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2024 年中考第一次模拟考试（上海卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、 与 不是同类二次根式，
B、 与 不是同类二次根式，
C、 与 是同类二次根式，
D、 与 不是同类二次根式.
故选C．
2．将抛物线 向左平移2个单位后，所得新抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移2个单位，
所得抛物线的解析式为：y=（x+2）2，故选D．
3．已知在四边形 中， ，添加下列一个条件后，一定能判定四边形 是平行四边形的
是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】A、B.∵在四边形ABCD中， ，
∴ 或 ，都不能判定四边形ABCD为平行四边形，故A、B错误；
C.∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∴四边形ABCD为平行四边形，故C正确．
D.当 时，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故D错误．
故选C．
4．在线段、等边三角形、等腰梯形、平行四边形中，一定是轴对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①线段是轴对称图形，
②等边三角形是轴对称图形，
③等腰梯形是轴对称图形，
④平行四边形不是轴对称图形，
综上所述，一定是轴对称图形的是①②③共3个．
故选C．
5．对于数据：6,3,4,7,6,0,9．下列判断中正确的是（ ）
A．这组数据的平均数是6，中位数是6 B．这组数据的平均数是6，中位数是7
C．这组数据的平均数是5，中位数是6 D．这组数据的平均数是5，中位数是7
【答案】C
【解析】对于数据：6，3，4，7，6，0，9，这组数据按照从小到大排列是：0，3，4，6，6，7，9，
这组数据的平均数是： 中位数是6，故选C.
6．如图，在 ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙B的半径为1，已知⊙A与直线BC相交，且与⊙B没
有公共点△，那么⊙A的半径可以是（ ）A．4 B．5 C．6 D．7.
【答案】D
【解析】根据勾股定理得：AB=5，根据题意，⊙A与直线BC相交，所以⊙A的半径的取值范围是大
于3；又⊙A与⊙B没有交点，则 r＜5-1=4或r＞5+1=6，∴3＜r＜4或r＞6．故选D．
二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
7． 的相反数是 ．
【答案】-
【解析】 的相反数是﹣ ，故答案为﹣ ．
8．在四边形ABCD中，向量 、 满足 =-4 ，那么线段AB与CD的位置关系是 ．
【答案】平行
【解析】∵ = -4 ，∴ 与 是共线向量，由于 与 没有公共点，
∴AB∥CD，故答案为平行．
9．如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠A＝45o，将这个三角形绕点B旋转，使点A落在射线AC
上的点A 处，点C落在点C 处，那么AC ＝ ．
1 1 1
【答案】
【解析】如图，连接AC ，
1由旋转知，△ABC≌△ABC ，
1 1
∴AB＝AB＝3，AC＝AC ＝2，∠CAB＝∠C AB＝45°，
1 1 1 1 1
∴∠CAB＝∠CAB＝45°，
1
∴△ABA 为等腰直角三角形，∠AA C ＝∠CAB+∠C AB＝90°，
1 1 1 1 1 1
在等腰直角三角形ABA 中，AA ＝ AB＝3 ，
1 1
在Rt△AA C 中， ．
1 1
故答案为 ．
10．计算： = ．
【答案】m
【解析】m3÷（-m）2=m3÷m2=m．故答案为m．
11．不等式组 的整数解是 ．
【答案】x=2
【解析】 ，由①得 x＞1，由②得x＜ ，∴1＜x＜ ，
∵x取整数，∴x=2．故答案为x=2．
12．方程 的根是 ．
【答案】x=1
【解析】原方程变形为x（x-1）=0，∴x=0或x-1=0，
∴x=0或x=1，
∴x=0时，被开方数x-1=-1＜0，
∴x=0不符合题意，舍去，
∴方程的根为x=1，
故答案为x=1．
13．如果正比例函数 的图像经过第一、三象限，那么 的取值范围是 ．
【答案】k>3
【解析】因为正比例函数y=（k-3）x的图象经过第一、三象限，
所以k-3＞0，解得：k＞3，故答案为k＞3．
14．如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高4米，背水坡AB和迎水坡CD的
坡度都是1:0.5，那么坝底宽BC是 米.
【答案】10
【解析】过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，
由题意可得：AD=EF=6m，AE=DF=4m，
∵背水坡AB和迎水坡CD的坡度都是1：0.5，
∴BE=FC=2m，
∴BC=BE+FC+EF=6+2+2=10（m）．
故答案为10．
15．已知 ABC，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC ， ．如果设 ， ，那么
△
= ．（用向量 、 的式子表示）【答案】
【解析】如图，
， ， ，
，
，
，
故答案为 ．
16．一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，掷一次骰子，掷的点数大于2的概率
是 ．
【答案】
【解析】∵在这6种情况中，掷的点数大于2的有3，4，5，6共4种结果，
∴掷的点数大于2的概率为 ，
故答案为： .
17．如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置，已知 的面积为16，阴影部分三角
形的面积为9，如果 ，那么 的长为 ．
【答案】3【解析】如图，
∵S =16、S =9，且AD为BC边的中线，
ABC A′EF
△ △
∴ ， ，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，
则 ， ，解得A′D=3或 （舍），
故答案为3．
18．如果当a≠0，b≠0，且a≠b时，将直线y=ax+b和直线y=bx+a称为一对“对偶直线”，把它们的公共点
称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为(1，4)的一对“对偶直线”： ．
【答案】
【解析】把（1,4）代入 得：a+b=4
又因为 ， ，且 ，
所以当a=1是b=3
所以“对偶点”为（1,4）的一对“对偶直线”可以是：
故答案为 .
