赵爽与毕
商高、赵爽与毕
商高、赵爽与毕
商高、赵爽与毕
商高、赵爽与毕
商高、赵爽与毕
达哥拉斯（一）
达哥拉斯（一）
达哥拉斯（一）
达哥拉斯（一）
达哥拉斯（一）
达哥拉斯（一）
达哥拉斯（一）
达哥拉斯（一）
达哥拉斯（一）
达哥拉斯（一）
达哥拉斯（一）
达哥拉斯（一）
达哥拉斯（一）
达哥拉斯（一）
达哥拉斯（一）
达哥拉斯（一）
达哥拉斯（一）
8
1. 如图，求出下列直角三角形中边长a 的长度，分别为：
（1）
（2）
（3）
2. 如图，求出下列直角三角形中边长a 的长度分别为：
（1）
（2）
（3）
3. 若直角三角形一直角边和斜边分别为17 和145，则另一直角边为
。
9
4. 下图的等腰梯形上底长度等于3，下底长度等于9，高等于4，那么这个等腰梯形的周长等于
。
5. 计算图中BE 的长度，BE 长度为
。
6. 如图是一个直角梯形ABCD，其中AD = 4，AB = 12，BC = 9，则阴影三角形的周长为
。
10
7. 下图是一个长方形点阵，相邻两点距离为1 厘米，求图中多边形的周长。
8. 下面的折线A−B−C −D−E −F −G，相邻线段都是垂直的，并且AB = 4，BC = 6，CD = 6，DE = 7，
EF = 5，FG = 7，A、G 两点的距离是
。
9. 如图，某种机器人只能沿上下左右四个方向行走，那么它从A 移动到B 点，所走的直线距离为
。
11
10.如图，在美丽的毕达哥拉斯树中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形。已知所有的正方形面
积总共是80，那么最大的正方形面积为
。
11.下图由两个直角三角形组成，则“？”号处边的长度是
。
12.如图，求以第9 个直角三角形斜边为边长的正方形的面积，面积为
。
12
13.三角形ABC 如下图，AB 长24cm，BC 长20cm，D 是三角形ABC 外一点，DB⊥AB，DC⊥AC，且
DB = 7cm，DC = 15cm，那么AC 的长是
cm。
14.一块木板如图所示，已知AB = 3，BC = 4，DC = 13，AD = 12，则木板的面积是
。
15.一个长方形和正方形如图放置，长方形的长、宽分别为17、7，则正方形的边长是
。
13
≈
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
沙漏与金字塔
沙漏与金字塔
沙漏与金字塔
沙漏与金字塔
沙漏与金字塔
沙漏与金字塔
沙漏与金字塔
沙漏与金字塔
沙漏与金字塔
沙漏与金字塔
沙漏与金字塔
沙漏与金字塔
沙漏与金字塔
沙漏与金字塔
沙漏与金字塔
沙漏与金字塔
沙漏与金字塔
模型
模型
模型
模型
模型
模型
模型
模型
模型
模型
模型
模型
模型
模型
模型
模型
模型
14
1. 如图，三角形ABC 中，DE//BC，AD : DB = 1 : 4，三角形ABC 的面积如果为10 平方厘米，那么三角
形ADE 的面积是
平方厘米。
2. 如图，DE 平行于BC，若AD : DB = 2 : 3，那么三角形ADE 和梯形DECB 的面积比是
:
。
3. 如图，在△ABC 中，a1，a2，a3;b1，b2，b3;c1，c2，c3 分别是BC，AC，AB 边的四等分点。那么S△Ab2c2 =
S△Ab1c1，S△Ab3c3 =
S△Ab1c1，S△ABC =
S△Ab1c1。
15
4. 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB 的长为15 厘米，AC 被分为60 等份。如果小玻璃管口DE
正好对着量具上20 等份处(DE 平行AB)，那么小玻璃管口径DE 是
厘米。
5. 如图，△ABC 中，DE，FG，BC 互相平行，AD : DF : BF = 2 : 1 : 1，则S△ADE : SDFGE : SFBCG =
：
:
。
6. 如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB = 16，AD = 10，BE = 4，那么FC 的长度是
。
16
7. 如下图，在直角三角形ABC 中，点F 在AB 上且AF = 2FB，四边形EBCD 是平行四边形，那么
FD : EF 的比是
：
。
