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专练 25 平面向量的数量积及其应用
授课提示：对应学生用书51页
[基础强化]
一、选择题
1．[2024·新课标Ⅰ卷]已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案：D
解析：由题意知b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x－4)，又b⊥(b－4a)，所以2×2＋x(x
－4)＝0，即x2－4x＋4＝0，解得x＝2，故选D.
2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：D
解析：由题意可得a－b＝－＝，所以＝ ＝5.故选D.
3．已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
答案：C
解析：因为BC＝AC－AB＝(1，t－3)，所以|BC|＝＝1，解得t＝3，所以BC＝(1，0)，
所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2，故选C.
4．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
答案：B
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3.
5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案：C
解析：将|a－2b|＝3两边平行，得a2－4a·b＋4b2＝9.因为|a|＝1，|b|＝，所以1－4a·b＋
12＝9，解得a·b＝1.故选C.
6．[2023·新课标Ⅰ卷]已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
答案：D
解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－
μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，
整理得λμ＝－1.故选D.
7．已知x>0，y>0，a＝(x，1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，则＋的最小值为( )
A．4 B．9 D．8 D．10
答案：B
解析：依题意，得a·b＝x＋y－1＝0 x＋y＝1.＋＝＋＝5＋＋≥9，当且仅当x＝，y＝
时取等号．故选B.
8．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，⇒且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(
)
A． B． C． D．
答案：B
解析：设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|
2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈(0，π)，∴α＝.故选B.
9．已知向量|OA|＝2，|OB|＝4，OA·OB＝4，则以OA，OB为一组邻边的平行四边形的面积为( )
A．4 B．2 C．4 D．2
答案：A
解析：因为cos ∠AOB＝＝＝，所以∠AOB＝60°，sin ∠AOB＝，则所求平行四边形
的面积为|OA|·|OB|·sin ∠AOB＝4，故选A.
二、填空题
10．已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，若tb－a与a垂直，则实数t＝________．
答案：2
解析：由已知可得a·b＝1××＝1.因为tb－a与a垂直，所以(tb－a)·a＝0，得ta·b－a2
＝0，即t－2＝0，故t＝2.
11．[2023·新课标Ⅱ卷]已知向量 a，b 满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝
________．
答案：
解析：由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3 ①.由|a＋b|＝|2a－b|，得
a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，3a2－6a·b＝0，结合①，得3a2－3(a2＋b2－3)＝0，
整理得，b2＝3，所以|b|＝.
12．[2022·全国甲卷(理)，13]设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a
＋b)·b＝________．
答案：11
解析：因为cos 〈a，b〉＝，|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝1×3×＝
1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×1＋32＝11.
[能力提升]
13．[2024·新课标Ⅱ卷]已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(
)
A． B．
C． D．1
答案：B
解析：因为(b－2a)⊥b，所以b·b－2a·b＝0，即b2＝2a·b.又|a＋2b|＝2，所以(|a＋2b|)2
＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝a2＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，解得|b|2＝，|b|＝，故选B.
14．(多选)[2024·山东省临沂质量检测]在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行
李包的情况(如图).假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F ，F ，若|F |＝|
1 2 1
F |且F 与F 的夹角为θ，则以下结论正确的是( )
2 1 2
A.|F |的最小值为|G|
1
B．θ的范围为[0，π]
C．当θ＝时，|F |＝|G|
1
D．当θ＝时，|F |＝|G|
1
答案：ACD
解析：由题意知，F ＋F ＋G＝0，可得F ＋F ＝－G，两边同时平方得|G|2＝|F |2＋|F |
1 2 1 2 1 2
2＋2|F ||F |cos θ＝2|F |2＋2|F |2cos θ，所以|F |2＝.当θ＝0时，|F | ＝|G|；当θ＝时，|F |＝|
1 2 1 1 1 1min 1
G|；当θ＝时，|F |＝|G|，故ACD正确．当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不
1
成立，所以θ∈[0，π)，故B错．
15．已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，
D为BC的中点，若＝，则PA·PD的最大值为( )
A． B．
C．1＋ D．2＋
答案：A解析：方法一 连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，因为|OP|＝，所以由勾股定理
可得|PA|＝1，则∠POA＝.设直线OP绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，则－<θ<，
∠APD＝＋θ，且|PD|＝cos θ.
所以PA·PD＝|PA||PD|cos (＋θ)＝cos θcos (＋θ)＝cos θ(cos θ－sin θ)＝cos2θ－sinθcos θ
＝＋cos 2θ－sin 2θ＝＋cos (2θ＋)≤＋，故选A.
方法二 以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系，设圆O：x2＋y2＝1，点P(，0)，
因为|OA|＝1，且OA⊥PA，所以∠POA＝，不妨设A(，).
设直线PD的方程为y＝k(x－)，B(x，y)，C(x，y)，由，得(k2＋1)x2－2k2x＋2k2－1＝
1 1 2 2
0，由Δ＝8k4－4(k2＋1)(2k2－1)＝4－4k2>0，解得－1
