文档内容
方法精讲－数量 3
（笔记）
主讲教师：杜岩
授课时间：2024.05.22
粉笔公考·官方微信方法精讲－数量 3（笔记）
提前 5分钟开课，回顾知识点，回放可跳过。
1.工程问题的基本等量关系：______=______*______。
2.给完工时间型的工程问题的解题思路：先赋值______，赋值的技巧是
____________；再算______=______÷______；最后根据工作过程列式子或方程。
3.给效率比例型的工程问题的解题思路：先赋值______，赋值的技巧是
____________；再算______=______*______；最后根据工作过程列式子或方程。
4.给__________型工程问题的解题思路：设未知数，找等量关系列方程。
5.给效率比例型，若甲 3 天的工作量等于乙 2 天的工作量，甲乙效率比
________。
若题目说是 36 台挖掘机工作，则赋值效率________。
6.经济利润问题涉及的基本公式：
利润＝_____-____、利润率=______÷______，售价=______*______
折扣=________÷________、______=单价*数量。
7.题目已知具体价格时，解题方法：________；
题目没有具体价格时，解题方法：________。
8.典型的__________问题有：水电费、出租车费、税费等，
其解题过程：___________________计算。
9.函数最值题型的特征：______和______此消彼长，求______利润或总价；
解题方法是：__________，列式时需要注意____________________
【注意】
1.工程问题的基本等量关系：总量=效率*时间。
2.给完工时间型的工程问题的解题思路：先赋值总量，赋值的技巧是赋值总
量为时间的公倍数，这样能保证每一步计算都是正整数；结合题干中的时间，再
算效率=总量/时间；最后根据工作过程列式子或方程。
3.给效率比例型的工程问题的解题思路：先赋值效率，赋值的技巧是按照比
例赋值；再算总量=效率*时间；最后根据工作过程列式子或方程。
4.给具体单位型工程问题的解题思路（具体总量或效率值）：设未知数，找
1等量关系列方程。
5.给效率比例型，当题目中没有直接给出效率比例，给出的是工作量之间的
关系，要进行转化，若甲 3天的工作量等于乙 2天的工作量，总量相同，效率与
时间成反比，效率越高，用时越短；效率越低，用时越长，甲乙的时间之比为 3：
2，则效率之比为2：3；也可以直接列式，3*P =2*P →P /P =2/3，若题目说
甲 乙 甲 乙
是36台挖掘机、20 个工人工作，忽略个体差异，则赋值效率为1。
6.经济利润问题涉及的基本公式：经济利润问题的本质不难，涉及到的公式
有很多，利润=售价-成本（进价）、利润率=利润/进价，售价=成本*（1+利润率），
类似于资料分析中的现期公式，售价是新的价格，成本是老的价格（相当于基期），
现期=基期*（1+r），折扣=售价/原价、总价=单价*数量。
7.题目已知具体价格时，解题方法：设未知数列式求解；题目没有具体价格
时（给出的都是比例），解题方法：赋值法，一般赋值成本为 100（能保证百分点
的比例关系能转化为正整数）。
8.典型的分段计费问题有：水电费、出租车费、税费等，其解题过程：根据
分段要求、分段标准进行单独计算。
9.函数最值题型的特征：价格和销量此消彼长，价格越贵，销量越低，价格
越低，销量越高，求利润或总价；解题方法是：两点式。列式后一定会得到两个
括号相乘的形式，两个括号中都有 x，令左右两边的括号都等于 0，解得x、x，
1 2
x=（x+x）/2，列式时需要注意题干所求，总价=单利*数量，总利润=单利*数量。
1 2
数量关系 方法精讲3
学习任务：
1.课程内容：行程问题、几何问题
2.授课时长：3小时
3.对应讲义：第 160～164页
4.重点内容：
（1）掌握行程问题的基础公式与匀变速运动平均速度公式
（2）掌握直线和环形上的相遇、追及问题计算公式，用图示来理解复杂
的运动过程
2（3）掌握几何问题基本公式及其运用
（4）掌握三角形三边关系、勾股定理、特殊三角形及面积相关的知识
第六节 行程问题
三量关系：路程=速度*时间（S=V*T）
考查题型：
1.普通行程（简单）
2.相对行程（重点）
【注意】行程问题。
1.在小学5年级就有对应的概念，即“你追我赶，你在前面跑，我在后面
追”，行程问题虽然是基础的三量关系问题，路程=速度*时间（S=V*T），但行
程问题的变形有很多，包括普通行程、相遇问题、追及问题、环形相遇、环形
追及、追及上几次等等。
2.行程问题的公式多、模型多、做起来很繁琐。考场上遇到行程问题若一
眼能看出思路可以做，否则就跳过，先做最基础的方程法、工程问题、函数最
值、分段计费等简单问题。因为行程问题的设置很复杂，正常问题读题后可以
