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清华李永乐考研数学辅导团队
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《数字基础过关660题》严远黜讲悚 巨l
一，谓
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全精解析基础篇
（数学三）
编著 © 李永乐王式安 刘喜波武忠祥宋浩 姜晓千铁军李正元蔡燧林胡金德
. ＠考研路上刚刚启程的你
勿溫今已不学布有莽巳，勿谍今年不学布有亲年。 已月葩争，岁不我迡。
之中国农业出版社
CHINAAGRICULTURE PRESS
．北京·数学历年真题全精解析：基础篇．数学三／李永乐
等编著一北京：中国农业出版社， 2021. 7
（金榜时代考研数学系列． 2023)
ISBN 978-7一109-19380-2
m.
I.O数... 11. 0.
=
(C)J釭） ［；，十 l, (D)卢） ＝』卢工＃ 0，
::
:
PS0,26 题
-
:r 1'.l·> 0. lO, 工 ＝ 0.
(2) 若 f（.r) 在(a,b) 内可导且 a<.1..l ＜ 工＜从则至少存在一点 5，使得
CA)f(b) - J(a) = /P(A) = 0 或 P(B> = 0. P253,l 题
三、计算题（本题满分 曰 分，每小题 l 分）
.!.
(I) 求极限lim(l +.re' )' . P73,6 题
r.“
尸－ l
(2) 已知 y = In ，求 y'. P88,12 题
厂＋ 1
义． 十
(3｀)之 ＝ arctan .)'，求血 Pl32,3 题
_1· -y
(4) 求不定积分卜年才d.r. Plll, 1 题
四、解答题 （本题满分 11) 分） 1 · I v=sm.`
考虑函数 y= 叩in.r,O ~ .i· ~ 王 2 ． 问：
(］)，取何值时．右图中阴影部分的面积 S1 与 S2 之和 S = S1 + S2 :
：
最小？ ：
x
(2) /取何值时，面积 S = S1 + S2 最大？ Pl27,40 题 。 ，
主2
五、解答题（本题满分 h 分）
1
将函数 j.（．T) = 展升成 、1 的幕级数，井指出收敛区间． P165,27 题
｀产 一扣 ＋ 2
六、计釭题（本题满分 ] 分)
计罚二重积分IIc.r1 d.rdy，其中 D是第一象限中由直线y =.l 和y =.r3 所围成的封闭 区域
P145,2 题
七、解答题（本题满分 （） 分）
已知某商品的需求拭、1 对价格 p 的弹性 TJ = - 3p'， ，而市场对该商品的最大伽求队为 1 （万
件）．求需求函数 Pl05,55 题
• 4 .丿 \
、
r、
v
十算题 . 本
｛
题满分
2 X
8
I
分
一 X I
)
X 1 l2 T + l , ｀ + X3工 工 3 3 = = 3 - - 4 . . 3
丁
解 ~ 线书, ..方. 程组 3 十 工2 +
+
工 工 3 3 = l , P216,8 题
7/ 3
l 7工 I l
九、解答题（本题满分 7 分）
,1 2 3
设矩1;4 A 和 B 满足AB A + 2B，求矩阵 B，具中 A [ 0』
= = 1 1 Pl96,26 题
- I 2 3
十、解答题（本题满分 6 分）
求矩阵 A 0: 二 ｝ ：l 的实特征值及对应的特征向从．
= [— P228,l 题
—1 0 1
十一、解答题（本题满分 8 分，每小题 1 分）
Cl) 已知随机变拭 X 的概率分布为 I叮X = l } = 0. 2, P {X = 2} = 0. 3, P { X = 3} = 0. 5,
试写出 X 的分布函数 FCx). P261,2 题
(2) 已知随机变晶 Y 的概率密度为f(y) - {＂鸟e: y>
0 1
'求随机变扯 Z = 一 的数学
Y
o, y ~ o,
期望 ECZ). P281,l 题
十二、解答题（本题满分 8 分）
假设有两箱同种零件：第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装 30 件，其中 18 件
一等品 ，现从两箱中随意挑出 一箱， 然后从该箱 中先后随机取两个零件（取出的零件均不放
回）． 试求 ：
（］ ） 先取出的零件是一笱品的概率 /J;
(2) 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率 q.
P253,2 题
• 5 .1988 年全目硕士研究 生 招 生考 试
数学（ 三 ）试题
一、填空题（本题满分 12 分，每空 J 分）
(1) 设 f(:x) = [ • .r e-- +-;I;- ,/ z 2 dt, 一 ＝ < <+=，则
1·
。
Q)J'釭） = @f位） 的单调性是 .
@fQ) 的奇偶性是 . ＠f位）图形的拐点是 .
@J釭）的凹凸区间是 , ．＠f位）的水平渐近线是 ,
P117,19 题
/
1 1 1 0
丙码与胚号 ) P176,l 题
1 J O 1 笭官寸应的
(2) =
1 0 1 1
0 1 1 1
0 0 0 1
(3) 设矩阵 A ：1 ，则 A' -
[: : :
= Pl84, 7 题
1 0 0 0
(4) 设 P(A) = 0. 4,P(A U B) = o. 7，那么
叩若 A 与 B 互不相容，则 P(B) =
＠若 A 与 B 相互独立，则 P(B) = P254,3 题
二、判断题（本题满分 l0 分，每小题 2 分）
(1) 若极限limf(:r) 与 limf（又）g釭）都存在，则极限limg釭）必存在． ( ) P72,3 题
,-•.r
r一J,l () ,--夸_，－II
(2) 若义。 是函数 J丘）的极值点，则必有 J'(.r。) = o. ) P93,27 题
(3) 等式j`.r）dx =-f勹(a — 己I)d.1.、，对任意实数 a 都成立． ) P115,ll 题
(4) 若 A 和 B 都是 n 阶非零方阵，且 AB = 0，则 A 的秩必小于 n. ) P191,18 题
(5) 若事件 A,B,C 满足等式AUC=BUC，则 A = B. ) P254,4 题
三、计笳题（本题满分 16 分 ，每小题 1 分）
工J - 1
(1) 求极限Iim ~ . P73,7 题
~-~·!.1..In 工
+ 护t/
(2) 已知 u e" ＝巧 ，求a.rr7y Pl33,4 题
(3) 求定积分］ 归 Pll5, 12 题
（） 石(1 ＋正
(4) 求二重积分[:dyI: CO：飞．
P152,21 题
• 6 .四、解答题（本题满分 6 分 ，每小题 ,} 分）
(11+1)!
(1) 讨论级数: ． 的敛散性． Pl54,2 题
n 吐I
"一1
(2) 已知级数2式和 :1为 都收敛，试证明级数:a,，b,，绝对收敛．
Pl55,3 题
"=
" I 1 ＂一1
五、解答题（本题满分 8 分）
已知某商品的需求晟 D 和供给量 S 都是价格 p 的函数：
D = D(p) = ffe,S = S(p) = b/J
其中 a >O 和 h > O 为常数；价格 p 是时间 t 的函数且满足方程
¥dp
= l?[D(p) - S(／介］（K 为正的常数）
dt
假设当 t=O 时价格为 1 ，试求
(1) 衙求址等于供给侬时的均衡价格 p, ;(2) 价格函数 p(t);(3) 极限 lim /J(t).
，一'..
Pl 73,20 题
六、计算题［本题满分 8 分）
在曲线 y = 工2(1娑 0) 上某点 A 处作一切线，使之与曲线以及 ．1 ·1
轴所围图形的而积为一，试求 ：
12
(1) 切点 A 的坐标；
I J1
(2) 过切点 A 的切线方程； (a.a勺
(3) 由上述所阶平面图形绕 立、 轴旋转一周所成旋转体的体积
P127,41 题
11_
。 2
七 、解答题（本题满分 8 分）
己给线性方程组［3;三／勹十十三 ＼：
m— 5工i— 10.1.·1+ 12.Ti = k2.
问如和如各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多组僻？在方程组有无穷多组韶的
悄形下，试求出一般解． P21，6准题
• 7.八、雏答题（本题满分 分）
巳知向证组 a1 .aL ,....a,(·,娑 2) 线性无关．设 儿 ＝ a1 + a2 ·µ = a2 + a·i • ···,ps-1 =
a ..一 1 十a, .p、 = a,+a,．试讨论向屈组 'I •P? ,… ,p, 的线性相关性． P201,5 题
九、羊答芒（不亡芦
设 A 是三阶方阵，A 是 A 的伴随矩阵，A 的行列式 I A I =-;'.;-，求行列式 I (3A)一1 — 2A.
2
的值 Pl78,3 题
十、斛答题（ 本题满分 分 ）
玻璃杯成箱出售 ．姆箱 20 只．假设各箱含 0,1,2 只残次品的概率相应为 o. 8,o. 1 和 0. 1. 一
顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱 ，而顾客随机地查看 4 只，若无残次品，则
买下该箱玻璃杯，否则退回， 试求 ：
(1) 顾客买下该箱的概率 a;
(2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率 /3. P255,5 题
十一、韶笞阳（六贮；，心 )
某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20% ，以 X 表示在随意抽查的
100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数
(l ) 写出 X 的概率分布；
(2) 利用棣莫弗－拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少千 14 户且不多于 30 户的概率的近似值．
［附表］中(.1) 是标准正态分布函数
2 3
。 0. 5 . 5 2. 5
．飞．
中c.i-> 1 o. soo o. 6!)2 o. s,11 o. ri33 o. 977 o. 99,1 o. 999
P294,l 题
十二、韶答题（本题满分 分）
假设陆机变批 X 在区间(1,2) 上服从均匀分布，试求随机变扯 Y = 产的概率密度j、(y).
P261,3 题
• 8 .1989 年全国硕上研究牛招牛考试
数学（ 三 ）试题
一、填空题 （ 本题满分 厂 分，每小题 ， 分）
（］）曲线 y =.:r 十 sin五在点（ 亢.1 六+ ）处的切线方程是 P91,20 题
2 2
·"
(2) 幕级数: t 的收敛域是 . Pl58, 11 题
＂一11 尸
入又1 +卢m ＝ 0,
(3) 若齐次线性方程组1 .r1＋炉气 ＝ 0，只有零解，则入应满足的条件是
.
3、I + ,1'2+.T3 = 0
P211, 1 题
.1·<
[: 0,
(4) 设随机变拭 X 的分布函数为 F(1·)
o¾:r < 卫
= ..,m.1, 2'则 A=
>
王 ,
1' 工
2
P{
I X | ＜ 们 ＝ ．
P262,4 题
<
(5) 设 X 为随机变扯且 ECX) = 1.1.,DCX) ＝忒则由切比雪夫不等式，有 P{ IX-µ|圣汤｝
P294,2 题
二、选择题（本题满分 I."i 分 ，每小题 、 分）
'+
( 1 ) 设 J位） = 2 3r ＿趴则 当工 -o 时，
(A)fCT) 是 ～r 的等价无穷小． （B)JC.r) 与 `r 是同阶但非等价无穷小．
(C)JC.1) 是比 ．1. 更高阶的无穷小． （D)J釭）是比 :r 较低阶的无穷小．
P78,22 题
(2) 在下列等式中，正确的结果是
(A)II'（也1·)d.l = J.（义.). (B)［如） =.[(x).
(C）责IjG) d恤r = f(x). (O)dff(x)d.1· = 「位）． Pll2,2 题
(3) 设 A 为 n 阶方阵且 I A I= 0，则
(A)A 中必有两行（列）的元素对应成比例．
(B)A 中任意一行（列）向批是其余各行（列）向扯的线性组合．
(C)A 中必有一行（列）向扯是其余各行（列）向拭的线性组合
(D)A 中至少有一行（列）的元素全为 0. Pl80,7 题
(4) 设 A 和 B 都是 11 X n 矩阵，则必有
(A) I A + B l= I A l+I B I. (B)AB = BA.
(C) I AB I = I BA I. (D)(A + B) 1 = A-l + B-l. Pl81, 1 题
• 9 .(5) 以 A 表示事件”甲种产品畅销，乙种产品滞销＂，则其对立事件冗为：
(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”. （B)“甲、乙两种产品均畅销”.
(C)“甲种产品滞销“. (D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.
P255,6 题
三、计算题（本题满分 巨 分，每小题 5 分）
!~'!1. 1
(1) 求极限lim
(si. n 了＋ cos 』). P73,8 题
(2) 已知 Z = f (II, V), U = .T + y, V = xy ，且 I．（u,v) 的二阶偏导数都连续，求— 护 — z ~
扣ay
Pl33,5 题
+ +
(3) 求微分方程 y" 5y1 6y = 2e-·' 的通解． P171,14 题
四、解答题（本题满分 q 分）
设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为 p = p(x) = lOe甘 ，且最
大需求篮为 6，其中 工 表示需求扭，p 表示价格．
(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数；
(2) 求使收益最大时的产批 、最大收益和相应的价格；
(3) 画出收益函数的图形． Pl05,56 题
五、计算题（本题满分 9 分）
已知函数 f釭） = {工 ~， O~x~ l ，计算下列各题：
2 －工， l <、r < 2. I
4
(1)5。 =『归）e飞； (2)Sl = JG - 2)e一．，心；
。 22S ,
(3) S,，＝厂I` (.l.. － 2n)e一，心(11=2,3,…） ; (4)5 = ｀心 ,. Pl59,15 题
2,, •
.. =o
六、证明题（本题满分 6 分）
-
假设函数f(::i;) 在[a,b] 上连续，在(a,b) 内可导，且卢x)PW>. CD)P(A- B) = P(A). P255,8 题
(5) 对任意两个随机变屈 X 和 Y，若 E(XY) = E(X) • E(Y) ，则
+ +
(A)D(XY) = D(X) . D(Y). (8)0(X Y) = DCX) D(Y).
(C)X 与 Y 独立． (D)X 与 Y 不独立． P282,3 题
• 15 •三、计算题（本题满分 一 分）
e.『十 e1., + …+ e"' \ ~
求极限l1m( 1I )工 ，其中 n 是给定的自然数． P74, 10 题
.r一0
四 、计算题（本题满分 勹 分）
` `
计符二重积分 I =JJyd.l.dy，其中 D 是由 a 轴、y轴与曲线 王 + 立 = 1 所削成的区域，
i)
>
其中 a > O,b 0. Pl45,4 题
五、解答题（本题满分 _, 分）
dy + y~ 满足 yl = 2e 的特解．
求微分方程 xy~ =工．2 P167,2 题
d.1 '= c
六、解答题（本题满分 丿 分） ·''
假设曲线 L1 : y = 1 - x1 (0 ~ x ~ 1),.l 轴和y 轴所削区
域被曲线L2 : y = a.ri 分为面积相等的两部分（如图），其中 a
是大于零的常数，试确定 a 的值． Pl28,43 题
x
。
七、解答题（本题满分 \ 分）
某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p] 和 P? ，销售扯分别为 q1 和
q2 ，需求函数分别为 C/1 = 24-0. 2/J1 和 (]2 = 10-0.05／丿i ，总成本函数为 C= 35+,10(q1 十(J2) .
试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？
Pl40,25 题
八、证明题（本题满分 1，分）
1
试证明函数贮） = （1 + 了）』 在区间（o. 十=)内单调增加． P93,29 题
九、解答题（本题满分 7 分）
l 十入 l l O
设有三维列向拭 q 11 十入1 “3 1 入 1 问 入取何值时
= 1 I I a2 = = 1 ] 1 /J =
I 1 I I 1 ＋入入2
(l)/J 可由 a1,a2 ,a3 线性表示，且表达式唯一？
(2)/J 可由 a1,a2 ,a3 线性表示，但表达式不唯一？
(3)p 不能巾 a1,a2, a3 线性表示？ Pl97,l 题
• 16 •十、韶答题（本题满分 ，， 分）
考虑二次型 f＝ 叶＋4迁 ＋4式 ＋2汕心2-2..i-1.l3 +4工卢．1 ，问入取何值时，／为正定二次型？
P245,5 题
十一、证明题（本题满分 h 分）
试证明 n 维列向扯 a1 ,a2 ,… ,a,，线性无 ” 关 “” 的“充 分必要条件是
_ “l
aI1 a 1 l ?- T a,'
D= “ 2 T : a 1 I2 2 ... “ 2 T .a,..' I =t= o
..
a,, I. a 1 a,T; a2 ... a,,I a,'
其中 a｝是a, 的转置．i = 1,2,…,/I. P202,8 题
十二、解答题（本题满分 h 分）
一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其
他信号灯为红或绿相互独立 ，且红绿两种信号显示的时间相等．以 X 表示该汽车首次遇到红
灯前已通过的路口的个数． 求 X 的概率分布． P263,7 题
十三、解答题（本题满分 h 分）
假设助机变批 X 和 Y 在圆域xi+ y2 ~ 产上服从联合均匀分布．
(1) 求 X 和 Y 的相关系数P;
(2) 问 X 和 Y 是否独立？ P290, 18 题
十匹、解答题（本题满分 一 分）
设总体 X 的概率密度为八卫） = ｛入0::r'，-Ie-人,” , :r < > ; 0'其中il> 0 是未知参数，u > O是
o,
工·
已知常数，试根据来自总体 X 的简单随机样本 X1 .x2 ,… ,X,' ，求入的最大似然估计址A.
P300, 1 题
• 17 •1992 年全国硕士研究生招牛考试
数学（ 三 ）试题
一、填空题（本题满分 13 分 ，每小题 ．．； 分）
=
(1) 设商品的需求函数 Q 100- 5!），其中 Q,J.) 分别表示需求批和价格，如果商品需求弹性的
绝对值大千］，则商品价格的取值范围是 Pl06,57 题
(2) 级数 2 (.T - 2)切 的收敛域为 . P158, 13 题
114"
" I
·1 r石勹了
(3) 交换积分次叫叫 j.(.1,y)d.1. = Pl52,22 题
吓
=a,
(4) 设 A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵且 I A I I B I ＝从c=[。 A 0 ] ，则 I C [ =_.
B
Pl78,4 题
(5) 将 C,C.E,E,J,N.S 这七个字母随机地排成一行，则恰好排成 SCIENCE 的概率为
P255,9 题
二、选择题（本题满分 ］5 分，每小题 ，3 分）
(1) 设 F<.r) = ~f/c1)cl1其中 j(.1.一）为连续函数，则llmF(1、)等于
-1· 一 (i ,' J会”
(A)矿． (B）矿j．（u)．
(C)O. (D) 不存在 P118,22 题
(2) 当．r-o 时，下列四个无穷小扯中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小扯？
(A h 2. (B) 1 - cos.r.
(C) J二－ l. ([)为— tan x. P78,23 题
(3) 设 A 为 Ill X /I 矩1附则齐次线性方程组 Ax = 0 仅有零f时的充分条件是
(A)A 的列向批线性无关 (B)A 的列向批线性相关
(C)A 的行向批线性无关． （D)A 的行向扯线性相关． P212,2 题
(4) 设当事件 A 与 B 同时发生时，申件 C 必发生，则
- +
(A)P(C）冬 P（A) + P(B) 1. (B)P(C) ~ PCA) PCB) - 1.