8. 如图，长方形ABCD 中，EG = 25，AG = 15，则FG 的长度为
。
9. 如图：MN 平行BC，S△MPN : S△BCP = 4 : 9，AM = 4cm，则BM 的长度为
cm。
17
10.如图，若梯形ABCD 的上底AD 长16 厘米，高BD 长21 厘米，并且BD = 3DE，则三角形ADE 的
面积是
平方厘米，梯形的下底BC 长
厘米。
11.如图，△ABC 中，AE = 1
4AB，ED 与BC 平行，△EOD 的面积是1 平方厘米。那么△AED 的面积是
/
平方厘米。（第一条横线填分子，第二条横线填分母）
12.已知正方形ABFH 和CDEF 的边长分别为5 和3，那么三角形ABG 的面积为
。
18
13.已知三角形ABC 的面积为a，AF : FC = 2 : 1，E 是BD 的中点，且EF//BC，交CD 于G，求阴影部
分的面积。
14.下图中星形阴影部分各顶角的顶点是大正方形各边的中点，大正方形的边长为10 厘米，那么阴影部
分的面积是
平方厘米。
15.下图中正方形的面积为1，E、F 分别为AB、BD 的中点，GC = 1
3FC。则阴影部分的面积为
/
。（第一条横线填分子，第二条横线填分母）
19
≈
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
浓度问题（一）
浓度问题（一）
浓度问题（一）
浓度问题（一）
浓度问题（一）
浓度问题（一）
浓度问题（一）
浓度问题（一）
浓度问题（一）
浓度问题（一）
浓度问题（一）
浓度问题（一）
浓度问题（一）
浓度问题（一）
浓度问题（一）
浓度问题（一）
浓度问题（一）
20
1. 现有250 克浓度为20% 的糖水，我们加入70 克糖，这时，糖水的浓度变为
; 然后再加入
160 克水，浓度变为
; 最后又加入浓度为15% 的糖水120 克，浓度变为
。
2. 用200 克盐，加水稀释成浓度为5% 的盐水，则需加水
克。
3. 要配制一种浓度为10% 的盐水，12 克盐需要加水
克。
21
4. 将20 克糖放入浓度为15% 的80 克糖水中，这时糖水的浓度是
%。
5. 含盐率5% 的100 克盐水经加热蒸发20 克水后，则盐水浓度是
%。
6. 浓度为60% 的酒精300 克与浓度为68% 的酒精500 克，混合后得到的酒精溶液浓度是
%。
22
7. 现有浓度为20% 的酒精溶液20 克，加入30% 的酒精溶液30 克，再加入40% 的酒精溶液50 克，混
合后浓度变为
%。
8. 有浓度是3.2% 的食盐水500 克，为了把它变成浓度是8% 的食盐水，需要使它蒸发掉多少克的水？
9. 现有浓度为15% 的糖水200 克，要把它变成浓度为20% 的糖水，需加糖
克。
23
10.浓度为25% 的盐水60 克，稀释为10% 的盐水，应加水
克。
11.有浓度为3% 的盐水500 克，为了制成浓度为4% 的盐水，要蒸发掉
克水。
12.有甲、乙、丙三瓶糖水，浓度依次为52%，34%，30%，其中甲瓶有20 千克糖水。先将甲、乙两瓶中的
糖水混合，浓度变为46%；然后把丙瓶中的糖水全部倒入混合液中，得到浓度为42% 的糖水。那么
原来丙瓶有
千克糖水。
24
13.某班在一次数学测试中，全班同学的平均成绩是81 分，男生的平均成绩是80 分，女生的平均成绩
是84 分。这个班男、女生人数之比是
:
，男生人数占全班总人数的百分比是
%。
14.有甲、乙、丙三瓶糖水，浓度依次为68%，56%，51%，先将甲、乙两瓶中的糖水混合，浓度变为59%；然
后把丙瓶中的糖水全部倒入混合液中，得到浓度为57% 的糖水64 千克。那么原来甲瓶有
千克糖水。
15.甲、乙两瓶盐水，甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水浓度的3 倍．将100 克甲瓶盐水与300 克乙瓶盐水混
合后得到浓度为15% 的新盐水，那么甲瓶盐水的浓度是
%。
25
≈
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
分数应用题
分数应用题
分数应用题
分数应用题
分数应用题
分数应用题
分数应用题
分数应用题
分数应用题
分数应用题
分数应用题
分数应用题
分数应用题
分数应用题
分数应用题
分数应用题
分数应用题
（二）
（二）
（二）
