文档内容
2014年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
2．（3分）下列实数属于无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．﹣
π
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x﹣x＝3 B．x2•x3＝x5 C．（x2）3＝x5 D．（2x）2＝2x2
4．（3分）已知圆锥的母线长为3，底面的半径为2，则圆锥的侧面积是（ ）
A．4 B．6 C．10 D．12
5．（3分π）以下图形既是轴对π称图形，又是中心对称图π形的是（ ） π
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．等腰梯形
6．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．抛物线y＝﹣x2+x的开口向下
B．两点之间线段最短
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．一次函数y＝﹣x+1的函数值随自变量的增大而增大
7．（3分）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
8．（3分）我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定7名同学参
加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他
还必须清楚这七名同学成绩的（ ）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）根据相关部门统计，2014年我国共有9390000名学生参加高考，9390000用科学记
数法表示为 ．
10．（3分）数据0、1、1、2、3、5的平均数是 ．
第1页（共26页）11．（3分）不等式组 的解集是 ．
12．（3分）如图，已知A、B、C三点都在 O上，∠AOB＝60°，∠ACB＝ ．
⊙
13．（3分）函数 的自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，若E是AB的中点，F是AC的中点，∠B＝50°，则∠AEF＝
．
15．（3分）若 ，则 ＝ ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠
后，点B落在AD边的F点上，则DF的长为 ．
三、解答题（共6小题，满分36分）
17．（6分）计算：（1﹣ ）0+（﹣1）2014﹣ tan30°+（ ）﹣2．
18．（6分）先化简，再求值：（ ﹣ ） ，其中x＝2．
第2页（共26页）19．（6分）在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2）．
（1）以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．
20．（6分）已知直线l平行于直线y＝2x+1，并与反比例函数y＝ 的图象相交于点A（a，1），
求直线l的解析式．
21．（6分）我市党的群众路线教育实践活动不断推进并初见成效．某县督导小组为了解群众
对党员干部下基层、查民情、办实事的满意度（满意度分为四个等级：A、非常满意；B、满
意；C、基本满意；D、不满意），在某社区随机抽样调查了若干户居民，并根据调查数据绘
第3页（共26页）制成下面两个不完整的统计图．
请你结合图中提供的信息解答下列问题．
（1）这次被调查的居民共有 户；
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）若该社区有2000户居民，请你估计这个社区大约有多少户居民对党员干部的满意度是
“非常满意”．根据统计结果，对党员干部今后的工作有何建议？
22．（6分）某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救
信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离
海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为
30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）
第4页（共26页）四、证明题（共1小题，满分8分）
23．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE＝DF．
求证：AE＝CF．
五、应用题。
24．（8分）为推进郴州市创建国家森林城市工作，尽快实现“让森林走进城市，让城市拥抱
森林”的构想，今年三月份，某县园林办购买了甲、乙两种树苗共1000棵，其中甲种树苗
每棵40元，乙种树苗每棵50元，据相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%和
90%．
（1）若购买甲、乙两种树苗共用去了46500元，则购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若要使这批树苗的成活率不低于88%，则至多可购买甲种树苗多少棵？
第5页（共26页）六、综合题（本大题2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，BC＝16cm，AD是斜边BC上的高，
垂足为D，BE＝1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，
与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M
到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？
（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，
求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD
是等腰三角形？
26．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．
第6页（共26页）（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形
ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；
（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直
线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，
请说明理由．