进行计算，行程问题需要画示意图，先分析运动过程，比较耗时，分析的时间
可以把其他题目做完，行程问题对时间的需求比其他问题高很多，因此行程问
题不受欢迎，考场上有时间有机会要尽量做，没时间做题也不可惜。
3.考查题型：
（1）普通行程（简单）：如已知速度和时间，求路程。
（2）相对行程（重点）。
【例 1】（2024 国考）甲和乙两辆车同时从 A 地出发匀速开往 B 地，甲车出
发时的速度比乙车快20%，但乙车行驶1个小时后速度加快30千米/小时继续匀
速行驶，又用了3 小时与甲车同时抵达，则 A、B两地相距多少千米？
A.540 B.510
C.600 D.570
【解析】1.画图分析，甲、乙在 A地去往 B地，若乙的速度为V，“甲车出发
3时的速度比乙车快 20%”，则甲的速度为 1.2V，乙车先行驶了 1h，速度为 V，后
半段提速，乙车速度变为 V+30，甲车的速度不变，为 1.2V，后半段行驶 3h。正
常解题需要列式，要找到等量关系，行程问题的等量关系与路程、速度、时间相
关，甲乙辆车的时间相同、路程相同，根据路程相同列式，S =V *4=1.2V*4。
甲 甲
乙的路程分成两段（因为速度不同），前 1个小时的速度为 V ，后3 个小时的速
乙
度为V +30，列式 S =V*1+（V+30）*3，路程相同，故 1.2V*4=V*1+（V+30）*3
乙 乙
→4.8V=4V+90→0.8V=90→V=90/0.8，最终答案是整数，即无需将 V 计算出具体
值，因为最终所求为 AB 两地距离，并不是速度，将 V 代入计算，V
甲
=1.2V=1.2*90/0.8，S =1.2*90/0.8*4=540，对应A项。【选A】
甲
【注意】
1.数量关系问题重点不是计算，而是整道题目的思路。
2.考场思路，行程问题从问题出发，问 AB 两地的距离，甲车的速度为 V ，
甲
甲乙辆车同时出发同时到达，时间相同，t =4，S =V *4，第一节课讲解过A=B*C，
甲 甲 甲
则 A 是 B、C 的整数倍，100=4*25，则 100 是 4、25 的整数倍，如分苹果，平均
每人分10个刚好分完，苹果总数=10*n，总数一定是 10的倍数，回到本题，S
甲
=V *4，S 未知，但 S 一定是 4 的整数倍，4 的倍数看末两位，观察选项，A、
甲 甲 甲
C项满足，在A、C 项中二选一；此时可以继续代入，代入 C项（600 最整，最好
算），V =600/4h=150，V =150/1.2=125，验证，125*1+（125+30）*3=125+465=590，
甲 乙
没有的到达终点（全程为 600m），不满足要求，排除 C项，对应A项。
3.可以根据常识判断，高速上速度为 120，上下浮动 20%，最高为 144，不可
4能是150，公务员考试不可能考超速的题目。
4.很多年龄问题会很离谱，不可能 17 岁时有 6 岁的孩子，不可能 18 岁结
婚，尤其是国考题，非常注重题目的影响。
【拓展】（2018 国考）一辆汽车第一天行驶了 5 个小时，第二天行驶了 600
公里，第三天比第一天少行驶 200 公里，三天共行驶了 18 个小时。已知第一天
的平均速度与三天全程的平均速度相同，问三天共行驶了多少公里？
A.800 B.900
C.1000 D.1100
【解析】拓展.一共行驶三段，三天一共行驶了 18小时，问三天一共行驶多
少公里，问路程，路程=速度*时间，时间=18h，即使不知道 V 的具体值，路程
=V*18，故路程应该为 18的整数倍，可以看选项能否倍 18整除，也可以将 18进
行因式分解，18=2*9，既满足2的倍数又满足 9的倍数即可，只要是偶数就都满
足 2 的倍数，故选项均为 2 的倍数；选项中只有 900 是 9 的倍数，对应 B 项。
【选B】
【注意】考场思维：出现 A=B*C，求A 时，即可考虑倍数关系。
【例 2】（2023 山东）一辆车从甲地行驶到乙地共 20 千米，用时 20 分钟，
已知该车在匀加速到最大速度后开始匀减速，到乙地时速度恰好为 0，问该车行
驶的最大速度是多少千米/小时？
A.100 B.108
C.116 D.120
【解析】2.从甲地出发时的速度为 0，速度逐渐上升达到最大值 V，然后速
度开始匀减速最后为 0，此时刚好到达乙地。速度一直在发生变化，考虑匀变速
直线运动，整个过程的平均速度=（V -V ）/2。也可以画图分析，V-t图像所围
初 末
成的图形面积就是路程。
从甲地开始走，起始的速度为 0，一直匀加速，加速到 V，在匀加速过程中，
初速度为0、末速度为 V，整个过程的平均速度为（0+V）/2；此时速度最大，开
5始进行匀减速运动，初速度为 V，末速度为 0，整个过程的平均速度为（0+V）/2，
已知平均速度，代入公式，S=V*t，注意单位，所求单位为千米/小时，20 分钟
=1/3h，20=V/2*（1/3）→V=120，对应D项。【选 D】