（二）
（二）
（二）
（二）
（二）
（二）
（二）
（二）
（二）
（二）
（二）
（二）
（二）
（二）
26
1. 园里的荔枝获得丰收，第一天摘了全部荔枝的1
3 又10 筐，第二天摘了余下的2
5 又3 筐，这样还剩
下63 筐荔枝没有摘，则共有荔枝
筐。
2. 点点暑假练习写字，每天写3 页，5 天后加快速度又写了全部的1
5，还剩下25 页，点点一共需要练习
多少页？
27
3. 一个桶中装有豆油，油和桶共重50 千克。第一次倒出豆油的一半少4 千克，第二次倒出余下豆油的
3
4 还多22
3 千克，这时剩下的豆油和桶共重61
3 千克，那么原来桶中有豆油
千克。
4. 学校买一批书分给甲、乙、丙三个班，甲班分得总数的9
20，乙班分得的书是甲班的2
3，已知丙班比甲
班少分60 本，问甲班分到了多少本书？
28
5. 一个水箱中的水是装满时的5
6，用去200 升以后，剩余的水是装满时的3
4，这个水箱的容积是
升。
6. 某班一次集合，请假人数是出席人数的1
9，中途又有一人请假离开，这样一来请假人数是出席人数的
3
22，那么这个班共有
人？
29
7. 一条绳子剪掉1
6，再接上60 米，结果比原来长50%，绳子原来长
米。
8. 食堂进购一批大米，吃了4
5 后，又购进660 千克，这时大米比原来多30%，原有大米多少千克？
30
9. 一个装有彩球的口袋，红球占总数量的5
12，后来又放进27 个红球，这时红球占现在总量的2
3，现在
共有彩球
个。
10.一堆棋子有黑、白两种颜色，其中黑子占6
17，若取走14 枚白子，这时黑子占4
9。那么，这堆棋子原来
有
枚。
11.四只小猴吃桃，第一只小猴吃的是另外三只吃的总数量的1
3，第二只小猴吃的是另外三只吃的总数
量的1
4，第三只小猴吃的是另外三只吃的总数量的1
5，第四只小猴将剩下的46 个桃全吃了。四只小
猴共吃了
个桃。
31
12.五一班的男女同学人数一样多，现在有一项兴趣活动，已知男生参加的人数恰好是女生未参加人数
的四分之一，女生参加人数恰好是男生未参加人数的六分之一，那么男生没有参加的人数是女生没
有参加的人数的几分之几？
13.两个桶装着同样多的乒乓球，已知第一桶中白球数恰好是第二桶中黄球数的五分之一（两桶中颜色
只有黄白两种颜色），第二桶中白球数恰好是第一桶中黄球数的七分之一，那么第一桶中黄球数是
第二桶中黄球数的
/
。（第一条横线填分子，第二条横线填分母）
32
14.在一批旅客中，有3
4 的人懂法语，4
5 的人懂英语，两种语言都懂的占13
20，另有10 人这两种语言都不
懂。这批旅客共有多少人？
15.某班学生人数不超过60 人，一次测验成绩分为优、良、及格和不及格四等。已知这次测验该班有1
7
的学生得优，1
3 的学生得良，1
2 的学生及格，则该班不及格的学生有
人。
33
≈
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
余数的性质
余数的性质
余数的性质
余数的性质
余数的性质
余数的性质
余数的性质
余数的性质
余数的性质
余数的性质
余数的性质
余数的性质
余数的性质
余数的性质
余数的性质
余数的性质
余数的性质
34
1. 小明在计算有余数的除法时，把被除数472 错看成427，结果商比原来小5，但余数恰巧相同，则该
题的余数是
。
2. 一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？
35
3. 2008÷a = b······6，a,b 均为自然数。a 有
种不同的取值。
4. 有一个大于1 的整数，除16，85，131 所得的余数相同，求这个数。
36
5. 85 和99 除以同一个数，85 得到的余数比99 的少1，则这个除数可能是
。
6. 一个大于1 的自然数除326，258，207 所得的余数相同，这个自然数是
。
7. 当31513 和34369 被同一个三位数除的时候，得到的余数相等，求这个余数。
37
8. 有3 个数2200，2020，1920，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a−2，a+3，a+14，
则这个自然数是
。
9. 一个大于1 的数去除290，235，200 时，得余数分别为a，a+2，a+5，则这个自然数是
