文档内容
2024 年中考第二次模拟考试（泰州卷）
数学·全解全析
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分150分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无
效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、
考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他
答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列算式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：A、 与 不是同类项，不能运算，故本选项错误，不符合题意；
B、 ，故本选项错误，不符合题意；
C、 ，故本选项错误，不符合题意；
D、 ，本选项正确，符合题意．
故选：D．
2．中国旅游研究院近期发布《中国旅游经济蓝皮书（ ）》，预计 年国内旅游人数约为 亿
人次，同比增长 ，其中“ 亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解： 亿 ．
故选：A．3．若直角三角形的两直角边长为 ， ，且满足 ，则该直角三角形的斜边上的高为
（ ）
A．5 B．4 C． D．2
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
∴ ，
由勾股定理得：斜边 ，
设该直角三角形的斜边上的高为h，
∴
解得 ．
故选：C．
4．物理实验中，小明研究一个小木块在斜坡上滑下时的运动状态，如图，斜被为 ， ，
，小木块 在斜坡 上，且 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解： ， ，
，
，
．
故选：B．
5．下列说法中，正确的个数有（ ）个（1）两点之间的所有连线中，线段最短；
（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（3）同一平面内，两直线的位置关系是相交、平行和垂直
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
（5）直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】解：（1）两点之间的所有连线中，线段最短，原说法正确；
（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确；
（3）同一平面内，两直线的位置关系是相交或平行，原说法错误；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，原说法正确；
（5）直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原说法错误；
∴说法正确的有3个，
故选：B．
6．如图1，矩形 中，点 为 的中点，动点 从点 出发，沿折线 匀速运动，到达点
时停止运动，连接 、 ，设 为 ， 为 ，且 关于 的函数图象如图2所示，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：由图知，当 时， ，即当 在 点时 ，
点 为 的中点，，
，
当 在 上运动时， 慢慢增大， 到 点时，从图中的拐点可知，此时 ，
，当 在 上运动时， 先减小再增大，直到 到达 点时，此时 最长
，
，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
7．若代数式 有意义，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】解：由题意得 ，
．
故答案为： ．
8．因式分解： ．
【答案】
【解析】解：
．
9．若点 在函数 的图象上，且 ，则 （填“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】解：∵反比例函数 中的 ，
∴该函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
10．如图，四边形 是 的内接四边形，若 ，则 的度数是 °．【答案】140
【解析】 ，
，
，
，
故答案为： ．
11．已知实数a，b是方程 的两根，则 的值为 ．
【答案】
【解析】解：∵实数a，b是方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
12．已知三角形的三边长分别为5，8， ，则x的取值范围是 ．
【答案】
【解析】解：∵三角形的三边长分别为5，8， ，
根据三角形的三边关系可得： ，
解得 ，
故答案为： ．
13．二次函数 图象经过点 ，且图象对称轴为直线 ，则方程
的解为 ．
【答案】1或3【解析】解：由二次函数图象可得，
抛物线 图象经过点 ，对称轴是直线 ，
则抛物线一定经过点 关于直线 的对称点 ，
当 时，关于x的方程 的两个解为： ， ．
∴方程 的解为 ， ；
故答案为：1或3．
14．如图，将矩形 绕点A逆时针旋转 得到矩形 ，若点C， 恰好在同一直线上，且
，则 的长为 ．
【答案】 /
【解析】解：设 ，
将矩形 绕点 逆时针旋转 得到矩形 ，
， ， ，
，
， ， 共线，
∵ ，
，
，即 ，
解得 或 （舍去），
经检验， 是方程的解，也符合题意，
的长为 ；故答案为： ．
15．如图，把矩形 沿 折叠， 的对应点为 ，点A在线段 上，若
，则 ．
【答案】 /
【解析】解：如图，设 交 于点 ，
， ，
，
四边形 为矩形，
， ， ，
由折叠可知， ， ， ， ，
在 中， ，
， ，
，
，
，
，即 ，， ，
，
， ，
，
，即 ，
，
，
．
故答案为： ．
