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主题：几何问题
日期：2022.12.05数量理论实战 03（笔记）
第三章 几何问题
1.几何公式
2.三角形
3.几何最优构造
4.最短路径
5.几何最值
6.同比例放缩
【注意】拓展标“1”法。
1.几何公式
周长类
n°
正方形周长=4a 长方形周长=2(a+b) 圆形周长=2πr弧长= 2πr
360°
面积类
正方形面积=a2 长方形面积=ab 三角形面积= 1 *底*高
2
圆形面积=πr2 扇形面积=
n°
πr2
360°
1 1
梯形面积= *(a+b)*h 菱形面积= *对角线乘积
2 2
表面积类
正方体表面积=6a2 长方体表面积=2(ab+bc+ac)
圆柱体表面积=2πR2+2πRh 球体表面积=4πR2
体积类
正方体体积=a3 长方体体积=abc 长方体体对角线=√a2 +b2 +c2
柱体体积=Sh 锥体体积= 1 Sh 球体体积= 4 πR3
3 3
- 1 -【注意】几何公式：多记、多练，猜是通过记忆、练习之后才具有的本领，
因此少猜。
1.长度相关公式：
（1）正方形周长：C =4a。
正方形
（2）长方形周长：C =2（a+b）。
长方形
（3）圆形周长：C =2πr。
圆
2.面积相关公式：
3.表面积相关公式：
- 2 -4.体积相关公式：
【例 1】（2020 江苏）若将一个长方形的长缩短 1厘米，宽加长 8厘米，所
得新长方形的周长和面积分别是原长方形的 2倍和4倍，则原长方形的长是：
A.4 厘米 B.5 厘米
C.6 厘米 D.7 厘米
【解析】1.问原长方形的长，设原来长为 a，宽为 b，则周长为 2*（a+b）；
根据题干，现在长为 a-1，宽为b+8，现在周长为 2*（a+b+7），根据“新长方
形的周长和面积分别是原长方形的 2 倍和 4 倍”：a+b+7=2*（a+b）→a+b=7，
排除D项；ab=4*（a-1）*（b+8），不会解，代入选项，A项：a=4，b=3，不符
合，排除；B项：a=5，b=2，满足，当选。【选 B】
【例 2】（2018 广州）如图所示，市政部门在一块周长为 260米的长方形草
地旁边铺设宽为 10 米的 L 形道路。已知铺好道路后，道路和草地面积之和为草
地面积的1.5倍，则草地的面积为（ ）平方米。
- 3 -A.4200 B.4000
C.3000 D.2800
【解析】2.根据“道路和草地面积之和为草地面积的 1.5倍”，道路+草地
=1.5*草地，则道路面积为草地面积的 0.5 倍，即2*道路=草地，题干可知，草
地周长为260，即 a+b=130，S =①+②+③=10a+10b+100=10*（a+b）+100=1400，
道路
所求=2*1400=2800，对应D项。【选D】
【例 3】（2022 联考）某疫苗共需接种 2剂次方可达到最佳效果。A 市的接
种人数占比统计如右图所示，其中，区域“0”表示尚未接种，区域“1”表示只
接种1剂次，区域“2”表示已接种2剂次。假设 ABC是四分之一圆面，D、E是
中点，BDFE 是正方形，则该市某疫苗只接种 1剂次的人数占比：
A.超过 40%但不到 50% B.刚好 50%
C.超过 50%但不到 60% D.超过 60%
【解析】3.求比重（面积比），不会计算，想到 A和非A。设圆的半径为 2，
则 DB=BE=1，则 S=1，S=1/2*1*1=1/2=0.5,则 S =1.5，S =πr2*1/4=π，
0 2 DFBC ABC
S /S =1.5/π=50-%，所求=1-S /S =50+%，对应C项。【选C】
DFBC ABC DFBC ABC
- 4 -【例4】(2019 广东)某小区规划建设一块边长为 10米的正方形绿地。如图
所示，以绿地的 2 个顶点为圆心，边长为半径分别作扇形，把绿地划分为不同