【注意】
1.2023 年之前的行程问题都是匀速，速度不会发生变化，用 S=V*t 正常计
算即可，从2023年开始，重新考查匀变速直线直线运动。
2.匀加（减）速的平均速度：（V -V ）/2。
初 末
3.无论加速度是多少，只要整个过程的速度是从 0 到 V，再从 V 到 0，那么
这个过程的平均速度就都是 V/2。
2.相对行程
（1）直线相遇
（2）直线追及
（3）环形相遇
（4）环形追及
【注意】相对行程问题包括直线相遇、直线追及、环形相遇、环形追及，需
要脑补很多过程。
62.相对行程
（1）直线相遇：同时相向而行
公式：S =V *T
和 和 遇
S和：就是两人走的路程之和
【注意】相对行程：
1.直线相遇：同时相向而行。猫在A点，老鼠在 B点，两人要相遇，必须同
时出发，相向而行（两人的速度方向相反），当猫走到 C点时，老鼠也走到 C点，
此时两人在C点相遇。
2.公式：S =V *T 。
和 和 遇
（1）若猫的速度为 V1，老鼠的速度为 V，假设老鼠与猫都用 t小时，发现
2
猫走的距离+老鼠走的距离=AB，即Vt+Vt=S 。如8点整，猫走向老鼠，同时老
1 2 和
鼠也走向猫，走到 8：30，此时猫和老鼠用的的时间相同，由于速度不同，因此
体现的路程不同，猫的速度快，走的路程较长，为 Vt，老鼠的速度慢，走的路
1
程较短，为Vt，只要 Vt+Vt=S ，两者就一定能相遇。
2 1 2 和
（2）如AB之间的总路程为 100米，V =3m/s，V =2m/s，问多久之后能够
猫 老鼠
相遇，两人之间的距离为 100米，只要能把 100米的距离走完就能相遇，S =100=
和
（V+V）*t=Vt+V t=（3+2）*t→t=20s。
1 2 1 2
（3）S ：就是两人走的路程之和。
和
【例 3】（2020 新疆）A、B 两地相距 600 千米，甲车上午 9 时从 A 地开往 B
7地，乙车上午 10 时从 B 地开往 A 地，到中午 13 时，两辆车恰好在 A、B 两地的
中点相遇。如果甲、乙两辆车都从上午9时由两地相向开出，速度不变，到上午
11时，两车还相距多少千米？
A.100 B.150
C.200 D.250
【解析】3.注意两个车的出发时间不同，画图分析，AB之间的距离为 600km，
甲在A点，乙在B 点，甲在9：00出发，乙在 10：00出发，中午13 时，两车在
A、B两地的中点相遇，设路程的中点为 C点，虽然两人确实碰面，但不属于相遇
问题，因为两人的时间不同（相遇问题必须保证同时出发，相向而行），本题为
普通的行程问题，13：00 走到中点，故甲从 A 点到 D 点走了 300km，一共用时
13-9=4h；乙从 B 点到 C 点走了 300km，用了 3h，可以求出甲乙的速度，V
甲
=S/t=300/4=75，V =300/3=100。
乙
问“如果甲、乙两辆车都从上午9时由两地相向开出，速度不变，到上午 11
时，两车还相距多少千米”→同时出发、相向而行，画图分析，紫色过程为相遇
过程，从9点到11点一共行驶过了3个小时，S =V *t=（75+100）*2=175*2=350，
和 和
总长为600，中间还剩余 600-350=250km，对应 D项。【选D】
【拓展】（2020 河北）甲乙两人在相距 1200 米的直线道路上相向而行，一
条狗与甲同时出发跑向乙，遇到乙后立即调头跑向甲，遇到甲后再跑向乙，如此
8反复，已知甲的速度为 40米/分钟，乙为60 米/分钟，狗为80米/分钟。不考虑
狗调头所耗时间，当甲乙相距 100米时狗跑了多少米？
A.1100 B.1000
C.960 D.880
【解析】拓展.狗在来回跑，已知 V 、V 、V ，问甲乙相距 100 米时狗跑
甲 乙 狗
了多少米。画图分析，狗的速度很快，碰到乙后掉头，碰到甲后再次掉头，狗属
于来回相遇的过程，问狗跑了多少米。看问题的本质，S =V *t ，已知 V =80，
狗 狗 狗 狗
狗一直在跑，时间未知，S =80*t，答案是 80 的整数倍，观察选项，排除 A、B
狗
项，可以在C、D项中猜一个。
继续分析，狗和人同时出发，狗跑的时间为人跑的时间，两人一开始相距
1200米，最后两人之间只相差 100米，则两人一共跑了 1100米，属于相遇过程，
套相遇公式即可，S =1100=（V +V ）*t=（40+60）*t=100t→t=11，狗跑的时
和 甲 乙
间与人跑的时间相同，故 S =80*11=880，对应 D项。【选D】
狗
（2）直线追及：同时同向而行
公式：S =V *T
差 差 追
S差：追及刚开始时两人相差的距离（起点的距离）
【注意】直线追及：同时同向而行。
1.公式：S =V *T 。S ：追及刚开始时两人相差的距离（起点的距离）。
差 差 追 差
92.老鼠在前，猫在后，猫要给老鼠追上，则猫的速度要快，老鼠的速度慢，