。
10.1414 除以11 的余数是多少？
38
11.14389 除以7 的余数为
。
12.22003 与20032 的和除以7 的余数是
。
13.(22012 ×211000)÷83 的余数是
。
39
14.(842012 +11000)÷83 的余数是
。
15.(12017 +22017 +32017 +42017 +52017 +62017) 除以5，余数是
。
40
≈
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
方程不够
方程不够
方程不够
方程不够
方程不够
方程不够
方程不够
方程不够
方程不够
方程不够
方程不够
方程不够
方程不够
方程不够
方程不够
方程不够
方程不够
怎么办
怎么办
怎么办
怎么办
怎么办
怎么办
怎么办
怎么办
怎么办
怎么办
怎么办
怎么办
怎么办
怎么办
怎么办
怎么办
怎么办
41
1. 求方程11x+16y = 192 的自然数解。
2. 求方程4x+5y = 98 的非零自然数解。
42
3. 自然数x、y 满足：9x+5y = 137，则x、y 的值为
。
4. 方程7x+4y = 89 的自然数解一共有
组。
5. 正整数x，y 满足6x+7y = 2012。设x+y 的最小值为p，最大值为q，则p+q =
。
43
6. 甲级铅笔7 分钱一支，乙级铅笔3 分钱一支。问张明用6 角钱恰好买两种铅笔共多少支？（每种至
少买一支）
7. 一个人把乒乓球放进两种盒子中，每个大盒子装12 个，每个小盒子装5 个，恰好装完。如果有103
个乒乓球，那么大、小两种盒子各应有
、
个。
44
8. 装热水瓶的盒子有大、小两种，小盒能装5 个，大盒能装8 个。要把68 个热水瓶恰好装入盒里，需这
两种盒子各多少个？
9. 采购员去超市买鸡蛋，每个大盒里有23 个鸡蛋，每个小盒里有16 个鸡蛋（盒子不能拆开）。采购员
要恰好买500 个鸡蛋，他一共要买
盒。
45
10.如图，是由28 个相同的长方形拼成的大长方形，每个小长方形的长、宽都是整数。已知大长方形的
周长是52 厘米，则每个小长方形的面积为
平方厘米。
11.把100 拆成两个自然数的和，其中一个是7 的倍数，另一个是13 的倍数，那么这两个自然数的差是
。
46
12.求方程组
5x+7y+9z = 52
3x+5y+7z = 36
的非零自然数解。
13.现在有3 千克、7 千克、14 千克的砝码共10 个，称重发现一共101 千克，则这三种砝码分别有
、
、
个。
47
14.14 个大、中、小号钢珠共重100 克，大号钢珠每个重12 克，中号钢珠每个重8 克，小号钢珠每个重5
克。问：大、中、小号钢珠各有多少个？（三种型号的钢球至少有一个）
15.一个人将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12 颗，每个小盒子装5 颗，若弹子共有99 颗，所用
大、小盒子的和多于10 个，那么大盒子有
个，小盒子有
个。
48
≈
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
圆与扇形进阶
圆与扇形进阶
圆与扇形进阶
圆与扇形进阶
圆与扇形进阶
圆与扇形进阶
圆与扇形进阶
圆与扇形进阶
圆与扇形进阶
圆与扇形进阶
圆与扇形进阶
圆与扇形进阶
圆与扇形进阶
圆与扇形进阶
圆与扇形进阶
圆与扇形进阶
圆与扇形进阶
49
1. 求此图形的周长和面积（π 取3.14）。（单位：米）
2. 如图所示，已知大圆的半径为2，则阴影部分H 与I 的面积之和为
（圆周率用π 表示）。
3. 如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB、BC、CD、DA 分别为直径画半圆，这四个半圆弧所围成的
阴影部分的面积为
。（π 取3）
50
4. 图中阴影部分的面积为10 平方厘米，圆环的面积为
平方厘米。(π 取3.14)
5. 如图，这个飞镖靶子是由4 个同心圆组成的，两个相邻的同心圆半径之差是1。最里面的小圆半径
为3，则“20 分”的面积是“15 分”面积的
倍。(π 取3.14)
6. 如下图所示，两块阴影部分面积相等，且半圆的面积为157，且△ABC 为直角三角形，那么BC 长为
