2018年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析

2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题 解析 一、选择题：1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目 要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．． 1 （1）若lim(ex ax2 bx)x2 1，则（ ） x0 1 1 1 1 (A) a ,b1 (B) a ,b1 (C) a ,b1 (D) a ,b1 2 2 2 2 【答案】B 1 exax2bx1  【解析】由已知有原极限等于lim[1(ex ax2 bx1)]exax2bx1 x2 x0 lim exax2bx1 lim ex2axb ，所以lim(ex 2axb)1b0，即b1， ex0 x2 ex0 2x 1 x0 ex2ax1 ex2a 12a 12a 1 则原极限等于 lim lim ，所以 0，即a . ex0 2x ex0 2 e 2 1 2 2 （2）下列函数中，在x0处不可导的是（ ） (A) f(x) x sin x (B) f(x) x sin x (C) f(x)cos x (D) f(x)cos x 【答案】D f(x) f(0) 【解析】由导数定义可得： f(0)lim ； x0 x x sin x x sin x 选项A： f(0)lim 0；选项B： f(0)lim 0； x0 x x0 x 1 2  x 选项C： cos x 1 2 f(0)lim lim 0 x0 x x0 x 1  x 选项D： cos x 1 2 不存在，故选D f(0)lim lim x0 x x0 x 2ax,x1 1, x0  （3）设函数 f(x) ，g(x)x,1 x0 ，若 f(x)g(x)在R 上连续，则（ ） 1, x0  xb,x0  (A) a3,b1 (B) a3,b2 (C) a3,b1 (D) a3,b2 【答案】D1ax,x1  【解析】由已知有 f(x)g(x)x1,1 x0在R上连续，  x1b,x0  所以 lim(1ax)1a lim(x1)2a3， x1 x1 lim(x1)1 lim(x1b)1bb2. x0 x0 1 （4）设函数 f(x)在[0,1]上二阶可导，且 f(x)dx0，则（ ） 0 1 1 (A) 当 f(x)0时， f( )0 (B) 当 f(x)0时， f( )0 2 2 1 1 (C) 当 f(x)0时， f( )0 (D) 当 f(x)0时， f( )0 2 2 【答案】D 1 1 【解析】取 f(x) x 或 f(x) x，可排除选项A、C； 2 2 1 1 1 f() 1 由泰勒公式可得： f(x) f( ) f( )(x ) (x )2， 2 2 2 2! 2 1 1 1 当 f(x)0时， f(x) f( ) f( )(x )， 2 2 2 1 1 1 1 1  1 两边积分可得： f(x)dx f( ) f( )(x ) dx f( )，故答案为D.   0 0 2 2 2  2  (1x)2  1x  （5）设M 2 dx，N  2 dx，K 2 (1 cosx)dx，则（ ）   1x2   ex   2 2 2 (A) M N K (B) M K N (C) K M N (D) K N M 【答案】C  (1x)2   2x   【解析】M 2 dx2  1  dx2 1dx；   1x2    1x2    2 2 2  1x  因为ex 1x，故N 2 dx2 1dx；   ex   2 2   又因为 1 cosx 1 ，所以K 2  (1 cosx)dx2  1dx，故K M N ，答案为C.   2 2 0 2x2 1 2x2 （6） dx (1xy)dy dx (1xy)dy（ ） 1 x 0 x5 5 7 7 (A) (B) (C) (D) 3 6 3 6 【答案】C 【解析】如图所示，由已知可得，积分区域 D{(x,y) 1 x0,x y2x2} {(x,y) 0 x1,x y2x2}， 显然被积函数xy关于 x 为奇函数，1关于 x 为偶函数， 0 2x2 1 2x2 所以 dx (1xy)dy dx (1xy)dy 1 x 0 x 1 2x2 1 2 dx 1dy2 (2x2 x)dx 0 x 0 1 1 1 7 2(2x x3 x2)  . 