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2013年浙江省台州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，
不选、多选、错选均不得分）
1．（4分）﹣2的倒数为（ ）
A．﹣ B． C．2 D．1
2．（4分）有一篮球如图放置，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）三门湾核电站的1号机组将于2013年的10月建成，其功率将达到1 250 000千瓦．
其中1 250 000可用科学记数法表示为（ ）
A．125×104 B．12.5×105 C．1.25×106 D．0.125×107
4．（4分）下列四个艺术字中，不是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，
气体的密度也随之改变．密度 （单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）满足函数关系式 ＝
ρ ρ
（k为常数，k≠ 0），其图象如图所示，则k的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．4 D．﹣4
6．（4分）甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都约为8.8环，方差
第1页（共19页）分别为s ＝0.63，s ＝0.51，s ＝0.48，s ＝0.42，则四人中成绩最稳定的是（
）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（4分）若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
A．ac＞bc B．ab＞cb C．a+c＞b+c D．a+b＞c+b
8．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且 ，则S△ADE ：S四边形
的值为（ ）
BCED
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
9．（4分）如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，
且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕
中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（ ）
A．3 B．4﹣ C．4 D．6﹣2
10．（4分）已知△A B C ，△A B C 的周长相等，现有两个判断：
1 1 1 2 2 2
若A B ＝A B ，A C ＝A C ，则△A B C ≌△A B C ；
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2
①若∠A
1
＝∠A
2
，∠B
1
＝∠B
2
，则△A
1
B
1
C
1
≌△A
2
B
2
C
2
，
②对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）
A． 正确， 错误 B． 错误， 正确
① ② ① ②
第2页（共19页）C． ， 都错误 D． ， 都正确
二、填①空题（②本题有6小题，每小题5分，共30分）① ②
11．（5分）计算：x5÷x3＝ ．
12．（5分）设点M（1，2）关于原点的对称点为M′，则M′的坐标为 ．
13．（5分）如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B＝∠F＝72°，则∠D＝
度．
14．（5分）如图，在 O中，过直径AB延长线上的点C作 O的一条切线，切点为D．若AC
＝7，AB＝4，则⊙sinC的值为 ． ⊙
15．（5分）在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，他们的标号分别是2，3，4，从袋
中随机地摸取一个小球然后放回，再随机的摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为
5的概率是 ．
16．（5分）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[ ]＝1．现对72进行如
下操作：72 [ ]＝8 [ ]＝2 [ ]＝1，这样对72只需进行3次操作
后变为1，类似的， 对81只需进行 次操作后变为1； 只需进行3次操作后变
为1的所有正整数中①，最大的是 ． ②
三、解答题（本题有8小题，第17~20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第
24题14分，满分80分）
17．（8分）计算：3×（﹣2）+|﹣4|﹣（ ）0．
18．（8分）化简：（x+1）（x﹣1）﹣x2．
19．（8分）已知关于x，y的方程组 的解为 ，求m，n的值．
20．（8分）在某校班际篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1
第3页（共19页）分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜多少场？
21．（10分）有一学校为了解九年级学生某次体育测试成绩，现对这次体育测试成绩进行抽样
调查，结果统计如下，其中扇形统计图中C组所在的扇形的圆心角为36°
被抽取的体育测试成绩频数分布表
组别 成绩 频数
A 20＜x≤24 2
B 24＜x≤28 3
C 28＜x≤32 5
D 32＜x≤36 b
E 36＜x≤40 20
合计 a
根据上面的图表提供的信息，回答下列问题：
（1）计算频数分布表中a与b的值；
（2）根据C组28＜x≤32的组中值30，估计C组中所有数据的和为 ；
（3）请估计该校九年级学生这次体育测试成绩的平均分（结果取整数）．
22．（12分）如图，在 ▱ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE＝BF，把平行四边形沿直线
EF折叠，使得点B，C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，
B′G．
求证：（1）∠1＝∠2；
（2）DG＝B′G．
第4页（共19页）23．（12分）如图1，已知直线l：y＝﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y＝（x﹣1）2+k经过点A，其