第7页（共26页）2014 年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【考点】15：绝对值．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣2|＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相
反数；0的绝对值是0．
2．（3分）下列实数属于无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．﹣
π
【考点】26：无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有
理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无
理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、是整数，是有理数，选项错误；
B、正确；
C、 ＝3是整数，是有理数，选项错误；
D、是分数，是有理数，选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等；开方开不
尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． π π
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x﹣x＝3 B．x2•x3＝x5 C．（x2）3＝x5 D．（2x）2＝2x2
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．
第8页（共26页）【分析】根据合并同类项，可判断A；
根据同底数幂的乘法，可判断B；
根据幂的乘方，可判断C；
根据积的乘方，可判断D．
【解答】解：A、系数相减字母部分不变，故A错误；
B、底数不变指数相加，故B正确；
C、底数不变指数相乘，故C错误；
D、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，幂的乘方底数不变指数相乘．
4．（3分）已知圆锥的母线长为3，底面的半径为2，则圆锥的侧面积是（ ）
A．4 B．6 C．10 D．12
【考点】πMP：圆锥的计算． π π π
【专题】11：计算题．
【分析】根据锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等
于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：圆锥的侧面积＝ •2 •2•3＝6 ．
π π
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的
周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
5．（3分）以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．等腰梯形
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形．
故选：C．
【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分沿对称折叠后可重合，判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度
第9页（共26页）后与原图重合．
6．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．抛物线y＝﹣x2+x的开口向下
B．两点之间线段最短
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．一次函数y＝﹣x+1的函数值随自变量的增大而增大
【考点】F5：一次函数的性质；H3：二次函数的性质；IC：线段的性质：两点之间线段最短；IF：
角的概念．
【分析】根据二次函数的性质对A进行判断；
根据线段公理对B进行判断；
根据角平分线的性质对C进行判断；
根据一次函数的性质对D进行判断．
【解答】解：A、由于a＝﹣1＜0，则抛物线开口向下，所以A选项的说法正确；
B、两点之间线段最短，所以B选项的说法正确；
C、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以C选项的说法正确；
D、当k＝﹣1，y随x的增大而减小，所以D选项的说法错误．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ，
），对称轴直线x＝﹣ ，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当
a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上；当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）
的开口向下．也考查了一次函数的性质、角平分线的性质和线段的性质．
7．（3分）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
【考点】L5：平行四边形的性质；L8：菱形的性质；LB：矩形的性质；LE：正方形的性质．
【专题】14：证明题．
【分析】本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线相互平分的性质来判断．
【解答】解：A、对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质；
B、对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；
第10页（共26页）C、对角线相等是矩形和正方形具有的性质；
D、对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理．
8．（3分）我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定7名同学参
加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他
还必须清楚这七名同学成绩的（ ）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
【考点】WA：统计量的选择．
【分析】7人成绩的中位数是第4名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需
要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有7个人，且他们的分数互不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进
入前4名，故应知道中位数的多少．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）根据相关部门统计，2014年我国共有9390000名学生参加高考，9390000用科学记
