文档内容
方法精讲-数量 4
（笔记）
主讲教师：杜岩
授课时间：2024.05.23
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 4（笔记）
1.行程问题的基本公式：______=______*______。
2.匀变速过程，平均速度=__________________。
3.相遇问题的方向表述______________，基本公式：________________；
追及问题的方向表述______________，基本公式：________________。
4.环形相遇和环形追及使用结论的前提：____________________________
环形相遇的结论：____________________________
环形追及的结论：____________________________
例：若甲乙同时同点出发，甲第一次追上乙所用的时间是甲乙第一次迎面
相遇所用时间的3倍，甲的速度是乙速度多少倍？__________
5.几个常考但不熟悉的公式：梯形面积公式：______________________；圆
柱体积公式：________________；圆锥体积公式___________________。
6.勾股定理：_____________________；常见的三组特殊勾股数：__________，
__________，__________。特殊三角形的比例关系：30°、60°、90°三边比例
=____________；45°、45°、90°三边比例=____________。
7.已知两个村庄都在公路上方，求两个村庄到公路同一点的距离之和最短，
如何处理：______________________________。
8.底（高）相同的三角形，面积比等于____________；相似三角形，对应边
之比等于________，面积之比等于______________。
【注意】
1.行程问题的基本公式：路程=速度*时间，即S=V*t。
2.匀变速过程（速度均匀变化，可能是增加，也可能是减少），平均速度=
（V+V）/2。
0 t
3.相遇问题的方向表述：相向而行，基本公式：S =（V+V）*t；
和 1 2
追及问题的方向表述：同向而行，基本公式：S =（V-V）*t。
差 1 2
4.环形相遇和环形追及使用结论的前提：同点同时出发。
环形相遇的结论：相遇n次，共走n圈，S =n圈。
和
环形追及的结论：追上n次，多走了n圈，S =n圈。
差
1例：若甲乙同时同点出发，甲第一次追上乙所用的时间是甲乙第一次迎面相
遇所用时间的3倍，甲的速度是乙速度多少倍？出现环形相遇和环形追及，第一
次追上，对应追及问题，S =1圈，假设1圈长度是S，则S =S，S=（V -V ）
差 差 甲 乙
*t；第二次是迎面相遇，对应相遇过程，S =S=（V +V ）*t_，可以把两个时
和 甲 乙
间列出来，第一个时间 t=S/（V -V ），t=S/（V +V ），则 S/（V -V ）=S/
甲 乙 甲 乙 甲 乙
（V +V ）*3，3V -3V =V +V ，可以求出V /V =4/2=2/1
甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙 。
5.几个常考但不熟悉的公式：梯形面积公式：（上底+下底）*h/2_；圆柱体
积公式：πr²*h；圆锥体积公式：1/3πr²*h。
6.勾股定理：a²+b²=c²；常见的三组特殊勾股数：3、4、5，6、8、10，5、
12、13。特殊三角形的比例关系：30°、60°、90°三边比例=1： ：2；45°、
3
45°、90°三边比例=1：1： 。
7.已知两个村庄都在公路上2 方，求两个村庄到公路同一点的距离之和最短，
如何处理：最短路径，先做投影，再连接。
8.底（高）相同的三角形，面积比等于高（底）之比；相似三角形，对应边
之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
数量关系方法精讲4
学习任务：
1.课程内容：排列组合与概率问题、容斥原理问题
2.授课时长：3小时
3.对应讲义：第165～169页
4.重点内容：
（1）掌握常用的排列组合公式，理解分类讨论与分步计算的区别，正难反
易则从反面求解
（2）掌握枚举法、捆绑法、插空法和插板法的适用范围和操作步骤
（3）掌握概率问题的两种考法——给情况求概率、给概率求概率
（4）掌握两集合容斥原理公式、三集合容斥原理的标准型和非标准型公式
（5）掌握画图法在容斥原理问题中的运用
2第八节排列组合与概率问题
一、排列组合
（1）基础概念及易错点
（2）经典题型及方法
二、概率问题
【注意】
1.排列组合：
（1）基础概念及易错点。
（2）经典题型及方法。
2.概率问题：
一、排列组合问题
（一）基础概念
基础概念：分类与分步
分类相加：要么……要么……（多者选其一）
分步相乘：既……又……（都要满足）
基础概念：排列与组合
排列（A）：与顺序有关（选完人后需要排序）
组合（C）：与顺序无关（只需要选人，不需要排序）
补例1：从8个人中选出3个人排成一队照相，共有（ ）种站队方式？
补例2：从8个人中选出3个人打扫卫生，共有（ ）种选取方式？
补例3：从8个人中选出3个人，分别打扫教室、走廊、卫生间，共有（ ）
种安排方式？
【判定标准】从已选主体当中任意的挑出两个，尝试调换顺序
结果不同，与顺序有关（排列A）
结果一样，与顺序无关（组合C）
计算：
A（n,m）=n*（n-1）*（n-2）*……*（n-m+1）
A（n,n）=n*（n-1）*（n-2）*……*1
3例如：A（7,3）=7*6*5；A（3,3）=（3*2*1）。
C（n,m）=A（n,m）/A（m,m）
例如：C（8,2）=A（8,2）/A（2,2）=（8*7）/（2*1）