的区域。小区现准备在图中阴影部分种植杜鹃，则杜鹃种植面积为（ ）平方
米。
A.100-25π B.200-35π
C.200-50π D.100π-100
【解析】4.方法一：求阴影面积，不会求，想到 A和非A。所求=100-x，只
有A项符合。
方法二：看图发现，图形为对称图形，将左下角阴影移动到右上角，如图
所示，所求转化为正方形面积-1/4圆面积=S -1/4*πr2=100-25π，对应 A项。
正
【选A】
- 5 -【例 5】（2020 联考）一个容器由一个长方体和一个半圆柱体如下图组合而
成，长方体的长为 1米，宽为 0.5米、高为 2 米。在这个容器表面涂漆花费 200
元，问平均每平方米的涂漆成本在以下哪个范围内？
A.不超过 20元 B.超过 20元但不超过25元
C.超过 25元但不超过 30元 D.超过 30元
【解析】5.求平均数，平均成本=金额/面积=200/面积，求出面积即可。几
何体由长方体和半圆柱拼接而成，其中，长方体有上、下、左、右、后面，没有
前面，共5个面，面积为 0.5+0.5+1+1+2=5，半圆柱为圆柱一半，圆柱面积为 2
πr2+2πrh，则半圆柱面积为πr2+πrh=π*（0.25+1）=1.25π=10π/8≈31.4/8，
面积总和≈40/8+31.4/8=71.4/8≈9，所求≈200/9=20+，对应B项。【选 B】
- 6 -【注意】圆柱体表面积 S=2πr2+2πrh。
【例 6】（2020-822联考）野外生存需要用一个简易的圆锥型过滤器（如下
图所示）装满溪水进行过滤。过滤器的底面直径为 20 厘米，高为 6 厘米。问全
部过滤完毕后，在不考虑损耗的情况下，可使底面半径为 5 厘米，高为 15 厘米
圆柱型容器的水面高度达到：
A.4 厘米 B.6 厘米
C.8 厘米 D.12 厘米
【解析】6.根据“过滤器的底面直径为 20厘米”，则半径为 10。
方法一：根据题干可知，水（柱体）的体积就是椎体的体积，椎体体积
Sh/3=1/3*π*10*10*6=柱体体积Sh=π*5*5*h→h=8，对应C项。
方法二：猜。柱体主体形似生活中的碗，题干意思是将碗中的水倒到水杯中，
且没漏洞，碗的半径为 10，高为6，水杯的半径为 5，则倒进去后，高度一定大
于6，排除 A、B项，猜测不是 D项，选择C 项。【选C】
2.三角形
（1）直角三角形
- 7 -【注意】直角三角形：
1.普通三角形：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
2.特殊三角形：等边三角形、直角三角形。
【练习】（2021 联考）饲养兔子需要场地，小林准备用一段长为 28米的篱
笆围成一个三角形形状的场地，已知第一条边长为 m 米，由于条件限制第二条
边长只能是第一条边长度的 1/2 多 4 米，若第一条边是唯一最短边，则 m 的取
值可以为：
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】练习.篱笆有三条边，题干可知，第一条边为 m，第二条边为 m/2+4，
第三条边未知，周长为 28，则m+m/2+4+第三条边=28，代入选项，A 项：第一条
边为6，第二条边为 7，则第三条边为15，6+7＜15（两边之和不大于第三边），
不满足，排除；B 项：第一条边为 7，第二条边为 7.5，则第三条边为 13.5，
7+7.5＞15（两边之和大于第三边），满足，当选。【选 B】
【注意】勾股定理相关：
1.常考点：a2+b2=c2、特殊角三角形三边关系。
2.特殊勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）。
3.边长的放缩。
4.几何问题中，出现平方加和的条件，直接想勾股定理（a2+b2=c2）。