(C)P(C) = PU\H). (O)P(C) = P(A U B).
P256,l0 题
" "
(5) 设 II个助机变礼 X1,X1,… ,X,，独立同分布．DCX1) ＝矿汉＝上 :X, ，S2 = —1 - : (X
11~--, .- II l
,= I .. •,= I
- X)3 ·则
=
CA)S 是6 的无偏估计拭．（超纲，可改成 E(S) G勹
(B)S 是6 的最大似然估计员．
(C)S 是6 的相合估计械（即一致估计队）．
(D)S 与 x 相互独立． P300,2 题
18 •三、解答题（本题满分 3 分）
[I n cos(.r - 1)
设函数f釭） - sm 沪， 立、＃ l ，
= 1 问函数j釭）在工＝ 1 处是否连续？若不连续，修
1, 义" =l ,
改函数在 ．r = 1 处的定义，使之连续． P80,28 题
四、计算题（本I题 满分 ］ 分）
计算 I = arccot e.，归
P112,3 题
e'
五、计算题（本题满分 5 分）
?
设 z = sin（工y) + 0) 所围平面图形绕工轴旋转一周，得一旋
= -;_,-
转体，求此旋转体体积 V(~) ；求满足 V(a) lim V(~) 的 a.
2 ~~』
(2) 在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该
面积 Pl28,44 题
九、解答题（本题满分 7 分）
-2 0 01 [- 1 0 0
设矩阵 A 与 B 相似，其中 A [
(1) 求 1 和 y 的值，（2) 求可=逆 矩; 2 P,l使 ; 2] IA B P = 0 2 0 .
.1
=[
yl
0 0
P232,8 题
• 19 •十、韶答题（本脰满分 I、 分）
已知三阶矩阵 B -:j:= 0,§. B 的每l一 个列向队都是以下方程组的解：
+
心飞1 21.2- 2.I l = 0 ,
o.
121 1 － 工2+汕:1=
3.r1 +:r2 一．r:1 = 0
(1) 求入的值；（2) 证明 I B I= 0. P212,3 题
十一、解答题（本题满分 ，1 分）
0A 0
设 A,B 分别为 Ill,11 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 c=[ B]是否是正定矩阵．
P246,6 题
十二、解答题（本题满分 7 分）
~
假设测址的随机误差 X N(O, IO~），试求在 100 次独立重复测批中，至少有三次测屈误
差的绝对值大于 19. 6 的概率 a，并利川泊松分布求出 a 的近似值．（要求小数点后取两位有效
数字）．
附表
2 3 6 7
入
FJ
e 入 I o. 368 0. 135 0. O!iO 0. 018 0. 007 u. 002 0. 001
P263,8 题
十三、解答题（本题满分 勹 分）
台设备由 ＝．大部件构成，在设备运转中各部件需要调整 的概率相应为 0. 10.0. 20 和
o.
30. 假设各部件的状态相互独立 ，以 X 表示同时需要悯整的部件数，试求 X 的概率分布、数
学期望 E(X) 和方差 D(X). P282,4 题
十四 、解答题（本题满分 1 分）
设二维随机变扯(X,Y) 的概率密度为
< <
f(.1.,y) = {亡 ， 0 X y,
0' 其他
(l ) 求 X 的概率密度 八(.1-); (2) 求概率 P{X + Y ~ 1}. P269,3 题
• 20 •1993 年令因硕士研究牛招牛考试
数学（ 三 ）试汹
一 、填空题（本题满分 1.-; 分，每小题 ； 分）
(1) Jim 矿＋ 5 si . n 2 - = P74, 11 题
,_． 5又·+3.l`
(2) 已知 Y = I(~ ),f<.r) = c1rctc1n.1·2 ，则贵 I = P89, 13 题
,
I _ I
(In 3)''
(3) 级数: 的和为 Pl60, 16 题
2"
(4) 设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴助矩阵 A 的秩为 Pl92,19 题
(5) 设总体 X 的方差为 l．根据来自 X 的容批为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5，则 X
的数学期望的悝信度近似等于 o. 95 的置信区间为 ． （最新考纲已不考此知识点）．
P301 ,3 题
二、选择题（本题满分 1-1 分，每小题 ． 分）
(l ) 设函数 f(,) ＝ ｛汀言、i,心 立. =I= 0'
则 f釭）在 ．r = 0 处
o. .r = O.
(A) 极限不存在． (B) 极限存在但不连续．
(C) 连续但不可导． (0) 可导． P84,2 题
(2) 设 f(.1) 为连续函数，且 F位） ＝『／r（t)d/，则 F'(.1) 等于
十
(A)...: l . ..Jon .r) + -- l " .J（一 l ）， (B) -1 j(ln .l) +.f(- 1 ).
1. . r-,1'
立· .1'
(C) -1 [(ln .r) - － ] 了 J（一 l ）． （D）f(ln .1) -.f.(— l ). Pll9,23 题
"t· · ~r..r 1.
(3) 77 阶方阵A 具有 n 个不同的特征伯是A 与对角阵相似的
（A) 充分必要条件．
(B) 充分而非必要条件．
(C) 必要而非充分条件．
(D) 既非充分也非必要条件． P233,9 题
(4) 设两事件 A 与 B 满足 PCB IA)= l ，则（题有误，详见解析）
(A)A 是必然事件 (B)P(B I 冗） = 0.
(C)A 二） B. (D)ACB. P256,ll 题
(5) 设随机变批 X 的密度函数为中伈汃且中（一x) = 中(x),F(x) 为 X 的分布函数，则对任意实数
＂，有
-
1
(A)F（一（i) = I - J::叭.r)clx. (B)F( u) ＝ 了－『t，y(.r）如．
(C)FC- a) = F(a). (D)F(— (I) = 2F((1) - l. P264,9 题
• 21 •三、解答题（本题满分 5 分）
设 z = J（工，y) 是由方程 z — y-x 十工e亡亡' = 0 所确定的二元函数，求 dz.
Pl34,8 题
四、解答题（本题满分 7 分）
已知皿（： ~)".r = I七:· 丘e-2.,d.l．，求常数 a 的值．
Pl26,36 题
五、解答题（本题满分 9 分）
+ 1
设某产品的成本函数为 C = aq勹－fx/ C,需求函数为 q= —(d— p) ，其中 C为成本，q 为
e
需求盐（即产量） ，p 为单价，a,b,c,d,e 都是正的常数，且 d > b，求：
(1) 利润最大时的产批及最大利润；
(2) 需求对价格的弹性；
(3) 需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量． Pl06,58 题
六、解答题（本题满分 8 分）
假设：（1) 函数 y=f（工）（O¾ 工 <+ =）满足条件 f(O) = 0 和 0 ¾ f(i·) ¾ e' - 1;
(2) 平行千 y 轴的动直线 MN 与曲线 y= j（立和 y = e•· - 1 分别相交于点片和 P2 ;
(3) 曲线 y = f釭汃直线 MN 与工轴所围封闭图形的面积 S 恒等千线段 P1P2 的长度．
=
求函数 Y f(x） 的表达式． Pl74,21 题
七、证明题（本题满分 6 分）
假设函数f（心在[O,1] 上连续，在(0,1) 内二阶可导，过点A(O,f(O)) 与点 B(l,f(l)）的
直线与曲线 y=J（心相交千点 C(c,J(c)) ，其中 O < c< l. 证明：在(0,1) 内至少存在一点令
使j"C~) = o. Pl02,46 题
八、解答题（本题满分 10 分）
k 为何值时，线性方程组[—:：十＋K：厂勹二：2.，有唯一解、无解、有无穷多组解？在有解悄
—
工I-.1.:2+ 2:r3= 4
况下，求出其全部解． P218, 12 题
• 22 •九、解答题（本题满分 q 分）
设二次型 I = 计十辽＋ 叶＋ 2a工1.1.2+ 2/ll"2X:< + 2.l心经正交变换 X = J>y 化成 I =
兑＋2y; ，其中 x = (.1..I '.T2 ,X:i ).' 和y =(y, ，扣 ，.}'3)T 都是三维列向证，P 是三阶正交矩阵．试求
常数 a,(3. P243,l 题
十、解答题（本题满分 8 分）
设助机变址 X 和 Y 同分布．X 的概率密度为
四） ＝｛｀i ． o
< .J < 2'
O, 其他
(1) 已知事件 A = { X > 叶 和 B = !Y > a} 独立 ，且 P(/\ U B) ＝ 干，求常数 u;
1
(2) /求—X2的 数学期望． P283,5 题
+— 、解答题（本题满分 8 分）
假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t) 服从参数为入（的泊松分布．
(I) 求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；
(2) 求在设备巳无故防工作 8 小时的情形下，再无故陀运行 8 小时的概率 Q.
P264, 10 题
• 23 •199-1 年全国硕士研究牛招牛考试
数学（ 二 ）试题
—、填空题（本题满分 口 分，每小题 史｝ 分）
+
(1) 『 .r |.1· 1 中 ＝ Pll5, 13 题
-2 2 + x2
(2) 巳知/(To) = - I, Ii m ~ P84,3 题
工-~0 「Cxo - 2x) - f(.1。 一x)
+ dy
(3) 设方程 e·'-" y2 = cos:r 确定y 为．1 的函数，则一＝ P89,14 题
d:r
0 a1 0 ... 0
0 0 a2 ... 0
(4) 设 A = ，其中 u, #- O,i = 1,z,...,n,则 A一l = •
0 0 0 ··· a.,-1
a., 0 0 ··· 0
Pl85,10 题
(5) 设随机变撮 X 的概率密度为
2、飞·, O<:i- < 1,
贮）＝｛
0, 其他
1
以 Y 表示对 X 的三 次独立重复观察中事件 {X 冬 一｝ 出现的次数，则 P{Y = 2} =
2
P264, 11 题
二、选择题（本题-满分 I , 分，每小题 ，1 分）
(1) 曲线 y = e'· arctan 工2+x —] 的渐近线有
（工— l)(i·+2)
(A)l 条 (B)2 条
(C)3 条 (0)4 条 P96,34 题
(2) 设常数入 ＞ 0,而级数2吐收敛，则级数2(-l)＇, | |
(ln
,？-l,＇=1 二
(A) 发散． (B) 条件收敛
(C) 绝对收敛． (D) 收敛性与入有关 Pl55,5 题
(3) 设 A 是 111 X 11 矩阵，C是 II 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B = AC 的秩为 r1 ，则
>
(A)r r1. (B)r < r1.
(C)r = r1, (D)r 与 r1 的关系依 C 而定． Pl92,20 题
(4) 设 O < P(A) < 1,0
巳知曲线 y = a /x(a 0) 与曲线 y= In石：在点(xo •Yo) 处有公共切线，求
(1) 常数 a 及切点(xo,Yo);
(2) 两曲线与 x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积 V". Pl29,45 题
八、证明题（本题满分 6 分）
+ =
假设 f（工）在 [a, oo）上连续，／＇釭）在 (a, 十 OO）内存在且大千零，记 F(x)
f(:r) - f(a)
(x>a)．证明：F(x) 在（a，十 oo) 内单调增加． P94t30 题
x-a
• 25 •九、解答题（本题满分］1 分）
设线性方程组』::三；三．： 三\
:
+ +
r1 a1心i·2 a;x;; =a·;.
（］）证明：若 uI 心，（／• ,(II 两两不相等．则此线性方程组无解 ；
(2) 设 a1 = a:1 = /~,a2 = a1 = -k(k # 0) ，且已知 fJ1 ，儿是该方程组的两个韶，其中 Pl =
（一 ］，］， l ）l ,µ = （ I_ ． )， — l)l ．写出此方程组的通解． P218,13 题
十、解答题（本题满分 8 分）
[0 0 I
设 A yl 有三个线性无关的特征向扯，求上和 y 应满足的条件． P233,10 题
= :r l
] 0 0
十一、解答题（本题满分 8 分）
假设随机变扯 X1 ,X2 ,X~ .X1 相互独立，且同分布 ．
P{X, = O} = 0. 6,P{X, = 1} = 0. Hi= 1.2.3.4)
X1 X2
I 的概率分布．
求行列式 X = x3 xI P274,12 题
十二、解答题（本题满分 8 分）
假设由自动线加工的某种零件的内径 X（毫米）服从正态分布 N(µ,l) ，内径小干 10 或大
千 12 为不合格品，其余为合格品． 销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利
润 T(1v．位 ：元）与销售零件的内径 X 有如下关系：
1;ol, f。二:~~
T = 12,
- 5. X > 12
问平均内径，u 取何值时．销售一个零件的平均利润最大？ P283,6 题
• 26 •1995 年全国硕士研 究生 招生考试
数学（ 三 ） 试题
一、填空题（本题满分 1 5 分 ，每小题 3 分）
l
( l ) 设 f(.r) = ~ - ..l. '则 j{,') (.i) = P89,15 题
l + x
(2) 设 之 ＝ ryf尸） ..I飞四 llj导 ．则 瓦 ＋ y.::''.. = _ . P134,10 题
(3) 设 I'（ln 巳r) = 1 +.r, 则 ［G） = P112,4 题
1 0 0
（1 ) 设 A 是 A 的伴随矩阶 ．则(A )
= [2 2 Ol .A l = Pl86, 11 题
3 4 5
(5) 设 X1 ,…,X,， 是来 自汇态总体 N(p，矿） 的简单随机样本，具中参数 p,rJ2 未知． 记 X =
2
气：X, 灯 ＝ （X, －X)j ，则假设H,） : µ = 0 的 I 检验使川的统计扯是 ． （最新
II
大纲 已不考此知识点 ）． P.308,1 题
二、选择题（本题满分 ］3 分 ，每小题 3 分）
/( l) —/( l - 1·) J
( I ) 设／．G) 为可导函数， 11 满足条件lim =- ].如1 曲 线 y = (1) 在点
,- ., 2.1
1
( l. ／（ l)） 处的切线斜，年为
(A)2. (11) - l.
l
(C) 千· (0) - 2. P84,4 题
2
(2) 下列广义积分发散的址
(B ` I )jdr .
(J\)f l ~• -1Jr=?
I Sll1 、T
j
(C) .) o e--r: d ·· . · 1 - . · ( · D - · ) J ［ x 上 －． P126,37 题
2 In"、．r
(3) 设矩l竹· A，心，， 的秩为，（A) = m < n,E,＇， 为 m 阶单位矩阵．则下述结论中正确的是
(A)A 的任意 m 个列向 队必线性无关，
(B)A 的任意一个 m 阶子式不等于零．
（C) 若矩阵 B 满足 JJA = 0，则 B = 0.
(D)A 通过初等行变换，必可以化为(l九 ，0) 的形式． Pl92,,21 题
(4) 设助机变屈 X 和 Y 独立1i11分布，记 U = X - Y.V = X + Y，则陆机变扯 U 与 V 必然
( J\) 不独立． ( B) 独立．
(C) 相关系数不为零 ([))相关系数为零 P290,19 题
(5) 设随机变扯 X ~ N(／仁矿 ） ．则随着 6 的增大 ．概率 P{I X -µ l < a)
(A) 」们周增大． （B) 单i周减小．
(C) 保持不变． （D) 增减不定． P265,12 题
· 27 •三、解答题（本题满分 6 分）
,2v( 1,rc O sxd, tt <
- 。 、 丿 X 0,
f ( ) __ 工 2
设 工 l t .. 工＝ 0，讨论 f（工）在 x=O 处的连续性和可导性．
l c s t 2
一 。 工＞ 0.
工
P85,5 题
四、计算题（本题满分 6 分）
已知连续函数 f(x) 满足条件 f(x) = f：勹．（令）dt+e兄求 f(x).
Pl68,4题
五、解答题（本题满分 6 分）
将函数 y = ln趴收益对价格的边际效应纠 ＝ c一1．
“~ "
1
(D) 若级数区江收敛，且 u. ~ v. (11 = 1'2,．．．)，则级数~v,，也收敛． P155,6 题
"~l n-1
(3) 设 n 阶矩阵A 非奇异(n~2),A" 是矩阵 A 的伴随矩阵，则
(A)(A ·) • =IA,,,_1A. (B)(A ·) • =IA 1•-I-IA.
(C)(A*)* =IA 1•-2A. ([))(A·) • = I A 1 • +2 A. P186t12 题
• 30 •(4) 设有任意两个 II 维向队组 a1 ,… ．a,＇，和 P1,… ,/J," ，若存在两组不全为零的数入I'… ，入，＇， 和
k I'... ',~,,, '使（入1 + k1)a, + …+ （入，＇， 十 k,＇,)a,i, + （入1 一 九）几 十 … ＋ （入，＇， — k,＇,）几，，＝ （），则
(A)”1 ,…立，＇， 利1 /JI•… ,p,＇， 都线性相关．
(B)a, ,…立，＇， 和/JI'… ，p,＇， 都线性无关．
(C)” 1 + p1,… ,a,＇，十/J,,, ,a1 - /J1 ,… ．a,＇，一几，，线性无关．
(D)a, + P1, ··· .a,＇， 十几， m —pI ·…,a,', - p,＇， 线性相关． P20'2,9 题
< <
(5) 已知 0 P(B) l,H P[ (A1 +IU I B] = P(AI I B) + P(A2 | l3) ．则下列选项成立的
是
m.
(A)1叮(A1 + /\2) I TI] = p (/\ I I 万） + P(Aj 1
(B)P(AI B+ AJB) = P(A B) + P(A2B).