A（n,1）=C（n,1）=n（从n个随便挑一个就是n种情况）
C（n,m）=C（n,n-m）（例如：从10个挑8个等价于10个挑2个）。
【注意】基础概念：
1.分类与分步。
（1）分类相加：要么……要么……（多者选其一）。比如领导安排活，你会
说你有三个方案操作这个事情，讨论方案一、二、三，任选一个都可以解决这个
份工作，即从若干方法中选其中一个就可以解决。再比如从北京到上海，可以坐
飞机，也可以坐高铁，符合要求的飞机有3趟，符合要求的地铁有4趟，要么选
择坐飞机，要么选择坐高铁，共有两大类，飞机有3趟可能是国航、南航、川航
等，所以从北京到上海可以选择的交通方式有 3+4=7 种。一件事情可以用要
么……要么……造句，用加法。
（2）分步相乘：既……又……（都要满足）。一件事很复杂，不能一步做完，
需要把一件事拆为若干小事儿，分步完成。比如从北京出发到上海，之后再去广
州，北京到上海的高铁有3趟，上海到广州的高铁有4趟，从北京到上海可以选
3趟高铁中的一种，从上海到广州可以从4趟高铁中选一种，则从北京出发最终
到广州，有3*4=12种；比如从北京到上海有A、B、C三种，从上海到广州有1、
2、3、4种，可以是A1、A2、A3、A4，B1、B2、B3、B4，C1、C2、C3、C4，总共
有12种，因为拆分为两个步骤，先从北京到上海，再从上海到广州，全部都需
要完成，即全都要，缺一不可，用乘法，所以分步的关联词是既……又……，既
要从北京到上海，又要从上海到广州，全部都需要发生。
（3）分类不能用既……又……造句，第一个例子中不能既要坐高铁，又要
坐飞机，而是要么坐飞机，要么坐高铁。分步时目的是从北京到上海，上海到广
州，不能造句要么从北京到上海，要么从上海到广州，因为人在北京，不能选择
直接上海到广州，而是既要北京到上海，又要上海到广州。
2.排列与组合：不管是排列还是组合，不管是A还是C，目的都是从总数中
挑出目标，比如 A（5,2）是从 5 个人中选 2 个、C（10,3）是从 10 个人中选 3
4个，总数（大数）在下，小数是目标，在上面；排列和组合区别在于顺序。
（1）排列（A）：与顺序有关（选完人后需要排序）。顺序不同，结果就不同，
（2）组合（C）：与顺序无关（只需要选人，不需要排序）。不需要排顺序，
顺序再怎么更改，结果不变。
（3）补例 1：从 8 个人中选出 3 个人排成一队照相，共有（ ）种站队方
式？
答：8 个人中选 3 个，总数在下，目标在上，可能是 A（8,3），也可能是 C
（8,3），和顺序有关用A，和顺序无关用 C，本题是照相，所站位置不同，会影
响最终效果，再比如A、B、C三个人照相，如果排在结果就是A、B、C，B是“C
位”，如果变为 B、A、C，变为另一个照片，是完全不同的，所以照相和顺序有
关，最终结果是A（8,3）。
（4）补例2：从8个人中选出3个人打扫卫生，共有（ ）种选取方式？
答：8个人中选3个，8是总数，3是目标，可能是A（8,3），也可能是C（8,3），
看顺序问题，比如第一天老师说甲、乙、丙三个打扫卫生，第二天老师说乙、甲、
丙打扫卫生，第三天老师说丙、乙、甲打扫卫生，顺序虽然不同，但是最终还是
这三人打扫卫生，则和顺序无关，再怎么改变顺序，最终结果都是甲、乙、丙三
个人打扫，是C（8,3）。
（5）补例 3：从 8 个人中选出 3 个人，分别打扫教室、走廊、卫生间，共
有（ ）种安排方式？
答：8个人中选3个，比如老师今天喊了甲、乙、丙三人留下打扫卫生，甲
打扫教室，乙打扫走廊，丙打扫卫生间，如果调换顺序，改为乙、甲、丙，即乙
打扫教室，甲打扫走廊，丙打扫卫生间，两种情况结果不同，每个人分工不同，
此时有顺序，是A（8,3）。
（6）比如拍毕业照，是A、老师、B，第一种方式是A、老师、B，第二种是
老师、A、B，此时照片效果是不一样的；即照相、站队，都存在“C 位”，再比
如圆桌会议、长条会议，都和排队一样，位置不一样，顺位就不一样；再比如山
东宴席，一桌有主陪、副陪、主宾等。也可以直接记住和照相有关的，都需要考
虑顺序。
（7）比如总共有A、B、C、D、E、F、G、H，从8人中选3人，C（8,3）代
5表选出了 3 人，比如选出了 A、B、C，可以是 A 打扫教室，B 打扫走廊，C 打扫
卫生间，如果顺序是 B、C、A，此时变为 B 打扫教室，C 打扫走廊，A打扫卫生
间，这两种情况是不一样的，只要每个人都要更细致的分工，此时需要考虑顺序，
如果都是干一件事，比如打扫卫生，没有细致分工，就不需要考虑顺序。
（8）比如拍两个人的结婚登记照，可以是A、B，也可以是B、A，两张照片
结果是不一样的，所以调换顺序对结果有影响，用A。
3.判定标准：从已选主体当中任意的挑出两个，尝试调换顺序。
（1）结果不同，与顺序有关（排列A）。
（2）结果一样，与顺序无关（组合C）。
4.计算：右下角决定从谁开始乘，右上角决定乘以几个数字。
（1）A（n,m）=n*（n-1）*（n-2）*……*（n-m+1）。
（2）A（n,n）=n*（n-1）*（n-2）*……*1。
（3）例如：A（7,3），从右下角7开始乘，乘连续的3个数字，依次递减，
是7*6*5；A（3,3），从右下角3开始乘，乘连续的3个数字，依次递减，是（3*2*1）；
A（8,3），从右下角8开始乘，乘连续的3个数字，依次递减，是8*7*6。
（4）C（n,m）=A（n,m）/A（m,m）。分数形式，比如C（8,3）=A（8,3）/A
（3,3）=（8*7*6）/（3*2*1）=56。
（5）例如：C（8,2）=A（8,2）/A（2,2）=（8*7）/（2*1）。A（11,4）=11*10*9*8；
C（10,3）=A（10,3）/A（3,3）=（10*9*8）/（3*2*1）=120；C（8,1）=8。
（6）A（n,1）=C（n,1）=n（从 n个随便挑一个就是 n 种情况）。A（n,1）
和C（n,1）都是从n种情况中选1种，都是一样的，比如10道菜选1道，有10
