小升初数学进阶知识汇总

四川嘉言教育

小升初数学

进阶知识汇总

JIA YAN JIAO YU

①一个数最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数；

②“0”没有约数和倍数，一般认为“1”只有约数“1”；

③假如几个数都是某一个数的倍数，那么这几个数的组合也是某个数的倍数。

例如：26、39是13的倍数，则2639也是13的倍数。

④一般的数字的约数的个数都是偶数个，但是平方数的约数个数是奇数个。

例如：“9”有3个约数（1、3、9），“16”有5个约数（1、二、4、8、16）。

⑤约数和倍数必须强调出是哪个数字的约数和倍数。

⑥一个数既是它本身的倍数又是它本身的约数。

⑦一个数如果有偶约数，则这个数必为偶数。

JIAYAN JIAOYU

1、最大公约数：

公有质因数的乘积。通常用“（ ）”表示。

2、最小公倍数：

公有质因数和独有公因数的连乘积。用“[  ]”表示。

3、两个自然数的最小公约数和最大公倍数的乘积等于两个自然数的乘积

4、如果两个自然数是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。

例如8和9，它们是互质数，所以（8，9）＝1，[8，9]＝72。

5、如果两个自然数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数。

例如18与3，18÷3＝6，所以（18，3）＝3，[18，3]＝18。

6、两个整数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。

例如8和14分别除以它们的最大公约数2，所得的商分别为4和7，那么4和7是互质数。

7、根据互质数的意义，相邻的自然数是互质数，互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。

8、解题思路和方法

（1）求公约数和公倍数一般采用短除法。

（2）对于比较大的两个数求最大公约数（最大公约数一般大于11），也可以采用辗转相除法。

辗转相除法步骤：用大数（被除数）除以小数（除数）得到余数，所求最大公约数就是除数与余数的最大公约数，再次相除，依次类推，直到余数为0，最后一个除数既是所求的最大公约数。

注意：用辗转相除法求几个数的最大公约数，可以先求出其中任意两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数，依次求下去，直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数，就是所有这些数的最大公约数。

例：求319、377的最大公约数，即求（319，377）。

解：利用辗转相除法

（319，377）＝（377，319）

377÷319＝1余58  

（377，319）＝（319，58）

319÷58＝5余29   

（319，58）＝（58，29）

58÷29＝2余0       

（58，29）＝29

所以（319，377）＝29

1、和差：

已知两个数的和与差，求这两个数各是多少，这类应用题叫和差问题（已知顺水和逆水速度求船速和水速）。

数量关系：

大数＝（和+差）÷2；

小数＝（和－差）÷2

2、和倍：

有两个数的和及大数是小数的几倍（或者小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

数量关系：

两个数的和÷（几倍+1）＝较小的数；

较小的数×倍数＝较大的数

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1、差倍：

有两个数的差及大数是小数的几倍（或者小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

数量关系：

两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数；

较小的数×倍数＝较大的数

2、倍比：

有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。

数量关系：

总量÷一个数量＝倍数；

另一个数量×倍数＝另一总量

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解题关键：

1. 年龄差永远不变， 两个人，不管过多少年，你长1岁，我也长1岁，相差的岁数固定不变

2. 年龄和：

每过1年，两个人的年龄和一共增加2岁

3. 年龄倍数：

随着时间往后走，倍数一定会越来越小，比如今年爸爸年龄是儿子5倍，几年后可能只有3倍

常用解题方法：

① 线段图法

② 和差公式、和倍公式、差倍公式

差倍：较小数 = 差 ÷（倍数 − 1）

和倍：较小数 = 和 ÷（倍数 + 1）

和差：大数=(和+差)÷2，小数=(和−差)÷2

③ 方程法

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1、一般用假设法：

可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡。如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题解决。

2、如果能用方程：

二元一次方程求解，最好使用方程求解。

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1、“相遇”广义上讲，只要两人在同一地点就算相遇。分两种情况：

（1）迎面相遇（我们平时说的相遇问题）

（2）追及相遇（我们平时所说的追及问题）。一般题目说的相遇，我们默认是迎面相遇，若题目说只要两人在同一地点就算作一次相遇，那么两种情况都要算。

2、数量关系：

①总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间

②甲乙两人从同一起点出发往返运动多次相遇问题，每迎面相遇一次，两人一起走了2个全程。

③ 甲乙两人从两端点出发往返运动多次相遇问题，第一次迎面相遇时，两人走了1个全程，之后没迎面相遇一次，两人一起走了2个全程。

3、柳卡图：柳卡图也叫折线图，解决复杂的行程问题（多次相遇问题）的有效方法。

折线图往往能够清晰的体现运动过程中的“相遇次数”，“相遇地点”，以及“由相遇的地点求出全程”。使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完全程所用的时间是多少。