5.特殊角三角形三边关系：
（1）短直角边是斜边的一半。
（2）长直角边是短直角边的√3倍。
- 8 -（1）斜边是直角边的√2倍。
（2）√3≈1.732；√2≈1.414。
6.等边三角形：
（1）边长：a。
（2）高：√3/2a。
（3）面积：S=√3/4a2。
7.正六边形：由 6个等边三角形构成。
8.圆：
（1）不在同一直线的三个点确定一个圆。
（2）圆的直径所对的角是直角（90°）。
【例 7】（2022 北京）一个圆形水库的半径为 1千米。一艘船从水库边的 A
点出发，直线行驶 1千米后到达水库边的B 点，又从B点出发直线行驶 2千米后
到达水库边的C点。则 C点与A点的直线距离最短可能为多少千米？
A.不到 1千米 B.1～1.3千米之间
C.1.3～1.6千米之间 D.超过 1.6千米
【解析】7.已知半径为 1，则 2 对应直径，即 BC 为直径，连接 ABC，则∠
A 为直角，根据勾股定理可知，AB=1，BC=2，则 AC 为√3≈1.732，对应 D 项。
【选D】
- 9 -【注意】不在同一直线的三个点确定一个圆，圆上两点的最远距离为直径。
【例 8】（2021 江苏）如图所示，当某航天器飞过地球北极正上方 S 处时，
恰好能够观测到北纬 45 度，北极圈内的区域。假定地球是半径为 R 的球体，则
点S到地球北极点的距离是：
A. R B. R
C. D.
【解析】8.北纬 45度（∠DOC）为如图所示。连接 SO、OC，则∠SOC=90°，
DC=OC=R，则SO为√2R，所求=√2R-R，对应 C项。【选C】
- 10 -【注意】北纬 45度被称为世界黄金纬度，北京在北纬 40度左右。
【例 9】（2020 四川下）如图所示，在直线 L上依次摆放着5个正方形。已
知斜放置的2个正方形的面积分别是 3和2，正放置的3个正方形的面积依次是
S、S、S，且S=S 。问S+S+S 的值为：
1 2 3 2 3 1 2 3
A.4 B.5
C.11 D.13
【解析】9.方法一：设 S2 的边长为 a，则 c2=a2+a2=2，S=S=a2=2。S＜3，
2 3 1
所求＜5，只有A项符合。
方法二：题干可知，S+S=2，S+S=3，则 S=2，S=S=1，所求=2+1+1=4，对
2 3 1 2 1 2 3
- 11 -应A项。【选A】
【例 10】（2021 国考）在一块下图所示的梯形土地中种植某种产量为 1.2
千克/平方米的作物。已知该梯形的高为 100 米，ABC、BCD、和CDE为正三角形，
且BAF和 DEG的角度都是 90度，问该土地的总产量为多少吨？
72 84
A. B.
√3 √3
108 126
C. D.
√3 √6
【解析】10.总产量=产量*面积=1.2*面积，正三角形为等边三角形。△BAC
和△FAB为等高，面积比为底边之比，设正△ABC边长为a，则FB=2a，则△BAC
和△FAB面积之比为 1：2，设△BAC面积为 1份，则△FAB面积为2 份，则总面
积为2+1+1+1+2=7 份。
在正△ABC 中，高 BO 为 100，∠OBC=30°，则 OB/OC=√3，则 OC=100/√3，
AC=200/√3，则一份面积对应√3/4*a2，则总面积为 7*√3/4*a2，所求
- 12 -=7*√3/4*40000/3*1.2→84/√3，对应B项。【选 B】
（2）坐标构造
【注意】坐标构造又称为捉迷藏游戏。
【例 11】（2020 联考）甲乙丙丁四人通过手机的位置共享，发现乙在甲正
南方向 2 公里处，丙在乙北偏西 60°方向 2 公里处，丁在甲北偏西 75°方向。
若丁与甲、丙的距离相等，则该距离为：
A.1 公里 B.√2公里
C.√3公里 D.2 公里
【解析】11.常考题。画坐标轴，甲为中心，乙丙丁如图所示。△甲乙丙为
等边三角形。要想丁与甲、丙的距离相等，则丁一定在甲丙的垂直平分线上，