3 2 3 0 1 1 0   （7）下列矩阵中，与矩阵 0 1 1 相似的为（ ）   0 0 1   1 1 1 1 0 1     (A) 0 1 1 (B) 0 1 1     0 0 1  0 0 1      1 1 1 1 0 1     (C) 0 1 0 (D) 0 1 0     0 0 1  0 0 1      【答案】A 1 1 0 1 1 0     【解析】令P 0 1 0 ，则P1  0 1 0 ，     0 0 1 0 0 1     1 1 01 1 11 1 0 1 1 0       故P1AP 0 1 0 0 1 1 0 1 0  0 1 1 ，答案为A.       0 0 10 0 1 0 0 1 0 0 1       （8）设A、B为 n 阶矩阵，记r(X)为矩阵X 的秩，(X,Y)表示分块矩阵，则（ ） (A) r(A,AB)r(A) (B) r(A,BA)r(A) (C) r(A,B)max{r(A),r(B)} (D) r(A,B)r(AT,BT)【答案】A 1 1 0 0 0 0 【解析】选项C明显错误；对于选项B举反例：A   ,B  ，则BA  , 1 1 1 2 3 3 1 1 0 0 而(A,BA)   ，此时有r(A,BA)2,r(A)1； 1 1 1 2 1 0 0 0 对于选项D：举反例，A   ,B  ， 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 则(A,B)  ，(AT,BT)  ，故 r(A,B)2,r(AT,BT)1 0 0 1 0 0 0 0 0 对于选项A：(A,AB) A(E,B)，因为r(E,B)n，故r(A)rA(E,B) ，所以 r(A,AB)r(A) 二、填空题：9 14小题，每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．． （9） lim x2[arctan(x1)arctanx]___________. x 【答案】1 1 【解析】由拉格朗日中值定理可得：存在(x,x1)，使得arctan(x1)arctanx ， 12 x2 所以原式 lim 1. x12 y  x2 2lnx （10）曲线 在其拐点处的切线方程是___________. 【答案】y4x3 2 2 【解析】对导可得 f(x)2x ，令 f(x)2 0，有x 1，故曲线的拐点为(1,1) x x2 而 f(1)4，所以其切线方程为y14(x1)，即y4x3.  1 （11） dx___________. 5 x2 4x3 1 【答案】 ln2 2   1 1  1 1 1 x3 1 【解析】 dx  (  )dx ln  ln2. 5 x2 4x3 2 5 x3 x1 2 x1 2 5x cos3t  （12）曲线 在t  对应点处的曲率为___________.  y sin3t 4 2 【答案】 3 dy 3sin2tcost d2y sec2t 1 【解析】  tant，   ， dx 3cos2t(sint) dx2 3cos2t(sint) 3cos4tsint  dy d2y 4 2 所以当t  时， 1,  ， 4 dx dx2 3 y 2 k   故 3 3 . [1(y)2]2 z （13）设函数zz(x,y)由方程lnzez1  xy确定，则  ___________. x 1 (2, ) 2 1 【答案】 4 1 【解析】由已知可得当x2,y 时，z1， 2 令F(x,y,z)lnzez1xy， z y z 1 1  ,  则F x y,F z  z ez1，所以x 1 ez1 x (2, 1 ) 4. z 2 （14）设 A为3阶矩阵，,,为线性无关的向量组，若A 2 ， 1 2 3 1 1 2 3 A  2，A  ，则 A  ___________. 2 2 3 3 2 3 【答案】2 1 0 1   【解析】A(,,)=(A,A,A)(, ,)(,,) 1 1 0 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3   0 1 1   1 0 1   因为,,线性无关，故令(,,) P，可得P1AP  1 1 0 ， 1 2 3 1 2 3   0 1 1  1 0 1 所以 A  1 1 0 2. 0 1 1 三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过 ．．． 