种选法。
（7）C（n,m）=C（n,n-m）（例如：从10个挑8个等价于10个挑2个）。比
如C（10,8）=C（10,2），比如10个桃子中有2个是坏的，需要选出好的桃子，
可以是C（10,8），也可以选出2个坏的，剩余的就是好的，即C（10,2）。C（10,8）
=（10*9*8*7*6*5*4*3）/（8*7*6*5*4*3*2*1）=（10*9）/（2*1）=C（10,2）。C
（11,7）=C（11,4）。
【拓展】（2019河南司法）某市从儿童公园到科技馆有6种不同路线，从科
6技馆到少年宫有5种不同路线；从儿童公园直接到少年宫有4种不同路线。则从
儿童公园到少年宫的路线共有：
A.24种 B.36种
C.34种 D.38种
【解析】拓展.画出图形，从儿童公园出发，到科技馆有 6 种路线，从科技
馆到少年宫有5种路线，从儿童公园直接去少年宫有4种路线；要么直接从儿童
公园到少年宫，4种路线选1种，即有4种路线；也可以先从儿童公园到科技馆，
再从科技馆到少年宫，出现了中转，两个步骤缺一不可，必须都达到，即5种路
线发生了，6 种路线也发生了，总共有 5*6=30种；要么直达到少年宫，要么中
转到少年宫，用加法，是4+30=34，对应C项。【选C】
【例1】（2023广东）某公司向餐馆订购盒饭，要求每份盒饭包含2种荤菜、
2种素菜。如果餐馆共准备了6种荤菜和4种素菜，则最多有多少种盒饭？
A.42 B.60
C.72 D.90
【解析】1.比如去食堂打饭，有6荤4素，目的是2荤2素，可以从6中荤
菜中选出2种，比如第一个人打了回锅肉和红烧排骨，另一个人是红烧排骨和回
锅肉，结果都是一样的，调换顺序最终的饭是一样的，和顺序无关，用C（6,2）；
素菜从4个中选2个，荤菜不考虑顺序，素菜也就不考虑顺序，是C（4,2），既
要荤菜，又要素菜，缺一不可，用乘法，列式：C（6,2）*C（4,2）=A（6,2）/C
（4,2）*A（4,2）/A（2,2）=（6*5）/（2*1）*（4*3）/（2*1）=15*6=90，对
7应D项。【选D】
【注意】
1.从总体中按要求选一部分出来就是排列组合问题。
2.只选不排序，用组合C。
3.选完要排序，用排列A。
4.各步骤之间是加法还是乘法看逻辑关系：要么要么相加，即要又要相乘。
【例2】（2024山东）某医院积极响应国家号召，组建医疗小分队赴西部地
区开展对口支援工作。该医院现有6名男医生和3名女医生报名，现从9人中抽
取一组男、女医生都有的3人小分队。问有多少种不同的组队方式？
A.63 B.70
C.73 D.60
【解析】2.方法一：6名男医生相当于上一题的6种荤菜，13名女医生相当
于13种素菜，现在要求选 3 人，男生和女生都需要有，可以是 2男1 女，也可
以1男2女，共有两种情况，分类讨论：
2男1 女：6名男生中选2 人，比如 6名男生中选出了甲、乙，则由甲、乙
形成医疗小分队，如果选出来的是乙、甲，顺序不同，但是最终还是这两个人进
行对口支援工作，不管怎么改变顺序，结果不变，就是 C（6,2）；3名女医生中
选1名，有3种情况，可以写为C（3,1），也可以写为A（3,1），也可以直接写
3，都是一样的；既要选出 2名男医生，又要选出 1名女医生，缺一不可，用乘
法，C（6,2）*3=（6*5）/（2*1）*3=15*3=45。
1男2女：6名男生中选1名，可以写C（6,1），也可以写A（6,1），也可以
直接写6，是一样的；3名女生中选2名，是C（3,2）=C（3,1）=3，列式：6*3=18。
有两种方案，要么派出2男1女，要么派出1男2女，是加法，列式：45+18=63，
对应A项。
方法二：反面考虑：总情况数-反面情况，总数就是不加任何条件限制的选
择，即9人中选出3人，不需要看要求，总情况数是C（9,3）；反面是和“男、
女都有”反着的，可以选全男，也可以选全女，即 C（9,3）-全部都是男生-全
8部都是女生，全部都是男生就是6名男生中选3个，是C（6,3），全部都是女生
就是3 名女生中选 3 人，是 C（3,3）=1，因为 C（n,n）=1，列式：C（9,3）-C
（6,3）-C（3,3）=（9*8*7）/（3*2*1）-（6*5*4）/（3*2*1）-1=84-20-1=63，
对应A项。【选A】
【注意】
1.总情况数就是不看要求随意选。
2.正面是男女都有，反面就是只有男/只有女。
3.Tips：数量确定时直接选，数量不确定时先分类确定数量再选。
4.很多同学认为先选 1名男生，是 C（6,1），再选 1名女生是 C（3,1），之
后再从剩余的人中随便选1人即可，这是错误的。比如6名男医生分别是A、B、
C、D、E、F，3名女医生分别是甲、乙、丙，如果先选了1名男生，是A，再选
1名女生是甲，还剩余 7人，从 7 人中1人，是 C（7,1），假设此时选出了丙，
则A、甲、丙组成团队；如果先选了 1名男生，是 A，再选1名女生是丙，还剩
余7人，从 7 人中1人，是 C（7,1），假设此时选出了甲，最终还是选择了 A、
甲、丙组成团队，这是列式中的两种结果，但是本质是没有区别的，都是A、甲、
丙，是同一种情况，出现了重复；如果数量是确定的，比如例1，要求2荤2素，
可以直接选，如果像例2，要求的数字不明确，数量不确定，一定要先分类，先
确定数量，不能一步到位。
【例3】（2021新疆兵团）某部门有 9名员工，从中随机抽取 2人参加公司
代表大会，要求女员工人数不得少于1人。已知该部门女员工比男员工多1人，
则共有多少种方案符合要求？
A.24 B.30
C.36 D.72
【解析】3.“某部门有9名员工，从中随机抽取2人参加公司代表大会”，9
个人中选 2个，要求“要求女员工人数不得少于 1人”，数量是不确定的，可能
是2女 0男，也可能 1 女1 男，需要先分类确定数量，再选择。“已知该部门女
员工比男员工多1人”，说明女员工是5人，男员工是4人。
