文档内容
2011 年沈阳招生中考数学试题
试题满分150 分 考试时间120 分钟
参考公式：抛物线 的顶点是 ，对称轴是直线 ．
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题4分，共24分）
1.下列各选项中，既不是正数也不是负数的是
A．－1 B．0 C．
(−x3) 2 =−x6
D．π
2．左下图是五个相同的小正方体搭成的几何体，这几个几何体的主视图是
第2题图
A B C D
． ． ． ．
3．下列运算中，一定正确的是
A．m5－m2=m3 B．m10÷m2=m5 C． m•m2=m3D．（2m）5=2m5
4 4 8
x +x =x
4．下列各点中，在反比例函数 图象上的是
A．（－1，8） B．（－2，4） C．（1，7） D．（2，4）
5．下列图形是中心对称图形的是
A D
O
A B C D B C
． ．第5题图 ． ． 第7题图
6．下列说法中，正确的是
A．为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用抽样调查的方式
B．在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳
定
C．某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，3次正面向上，因此正面向上的概率是30%
D．“2012年将在我市举办全运会，这期间的每一天都是晴天”是必然事件．
7．如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
8．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是 25千米 ，但交通比较
拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此
能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，
得
x 2 ⋅x 3 =x 6 xy4 ÷(− xy )=−y 3
A． B．√ 9= (
1+
1 )
⋅
1
=
x−1 x
C． D．
二、填空题（每小题4分，共32分）
k
y=
9．计算 x =___________．
10．不等式2－x≤1的解集为____________．
11．在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是
____________．
12．小窦将本班学生上学方式的调查结果绘制成如图所示的统计图，若步行上学的学生有
27人，则骑车上学的学生有__________人．
A D
骑车 A E D
F
20%
步行
其他
20%
20% B F C
B E C
第14题图
第16题图
第12题图
13．如果一次函数y=4x＋b的图象经过第一、三、四象限，那么b的取值范围是_________．
14．如图，在□ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF=45°，则
∠EDF的度数是__________度．
15．宁宁同学设计了一个计算程序，如下表
输入数据 1 2 3 4 5 ……
输出数据 | (a+b 2 −(a−b) 2) |⋅a 3 2√3 4√3 a ……
5
根据表格中的数据的对应关系，可得a的值是________
16．如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且 AE=EF=FA．下列结：
①△ABE≌△ADF；②CE=CF；③∠AEB=75°；④BE＋DF=EF；⑤S ＋S =S ，其中
△ABE △ADF △CEF
正确的是____________________________（只填写序号）．
一、 解答题（第17、18小题各8分，第19小题10分，共28分）
√ 3
17．先化简，再求值（x＋1）2－（x＋2）(x－2)，其中 ，且x为整数．
18．沈阳地铁一号线的开通运行给沈阳市民的出行方式带来了一些变化．小王和小林准备
利用课余时间，以问卷的方式对沈阳市民的出行方式进行调查．如图是沈阳地铁一号线
图（部分），小王和小林分别从太原街站（用A表示）、南市场站（用B表示）、青年
大街站（用C表示）这三站中，随机选取一站作为调查的站点．
⑴在这三站中，小王选取问卷调查的站点是太原街站的概率是多少？（请直接写出
结果）
⑵请你用列表法或画树状图（树形图）法，求小王选取问卷调查的站点与小林选取问卷调查的站点相邻的概率．（各站点用相应的英文字母表示）
北
沈阳地铁一号线路线图
C
南
中
怀
太 南 青 街
远
原 市 年 站
门
街 场 大
站
站 站 街 第18题图
站
19．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．
⑴求∠DAC的度数；
⑵求证：DC=AB
A
B C
D
第19题图
四、（每小题10分，共20分）
20．某班数学兴趣小组收集了本市4月份30天的日最高气温的数据，经过统计分析获得了
两条信息和一个统计表
信息1 4月份日最高气温的中位数是15.5℃；
信息2 日最高气温是17℃的天数比日最高气温是18℃的天数多4天．
4月份日最高气温统计表
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
气温℃
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
天
2 3 ※ 5 4 ※ ※ 2 2 3
数/天
请根据上述信息回答下列问题：
⑴ 4 月份最高气温是 13℃的有________天，16℃的有_______天，17℃的有__________天.
