上海小升初数学真题,把考点“画”给你看

数形结合 · 示意图

999999（3 份）

666666（同样的 2 份）

把两个数各画成"每格 333333"的长条：上面 3 格、下面 2 格，一眼看出它们是 3 : 2。

【解析 · 跟着图走】

第一步 · 别硬乘。六位数相乘会掉进"大数陷阱"。先观察 999999 与 666666 都是 333333 的整数倍。

第二步 · 图形对齐。如示意图：999999 = 3 × 333333，666666 = 2 × 333333，所以 999999 ÷ 666666 = 3 ÷ 2。

第三步 · 先约后算。原式 = 444444 × 3 ÷ 2 = 1333332 ÷ 2 = 666666。乘除同级，交换顺序不改变结果。

数形结合 · 示意图

每一小段 = 前一项减后一项；中间的正负项两两抵消，长条几乎被填满，只余最右端 1/100。

把每一项画成长条上的一小段，首尾相接，越接越接近"1"。

【解析 · 跟着图走】

第一步 · 拆分每一项。因为 1/n − 1/(n+1) = 1/(n×(n+1))，所以 1/(1×2) = 1 − 1/2，1/(2×3) = 1/2 − 1/3，……

第二步 · 图形对消。把 99 个小段依次排在长条上，−1/2 与 +1/2、−1/3 与 +1/3 ……全部抵消（示意图中间的"…"就是被吃掉的部分）。

第三步 · 只剩两端。原式 = 1 − 1/100 = 99/100。裂项的本质是"中间全消，只留首尾"。

数形结合 · 示意图

把 1~500 排成数轴涂三层色：5 的倍数涂一遍，25 的倍数再涂一遍，125 的倍数再涂一遍。

一个末尾 0 = 一对 2×5；因数 2 远多于 5，只需数"一共攒了多少个 5"。

【解析 · 跟着图走】

第一步 · 转化问题。10 = 2 × 5，末尾每个 0 都要消耗一对"2 和 5"。1~500 里偶数有 250 个，5 的倍数少得多，所以 0 的个数 = 质因数 5 的总个数。

第二步 · 分层数（对应三层色条）。5 的倍数有 ⌊500/5⌋ = 100 个；其中 25 = 5² 的倍数会多贡献一个 5，有 ⌊500/25⌋ = 20 个；125 = 5³ 的倍数再多贡献一个，有 ⌊500/125⌋ = 4 个；625 > 500，停止。

第三步 · 求和。100 + 20 + 4 = 124 个末尾 0。

数形结合 · 示意图

每个数拆成"质因数积木"，两组只要积木种类与个数完全相同，乘积必然相等。

乘积相等 ⇔ 两边质因数积木完全相同，不必真的把大乘积算出来。

【解析 · 跟着图走】

第一步 · 全部拆成积木。40=2³·5，44=2²·11，45=3²·5，63=3²·7，65=5·13，78=2·3·13，99=3²·11，105=3·5·7。合起来是 2⁶·3⁸·5⁴·7²·11²·13²。

第二步 · 每组应得一半。两边必须各拿到 2³·3⁴·5²·7·11·13。7 只出现在 63 与 105，必须分属两组；11 只在 44 与 99，13 只在 65 与 78，同理分开。

第三步 · 试拼并验算。A = {105, 78, 44, 45}，B = {40, 63, 65, 99}。验算：105×78×44×45 = 16216200，40×63×65×99 = 16216200，确实相等。