则△甲丁丙一定是直角三角形（只会直角三角形，别的三角形不会，也可以用
角度验证∠丙丁甲为 90°），所求为丙丁（甲丁），即所求为直角边，已知 45°
直角三角形斜边为 2，则直角边为√2，对应 B项。【选B】
【例 12】（2022 四川）一艘轮船在点 A处测得灯塔 M在北偏西 15°，向北
航行了20千米后到达B点，测得灯塔M在北偏西30°。此后该船继续向北航行，
在到达灯塔正东方向 C处时，轮船与灯塔M 的距离为多少千米？
- 13 -A.10 B.12
C.6√3 D.20（2-√3）
【解析】12.画坐标轴，上北下南，左西右东。题干可知，∠MAC=15°，∠
MBC=30°，MB=AB=20，△MCB 为 30°直角三角形，且 MB=20，则所求 MC=10，对
应A项。【选 A】
【例 13】（2021 北京）A 地在 B 地正北方 x 千米处，甲从 A 地出发以 4 千
米/小时的速度向南行走，同时乙从 B地出发以 8千米/小时的速度向西慢跑，出
发20分钟后，甲与乙的距离为 x千米。问 x的值为：
5
A. B.6
3
10
C.3 D.
3
【解析】13.B 为中心，如图所示。20min=1/3*h，V =4，V =8，则 S =4/3，
甲 乙 甲
S =8/3，设蓝色距离为 x，则 AB-4/3=x-4/3，猜测直角三角形三边之比为 3：4：
乙
5，则猜测x-4/3=6/3→x=10/3，满足，选D 项。【选D】
- 14 -【注意】直角三角形：
1.考查角度：30°、45°、60°、90°。
2.考查勾股定理：3、4、5；6、8、10；5、12、13。
（3）相似三角形
【注意】相似三角形的对应角相等；对应边成比例；相似三角形的面积比=
相似比的平方；相似三角形边之比为 1：2，则面积之比为1：4。
【例 14】（2022 江苏）如图所示，小王买了一块直三棱柱形状的蛋糕 ABC～
A’B’C’，其中∠ABC=90°，∠BAC=30°。为与两位室友分享，他切出一小块
和原蛋糕形状相同的蛋糕 ADE～A’D’E’。其体积与原蛋糕的体积之比为 1：3。
若∠ADE=90°，则线段 AE与EB的长度之比为：
A.2：1 B.3：2
C.√3：1 D.2：√3
- 15 -【解析】14.问线段 AE 与 EB 的长度之比，V=1/3*S*h，高相同，体积之比
等于底面积之比，则①/S =1/3，则边之比为 1：√3，即 ED：BC=1：√3。设
△ABC
ED=1，则AE=2；BC=√3，则 AB=√3*√3=3，则 EB=AB-AE=3-2=1，所求=2：1，对
应A项。【选A】
（4）三角形同底或者同高
【注意】
1.考法：多个面积。
2.方法：底相同，面积之比等于高之比。
【例 15】（2019 江苏）某民营企业新建一个四边形的厂区，按对角线将整
个厂区分为四个功能区，如图所示。已知生产、仓储和营销三个功能区的面积分
别为26 亩、18亩和 13亩，若保留休闲区的 12亩天然小湖泊，则休闲区可利用
的陆地面积是：
A.36 亩 B.26 亩
C.24 亩 D.23 亩
【解析】15.观察图形，有好几个图形，且没有给出三角形的角度，利用同
- 16 -底或同高解题。
方法一：①与②为同底三角形，则①/②=S/S=h/h=18/13；③与④也为同
1 2 1 2
底三角形，③/④=h /h=18/13，S/26=18/13，则S=36，所求=36-12=24，对应
1 2 3 3
C项。
方法二：②和④为同底三角形，则 S/S =h/h=13/26=1/2。①与③也为同底
2 4 2 4
三角形，S/S=h/h =1/2，18/S=1/2，则S=36，所求=36-12=24，对应 C项。【选
1 3 2 4 3 3
C】
【例 16】（2017 广东）如图所示，公园有一块四边形的草坪，由四块三角
