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2
视角 1、常见裂项放缩 27 技巧
（一）含负数幂型裂项放缩
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
注：凡是分母上是某个等差数列相邻或相隔固定项相乘的形式都可以进行裂项，在此基础上放大或缩小，
便可达到放缩的效果.（二）含根式型裂项放缩
（5） ；
（6） ；
综合（5）（6），则
（7） ；
（8）
（9）
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（10）
；
（11）
；（12）
（三）含指数型裂项放缩
（13）
（14）
（15） ；
（16） ．
（17） （推导 ）
（18） ；
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（四）含阶乘型裂项
（19）
（20）
（五）含组合数、二项式定理型裂项放缩
（21）
（22） ；（事实上 存在极限，极限值为自然数 ）
（23） （ 是二项式 展开的第
项）；
（24）由于 ，
于是
（25） ， ；
（26） ，
（27）糖水不等式
若 ，则 ；若 ，则 ．
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【例1】(1)求 的值; (2)求证: .
【例2】 (1)求证:
(2)求证:
(3)求证:
(4) 求证：
【例3】 求证:
【例4】 已知 ,求证: .
【例5】已知 , ,求证: .
【例6】已知 , ,
求证:
【例7】（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知 为数列 的前 项和，且 ，数列
前 项和为 ，且 ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，设数列 的前 项和为 ，求 ；
(3)证明： .
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【例8】（2022·山东·济宁市育才中学高三开学考试）已知数列{an}的前n项和为Sn，且
，a＝1．
1
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 ，数列{bn}的前n项和为Tn，证明 ．
【例9】（2022·天津一中高三阶段练习）已知数列 满足 记 .
(1)证明：数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
(3)设 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
【例10】（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））记数列 前 项和为 ， .
(1)证明： 为等差数列；
(2)若 ，记 为数列 的前 项积，证明： .
【例11】（2022·河南·模拟预测（理））若数列 满足 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
视角 2、函数放缩
【例12】求证： .
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【例13】求证:(1)
【例14】求证:
视角 3、分式放缩
【结论】姐妹不等式: 和
又名糖水不等式，记忆口诀”小者小,大者大”，解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
【例 15】姐妹不等式: 和 也
可以表示成为 和
【例16】证明:
视角 4、分类放缩
【例17】求证:
【例 18】在平面直角坐标系 中, 轴正半轴上的点列 与曲线 （ ≥0）上的点列 满足
，直线 在x轴上的截距为 .点 的横坐标为 , .
(1) 证明 > >4， ;
(2) 证明有 ，使得对 都有 < .
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【例19】已知函数 ，若 的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数
列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，问是否存在正常数 A，使得对于任意正整
数 都有 ？并证明你的结论。
【例20】设不等式组 表示的平面区域为 ,
设 内整数坐标点的个数为 .设 , 当 时,
求证: .
视角 5、迭代放缩
【例21】已知 ,求证:当 时,
1
【例22】设 ,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|S －S|<
n+k n n
视角 6、借助数列递推关系
【例23】求证:
【例24】求证:
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视角 7、分类讨论
【例25】已知数列 的前 项和 满足 证明：对任意的整数 ，
有
视角 8、线性规划型放缩
【例26】设函数 .若对一切 ， ，求 的最大值。
视角 9、均值不等式放缩
【例27】设 求证
【例28】已知函数 ，若 ，且 在[0，1]上的最小值为 ，
证明
【例29】已知 为正数，且 ，试证：对每一个 ， .
视角 10、二项放缩
2n =(1+1)n =C0 +C1 ++Cn,2n ≥C0 +C1 =n+1,
n n n n n
n2 +n+2 2n > n(n −1)(n ≥ 2)
2n ≥C0 +C1 +C2 =
n n n 2
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【例30】已知 证明
【例31】已知a+b=1,a>0,b>0,求证：
【例32】已知函数f(x)的定义域为[0,1]，且满足下列条件：
① 对于任意 [0,1]，总有 ，且 ；② 若 则有
（Ⅰ）求f(0)的值；（Ⅱ）求证：f(x)≤4；
（Ⅲ）当 时，试证明： .
【例33】已知： 求证：
视角 11、部分放缩(尾式放缩)
【例38】求证:
【例39】设 求证：
【例40】已知数列 的首项 , , ．
(1)证明:对任意的 , , ;
(2)证明: .
视角 12、三角不等式的放缩
【例41】求证: .
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【典例方法探究】
【探究1】 已知函数 .若 在区间 上的最小值为 ,
令 .求证: .
【探究2】设函数 .如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围
【探究2引申1】若 ,其中 且 , ,
求证: .
【提升训练】
【例1】证明:
【例2】已知 证明
【例3】已知函数 若
【例4】已知函数 是在 上处处可导的函数,若 在 上恒成立.
(I)求证：函数 上是增函数；
(II)当 ；
(III)已知不等式 时恒成立，
求证：
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【例5】若 ,求证:
【例6】求证
【例7】已知 ,求证:
【例8】已知 ,求证:
【例9】若 ,求证: .
【例10】已知函数 , .对任意正数 ,证明： ．
【例11】求证:
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