。(π 取3.14)
51
7. 在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2 和4，则两个阴影部分的面积差为
。(π 取3.14)
8. 直角三角形ABC 放在一条直线上，斜边AC 长20 厘米，直角边BC 长10 厘米。如下图所示，三角
形由位置绕A 点转动，到达位置Ⅱ，此时B，C 点分别到达B1，C1 点；再绕B1 点转动，到达位置Ⅲ，
此时A，C1 点分别到达A2，C2 点。求C 点经C1 到C2 走过的路径的长（结果保留π ）。
9. 如图，斜边为6 的等腰直角三角形ABC 放在半径为5 的圆内，现在保持B、C 和圆接触，让三角形
ABC 沿箭头方向在圆内旋转一周，那么三角形ABC 扫过的图形面积是
。（π 取3.14）
52
10.如图，一只狗被拴在了羊圈的墙外面，墙体足够长，拴狗的绳子系在羊圈的墙角，全长3 米，那么狗
活动区域的面积是
平方米。(π 取3.14)
11.草场上有一个长20 米、宽10 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30 米的绳子拴着一只羊（如
图）。这只羊能够活动的范围是
平方米。（π 取3.14）
12.如图，ABCD 是边长为10 厘米的正方形，且AB 是半圆的直径，则阴影部分的面积是
平方
厘米。(π 取3.14)
53
13.已知：如图，某婴幼儿商品的商标，由两颗心组成，每颗心都是由一个正方形和两个半圆拼成。若两
个正方形的边长分别为40mm，20mm，那么，阴影图形的面积是
mm2（π 取3.14）。
14.已知：如图所示的正方形ABCD 中，对角线AC 长2 厘米。扇形ADC 是以D 为圆心，以AD 为半径
的圆的一部分。阴影部分的面积是
平方厘米。（π 取3.14）
15.已知：如图，边长为4 的正方形中依次挖去了四个半圆。阴影部分的面积是多少（结果保留π ）？
54
≈
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
探索平方的
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奥秘
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奥秘
奥秘
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奥秘
奥秘
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55
1. 在1，2，3，5，7，8 这6 个数字中，有（ ）个数字不可能是一个整数平方的个位数。
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
2. 下面的数字中，是平方数的有
个。
9733，1337，256000，289
3. （1）4106 是不是平方数？如果不是，它介于哪两个平方数之间？
（2）13689 是
的平方。
56
4. 84 乘一个非零自然数a，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么a 的最小值是
，b 的最小值是
。
5. 972 乘一个非零自然数a，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么a 的最小值
是
，b 的最小值是
。
6. 祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则
父亲的年龄是
岁。
57
7. 1 到145 这145 个自然数中，有奇数个因数的自然数有
个。
8. 从360 到630 的自然数中有奇数个因数的数有
个，有且仅有3 个因数的自然数有
个。
9. 从1 到10000 这10000 个自然数中，有且仅有3 个因数的自然数有
个。
58
10.一个小于400 的三位数，它是完全平方数，它的前两位数字组成的两位数还是完全平方数，其个位数
字也是一个完全平方数，那么这个三位数是
。
11.某自然数减去43 是一个完全平方数，减去80 也是一个完全平方数，这个自然数是
。
12.100 名同学，编号为1 ∼100，面向南站成一排，第1 次全体同学向右转；第2 次编号为2 的倍数的同