程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 求不定积分e2xarctan ex 1dx. 1 1 e2x 【答案】原式 arctan ex 1de2x  (e2xarctan ex 1 dx) 2 2 2 ex 1 1 1  [e2xarctan ex 1 ( ex 1)3 ex 1]C 2 3 （16）（本题满分10分） x x 已知连续函数 f(x)满足 f(t)dt tf(xt)dt ax2 0 0 （1）求 f(x)； a （2）若 f(x)在区间[0,1]上的平均值为1，求 的值. e 【答案】（1） f(x)2a(1ex)；（2）a . 2 x x x x 【解析】 f(t)dt tf(xt)dt  f(t)dt (xu)f(u)du ax2 0 0 0 0 x x x  f(t)dtx f(u)du uf(u)du ax2 0 0 0 x  f(x) f(u)duxf(x)xf(x)2ax 0 x  f(x) f(u)du 2ax， 0 x 令F(x) f(u)du，则F(x) f(x)，F(0)0， 0 所以有F(x)F(x)2ax， 则F(x)e dx [2axe dx dxC]2ax2aCex， 又由F(0)0得C2a，即F(x)2ax2a2aex， 故 f(x)F(x)2a(1ex). （17）（本题满分10分）xtsint 设平面区域D由曲线 （0t 2）与 x 轴围成，计算二重积分(x2y)dxdy. y 1cost D 【答案】325. 【解析】由题目积分区域，原积分可化为 2 (x) 2  dx (x2y)dy  [x(x)2(x)]dx， 0 0 0 令xtsint,y1cost换元可得， 2 原式 [(tsint)(1cost)(1cost)2]d(tsint) 0 2 2  (tsint)(1cost)2dt (1cost)3dt 32 5 . 0 0 （18）（本题满分10分） 已知常数k ln21.证明： (x1)(xln2 x2klnx1)0 ，x0. 【提示】单调性 【解析】①当0 x1时，有x10，只需证xln2 x2klnx10即可， f(x) xln2 x2klnx1 x2lnx2k 令 ，所以 f(x) ,0 x1， x 2 再令g(x)x2lnx2k,0x1，则g(x)1 0， x 所以g(x)单调递减，则g(x)g(1)12k 12(ln21) 2ln210 ， 故 f(x)0， f(x)单调递增，故 f(x) f(1) 0，结论成立； ② 当x 1时，结论显然成立； ③ 当x 1时，有x10，只需证xln2 x2klnx10即可， f(x) xln2 x2klnx1 x2lnx2k 令 ，所以 f(x) ,x1， x 20,1 x2 再令g(x) x2lnx2k,x1，则g(x)1  ， x0, x2 所以g(x)g(2)22ln22k 22ln22(ln21)0， 故 f(x)0， f(x)单调递增，故 f(x) f(1) 0，结论成立； 综上①②③，结论得证. （19）（本题满分10分） 将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，问：三个图形的面积和是否存在最小值？ 若存在，求出最小值.1 【答案】S  min 43 3 x,y,z 【解析】设圆、正三角形、正方形的总长度分别为 ，则有x yz 2，且此时圆的半径为 2 x ，  y z 正三角形边长为 ，正方形边长为 . 3 4 x 3 y z x2 3y2 z2 此时三个图形的总面积为S ( )2  ( )2 ( )2    2 4 3 4 4 36 16 x2 3y2 z2 下求S    在条件x yz 2下的最小值， 4 36 16 x2 3y2 z2 构造拉格朗日函数F    (x yz2) 4 36 16  F x 0  4  x 2  x  286 3  y  F  0  12 3  y 6 3 ，解得y  ， 286 3   z F 0  16  z 8 z  F  x yz 0  286 3   1 则由实际问题的背景可知：S  . min 43 3 （20）（本题满分11分） 4 已知曲线L:y  x2(x 0)，点O(0,0)，点A(0,1).设P是L上的动点，S 是直线OA与直线AP 9 及曲线L所围成图形的面积.若P运动到点(3,4)时沿 x 轴正向的速度是4，求此时S 关于时间t的变化率. 【答案】10. 