(C)PCA1 + /\,) = P 伈
(l) 求µ在何范围变化时，使相应销佐额增加或减少；
• 31 •(2) 要使销售额最大，商品单价 p 应取何值？最大销售额是多少？ Pl07,60 题
八、计算题（本题满分 6 分）
求微分方程虹 =y-J了丁了
的通解． P168,S 题
dx
工
九、解答题（本题满分 8i分）
设矩阵A- ~ !]·
[~
(1) 已知 A 的一个特征值为 3，试求 y;
(2) 求矩阵 P，使（AP)T(AP) 为对角矩阵． P249,12 题
十、证明题（本题满分 8 分）
设向量组 “”“2,…,"，是齐次线性方程组Ax= 0 的一个基础解系，向量，不是方程组
Ax =O 的解，即 A/I:;= 0．试证明：向量组 p.,＋“”,＋a2,… ,p+a，线性无关． P203,10 题
十一、解答题（本题满分 7 分）
假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0．趴机器发生故障时全天停止工作．若一周 5
个工作日里无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障仍可获利润 5 万元；发生两次故障所获利
润 0 元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元，求一周内利润的期望是多少？
P284,7 题
十二、解答题（本题满分 6 分）
考虑一元二次方程丑＋Bx+C=O，其中 B,C分别是将一枚色子（骰子）接连掷两次先后
出现的点数，求该方程有实根的概率 p 和有重根的概率q. P259,21 题
十三、解答题（本题满分 6 分）
假设X1,X2,…，凡是来自总体X 的简单随机样本，已知E =ai(k = 1,2,3,4)．证明
当 n 充分大时，随机变盘 Z,, ＝上区X7 近似服从正态分布，井指出其分布参数．
n
i=l
P295,3 题
• 32 •1997 年全国硕士研究生招生考试
数学（三）试题
一、填空题（本题满分 15 分，每小题；1 分）
(1) 设 y = J(ln x)e回，其中 J可微，则 dy=~· P89,17题
(2) 若函数阳） = i扫六厅＝了L平）d.T，则［肛）dx=_. P115,14 题
(3) 差分方程 Yt+I - y, = t2' 的通解为 . P172,17 题
(4) 若二次型 J(.x口立，又．3) = 2式十式十式＋ 2工1.x2 + l.rzX3 是正定的，则 t 的取值范围是
P247,7 题
(5) 设随机变量 X 和 Y相互独立且都服从正态分布 N(0,3勺，而 X1,…，凡和 Y1,···，比分别
x1 +…
+X
是来自总体 X 和 Y的简单随机样本，则统计扯U= 9 2 服从 分布，参
✓诈＋…十Y9
数为 P297,2 题
二、选择题（本题满分 15 分，每小题 3 分）
(1) 设函数应） = I1-叩.rsin t2dt.g(.r) ＝立三，则当工一 0 时，J(.x）是 g(.x）的
5. 6
(A) 低阶无穷小． （B) 高阶无穷小．
(C) 等价无穷小． （0) 同阶但不等价的无穷小． p79:;24 题
(2) 若函数 J（一x) = f(工）（－00 ＜ .x ＜＋OO) ，在（－CX)，o) 内 J'(.x)>O 且广（x) o,广(x) < 0. (B)j'(.x) > 0，广（.2·) > 0.
(C汀（工） ＜ o,/'(工) <0. (0)/'(、r) < o./'釭） > o. . P96.35 题
(3) 设向社组 «1,«2,a3 线性无关，则下列向社组中，线性无关的是
(A)”1 +a2,a2 +a3,a.I -al·
(B)”1 +a”“2 +a”“1 +2a2 +a3·
(C)a1 + 2az,2az + 3ap3a3 + «1.
a1 + «2 + «a.2a1 - 3a2 + 22aa,3a1 + 5az - 5a3. P203,ll 题
(4) 设A,B 为同阶可逆矩阵，则
(A)AB = BA. (B) 存在可逆矩阵 P，使 P-1AP = B.
(C) 存在可逆矩阵 C，使 CTAC = B. (D) 存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ = B.
P250,13 题
-1
(5) 设两个随机变扯 X 与 Y 相互独立且同分布：P{X =-1} = P{Y ==--1 } = ,P{X = I}
2
l
= P{Y =I}= —，而下列各式中成立的是
2
1
(A)P{X = Y} = ~2 . (B)P{X = Y} = I.
1 I
(C)P{X + Y = O} ＝一 4 ． (D)P{XY = 1} =-: 4 . P270,5题
• 33 •三、解答题（本题满分 6 分）
在经济学中，称函数 Q(x) = A[8K-r + (1-8)L-r]一士为固定替代弹性生产函数，而称函
数Q =AK8L1一8 为 Cobb-Douglas 生产函数（简称 c-o 生产函数）．
试证明：当 x-0 时，固定替代弹性生产函数变为 C-D 生产函数，即有limQ(x) = Q.
X刁．0
Pl08,61 题
四、解答题（本题满分 5 分）
设 u=J亿y,z) 有连续偏导数，y=y釭）和 z = z(x) 分别由方程e“-y=0 和 e:-.rz =
du
0 所确定，求c一1x· P135,12 题哺
五、解答题（本题满分 6 分）
一商家销售某种商品的价格满足关系 p= 7-0．幻（万元／吨），x 为销售扯（单位：吨），商
品的成本函数是 C=3工＋ 1(万元）．
(1) 若每销售一吨商品，政府要征税 t（万元），求该商家获最大利润时的销售扯；
(2)t 为何值时，政府税收总额最大． Pl08;62 题
六、解答题（本题满分 6 分）
设函数 f(x) 在［0，十OO）上连续、单调不减且 J(O） ~o．试证函数
F(x) = ｛廿:,寸(t)dt, x>O
o,
x=O
>
在［0，十OO）上连续且单调不减（其中 n 0). Pl19,25题
七、解答题（本题满分 6 分）
从点 P) （l,0) 作工轴的垂线，交抛物线 y = x2 于点 Q)(l,1) ；再从 QI 作这条抛物线的切
线与 x 轴交千 P2．然后又从几作 x 轴的垂线，交抛物线于点 Q2 ，依次重复上述过程得到一系
列的点 P1,Q. ;P2,Q2;…;P.,Q.1…
(1) 求＠气；
(2) 求级数Q亢＋互亢＋…＋互亢＋…的和，其中 11(11~ 1) 为自然数，而对亢石表示点
M1 与队之间的距离 Pl60,17题
八、解答题（本题满分 6 分）
设函数f(t) 在［0，十～）上连续，且满足方程j.(t) ＝ e扛I2+ 』 f（主 J了干了）dxdy,
.r2+y2<·1,2
求 f(t). Pl69,6 题
• 34 •“”“'l r1”'．r“1．全·＇,f·,』,'，它-二 ------=．六Z严＿__ __ ＿一 ·一
九、解答题（本题满分 6 分）
设 A 为 n 阶非奇异矩阵，a 为 n 维列向证，b 为常数．记分块矩阵
1J.Q
P=[＿“飞． I! [;勹
=
其中 A 是矩阵 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵．
(1) 计算并化简 PQ;
(2) 证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是aTA-1a # b. P187,13 题
十、解答题（本题满分 10 分）
设3 阶实对称矩阵A 的特征值是 1,2,3；矩阵A 的属于特征值 1,2 的特征向扯分别是“1=
(-1,-1,l)T,«2 = (1,-2,-lfr.
(1) 求 A 的属千特征值 3 的特征向扯；
(2) 求矩阵 A. P237,14 题
十一、解答题（本题满分 7 分）
<
假设随机变蜇 X 的绝对值不大于 1,P{X =— I}= -;;-,P(X== 1 } = ，在事件{-1
8 4
X
设函数 f(x) 在［1，十oo) 上连续．若由曲线 y = f(x) ，直线 X = 1,x = t(t 1) 与 x 轴
所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积为
V(t) ＝千盯(t)-f(l)]
试求 Y = f(x) 所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 YI ＝主的解．
x=2 9
Pl 74,22题
九、解答题（本题满分 9 分）
设向量 ”=(a1,az,…，a.)T,/J = (b1,hz,….b.)T 都是非零向扯，且满足条件矿/J = 0. 记
n 阶矩阵A ＝啡气求：
(l)A气
(2) 矩阵 A 的特征值和特征向批． P230,5 题
十、解答题（本题满分 7 分）
1 O 1
设矩阵A= ［0 0] ，矩阵B= （kE十A)2 ，其中k为实数，E为单位矩阵．求对角矩阵A,
2
1 0 1
使 B 与A 相似，并求 k 为何值时，B 为正定矩阵． P247,8 题
十一、解答题（本题满分 10 分）
一商店经销某种商品，每周进货的数批 X 与顾客对该种商品的需求盘 Y 是相互独立的随
机变量，且都服从区间[10,20] 上的均匀分布．商店每售出一单位商品可得利润 1 000 元；若需
求量超过了进货社，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为 500 元．试计算此
商店经销该种商品每周所得利润的期望值． P285~10 题
十二、解答题（本题满分 9 分）
设有来自三个地区的各 10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3份、
7 份和 5 份．随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份．
(1) 求先抽到的一份是女生表的概率 p;
(2) 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q. P256,14 题
• 38 •1999 年全因硕士研究牛招牛考试
数学（三）试题
一、填空题（本题满分 1:'i 分，每小题 3 分）
(l) 设 f位）有一个原函数兰一，则归'(..r)心 ＝ . Pll6, 15 题
心1（主）一I= P161, 19 题
1 0 1
(3) 设 A 0] ，而／1 诊 2 为正整数，则 A" Pl82,3 题
= [() 2 ·· 2A" ' — .
I O 1
(4) 在天平上重复称拭一重为 u 的物品，假设各次称扯结果相互独 立且 同服从正态分布
N(a,O. 2勹． 若以 Y,， 表示II 次称址结果的货术平均值，则为使 P{ I X,, -a l
1' X>Y, 1, X 2Y
(1) 求 U 和 V 的联合分布，
(2) 求 U 和 V 的相关系数P. P274,13 题
十二、解答题（本题满分 7 分）
设 X1,X2,…，凡是来自正态总体 X 的简单随机样本，
-
1 1 1 疫
1, X O,
Y {0, X 0,
= =
-J.X < O
则方差 D(Y) = P286, 12 题
二、选择题（本题满分 15 分，每小题 3 分）
(1) 设对任意的 3，总有叭l) < f(、1) < g(.r) ·且lim[g(x) - cp釭）］ ＝ 0，则limfC.r)
.,.....-
(A) 存在且笱千零． （B) 存在但不一定为零．
(C) 一定不存在． （D) 不一定存在． P73,4 题
J
(2) 设函数 j釭）在点 _r = Cl 处可导，则函数 I G ) I 在点 .),"= (I 处不可导的充分条件是
(/\)f(a) = 0 且 /(a) = 0. (B)f(a) = 0 且 f'(a) =I= 0.
<
(C)J(a) >O 且 {'(a) > 0. (D)f(a) <(）且 J'(a) 0. P86,7 题
(3) 设a1 ,a2 ,a. 是四元非齐次线性方程组心＝ b 的二个解向l心且 r(A) = :-l,a1 = (l.2,3,4)T.
+
az a~ = (0. 1, 2, 3)'1.（表示任意常数，则线性方程组 心 ＝ b 的通韶为 x =
1 Ol23
1 `,
I j I 十(. I; ( B 23 + 4 (Cl 』十：I 1il+Iil
丿、 (
(A) (D)
(
P219, 15 题
• 42 ·(4) 设A为 n 阶实矩阵，Al 足A 的年轻｀l罚矩1附则对千线忖方程组(1) ：心＝ （）和（II） ：A「A¥ =O，必有
(A)（ l|) 的附（是(:r) 的斛' .( J ) 的解也是（ II ）的韶．
(B)（ U) 的峭是(I) 的附，但(l) 的韶不是( II ） 的船．
(C)（ l) 的俯不是( ||)的前仁 ( |l) 的fII/（也不是(| )的解．
(D)(r) 的佃／：是(n) 的韶，但( l| ）的韶小是(I) 的解． P223,19 题
(5) 在电炉上安装了 4 个温控器．其显示温度的误差是随机的．有使用过程中，只要有两个温控
韶显7J~的温度不低千临界温度 1i) ．电炉就断电．以 E表示事件“电炉断屯＂，而 T0) 冬 T(2） 冬
T(iJ 冬 T,1J 为 4 个湍控器显示的按递增顺序排列的温度伯，则事件 E 等于
(A) { T,1, 多 I,,}. (B) { 'ml、12) 袤 1。 )． (C) { T1” 多 II, }. (I)) { T, ll 多 ，II},
P25兀15 题
三、解答题（本题满分 6 分）
求微分方程f. y" —Zy' - ei., = 0 满足条件 y(O) = l,y'(O) = l 的俯． PI72,l6题
四、解答题（本题满分 6 分）
计符二重积分lf-#了「了 如，具中 D 是山曲线y =-a + Jc尸二了(a > 0) 和直线
i.l ✓ll u i — .t 2 _ .y:
y =— .1 围成的区域 Pl47;9 题
五、解答题（本题满分 6 分）
假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的盂求函数分别是
/Ji = 18 - ZQ1, P2 = 12 - Q2
其中 /J1 和 µ2 分别表不该产品在两个市场的价格（单位 ：万元 ／ 吨） ．Q, 和 Q2 分别表不该产品在
两个市场的销售扒（即衙求址，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是
C = ZQ+ 5
+
其中 Q 表示该产品在两个市场的销售总批•1111 Q = QI Qz •
(1 ) 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售队和价格，使该企业获得
最大利润；
(2) 如果该企业实彷价格无差别策略．试确定两个市场上该产品的销售品及其统一的价
格，使该企业的总利润最大化，并比较两种价格策略下的总利润大小． PUl,27 题
六、解答题（本题满分 7 分）
求函数 y = (.r - l)cf'"正，的单凋区间和极值，并求该函数图形的渐近线．
• 4 3 •七、解答题（本题满分 6 分）
设 I. = J: sin"xcos xd工，n = 0,1,2,…，求2 l,1· Pl61,20 题
。 •=0
八、证明题（本题满分 6 分）
设函数 f(x) 在［0，六］上连续，且f。.f(x)dx = 0, J:J(x)cos xdx = 0试证明：在(0，六）内
。
至少存在两个不同的点 Ei,e2 ，使 f佑）＝ f伶）＝ o. Pl23,31 题
九、解答题（本题满分 8 分）
设向量组 “1 = (a,2,10)飞”2 = (- 2, 1'5) T'(13 = (- 1'1'4) T, p = (1, b'C) T. 试问：当
a,b,c 满足什么条件时，
(1)p可由 a1,a2,a3 线性表出，且表示唯一？
(2)/1不能由 «1,a2,a3 线性表出？
(3)/J可由 a1,a2,a3 线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式． P198,3 题
十、解答题（本题满分 9 分）
设有 n 元实二次型
f位，立，...，工”） ＝伈＋a心2)2 +伍＋a江3)2 +…+ （立1 +a.....1工")2 + （工．＋a占I)2
=
其中a;(i 1,2,…，n) 为实数．试问：当a1,a2,…，a. 满足何种条件时，二次型J(xl ，立，…，x.)
为正定二次型？ P248,10 题
十一、解答题（本题满分 8 分）
假设 0. 50, 1. 25,o. 80,2. 00 是来自总体 X 的简单随机样本值．已知 Y=lnX服从正态分
布 N(µ,D.
(1) 求 X 的数学期望E(X)（记 E(X) 为 b);
(2) 求µ的置信度为 0.95 的搅倌区间；（最新大纲不再考查）
(3) 利用上述结果求 b 的置信度为 0.95 的置信区间．（最新大纲不再考查）
P301,5 题
十二、证明题（本题满分 8 分）
设 A,B 是两个随机事件，随机变扯
{
X = l, 若 A 出现， 1, 若 B 出现，
Y={ -
-1, 若 A 不出现， 1, 若 B 不出现
试证明随机变盘 X 和 Y 不相关的充分必要条件是A 与 B 相互独立． P29l,20 题
• 44 •2001 年全日硕士研究牛招生考试
数学（ 三 ）试题
一、填空题 （本题满分 l:i 分 ，每小题，1 分）
(l) 设生产函数为 Q = AL•Kfi．其中 Q是产出脏，L 是劳动投入扭，K 是资本投入批，而 A,a,(3
均为大于零的参数，则当 Q = ] 时 K 关千 L 的弹性为 . Pl09,64 题
(2) 某公司每年的工资总额在比上一年增加 20% 的基础上再追加 2 百万元．若以 W 表示第 l
年的T资总额（单位:： ;百万 元）．则 w, 满足的差分方程是 Pl73,19 题
k I l l
(3) 设矩阵 A }』 且（A) 3，则 k
[}
= = = Pl93, 23 题
I I l k
(4) 设随机变扯 X 和 Y 的数学期望分别为 － 2 和 2，方差分别为 1 和小而相关系数为 －0. 5，则
<
根据切比雪夫不等式Pll X + Y | 多 6} P295,4 题
(5) 设总体 X服从正态分布 N(O心），而X1 ,X2 ,… .X1、是来自总体 X的简单陆机样本，则随机变
县
欢＋ ··· + X扎
Y=
2(Xf1 + …+ X名｝
服从 分布，参数为 P299,6 题
二、选择题（本题满分 口 分，每小题 3 分）
I'
(.1·)
(1) 设 j(.？) 的导数在 'l'= ll 处连续，又hm =- l ，则
.，一， .1·- Cl
（A归＝ （』是j.（J) 的极小值点
(B)`1 = a 是 J(.1.）的极大值点．
(C) ((i • / (u)) 是曲线 y = f (:r) 的拐点．
(D)1 =u 不是 j (．l) 的极值点，（＂, f(:a)) 也不是曲线 y = / （J) 的拐点． P94,31 题
1
(2) 设 g0) ＝ I:J.(u)如，具中 I ={ —(．广十 1) ,O,:;;;:r < 1' 则 g(.r）在区间(0,2) 内
G )
<
—(`1· - l). l ～1、冬 2,
3
(A) 无界． （B) 递减
(C) 不连续． （D) 连续． Pl20,27 题-i
- iIl u
II
i - “,
I1
J
2
a
2
a ”
l j
a“
一 一
” ”
4.' I
““
'
”
,
“ _l
1
l
I
”
I
“_a
I1
3
a
I
ua
2
auu all_uaz lal_la _O OO_Ol0O0l l
o
O-
o o
- -l
O O
0-
O
0O 1 lOO0O OO l
( 3) 设 A __ ?- 23 2 飞 __ 2 . I . 4 勾 劝 龙 上 __ 1 上 = ,
4'3-1l 2, ~ ．人”人 4 1, 上 " •• 1 2
1
0
I l 2
' M
其中 A 可逆，则 Bl 等于
(A)A 1P 1P2. (B)P1A 1Pt.
(C)1'IRA l. (D)PiA 1P1. P182,4 题
• 45 •(4) 设 A 是 n 阶矩lW.a 是 1／绯列向屈． 若 r[:T r(A) ．则线性方程组
“T a0] =
o
(A)Ax = a 必有无穷多解 CB)Ax = a 必有唯一解．
[:T
”]［勹＝ 0 仅有人斛 (D）尸， ＂］勹＝ 0 必有非冬俯
(C) a 'OJLyJ .. .. .... La 'OJ Ly
P220, 16 题
(5) 将一枚硬币正复掷 II 次．以 X 和 Y 分别表示正而向上和反面向 上的次数 ．则 X 和 Y 的相关
系数等千
c l
(A) - 1. (13)0. ( 、｀， _2 (D) 1. P291,21 题
三、解答题（本题满分 5 分）
设 II =
f(.i·
•Y心）有连I续 的一阶偏导数 ．义函数 y = y釭）及 ．:: = 之口） 分别由下列两式确
·
定 ：e·''' 一．ly =2 和 cr = ．，一： 皿纽，求业
Pl36,15 题
d.l. ·
n /
四、解答题（本题满分 6 分）
!
巳知 ．f（.1.-）在（一 =, 十 Co) 内可导 ，且!i~1.f'(.1） = e屯m (： 一::) r = 1.m[ / (1) —/(.r -
l)］，求（的值． P74, 12 题
五、解答题（本题满分 6 分）
求二重积分』ry[l +几飞占“2 v~) ]d1cly 的值．其中 D 是由直线y = :r,y = - I 及 .r = 1 I月成
的平而区域． P147,10 题
六、解答题（本题满分 7 分 ）
< >
已知抛物线 y = ！）尸 ＋（p（其中 p 0,11 0).(1第一象限内与直线 _.,_.+_\' = 5 相切，且此
抛物线与 .1. 轴所围成的平面图形的面积为 S.