学向右转；第3 次编号为3 的倍数的同学向右转；······；第100 次编号为100 的倍数的同学向右转；
这时，面向东的同学有
名。
59
13.少年宫游乐厅内悬挂着200 个彩色灯泡。这200 个灯泡按1−200 编号，它们亮或灭的规则是: 第一
秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡编号为2 的倍数的灯泡由亮变灭；第三秒，凡编号为3 的倍数的灯泡
改变原来的亮或灭的状态，即亮的变灭，灭的变亮; 第N 秒后，凡编号为N 的倍数的灯泡改变原来
的亮或灭的状态。这样下去，每200 秒一个周期。第200 秒时亮的灯泡有
个。
14.由5 个3 和5 个1 构成的所有10 位数中，有没有平方数
。
15.由若干个3（至少1 个）和若干个1（至少1 个）构成的数中，有没有平方数
。
60
参考答案
第1 讲
分数四则混合运算
1. 2
2. 7
3. 380
4. 9
19
5. 304
7
6. 110
7. 16
8. 0
9. 17.5
10. 363
11. 17
12. 7
2
61
13. 1
14. 4
15. 20
第2 讲
商高、赵爽与毕达哥拉斯（一）
1. 15
16
10
2. 15
20
15
3. 144
4. 22
5. 13
6. 32
7. 34 厘米
8. 25
9. 10
10. 20
11. 7
12. 385
62
13. 20
14. 24
15. 13
第3 讲
沙漏与金字塔模型
1. 0.4
2. 4
21
3. 4
9
16
4. 10
5. 4
5
7
6. 8
7. 2
1
8. 9
9. 2
10. 56
32
11. 5
3
12. 7.8125
63
13. a
18
14. 25
15. 5
24
第4 讲
浓度问题（一）
1. 37.5%
25%
23%
2. 3800
3. 108
4. 32
5. 6.25
6. 65
7. 33
8. 300 克
9. 12.5
10. 90
11. 125
12. 10
64
13. 3
1
75
14. 12
15. 30
第5 讲
分数应用题（二）
1. 180
2. 50 页
3. 48
4. 135 本
5. 2400
6. 50
7. 90
8. 原有大米600kg
9. 63
10. 68
11. 120
12. 9
10
65
13. 14
15
14. 100 人
15. 1
第6 讲
余数的性质
1. 4
2. 51
3. 14
4. 23
5. 13
6. 17
7. 97
8. 37
9. 19
10. 4
11. 5
12. 5
66
13. 29
14. 2
15. 1
第7 讲
方程不够怎么办
1.
x = 16
y = 1
，
x = 0
y = 12
2.
x = 2
y = 18
，
x = 7
y = 14
，
x = 12
y = 10
，
x = 17
y = 6
，
x = 22
y = 2
3.
x = 3
y = 22
，
x = 8
y = 13
，
x = 13
y = 4
4. 3
5. 623
6. 12 或16 支
7. 4
11
8. 大盒子有1 个，小盒子有12 个，或大盒子有6 个，小盒子有4 个
9. 26
10. 6
67
11. 30
12. x = 3,y = 4,z = 1 或x = 4,y = 2,z = 2
13. 1
4
5
14. 大、中、小号钢珠分别有3 个、3 个和8 个
15. 2
15
第8 讲
圆与扇形进阶
1. 周长81.12 米，面积219.52 平方米
2. π −2
3. 1
2a2
4. 62.8
5. 11
7
6. 15.7
7. 1.42
8. 65
3 π 厘米
9. 75.36
10. 21.195
68
11. 2512
12. 35.75
13. 2142
14. 1.14
15. 16−4π
第9 讲
探索平方的奥秘
1. D
2. 1
3.（1）不是，介于4096 和4225 之间。
（2）117
4. 21
21
5. 3
3
6. 42
7. 12
8. 7
2
9. 25
10. 361 或169
69
11. 404
12. 5
13. 14
14. 没有
15. 没有
17220090936482