第四步 · 求和差。A 组和 = 272，B 组和 = 267，272 − 267 = 5。

数形结合 · 示意图

方案一：每人 5 棵

方案二：每人 7 棵

同一堆树（两条总长相等）：一条"多出 13"，另一条"缺 21"，两端一拼，总差额就是 34 棵。

两条条形总长相等，把"余"和"缺"接起来看，就是标准盈亏图。

【解析 · 跟着图走】

第一步 · 统一成"盈"与"亏"。每人 5 棵 → 余 13 棵（盈）；每人 7 棵、3 人没树种，相当于少 7×3 = 21 棵（亏）。

第二步 · 读图算总差。两种分法的树总数相同，一盈一亏，总差额 = 13 + 21 = 34 棵。

第三步 · 找每人差。每人从 5 棵变 7 棵，多分 2 棵；34 棵差额由每人补 2 棵凑齐，人数 = 34 ÷ 2 = 17 人。

第四步 · 回代验算。树 = 5×17 + 13 = 98 棵；验算 7×(17−3) = 98 棵，吻合。

数形结合 · 示意图

青菜

萝卜

两条线段各剪掉同样长的 20 千克，"多出来的 40"长度完全不变 —— 这就是差不变。

各卖出同样多，差不变；先求"现在的和"，再按和差问题切两段。

【解析 · 跟着图走】

第一步 · 求现在的和。各卖 20 千克，一共少了 40 千克，现在共 360 − 40 = 320 千克。

第二步 · 差不变（看图）。两条都剪掉 20，青菜比萝卜仍多 40 千克。

第三步 · 和差公式。现在青菜 = (320 + 40) ÷ 2 = 180 千克，现在萝卜 = 320 − 180 = 140 千克。

第四步 · 还原所求。原来萝卜 = 140 + 20 = 160 千克。注意题目问的是"现在青菜"和"原来萝卜"，别答串。

数形结合 · 示意图

每 9 面一条彩带，蓝旗固定落在每条彩带的第 6~9 面；第 310 面落在第 35 条彩带的第 4 格（黄）。

把彩旗按 9 面一段画成彩带，"最后一面"就是彩带上的某一格。

【解析 · 跟着图走】

第一步 · 定周期。3 + 2 + 4 = 9 面为一个周期，其中第 6、7、8、9 面是蓝旗。

第二步 · 用除法定位。310 ÷ 9 = 34 余 4，说明第 310 面是第 35 个周期的第 4 面 —— 黄旗，不符合"最后一面是蓝旗"。

第三步 · 向前找最近的蓝。34 个完整周期共 9 × 34 = 306 面，第 306 面正好是第 34 个周期的最后一面（蓝旗）。

第四步 · 验证唯一性。307、308、309 面是红，310 面是黄，中间没有蓝旗，所以最多 306 面。

数形结合 · 示意图

总支出 = 整体"1"（1500 元）

整条代表总支出"1"；只要找到"一个具体量 + 它对应的分率"，整条的长度就确定了。

量率对应：先找到"量 ÷ 对应分率 = 整体 1"，其余各段用整体减。

【解析 · 跟着图走】

第一步 · 找量率对。交通 240 元 ↔ 4/25，这是唯一一组"具体数量 + 对应分率"。

第二步 · 求整体。总支出 = 240 ÷ 4/25 = 240 × 25/4 = 1500 元。

第三步 · 补齐各段。住宿 = 1500 × 1/5 = 300 元；购物 = 1500 − 240 − 300 − 280 − 260 = 420 元。

第四步 · 求分率。420 ÷ 1500 = 7/25。检验：4/25 + 5/25 + 7/25 + 280/1500 + 260/1500 = 1 ✓

数形结合 · 示意图

去程

回程

把上坡与下坡两段"接"在一起看：b/3 + b/6 = b/2，恰好与平路的每千米耗时 1/4 配对成每千米 1/4 小时。

往返画成两条时间条，同一段坡"上去 3、下来 6"，合起来的平均速度正好是 4。

【解析 · 跟着图走】

第一步 · 设而不求。设平路单程 a 千米，坡路单程 b 千米（不必分别求出来）。

第二步 · 列时间条。总时间 = a/4 + b/3 + b/6 + a/4 = a/2 + (b/3 + b/6) = a/2 + b/2 = (a+b)/2。

第三步 · 解整体。(a+b)/2 = 5 → a + b = 10 千米（单程）。往返总路程 = 2(a+b) = 20 千米。

第四步 · 换个视角验算。上下同一段坡的平均速度 = 2×3×6 ÷ (3+6) = 4 千米/时，与平路速度相同，所以全程平均速度就是 4，5 × 4 = 20 千米 ✓

数形结合 · 示意图

把总工程量画成 36 格：甲每天填 3 格（蓝），乙每天填 2 格（黄），甲停工的 3 天只留乙在填。

总量取 12 与 18 的最小公倍数 36，"工作效率"就变成整数格，天天可数。

【解析 · 跟着图走】

第一步 · 设总量。取 [12,18] = 36 份，则甲每天做 36÷12 = 3 份，乙每天做 36÷18 = 2 份。

第二步 · 设未知数。设一共用 x 天：乙一天没歇，做满 x 天；甲休 3 天，只做 (x − 3) 天。

第三步 · 按图列式。3(x − 3) + 2x = 36 → 5x = 45 → x = 9 天。

第四步 · 验算。甲 6 天做 18 份，乙 9 天做 18 份，合计 36 份 ✓

数形结合 · 示意图

三人题目不要一起想：先用"两人相向"把相遇时刻与地点钉死，第三个人只是"在那一刻赶到那个点"。

先画一条数轴钉住相遇点，再画一条时间轴对齐三个人各自的出发时刻。

【解析 · 跟着图走】

第一步 · 求老师速度并算李敏先行路程。老师速度 = 4 + 1.2 = 5.2 千米/时；李敏先走 0.5 小时，走了 4×0.5 = 2 千米，两人相距 20.4 − 2 = 18.4 千米。