92女0 男：5名女生中选2 名，比如选出甲、乙这两人参加代表大会，如果
调换顺序选出乙、甲参加代表大会，实际结果没有任何改变，和顺序无关，则是
C（5,2）=（5*4）/（2*1）=10种。
1女1男：5名女生中选1人，是C（5,1），4名男生中选1人，是C（4,1），
先选女生，再选男生，用乘法，是C（5,1）*C（4,1）=20。要么派出2女0男，
要么派出1男1女，用加法，是10+20=30种，对应B项。【选B】
【注意】考试会考查2道及以上排列组合与概率问题。
（二）经典题型
经典题型及方法
1.凑数字：枚举法。
（1）特征：凑钱数或情况数很少（选项10以内）
（2）引例：妈妈给了小明 8块钱让其去买早餐并且把钱用完。早餐摊只有
两种食品，包子3块钱一个，馒头2块钱一个。问小明有（ ）种不同的买法？
（3）从大到小，不重不漏。
2.相邻问题：捆绑法。
3.不相邻问题：插空法。
【注意】经典题型及方法：
1.凑数字：枚举法。
（1）特征：凑钱数或情况数很少（选项10以内）。
（2）引例：妈妈给了小明 8块钱让其去买早餐并且把钱用完。早餐摊只有
两种食品，包子3块钱一个，馒头2块钱一个。问小明有（ ）种不同的买法？
答：可以是3、3、2；2、2、2、2；不能是1个包子，剩余吃馒头，因为买
了1个包子之后剩余5元，要么不够买，要么有剩余，则一共有2种买法。
（3）从大到小，不重不漏。
2.相邻问题：捆绑法。
3.不相邻问题：插空法。
10【例4】（2022联考）某健身房近期推出甲、乙、丙、丁 4项课程，每项课
程的一次消费分别为 200 元、300 元、400 元、500 元，会员可根据充值卡内余
额自行进行消费。会员小李充值卡内还剩 2200元，打算在有效期内每项课程都
至少消费1次，且将充值卡内余额恰好用完，问他消费这4项课程的组合有多少
种不同的可能性？
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】4.甲、乙、丙、丁分别对应四种不同的价格的课程，“打算在有效
期内每项课程都至少消费1次”，说明2200元必须把甲、乙、丙、丁四种都体验
一次，剩余余额自行消费。2200-200-300-400-500=800，即所有课程体验1次之
后，还剩余 800元可以支配，从四种不同的金额凑 800，由大到小安排，500 最
多上 1 节，先安排 1 节 500，再安排 1 节 300；再找第二大的 400，可以上 2 节
400；上1节400，剩余400，搭配2节200元的课程；继续找第三大的300元，
可以上2节300元的，剩余200元，再搭配1节200元；300元如果上1节，剩
余500元，200元无法凑整500元，所以是不行的；再看200元，可以上4节，
即总共有5种可能，对应C项。【选C】
【注意】如果选项数字比较大，不建议用枚举法。
11相邻问题：捆绑法
1.特征：必须相邻（在一起）
2.引例：A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中 A、B 是一对情侣，要
求照相时必须相邻，一共有多少种排法？
3.思路：
（1）先捆：把要相邻的主体捆绑起来，考虑内部顺序；
（2）再排：将捆绑后的看成一个主体，和剩下的主体一起排列。
4.引例 2：A、B、C、D、E，F六个人站成一排照相，其中 AB、CD、EF均为
情侣，要求每对情侣照相时都必须相邻，一共有多少种排法？
【注意】相邻问题：捆绑法。
1.特征：必须相邻（在一起）。
2.引例：A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中 A、B 是一对情侣，要
求照相时必须相邻，一共有多少种排法？
答：只要是排列组合中的站队、照相等，都需要考虑顺序，比如A、B、C、
D、E五人照相，一共有A（5,5）种情况，比如A、B、C、D、E；B、A、C、D、E；
B、C、A、D、E等，出现一个条件，是“A、B是一对情侣，要求照相时必须相邻”，
可以把 AB捆绑起来，变成了一个独立的元素，之后还剩余 C、D、E三个独立的
个体，变为四个元素进行排列，一共有 A（4,4）种情况，AB作为一个整体，内
部关系也需要讨论，比如A在左边，B在右边，就是C、A、B、D、E，A在右边，
B在左边就是 C、B、A、D、E，有 A（2,2）种情况，先捆再排，用乘法，共有 A
（4,4）*A（2,2）种情况。
3.思路：
（1）先捆：把要相邻的主体捆绑起来，考虑内部顺序。
（2）再排：将捆绑后的看成一个主体，和剩下的主体一起排列。
4.引例 2：A、B、C、D、E，F六个人站成一排照相，其中 AB、CD、EF均为
情侣，要求每对情侣照相时都必须相邻，一共有多少种排法？
答：出现 3 对情况，“要求每对情侣照相时都必须相邻”，分别把 AB、CD、
EF捆绑起来，形成 3 个独立元素，有 A（3,3）种情况，每对情况都有 2种内部
顺序，比如AB、CD、EF是一种，分别还可以是BA、DC、FE，即都有2种情况，
12列式：A（3,3）*2*2*2=6*2*2*2=48种情况。
【例5】（2020河北事业单位）现有七年级的学生1名，八年级的学生4名，
九年级的学生5名，需让他们排一排拍一张合照，要求同一年级的学生要挨在一
起站，且七年级的学生不站两边，则有多少种不同的排法？
A.3760 B.4760
C.5760 D.6760
【解析】5.七年级要挨着，八年级要挨着，九年级要挨着，分别把七、八、
九三个年级捆绑，考虑内部顺序，七年级只有1人，不需要捆绑，只有1种情况；
八年级有4人，内部有A（4,4）种情况；九年级有5人，内部顺序是A（5,5），
有几个人，随意排，就是全排列。三个独立元素，外部顺序是A（3,3）；但是题
干要求“七年级的学生不站两边”，不能在左边和右边，只能在中间，只需要考
虑八年级和九年级的顺序，要么八年级在左边，九年级在右边，要么九年级在左