16．如图，已知 中， ， ， ．点 M 是线段 上一动点，过点 M 作
交 于点N，当点M从点A运动到点C的过程中，点N经过的路径长是 ．
【答案】 /
【解析】解：如图所示， 过点A作 分别交 于H、E，
∵ ，
∴ ，
设 ，
由勾股定理得 ，∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
取 的中点O，连接 ，
∵ ，
∴点M在以点O为圆心， 为圆心的圆上运动，
当 最大时， 最小，即此时 最小，
又∵当圆O与 相切时才有 最小，
∵当圆O与 相切时， 最大，
∴此时 ，
同理可设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当点M在点A时，点N在点E，当点M从点A运动到圆O与 相切时，点N从点E运动到 最大时的
位置，M继续运动到点B时，点N从 最大时的位置运动到点C的位置，
∴整个过程中点N的运动路径长为 ，故答案为： ．
三、解答题（本大题共10个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（12分）17．（1）计算： ．
（2）化简： ．
【解析】解：（1）原式
；
（2）原式
．
（8分）18．某电商根据市场需求购进一批 两种型号的电脑小音箱进行销售，每台 型音箱的进价比
A型音箱的进价多 元，用 元购进A型音箱与用 元购进B型音箱的台数相同．
(1)求A， 两种型号的电脑小音箱每台的进价：
(2)该电商计别购进A，B两种型号的电脑小音箱共 台进行销售，其中A型音箱台数不少于B型音箱台数的 倍，A型音箱每台售价为 元，B型音箱每台售价为 元，怎样安排进货才能使售完这 台电脑
小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？
【解析】（1）解：设每台A型音箱的进价为 元，每台 型音箱的进价为 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：每台A型音箱的进价为 元，则每台 型音箱的进价为 元；
（2）解：设所获利润是 元，购进 台A型音箱，则购进 台 型音箱，
根据题意得： ，
型音箱台数不少于 型音箱台数的 倍，
，
解得 ，
，
随 的增大而减小，
当 时，w取最大值，最大值为 ．
答：购进 台A型音箱，购进 台 型音箱所获利润最大，最大利润是 元．
（8分）19．某公司的午餐采用自助的形式，并倡导员工“适度取餐，减少浪费”．该公司共有15个部门，
且各部门的人数相同．为了解午餐的浪费情况，公司从这15个部门中随机抽取了 ， 两个部门，进行了
连续四周（20个工作日）的调查，得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”
（单位：千克），并对这些数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a． 部门每日餐余重量的频数分布直方图如图（数据分成6组： ， ， ， ，
， ）；
b． 部门每日餐余重量在 这一组的是： ；
c． 部门每日餐余重量如下：
第1周 1.4 2.8 6.9 7.8 1.9
第2周 6.9 2.6 7.5 6.9 9.5
第3周 9.7 3.1 4.6 6.9 10.8
第4周 7.8 8.4 8.3 9.4 8.8
d． ， 两个部门这20个工作日每日餐余重量的平均数、中位数、众数如下：
中位
部门 平均数 众数
数
6.4 7.0
6.6 7.2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中 ， 的值， ______， ______；
(2)根据以上数据，在 ， 这两个部门中，你认为“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是哪个？请说
明理由．
(3)结合 ， 这两个部门20个工作日每日餐余重量的数据，估计这两个部门在一年（按240个工作日计
算）中餐余重量不低于8千克的总天数．
【解析】（1）根据题意，中位数落在 ，前面数据为8个，中位数是第10个，11个数
据的平均数，
中位数 （千克），
千克出现了4次，出现的次数最多，
众数 （千克），
故答案为： ．
（2）在A，B这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是A，理由是A部门每日餐余重量
的平均数和中位数都小于B部门每日餐余重量的平均数和中位数；
故选择A．
（3）根据题意，得A部门餐余重量不低于8千克的总天数为6天．B部门餐余重量不低于8千克的总天数为7天．
根据题意，得 （天）．
（8分）20．某班主任对班里学生错题整理情况进行调查，反馈结果分为A、B、C、D 四类，其中 A类表
示“经常整理”；B类表示“有时整理”；C类表示“很少整理”；D类表示“从不整理”，并把调查结
果制成如下所示不完整的扇形统计图和条形统计图：
请你根据上图提供的信息解答下列问题：
(1)扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为_______°；
(2)请补全条形统计图；
(3)类别D的4名学生中有3名男生和1名女生，班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请
用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生恰好都是男生的概率．
【解析】（1）解：参加这次调查的学生总人数为 （人 ，
类别 的学生人数为 （人 ，
类别 所对应扇形的圆心角度数为： ．
故答案为：54；
（2）解：补全统计图如下：；
（3）解：根据题意列表得：
男1 男2 男3 女
男1 男2男1 男3男1 女男1
男2 男1男2 男3男2 女男2
男3 男1男3 男2男3 女男3
女 男1女 男2女 男3女