数法表示为 9.39×1 0 6 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：9390000用科学记数法表示为9.39×106，
故答案为：9.39×106．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）数据0、1、1、2、3、5的平均数是 2 ．
【考点】W1：算术平均数．
【分析】根据算术平均数的计算公式列出算式，再求出结果即可．
【解答】解：数据0、1、1、2、3、5的平均数是（0+1+1+2+3+5）÷6＝12÷6＝2；
故答案为：2．
第11页（共26页）【点评】此题考查了算术平均数，用到的知识点是算术平均数的计算公式，关键是根据题意列
出算式．
11．（3分）不等式组 的解集是 ﹣ 1 ＜ x ＜ 5 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解
集．
【解答】解： ，
解 得：x＞﹣1，
解①得：x＜5，
则②不等式组的解集是：﹣1＜x＜5．
故答案为：﹣1＜x＜5．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式
组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
12．（3分）如图，已知A、B、C三点都在 O上，∠AOB＝60°，∠ACB＝ 30 ° ．
⊙
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】由∠ACB是 O的圆周角，∠AOB是圆心角，且∠AOB＝60°，根据圆周角定理，即可
求得圆周角∠AC⊙B的度数．
【解答】解：如图，∵∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝30°．
故答案是：30°．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
13．（3分）函数 的自变量x的取值范围是 x ≥ 6 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件；E4：函数自变量的取值范围．
第12页（共26页）【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣6≥0，解得x≥6．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
14．（3分）如图，在△ABC中，若E是AB的中点，F是AC的中点，∠B＝50°，则∠AEF＝
50° ．
【考点】KX：三角形中位线定理．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC，再根据两直
线平行，同位角相等可得∠AEF＝∠B．
【解答】解：∵E是AB的中点，F是AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行线的性质，熟
记定理与性质并准确识图是解题的关键．
15．（3分）若 ，则 ＝ ．
【考点】S1：比例的性质．
【分析】先用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴a＝ ，
∴ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键，也是本题的难点．
第13页（共26页）16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠
后，点B落在AD边的F点上，则DF的长为 6 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据矩形的性质得出CD＝AB＝8，∠D＝90°，根据折叠性质得出CF＝BC＝10，根据
勾股定理求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝8，∠D＝90°，
∵将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，
∴CF＝BC＝10，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF＝ ＝ ＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质的应用，解此题的关键是求出CF和
DC的长，题目比较典型，难度适中．
三、解答题（共6小题，满分36分）
17．（6分）计算：（1﹣ ）0+（﹣1）2014﹣ tan30°+（ ）﹣2．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用特殊角
的三角函数值计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝1+1﹣ × +9＝10．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）先化简，再求值：（ ﹣ ） ，其中x＝2．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】先将括号内的部分因式分解，约分后再将除法转化为乘法，然后代入求值．
第14页（共26页）【解答】解：原式＝[ ﹣ ]•
＝（ + ）•
＝ •
＝ ．
当x＝2时，原式＝ ＝1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟悉约分、通分因式分解是解题的关键．
19．（6分）在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2）．
（1）以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．
【考点】SD：作图﹣位似变换．
【专题】13：作图题．
【分析】（1）利用位似图形的性质即可位似比为2，进而得出各对应点位置；
（2）利用所画图形得出对应点坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）△A′B′C′的各顶点坐标分别为：A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）．
第15页（共26页）【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题关键．
20．（6分）已知直线l平行于直线y＝2x+1，并与反比例函数y＝ 的图象相交于点A（a，1），
求直线l的解析式．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】11：计算题；41：待定系数法．
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征确定A（1，1），再设直线l的解析式为y＝
kx+b，利用两直线平行得到k＝2，然后把A点坐标代入y＝2x+b求出b，即可得到直线l的