⑵4月份最高气温的众数是________℃，极差是_________℃。
21．如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OD⊥OB，连接AB交OC于点D．
⑴求证：AC=CD
4
⑵若AC=2，AO=
y=−
27
x2+12
，求OD的长度．
B
O
D
A C
第21题图A
五、（本题10分）
22．小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已
知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO′=2米．当吊臂顶端由A点抬升至A′点（吊臂
长度不变）时，地面 B 处的重物（大小忽略不计）被吊至 B′处，紧绷着的吊缆
A′B′=AB．AB 垂直地面 O′B 于点 B，A′B′垂直地面 O′B 于点 C，吊臂长度
A′
n<
1
AC
√97
A
2
OA′=OA=10米，且cosA= ，sinA′= ．
⑴求此重物在水平方向移动的距离BC；
⑵求此重物在竖直方向移动的距离 B′C． （ 结
B′
果保留根号）
O
O′ C B
第22题图
六、（本题12分）
23．一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．
今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本
比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则
预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x≤11）．
⑴用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为________元，今年生产的
这种玩具每件的出厂价为_________元．
⑵求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．
⑶设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最
大？最大年销售利润是多少万元？
注：年销售利润=（每件玩具的出厂价－每件玩具的成本）×年销售量．七、（本题12分）
24．已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD
为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．
⑴如图1，当点D在边BC上时，
求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；
⑵如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC
是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；
⑶如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条
件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．
F
A A A
F E
B D C B C D D B C
E
图1 图2 图31
第24题图
八、（本题41分）
25．如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于
点C（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
⑴求抛物线的函数表达式；
⑵求直线BC的函数表达式；
⑶点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点
P在第三象限．
4
y=−x2 +12
27
①当线段PQ= AB时，求tan∠CED的值；
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
温馨提示：考生可以根据第⑶问的题意，在图中补出图形，以便作答．y y
1 1
A O 1 B x A O 1 B x
D D
C C
x=1 x=1
第25题图 第25题图备用图
2011 年沈阳中考数学试题参考答案一、选择题（每小题3分，共24分）
1．B 2．C 3．C 4．D 5．D 6．A 7．B 8．A
二、填空题（每小题4分，共32分）
9．4 10．x≥1 11．－4或6 12．9 13．b＜0 14．45 15． 16 ．
①②③⑤
三、解答题（第17、18小题各8分，第19小题10分，共26分）
17．解：原式=x2＋2x＋1－(x2－4)=2x＋5
∵ ＜x＜ ，用x是整数，∴x=3
原式=2×3＋5=11．
18．解：⑴ ．
⑵列表得
小 林 A B C
小王
A （A， （A，B） （A，
A） C）
B （B， （B，B） （B，
A） C）
C （C， （C，B） （C，
A） C）
或画树形图得
小王 小林
A（ A ，
A）
A B（ A ，
B）
C（ A ，
A（C）B ，
A）
B（ B ，
开始 B
B）
C（ B ，
A（C）
C ，
A）