边，八年级在左边，所以外部顺序不是 A（3,3），是A（2,2）种情况，列式：A
（4,4）*A（5,5）*A（2,2）=24*120*2=48*120＜50*120=6000，对应C项。【选
C】
【注意】要相邻，捆绑法。
1.先捆：把必须相邻的主体捆绑起来，考虑内部排序。
2.再排：将捆绑后的看成一个主体，和剩下的主体一起排列。
【拓展】（2021安徽）某高中学校的一次演讲比赛，每个年级分别派了三名、
两名、四名学生参加，若每个年级参赛选手比赛顺序必须相连，那么共有多少种
不同的参赛顺序？
A.1728 B.864
C.576 D.432
【解析】拓展.“每个年级分别派了三名、两名、四名学生参加，若每个年
级参赛选手比赛顺序必须相连”，内部顺序，列式：A（3,3）*A（2,2）*A（4,4），
外部顺序，是三个元素直接排，是A（3,3），列式：A（3,3）*A（2,2）*A（4,4）
13*A（3,3），6*2*24*6，看尾数，尾数6*尾数2*尾数4*尾数6=尾数8，对应A项。
【选A】
【注意】要相邻，捆绑法。
1.先捆：把必须相邻的主体捆绑起来，考虑内部排序。
2.再排：将捆绑后的看成一个主体，和剩下的主体一起排列。
3.既要考虑内部顺序，又要考虑外部顺序，用乘法。
4.“若每个年级参赛选手比赛顺序必须相连”，只要是挨着的即可，所以可
以先进行捆绑，其他人无法插入，考虑内部顺序即可。
不相邻问题：插空法
特征：不能相邻（不在一起）
【引例】A、B、C、D、E、F、G七个人站成一排照相，其中A、B、C闹矛盾，
要求照相时都不能相邻，一共有多少种排法？
思路：
①先排：先安排可以相邻的主体，形成若干个空位；②再插：将不相邻的主
体插入到空位中。
【注意】不相邻问题：插空法。
1.特征：不能相邻（不在一起）。
2.引例：A、B、C、D、E、F、G七个人站成一排照相，其中A、B、C闹矛盾，
要求照相时都不能相邻，一共有多少种排法？
答：A不能和B挨着，也不能和C挨着，剩余D、E、F、G四个人，有A（4,4）
种站位，会形成5个空位，之后把A、B、C分别插入空位中，此时三人就不会相
邻；选择空位顺序不同，结果就不同，比如选了前三个空，可以是A、B、C，也
可以是B、A、C，进入的顺序不同，导致照片结果不同，有A（5,3）种情况，既
要排D、E、F、G，又要排A、B、C，用乘法，是A（4,4）*A（5,3）。
3.思路：
（1）先排：先安排可以相邻的主体，形成若干个空位。
（2）再插：将不相邻的主体插入到空位中。
144.空位比人多一个，比如四个人可以形成五个空，三个人可以形成四个空。
【拓展】(2020 联考)某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收藏
分享、论坛交流、考试答题五个部分组成。某学员要先后学完这五个部分，若观
看视频和阅读文章不能连续进行，该学员学习顺序的选择有：
A.24种 B.72种
C.96种 D.120种
【解析】拓展.一共五个部分，“若观看视频和阅读文章不能连续进行”，两
个部分不能连续，还剩余三个部分，先把可以相邻的三个部分进行排列，有A（3,3）
种情况，形成4个空，从4个空中选2个放入看视频和阅读文章，是A（4,2），
比如选出了前两个空放入看视频和阅读文章，可以先看视频再读文章，也可以先
读文章，后看视频，顺序改变影响最终结果，所以用A，列式：A（3,3）*A（4,2）
=72种，对应B项。【选B】
【注意】不能连续，插空法。
1.先排：先安排可以相邻的主体，形成若干个空位。
2.再插：将不相邻的主体插入到空位中。
3.先放三个主体，形成四个空，挑出两个空放入不能相邻的主体。
【例6】（2023 成都事业单位）要将不同的五种商品 A、B、C、D、E在货柜
上排成一排，其中A、B必须排在一起，C、D不能排在一起。则有多少种不同的
排列方式？
A.12 B.20
C.24 D.48
【解析】6.要求A、B必须在一起，考虑捆绑法；C、D不能在一起，考虑插
空法。A、B必须在一起，先捆绑 A、B，内部排序，为A（2,2）=2；A、B和剩余
的E是 2个独立元素，先不考虑 C、D，外部排序，为 A（2,2）=2；两个部分形
成3个空位，将C和D放入3个空位中，为A（3,2）=6；分步相乘：2*2*6=24，
对应C项。【选C】
15同素分堆问题——隔板法
【补例】7个相同的苹果分给三个小朋友，每人至少分一个，有多少种分法？
用法特征：n个相同的东西分给m个人，每人至少一个
方法：C（n-1，m-1）
【注意】同素分堆问题——隔板法：枚举法最简单，隔板法次之。
1.例：7个相同的苹果分给三个小朋友，每人至少分一个，有多少种分法？
答：分的是相同的苹果，默认苹果之间的颜色、口感等没区别，只考虑数量
方案，即同素分堆。可以把7个苹果穿成一起，分给3个小朋友即分成三堆，考
虑（3，2，2）或（1，6，1），只需要在任意2个空进行插板，再如（3，1，3），
更改板子的位置不影响答案，为 C（6,2），“6”→7 个苹果 6个空，“2”→插2
个板子分为3堆，即C（7-1,3-1）=（6,2）=15。
2.用法特征：n个相同的东西分给m个人，每人至少一个。
3.方法：C（n-1,m-1）。
【例7】（2020联考）某城市一条道路上有 4个十字路口，每个十字路口至
少有1名交通协管员，现将8个协管员名额分配到这4个路口，则每个路口协管
员名额的分配方案有：
A.35种 B.70种
C.96种 D.114种
【解析】7.要求8个人分为4个路口，每个路口至少1人，考虑同素分堆，
方法：C（n-1,m-1），所求=C（8-1,4-1）=C（7,3）=35，对应A项。【选A】
二、概率问题
一、给情况（个数）求概率
概率=满足要求的情况数/所求情况数
【引例】全班100人，男生40人。随机挑选2人全部都是男生的概率
【引例】老王随机购买一张彩票，中一等奖概率为10%，中二等奖概率为20%，