追及问题一定是大速度追小速度，若老鼠的速度为 10m/s，猫的速度为 5m/s，无
论何时，猫都不会追上老鼠。假设猫的速度为 V（大速度）、老鼠的速度为 V（小
1 2
速度），猫要想追上老鼠，则猫和老鼠要同时到达终点。如这次考试大家考了 80
分，杜老师考了60 分，大家比杜老师多了20 分，则老师需要在申论部分高出 20
分才能追上。猫的路程用 S 表示，老鼠的路程用 S 表示，S-S=S ，为追及过程，
1 2 1 2 差
两人同时出发同时到达，时间相同，S=V*t、S =V*t，故V*t-V*t=S →（V-V）
1 1 2 2 1 2 差 1 2
*t=S 。
差
【引例】爸爸骑车从某地出发，沿公路追赶前面 500米处的正在跑步的小明，
若骑车速度为5米/秒，小明跑步速度为3 米/秒，则爸爸追上小明需要多久？
追及问题中不用纠结到底跑了多远，两个人出发点的距离（S ）是定值，不
差
会随着时间推移而改变。
抓住核心套公式计算即可
【注意】
1.引例：爸爸骑车从某地出发，沿公路追赶前面 500米处的正在跑步的小明，
若骑车速度为5米/秒，小明跑步速度为3 米/秒，则爸爸追上小明需要多久？
答：满足大速度追小速度，落后了 500 米，则S =500米，S =（V-V）*t，
差 差 1 2
代入数据，500=（5-3）*t→t=250。很多小白同学会有误区，会思考到底跑了多
10远才能追上，注意不需要思考跑了多少米能追上，重点是落后的距离补上即可。
2.追及问题中不用纠结到底跑了多远，两个人出发点的距离（S ）是定值，
差
不会随着时间推移而改变。抓住核心套公式计算即可。
【例 4】（2020 深圳）小王和小李从甲地去往相距 15km的乙地调研。两人同
时出发且速度相同。15分钟后，小王发现遗漏了重要文件遂立即原路原速返回，
小李则继续前行；小王取到文件后提速 20%追赶小李，在小李到达乙地时刚好追
上，假设小王取文件的时间忽略不计，则小李的速度为多少km/h？
A.4 B.4.5
C.5 D.6
【解析】4.方法一：画图分析，两人都从甲地同时出发，速度相同，用 V表
示，“15 分钟后，小王发现遗漏了重要文件遂立即原路原速返回”，两人速度相
同，故 15 分钟后小李与小王走的路程相同，此时小王需要原路原速返回，路程
相同，故回家的时间也相同，小王回家用了 15 分钟。在这个时间段内，小李没
有等待小王，继续前行，又往前走了 15分钟。“小王取到文件后提速 20%追赶小
李”→提速后小王的速度为 1.2V，小李的速度不变为 V，此时为追及过程，当小
李走到终点时，小李也走到终点，如图黑色的过程为追击过程。追击过程一定要
用追及公式，小王比小李落后的距离=S =0.5*V=0.5V，S =（V -V ）*t=（1.2V-
差 差 王 李
V）*t→t=2.5，即整个的追及过程用了 2.5h，即小王从家到终点走了 2.5h，小
王走完后半段需要 2.5h，但小王前半部分还用了 0.5h，故小王从甲地到乙地，
一共用了3h，所求=15/3=5，对应C项。
11方法二：比例思维，S=V*t，当路程相同时，速度与时间成反比（如大家都
走 100 米，若一个人的速度为 20m/s，则他只需要走 5s 就可以到达；另一个人
的速度为 10m/s，则他只需要走 10s 就可以到达，速度之比为 20/10=2/1，时间
之比为5/10=1/2），速度快的时间越短，速度慢的时间越长，小王和小李的速度
之比为1.2V/V=1.2=6/5，故时间之比为5/6，小王更快，小李更慢，小王需要 5
份时间，小李需要 6份时间，小李比小王慢了 1份是时间。相当于小李自己偷跑
了0.5h 才能与小王同时到达终点，故多的 1份时间，为领先的0.5h，即一份时
间对应0.5h，故小李走完全程需要 6*0.5=3h，所求=15/3=5，对应 C项。
方法三：猜题，题干中存在两个人，对应两种不同的速度，两人的速度之间
刚好是1.2倍的关系，若未知数设错、计算混乱或看错主体，会存在 1.2倍的关
系，观察选项，C 项*1.2=D 项→5*1.2=6，说明 5 是原速度，提高 1.2 倍后的速
度为6，故 5是小李的速度，6是小王的速度。猜测答案为 C项。【选 C】
【注意】
1.考场上不推荐做例 4。
2.出现追上，套追及公式：S =V *t。
差 差
3.遇到不会做的题目再考虑猜题。
（3）环形相遇（同时同点反向出发）
公式：S =V *T
和 和 遇
结论：每相遇 1次，合走1圈，相遇N 次，S和=N圈
【注意】环形相遇（同时同点反向出发）：
1.公式：S =V *T 。
和 和 遇
2.例：小王和小李在操场散步，小李沿着顺时针方向跑，小王沿着逆时针方
向跑，从同一起点同时开始，沿不同方向跑，小王与小李跑到了同一个位置，即
相遇。即在封闭环境内，两人同时、同点出发，反向跑，跑到相同的位置，为环
形相遇。如你的速度为 V、我的速度为V，两人同时同点反向出发，第一次相遇