C B（ C ，
B）
C（ C ，
C）
由表格（或树形图）可知，共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中
小王与小林在相邻的两站问卷调查的结果有4种（A，B）（B，A）（B，C）（C，B），因
此小王选取问卷调查的站点与小林选取问卷调查的站点相邻的概率为 ．
19．⑴解：∵AB=AC
∴∠B=∠C=30°∵∠C＋∠BAC＋∠B=180°
∴∠BAC=180°－30°－30°=120°
∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=∠BAC－∠DAB=120°－45°=75°
⑵证明：∵∠DAB=45°
∴∠ADC=∠B＋∠DAB=75°
∴∠DAC=∠ADC
∴DC=AC
∴DC=AB
四、（每小题10分，共20分）
20．解：⑴1，2，6；
⑵17，9
21．⑴证明：∵AC是⊙切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∴∠OAB＋∠CAB=90°．
∵OC⊥OB，
∴∠COB=90°，
∴∠ODB＋∠B=90°．
∵OA=OB
∴∠OAB=∠B，
∴ ∠CAB=∠ODB．
∵∠ODB=∠ADC，
∴∠CAB=∠ADC
∴AC=CD．
⑵解：在Rt△OAC中，OC= =3
∴OD=OC－CD=OC－AC=3－2=1
五、（本题10分）
22．解：⑴过点O作OD⊥AB于点D，交A′C于点E
根据题意可知EC=DB=OO′=2，ED=BC
A′
A
B′
O
D
E
O′ C B
第22题图
∴∠A′ED=∠ADO=90°．在Rt△AOD中，∵cosA= ，
OA=10，
∴AD=6，
∴OD= =8．
在Rt△A′OE中，
∵sinA′= ，
OA′=10
∴ OE=5．
∴BC=ED=OD－OE=8－5=3．
⑵在Rt△A′OE中，
A′E= = ．
∴B′C=A′C－A′B′
=A′E＋CE－AB
=A′E＋CE－（AD＋BD）
= ＋2－（6＋2）
= －6．
答：此重物在水平方向移动的距离 BC是3米，此重物在竖直方向移动的距离 B′C是（
－6）米．
六、（本题12分）
23．解⑴①10＋7x ②2＋6x
⑵y=(12＋6x)－（10＋7x）
y=2－x
⑶∵w=2（1＋x）（2－x）=－2x2＋2x＋4
∴w=－2(x－0.5)2＋4.5
∵－2＜0，0＜x≤11，
∴w有最大值，
∴当x=0.5时，w =4.5（万元）．
最大
答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．
七、（本题12分）
24．⑴①证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°
∵∠DAF=60°
∴∠BAC=∠DAF
∴∠BAD=∠CAF
∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AFA
F
B D C
∴△ABD≌△ACF
∴∠ADB=∠AFC
②结论：∠AFC=∠ACB＋∠DAC成立．
⑵结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC不成立．
∠AFC、，∠ACB、∠DAC之间的等量关系是
∠AFC=∠ACB－∠DAC（或这个等式的正确变式）
证明：∵△ABC为等边三角形
F
A
E
B C D
∴AB=AC
∠BAC=60°
∵∠BAC=∠DAF
∴∠BAD=∠CAF
∵四边形ADEF是菱形
∴AD=AF．
∴△ABD≌△ACF
∴∠ADC=∠AFC
又∵∠ACB=∠ADC＋∠DAC，
∴∠AFC=∠ACB－∠DAC
⑶补全图形如下图
A
D B C
F
E
∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是
∠AFC=2∠ACB－∠DAC
（或∠AFC＋∠DAC＋∠ACB=180°以及这两个等式的正确变式）．
八、（本题14分）
25．⑴∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴
∴b=－2．
∵抛物线与y轴交于点C（0，－3），
∴c=－3，
∴抛物线的函数表达式为y=x2－2x－3．
⑵∵抛物线与x轴交于A、B两点，
当y=0时，x2－2x－3=0．
∴x =－1,x =3.
1 2
∵A点在B点左侧，
∴A（－1，0），B（3，0）
设过点B（3，0）、C（0，－3）的直线的函数表达式为y=kx＋m，
则 ，∴
∴直线BC的函数表达式为y=x－3．
⑶①∵AB=4，PO= AB，
∴PO=3
∵PO⊥y轴
∴PO∥x轴，则由抛物线的对称性可得点P的横坐标为 ，
∴P（ ， ）
y
1
A O E 1 B x
P F Q
G D
C
x=1
∴F（0， ），
∴FC=3－OF=3－ = ．∵PO垂直平分CE于点F，
∴CE=2FC=
∵点D在直线BC上，
∴当x=1时，y=－2，则D（1，－2）．
过点D作DG⊥CE于点G，
∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE－CG= －1= ．
在Rt△EGD中，tan∠CED= ．
②P （1－ ，－2），P （1－ ， ）．
1 2