形的小草坪组成。已知四边形草坪的面积为 480平方米，其中两个小三角形草坪
的面积分别为70平方米和 90平方米，则四块三角形小草坪中最大的一块面积为
多少平方米？
A.120 B.150
- 17 -C.180 D.210
【解析】16.方法一：图形分为好几个小图，且不规则，如图，①与②为同
底三角形，h/h=70/90=7/9；③与④为同底三角形，S /S =h/h=h /h=7/9，则
1 2 ③ ④ 3 4 1 2
③与④的面积共16 份，对应480-70-90=320 份，一份对应 20份，S =9*20=180，
④
对应C项。
方法二：猜题。S +S =480-70-90=320，S ＞S ，S ＞320/2=160，排除 A、
③ ④ ④ ③ ④
B项；当S =210时，S =110，S 大约是S 的2倍，观察图形，不符合，排除 D
④ ③ ④ ③
项。
方法三：h/h =h/h=S /S =7/9，S 为 9 的倍数，只有 C 项符合。【选 C】
3 4 1 2 ③ ④ ④
3.几何最优构造
【注意】构造图形，实现物品利用最优。
【例 17】（2017 广州）某工业园拟为园内一个长 100 米、宽 8 米的花坛设
置若干定点智能洒水装置，洒水范围是半径为 5米的圆形。要保证花坛各个区域
都可被灌溉，最少需要（ ）个洒水装置。
A.17 B.18
C.19 D.20
【解析】17.问最少需要多少洒水装置，且要保证花坛各个区域都可以被灌
溉，则要尽量不漏下也不少浇，如图所示放置洒水装置，由题可知，BO=5，AB=4，
则AO=3，一个洒水装置可以浇的花坛长为 6米，100/6=14……4，余 4 米，放一
个即可，则共需17 个洒水装置，对应A项。【选 A】
- 18 -【例 18】（2022 联考）用一个根长为 20 厘米、宽为2厘米、高为 1.5厘米
的长方体木料，制作一串半径最大的木珠子，不考虑制作过程中的损耗，则这串
珠子的数量最多为：
A.10 个 B.13 个
C.14 个 D.20 个
【解析】18.方法一：问最多，要想办法多放，圆要相切。直径最大为 d=高
=1.5cm，如图，构造直角三角形 ABC，AE=1.5/2=CF，则 BC=2-1.5=0.5cm，
AC=2*1.5/2=1.5，则 AB2=AC2-AB2=1.25-0.25=2，AB=√2≈1.4，（20-0.75*2）
/√2=18.5/√2≈18.5/1.4=13+，有13段，对应 14个珠子，对应C项。
方法二：最优思维，木珠的最大直径为 1.5cm，珠子竖着直接排
时,20/1.5=20*2/3=40/3=13+，能制作 13 个，考虑最优，则应该比 13 大一点，
达不到20，对应C 项。【选C】
4.最短路径
【注意】
1.考察方式：求 AB两点到直线距离之和最短。
- 19 -2.解题原理：两点之间，线段最短。
3.解题技巧：两点异侧，直接连线；两点同侧，镜面对称后连线。
【例 19】（2017 吉林）悟空与二郎神在离地面 1 米的空中决斗，两人相距
2米，悟空想用分身直接偷袭二郎神，为了不引起对方的警觉，分身必须在地面
反弹一次再进行攻击，则分身到达二郎神的位置所走的最短距离为：
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
【解析】19.求所走的最短距离为，两点同侧，镜面对称后连线。连线与地
面相交于 C 点。如图构造直角三角形，已知，AB=1+1=2，AD=2，则 BD=2√2。
AC=BC，所求=AC+CD=BC+CD=BD=2√2，对应 A项。【选A】
【例 20】（2019 浙江）A点、B点与墙的位置如右图所示，现从 A点出发以
5米/秒的速度跑向墙，接触到墙后再跑到 B 点，问最少要多少秒到达 B点？
A.30 B.34
- 20 -C.38 D.42
【解析】20.T=S/V，速度是固定的，要想时间最小，则路程最小。做 A 的
