数字信号处理课后习题|MATLAB实现

本次习题讲解适配教材：高西全《数字信号处理》（第五版），西安电子科技大学出版社。本篇讲解第一章1-18，第二章2-15，2-30，2-31，2-32，配套MATLAB代码与详细推导解析。

结构：上支路 T1→T2 串联，下支路 T3，两路并联相加得 v(n)，再经 T4 输出。

串联取卷积、并联取相加：h(n)=h4(n)∗[h1(n)∗h2(n)+h3(n)]串联取卷积、并联取相加：h(n)=h4(n)∗[h1(n)∗h2(n)+h3(n)]

四个分系统：T1、T2 是 6 点 FIR（(1/2)ⁿ 与滑动平均），T3 是 3 点平滑 FIR——三者都有限长，所以中括号里只有 n=0…10 共 11 个非零值；T4 是二阶 IIR（极点 0.9e^(±j60°)，零点 z=−1），它把这段有限响应拖成无限长的 0.9ⁿ 振荡尾，故 h(n) 理论无限长，取 0…99 是截断。

算法：先算 h_p(n)=h₁*h₂+h₃（n=0…10），再由 T4 递推 h₄(n)=0.9h₄(n−1)−0.81h₄(n−2)+δ(n)+δ(n−1)， 最后 h(n)=Σ h_p(k)h₄(n−k)。

结果特征：起步急升，峰值约 6.925 在 n=2；n≈9 后进入以 0.9ⁿ 为包络、周期 6 的振荡衰减，n=99 时约 10⁻⁵；直流增益 H(1)=28.16，系统稳定。

易错：并联误写成卷积；把 T4 当 FIR 截断；h_p 长度算成 6（应为 11）；T4 必须放在并联求和之后。

判据：因果系统稳定的充要条件是全部极点位于单位圆内（|p|<1）；零点不影响稳定性。

要点：

· 分子 (z+9)(z−3) = z²+6z−27 只提供零点（z=−9、z=3，都在圆外，属非最小相位），与稳定性无关，别被 z=3 干扰。

· 分母最高次是 3z⁴，MATLAB 是按 z 的降幂给系数：a=[3 -3.98 1.17 2.3418 -1.5147]，b=[1 6 -27]；不必归一化，roots 只关心根。

MATLAB 思路：

代码块

a=[3 -3.98 1.17 2.3418 -1.5147];  b=[1 6 -27];

p=roots(a);  abs(p),  all(abs(p)<1)      % 也可 zplane(b,a) 看图

结果：极点为 −0.7486、0.6760、0.6996±j0.7129，模长分别 0.7486、0.6760、0.99885（一对共轭极点）。全部小于 1 → 系统稳定。

值得强调的一点：那对共轭极点的模长 0.99885 几乎贴在单位圆上，属于"临界"附近，而分母系数只给到小数点后 4 位——系数的微小舍入或实际实现误差就可能把它推出圆外。所以标准答案写"稳定"，但要说明它稳定裕度极小（近似临界稳定），这也是本题故意设计的陷阱。

1.零极点求解

· 零点：分子 (z^2+5z-50=0)，解得零点 (z=5,z=-10)

· 极点：分母 4 次多项式(2z^4-2.98z^3+0.17z^2+2.3418z-1.5147=0)，4 个极点。

· MATLAB 函数：tf2zp 求零极点，zplane 画零极点图。

· 稳定性判断：看所有极点模长。只要任意极点模 > 1，因果系统不稳定。

2.单位阶跃响应验证稳定性 输入(u(n))，输出 (y(n)=h(n)*u(n))。

MATLAB：stepz 直接求离散系统阶跃响应。

· 稳定系统：阶跃响应趋于定值；

·不稳定系统：阶跃响应幅值持续增大，发散。

1.画零极点图： 先把系统函数写成z的正幂次：分子分母同乘(z^2) 分母：(z^2-1.6z+0.9425)，四个系统分母相同，极点固定不变。

· (H_1)：分子 = 1，没有有限零点

· (H_2)：分子(z-0.3)，零点(z=0.3)

· (H_3)：分子(z-0.8)，零点(z=0.8)

· (H_4)：分子(z^2-1.6z+0.8)，一对共轭零点 用zplane分别绘制四张零极点图。

2.求单位脉冲响应 \(h(n)\) MATLAB 函数 impz(num, den, N)，画出波形。 四个系统极点一致，因此脉冲响应振荡节奏、衰减速率完全相同，只是波形幅度不一样。

3.结论分析

（1）极点决定单位脉冲响应的基本特性：振荡频率、衰减速度，决定系统是否稳定。本题极点模长(sqrt{0.9425}approx0.971<1)，四个系统都稳定。

（2）零点不影响系统稳定性，不改变振荡模式；零点只会对单位脉冲响应的幅值、初值大小进行加权调整。

（3）零点越靠近单位圆，对对应频率分量的抑制作用越强，会明显改变脉冲响应各点幅度。