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中都是男生的有6种可能．
所以所选取的2名学生恰好都是男生的概率为 ．
（10分）21．如图，在 中， ，用剪刀沿其 边上的中线 将 剪成两部
分，将 沿 进行折叠，得到 ，连接 交 于F点．
(1)判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的长．
【解析】（1）证明：四边形 为菱形；理由如下：
∵ 为 的中线，
∴ ，
由折叠可知：
∴∴四边形 为菱形；
（2）解：
∵四边形 为菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（10分）22．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不
变时，火焰的像高 （单位： ）是关于物距（小孔到蜡烛的距离） （单位： ）的反比例函数，当
时， ，请你解答下列问题．
(1)求 关于 的函数解析式．
(2)若火焰的像高为 ，求小孔到蜡烛的距离．
【解析】（1）解：根据题意，设 ，把 ， 代入，得 ，
关于 的函数解析式为 ．
（2）解：把 代入 ，得 ，
小孔到蜡烛的距离为 ．
（10分）23．如图，四边形 内接于 ， ，点E在 的延长线上， ．
(1)若 为 的直径，求证： 是 的切线；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【解析】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）如图，过点B作 ，垂足为F，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
化为整式方程得 ，
解得 ，
经检验： 是原方程的根，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，
，∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
（10分）24．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面 的倾斜
角 为 ，长为3米的真空管 与水平线 的夹角为 ，安装热水器的铁架竖直管 的长度为
0.5米．参考数据：
(1)真空管上端 到水平线 的距离．
(2)求安装热水器的铁架水平横管 的长度．
【解析】（1）解：过 作 于 ．在 中， ，
则 （米）．
答：真空管上端 到 的距离约为1.8米；
（2）解：在 中， ，
则 （米），
， ， ，
四边形 是矩形．
， ，
米，
米，
在 中， ，
则 （米），
（米），
答：安装热水器的铁架水平横管 的长度约为0.9米．
（12分）25．【问题思考】如图1，等腰直角 ， ，点O为斜边 中点，点D是
边上一点（不与B重合），将射线 绕点O逆时针旋转 交 于点E．学习小组发现，不论点D在
边上如何运动， 始终成立．请你证明这个结论；【问题迁移】
如图2， ， ， ，点O为斜边 中点，点E是 延长线上一点，将线段
绕点O逆时针旋转 得到 ，点D恰好落 的延长线上，求 的值；
【问题拓展】
如图3，等腰 中， ， ，点D是 边上一点，将 绕点C顺时针旋转 得
到 ，点D落在点E处，连接 ， ，取 的中点M，连接 ，若 时，求 的长．
【解析】（1）证明：连接 ，
是等腰直角三角形， ，
，
点O为斜边 中点，
， ，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接 ， ，点O是 斜边 的中点，
，
， ，
，
，
将线段 绕点O逆时针旋转 得到线段 ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
；
（3）解：取 的中点F，连接 ， ，
， ，
， ，
，
是 的中点，F是 的中点，
是 的中位线，， ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
（14分）26．对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量 与函数值 满足：当 时，
（ 为实数，且 ，我们称这个函数在 上是“民主函数”．比如：函数
在 上是“民主函数”．理由： 由 ，得 ． ，
，解得 ， ， 是“民主函数”．
(1)反比例函数 是 上的“民主函数”吗？请判断并说明理由：
(2)若一次函数 在 上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含 的代数式表示）；
(3)若抛物线 在 上是“民主函数”，且在 上的最小值为 ，设
抛物线与直线 交于 点，与 轴相交于 点．若 的内心为 ，外心为 ，试求 的长．
【解析】（1）解：当 时，则： ，
∵ ，在第一象限内 随 的增大而减小，
∴ 时， ，
∴ ，
∴反比例函数 是 上的“民主函数”；（2）由题意，得：当 时， ，
∵ ，
当 时， 随着 的增大而增大，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，解得： ，
即： ；
当 时， 随着 的增大而减小，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，解得： ，
即： ；
综上： 或 ；
（3）∵抛物线的顶点式为 ，顶点坐标为 ，
， ，
，
抛物线 在 上是递增的，
当 时，取最小值，
，解得， ，
抛物线的函数表达式为 ，
抛物线与直线 相交于 、 两点，设 ， ，假设 点在 点的左侧，即 ，
，解得， ， ，
在 中， ， ， ，
， ， ，
外心 在线段 的垂直平分线上，设 ，则 ，
，解得， ，
，
在 中 ， 根 据 内 心 的 性 质 ， 设 内 心 到 各 边 距 离 为 ， 得
，
，
∵ 是等腰三角形， 轴为 的角平分线，
内心 在 轴上，
，
，
．