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1、火车过桥：

过桥时间＝（车长+桥长）÷车速

2、火车追及：

追及时间＝（甲车长+乙车长+距离）÷（甲车速－乙车速）

3、火车相遇：

相遇时间＝（甲车长+乙车长+距离）÷（甲车速+乙车速）

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1、定义：

行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度；船只顺水航行的速度（顺水速度）是船速和水速之和；船只逆水航行的速度（逆水速度）是船速和水速之差。

2、数量关系：

① 船速＝（顺水速度+逆水速度）÷2

② 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2

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1、定义：

根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，依次有余（盈），依次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

2、数量关系：

①两次分配中，如果一次盈一次亏，则有：

参加分配总人数＝（盈+亏）÷分配差

②两次分配都是盈或都是亏，则有：

参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差

参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差

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1、定义：

工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一件工作”等，在解题时候，常常用单位“1”表示工作总量。

2、数量关系：

解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间关系列出算式。

① 工作量＝工作效率×工作时间

② 工作时间＝工作量÷工作效率

③ 工作时间＝总工作量÷（甲工作效率+乙工作效率）

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1、正比例关系：

两种相关联的量，一种量变化，另一种辆也随着变化，如果这两种量中向对应的两个数的比值，即商一定，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

2、反比例关系：

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

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1.核心知识点：

比的前后项相加求出总份数，各部分占总份数的几分之几，再用总量乘以几分之几即得各部分量的值。

按比例分配：把一个总量，按照给定的比，分成几份。

核心思路：先求一份是多少，再分别乘各自份数，求出每一部分。

2.基本步骤

（1）先算出总份数：把比里面所有数字相加

（2）求1份量：总量 ÷ 总份数 = 一份的数量

（3）各部分数量 = 一份量 × 各自对应的份数

（4）验算：几部分加起来等于总量

另一种方法（分数法）：

某部分占总量的几分之几=这部分份数÷总份数

分量=总量×对应分率

份数法更好理解，适合基础；分数法适合大题。

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1、定义：

在生产经营中，销售价格高于进货价的叫盈利，低于进货价的叫亏本，主要包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。

2、数量关系：

① 利润＝售价－进货价

② 利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%

③ 售价＝进货价×（1+利润率）

④ 亏损＝进货价－售价

⑤ 亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%

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1、定义：

把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。

2、数量关系：

① 年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%

② 利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率

③ 本利和＝本金+利息＝本金×[1+年（月）利率×存款年（月）数]

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1、定义：

这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液中的量占百分比叫浓度，也叫百分比浓度。

2、数量关系：

① 溶液＝溶剂+溶质

② 浓度＝溶质÷溶液×100%

3、一般随外界因素的变化，溶液的溶剂发生变化，溶质的量不变。

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1、“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边增加（或边吃边减少）这个因素。

2、数量关系：

① 草总量＝原有草量+草每天增加量×天数

② 草总量＝原有草量－草每天减少量×天数

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1、定义：

按相等的距离植树，在距离、棵树、棵距这3个量之间，已知其中两个量，求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

2、数量关系：

① 线形植树：棵树＝距离÷棵距+1

② 环形植树：棵树＝距离÷棵距

③ 方形植树：棵树＝每边棵树×4－4

④ 三角形植树：棵树＝每边棵树×3－3

⑤ 面积植树：棵树＝面积÷（棵距×行距）

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1、定义：

将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类应用题叫做方阵问题。

2、数量关系：

① 方阵每边人数与四周人数关系：

四周人数＝（每边人数－1）×4

每边人数＝四周人数÷4+1

② 方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数

空心方阵：总人数＝（外边人数）2 －（内边人数）2

内边人数＝外边人数－层数×2（实际无人）

内层每边人数＝内层人数÷4－1（实际无人）

③ 若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

3、方阵问题有实心和空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

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1、定义：

时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题，如两针重合（0度）、两针垂直（15格）、两针成一线（0格或30格）、两针夹角成60度（10格）、120度（20格）等。时钟问题可与追及问题相类比。