顶点为B，另一抛物线y＝（x﹣h）2+2﹣h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．
（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；
（2）设交点C的横坐标为m．
交点C的纵坐标可以表示为： 或 ，由此进一步探究m关于h的函数关
①系式；
如图2，若∠ACD＝90°，求m的值．
②
24．（14分）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三
角形”．
（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；
（2）如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，求证：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝2 ，点P，Q从点A同时出发，以相同速
度分别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动，β记点P经过的路程为s．
当 ＝45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求 的值；
① β
当tan 的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好
②玩三角形β”．请直接写出tan 的取值范围．
（4）（本小题为选做题） β
依据（3）的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tan 的取值范围与△APQ
是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数β限定不能为1）
第5页（共19页）第6页（共19页）2013年浙江省台州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，
不选、多选、错选均不得分）
1．【分析】根据倒数的定义即可求解．
【解答】解：﹣2的倒数是：﹣ ．
故选：A．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个
数互为倒数．
2．【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形可直接得到答案．
【解答】解：篮球的主视图是圆．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现
在三视图中．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1 250 000用科学记数法表示为1.25×106．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】根据轴对称的定义，结合各选项进行判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，判断是轴对称图形的关键是寻找对称轴．
5．【分析】由图象可知，反比例函数图象经过点（6，1.5），利用待定系数法求出函数解形式即
第7页（共19页）可求得k值．
【解答】解：由图象可知，函数图象经过点（6，1.5），
设反比例函数为 ＝ ，
ρ
则1.5＝ ，
解得k＝9，
故选：A．
【点评】此题主要考查图象的识别和待定系数法求函数解析式．同学们要认真观察图象．
6．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，
表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵S ＝0.63，S ＝0.51，S ＝0.48，S ＝0.42，
∴S 最小，
∴四人中成绩最稳定的是丁；
故选：D．
【点评】此题考查了方差，用到的知识点是方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大
小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方
差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7．【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后根据不等式的性质解答．
【解答】解：由图可知，a＜b＜0，c＞0，
A、ac＜bc，故本选项错误；
B、ab＞cb，故本选项正确；
C、a+c＜b+c，故本选项错误；
D、a+b＜c+b，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，不等式的基本性质，根据数轴判断出a、b、c的正负情况
是解题的关键．
8．【分析】首先根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，证得△ADE∽△ACB，再由
相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．
【解答】解：在△ADE与△ACB中，
第8页（共19页），
∴△ADE∽△ACB，
∴S△ADE ：S△ACB ＝（AE：AB）2＝1：4，
∴S△ADE ：S四边形BCED ＝1：3．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积的比等于相似比的
平方．
9．【分析】首先得到当点E旋转至y轴上时DE最小，然后分别求得AD、OE′的长，最后求得
DE′的长即可．
【解答】解：如图，当点E旋转至y轴上时DE最小；
∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC
∵AB＝BC＝2
∴AD＝AB•sin∠B＝ ，
∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，
∴OE＝OE′＝2
∵点A的坐标为（0，6）
∴OA＝6
∴DE′＝OA﹣AD﹣OE′＝4﹣
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，解题的关键是从图形中整理出
直角三角形．
10．【分析】根据SSS即可推出△A B C ≌△A B C ，判断 正确；根据相似三角形的性质和