1 2
时所用的时间为 t，左边的路程为 V*t，右边的路程为 V*t，当 V t+Vt=1 圈的
1 2 1 2
长度时，两人相遇。
123.结论：每相遇 1 次，合走 1 圈，相遇 N 次，S =N 圈。若第一次相遇后没
和
有停下来，继续往前走，再次相遇，属于第二次相遇，第二次相遇两人一起走了
2圈，相遇 N次，S =N圈。
和
（4）环形追及（同时同点同向出发）
公式：S =V *T
差 差 追
结论：每追上 1次，多走1
圈
追上 N次，S差=N圈
【注意】环形追及（同时同点同向出发）。
1.两人从同一起点同时同向出发，速度快的人一马当先，速度慢的人被甩在
身后，速度快的人继续跑，当速度快的人追上速度慢的人，此时呈现追及的过程，
跑的速度快的人比跑的慢的人多跑了一圈，速度快的人跑了黑色的长度，同时，
回到同一位置，如图的蓝色部分为多出来的一圈长度，要想追上一次，就要多跑
一圈。
132.公式：S =V *T 。
差 差 追
3.结论：每追上 1次，多走1圈，追上 N次，S =N圈。
差
【例 5】（2023 内蒙古事业单位）老张和小张在周长为 400 米的运动场上跑
步，小张的跑步速度快于老张，当两人在同一起点同时同向出发，则每隔8分钟
相遇一次；当两人在同一起点同时反向出发，则每隔2分钟相遇一次，老张在该
运动场跑一圈需要多少分钟？
A.5.33 B.5.36
C.5.42 D.5.45
【解析】5.设老张的速度为 V、小张的速度为 V，题干中无论同向还是反向
2 1
出发，都是相遇，很多出题人的语言表述不同，因此不能看见相遇就认为一定是
相遇问题，有时候相遇不是相遇，要看运动方向，两人同时出发，运动方向相同，
为环形追及问题，即每隔 8分钟追及一次，反向出发为环形相遇问题，本题描述
相遇和追及两种情况，套结论，相遇 1 次两人一起走一圈，追上 1 次多走 1 圈，
先看追及过程，要想追上一次，就要多跑一圈，S =1 圈=400=（V -V）*8→V-
差 1 2 1
V=50①。
2
“当两人在同一起点同时反向出发，则每隔 2 分钟相遇一次”，属于相遇的
过程，相遇是合起来走了 1 圈，即 S =400=（V+V）*2→V+V=200②，①+②：
和 1 2 1 2
2*V=250→V=125，V=125-50=75。求“老张在该运动场跑一圈需要多少分钟”，
1 1 2
1
所求=400/75=16/3=5 ≈5.33，对应A项。【选 A】
3
14【注意】
1.思维点拨：根据方向确定相遇还是追及，套用公式。
2.环形同点出发：每相遇一次合走一圈；每追上一次多走一圈。
3.环形跑道同向出发默认为追及问题，环形跑道反向出发默认为相遇问题。
【例 6】（2023 天津事业单位）师范大学体育场的环形跑道长400 米，王鹏、
李华、周可从同一地点同时同向出发，围绕跑道分别慢跑、快跑和轮滑。已知三
人的速度分别是 2 米/秒、6 米/秒和 8 米/秒，问李华第 4 次超越王鹏时，周可
已经超越了王鹏多少次？
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】6.环形跑道“同一地点、同时同向出发”，为追及过程，因此一定
要用追及公式，每追上一次多走一圈，为了避免混乱，可以将速度写到对应的人
名下面进行标记，V =2 米/秒、V =6 米/秒、V =8 米/秒。李华超越王鹏 4
王鹏 李华 周可
次，即追了四次，故 S =4圈=4*400=V -V =（6-2）*t，解得t=400，当李华
差 李华 王鹏
第四次超越王鹏时，即过了 400s 之后，问周可超越了王鹏多少次，一共经历了
400s，S =（8-2）*400=2400 米，追上1次多走 1圈，每多走400米就能追上 1
差
次，一共多了2400 米，即多了2400/400=6 圈，对应A项。【选A】
15【注意】比例思维（有基础的同学可以了解），李华追王鹏的速度差为 6-2=4，
周可追王鹏的速度差为 8-2=6，速度差之比为 4/6=2/3，意味着路程差之比也为
2/3，2 对应题干中追上的 4次，则3扩大 2倍对应6次，对应A项。
第七节 几何问题
学习内容：
①公式运用
②三角形相关
【注意】几何问题：需要背公式，需要靠画图、想象能力，初中时学习过，
相对会比较简单，类似看图说话。
1.公式运用：周长、面积、表面积、体积。
（1）面积：正方形面积为边长²；长方形面积为长*宽；三角形面积为 1/2*
底*高；梯形面积为（上底+下底）*高/2；圆形面积为πr²，周长为 2πr。
（2）圆柱体表面积由三部分构成，即上底、下底、侧面，上底和下底是等
大的圆，面积为2πr²；侧面展开是长方形，宽就是圆柱的高（h），长是底面圆
的周长，为 2πrh。侧面积为 2πr²+2πrh。
（3）长方体体积为长*宽*高；柱体体积为底面积*高；椎体体积为 1/3*底面