( I ) 问 p 和 q 为何值时 ，S 达到最大忙i'1(2) 求出此最大值． P129,46 题
七、解答题（本题满分 6 分）
设 j釭）在[O. I] 上连续 ．在CO. I ) 内可导，且满足
J (l ) = k『ICI'．「(．1)山 (K > l)
"
ii| I川至少存在一点 EE co. I ) ．使得 I'(8 = (l - E一I )f符）． Pl03,50 题
• 4 6 ..八、解答题（本题满分 7 分）
巳知 j.，心）满足
J ', (1) = I ,,(3·) + .1”1 e' (n 为正整数）
且 J.', (l) = －e ，求函数项级数沁飞r,，(．r) 的和． PI.61,21 题
ll
" I
九、解答题（本题满分 9 分）
1 l a I I J
设矩阵 A ll ll,p [ l l． 已知线性方程组 Ax p有fii(（但不唯一 ，试求 ：
= u = =
a I 11 I- 2
（］ 切的伯；（2) 止交矩阵 Q．使 QTAQ 为对角矩阵． P237,15 题
十、解答题（本题满分 8 分）
设 A 为 II 阶实对称矩阵 ．r(A) = 11,A;; 是 A = (a,; ),,v,，中元素 u,，的代数余子式(i,j =
I, 2. ···,11)． 二次型
r 2” “A
(.l. 1, ~1 2 ,… ，工，，） = 2 — I A I r，屯
,= I j=I
(1) 记 x = (.l!,-l i ，… 立，，）T •把 J(.1 l 心 ，… 心，，）写成矩阵形式，并证明二次型 j(x) 的矩
阵为．广；
(2) 二次邸 1-;(x) = x·1心与 ．f （x) 的规范形是否相同？说明理由． P250,l:i 题
十一、解答题（本题满分 8 分）
一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重址是随机的． 假设每箱平均重 50 于克，标准差为
5 千克． 若用最大载重脏为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明匈辆车最多可以装多少
=
箱，才能保陷不超载的概率大于 0. 977. （中(2) 0.977，具中 中（:r) 是标准正态分布函数．）
F295',5 题
十二、解答题（本题满分 8 分）
I
设随机变扯 X 和 Y 的联合分布是正方形G= ｛ （凸y) 1 冬 立 冬 3, 1 冬 y~3) 上的均匀
分布，试求助机变扯 U =I X — Y I 的概率密度 p(II)． 广砬诉，贞题
• 47 •2002 年全国硕士研究生招生考试
数学（三）试题
一、填空题（本题满分 15 分，每小题 3 分）
n-2na 十 17"
(1) 设常数 a# － 2 ，则 n l - i O m O ln [ n(1- 2a) t ] = P77,19 题
(2) 交换积分次序：I：dyI勹 :" f f ((xx,,yy))c心lx + 中心了 x,y)clx= P153,24 题
1 2 -2
(3) 设三阶矩阵A= ［: ; : l ，三维列向量”= （a,1,1)气已知应与a 线性相关，则 a
=
P204,12 题
(4) 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为
一 1 0
。 0,07 0.108 .3 2 o. 15
0.08 0.20
yz) =
则 X2 和 Y 的协方差 Cov(X2, P288,16 题
(5) 设总体 X 的概率密度为
e一(.r-0)' 工 ~0.
f (x;(J) = {
O, x J/1 II寸仅有零解 (B) 当 II > Ill 时必有非零韶．
>
(C) 当 Ill II 时仅有零解． （D) 当，n > II 时必有非零解 P212,4 题
(,1) 设A 是n 阶实对称矩阵，P是n 阶可逆矩l件， 已知 n 维列向·111:a 是A 的屈于牡征（直入的特征
向量，则矩阵(P 1AP），「 屈于特征俏入的特征向址是
(A)r 1a. (B)Pl a. (C)J,a. (D} (J> i) ·1 a.
P231~7 题
(5) 设随机变卧 X 和 Y 都服从标准正态分布，则
+
(/\)X+Y 服从正态分布 (Ji)X; Y; j服从 X一 分布．
(C)X2 和 Y3 都服从 X3 分布 (D)X勹Yi 服从 F 分布． P299,7 题
三、解答题（本题满分 5 分）
『 [J:' arctan(l
+ I) dt ]du
求极限l .,.. m ... 1 ,;.() 1 。 · (1 - cos .r) Pl21,28 题
四、解答题（本题满分 7 分）
设函数 II = ．/（.J.，y，之）有连续偏导数，且..: = 之(x,y) 由力程 ．IL、J ye···= 之C. 所确定求 d11.
-
Pl37, 16 题
五、解答题（本题满分 b 分）
设 f (sin2.r) = ..l ，求］石 f. (.1)d.1. Pl13, 7 题
sin ..l、二
六、解答题（本题满分 7 分）
设队是由抛物线 y = 2.i:' 和直线 .1" = ll,.I" = 2 及 y= （） 所川成的平面IX域；队是巾抛物
线y =2.1..2 和直线 y =O,x = a 所围成的平面队域，其中 0 < a < 2.
(1) 试求 D1 绕立轴旋转而成的旋转体体积 V1; ［斗 绕 y 轴旋转而成的旋轧休休积 V2 ;
(2) 问当 ll 为何值时．V1 十 忆取得最大伯？试求此最大值 Pl30,47 题
七、解答题（本题满分 7 分）
.,.
+ `-1. l.“+“ -1 · · .1 ·'"
(l) 验证函数，.)（ ·）1. = 1 3 ! + . - 6 ! . 9 ! (311) ! ＋ …（一 宁－） <.z- <+ -, ）满足微分
方程
y" + y' + y = c'
I',
• _ :
(2) 利用（ I) 的结果求幕级数 2: 上 的和函数． P162,22 题
;-:-;, (311) !
• 4 !).八、证明题（本题满分 6 分）
设函数 f(x),g(工)在[a,b] 上连续，且 g（工） ＞ 0. 利用闭区间上连续函数性质，证明存在
一点e E [a,b]，使
I：尸扣）扣＝庶）『正）d工
Pl23,32 题
"
九、解答题（本题满分 8 分）
设齐次线性方程组
"
m +比？2 ＋如．3 +…＋缸．＝ 0
｛缸＋立2 +··?.3．十··· ＋妃＝
0
缸1 ＋如：2 十如:3 +...十”." = 0
其中 a=/=O,b=/=O,n~2．试讨论a,b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组
解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解． P21.2,5 题
十、解答题（本题满分 8 分）
设 A 为 3 阶实对称矩阵，且满足条件A2 +2A = 0，已知 A 的秩r(A) = 2.
(1) 求 A 的全部特征值；
(2) 当 k 为何值时，矩阵 A+kE 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵． P238,16 题
十一、解答题（本题满分 8 分）
假设随机变址 U 在区间[-2,2] 上服从均匀分布，随机变扯
X={ － 1, 若 U~-l, -1, 若 U< 1,
l，若 U>－ l, Y= ｛1，若 U>1
试求：（l）X 和 Y 的联合概率分布；（2)D(X+Y>. P286,13 题
十二、解答题（本题满分 8 分）
假设一设备开机后无故障工作的时间 X服从指数分布，平均无故障工作的时间 E(X) 为 5
小时设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机．试求该设
备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 F(y). P275,15 题
• 50 •2003 年全国硕士研究生招生考试
数学（三）试题
一、填空题（本题满分 21 分，每小题 1 分．）
1
(I) 设 f(.1·) {.1ACOS 了＇ 尹 0，其导函数在工＝ 0 处连续，则入的取值范围是
= .
O,.r=O,
P86,8题
(2) 已知曲线 y = XJ — 3a2.l·+b 与.l· 轴相切，则片可以通过 a 表示为b2 =
P93,26题
{a , O~x~I,
(3) 设a>O，卢） ＝卢） = 而D表示全平面，则 I=『八心g(y－工）扛dy=
o,
其他，
D
Pl48,ll 题
…
(4) 设 n 维向量a = (a,O, ,O,a)"r,a< O;E 为 n 阶单位矩阵．矩阵
A=E－己，B=E+ 长矿
其中 A 的逆矩阵为B，则 a= P187,14 题
(5) 设随机变址 X 和 Y 的相关系数为 0.9，若 Z = X-0. 4，则 Y 与Z 的相关系数为
P291,22 题
(6) 设总体 X 服从参数为 2 的指数分布，X1,X2,…，X,，为来自总体 X 的简单随机样本，则当
1
n-00 时，Y.= －~X; 依概率收敛于 . P296,6 题
11 ;- 1
二、选择题（本题满分 2/1 分，每小题 l 分）
(1) 设 f(.r）为不恒等千零的奇函数，且 f(0) 存在，则函数 g（工） ＝丛三2
又．
(A) 在 x=O 处左极限不存在． （B) 有跳跃间断点工＝ 0.
(C) 在工＝ 0 处右极限不存在． （D) 有可去间断点 x=O. . P87,9 题
(2) 设可微函数 f(.r,y) 在点(xo •Yo) 取得极小值，则下列结论正确的是
(A)J(xo,y) 在 y=y。处的导数等千零． （B)f位。，y) 在 y=y。处的导数大于零．
(C)f(xo •Y) 在 y=y。处的导数小千零 (D)f (xo,y) 在 y=y。处的导数不存在．
Pl42,28 题
a,, +| a,, | an -| a,, |
(3) 设 p. = , q" = ·tn · = 1,2·, ， 则下列命题正确的是
2 2
(A) 若2沾．条件收敛，则 ~p,，与 ~q．都收敛．
,l= 1 n=I "= 1
(B) 若~a“ 绝对收敛，则 2沙”与 2访．都收敛．
1”=1
＂一1”=
(C) 若.2许，，条件收敛，则 ~p. 与芝q" 的敛散性都不定．
·=
~I n-1
1
(D) 若2许，，绝对收敛，则 ~p,，与 ~q,，的敛散性都不定．
Pl56, 7 题
"= 1 n=I "= 1
• 51 •a b b
(4) 设三阶矩阵 A= ［b l)］，若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有
a
b b a
(A)a = l) 或a + 2b = 0. (B)a = b 或a+ 2b =I= O.
(C)a =I= b 且a+ 2b = o. (D)a =i= b 且"+2b =I= o. P193, 24 题
(5) 设 q,“2,···,a，均为 n 维向社，下列结论不正确的是
(A) 若对千任意一组不全为零的数 K1 ，如，...,k, ，都有 k1a1 + k2a2 +... + k,a, =I= O, 则
q,“2,…，"，线性无关．
(B) 若q,“2,…，＂，线性相关，则对于任意一组不全为零的数Ki ，如，…，k，，有K1”1 +k2”2+···
+k.a, = 0.
(C)a1,a2,…，a，线性无关的充分必要条件是此向猛组的秩为 s.
(D)””“2,…，a，线性无关的必要条件是其中任意两个向社线性无关． P204,13 题
(6) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：Al = ｛掷第一次出现正面｝，A2= ｛掷第二次出现正
面｝，儿＝ ｛正、反面各出现一次｝，A．1 =｛正面出现两次｝，则事件
(A)A1,A2，儿相互独立． (B)A2,A3,A』相互独立．
(C)A1,A2,A3 两两独立． (D)Az,A3,A4 两两独立． P257,16 题
三、解答题（本题满分 8 分）
l l l l l
设痄） ＝云十忑石飞(l －工）年［于），试补充定义 J(l) 使得 f(x) 在［½,1]上
连续． P81,30题
四、解答题（本题满分 8 分）
设 J(u,v) 具有二阶连续偏导数，且满足 叮而+荒打 ＝ 1，又 g(x,y) = J［工y， 1 产－yz)]'
求臼＋甘． P137,17 题
五、解答题（本题满分 8 分）
计算二重积分』e九r2+y2_冗)sin(工2 + y2)扣dy，其中积分区域 D = { (x, y) I x2 + y2 ~ n-}.
D
P148,12 题
六、解答题（本题满分 9 分）
- —
求幕级数 1 ＋区（ l)', x 2n 0)，其中二次型的矩阵
A 的特征值之和为 1，特征值之积为一 12.
(1) 求 a,h 的值；
(2) 利用正交变换将二次型 f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
P244,3 题
十一、解答题（本题满分 13 分）
设随机变盐 X 的概率密度为
卢）＝卢::
[1,8],
o,
其他
F（工）是 X 的分布函数．求随机变丑 Y= F(X) 的分布函数． P266,16 题
十二、解答题（本题满分 13 分）
设随机变址 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为
x~( 1 2
0. 3 0. 7)
而 Y 的概率密度为f(y) ，求随机变批 U= X+Y 的概率密度g(u). P276,16 题
• 53 •2004 年全同硕士研究牛招牛考试
数学（ 三 ）试题
一、填空题（本题满分 21 分，每小题 1 分 )
（］）若lim sm 工 (co、 x-b) = 5,则 ci = ,I) = P78,21 题
J-.o c·· - a
(2) 函数 j.（1卢））由关系式几｀飞g(y) .y] = 、T'+g(y) 确定，其中函数队y) 可微，H g(y) ＃趴则
护j`
= Pl37,18 题
31,3v
l_
l < <
(3) 设 j、(.1） = ［勹，．， -T _ 2 ] X 2 , 贝 _ `2 i a j ( ?^ 1 、丿 d 工 __ P116,17 题
娑 2 _ ' '-
(4) 二次型 J（中心 ,.r:i ) = Cr1 +.1.:2)~ +（文·2 — .11)2 + (..l1 +.1"1)2 的秩为 .
P245,4 题
(5) 设随机变址 X 服从参数为入的指数分布，则 P{X >✓万双了｝ = . P287, 14 题
(6) 设总体 X 服从正态分布 N（伈石），总体Y服从止态分布 N（伈矿），X1,X2 ，…,X,＇，和Yi,Yi ，嘈··,
"1 "1
归厂心 (Y`
Y", 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则 E[ , +n2 二12
=
l 1/1 ]
P299,8 题
二、选择题（本题满分 也 分，每小题 4 分）
.J.. I
sin灯 － 2)
(7) 函数 f釭） = - ？ 在下列哪个区间内有界
.rC1·- l)C.1- 2) -
I ．则 I:u,， 发散． ＠若2 伍， 十u,,) 收敛，则〉II,＇ -i>人， 都收敛．
".. u
" " I " I “ l,,- l
则以上命题中正确的是
(A)(i)@. (B)@@. (C)@@. （D)(i)@． P156,8 题
( 11) 设 j'(1) 在[a,/J] 上连续·且 l'（四 ＞ 0.j '(b) ＜ 队则下列结论中错误的是
(A) 至少存在一点 ru E (a,b) ，使得 j(义")> I（四．
> /
(B) 至少存在一点 ro E (a. b) ，使得 J(m ) (b).
(C) 至少存在一点 ~m, E ((1 .b) ，使得 I'（-ru) = 0.
(D) 至少存在一点 兀 E (＂山），使得 I(.rn)
—0.
P95,32 题
(l2) 设＂阶矩阵A 与 B 等价，则必有
（A) 当 I A I= aC a =I= 0) 时， I B I= a. (B) 当 I A I= u(a =/= O) 时， I B l=-a.
(C) 、11 I A 1-=fc. o 时， I B I= 0. (D) 当 I A I= 0 ll寸， I B I= 0.
P183,5 题
( 13) 设 71 阶矩阵A 的伴随矩阵A. #- 0诺迁］， 女 ，女， ；］是非齐次线性方程组 Ax = b 的互不
相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系
(A) 不存在． （B) 仅含一个非扫佣向ill..
(C) 含有两个线性无关的韶向扯． （D) 含有＝．个线性尤关的韶向狱．
P214,7 题
(l4) 设随机变屈 X 服从正态分11i N(O, 1) ，对给定的 a E CO,l) ，数 u,，满足 I彗X > u.} = a． 若
P{I X I＜习＝ Q，则 ．1、.等千
(B()D )
(A) l／于· l IU 告
(C) l／宁· , P26.6, 17 题
。
三、解答题（本题共 9 小题，满分 们 分．解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤 ．）
( 15) （本题满分 8 分）
. m ' 11 c 0s? }T2 \ j,
求 , j , s. I 2 工 . 1 P75,13 题
v
(16) （本题满分 8 分）
叶石亡勹＋y）由．其中 D是由圆 I2 气＝ ,1 和(.1十 ］）｀！ 气＝ 1
b
x
所围成的平面区域（如图）． Pl49,13 题
(I 7) （本题满分 8 分）
设 jU) ｀g（工）在[u,b] 上迕纹，且满足
I
『J (t)dt ~ Lg (L)dt,.r E [a,/J), {f:II ((tt))ddtt == I:g (t)dt
,;
证明［可 Cr)d.r ~ [厂rg(.1）d
? . Pl24,33 题
`'
• 55 •(18) （本题满分 9 分）
设某商品的需求函数为 Q = 100-5p，其中价格 p E (0,20),Q 为需求量．
(I) 求需求批对价格的弹性丘O);
dR
（ II ）推导— =Q(l-Ed)（其中 R 为收益），并用弹性丘说明价格在何范围内变化时，降
dp
低价格反而使收益增加． Pl09,65 题
(19) （本题满分 9 分）
设级数二二－＋ + ＋…（－00 ＜ .r ＜+oo) 的和函数为 S(.r）．求：
2X4. 2X4X6. 2X4X6X8
(1)S(.r）所满足的一阶微分方程；
([I ）S（工）的表达式． P170,9 题
(20) （本题满分 13 分）
设 01 = (1,2,O)T心＝（l ，a+2, —3a)管「，＂3= （一l,-b-2,a+Zb)r,/J= (l,3,-3)r.
试讨论当 a,b 为何值时：
(l 准不能由 “”“2,a3 线性表示；
（ II ）p可由 “1,a2,a3 唯一地线性表示，并求出表示式；
（皿准可由 “”“”“3 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式． P220,17 题
(21) （本题满分 13 分）
-lb-
b
"."•
b
__
l b
, A
设l 阶矩阵 ,
＿ …
（ … …
（ ＿ b
征 b ．" l
I)I 求 ) A 的特阵值和特征向 扯 .'
求 逆矩 使得 F ）
可 E A 为对角矩阵
P234,13 题
P
(22) （本题满分 13 分）
设 A,B 为两个随机事件，且 P(A) = 1 ,P a,
o, x~a
其中参数 a>0,[3>1．设 X1,X2,…，凡为来自总体 X 的简单随机样本．
(l) 当 a= 1 时，求未知参数p的矩估计址；
（ II ）当 a= 1 时，求未知参数p的最大似然估计扯；
=
（川）当 /3 2 时，求未知参数 a 的最大似然估计扯． P302,7 题
• 56 •2005 年全 国硕士研究生招生考试
数学 （ 三 ）试题
－姐空题（本题满分 24 分，每小题 4 分）
(1) 极限limxsind.1.－ =
P75,_14 题
.r--•= .i·' + 1
(2) 微分方程 xy' + y = 0 满足初始条件 y(l) = z 的特解为 .