2、数量关系：

分针速度是时针的12倍

① 钟面的一周为60格，每格6°；每个数字间隔为5格，为30°。

② 分针每分钟走1格，为6°；时针每分钟走格，为0.5°。

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1、定义：

把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫幻方。最简单的幻方是三阶幻方。

2、数量关系：

每行、每列、每条对角线上的各数和都相等，这个和叫做“幻和”。

① 三阶幻方的幻和中间数的3倍；

② 五阶幻方的幻和中间数的5倍。

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1、频率：在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值。

2、概率：某一事件所固有的性质。

3、频率是变化的，每次试验可能不同，概率是稳定值不变。

4、在一定条件下频率可以近似代替概率。

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1、定义

①真分数：分子小于分母的分数；

②假分数：分子大于或者等于分母的分数；

③带分数：是假分数的另一种形式，由整数和真分数组成；

④最简比：是最简单的整数比，前项和后项都是整数而且互质；

⑤比值：是一个数，可以是整数、分数、小数。

2、分数四则运算

①分数加减：

a.同分母分数：分母不变，分子相加减

b.异分母分数：同分（找分母的最小公倍数）

c.带分数加减：整数+/－整数，分数+/－分数

②分数乘除：

a.乘法：分子×分子，分母×分母，能约分的先在过程中约分

b.除法：除以一个数等于乘以它的倒数

3、分数、小数、百分数的互化

①分数化为小数：用分子除以分母；

②小数化为分数：小数数字不变，有几位小数分母就添几个“0”，最后化简；

③小数与百分数互换：小数点左右移动两位；

④分数百分数互化：通过将分母化为100转换。

4、分数四则混合运算中的技巧

① 运算顺序：先括号，再乘除，最后加减

② 减变加不变，除变乘不变：当括号前面是“－”或“÷”时，添去括号时，括号里面一定要变号。

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1、小数转换为分数

① 纯循环小数化为分数：

循环节是几位就用几个“9”作为分母；循环节作为分子；再化简。

② 混循环小数化为分数：

分母：前几位是“9”，位数与循环节相同；后几位是“0”，位数与不循环部分的数位相同。分子：不循环部分与第一个循环节连成的数减去不循环部分组成的数。

2、分数转换为小数

① 分母只含有2或5的因数的最简分数，可以化为有限小数。

② 分母含有2或5以外的因数的最简分数，可以化为混循环小数。

③ 分母只含有2和5以外的质因数（不包括2和5），可以化为纯循环小数

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一、公式：

平面图形

1、三角形面积：S＝底×高÷2

2、圆面积：S＝πr² 

3、园周长：C=πd=2πr

4、圆环面积：S=π(R²-r²) R外圆半 r内圆半径

5、梯形面积：S=(a+b)×h÷2

6、平行四边形面积：S=ah 高必须垂直于底

7、长方形周长：C=(a+b)×2

8、长方形面积：S=a×b

9、正方形周长：C=4a

10、正方形面积：S=a²=a×a

立体图形

正方体、长方体有：6个面、12条棱、8个角。

勾股定理：在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

1、长方体

棱长总和：L=(a+b+c)×4

表面积：S=(ab+ah+bh)×2

体积：V=abh

a长，b宽，h高

2、正方体

棱长总和：L=12a

表面积：S=6a²

体积：V=a³=a×a×a

a棱长

3、圆柱

底面半径r，高h

底面积：S=πr²

侧面积：S=Ch=2πrh

表面积：S=S_侧+2S_底

体积：V=S_底×h=πr²h

4、圆锥

底面半径r，高h

体积：V=1/3S_底h=1/3πr²h

单位换算

长度

1m=10dm  1dm=10cm  1cm=10mm

面积

1m²=100dm²       1dm²=100cm²

一公顷=10000平方米

1平方千米=100公顷

体积/容积

1m³=1000dm³   1dm³=1000cm³

1L=1dm³  1mL=1cm³  1L=1000mL

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1、定义

① 排列：

从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素进行排序，所有排列的个数用 A(n，m）或表示。

规定0!＝1（n！＝n(n－1)(n－2)...1，例如6！＝6x5x4x3x2x1）

② 组合：

从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素，不考虑排序。所有组合的个数用C(n，m) 或表示。 C(n，m)＝C(n，n－m）。（n≥m)

2、基本计数原理

① 加法原理：

做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

② 乘法原理：

做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

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1、定义：

一个数列中，如果从第二项起，每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。相邻两项的差叫做这个等差数列的公差。

项数＝（末项－首项）÷公差+1

首项＝末项－（项数－1）×公差

末项＝首项+（项数－1）×公差

和＝（首项+末项）×项数÷2