2026-2027学年第一学期数学分析（3）期中考试试题及答案要点

一、试题部分

1.（12分） 求函数  在  点的 Taylor 展开式（展开到三阶导数为止）。

2.（12分） 设  是由方程组

所确定的向量值隐函数，其中  具有连续的导数，求 。

3.（12分） 求曲线  在点  处的切线和法平面的方程。

4.（12分） 求由方程

所确定的函数  的极值。

5.（12分） 计算二重积分 ，其中  是由曲线 ，， 和  围成的图形在第一象限中的那部分。

6.（12分） 设  在  上连续，记  为  维单位球的体积。证明：

其中  为  维单位球体。

7.（14分） 证明反常二重积分

发散。

8.（14分） 设函数  及  在闭矩形区域  上连续。已知在底边上 （对任意  成立）。证明：

二、答案要点

1. Taylor 展开式

分别写出  与  在  处的泰勒展开式：

将上述两个展开式相乘，只保留总次数不超过  的项：

（注： 和  均为  次项，属于 ，故舍去。）
最终展开式为：

2. 隐函数求导

分别对方程  和  的两边关于  求导。
对于 ：

对于 ：

整理得线性方程组：

解得：

3. 空间曲线的切线与法平面

设 ，。
在点  处，法向量分别为：

切向量：

取平行的简化向量 。

切线方程：

法平面方程：

4. 隐函数的极值

取目标函数 ，构造 Lagrange 函数：

令偏导为零：

解得 ，且驻点为 。代入原方程得 。对应 。
计算二阶偏导：

在  处，Hesse 矩阵为 ，正定，故  为极小值。
在  处，Hesse 矩阵为 ，负定，故  为极大值。

5. 二重积分的变量代换

令 ，。积分区域化为矩形 。
计算雅可比行列式：

从而：

于是：

计算得：

6. 高维积分的正交变换

取单位向量
，构造正交矩阵  使其第一列为。作坐标变换 。
由于正交变换，区域不变且雅可比为 。被积函数化为：

原积分化为：

切片处理：

内层积分为半径为  的  维球体体积：

因此：

7. 反常积分发散的证明

考察无限扇形区域 。
当  时：

从而：

因为  发散，故原反常二重积分发散。

8. Poincaré 不等式

利用微积分基本定理及 ：

由 Cauchy-Schwarz 不等式：

两边在  上积分：

因 ，故：