(3) 设二元函数 z = :rer+> ＋釭＋ l)lnO +y) ，则 d习 = l皿，19 题
(l.Ol
(4) 设行向狱组 (2,1,1,1), (2,1,a,a), (3,2,1,a), (4,3,2,1) 线性相关，且 a # l，则 a =
(5) 从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X，再从 1,…,X 中任取一个数，记为 Y，则 P{Y = 2} =
P271, 7 题
(6) 设二维随机变批(X,Y) 的概率分布为
1
0
X
Ol 一 4
0 a
b
0. 1
若随机事件{X = o} 与{X+Y = 1) 相互独立，则 a = ,b =
二、选择题（本题满分 32 分，每小题 4 分）
(7) 当 a 取下列哪个值时，函数 J(义) = 2文”1 - 9立:2 + 12x - a 恰有两个不同的零点．
(A)2. (B)4. (C)6.
(8) 设 Il= IICO、石二立 I2 =IIcos伲＋y2)如，J.1 =』cos（正 ＋y丁da，其中
D IJ
D ={ （工，y) I 工2 + y2 ~ l} ，则
> >
(A)/3 12 Ii. (B)Il > I2> IJ·
(CH2 > 11 > l3. (D)I3 > I1> I2· El-44, 1 题
','
(9) 设 a.> 0,11 = 1,2,…．若~a,，发散'~ (-1)',-la,，收敛，则下列结论正确的是
"= l n= I
C 0勹 c
(A)~吓－1 收敛， 2沁＂发散． (B)2幻，，收敛，互沁，广1 发散．
n= I n=I n~I "=I
O3 e
(C) 区 (a炉l +a2,1) 收敛． (D) 2(a丘l -a2,1) 收敛．
刀＝1 n= I
(10) 设 f(.l:） = .l.·sin x + cos x，下列命题中正确的是
(A汀(0) 是极大值， f(李）是极小值
(B汀(0) 是极小值， f停）是极大值
• 57 •(C汀(0) 是极大值，f（子）也是极大值
(D)f(O) 是极小值， f尸）也是极小值． P95,33 题
2
(11) 以下四个命题中，正确的是
(A) 若 f'（立在(0,1) 内连续，则 f釭）在(0,1) 内有界．
(B) 若 j．位）在(0,1) 内连续，则 f（立在(0,1) 内有界．
(C) 若 J'(x) 在(0,1) 内有界，则 f(x) 在(0,1) 内有界．
(D) 若 J（心在(0,1) 内有界，则 f'釭）在(0,1) 内有界． P104,53 题
=
(12) 设矩阵A (a,;)3x3 满足A崎＝ A「，其中 A 为A 的伴随矩阵，心为A 的转置矩阵．若a11,
a12 ,U13 为三个相等的正数，则 a11 为
(A) 岛 ~. (13) 3. (C) —. (D) 戎．
3 3
Pl88,15 题
(13) 设入1 山是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向扯分别为 a1 ，也，则 a1,A(a1 + a2)
线性无关的充分必要条件是
（A) 入I =p 0. (B) 入2 # 0.
(C) 入1 = 0. (D),l,.2 = 0. P205,15 题
(14) 设一批零件的长度服从正态分布 N(µ心2) ，其中 µ,a 均未知．现从中随机抽取］6 个零件，
测得样本均值 x = 20(cm) ，样本标准差 S= Hem) ，则µ的置信度为 0. 90 的世信区间是
（最新考纲已不考此知识点）
f
1 1 —
(A) (20 一了lo.os06),20+ 了lo.o5(16)). (B) (20 - to. 1 (16), 2 0 + tttoo.. I1 ((]] 66)))) .
(l— -
(C) (20 - 扣05(15),20 ＋扣05(] 5)). (D) f 20- t0 1 (15),20 + ttt0o,, II ((1155))).
P303,8 题
三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分 ， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ．）
(15) （本题满分 8 分）
1 +x 1
求 - lim o ( l - e-I 一了）． P75, 15 题
(16) （本题满分 8 分）
设 J(u) 具有二阶连续导数，且 g伈y) = f尸）＋yf 尸），求 x乙归— y 2 - a飞 -
立． y 心立 吵．
P138,20 题
(17) （本题满分 9 分）
计算二重积分ff I 工2 + y2 - 1 | d(1，其中 D = {(.1,y) I O,s;; x,s;; 1,0 ,s;; y,s;; 1 }.
D
P151, 18 题
(18) （本题满分 9 分）
c 1
求幕级数~(~-+ l)x2n 在区间(— 1,1) 内的和函数 S（辽 Pl63,24 题
2n 1
n= 1
• 58 •(19) （本题满分 8 分）
设 f(x),g(工）在[O,l] 上的导数连续，且 f(O) = O,.f'(x)~O,g'（工） ~ o.
证明：对任何 a E [0,1]，有
『归f'(x)dx+『f(x)g'(x)dx ~ f(a)g(l)
(20) （本题满分 13 分）
已知齐次线性方程组
(I)尸 ：：：：：：：：和([I) {工1
+ bm + "1 = 0,
2工1+b气计 (c+ l)又3 = 0
-r1 + .1..2+ ax3 = 0
同解，求 a,b,e 的值．
(21) （本题满分 13 分）
[
设 D= eAr C]为正定矩阵，其中 A,B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 m X n 阶矩阵．
B
(I) 计算 P.「DP，其中 P = -AE，了］；
[~•
(II ）利用(I) 的结果判断矩阵 B-C「A一1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论．
P248, 11 题
(22) （本题满分 13 分）
设二维随机变量(X,Y) 的概率密度为
{
l, 0 < 工 < 1,0 < y < 2工，
f（工，y) = o,
其他
求：（ I ）（X,Y) 的边缘概率密度 J入釭），八(y);
(II)Z = 2X — Y 的概率密度 儿(z);
1
（皿）P尸 勹 X < －
2 2 }.
(23) （本题满分 13 分）
>
设 X1 ,X2 ,… .X.(n 2) 为来自总体 N(0忒）的简单随机样本，其样本均值为 X．记
Y,. = X,. -X,i = 1,2,…,n
(l) 求 Y， 的方差 D(Y,.),i = 1,2,…,11;
（ II ）求 Y1 与 Y,， 的协方差 CovCY1 ,Y") ;
(ill ）若 dY1 + Y")2 是 62 的无偏估计掀，求常数 c. （超纲，可改为“若 E(c(Y1 +Yn)2) =
(J2 ，求常数 C. ") P30&9 题
• 59 •2006 年全国硕士研究生招生考试
数学（ 三 ）试题
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 ．）
(1) _Jim ({ ~,已l) ，一ll"
= -P_l_7_，20 题
(2) 设函数f(:i:·) 在.T = 2 的某邻域内可导，且j'釭） = e四 ，f(2) = 1 ，则 广(2) = .
P90, 1.§ 挂
(3) 设函数 f(u) 可微，且 J'(O) = ½，则 z = f(4廿一}) 在点(1,2) 处的全微分中1 止2) =
P138,21 题
(4) 设矩阵A = ［＿2 l],E 为二阶单位矩阵，矩阵 B满足BA= B+2E，则 I B I =_.
1 2
Pl 78,5 题
(5) 设随机变量 X与 Y相互独立，且均服从区间[0,3] 上的均匀分布，则 P{max{X,Y飞二 1 } =
P273,9 题
(6) 设总体 X 的概率密度为f位） ＝上e－巨1 (-co < x <+=),X1,X2 ,··· ,X,，为总体X 的简
2
单随机样本，其样本方差为 S2 ，则 E(S2) = . P299,9 题
二｀选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）
(7) 设函数 y = f(x) 具有二阶导数，且 f'釭） ＞ o./'（心＞ 0心丑· 为自变量工．在点工。 处的增
量，t::.y 与 dy 分别为 f 位）在点工。 处对应的增社与微分，若 A工: >O，则
(A)O < dy < t::.y. (8)0 < t::.y < dy.
o.
(C)t::,.y < dy < (D)dy < t::.y < 0. P97,38 题
f(h2)
(8) 设函数 f(..r）在 ..r= 0 处连续，且lim -勹— = l ，则
忙·o h
(A)/(0) = o 且 f~(0) 存在 ． (B)/(0) = I 且 J~ (O) 存在．
(C汀(0) = 0 且 f'+(0) 存在 ． (D)f(O) = 1 且 f'＋(0) 存在． P87, 10 题
"
(9) 若级数:“n 收敛，则级数
＂一1
(A)~ I a. I 收敛 ． (B) 2 O二 (— l)"a,， 收敛．
"= 1 " 2 = :1
r 勺
(C) I;化Cln+l 收敛． (D)
an
+ u,，＋1 收敛．
Pl57,10 题
2
,'= 1 ,，一1
(10) 设非齐次线性微分方程 y'+ P(x)y = Q(.r) 有两个不同的解 y1 位） ，Y2（心，C 为任意常
数，则该方程的通解是
(A)C[y1(工) -y2 （工）］． (B)Yl 釭） + C[y1( .i-) - Yz(x)].
(C)C[y1( x) + Yz釭）］． (D)yl 釭） ＋ C[y1 釭） + yz(.1..)].
Pl 71, 11
• 60 •(11) 设 j飞r,y) 与 cp(工,y) 均为可微函数，且 cp仅工，y) =I= 0．已知(.1。 ,Yo) 是 f(.1.,y) 在约束条
件 cp（工,y) = 0 下的一个极值点 ，下列选项正确的是
(A) 若 j', (a。 心（）） ＝ o,则 jJV（心心0) = 0.
(B) 若/, (.1·0, Yo) = 0,则 几Cxu •Yo) =I= 0.
(C) 若 j/,．（扣 ，y(1) # 0,则 j.，、(.ro ,Yo) = 0.
I
(D) 若 j.I, (.1.:o, Yo) =/= 0，则 j＇V(.1“'y()) # 0. P142,29 题
(] 2) 设 a1 立 ，…，q 均为 II 维列向狱，A 是m X n 矩阵，下列选项正确的是
（A) 若 a1,az ,… ，a, 线性相关，则知I,Aaz ,… ,Aa, 线性相关．
(B) 若 q ．忆，．．．，a, 线性相关，则 Aa1 ,Aa2 ,…，Aa, 线性无关．
（C) 若 a1 ,az,… .a， 线性无关，则 Aa,,Aa2 •… ，Aa., 线性相关．
（D) 若 a1,a2 ,… ，a， 线性无关，则 Aa1,Aa2 ,… ，Aa, 线性无关． P206,16 题
(l3) 设 A 为三阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列得
1 1 0
C，记P [O l 0 ，则
= P.「AP
(A)C = PfAPOll (B)C = PAP-1 (C)C = (D)C = PAPT
Pl83,6 题
(14) 设随机变批 X 服从正态分布 N(µ1 ，忒），随机变狱 Y 服从正态分布 N(µz ,(J：汃且
P { I X - µ1 I < l } > P { I Y - µz I < 1 }
则必有
< "
(A)(J1 6r (B朊 ＞
（C如 < µ2. (D加 ＞伈· P267, 18 题
三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
(l 5) （本题满分 7 分）
—
1 - ysm， 六.1·
设 ．f(．r．y) = 1+ y .ry _ y ..1·> O,y > O，求
arctan工
(I)g(x ) = lim ,/'(义:,y);
.v一1,．
(0) limg釭）． Pl31,l 题
I
，一．＂
(16) （本题满分 7 分）
计算二重积分II vS丁二亏d3dy，其中 D 是巾直线 y = x,y = I ，又＝ 0 所围成的平面区域
Pl49, 14 题
(17) （本题满分 10 分）
证明 ：当 O< a < h < 六时，bsinb+ 2cosb + 动 ＞ asin a + 2cosa + 穴a. P99,41 题
(18) （本题满分 8 分）
在 1Oy 坐标平面上，连续曲线 L过点M(1,0) ，其上任意点 P(x,y)（工产0) 处的切线斜率
与直线 OP 的斜率之差等于a.1（常数 a > 0).
(l) 求 L 的方程；
• 61 •8
(II ）当 L 与直线 y ＝釭所围成平面图形的面积为—时，确定 a 的值． Pl75,23 题
3
(19) （本题满分 10 分）
求幕级数2 (-l)”-1.1..2叶1 的收敛域及和函数 S位）．
Pl64,25 题
n(2n - 1)
n= I
(20) （本题满分 13 分）
设四维向 批组 a, = (1 + a, 1, 1, 1) T,a~ = (2, 2 + a, 2, 2).「 ,“3 = (3,3,3 + a,3)T,
+
a1 = (4, 4, 4, 4 a)''，间 a 为何值时，＂, ,a2 ,a3 ,a4 线性相关？当 “”“”“”“4 线性相关
时，求其一个极大线性无关组，并将其余向批用该极大线性无关组线性表出．
P209,20 题
(21) （本题满分 13 分）
设 3 阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为 3，向批 a1 =(—1,2,-l)T,az = (0, - 1,l)T
是线性方程组 Ax= 0 的两个解．
(I) 求 A 的特征值与特征向址；
(II ）求正交矩阵 Q 和对角矩阵A ，使得 QTAQ = A;
3 ~ \ 6
（ Il1 ）求 A 及伈 - －E) ，其中 E 为 3 阶单位矩阵． P239-, l 7 题
2
(22) （本题满分 13 分）
设随机变址 X 的概率密度为
庐）＝［；： 0一：上<
<
X : 0,
o,
其他
=
令 Y X2 ,F(x,y) 为二维随机变扯(X,Y) 的分布函数．求：
(I)Y 的概率密度八(y);
C II)Cov(X,Y);
（川）F(-½,4).
(23) （本题满分 13 分）
设总体 X 的概率密度为
；0) ＝厂－ 0, ： 二：二 ：:
f(.1..
o,
其他
其中 0是未知参数(0 <8<1L X,,X2 ,…，x" 为来自总体X 的简单随机样本，记 N 为样
本值工I'.1..2 ,…，xn 中小于 1 的个数求
(I)0 的矩估计；
（ II ）0 的最大似然估计．
• 62 •
.2007 年全国硕士研究生招生考试
数学（ 三 ）试题
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分 ，满分 40 分）
（l) 当工 一► 矿 时，与石等价的无穷小批是
(A) I - e左 (B)Jn(l ＋石）．
(C) /i言－ 1. (D) l - cos石． P79,25 题
(2) 设函数 f(.r）在 .r =0 处连续，下列命题错误的是
f(:r)
（A) 若lim 存在，则 f(0) = 0.
,-.(, x
-
j. (x)+ j.( 3·) =
(B) 若lim 存在，则 f(0) 0.
,-o .1..
L
(C) 若lim 存在，则 jJ(0) 存在
,- o .1..
j.(3 - I（一工）
(D) 若lim 存在，则 f'（0) 存在． P887l1 题
.r一0 .l.
(3) 如图所示，连续函数 y = f(.r）在区间[-3, -2],[2,3] 上
的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间[- 2,0] ,
[0,2] 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周设 F(x) = 3 X
f.r f Ct )dt, 则下列结论正确的是
3 5
(A)F(3) =- ~F(- 2). CB)F(3) = ~F(2).
4 4
—
(C)F<- 3) = ¾ F(2). (D)F( 3) =-¾F(- 2). P11378 题
4
(4) 设函数 j亿y) 连续，则二次积分If d.1.L.r f(.l飞y)dy 等于
L L
I I
(A) dy 『 J C:r,y)d:r. (B) dy『 J 釭，y)d工．
I 。 ,,--arc,iny O r-,”“'"y
CC) I d d y y I I 叶 _ a『6l“`． f<.:r:,y)dx. (D) Io dy If 亢 ar”“'v f、(.r,y)d工． rP153,25亡题
(5) 设某商品的需求函数为 Q = ]60- 2p，其中 Q,/)分别表示需求扭和价格，如果该商品需求
弹性的绝对值等于 l ，则商品的价格是
(A) 10. (B)20. (C)30. (D)40.
]
(6) 曲线 y = — +ln(l + e·,．)渐近线的条数为
又．
(A)O. (1:3) 1. (C)2. (D)3.
(7) 设向批组 a,,a2 ,a~ 线性无关，则下列向批组线性相关的是
(A)a1 - a2,a2—a:1,a3 - a1. (B)a1 + a2,a2 + a3,a3 + a1.
• 63 •(C)a1 - 2a2,a2 - 2a3,a3 - 2a1. (D)a, + 2a2,a2 + 2a3,a3 + 2a,.
-ll P206,17 题
2 - l - 1 1 0 0
(8) 设矩阵 A 0] 则 A 与B
[/ } 2 B [0 1
= _ =
1 2 I 10 o 0
(A) 合同且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似． （D) 既不合同，也不相似 P251, 15 题
< <
(9) 某人向同一 目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(O p 1) ，则此人第 4 次
射击恰好第 2 次命中目标的概率为
(A)3p (l - p)气 (B)6p (1- p)气
(C)3矿 (1 — p)气 (D)6矿 Cl - p)2. . P259,22遁
(10) 设随机变址(X,Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y不相关，八(x) ，八(y) 分别表示 X,Y 的
概率密度，则在 Y = y 的条件下，X 的条件概率密度 fXIY(.1.. I Y) 为
(A)fx(x ). (B)八(y).
(C)八(x)八(y). (D） 丛． P273, 10 题
fr(y)
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）
.1.: + x2 + 1
(11) Jim I +.r·了 (sin工＋ cos.1·) = P76, 16 题
;.~:伈' 2✓
(12) 设函数 y= l ，则 y(“(0) = P90,19 题
2x+ 3
( __ .- -
(13) 设 j.(u,v)是二元可微函数，z = j. —y , x ) ，则 1 a之 y-3;之;-= .