1 1 1 2 2 2
①
第9页（共19页）判定和全等三角形的判定推出即可．
【解答】解：∵△A B C ，△A B C 的周长相等，A B ＝A B ，A C ＝A C ，
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
∴B C ＝B C ，
1 1 2 2
∴△A B C ≌△A B C （SSS），∴ 正确；
1 1 1 2 2 2
∵∠A 1 ＝∠A 2 、∠B 1 ＝∠B 2 ， ①
∴△A B C ∽△A B C ，
1 1 1 2 2 2
设相似比为k，即 ＝ ＝ ＝k，
∴ ＝k，
∵△A B C ，△A B C 的周长相等，
1 1 1 2 2 2
∴k＝1，
即A B ＝A B ，B C ＝B C ，A C ＝A C ，
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
∴△A B C ≌△A B C ，∴ 正确；
1 1 1 2 2 2
故选：D． ②
【点评】本题考查了全等三角形的判定、相似三角形的性质和判定，能综合运用定理进行
推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，而AAA和
SSA不能判断两三角形全等．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．【分析】利用同底数的幂的除法法则：底数不变，指数相减即可求解．
【解答】解：x5÷x3＝x5﹣3＝x2．
故答案是：x2．
【点评】本题考查了同底数的幂的除法法则：底数不变指数相减．
12．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相
反可直接得到答案．
【解答】解：点M（1，2）关于原点的对称点M′的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握点的坐标的变化
规律．
13．【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE＝∠B，∠DEC＝∠F，再利用三角形的
第10页（共19页）内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥DC，DE∥GF，∠B＝∠F＝72°，
∴∠DCE＝∠B＝72°，∠DEC＝∠F＝72°，
在△CDE中，∠D＝180°﹣∠DCE﹣∠DEC＝180°﹣72°﹣72°＝36°．
故答案为：36．
【点评】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟
记性质与定理是解题的关键．
14．【分析】连接OD，根据切线的性质可得∠ODC＝90°，可得sin∠C＝ 即可求解．
【解答】解：连接OD，
∵CD是 O的切线，
∴∠ODC⊙＝90°，
∵AC＝7，AB＝4，
∴半径OA＝2，
则OC＝AC﹣AO＝7﹣2＝5，
∴sinC＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算
或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
15．【分析】列表得出所有可能的情况数，找出之和为5的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
2 3 4
2 （2，2） （3，2） （4，2）
3 （2，3） （3，3） （4，3）
4 （2，4） （3，4） （4，4）
所有等可能的结果有9种，其中之和为5的情况有2种，
第11页（共19页）则P之和为5 ＝ ．
故答案为：
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
16．【分析】 根据规律依次求出即可；
要想确定①只需进行3次操作后变为1的所有正整数，关键是确定二次操作后数的大小
②不能大于4，二次操作时根号内的数必须小于16，而一次操作时正整数255却好满足这一
条件，即最大的正整数为255．
【解答】解： [ ]＝9，[ ]＝3，[ ]＝1，
故答案为：3；①
最大的是225，
②[ ]＝15，[ ]＝3，[ ]＝1，而[ ]＝16，[ ]＝4，[ ]＝2，[ ]＝1，
即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255，
故答案为：255．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力．
三、解答题（本题有8小题，第17~20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第
24题14分，满分80分）
17．【分析】分别进行零指数幂、绝对值、有理数的乘法运算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣6+4﹣1＝﹣3．
【点评】本题考查了实数的运算，属于基础题，掌握各部分的运算法则．
18．【分析】原式第一项利用平方差公式化简，合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝x2﹣1﹣x2＝﹣1．
【点评】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号
法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
19．【分析】将x＝1，y＝2代入方程中得到关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n
的值即可．
【解答】解：将 代入方程组中
第12页（共19页）得： ，
解得： ．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未
知数的值．
20．【分析】设这个班要胜x场，则负（28﹣x）场，根据题意列出不等式，解不等式即可求出至
少要胜几场．
【解答】解：设这个班要胜x场，则负（28﹣x）场，
由题意得，3x+（28﹣x）≥43，
2x≥15，
解得：x≥7.5，
∵场次x为正整数，
∴x≥8．
答：这个班至少要胜8场．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，难度一般，解答本题的关键是表示出胜场得
分和输场得分并列出不等式．
21．【分析】（1）首先根据圆心角的度数＝360°×百分比可算出C部分所占百分比，再利用总