积*高，冰淇淋蛋筒就是圆锥。
（4）球体基本不会考查，有印象即可。
2.三角形相关：直角三角形勾股定理、三角函数（特殊三角形）、相似、全
等。
【例 1】（2020 河北事业单位）街心公园里有一个正方形的花坛（如下图所
示）。花坛四周有1 米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是16平方米，那么中间
16花坛的面积是多少平方米？
A.16 B.9
C.4 D.1
【解析】1.水泥路是方形的环，没有面积公式，对于不规则的图形，考虑割、
补、平移，即把“回”字图案分成 4个等大的小正方形和4个等大的长方形，“ 花
坛四周有1米宽的水泥路”→每个正方形面积为 1*1=1，总面积为16，则长方形
总面积为 16-4=12，故每个长方形的面积为 12/4=3，已知宽为 1，则长为 3，即
花坛的边长为3，所求=3*3=9，对应B项。【选 B】
【注意】
1.可以考虑代入法，也可以设未知数，如设花坛边长为x，则水泥路边长为
x+2，（x+2）²-x²=16，据此解题即可。
2.几何问题可以量，95%以上的图形都是标准图形，水泥路宽为 1 米，花坛
边长大概为3米，所求=3*3=9，对应B项。
【例 2】（2023 国考）一个圆柱体零件 A 和一个圆锥体零件 B 分别用甲、乙
两种合金铸造而成。A 的底面半径和高相同，B 的底面半径是高的 2 倍，两个零
17件的高相同，质量也相同。问甲合金的密度是乙合金的多少倍？
A.4/3 B.3/4
C.2/3 D.3/2
【解析】2.涉及物理知识，质量=体积*密度（m=ρ*V），质量相同，密度越
大体积越小，如一公斤铁和一公斤棉花相比，棉花的体积更大。国考是风向标，
国考考查了密度，联考可能也会涉及。“两个零件的高相同，质量也相同”→密
度越大体积越小，密度越小体积越大，即ρ与 V 是反比关系，ρ /ρ =V /V ，
甲 乙 乙 甲
几何问题计算体积更方便，所以可以通过体积算出密度。设圆柱的高和圆锥的高
均为 1，则圆柱的底面半径为 1，V=π*1²*1=π；圆锥的高为 1，则底面半径为
A
2，V=1/3*π*2²*1=4/3*π，所求=4/3*π÷π=4/3，对应A项。【选 A】
B
【注意】质量=体积*密度，当质量相同时，体积和密度成反比。
二、三角形相关
1.勾股定理相关
2.最短路径
3.面积相关
18【注意】三角形相关：
1.勾股定理相关。
2.最短路径。
3.面积相关。
勾股定理相关
常考点：a2+b2=c2、特殊角直角三角形三边关系
①常考勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）
勾股数：满足勾股定理的一组整数
②特殊角直角三角形三边关系
【注意】勾股定理相关：
1.直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即 a2+b2=c2。
2.常考勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13），会通过扩大相应倍
数考查，考试可能会出现直角三角形，短直角边为 90，长直角边为 120，如果做
题死板会考虑√（90²+120²），比较麻烦，想到（3、4、5），90=30*3，120=30*4，
则斜边=50*3=150。
3.可能会考查三角函数，但是概率较低，常考特殊角直角三角形三边关系。
（1）30°角所对应的直角边为斜边一般，假设30°角所对应的短直角边为
1，则斜边为2，长直角边为√3，三边关系为 1：2：√3。已知直角三角形有30°
角，短直角边为5，则斜边为 10，长直角边为 5√3。
（2）45°直角三角形，直角边相等，如果均为 1，则斜边为√2，三边关系
为1：1：√2。
（3）120°等腰三角形：原理与直角三角形一致，等腰三角形三线合一，即
底边高、顶角平分线、底边中线，作高后左右两边是 2个30°角直角三角形，如
19果高（ 短直角边）为1，则斜边为2，长直角边为√3，则底边为2√3，三边关系
为2：2：2√3→1：1：√3。
【拓展】（2022 联考）兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方
500米处。兔子和乌龟同时出发，均保持匀速奔跑，且兔子的速度是乌龟的 5倍。
兔子先向正东方跑了一会后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，速度不变，结
果兔子和乌龟同时到达终点。那么兔子发现跑错方向时已经跑了多少米？
A.600 B.1200
C.2400 D.3000
【解析】拓展.涉及方位，与直角坐标系有关，画图分析，构成直角三角形，
可以考虑勾股定理，其中一条直角边是 500，可能考查的是（5、12、13），则斜
边为1300，另一条直角边为 1200，此时可以大胆猜测 B项。【选B】