~ay
工 yJ "·· - ax
P139,22 题
(14) 微分方程立扣 d ＝ 了y 飞 1 停 / ）V \满 3 足 Y I.r＝I = 1 的特解为 y = _. Pl 71, 12 题
0 1 0 0
(15) 设矩阵 A = [： ：[ ，则 A3 的秩为
: :
Pl94,25 题
0 0 0 0
1
(16) 在区间(0,1) 中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于一的概率为
2
P260,23一题
三、解答题（本题共 8 小题，满分 86 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
(17) （本题满分 10 分）
设函数 y=y釭）由方程 yin y-.1·+ y = 0 确定，试判断曲线 y = y位）在点（1,1) 附近
的凹凸性． P98,40 题
(18) （本题满分 11 分）
设二元函数
l .1.· l+l y l~ l.
f(.:r，y) ＝ ｛工2
, , 1 < I 又: I+ I y I ~ 2
✓.1.2 + y2
• 64 •计算二重积分』f (x,y)da，其中 D = ｛ 丘y)I l..:i· I+ jyj ~ 2}. Pl51了1-9 题
(19) （本题满分 11 分）
设函数 f (x),g(:i) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内二阶可导且存在相等的最大值，又
f(a) = g(a), f (b) = g(b)．证明：
(I) 存在 TJ E (a,b) ，使得 f
(1) 求 P {X 2Y};
([J ）求 Z = X+Y 的概率密度几(z). P277, 18 题
(24) （本题满分 11 分）
设总体 X 的概率密度为
lO1-,
会 2- , 1 O < 几:< 0,
f ( .' a)u __X :
工 V 2( , 0< r < 1,
知 。， 丿、
,是x ,1
其中参数。 ( 。 < 。 < l 、丿 未 , , x , 2 - · .. 。 , 来自总 其 体 也x 的简单随机样本 , -X 是样本均
值
(I) 求参数 0 的矩估计扯0;
（ II ）判断 4X2 是否为 矿的无偏估计呈 ，并说明理由． P305, 11 题
• 65 •2008 年全国硕士研究生招生考试
数学（ 三 ）试题
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）
『. f (t) d(
(1) 设函数 f(x) 在区间[— 1,1] 上连续，则 .1.: = 0 是函数 g位） = ° 的
工
(A) 跳跃间断点． （B) 可去间断点．
(C) 无穷间断点． （D) 振荡间断点． P82,32 题
(2) 如图所示，曲线段的方程为 y = J(.;i) ，函数 f(:r) 在区间 y
[O,a] 上有连续的导数，则定积分『习＇釭）心等于 C(O如）） A((IJ(a))
II
（A) 曲边梯形 ABOD 的面积．
(B) 梯形 ABOD 的面积
（C) 曲边三角形 ACD 的面积．
D
(D) 三角形 ACD 的面积． Pll4,9 题
(3) 已知 J(立.，y) = e.;:;气了，则 OI B(a,O) X
1:
(A)兀(0,O), (O, 0) 都存在． (B)几(0,0) 不存在，j／`(0,0) 存在．
(C)/',CO,O) 存在，八(0,0) 不存在． (D)几(0,0),J'.,.(0,0) 都不存在．
Pl32,2 题
y
(4) 设函数 j位）连续，若 F(u,v) = JI( （又2 + y勹
归dy，其中区域
/J心五亡了 x2+j'=u2
aF
D四 为图中阴影部分，则—- =
au
(A)订（矿）． (B) 卫f （矿）．
"
。 X
(C)vf (11). (D) 卫f (u).
ll
.
P149715一题
(5) 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵．若 .43 = 0，则
(A)E-A 不可逆，E+A 不可逆． (B)E-A 不可逆，E+A 可逆．
(C)E-A 可逆，E+A 可逆． (D)E-A 可逆，E+A 不可逆 ．
Pl88, 16 题
(6) 设 A=[~ ~]，则在实数域上与 A 合同的矩阵为
(B)[
(A) [- ] 2 ; 勹 2 -; 1]
- 1
[
]
(C) 2] (D) [ 1 勹 P251,16 题
-2
• 66 ·(7) 设随机变批 X,Y独立同分布，且 X 的分布函数为F位），则 Z = max{X,Y} 的分布函数为
(A)F2 (义:). (B)F(工)F(y).
CC) 1 — [1-F(x)]气 (D)[l - F(工)]［1 - F O,a > l)
+
立刻得到本题答案为 0，由于在X3 +工2 1 中分子为幕函数相加，而分母有指数函数 2勹则
2工 ＋x3
丑 十丘 ＋ 1
lim = 0. 而(sinx+ cos工） 为有界变量，则原式 ＝ 0.
~ +~ 2r +x3
DJ<2008,15 题，9 分）求极限lirr:i~ln 史旦
r•O 工 工
林 （方法一） 这是一个 = . 0 型极限，可化为立 型后用洛必达法则．
。
slnx
In Sln工，． 工工COS工－－
lim 工 ＝ ． SIn工 .:t.2
2 lim （洛必达法则）
r- O X r俨0 2工
l SI' n.1..
= —lim 工COS又·--
2 尸0 工3
1 cosx-
= —
2
lim.
o
x
3
si
x
n
2
工 — cos.1.. （洛必达法则）
J-
1
= l1imm ~釭 = - —l
6 .,--.O
X2
6.
1 —sinx,. 1 ( sin工 一 工
（方法二） l1,in~:i 了~ ln工了=Ji-m.O -:=z!n(1 + 工 ）
X
—
SIn.r .r
= lim 3 （等价无穷小替换）
X一0 工
1
- —工2
= lim COS工 － 1 = l , i . m 2
_。 3x2 ;_:·o· 3工2
1
—.
6
• 76 •四、求数列的极限
m(1990，一（1) 题，3 分）极限lim(./,言飞了~- ✓,厂二百）＝
"一仁
钰 2.
扫 ，！m上 （石二了—石了）
= lim 4石
"一 心＋ 3石＋二
= Jim 4
三＋「：
=2
m(2002，一（l）题，3 分）设常数 a ＃砉，则杻~In［言12:a2:)勹＝ .
釭 』
" 1 - 2a.
+
/、 ｝上m[11 - 2r1a 1 7" 上1 叶 气］ "
n(l - 2u) ] = + n(1
又'll.m0 n(l:2a).n ＝丁扫，则
hm[?l-2na + 1]'1 = e志
- n(1- 2a)
故hmln[“-2na + l]n = lne志＝ －匕
,;::: ···L n< 1—2a)J ···- 1-2a"
m(2006,1 题，4 分），曰气）(-．1)
虹} 1.
叶 l （一1）”
扫 （方法一） 记工n = ( n ) ，因为
匠工2k= ｝上严罕＝ 1 ，且！一叶I= l~~（笠气）一1
= 1
故lim.1], =1.
+ 1 (- l l”
（方法二） 严（71丁 ） = lime （一ll"ln吐 "
+
而Em9ln 勹11 厂 1 ＝ ,I\• ~~II n(/ 11 +I - 1 ; ) = 0（无穷小星），（—吓为有界变量，则
原式 ＝ e0 = 1
（方法三） 由于
（了）－三（气）（l）”< （气）1
• 77 •而匣（已斗厂＝ 1 ，且hm 已:_! = 1，由夹逼原理知
11 I n-心口 ??
+
_ (n 1 )\ < -I>"
lim 7- = 1
【评注】 方法一中用到一个常用的结论：limx. = a台 limx2,1 = a 且limx2仁1 = a．考卷
•-= ,1-心o k-.OO
中一种典型的错误是一些考生由极限lim(- 1)" 不存在推知本题极限不存在．
胄-.OO
五、确定极限中的参数
—
匡(2004,1 题，4 分）若lim ri n — 工 (cos x b) = 5，则 a=_,b = _.
e a
工一o
a= l,b =-4.
莉 由于1imsin 工(cos x- b) =5 =I=-O，且limsin x(cos 工－b) = 0，则lim(e.r-a)= O,
工一俨0 er -a 了-o 工-o
从而有 a= l ，此时
sin x(cos 工－b) .2..(cos 工－b)
5 = lim = lim
了一o eJ - a .r-.o e.r - 1
= lim 立:(cos 工－b) = 1- b
.r-•O X
则 b =— 4.
【评注】 本题中用到一个基本结论：若lim 罕 ~ = A =I= 0, lim f(x) = 0，则 lirn g(x) = 0.
g(x)
－』 无穷小量及其阶的比较
丿、、
匝褂1989，二（1) 题，3 分）设四） = 2工 ＋ 3r - 2，则当 x-0 时，
(A)/位）是 x 的等价无穷小． （B)J位）与工是同阶但非等价无穷小．
(C) J 0 .
.r+ 1, :r < o, 1
)={
={~- :::.·
(C)J(.r 0, .1· =0,
(D)f(x)
>
x -1, .1· 0. O,.r=O.
A.
、二2、
扫 由于 JC:r) = In:r＋ sin 工的定义域为(0， 十CX)），而 In.r 和 sin 工在(0，十CX)）内都
连续，则 f(.r） = In x + sin.1．在其定义域内连续．
匝量1990，一（2) 题，3 分）设 f(.2·) 有连续的导数，f(O) = O 且 j'(O) = b，若函数
｛三三 x=/=-0,
F(x) =
A,
立、＝ 0
在 工＝ 0 处连续，则常数 A =
a + b.
limF位） ＝ lim 丛立土asin 工
r-0 J-0 工
—
f(.l·)
= lim +a
工-o .2.＇
= /(0) +a= b+a
F(O) = A，则 A= a+b.
In cos（工一 1)
x=/=-l,
m(l992，三题，5 分）设函数f釭） 1 － sm 于，
={ 问函数f(x) 在x=l 处
l, 工．＝ 1,
是否连续？若不连续，修改函数在工＝ 1 处的定义，使之连续．
＠ 由于匝叩·(x) ＝丹i肝 ln cos(r - 1)
`
1-sin 王
2 又仍
一 tan(工 - 1)
= lim （洛必达法则）
.,--1 -王cos 立
2 2
• 80 •- 1
2 丑·-
= lim （等价无穷小替换）
六 ．,·-I cos -亢:r
2
-2 1
= lim
.
六 J·~ 1 兀 S•l n 亢艾
2 2
4
=—
2
亢．
而 f(l) = 1 ＃亏，则 f(:r）在 x=l 处不连续，若令 f(l) ＝－ :，则 f(.2·) 在义. = 1 处就连续．
匹1<1998，二（2）题，3 分）设函数 J(工) ＝ lim,!+工
”:.:.:: 1 +工2n ，讨论函数 f(.2·) 的间断点，其结论为
(A) 不存在间断点． （B) 存在间断点 :r =1.
(C) 存在间断点 :r =0. (D) 存在间断点 X =-1.
怎惠， B.
1 +工， | 工 I< l,
蛉衍 f(.2..) ＝ }上m 11言，＝ [
|工 |> l,
::
工＝－ l,
工＝ 1.
f(-1 - 0) = lim O = O,f(-1 + o) = lim O +x) = O,f(-1) = O，则 f釭）在工＝－ l
,
~-1 .r- - 1
处连续． f(1 - 0) = Jim (l + X) = 2平1 + 0) = limO = 0.
I一I ;-• I
则 j（工）在 工＝ 1 处不连续，故应选(B).
黜】(2003，三题，8 分）设f(x) ＝...!...＋-仁_＿ 1 ，玉［了l 'l) ，试补充定义 j、(1)
兀r · sin 兀工 亢(1 — 1、)
使得卢）在［主，1]上连续．
1
奸为使 f(x) 在［-，1]上连续，只需 f(.1.·) 在 .r=l 处左连续即可，即 limf釭） = f (l).
2
.r-1
limf(x) = lim 尸＋二—- 1 — ]
;~~f(x) = !_i_~[t+~-ill x)
=— 1 + IiI m 亢(1:r） sin 邧
m
亢 ．T王］一 亢(l -义·)sin
=— 1 + lim 亢(1 — 父·) - sin 兀.:z·
1( ' ::;一 亢(1 －工）sin 邧l — .r）
1 · 亢（1 - x) - sin 兀1.
=— + lim
穴2(1- .:z:)2
穴 .r-鲁1
= ~ 1 +lim 六十六cos 1(.:Z-
六 .,-1 2穴2(1-.1.）
=上 +lim 五n 杠
六 ．:::;:. 2示
__
1
－
亢
l l
综上所述，定义 f(l) ＝了，此时 f（立在［了｀l]上连续．
• 81 •囡'2004,8 题，4 分）设 J釭）在（— = ， 十 =) 内有定义，且 limf(x) = a,
r-O3
卢）＝｛i伈），工＃ 0，则
0, X = 0,
(A坛＝ 0 必是 g(x) 的第一类间断点．
=
(B)x 0 必是 g釭）的第二类间断点．
(C)工 ＝ 0 必是 g(x) 的连续点．
=
(D)g(x) 在点工: 0 处的连续性与 a 的取值有关．
畛 D
1
三 由千l』、一iJmgg((11··)) == h'}~m。 j （了） = a.
当 a= 0 时，limg位） = 0 = g(O) ,g釭）在 工＝ 0 处连续．
工0
当 a ::p 0 时，limg釭） = a =j::. g(O),g(x) 在工＝ 0 处不连续，因此，g（心在 x=O 处的连
r一一0
续性与 a 的取值有关．
I.rf(l)dl
匝褂2008,1 题，4 分）设函数 j（心在[- 1, 1] 上连续，则 x=O 是 g(x) = l.2 x 的
(A) 跳跃间断点． （B) 可去间断点．
（C) 无穷间断点． （D) 振荡间断点．
句 B.
I.rf(t)dt 洛必达法则 归
.
曰 巾于hmg(x) = hm ° 四 F=J(O) ，而 g(x) 在 x=O 处无
.r-0,·--0 立．
意义，则 x=O 为 g(义·)的可去间断点．
- - _ _ _ _ _ _
【评注】 在求上述极限时，也可利用积分中值定理
I:rJ(t)dt
宁位） ＝归 ° 飞哼宁(~在 0 与 x 之间）
X
= limf伶） ＝ f(O)
七0
Ix 1:;:;;; c,
卢 l,
回(2008,9题，4 分）设函数J（又）＝｛
2 在(-~，十～） 内连续，则 c =
I 父: l> c
言＇
钰 I.
贷 由于f(.r) 是偶函数，且在三个区间(-=， —c) ，（—c,c),(c， 十=)内都连续，所以
只要 f釭）在工＝ c 处连续，此时 f釭）在（— =, 十=)必连续．
由千 /(c) = c2 + 1, lim/.（工） ＝ lim ~ I 三． I ＝ 1-, limf位） = lim(父2 + 1) = c2 + 1,
十 ;:;; X C, ;:.::~
J r-r
令 ,2 + 1 =－ 2 ， 得 C = 1.
C
【评注】 若 f(x) 为定义在(-OO， 十 OO）内偶函数，要讨论 f(x) 在（－00， 十oo) 内的
连续性、可导性、单调性及零点个数，只需讨论 f(x) 在［0， 十oo) 上的性态即可．
• 82 •第 二 章 一 元函数微分学
l空空归｝
导数与微分是微分学的两个基本概念，是研究函数局部性质的基础．微分中值定理建立了
函数和导数之间的联系，是利用导数研究函数基本性质的理论基础．
本章主要内容有：
(1) 导数与微分的概念及其几何意义；
(2) 连续、可导、可微之间的关系；
(3) 微分法（有理运算，复合函数，隐函数，参数方程等）；
(4) 微分中值定理（罗尔，拉格朗日，柯西，泰勒）；
(5) 函数基本性质及判定（单调性，极值与最值，曲线的凹凸性与拐点，渐近线）．
L巠呾沪｝
本章考试内容较多，分值占比（一般 20 分左右），有基本概念 一 导数与微分，基本方法
—微分法，基本理论 一一 微分中值定理，应用 一 函数性质等内容．
t 本章常考题型__]
(1) 导数概念；
(2) 微分法（复合函数，隐函数，参数方程）；
(3) 函数的单调性与极值；
(4) 曲线的凹向与拐点；
(5) 方程的根；
(6) 证明函数不等式 ；
(7) 微分中值定理证明题．
后三种题型是难点，考研试卷最难的题经常出在这一窜，那就是与微分中值定理有关的证
明题
｝叩应症｝
、导数与微分的概念
厦昌1990，二（2）题，3 分）设函数f釭）对任意的l.均满足等式J 0 .
.r o
和可导性．
J:
邻 (1)!~~f(.r） ＝[平~ = .'了宁： ＝ l ，
cos t2d t
＝ lim~归 ）
—
lim/(.r) = hm 2(1 ;os.r) = l
.1.2
＿。 J一0 工 ．，一．（）
则limf位） = 1 = f(0) ，于是，函数 j釭）在艾 ＝ 0 处连续．
.r一0
(2)/'_(0) = Jl－i贮m［）－ J釭） － 工 J.(0) ＝』l－1严 了 1 [ 2(1 ~ - c - os 工 1 ） - ] l
—
2(1 cos x) -工2
= lim
3
,~o .l-
-
2sin.r 2.r
= lim
3.r2
.r~0
- -1
J:3
2 6
= .::.. lim =O
3 r--•O :r: ? -
八(0) ＝[严卢） ：八0) ]严主［甘0co、 t2dt— 1]
=
t
—
cos t2dt :r 2
= Jim o = lim COS 工－ l
+ :r 2 2:r
工一o· ~ .r一0
- —l .I
:r
2
= lim = O
, 2:r
.r一0
由千 J（心的左、右导数都为 0，可见 f(:r）在工＝ 0 处可导，且 j'(O) = 0.
喊·”“
【评注】 本题也可直接说明 f(x) 在 x= O 处可导，从而 f（工）在 x = O 处必连续．
, -
g(:r) e一工
m(1996，三题，6 分）设 f釭） ，工＃ 0
={ :r ，其中 g(:r）有二阶连续导数，且
0,.r=O,
g(O) = 1,g'(0) = - 1.
(1) 求 f(:r）；（2) 讨论 f'(:r）在（一 oo, 十 oo) 上的连续性．
的 (l) 当 :r#0 时，有
卢x)=:r[g'（:r） + c一．r] － 心） + e一．r = 1矿（3 -卢） 十 (:r十 1)e-r
x 2 : r2
• 85 •当 x=O 时，由导数定义，有
I'(0) = lim g(3 - e-r = limt g '(.r) + e一．r
.r-0 1. 2 ,-o 2x
- -
g'IG) e-.r = g”(0) 1
= lim
.r』:，0(:．／2/ g(工工)2
J (.r) = + (.r : l )e-.r , .r #:o,
所以
, 工＝ 0
2
=
(2) 因为在 .r 0 处，有
工g'釭） － g（又·) + (.r+ l)e-.r
limj'(.r) = lim
.r-o .r-•O .'.t. 2
或'(、r)+g'位）— g'(x) + e一．，一（工＋ 1)e-r
= Jim
.r_ _o 2x
xg"(x) －工e-.r
+l
= Jim = lim[g'，位） - e-rJ
.r一o 2.1.曙 2 .r一0
＝旷（0； — l = f'(0)
而 f'（立在工＃ 0 处是连续函数，所以，f＇釭）在（一～，十 =) 上连续．
匾量2000，二（2) 题，3 分）设函数 j.（x) 在点工＝ u 处可导，则函数 If位） I 在点工 ＝ a
处不可导的充分条件是
(A)J(a) = o 且 /(a)=O. (B汀(a) = 0 且 j'(a) -::p 0.
< <
(C汀(a) > 0 且 f'（a) > 0. (D)f(a) 0 且 J'(a) 0.
_i)
B.
扫 （方法一） 排除法
令 f(.r） = （工一 a)2 ，显然 f(x）在工. = a 处可导，且 f(a) =O,j'(a) =O，但 I JC.r) I=
釭－ a)2 在 x = a 处可导，则(A) 选项不正确．
>
事实上(C) 选项也不正确，由 J釭）在工＝ a 处可导知，f釭）在工＝ a 处连续，又 f(a) O,
则在 x=a 的某邻域内 j位） ＞ 0，从而在该邻域内 I J<.r) I =/（工），则 I JCx) I 在 x=a 可导．
同理(D) 选项也不正确，故应选(B).