第二步 · 只盯"李敏 + 老师"。相向而行，速度和 4 + 5.2 = 9.2，相遇需 18.4 ÷ 9.2 = 2 小时。故相遇发生在李敏出发后 0.5 + 2 = 2.5 小时，相遇点距学校 4 × 2.5 = 10 千米。

第三步 · 对齐张永的时间。张永在李敏出发后 0.5 + 1.5 = 2 小时才出发，到 2.5 小时相遇只骑了 0.5 小时。

第四步 · 求速度。张永 0.5 小时骑了 10 千米 → 10 ÷ 0.5 = 20 千米/时。

数形结合 · 示意图

把减少的一圈侧面"剪开摊平"

高变矮后，上底面只是"降"了下去，面积没变；真正消失的只有绕一圈的 4 条侧面。

高减少 3 厘米，少掉的只有 4 个"高 3 厘米"的侧面小长条。

【解析 · 跟着图走】

第一步 · 看清变了什么。高减少后变成正方体，说明底面原本就是正方形；减少的表面积全部来自 4 个侧面，上下底面积不变。

第二步 · 展开侧面条。4 个侧面条拼成一条长方形：长 = 底面周长，宽 = 3 厘米，面积 72 平方厘米。

第三步 · 求底面边长。底面周长 = 72 ÷ 3 = 24 厘米 → 边长 = 24 ÷ 4 = 6 厘米，这也正是正方体的棱长。

第四步 · 求体积。V = 6³ = 216 立方厘米。

数形结合 · 示意图

沿两条半径的端点连一条弦，把扇形切成"三角形 + 弓形"两块；求弓形只需做一次减法。

阴影不是规则图形，但它是"两个规则图形之差"，画一条辅助线就能拆开。

【解析 · 跟着图走】

第一步 · 补辅助线。连接两条半径的端点 A、B，四分之一圆被分成"等腰直角三角形 OAB"与"弓形"两块。

第二步 · 算扇形。圆心角 90°，S扇形 = π × 8² ÷ 4 = 16π 平方厘米。

第三步 · 算三角形。两直角边都是半径 8 厘米，S三角形 = 8 × 8 ÷ 2 = 32 平方厘米。

第四步 · 相减。S阴影 = 16π − 32 ≈ 18.24 平方厘米。

数形结合 · 示意图

对角线把梯形切成一只"蝴蝶"：左右两翼永远相等，上下两块的乘积 = 左右两块的乘积。

把梯形按对角线切成 4 块，标上面积，蝴蝶定理就是这 4 个数字之间的关系。

【解析 · 跟着图走】

第一步 · 两翼相等。△ABD 与 △ABC 同底 AB、等高（AB ∥ CD），面积相等；同时减去公共的 △AOB，得 S△AOD = S△BOC = 35。

第二步 · 用等高模型定比例。△AOB 与 △BOC 共用顶点 B、底在同一直线 AC 上，面积比 = 底之比：AO : OC = 25 : 35 = 5 : 7。

第三步 · 求下块。△COD 与 △AOD 同样共用顶点 D、底在 AC 上，S△COD : S△AOD = OC : AO = 7 : 5，故 S△COD = 35 × 7/5 = 49。（等价于蝴蝶定理 25 × S下 = 35 × 35。）

第四步 · 求整体。S梯形 = 25 + 35 + 35 + 49 = 144 平方厘米。

数形结合 · 示意图

韦恩图有 7 个互不重叠的区域：从最中间的"三项 8"往外剥，每层减去已算过的部分，就不会重复计数。

把三个圆切成 7 块，每块填一个数，比死记公式更不容易错。

【解析 · 跟着图走】

第一步 · 从中心往外填（对应 7 格图）。三项都订 = 8；仅 AB = 25 − 8 = 17，仅 AC = 18 − 8 = 10，仅 BC = 12 − 8 = 4。

第二步 · 填"仅一项"。仅 A = 68 − 17 − 10 − 8 = 33；仅 B = 55 − 17 − 4 − 8 = 26；仅 C = 42 − 10 − 4 − 8 = 20。

第三步 · 求并集。八格相加 33+26+20+17+10+4+8 = 118 人；也可用公式 68+55+42 −25−18−12 +8 = 118 人（加回多减一次的三项交集）。

第四步 · 求补集。三种都没订 = 120 − 118 = 2 人。