数＝频数÷百分比可得总数a；利用总数减去各部分的频数和可得b的值；
（2）利用组中值×频数即可；
（3）首先利用平均数的求法计算出样本平均数，再利用样本估计总体的方法可得该校九年
级学生这次体育测试成绩的平均分．
【解答】解：（1）a＝5÷ ＝50，
b＝50﹣（2+3+5+20）＝20；
（2）30×5＝150；
（3） ＝34.24≈34（分）．
可用样本的平均分来估计总体的平均分，
因此该校九年级学生这次体育测试成绩平均分约34分．
第13页（共19页）【点评】此题主要考查了频数分布表和扇形图，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活
多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形势给出的数学实际问题．
22．【分析】（1）根据平行四边形得出DC∥AB，推出∠2＝∠FEC，由折叠得出∠1＝∠FEC＝
∠2，即可得出答案；
（2）求出EG＝B′G，由平行线的性质推出∠DEG＝∠EGF＝∠B′FG，求出DE＝B′F，
证△DEG≌△B′FG即可．
【解答】证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，
∴∠2＝∠FEC，
由折叠得：∠1＝∠FEC，
∴∠1＝∠2；
（2）∵∠1＝∠2，
∴EG＝GF，
∵AB∥DC，
∴∠DEG＝∠EGF，
由折叠得：EC′∥B′F，
∴∠B′FG＝∠EGF，
∴∠DEG＝∠B′FG，
∵DE＝BF＝B′F，
∴DE＝B′F，
∴△DEG≌△B′FG（SAS），
∴DG＝B′G．
【点评】本题考查了平行四边形性质，折叠性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的
应用，主要考查学生的推理能力．
23．【分析】（1）首先求得点A的坐标，然后求得点B的坐标，用h表示出点D的坐标后代入
直线的解析式验证即可；
（2）根据两种不同的表示形式得到m和h之间的函数关系即可；过点C作y轴的垂线，垂
足为E，过点D作DF⊥CE于点F，证得△ACE∽△CDF，然后用m表示出点C和点D的
坐标，根据相似三角形的性质求得m的值即可．
【解答】解：（1）当x＝0时候，y＝﹣x+2＝2，
∴A（0，2），
第14页（共19页）把A（0，2）代入y＝（x﹣1）2+k，得1+k＝2
∴k＝1，
∴y＝（x﹣1）2+1，
∴B（1，1）
∵D（h，2﹣h）
∴当x＝h时，y＝﹣x+2＝﹣h+2＝2﹣h
∴点D在直线l上；
（2） （m﹣1）2+1或（m﹣h）2﹣h+2
由题意①得（m﹣1）2+1＝（m﹣h）2﹣h+2，
整理得2mh﹣2m＝h2﹣h
∵h＞1
∴m＝ ＝ ．
过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F
②∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝∠CDF
又∵∠AEC＝∠DFC
∴△ACE∽△CDF
∴
又∵C（m，m2﹣2m+2），D（2m，2﹣2m），
∴AE＝m2﹣2m，DF＝m2，CE＝CF＝m
∴ ＝
∴m2﹣2m＝1
解得：m＝± +1
∵h＞1
∴m＝ ＞
∴m＝ +1
第15页（共19页）【点评】本题考查了二次函数的综合知识，特别是本题中涉及到的用点的坐标表示有关线
段的长更是解决本题的关键，在中考中出现的频率很高．
24．【分析】（1）先画一条线段AB，再确定AB的中点O，以点O为圆心，AB为半径画圆，在
圆O上取一点C，连接AC、BC，则△ABC是所求作的三角形；
（2）取AC的中点D，连接BD，设BC＝ x，根据条件可以求出AC＝2x，由三角函数可以
求出BD＝2x，从而得出AC＝BD，从而得出结论；
（3） 当 ＝45°时，分情况讨论，P点在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是
“好玩①三角β形”，当P在BC上时，延长AB交QP的延长线于点F，可以求出分情况讨论，
就可以求出 ，再分情况讨论就可以求出当AE＝PQ时， 的值，当AP＝QM时，
可以求出 的值；
根据 求出的两个 的值就可以求出tan 的取值范围；
② ① β
（4）由（3）可以得出0＜tan ＜ ，△APQ为“好玩三角形”的个数为2就是真命题．
β
【解答】解：（1）如图1， 作一条线段AB，
作线段AB的中点O， ①
②以点O为圆心，AB为半径画圆，
③在圆O上取一点C，连接AC、BC，
④∴△ABC是所求作的三角形（点E、F除外）．
（2）如图2，取AC的中点D，连接BD
∵∠C＝90°，tanA＝ ，
第16页（共19页）∴
∴设BC＝ x，则AC＝2x，
∵D是AC的中点，
∴CD＝ AC＝x
∴BD＝ ＝ ＝2x，
∴AC＝BD
∴△ABC是“好玩三角形”；
（3） 如图3，当 ＝45°，点P在AB上时，
∴∠A①BC＝2 ＝90°，β
∴△APQ是等β腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，
当P在BC上时，连接AC交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，
∵PC＝CQ，
∴∠CAB＝∠ACP，∠AEF＝∠CEP，
∴△AEF∽△CEP，
∴ ．
∵PE＝CE，
∴ ．
Ⅰ当底边PQ与它的中线AE相等时，即AE＝PQ时，
，
∴ ，
Ⅱ当腰AP与它的中线QM相等，即AP＝QM时，
作QN⊥AP于N，如图4
∴MN＝AN＝ MP．
∴QN＝ MN，
第17页（共19页）∴tan∠APQ＝ ，
∴tan∠APE＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝
由 可知，当AE＝PQ和AP＝QM时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”，
② ①
∴ ＜tan ＜2时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．
β
（4）由（3）可以知道0＜tan ＜ ，
β
则在P、Q的运动过程中，使得△APQ成为“好玩三角形”的个数为2．
【点评】本题是一道相似形综合运用的试题，考查了相似三角形的判定及性质的运用，勾
股定理的运用，等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，锐角三角形函
数值的运用，解答时灵活运用三角函数值建立方程求解是解答的关键．
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