中三等奖概率为30%，问这张彩票中奖的概率是多少？
16【引例】买完彩票后老王又去刮刮乐，刮中100万的概率为50%，问老王今
天既彩票中奖又刮刮乐中奖的概率为多少？
二、给概率求概率
（1）分类用加法：P=P+P+……+P
1 2 n
（2）分步用乘法：P=P*P*……*P
1 2 n
【注意】概率问题：
1.给情况（个数）求概率：
（1）概率=满足要求的情况数/所求情况数。
（2）例：全班100人，男生40人，随机挑选2人全部都是男生的概率。
答：所有人中选2人，顺序更改结果不变，为C（100,2）。要求都是男生，
从40个男生中选2人，为C（40,2），则概率=满足要求的情况数/所求情况数=C
（40,2）/C（100,2）。
2.给概率求概率：
（1）分类用加法：
①公式：P=P+P+……+P。
1 2 n
②例：老王随机购买一张彩票，中一等奖概率为10%，中二等奖概率为20%，
中三等奖概率为30%，问这张彩票中奖的概率是多少？
答：只需要中奖，几等奖都可以，造句为要么一等奖，要么二等奖，要么三
等奖，分类相加，概率=10%+20%+30%=60%。
（2）分步用乘法：
①公式：P=P*P*……*P。
1 2 n
②例：买完彩票后老王又去刮刮乐，刮中100万的概率为50%，问老王今天
既彩票中奖又刮刮乐中奖的概率为多少？
答：要求同时满足，既要刮刮乐中奖，又要彩票中奖，分步相乘，概率
=60%*50%=30%。
【例1】（2020联考）物业派出小王、小曾、小郭三名工作人员负责修剪小
区内的 6棵树，每名工作人员至少修剪 1棵（只考虑修剪的棵数），则小王至少
修剪3棵的概率为：
17A.3/10 B.3/7
C.1/4 D.3/5
【解析】1.方法一：已知6 棵树分给 3个人，“每名工作人员至少修剪 1 棵
（只考虑修剪的棵数）”，不考虑树和树的区别，只考虑数量，题目中没有概率，
属于给情况求概率，概率=满足要求的情况数/总情况数。根据隔板法，n个相同
的东西分给m个人，每人至少一个，公式：C（n-1,m-1），则总情况数是C（5,2）
=10种。要求小王至少修剪3棵，考虑枚举，则满足条件的有3种情况：小王3
棵、小曾2棵、小郭1棵；小王3棵、小曾1棵、小郭2棵；小王4棵，小曾、
小郭各1棵。所求概率=满足条件的情况数/总情况数=3/10，对应A项。
方法二：猜题。总情况数为10种，即概率分母为10，10不可能约分为3、
4，若可以约分成5，为3/5概率太大，猜测A项。【选A】
【例2】（2024山东）山东手造精品众多，某展览会有叶雕、皮影、风筝、
麦秸画、柳编、葫芦画、锡雕、鲁班枕8个展厅。因时间原因，一名参观者决定
从8个展厅中随机选取3个进行参观。问叶雕和皮影展厅至少一个被选中的概率
是多少？
A.5/14 B.15/28
C.9/14 D.19/28
【解析】2.要求“雕和皮影展厅至少一个被选中”，题目中没有概率，问概
率，属于给概率求概率。
方法一：8 个展厅选3个，总情况数为 C（8,3）。满足要求的情况数：只有
叶雕没有皮影，为C（6,2）；只有皮影没有叶雕：为C（6,2）；叶雕和皮影都有，
为C（6,1）。概率=满足要求的情况数/总情况数=[（6,2）+（6,2）+（6,1）]/C
（8,3）=（8*7*6）/（3*2*1）=36/56=9/14，对应C项。
方法二：正难则反，概率=1-反面情况。要求叶雕和皮影至少一个被选中，
反面情况为叶雕和皮影都没有。满足要求的情况即从剩余6个展厅中选3个，为
C（6,3），总情况数为 C（8,3），概率=1-C（6,3）/C（8,3）=9/14，对应 C 项。
【选C】
18【例 3】（2023 天津事业单位）一枚骰子共有六面，点数从 1 到 6，每次掷
骰子得到的数字概率相同。掷三次骰子得到的三个数字完全相同的概率：
A.小于2% B.在2%～5%之间
C.在5%～8%之间 D.大于8%
【解析】3.方法一：要求三个数字完全相同，骰子共有6面，每个面的概率
为1/6。掷三次骰子得的三个数字完全相同，比如第一个骰子是 5，第一个骰子
可以是任意点数，概率为 100%，则第二个骰子几率为 1/6，第三个骰子概率为
1/6，则所求=1*（1/6）*（1/6）=1/36，对应B项。
方法二：概率=满足要求的情况数/总情况数。总情况没有限制，三个骰子都
各有6种选择，总情况数=6*6*6；满足要求的情况数有6种：（1，1，1）、（2，2，
2）、（3，3，3）、（4，4，4）、（5，5，5）、（6，6，6）。概率=6/（6*6*6）=1/36，
对应B项。【选B】
【例4】（2024上海）某市向广大市民随机发放消费券，规则是先公布消费
券发放额，再根据商家的参与量决定中签率。第一批消费券商家参与度较高，中
签率为 60%；第二批和第三批消费券的中签率均为 20%。三批消费券依次发放，
市民张先生连续三次申请，则他恰好成功两次的概率约为：
A.20% B.40%
C.60% D.80%
【解析】4.出现 60%、20%，问恰好成功两次的概率，属于给概率求概率，
考虑加法和乘法的原理。连续申请3次，恰好成功2次，必须失败1次，分类讨
论。
（1）第一次没中，第二、三次中奖：已知第一次中奖率为 60%，则第一次
没 中 概 率 为 1-60%=40% ； 第 二 次 和 第 三 次 中 奖 率 均 为 20% ， 概 率
=40%*20%*20%=1.6%。
（2）第一次中奖，第二次没中，第三次中奖：第二次中奖率为 20%，则第
二次没中概率为1-20%=80%，概率=60%*80%*20%=9.6%。
（3）第一、二次中奖，第三次没中：第三次中奖率为 20%，则第三次没中
概率为1-20%=80%，概率=60%*20%*80%=9.6%。
19要么是情况一、要么是情况二、要么是情况三，分类相加，所求
=1.6%+9.6%+9.6%≈20%，对应A项。【选A】