镜像 A'，连接 A'B，A'B 与墙的交点为接触到墙的点，构造直角三角形 A'BC，
BC=120，A'C=90,则 A'B=150，所求=150/5=30 秒。对应A项。【选 A】
【注意】长方体表面行走到对顶点最短：
1.先加两条短边之和，再利用第三边，求直角三角形的斜边。
2
2.最短距离= √a2 +（a+b） 。
3.【引例】（自编题）长、宽、高分别为 5、4、3cm的长方体上，有一个
蚂蚁从A出发沿长方体表面爬行到 C 获取食物，其路程最小值是多少 cm？
1
答：有三种走法。
（1）AC2=52+(3+4)2=25+49=74。
1
（2）AC2=(5+4)2+32=81+9=90。
1
（3）AC2=（5+3）2+42=64+16=80。最短距离为 74，即长边不动，短边加和，
1
再平方。
- 21 -【例 21】（2019 河北）长、宽、高分别为 12、4、3cm的长方体ABCD～A B C D
1 1 1 1
上，有一个蚂蚁从 A出发沿长方体表面爬行到C 获取食物，其路程最小值是多少
1
cm？
A.13 B.
C. D.17
【解析】21.有一个蚂蚁从 A出发沿长方体表面爬行到C 获取食物，即求体
1
2
对角线，所求=√122 +（4+3） =√144+49=√193，对应B项。【选 B】
【课堂练习】（联考）某公司要在长、宽、高分别为 50 米、40 米、30 米
的长方体建筑物的表面架设专用电路管道连接建筑物内最远两点，预设的最短
管道长度介于：
A.70～80米之间 B.60～70米之间
C.90～100米之间 D.80～90米之间
2
【解析】课堂练习.所求=√502 +（40+30） =√2500+4900=√7400，已
知802=6400，902=8100，则所求介于80～90 米之间，对应D项。【选 D】
5.几何最值
【注意】
1.几何最值理论(一)：
（1）立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大（垃圾袋原理）。
（2）立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小（饺子皮原理）。
- 22 -2.几何最值理论（二）：
（1）平面图形中，周长一定，越接近于圆，面积越大（圆脸原理）；
（2）平面图形中，面积一定，越接近于圆，周长越小（剪纸原理）。
3.特殊矩形：
（1）四边形周长一定时，正方形面积最大。
（2）四边形面积一定时，正方形周长最小（最接近于圆的长方形就是正方
形）。
【例 22】（2018 联考）某地市区有一个长方形广场，其面积为 1600 平方米。
由此可知，这个广场的周长至少有：
A.160 米 B.200 米
C.240 米 D.320 米
【解析】22.求周长最少，为几何最值问题。四边形面积一定时，正方形周
长最小，设正方形边长为 a，则a2=1600，a=40，所求=4a=4*40=160m。对应 A项。
【选A】
【例 23】（2019 联考）将一个表面积为 72平方米的正方体平分为两个长方
体，再将这两个长方体拼成一个大长方体，则大长方体的表面积是多少平方米？
A.56 B.64
C.72 D.84
【解析】23.求长方体的表面积，从正方体到大正方体的过程体积不变，利
用饺子皮原理。表面积变大，只有 D项符合。【选 D】
【例 24】（2018 江西）设a、b、c、d 分别代表四棱台、圆柱、正方体和球
体，已知这四个几何体的表面积相同，则体积最小与体积最大的几何体分别是：
A.d 和a B.c 和d
C.a 和d D.d 和b
【解析】24.问体积最小与体积最大的几何体。已知表面积相同，利用垃圾
- 23 -袋原理，体积最大一定是球，排除 A、D 项；正方体体积一定大于四棱台体积，
排除B项，对应 C项。【选 C】