解析式．
【解答】解：把A（a，1）代入y＝ 得a＝1，则A点坐标为（1，1）
设直线l的解析式为y＝kx+b，
∵直线l平行于直线y＝2x+1，
∴k＝2，
把A（1，1）代入y＝2x+b得2+b＝1，
解得b＝﹣1，
∴直线l的解析式为y＝2x﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点
坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．
21．（6分）我市党的群众路线教育实践活动不断推进并初见成效．某县督导小组为了解群众
对党员干部下基层、查民情、办实事的满意度（满意度分为四个等级：A、非常满意；B、满
意；C、基本满意；D、不满意），在某社区随机抽样调查了若干户居民，并根据调查数据绘
第16页（共26页）制成下面两个不完整的统计图．
请你结合图中提供的信息解答下列问题．
（1）这次被调查的居民共有 20 0 户；
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）若该社区有2000户居民，请你估计这个社区大约有多少户居民对党员干部的满意度是
“非常满意”．根据统计结果，对党员干部今后的工作有何建议？
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【专题】27：图表型．
【分析】（1）利用“非常满意”的人数除以它所占的百分比即可得这次被调查的居民户数；
（2）这次被调查的居民总户数减去非常满意、基本满意、不满意的人数求得满意的人数，再补
全条形统计图即可；
（3）用该社区的居民总户数乘以“非常满意”人数占的百分比即可得这个社区对党员干部
的满意度是“非常满意”的人数．建议答案不唯一．
【解答】解：（1）50÷25%＝200（户），
答：这次被调查的居民共有200户，
故答案为：200；
（2）200﹣50﹣20﹣10＝120（户），
条形统计图如下：
第17页（共26页）（3）2000×25%＝500（户），
答：估计这个社区大约有500户居民对党员干部的满意度是“非常满意”．
根据统计结果，看出本社区党员干部下基层、察民情、办实事情况不错，要继续保持．
【点评】本题考查扇形统计图与条形统计图的综合能力；利用统计图获取信息时，必须认真观
察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．（6分）某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救
信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离
海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为
30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】12：应用题．
【分析】在Rt△CDB中求出BD，在Rt△CDA中求出AD，继而可得AB，也即此时渔政船和渔
船的距离．
【解答】解：在Rt△CDA中，∠ACD＝30°，CD＝3000米，
∴AD＝CDtan∠ACD＝1000 米，
在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，
∴BD＝CDtan∠BCD＝3000 米，
∴AB＝BD﹣AD＝2000 米．
答：此时渔政船和渔船相距2000 米．
第18页（共26页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练锐角三角函数的定义，能利
用已知线段及锐角三角函数值表示未知线段．
四、证明题（共1小题，满分8分）
23．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE＝DF．
求证：AE＝CF．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
【专题】14：证明题．
【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD，AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等
可得∠ABD＝∠CDB，然后求出∠ABE＝∠CDF，再利用“边角边”证明△ABE和△CDF
全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴180°﹣∠ABD＝180°﹣∠CDB，
即∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟记性质与三角形全等的
判定方法求出全等的条件是解题的关键．
五。应用题。
24．（8分）为推进郴州市创建国家森林城市工作，尽快实现“让森林走进城市，让城市拥抱
森林”的构想，今年三月份，某县园林办购买了甲、乙两种树苗共1000棵，其中甲种树苗
第19页（共26页）每棵40元，乙种树苗每棵50元，据相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%和
90%．
（1）若购买甲、乙两种树苗共用去了46500元，则购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若要使这批树苗的成活率不低于88%，则至多可购买甲种树苗多少棵？
【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【专题】12：应用题．
【分析】（1）设购买甲、乙两种树苗各x棵和y棵，根据甲、乙两种树苗共1000颗和甲、乙两
种树苗共用去了46500元，列出方程组，进行求解即可；
（2）设至多可购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗为（1000﹣x）棵，根据这批树苗的成活率不
低于88%，列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）设购买甲、乙两种树苗各x棵和y棵，根据题意得：
，
解得： ，
答：购买甲、乙两种树苗各350棵和650棵；
（2）设至多可购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗为（1000﹣x）棵，根据题意得，
≥88%，
解得x≤400，
答：至多可购买甲种树苗400棵．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用和不等式的应用，解题关键是弄清题意，找到
合适的数量关系，列出方程组和不等式．
六。综合题（本大题2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，BC＝16cm，AD是斜边BC上的高，
垂足为D，BE＝1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，
与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M