4 【解析】这在t时刻，P点坐标为(x(t), x2(t))，则 9 1 4 x(t)4 x(t) 2 S(t) [1 x2(t)]x(t) u2du   x3(t)， 2 9 0 9 2 27 1 2 所以S(t) x(t) x2(t)x(t)， 2 9 由题可知x(t)3时，x(t)4，代入可得S(t) 10. x3 （21）（本题满分11分） 设数列 {x } 满足：x 0,x ex n1 ex n 1(n1,2, ) .证明 {x } 收敛，并求limx . n 1 n n n n【答案】提示：利用单调有界定理证明收敛； limx 0 n n 【解析】先证{x }有下界0， n ex k 1 已知x 0，假设x 0，由x0时，有ex 1 x0，可得：x ln ln10， 1 k k1 x k 故数列{x }有下界0； n ex n 1 ex n e0 而ex n1   e(0 x ) x x n n n 所以x x ，即数列{x }单调递减，故数列{x }收敛。 n1 n n n 设 l n i  m  x n  A ，对等式x n ex n1 ex n 1两边取极限可得：AeA eA1，解得：A0. （22）（本题满分11分） 设实二次型 f(x,x ,x )(x x x )2 (x x )2 (x ax )2 ，其中 a 是参数. 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 f(x ,x ,x )0 （1）求 的解； 1 2 3 f(x ,x ,x ) （2）求 的规范形. 1 2 3 【答案】（1）当a2时， xk(2,1,1)T,kR ； 当a2时， x  x  x 0 1 2 3 （2）当a2时，规范形为y2y2 y2 ； 1 2 3 当a2时，规范形为y2  y2 1 2 x x x 0 1 2 3  【解析】（1）由 f(x ,x ,x )0 可得x x 0 ， 1 2 3 2 3  x ax 0  1 3 1 1 1 1 0 2      则系数矩阵A 0 1 1  0 1 1 得：         1 0 a 0 0 a2     当a2时，r(A)3，此时只有零解即 x  x  x 0 ， 1 2 3 当a2时，r(A)2，此时方程有无穷多解，且通解为 xk(2,1,1)T,kR ； （2）由（1）知，当a2时， A可逆，y  x x x 1 1 2 3  令y  x x ，即Y  AX ，则规范形为 f  y2  y2 y2 ， 2 2 3 1 2 3  y  x ax  3 1 3 当a2时，r(A)2， 1 1 1 此时解EA  0 1 1 0得特征值为  2 ，  0 ， 1 2 3 1 0 2 所以正惯性指数为2，负惯性指数为0，此时规范形为y2  y2 . 1 2 （23）（本题满分11分） 1 2 a   1 a 2     已知 a 是常数，且矩阵A 1 3 0 可经初等列变换化为矩阵B 0 1 1 .         2 7 a 1 1 1     a （1）求 ； （2）求满足AP B的可逆矩阵P. 【答案】（1）a2 6k 3 6k 4 6k 4 1 2 3   （2）P 2k 1 2k 1 2k 1 ，其中 k ,k ,k 为实数，且 k k .  1 2 3  1 2 3 2 3   k k k   1 2 3 【解析】（1）由已知有r(A)r(B)， 1 2 a  1 2 a  1 2 a        而A 1 3 0  0 1 a  0 1 a ，             2 7 a 0 3 3a 0 0 0        1 a 2 1 a 2 1 a 2        B 0 1 1  0 1 1  0 1 1 ，             1 1 1 0 1a 3 0 0 2a       所以2a0，即a2； 1 2 2 1 2 2 1 0 6 3 4 4      （2）(A,B) 1 3 0 0 1 1  0 1 2 1 1 1 ，         2 7 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0     6k 3 6k 4 6k 4 1 2 3   所以方程AX B的解X  2k 1 2k 1 2k 1 ，  1 2 3    k k k   1 2 3且当 X 0即 k k 时，X 可逆， 2 3 6k 3 6k 4 6k 4 1 2 3   则取P 2k 1 2k 1 2k 1 ，其中 k ,k ,k 为任意常数，且 k k ，即为所求.  1 2 3  1 2 3 2 3   k k k   1 2 3