20【注意】
1.验证：兔子一共跑 1200+1300=2500，乌龟跑 500，为5倍关系，同时出发
同时到达，时间一定，速度是5倍，则路程也是 5倍，没问题，B项当选。
2.当题目出现直角三角形时，优先猜勾股数。
【例 3】（2024 山东）某巡逻艇在海域A 点发现正南方30千米处的B点有一
艘可疑船只正匀速向正西方行驶，巡逻艇以比该可疑船只快1/3的速度沿某一方
向直线追击，两船恰好在 C点相遇。问B、C两点之间的距离约多少千米？
A.26 B.28
C.30 D.34
【解析】3.画图分析，△ABC 是直角三角形，已知 AB=30，想到勾股数（3、
4、5），则长直角边为 40，斜边为50，A比B 快1/3→A/B=1+1/3=4/3，时间相同，
速度之比就是路程之比，所以路程之比为 4/3，而此时 A/B=5/4，不满足题干，
说明考的不是常规的勾股数。假设巡逻艇速度是 4V，可疑船只速度为 3V，速度
之比为 4/3，时间相同，速度之比就是路程之比，所以 AC/BC=4/3，设 AC=4x、
BC=3x，则（4x）²=（ 3x）²+30²，二次方程比较难解，可以换一种逻辑。假设 AC=4x，
21BC=3x，则 AB=√（4x）²−（3x）²=√7x，√4＜√7＜√9→2＜√7＜3，√7x 对应
30，则 3x一定比30 大，对应D项。【选D】（4x）²-（3x）²
【注意】x 是正整数的时候，3x 才是 3 的倍数，本题问“距离约是多少”，
算出来可能是 33.87924，约等于 34，数字不是正整数，所以不能通过 3 的倍数
解题。
【例 4】（2022 北京）一个圆形水库的半径为 1 千米。一艘船从水库边的 A
点出发，直线行驶 1千米后到达水库边的B 点，又从B点出发直线行驶2千米后
到达水库边的C点。则C点与A点的直线距离最短可能为多少千米？
A.不到 1千米 B.1～1.3千米之间
C.1.3～1.6千米之间 D.超过1.6千米
【解析】4.画图分析，AB 为 1 千米，圆的半径是 1 千米，要想走 2 千米一
定是直径，直径所对应的圆周角是直角，所以△ABC 是直角三角形，已知 AB 为
1，BC为 2，则AC 为√3≈1.73，对应D项。【选D】
【注意】1.6²=2.56，3＞2.56，所以√3＞1.6，对应D项。
222.最短路径
考察方式：求 AB两点到直线距离之和最短
解题原理：两点之间，直线最短
解题技巧：镜面对称后连线
【注意】最短路径：如河流同一侧有 2 个村庄A、B，要在河流上建立自来水
厂 O，使得自来水厂到两个村庄的距离最短，即 OA+OB 最短，找点 A 的投影点
A’，OA=OA’，OA+OB=OA’+OB，连接A’B，与河流的交点O就是最短路径的位
置，因为两点之间线段最短。
【例 5】（2019 浙江）A、B点和墙的位置如下图所示。现从A点出发以5米
/秒的速度跑向墙，接触到墙后再跑到B点。问最少要多少秒到达B 点？
A.30 B.34
C.38 D.42
【解析】5.速度一定，要想时间最短，意味着路程要最少，要在墙上找一点
O，使得OA+OB最小，找到 A的投影点A’，OA=OA’，OA+OB=OA’+OB，连接A’B
23就是最短路径。出现直角，构造直角三角形，过 B作垂线交A’A延长线于点C，
BC=90，A’C=45+45+30=120，想到勾股数（3、4、5），90=3*30，120=4*30，所以
A’B=5*30=150，所求=150/5=30，对应A项。【选 A】
【注意】对称之后出现直角三角形，想勾股数。
【例 6】（2024 国考）甲、乙两个联络站相距 10千米。一条道路与甲、乙联
络站连线相平行，且与两联络站连线的垂直距离为 12 千米。现需紧邻该道路建
一个工作站，问工作站距离甲、乙联络站距离之和最小为多少千米？
A.20 B.22
C.24 D.26
【解析】6.画图分析，甲、乙两个联络站相距 10 千米，一条道路与甲、乙
联络站的垂直距离为 12 千米，要求联络站距离甲、乙距离最小，作甲联络站关
于道路的镜像甲’，连接甲’乙，就是最短路径。甲甲’=12+12=24，甲乙=10，
斜边一定比直角边大，所以斜边比 24大，对应 D项。【选D】
24【注意】想到勾股数（5、12、13），10=5*2，24=12*2，则斜边=13*2=26，对
应D项。
3.面积相关
①底（高）相同的三角形，面积比等于高（底）之比
△ABC 面积/△ABD面积=1/2*AB*h÷（1/2*AB*h）=h/h。
1 2 1 2
【注意】
1.底（高）相同的三角形，面积比等于高（底）之比。如图，
S /S =1/2*AB*h ÷（1/2*AB*h）=h/h 。
△ABC △ABD 1 2 1 2
2.如图，假设 BD/DC=1/2，则 S /S =1/2，因为二者的高（h）相同，列
△ABD △ADC