6.同比例放缩
【注意】几何放缩关系：若将一个图形尺度变为原来的 N倍，则：
1.对应角度不变。
2.周长变为原来的 N倍，增长了N-1倍。
3.面积变为原来的 N2倍，增长了N2-1 倍。
4.体积变为原来的 N3倍，增长了N3-1 倍。
5.尺度指边、高、棱、半径；面积在平面图形中指面积，在立体图形中指表
面积。
【例 25】（2017 新疆兵团）一个圆形的面积是 54平方厘米，如果将该圆的
半径变为原来的两倍，则该圆的面积变为（ ）平方厘米。
A.81 B.108
C.162 D.216
【解析】25.已知半径值比为 1：2，则面积之比为 1：4，所求=54*4=200+，
对应D项。【选D】
【例 26】（2017 四川）下图为以 AC、AD 和 AF 为直径画成的三个圆形，已
知AB、BC、CD、DE 和EF之间的距离彼此相等。问小圆 x、弯月y以及弯月 z三
部分的面积之比为：
- 24 -A.4：5：16 B.4：5：14
C.4：7：12 D.4：3：10
【解析】26.设小圆半径 AB=2，则中圆半径=3，大圆半径=5，半径之比为 2：
3：5，则面积之比为 4：9：25，因此x=4，y=5，z=16。对应A项。【选 A】
【注意】也可以利用选项判断，A 项：4+5+16=25，25 是平方数，B、C、D
项数字加和都不是平方数，对应 A项。
【例 27】（2019 四川下）如图，沙漏计时器由上下两个大小相同、相互连
通且底面互相平行的圆锥组成，下面的圆锥内装有细沙，计时开始时，将沙漏倒
置，已知上面圆锥中细沙全部流下恰好需要 1小时，则细沙高度下降一半所需的
时间是：
A.30 分钟 B.45 分钟
C.47.5 分钟 D.52.5 分钟
【解析】27.如图，当高度下降一半时，高度之比小：大=1：2，则边之比也
为1：2，因此体积之比为 1：8，说明总体积为 8份，剩下1份，流走 7份，所
求=60*7/8=420/8，首位商 5，对应D项。【选 D】
- 25 -7.行走路径：标 1法
【注意】标1 加和。
【真题 1 江苏】张从华兴园到软件公司上班要经过多条街道（软件公司在
华兴园的东北方）。假如他只能向东或者向北行走，则他上班不同走法共有：
A.12种 B.15 种
C.20种 D.10 种
【解析】真题 1.标1法，如图，横向纵向都只有 1种走法，分别标 1。A到
与A斜对的点有2 种走法，1+1=2，同理：2+1=3，1+2=3，3+3=6，1+3=4，4+6=10，
则共10种走法，对应 D项。【选D】
【真题 2 黑龙江】从 A 地到 B 地的道路如图所示，所有转弯均为直角，问
如果要以最短距离从 A地到达B地，有多少种不同的走法可以选择？
- 26 -A.14 B.15
C.18 D.21
【解析】真题 2.利用标1法。如图所示，标 1加和，所求=4+11=15，对应
B项。【选B】
【真题3山东】A、B、C三地的地图如下图所示，其中 A在C正北，B在C
正东，连线处为道路。如要从 A 地到达 B 地，且途中只能向南、东和东南方向
行进，有多少种不同的走法：
A.9 B.11
C.13 D.15
【解析】真题 3.规定了方向，不走回头路，利用标 1 法，如图所示，标 1
- 27 -加和，所求=12+3=15，对应D项。【选D】
【注意】几何问题小结：
1.几何公式。
2.三角形（特殊三角形，或同底或同高的普通三角形）。
3.几何最优构造。
2
4.最短路径=√a2 +（a+b） （表面行走）。
5.几何最值。
6.同比例放缩。
7.标1法。
8.线切面。
【答案汇总】1-5：BDCAB；6-10：CDCAB；11-15：BADAC；16-20：CACAA；21-
25：BADCD；26-27：AD
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