（方法二） 直接法（推演法）
由 (B) 选项知，f(a) = 0，令 .t. , . (,.1 . , .{' ·r
j >
极限l,.i.m.,.. r'-1 cos －存在的充要条件为入 － l o. l!ll 入 ＞ 1 ．则当且仅当入 ＞ 1 时 ．／（0) 存
在且为 0．又当 r -=I= 0 时．
I / I
I'(1 ) ＝ 入．T'ICO、了 － r飞n 了 ． （一了）
I
＝ 沁·入 1co.., - + r~-~s in --'-
.r
要使 I!(］)在 1 = 0 处连续，
hm /'Q) = hm （入．r'I CO.... 上 + IA 、in 上~) ＝ ((0) = 0
, __,I
由该式可得 入 ＞ 2.
I、(3·)
Uc2003．二（1) 题，i 分）设 j(.1）为不恒芍十零的奇闲数．H ．I1(0) 什（t.则函数g(1) ＝
.T
(A) 在 .r = 0 处左极限小存在． （B) 有跳跃间断点 .1 = 0.
(l`) 在 `r = 0 处右极限不存在． （l)） 有可去间断点 、r = 0.
答泉[).
斜析 由于 I(.1·) 为奇函数 ．则 ．／（（）） ＝ o. 又
( CO) = lim I (`.l) —j (0) = lim . / (i) = hmg( .7)
,.11 .r- 0
r .“ ·l, .「)
存在 ．但 .1;(0) 无意义．则 -r =O 为 g(.1) 的可去间断点 ．故应选([))，
I` ( h ;) -
IIiJC2006,8 题，4 分）设函数 ．IG) 在 i· = 0 处连续，且hm 勺 ］，则
＇， 俨1) 11-
(A) / (0) = 0 且 J'_（0) 存才E . ，其中 j．可微，则 dy = _.
[-l , ]
答衷 clO) J'(ln.1·) + I'位）J（ln 立·) d.l.
工
斜析 由 y = J(ln.r) e(lr) 知
• 89 •—l,
y'= f (ln ~1)e八“ + J (In 心e伈）j'（又．）
．飞．
则 dy = e如l [~J'(ln.r) + /(x)J(ln .r) 归
m(2OO6,2 题，4 分）设函数 j丘）在ll = 2 的某邻域内可导 ，且 J'（;r)
`t`
= e]0) ,J(2) = l.
则广(2)= _.
委羡 2e3.
蚝） 巾 j.,(r) = e扣） 知
f'釭） ＝ efi.,>j'(_7·) =Cf(,> • ef(rl = e2f(r>
广(.1·) = e叮(r) • 2厂(.l) = 2e汃，·)
将 .l =2 代入上式得广(2) = 2e汀(2> = 2e".
【评注】 本题主要考查复合函数求导．
DJc2007,12 题，4 分）设函数 y= 1 ，则 /"' (0) =
2.i· 十 3
忠怎（一 1)“2'，1/ ！
3u+l
蚝村 （方法一） 先求一阶导数，二阶导数，在此基础上归纳 n 阶导数．
y = ~+ = (2义＋ 3)-1
2:z: 3
则
+
y'= (- 1)(Zx 3) -2 • 2
i' = +
(- I)(- ZHZ.r 3)-:{ • 22
由此可归纳得
沪＇1 = (- l)"n !(2.r+ 3)一（，广l) • 2',
则
(- 1)"Z"n !
/"' (0) =
3"~1
1
（方法二） 利用幕级数展开，为求 y'") (0) 将 y = ．在 .1. =0 处展开为幕级数，则其
2工 十＄
(,,) (0)
展开式中 .1· 的 n 次幕项的系数为义一—，即可求得 y'"> (O).
11!
1 l 1
=
幻＋ 3 3 l +令·
(f .1·)"
＝奇［1- 宁＋ （宁）2
+ ... + (- 1)" + ... ]
2"
等式右端几．＂的系数为(- 1)" —-，则
3n+I
沪' (0=(-)1)2"...::,..斤,..
n! 3叶1
= (- l)“2',II!
故沪') (0)
3叶1
• 90 •【评注】 本题和上一题都属于高阶导数计算．计算高阶导数通常有 3 种方法．
(1) 求一阶、二阶导数，然后归纳 n 阶导数；
(2) 利用泰勒公式（适合求具体点高阶导数）；
(3) 利用已有高阶导数公式：
(sinx严＝ sin（工＋ n. 牙） ;
(cos工严＝ cos(工 +n• 千） ;
n
=
(uv)(n) 2C:U(,r-k)V(k).
k=O
三、 导数的几何意义
四(1989，一（l）题，3 分）曲线y = .l＋sin2.r在点（沪＋；） 处的切线方程是 .
"\、） y =x 十 1.
蛉芍所求切线斜率为
y'I,=¾
2sin.rcos 父·!.,=¾
= 1 + = 1
= f .,=-,,
J
则所求切线方程为
y — (i + f)=l • (x- 牙）
即 y= 工 +1.
m(199l ，一（2）题，3 分）设曲线 j.（．r) ＝ .1.3 +a.1 与g(x) ＝旷＋c 都通过点(-1,0)'
且在点(-1,0) 有公共切线，则 a = ,b = ,c =
怎哀） － 1, -1,l.
斜负） 由于仙线 y = f（工）和 y = g(.l－)都通过点(- l,0) ，则
=-
｛八－ 1） l - a = 0,
g(- 1) = b + c = 0
又曲线 y = f(x) 与 y = g(义·)在点(- 1,0) 有公共切线，则
厂－ 1 ） 3工2 +a1
= - = 3 + u,
J= 1
— 2b工 I,=-I
g'( 1) = = - 2b
且 3 +a =-2b，解之得 a = - I,b =- l,c = 1.
回(1996，一（3) 题，3 分）设(x0 ,Yu) 是抛物线y = l矿＋位十c上的一点． 若在该点的切
线过原点 ，则系数应满足的关系是
怎衷） 上 ~ o（或 axJ = c),b 任意．
＼ 八 a
.4 - /
斜浙 y'| = 2釭．十l)| ＝ 2（区。＋b，则题中抛物线在点（义:n ,y。)处的切线方程为
.,-, .,-~.,
。 。
• 91 •y-y。= (2a..r0+ h)(.r-.1 . 0)
即 y - (a.:i·~ 十如，） + c) = (2ax0 + b)(.r- .1。)
又该切线过(0,0) 点 ，则
+
u式十妇，，十 C =.1。C2ll:1.·o b)
即 ax~ = c.
由于系数 a ＃ 们则系数应满足的关系是~ ~o（或 a工t = C) 上任意．
a
回(1998，一（1）题，3 分）设曲线j(.r） ＝ .1.” 在点（1 ,］）处的切线与叶由的交点为（已， ，0),
则limf年） =
＂一．一．一
怎点上
\- C
虴祈曲线 y=.r” 在点(1,1) 处切线斜率为
y'I
|
I I = 1!.1·"一1 = n
I I I.,~I
=
则切线方程为 y- 1 11(.1.-- 1).
该切线在．r 轴上的截距
1
= 1- --':..
~n II +
匝摩）＝，严（1 - 扛＝ e-1 =
厄日(1998, 二 （l) 题．3 分）设周期函数 ．f位）在(- =， 十 =)内可导，周期为 4.
又lim J (1) - .f(l - 如r) = - 1 ，则曲线 y = f釭）在点(5,f(5)）处的切线的斜率为
r一0 2工
—
(A) —. (B)O. (C) 1. (D) - 2.
2
（杰息 D.
虹－ l = hmj(1) - j`(l - ．1) ＝ 」 hmj(1 -.1） － f(l) ＝ 切.,(l)
.r-.。 2工 2, ．o —X 2
则 J'(l) =- 2.
由于 f釭）可导且以 4 为周期，则 f'G) 也以 4 为周期，从而
+
f'C-5) = / (1 4) = j'(1) = - 2
故应选(D).
因(1999，三题，6 分）曲线 y = — 的切线与工轴和y 轴围成一个图形，记切点的横坐标
石
为 a． 试求切线方程和这个图形的面积． 当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？
虴由 y = －知，y' ＝－ 了工飞 ，则切点（a，忑）处的切线方
石 R
程为
1 1
y- — = (.r -a)
石 2~了 Q x
。
该切线与 ．r 轴和 y 轴的交点分别为 Q(3u,0),R(0,/启·于是
• 92 •60RQ 的面积为
l 3 9
S = — • 3a • —=— 矗
2 2矗- 4
当切点沿 工 轴正向趋于无穷远时，有
=+=
limS
“一r夕
当切点沿 y 轴正向趋于正无穷远时，有
limS = 0
.，一('
mc2003，一（2) 题，4 分）已知曲线 y ＝ 丁 — 3c卢＋b 与 ·1 轴相切，则 I}；可以通过 a 表
不为 IJ- =
答森 4矿．
斜析巾题设可知，.r 轴是曲线的切线，设切点为(~U ,0) ，则
{i
'(;{.1))= 3式 — 3a2 = 0,
f(.1,)) ＝ 式－ 3矿.1·0 + b = 0
解得．1i = (l2 凇＝ [ 1() (3矿 一l;）千＝ 4矿．
所以，本题应填 4(1"．
四、函数的单调性、极值与最值
回(1988，二（2）题，2 分）（判断匙）若 .1.，） 是函数 j釭） 的极值点 ，则必有 j,I(:r，）) = 0.
(
答泉I X.
斜析 令 j(r) = |忙r l ．显然 f(x) = I x I 在 x = O 取极小值，但 j'（0) 不存在．
【评注】 本题若附加条件 f'位。）存在，结论正确．
匠习(1991 ，一（3) 题．3 分）设 j(．1) ＝式， 则 广＇） （x) 在点 ．r = 处取极小值
答泉 － （11 + I); - e 口 IJ.
斜析｝ 由高阶导数的莱布尼茨公式
"
(l(V)《心＝ I:c切(k)寸"-k)
_,'
l.
可知 f'"'Cr) = (xc-')1"> = C沁(e' ）”+ C}, G)＇（e.＇)'“一ll +o … + 0
= .1C°'+11e = e'(x + n)
令 g(x) = .I心） G ) = e' （.1·+n) ，则 g'(.z-> = (.1 + n + l)e'.
令 g'(.i·) ＝ 趴得 .T =- （／,+ l) ，且该点两侧 g'(.1) 由负变正，则 _tn>(.1.－）在该点取极小值，
极小值为－ c ”-1).
匹JCI991 ，八题，6 分）试证明函数 f(x> = (l 三）＇． 在区间(0, +(X)） 内单调增加．
社叫 （方法一 ） 只要证明对任意 x E (0, + (X)），导数／．，位） > ().
=
由 _/(.1) e砌(1七-!-)知
• 93 •卢）＝（l +十）．， ［叶 ＋ 打－ 卢』
令 y = In .1.，并对其在[.1:,x + I] 上用拉格朗日 中值定理，有
叩 ＋ +)= +.1、） － In 工＝
-1
ln(l
父． ＄
其中 5E ＋ l) ，因此，有』 1 In(1 ＋ 臼＜ 主
(-m.1 <
E
从而对任意 .1. (0， 十～） ，有
压）＝（1 ＋ 订 [ (1 ＋主）— 亡』＞ 0
In
于是 ，函数 j.(1·) 在(0' 十 =)上单调增加．
（方法二） 由于 J'0) + ：)飞In(1 +[）- 』』
= (1
~1 )\ - —1—
令 g(.1一） = In(1 +
.r 工+ 1
则 g (又·) = 1 - - 1 + + 1 = - ~ 1 < 0
l ＋工 1． (X 1)2 x(] ＋工）2
千是g缸）在（0，十=)上单淜减，由于．四？心［叫］ ＋门－ 1 』工］＝ 0，可见对任意.1 E (0，十动 ，
>
g(x) 0，从而 j,G) ＞ 0．于是 f(.1·) 在（o, 十～） 上单调增加．
回(1994，八题，6 分）假设 J(1) 在［a, 十～）上连续，广釭）在（＂，十 =)内存在且大于
f(x) - f（砬
零，记 F釭） = 釭 ＞ a）．证明：F（立在(a ， 十 =) 内单调增加．
.1.-- a
>
@） （方法一） 由题设知，只要证明在（a, 十 ＝） 内 F'(x) 0.
- -
= f '(.1.) (.1,· - a) [J(x) J(a)]
F'(.:i-)
釭 －a)2
= ［＇釭）（父· - a) - .I'(6) (x - a)
(a< ~< x)
(儿: - a)2
由千 j'，位） > o，则 j'（x) 单调增，所以
f'釭） > f＇伶）
>
从而有 F'（x) 0，原题得证．
（方法二） 由题设知
F'釭） ＝ I'位）(`T - a) - ［f釭） - J.(a)]
釭 一a)2
令 >
则 中，位） = ／飞）（工一砂 ＋／（心－／（x) = /'CT)Cr-a) O,.r E (a, 十OO），从而有 F'Cr) O,
则 F（心在（u，十=) 内单凋增
回(2001，二（l）题，3 分）设 jQ) 的导数在 x = a 处连续，又lim·~'釭）＝－ 1，则
X一、， 又· -a
=
(A).1.: Cl 是 j 位）的极小值点．
(B)x = a 是 J(J·) 的极大值点．
(C)(a,J(a)) 是曲线 y =f（工）的拐点．
(D).r = a 不是f 釭）的极值点，（“＇ f(u)) 也不是曲线 y = f<.r) 的拐点．
怎姜 B.
• 94 •!'(.l)
=
斜析 （方法一） 山 1,It.? ＝— 1 及hm(．l—u) 0 可知 ．hm厂（l) ＝ （）．又函数 I(．l)
．l. 一 a ' .,,' •u
的导数在 ．l = （1 处迕绥．则
.,
j ((1) = l I mf, (~1) = 0
' .,,
千是 I“ ()./(h) < o．则下列结论中
错误的是
(L\）午少存fl一点 I E (u .b) ． 使得／(,-,) > f(u).
(l1) 生少仵{」 -点 、l,， E (u 山） ．，仙衔 f(1,,) > f (b).
(L`）至少存｛l一点 1 E ((1. h) ．使得 /'(.r, ) = (),
（［））于少存才I 一点 t E (u .b) ，使衔，f(.1,,) = o.
答孚 D.
斜． 析 （ 方法一 ） 1'1: ~妥丛
（D) 选坝是错误的 ．反例为
j.(ci) = ( i - u) （I） 一 义）
- + -
!'(.r ) = (b - I) ( I —u) = (b u) 2 I
扯然 I,（．l）连续．／(ll) = /1 —(1 > (),.I·1 (b) = u - b < o，但当 l E ((1,b) 时，J釭） > 0.
则（［））是错误的．
（万法二 ） 排除法 ：
巾丁／J(l) 什[u.b] L连续．义 ．IJ(u) > 0.JJ(b) 、＜ 0．由迕续函数的枣．，丛定理知 ．存：（f． ~i,I E
=
(u.h) ．使／,J(.1·11) 0,则(L、) 是」，I确的．
山丁 f'(u) :::-、 （）．则｛｛在 o :-- o. 当 l E (u.u + 6) 时．．／(I ) > J ((1) ． 则(A) 是正｛曲的．同J:甲
(B) 也是正（曲的 ．故应选([)),
>
【评注】 本题方法二中用到 一 个基本结论： 若 j'（工，,) 0. 则存在 1一。 点的一个邻域
>
( ..I ,1 - 8, 1,， 十8) ．当 ~1、 E(:r。 -8,．工。）时，j位） < ｛（．ro); 当兀 E(.J..0 ,3.,1 +8) 时，f(.1） f(．1.II)． 但
>
由 I'(3、o) 0 得不出存在 m 的邻域．在该邻域内 j(1·) 单调增．
（如05, 1(）题 ．,1 分）设 f(I) ＝ 心in ./' --j- COS.l．下列命题中正确的是
(A) / (l)）是极大(fI.f (f）儿极小仙 (B) / (0) 足极小（自．r（宁）是极大值．
(L`）．I((）) 是极人伯 ．1侵）也是极人值． (D) / (O) 足极小怕，.I行）也是极小伯．
• !JS .在桌．! B.
线浙 j.I釭） ＝ sin .T 十工cos X - sin X = .TCOS 工
/CO) = O,f' （平） = 0
又 j'飞） = cos.r - .rsin.l，广(0) = 1 > 0，广（卫） =-—TC O 且广（立 ＜ 0，则在(O. 十OO）内有
(A) J'(x) > 0,/'C.r) < o. (B)J'G) > 0,/'(`3 > 0.
<
CC)J'（心 < o,/' 0.
薹桌 C.
中！ （方法一） 由八— .1.·) = j(丑）可知 － J＇,（一 1)= j .,(I ) ,
即 j.'（－ 3=- I'Q)
=
广(-x) j"釭）
当工 E(0，十～） 时，一.l.: E(—oo,O) ，则当 i. E (0, ＋OO） 时，f'(:d O,/'(.1..) ＜ o，则在该区间内 J（又·)单调增，f(.1.） 的图形是凸的，巾对称性知， 当 ．1． E
(0' 十 OO）时，f釭）单调减，f(.1..) 的图形是凸的，故应选(C)．
（方法三） 排除法：取 .f(..l-) =-r ，则当 X E (-=,O) 时，f(－r) ＝－2:J.噜＞ o,j'C.r) =- 2 < o,
而当 x E (0, 十～）时，f＇（.1·) < o,j''(x) < 0，则（A)(B)(O) 都不正确，故应选(C).
区趴000，六题，7 分）求函数y=(.1一 l)ef“如1口 的单调区间和极值，并求该函数图形的
渐近线．
• 96 •，斜 y'= 了 ., 十 + 1. e f ·.,"'.,11 , . ^ ~ y ' ' = 0,得引点 :r·1 = O,.r, =- 1. 列表如下．
1
3.2
3 (- = , - 1) - 1 (- 1.0) 。 (0. 十 oo)
,
y 十 。 。 +
y )' - 2e霄' \ - e 王 , /
由此可见递增区间为(- =, - l),(0, 十 =)；递减区间为(- 1.0)，极小值为 j(O) =- cf .
极大值为 f(-1) = 2e' .
由于“1 = lim 且立 ＝ e",b, = I im [/<.1) 一 a1..r] = - 2c"
一， ．I .
a2 = lim - j、( — .1.) = 1 九 ＝ lim [ r(1) - a; ,] =- 2
·' . . J
则该曲线的渐近线为 Y = e飞t. — 2) 和 y =.I" - 2.