式：S /S =1/2*BD*h÷（1/2*DC*h）=h /h=BD/DC=1/2。
△ABD △ADC 1 2
25【例 7】（2023 联考）为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三
角形ABC 区域内建设新能源产业园区（如下图所示），三角形DEF是中央工厂区，
已知 BD：DE：EC=1：2：3，F 为 AE 的中点，则新能源产业园区总面积是中央工
厂区面积的：
A.7 倍 B.6 倍
C.5 倍 D.4 倍
【解析】7.已知“F 为 AE 的中点”，在△ADE 中，△DEF 和△ADF 的底和高
相同，所以面积相等，假设 S 为 1 份，则 S 也是 1 份，所以 S 为 2 份。
△DEF △ADF △ADE
△ABC由△ABD、△ADE、△AEC构成，已知“BD：DE：EC=1：2：3”，高相同，面
积比等于底之比，所以 S ：S ：S =1：2：3，则总体为 1+2+3=6 份，所求
△ABD △ADE △AEC
=6份/1 份=6倍，对应 B项。【选B】
263.面积相关：相似三角形
判定：两个三角形的两个角分别对应相等，则两个三角形相似
常考结论：对应边长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方
【注意】相似三角形：
1.判定：两个三角形的两个角分别对应相等，则第三个角一定相等，因为三
角形内角和为180°，两个角对应相等，意味着三个角对应相等，则两个三角形
相似。
2.常考结论：
（1）对应边长之比等于相似比：如图，已知斜边为1：2的关系，如果左侧
长直角边为 2，则右侧长直角边为 4；如果左侧短直角边为 0.5，则右侧短直角
边为1。
（2）面积比等于相似比的平方：如边长比为 1：2，则面积比为 1：4。相似
27比为1：k，则面积比为 1：k²。
【例 8】（2023 联考）边长为 10 厘米的正方形 ABCD 如下图所示，E 为正方
形中的某一点，已知 AE长8厘米，BE长6 厘米，问三角形ADE的面积为多少平
方厘米？
A.24 B.32
C.44 D.48
【解析】8.方法一：常规做法。已知 AB=10，AE=8，BE=6，则△AEB 为直角
三角形。求△AED的面积可以先作高，如过D点作垂线交AE于点F，∠DFA=∠AEB，
∠DAE+∠EAB=∠EAB+∠EBA=90°，则∠DAE=∠EBA，所以∠ADF=∠EAB，3个角对
应相等，则△ADF 和△AEB 为相似三角形，已知 DA=AB=10，则△ADF 和△AEB 为
全等三角形，已知 AE=8，则DF=8，所求=1/2*8*8=32，对应B项。
方法二：过点 E 作高交 AD 于点 F，EF∥AB，所以∠FEA=∠EAB，且∠AFE 和
∠AEB均直角，因此△AEF和△ABE是相似三角形，可以通过相似比算出 EF的长
度，如果想不到相似三角形，还有其他思路，△AEF中，斜边AE=8，则直角边 EF
＜8，所求=1/2*10*8-=40-，排除C、D项，且一定比 25大，排除A项，B项当选。
28方法三：考场思维。连接对角线，正方形面积为 10*10=100，对角线平分为
4个三角形，每一个三角形面积为 25，所求比 25大一点，但是大不到 44，对应
B项。【选 B】
【注意】几何考场思维：面积比例可结合选项直接肉眼看。
【出门考】（2021 联考）一个长方体实心零件，长、宽、高分别为 12 厘米、
8厘米和4厘米。如将其最大面朝下放在另一个长方体水槽中，零件将被完全淹
没，且水面上升3厘米。问零件最大面的面积比水槽底面积小多少平方厘米（ ）。
A.32 B.64
C.96 D.128
【解析】1.类似乌鸦喝水的故事，乌鸦本来喝不到瓶子里的水，投小石子后
才喝得到，投入小石子的体积等于液面上升的体积，V =V →12*8*4=底面*3，
长 液
解得底面=128，零件最大面为 12*8=96，所求=128-96=32，对应A项。【选 A】
【注意】Tips：将一个物体放入水中淹没是最常见对体积的考查，该物体的
体积等于水面上升部分的体积。
【出门考】（2020联考）某演播大厅的地面形状是边长为100米的正三角形，
29现要用边长为2米的正三角形砖铺满（如图所示）。问需要用多少块砖？
A.2763 B.2500
C.2340 D.2300
【解析】2.正三角形的角均是 60°，所以小正三角形和大正三角形为相似
三角形，因为如果三角形不相似，最后需要裁边、切割。相似比为 2：100=1：50，
面积比为1：50²=1：2500，所以需要2500 块，对应B项。【选B】
【注意】相似图形：面积之比等于对应边长平方之比。
【答案汇总】
行程问题 1-5：ADDCA；6：A
几何问题 1-5：BADDA；6-8：DBB
30遇见不一样的自己
Be your better self
31