【注意】概率、排列组合是比较抽象的题目，没法找到生活中类似的模式，
如果排列组合能接受，那么概率就能学会，概率问题的知识点和排列组合都是一
样的，建议下课后捋顺知识点。
第九节 容斥原理问题
容斥原理本质：多个集合有交叉，去重补漏
考查类型：
两集合容斥原理
三集合容斥原理
解题方法：
公式法
画图法
【注意】容斥原理：
1.容斥原理本质：多个集合有交叉，去重补漏。在统计问题的过程中存在交
叉重叠的情况，比如班级考国考的同学有30人，考省考的有40人，但总人数没
有70人，需要把多次统计的重复人数去掉，另有一部分既不考国考又不考省考，
需要去掉这部分都不满足的。
2.考查类型：两集合容斥原理，三集合容斥原理。记住两类公式可以解决
70%～80%的题目。
3.解题方法：公式法，画图法。
两集合公式：A+B-A∩B=总数-都不
20【注意】两集合公式：大概2～3年考查一次。
1.公式：A+B-A∩B=总数-都不。
2.推导：两个圈表示 A和 B，两个集合有交集，A+B的时候中间阴影部分加
了两层，需要去掉，即“A+B-A∩B”，这部分类似剪窗花，矩形-空白部分即“总
数-都不”，则A+B-A∩B=总数-都不。
3.考试只会有交集，不存在并集，A∩B也可以写成AB。
【例1】（2022广东）某单位计划从全部80名员工中挑选专项工作组成员，
要求该组成员须同时有基层经历和计算机等级证书。已知，单位内有 40人有基
层经历，有 46 人有计算机等级证书，既没有基层经历又未获得计算机等级证书
的有10人。那么能够进入工作组的员工有多少人？
A.16 B.40
C.46 D.54
【解析】1.基层经历和计算机证书为2个条件，要求同时有基层经历和计算
机等级证书，考虑两集合容斥。两集合容斥公式：A+B-AB=总数-都不。有基层经
历+有计算机等级证书-两种都有=总人数-两种都没有，40+46-AB=80-10，则
AB=16，对应A项。【选A】
【例2】（2021四川下）为实现产业振兴，农科院对某县的所有自然村进行
了调研，结果发现，适合种植 A 作物的自然村占 4/13，适合种植 B 作物的自然
村有25个，同时适合种植两种作物的自然村占总数的1/14。则在该县，不适合
种植两种作物的自然村至少有多少个？
A.57 B.67
C.114 D.134
21【解析】2.没有具体数据，已知A/总数=4/13，B=25，AB/总数=1/14，总数
既是13的倍数，又是14的倍数，即总数一定是13和14最小公倍数182的整数
倍，要求村庄尽可能少，即要求某一部分少，则总数尽可能小，则总数取最小值
182。A/182=4/13→A=56，AB/182=1/14→AB=13，根据两集合容斥公式：A+B-AB=
总数-都不，则56+25-13=182-都不，都不=114个，对应C项。【选C】
三集合公式
①标准型A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
【注意】三集合公式（标准型）：
1.公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
2.推导：三个圆代表三个集合对应的条件，3个条件相互交叠，先加和，即
“A+B+C”；进行去重，加和的时候 A∩B（红色部分）、B∩C（蓝色部分）、A∩C
（绿色部分）都加了两次，多了一次，需要去掉一次，即“-A∩B-A∩C-B∩C”；
最中间的 A∩B∩C（黑色部分）加了三次，进行去重“-A∩B-A∩C-B∩C”的时
候又减了三次，还需要补上一次，则得到A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数
-都不。
【例3】（2020新疆）某单位共有240名员工，其中订阅A期刊的有125人，
订阅B期刊的有126人，订阅C期刊的有135人，订阅A、B期刊的有57人，订
阅A、C期刊的有73人，订阅3种期刊的有31人，此外，还有17人没有订阅这
三种期刊中的任何一种。问订阅B、C期刊的有多少人？
A.57 B.64
C.69 D.78
22【解析】3.出现三个集合（A期刊、B期刊、C期刊），三集合容斥问题，给
出AB、AC、ABC，直接代入公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
代入数据，125+126+135-57-73-B∩C+31=240-17，正整数加减法，选项尾数不同
只看个位，利用尾数法，整理得：尾7-B∩C尾数=尾3，则B∩C尾数为4，对应
B项。【选B】
三集合公式
②非标准型：A+B+C-（只）满足两项-2*满足三项=总数-都不。
【注意】三集合公式（非标准型）：满足两项指的是“只满足两项”。
1.公式：A+B+C-（只）满足两项-2*满足三项=总数-都不。
2.推导：三个圈代表三个集合，A、B、C都是只满足两项的，只满足A∩B，
不和C 有关（①部分）；只满足 B∩C，不和 A有关（②部分）；只满足 A∩C，不
和B有关（③部分）；④表示满足三项的；观察图形，发现①、②、③都分别出
现了两次，需要减掉一次，即-（①+②+③）为“-（只）满足两项”；④加了三
次，需要减掉两次，即-2*④为“-2*满足三项”，则A+B+C-（①+②+③）-2*④=
总数-都不→A+B+C-（只）满足两项-2*满足三项=总数-都不。
23【注意】三集合标准型与非标准型的区分：给出标准型数据（既A又B、既
A又C、既B又C），就用标准型公式；没有给出标准型数据，都用非标准型公式。
1.标准型判定：分别给出两两集合的交集，出现既 A又 B、既 A 又 C、既 B
又C的表述，用标准型公式。
2.非标准型判定：出现只满足两种（满足两种），没有“既……又……”这
种两两交集详细的表述，两两交集部分用笼统数据代替，用非标准型公式。
【例4】（2023事业单位联考）某高新技术园区对园区内的部分企业的专利