到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？
（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，
求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
第20页（共26页）（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD
是等腰三角形？
【考点】KQ：勾股定理；SO：相似形综合题．
【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t；
（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当
G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积
公式求出正方形的面积；
（3）分两种情况，分别是DP＝PC时和DC＝PC时，分别EN的长度便可求出t的值．
【解答】解：由∠BAC＝90°，∠B＝60°，BC＝16cm
易知：AB＝8cm，BD＝4cm，AC＝8 cm，DC＝12cm，AD＝4 cm．
（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED＝BD﹣BE＝3cm
∴t＝ s＝3s．
（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1cm的正方形，令H点在AB上，
则
∠HMB＝90°，∠B＝60°，MH＝1
∴BM＝ cm
∴t＝ s
当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在
AC上，
设MN＝xcm，则GH＝DH＝x，AH＝ x，
第21页（共26页）∵AD＝AH+DH＝ x+x＝4 ，
∴x＝6 ﹣6．
当 ≤t≤4时，S ＝1cm2
MNGH
当4＜t≤6 ﹣3时，S ＝（t﹣3）2cm2
MNGH
故S关于t的函数关系式为：
S＝ ．
（3）分两种情况：
∵当DP＝PC时，易知此时N点为DC的中点，
①∴MN＝6cm
∴EN＝3cm+6cm＝9cm
∴t＝9s
故当t＝9s的时候，△CPD为等腰三角形；
当DC＝PC时，DC＝PC＝12cm
②∴NC＝6 cm
∴EN＝16cm﹣1cm﹣6 cm＝（15﹣6 ）cm
∴t＝（15﹣6 ）s
故当t＝（15﹣6 ）s时，△CPD为等腰三角形．
综上所述，当t＝9s或t＝（15﹣6 ）s时，△CPD为等腰三角形．
【点评】本题充分考查了学生对相似三角形和勾股定理的理解和运用，此题涉及到的知识点
较多，有勾股定理．正方形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，利用学生系统
的掌握知识，是一道好题．
26．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形
ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；
（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直
线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，
第22页（共26页）请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】153：代数几何综合题．
【分析】方法一：
（1）利用待定系数法即可求得；
（2）如答图1，四边形ABPC由△AOC、△POB与△POC组成，求出四边形ABPC面积的表达
式，然后利用二次函数性质求出最值；
（3）如答图2，DE为线段AC的垂直平分线，则点A、C关于直线DE对称．连接AM，与DE交
于点G，此时△CMG的周长＝CM+CG+MG＝CM+AM最小，故点G为所求．分别求出直
线DE、AM的解析式，联立后求出点G的坐标．
方法二：
（1）略．
（2）略．
（3）因为点A，C关于直线DE对称，因此直线AM与直线DE的交点即为点G．联立AM与
DE的直线方程，可求出G点坐标．
【解答】方法一：
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．
∴ ，解得 ，
∴这条抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2．
（2）如答图1，连接OP．
设P（x，﹣x2+x+2），
第23页（共26页）S四边形ABC ＝S△AOC +S△POC +S△POB ＝ ×1×2+ ×2•x+ ×2×（﹣x2+x+2）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣
1）2+4，
∴当x＝1时，四边形ABPC面积最大．此时P（1，2）．
∴当点P坐标为（1，2）时，四边形ABPC的面积最大．
（3）存在．
∵∠CAO+∠ACO＝90°，∠CAO+∠AED＝90°，
∴∠ACO＝∠AED，又∵∠CAO＝∠CAO，
∴△AOC∽△ADE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AE＝ ，
∴E（ ，0）．
∵DE为线段AC的垂直平分线，
∴点D为AC的中点，∴D（﹣ ，1）．
可求得直线DE的解析式为：y＝﹣ x+ ．
①
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣ ）2+ ，∴M（ ， ）．
又A（﹣1，0），则可求得直线AM的解析式为：y＝ x+ ．
②
∵DE为线段AC的垂直平分线，
∴点A、C关于直线DE对称．
如答图2，连接AM，与DE交于点G，
此时△CMG的周长＝CM+CG+MG＝CM+AM最小，故点G为所求．
联立 式，可求得交点G的坐标为（﹣ ， ）．
①②
∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，点G的坐标为（﹣ ， ）．
方法二：
（1）略．
第24页（共26页）（2）略，
（3）∵DE为线段AC的垂直平分线，
∴点A是点C关于直线DE对称，
∴GC＝GA，
∴△CMG的周长最小时，M，G，A三点共线．
∵抛物线y＝﹣x2+x+2，
∴M（ ， ），A（﹣1，0），
∴l ：y＝ x+ ，
MA
∵A（﹣1，0），C（0，2），
∴K ＝ ＝2，
AC
∵AC⊥DE，∴K ×K ＝﹣1，K ＝﹣ ，
AC DE DE
∵点D为AC的中点，
∴D ＝ ＝﹣ ，D ＝ ＝1，
x Y
∴D（﹣ ，1），
∴l ：y＝﹣ x+ ，
DE
∴ ，
⇒
∴G（﹣ ， ）．
第25页（共26页）【点评】本题是二次函数综合题，难度适中，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法
求解析式、相似三角形、轴对称﹣最短路线、图形面积计算、最值等知识点．
第26页（共26页）