第Ⅱ卷
三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算： ．【解析】原式＝
＝2+3 +3﹣2 ﹣1
＝ ．（10分）
20．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝ 经过第一象限内的点A，延长OA到
点B，使得BA＝2AO，过点B作BH⊥x轴，垂足为点H，交双曲线于点C，点B的横坐标为6．
求：（1）点A的坐标；
（2）将直线AB平移，使其经过点C，求平移后直线的表达式．
【解析】（1）作AD⊥x轴，垂足为D，
∵BH⊥x轴，AD⊥x轴，∴∠BHO＝∠ADO＝90°，∴AD∥BH，
∵BA＝2AO，
，
∵点B的横坐标为6，∴OH＝6，∴OD＝2，
∵双曲线y＝ 经过第一象限内的点A，可得点A的纵坐标为3，
∴点A的坐标为（2，3）；（2）∵双曲线y＝ 上点C的横坐标为6，∴点C的坐标为（6，1），
由题意得，直线AB的表达式为 ,
∴设平移后直线的表达式为 +b，
∵平移后直线 +b经过点C（6，1），∴ +b
解得b＝﹣8，
∴平移后直线的表达式 -8．
21．（10分）如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，
CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的
限高数值（即点D到AB的距离）．
【解析】如图，延长CD交AB于E，
∵i＝1：2.4，∴ ，∴ ，
∵AC＝7.2，∴CE＝3，∵CD＝0.4，∴DE＝2.6，
过点D作DH⊥AB于H，∴∠EDH＝∠CAB，
∵ ，∴ ，
.
答：该车库入口的限高数值为2.4米．
22．（10分）已知：如图，在矩形 中，过 的中点 作 ，分别交 、 于点 、 .（1）求证：四边形 是菱形；
（2）如果 ，求 的度数.
【解析】 证明： 四边形ABCD为矩形， ， ，
点M为AC的中点， ．
在 与 中， ，
≌ ， ． 四边形AECF为平行四边形，
又 ， 平行四边形AECF为菱形；
解： ， ，
又 四边形ABCD为矩形， ，
又 ， ∽ ， ，
四边形AECF为菱形， ，即 ，
四边形ABCD为矩形，
，
即 ．
23．（12分）如图，已知四边形 菱形，对角线 相交于点 ， ，垂足为点 ，交
于点 ，连接 并延长交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．【解析】（1）∵四边形 是菱形，
， ，
， ，
， ， ，
， ，
， ，
， ．
（2） ， ， ，
， ，
，
又 ， ，
∽ ， ，
， ，∴ ．
24．（12分）已知：抛物线 ，经过点A(-1,-2)，B(0,1).
（1）求抛物线的关系式及顶点P的坐标.
（2）若点B′与点B关于x轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m个单位，平移后的抛物线经过点
B′，设此时抛物线顶点为点P′.
①求∠P′B B′的大小.
②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M处，设点N在（1）中的抛物线上，
当△MN B′的面积等于6 时，求点N的坐标.【解析】（1）把点A（-1，-2），B（0,1），
代入 得 ，解得 ，
∴抛物线的关系式为： ，得y=-(x-1)2+2；
∴顶点坐标为 .
（2）①设抛物线平移后为 ，代入点B’(0,-1)得，
-1=-(m-1)2+2解得 ， （舍去）；
∴ ，得顶点
连结 ，P’B’，作P’H⊥y轴，垂足为 ，
得 ,HB=1，P’B= =2
∵ ,
∴ ,
∴ .
②∵ , 即 ,
∴ ;
∵线段 以点 为旋转中心顺时针旋转 ，点 落在点 处;∴ ,
∴ 轴， ;
设 在 边上的高为 ，得： ，解得 ；
∴设 或 分别代入 得
解得： 或
∴ 或 ，
方程无实数根舍去，
∴综上所述：当 时，点 的坐标为 或 .
25．（14分）如图，已知 ABC，AB= ， ，∠B=45°，点D在边BC上，联结AD， 以点A为
△
圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E，点F在圆A上，且AF⊥AD．
（1）设BD为x，点D、F之间的距离为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）如果E是 的中点，求 的值；
（3）联结CF，如果四边形ADCF是梯形，求BD的长 ．【解析】（1）过点 作AH⊥BC，垂足为点H．
∵∠B=45°，AB= ，∴ ．
∵BD为x，∴ ．
在Rt 中， ，∴ ．
△
联结DF，点D、F之间的距离y即为DF的长度．
∵点F在圆A上，且AF⊥AD，∴ ， ．
在Rt 中， ，∴ ．
△
∴ ． ;
（2）∵E是 的中点，∴ ， 平分 ．
∵BC=3，∴ ．∴ ．
设DF与AE相交于点Q，在Rt 中， ， ．
△
在Rt 中， ， ．
△
∵ ，∴ ．设 ， ，
∵ ， ，∴ ．
∵ ，∴ ．
（3）如果四边形ADCF是梯形
则①当AF∥DC时， ．
∵ ，∴ ，即点D与点H重合． ∴ ．
②当AD∥FC时， ．
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ ∽ ．∴ ．
∵ ， ．
∴ ．即 ,
整理得 ，解得 （负数舍去）．
综上所述，如果四边形ADCF是梯形，BD的长是1或 ．