申请情况进行了调查，在接受调查的企业中，申请了发明专利的有 46 家，申请
了实用新型专利的有69家，申请了外观设计专利的有25家，三类专利都申请了
的有12 家，申请了其中两类专利的有 39家，三类专利都没申请的有 16家，那
么接受调查的企业有多少家？
A.89 B.93
C.106 D.111
【解析】4.发明专利、实用新型专利、外观专利分别对应A、B、C，已知“申
请了其中两类专利的有39家”，没有两两交集的具体数据，根据三集合非标准公
式：A+B+C-（只）满足两项-2*满足三项=总数-都不，46+69+25-39-2*12=总数-16，
24则总数=93，对应B项。【选B】
【注意】考场上大概3年考查一次例1～例4类似题目，比较简单，出现了
就要做对。
容斥原理的方法选择
1.公式法：
题目中所给所求都是公式中的一部分，套公式送分
2.画图法：
题目中所给所求公式里没有，或者公式法不好用
（往往是出现只满足一个集合，例“只参加一个项目”）
画图法：从里到外标数字（无具体数字赋值）
【注意】容斥原理方法选择：
1.公式法：题目中所给所求都是公式中的一部分，套公式送分。
2.画图法：题目中所给所求公式里没有，或者公式法不好用（往往是出现只
满足一个集合，例“只参加一个项目”）。比如两集合公式：A+B-A∩B=总数-都不，
问只 A，画图理解，“只 A”是蓝色部分，“只 A”在公式中无法体现，此时考
虑画图。
3.画图法：从里到外标数字（无具体数字赋值）。
【例5】（2024江苏）某基层工会共有 180 名会员，举行甲、乙两项工会活
动，60%的会员参加甲活动，50%的会员参加乙活动，若只参加甲活动的会员有
80人，则只参加乙活动的会员有：
A.10人 B.36人
C.62人 D.78人
【解析】5.问“只参加乙”，可以考虑两集合公式：A+B-A∩B=总数-都不，
公式中无法计算“只参加乙”，考虑画图法。如图，甲、乙对应两个集合，甲的
25人数=180*60%=108，只参加甲有80人（对应蓝色阴影），则甲∩乙=108-80=28；
乙的人数=180*50%=90，则只参加乙的人数=90-甲∩乙=90-28=62，对应C项。【选
C】
【出门考】（2019 河北）某班参加学科竞赛人数 40 人，其中参加数学竞赛
的有22 人，参加物理竞赛的有 27 人，参加化学竞赛的有 25人，只参加两科竞
赛的有24人，参加三科竞赛的有多少人？
A.2 B.3
C.5 D.7
【解析】拓展.本题课堂正确率77%。出现三集合，两两交集只有笼统数据，
没有给出既A又B、既A又C、既B又C的细致数据，考虑三集合非标准型公式：
A+B+C-满足两项-2*满足三项=总数-都不。假设参加三科竞赛有 x人，参加学科
竞赛人数为40人，则40人当中都不参加的为0人，则22+27+25-24-2x=40，解
得x=5，对应C项。【选C】
【出门考】（2021湖北选调）某宿舍有6名学生，建立一个聊天群最少需要
3名学生，则该宿舍最多可以建多少个聊天群？（人员相同时算同一个群）
A.32 B.35
C.42 D.45
【解析】拓展.本题课堂正确率77%。6名学生建立至少3人的聊天群，聊天
群的人数可能为3人、4人、5人、6人。
（1）3人聊天群：人员相同算同一个群，比如A、B、C、D、E、F，A、B、C
的群和C、A、B的群相同，与顺序无关，为C（6,3）=20个。
（2）4人聊天群可以建C（6,4）=15个。
（3）5人聊天群可以建C（6,5）=6个。
（4）6人聊天群可以建C（6,6）=1个。
分类相加，则该宿舍最多可以建20+15+6+1=42个聊天群，对应C项。【选C】
课后梳理
261.排列组合中，分类用 ，法、分步用 ，法。
调换顺序不影响结果：用______；调换顺序影响结果：用 。
2.如果题干中出现 ，考虑 法，做题时先 ，再 ；
如果题干中出现 ，考虑 法，做题时先 ，再 。
什么时候用隔板法：
公式：
3.当正面计算排列组合比较困难时，可以用 - 求解；
当正面计算概率比较困难时，可以用1- 求解。
4.给情况求概率：概率= / ；
给概率求概率：分类用 法，分步用 法。
5.两集合容斥原理公式： =总数-都不。
6.三集合容斥原理标准型公式：A+B+C =总数-都不。
7.三集合容斥原理非标准型公式：A+B+C =总数-都不。
8.两个三集合公式如何区分：
9.什么时候用画图法
标数据的顺序是从 到 。
【注意】课后梳理：建议大家练习课后梳理，帮助确定这节课有没有遗漏，
如果填空有不顺畅的地方，翻到对应的知识点反复听，主要听例题中的知识点是
怎样切入的，以及怎么选择对应的方法。
数量关系考场策略
短易熟代，跳着选做
基础弱的逢3做1或逢5做2，目标正确率50～60%
基础好的逢3做1～2或逢5做3，目标正确率70%+
各个击破：
一段时间内只练一种题型，比如这周练工程，下周练经济。
【注意】数量关系考场策略：
1.短易熟代，跳着选做。基础好的逢3做1～2或逢5做3，目标正确率70%+；
基础弱的逢3做1或逢5做2，目标正确率50%～60%，如果数量关系正确率达到
2750%已经是中等偏上的水平。优先做题干短的、容易的（容斥问题、代入排除、
简单排列组合、工程问题、函数最值、两点式等）、熟悉的、能够代入的题型。
2.各个击破，一段时间内只练一种题型 10道左右，比如这周练工程，下周
练经济，一种题型20道以上就可以应对考试。
3.国考不建议做数量，比较难，10道题做3题即可，省考建议 10道做5道，
并不绝对，尽可能做越多越好，但不要打乱做题的节奏，数量关系放在最后做。
【答案汇总】
排列组合问题1-5：DABCC；6-7：CA
概率问题1-4：ACBA
容斥原理问题1-5：ACBBC
28遇见不一样的自己
Be your better self
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