回(2004,9 题 ，4 分）设 jG) = |、认 l - .I) | ．则
(Ah= O 是 f.Q) 的极值点 ．但(0,0) 不是曲线 y = ./ (I) 的拐点．
(B)l. = 0 不是 f(.1·) 的极值点，但(0,0) 是曲线 y =.I（.I) 的拐点．
(Ch= 0 是 JU) 的极值点、且(0,0) 足曲线 y = J釭）的拐点．
(Oh= 0 不是 J(3) 的极值点．（o.o) 也不是曲线 Y = f(.1) 的拐点．
答泉 C. y
y=x(rl)
奸析 （方法一） 令 l
.J 一．1·t '0 冬 x ~ I
-
2:r ],.r < ().x > I
I＇釭） {
则 = < .1· <
1 - 2.r. 0 1
j飞） ＝｛ 2, 、:i: 1 。 x
o
- 2. < .l· < 1
f(:r) 在 :i.· = 0 处连续 ，且在 1、= 0 两侧 f.，（T·) 变号抑l .l. = 0 是 J釭）的极值点；在 .1.: = 0 两
侧广（、r) 变号，则(0,f(O)）为曲线 y = .f(．］）的拐点．
区习(2006.7 题，4 分）设函数 y = f(:i-) 贝有二阶导数，且 I'(.l.) > 0..I'飞） > o．心为自
变鼠－ －r 在点 m 处的增挝，!::,.y 与 dy 分别为 j(t) 在点 m 处对应的增桩与微分，若 A1 >趴则
y -^] -
(A)O < dy < t:,.y. (B)O < 心y < dy.
巾 「 ~-1" l)． 则
<
I) ., dy A.\'
排除( l1) 、（l') 、( I)) ．故应选(/\).
> >
（方法三 ） 由 f,（I) ().A I 0 ,J、.II
cly = / (·'"") L)../" ·:::, 0
义~-" = /(.1·, 十 .0..r) — I( 1, l - I'U)心．l(.i, < ( - I,， 十 .0,.r) .
1l1 千 I'，(I) >上 ，l. 则 I'(l） 中叫增加．I，(l) 、;｀ I'(l) ． 从曲们
<
((.1,， 心r /(c)i::,,.1
故 （） 了 小平
四(2(）（）礼（j 题 ． 1 分）仙线\ = _l_ ln(l + u' ) 渐近线的条数为
.1
(A) 0. (l i) 1. ((`) ?. (D) 3.
答哀 l)．
+
归 奸析 llll I l h l-hm. \I - lm1[ i ln(I I c) = ．员1l i = （) 为该曲线的垂直渐近线；
-
\ lnn [ l ln(l L`) ] - ()]( hm v =+ ) ． 贝lj _v = （） 力曲线的水平渐近线；
, . , . .1 , .
+
山 丁 一 一侧巳 {j水平j/tlr.i五线 ·则，针渐近线贝 lIl能出现(l C心 ．侧．义
l -
(l = lml \ = lllll 『_l_ _ In( l + l) hm 1 下 hm t = l
,·; .r , - _.,.- .r J , ., .,·· .,一． l 干 C
m
h ='I'. (_\'(U) =, I'. m 「 ~ 1 In(I I t•' ) — I
I I Ill : } + I n ( I l ) _ 1I n L ] ]
+-
f)
J
= ,l(m [ In ( I I = o
则仙线｛｝尔｝渐近线 y - _r.故该仙线们 一 条渐近线 ．应选(D)．
【评注】 本题是一道基本题．但得分卒很低． 难度 系 数为 o. 220. 其主要原因是很多考
生选择了 （C) ． 少了一条斩近线． 原因可能是考生认为
!1.mv = !l.nl[了 + In(I + cJ) ] = o:,
则该曲线没有水平渐近线 ． 又
+
hm 1. ［卢 ＋ ~]= 1
= n1
!1.m[y 一 (LI] = hm尸 ＋ ln( l -1- e' ) - lne'l=O
该曲线有斜斩近线 y = .i．这样就少了一条水平渐近线 ，选择了 (C)． 其 问题的关捷是考生错误
地认为 lime'= ::x,．这是一种“经典” 的错误．正确的是 lim e' ＝十 ～，但 lime' = 0.
广．一
+
且（如07 . 17 题 ． 10 分）设函数\' =- y(.,·) 山 ））伟' yln v - .l v = () ｛d,f1)L ．认判断曲线
r
•v = v (I) (i,I l 、, < I.1) llfJ近f1(J Il ll | ll l I.
. ~8 .（分项） 问题的关键是要确定在点(l,1) 附近函数 y = y(.1) 的二阶导数 y”位）的正负
斜） （方法一） 方程 yln y -x+y=O 两端对．t 求导，得
/ In y + 2/ - J = O
解得
=
y +
2 In y
再对义－ 求导得
y" =—y =
y(2+ ln y)2 y(2+lny)3
将（凸y)=(l,l) 代入上式得
y"I ＝－ 上 < 0
8
_v=I
由于二阶导数 y”釭）在义· = 1 附近连续，因此，在工 =1 附近 y11(.r)
，r分、梪若令 f(x) = xsin..l叶＋2cos.r+rr.1，则本题要证的不等式为 f(b) f(a). 一种证明思路
>
是证明 .f(.r) 在[O，式上单调增加，另一种证明思路是利用拉格朗日中值定理证明 f(b) - f(a) 0.
廷匈 （方法一） 设 j(.1,·) = xsin:J.:+ 2cosx + 兀r,．'!.E [O，式，则
、
f'釭）＝ sin立·十工cosx - 2sinx + 六 =.rcos.r － sin几· 十 T
j II (:1):) = cos.r — xsin工. - cos.1.. ＝－ 工sin又' < O,x E (0，式
则 J'(x) 在［0，穴］上单洞减少，从而有
/ (x) > j、石）＝ o,.1· E co，六）
因此，f(x) 在［0，式上单调增加，当 O < a < b< 六时，
>
f(b) f(u)
即 bsinb+ 2cosb +动＞ asina + 2cosa ＋六a.
（方法二） 令 cp位） ＝工sin.r+ 2cos,I心 E [0,11:]
在[a,b] 上对
从曲有 I)·"lll b 2L.()s I) 一 (1、In u - 2m.、u － 亢(b - <1) .L!Il
f八inh+ 2l(）、h + 六') 、令，、 ＂、llli/ - 2co`“ l 穴(I
【评注】 本题方法一是利用单调性证明不等式 ，方法二是利用拉格朗日中值定理证明
不 等式 ．这是证明 函数不等式最帘用的两种方法．
七 、方程根的存在性与个数
(2005.7 题 ．1 分 ） 、11 u 取下列哪个怕时．函数 ／(.1 ) = 2 I - 9! - + l 2 I - u 恰有两个
不同的各八
(Al2. (13) I. (l')6. (1))8.
答导 11.
斜析 1 万／A －） 殁想确定／（｝）的岑，贞个数．首先婓确定 f(.1) 的单出l区间，然后再考
介 i丫，调IX问端，E处函数伯是否异号 ．
r
<,·) = 6.r - \ 8.1· I 12 = (i (.l —2 l (.r - I)
当， e （－ ．| ）时 ．（＇（I） ＞勹·, ()./ (!) i'|,I Jf，耳］增 ：
当 1 e ( 1.2) 时 ．I，（t) ..::::: O. ((l) 1丫l l)，fj减 ：
当 l e (2. -1 、) |1寸 ．I＇((） > ().f (t·) l、I,11周培．
义 hm ] (l) = - · / (l) ＝ 了一(1· / (`2 ) = 1—a. lim j(.rl = + ． 当 (1 = 1 时.j (I) = I > o. _I釭）
{1( — 3 . 1) 内仆一个本点 ．I( 2) = （) 为馅＿个本，I，气｀此时／（r) 内尤其他零点，故应选(B)．
（万、士 ＿ ， 令仁U) — 2.r·'- 'l.r + 12.,． 确定 ((.I') = 2.r·'-rJ/ -f-2.r - Cl 的客点个数． 从
:: /
儿何上石．就是确儿曲线 V -= 于(I) ＇丿门线 ＼ = u 的父点个数．需确定华位） 函数值变化情况．
:中），（:I)III)＝I);1l如ll(（'I)—(（：l8）.t -)I 三l 21) I=(（ 丫)6)ll(l1、l： 广-：l1]：2) (l - 1) .v /沁）
r
lim 年（1·) = ~ · · 5 时 ．（口） 有唯一零点；
(2) 当 a= ,1 或 a = 5 时 ．j．伈）有两个零点；
(3) 当 •I< o < 5 时 ．．f(x) 有三个零点．
• I 00 •八、微分中值定理有关的证明题
田(1987．二（2）题．2 分）若jG) 在(u,h) 内可导 ，且 ll < .r, < .i-2 < b,则至少存在一点
＄，使得
(A) /.(b) - j(u) = j'炵）（b- a)(a < t; < h).
(B).r(b) - j (.m ) = .I'(6) (b -.J l ) (1 1 < : < b).
(C)j口） － j亿） = .IJ ($) (.l.- - -1 l) (..t , < 5 < 1 2).
(D) / (.1.2) —.I( (I) = I＇符）（艾： - u) (a < $ < m).
培哀 C.
斜析由题设条件知 IG) 在［凸立2] 上连续， 在(tl ·12) 内可导，由拉格朗日中值定理
知，存在 E E (．1.i ,J2 ) ，使
f (.1`2) - /(.1`, ) = / (f;) C.r2 - .r1)
故应选CC).
【评注】 其余3 个选项不能选的原因是f(x) 在对应闭区间上连续这个条件不能满足．
m(l990，五题，6 分）设／釭）在闭区间[O,c] 上迕续，其导数 f'(.1) 在开区间(0,（) 内存
在且单涸减少，f(O) = 0．试应用拉格朗日中值定理证明不等式 j(u +b) < J(a) ＋J(b) ，其中
常数 a小 满足条件 0 冬 a 冬 h < a + h 冬 (.
社叫 （方法—) 当 a = 0 时，结论显然成立．
当 a > O 时，在[O,a] 和[b,a + /J] 上分别应用拉格朗日定理．有
f(a) = f(a) - f(O) = J-I （名）a 名 E (0.u)
f(a + h) - f(h) = j'（令压，t;, E Cb,a + b)
显然 0 < (;1 < u < h < $2 < a + h < c，由于 I'Q) 补[O,（］ 上单驯减少帅l `t'（已 ) < f'(8)．
从而有
j.（u) 多 ．r（u + b) - /(h)
故 J(a + b) < f(a) + j(/J).
（万法二） 令 FC.r) = /Cx) + f(b) —.r(」+b},.i- E 「O,b]，则尸(.1·) = /(.r) - IJ(.r+ b).
= =
由千 j'（.1）单调减，则 F'G) ~ o平(1) 在[0,b] 上单曲增，义 F(O) f o.
2
则由连续函数介值定理知．存在江（十叶，使得
叭77) = 0. 即 f(77) = 17
(2) 设 F(x) = e丑平位） = e 入 [JCT) - .1.］、则 F(．1) {l [0，社 L连纹，在（（），7l) 内可导 ． H
F(Ol = o.F(7l) = e飞 l)
证明至少存在一点: E (0, 1 ) ，使得 j、，符） = （］ - t;-1 )j炵）．
[o,f
—1
证叫1 由 j、(1) = k f下.1el,.rQ)山及积分中值定理，知至少存在t;1 E [ O, ]c[o,1) ，使得
() J:
= 名 e
f( I)= /,, :rc1-'f(:r)d:r I -:i f (5l)
在民，1] 上 ．令中灯） ＝ re1-·'/(:r）那么 ．午(.T) 仆［名， l] 内连续在（东，］）内可导，且
沪佑）＝ J (l) = 趴当又 E (0. l） 时， I /C.r) I~ M.
l l
又 J(.r) = J<.1·) - j.(—) + J(-)
2 2
l ~ ,,., 1
=f'气）（～l｀— -) + J(—),:;_· E CO, I)
? 2
则 I J( ~t ) |冬| j., (句 | |:;_- - ~2 l '1+. 1' ..,t今(. -2 l ) |
• 104 •< — l M+I l
2 - - .' J J 、（一2） l,.rE(O,l)
则 f(.l) 在(0,1) 内有界，故应选(C).
区3（加07,19 题， 11 分）设函数 j釭），g(．r) 在[a.b] 上连纹，在(u,b) 内二阶可导且存在
相等的最大值，又f(a) = ;;(u) , f(/J) = 片·(/1)．证明：
(1) 存在 7 E(a.b) ，使得 f(T/) = g(r;>;
( u ) 存在~ E (a.b) ．使得 j"(~) = g＇／炵）．
y
g (x)
证吨 ( I )1i，l f釭）与 gG) 在(u,b) 内存在相等的
最大值，若两个函数能够在同一点 c E (a,b) 取得最大
值，则几） ＝ 灶），取(. 作为 ”即可． 否则两个函数必在
两个不同的点.r = (与.r = d处分别取得最大值．为确定
°
起见，设f(（)是 j位）在[a,b] I.:的最大值．g(d) 是片·(仁r) ,,
b x
在[a,b] 上的最大值，且u < c 0 > F(d) 成立．
巾闭区间上连续函数取中间值性质知存在吓E (c,d) C (a,b)，使 F(7) = 0，即 J（7) ＝ g（沪
当 f(d) 是 j.（．r) 在[u,b] 上的品大值目g(c) 是 g釭）在[“'b] 上的最大值时可类似证明存
在 “ E (c,d) c (a.b) 使得 F(“) = 0． 即 f(r;) = g（沪·
(U) 设 F(x) =f(.r) -g(.1)． 由题设与(l) 的结论知，F(．r) 在[a,b] 上连续，（a,b) 内二
次可导，且存在 “E (a,h) 使 F----- -
/ 极大值 \ 拐点 \ 翠 [1 -------------+----_-_-_
R 20 ' ,
(4 ，历 ' ' ＇ ，
e ', 一 x
。 2 4 6
囡量 1992，一（1）题 ，3 分）设商品的需求函数 Q = l00-5p，其中 Q、p分别表示需求批和
价格，如果商品需求弹性的绝对值大千 l ，则商品价格的取值范围是 .
虹 (10,20).
驻犹 由 Q(p) = 100- Sp > 0 知，价格 p < 20，又由 Q = 100 — 5p 知 Q'(p) ， 由弹性定
义，知
E = p • 归＝－ 5—p
Q(p) 100 5 j)
令 1 £ 1=~ > 1 ，解得 p > 10，则
10 < p < 20
]
匡卧1993，五题，9 分） 设某产品的成本函数为 C= aq2 ＋切十（，需求函数为q= ..!....(d-p),
e
其中 C 为成本，q 为需求址（即产爵），p 为单价，a,b,c,d,e 都是正的常数，且 d > b，求：
(1) 利润最大时的产蜇及最大利润；
(2) 需求对价格的弹性；
(3) 需求对价格弹性的绝对值为］时的产趾．
@
(1) 利润函数为
L =pq - C= (d-e炉q - (a矿＋凶＋c)
= (d - b)q—(e+ a)矿— c
L'(q) = (d- b)-2(e+ a)q
—
d - b d b
令 L'(q) = 0，得q = ，又 1:'(q) =-2(e五） ＜0，所以，当 q= 时利润最大． Lm飞
2(e+ a) 2(e+ a)
—
(d b)2
= —
4(e+ a) C.
106 •(2) 因为 q' ＝－一，所以，需求对价格的弹性为
TJ=－ %＇=－仁气－上） ＝ d — eq
q q, e, eq
d
(3) 由 I TJ I= 1 得 q = 2 - e.
区~(1995，七题，6 分）设某产品的需求函数为 Q= Q(p) ，收益函数为 R= pQ，其中 p 为
产品价格，Q 为需求量（产品的产址），Q(p) 是单调减函数，如果当价格为 Po ，对应产最为 Q。
I
时，边际收益总 ＝汇＞ 0，收益对价格的边际效应性~
=c l ，求 p。 和 Q们
虴由收益 R= 心对 Q 求导，得
黔 ＝ p+Q 葛 ＝ p+ r- tl-p) ＝印－卢）
比1 生Q。 = p。 (1 －点）
= a
ab
得 p。=
b - 1·
=
由收益 R pQ 对 p 求导，有
些迫＿皇 ＿
= Q+ p = Q (- Q)
dp dp 赻
I)
= QCl-Ep)
—dR |
= Q。(1 — E") =
dp I C
p=p"
---
于是 Q。 =
1- b·
m(1996，七题，6 分）设某种商品的单价为 p 时，售出的商品数量 Q 可以表示成 Q =
—生－－ c,其中 a ，伈均为正数，且 a > Ix.
p + b
(1) 求 p 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少；
(2) 要使销售额最大，商品单价 p 应取何值？最大销售额是多少？
蚝 (1) 设商品的销售扯为 R，则
—
R = pQ = p: c)
+
ab - c(p h)2
R'= +
(p b)2
令 R'= O，得 p(l ＝ 乒－ b = ✓了石－ 尽） ＞ 0.
当 O < p<《忑－石）时，有R' > O．所以随单价 p 的增加，相应的销售额R 也增加；
• 107 •当 p > ］五石－石）时，有 R' ＜ 队所以陆单价 I) 的增加，相应的销售额将减少．
C
(2) 由(l) 可知 ．当 /J ＝ 《卫屯－顶） 时销售额 R 取品大值．最大销售额为
(.
R,l1八三厂）：（I= （五－尽）2
+
团'(1997，三题，6 分）在经济学中，称函数 QC.r) = /\[3K-, (1 —3)／尸］分 为固定替代
弹性生产函数，而称函数 Q = AK化1-;, 为 Cobb-Dougla、 生产函数（简称 C-D 生产函数）．
试证明 ： 当工-+ 0 时，固定替代弹性生产函数变为 C-D 生产函数，即有limQ(.T） = Q.
.r-.0
I
心. ，） 因-力jg In Q<.d =＝ In A — 了ln[oJC· + (1 - o)l尸］，而且
In伐K · +(l —o)L ·'] ] _ 1: __ ln{l +［oK一1 + (1 - 8)1厂－ l]}
lim = lim
I_．n ..l·.，一o .r
olCr + (1 - o)L-·'· - 1
= lim
．广dl 父｀
8(K-x - L- ,), ,, - 1
L一,.
= Iim ~ + Jim
.,-•O .1' .,-o 工
] .
·'[ (产)
oL l L 1
= lim ~ ~ :r - - lim I -
.r一•II 3· r-．u 一 3
K
=-Jin~ - In L
L
= - ln(K化1,'）
所以
limln Q<.r) = In A+ ln(K；；［厂") = ln(A/(liL1 ")
.r-dI
于是limQ(工) = AK';1/1-6 = Q.
．＄一＿，l
四(1997，五题，6 分）一商家销售某种商品的价格满足关系 p = 7 - 0. 2.1（万元 ／ 吨），工
为销售最（单位：吨） ，商品的成本函数是 C = 3.r + l（万元）．
(1) 若每销售一吨商品 ，政府要征税 l（万元）．求该商家获最大利润时的销售扯；
(2)／． 为何值时，政府税收总额最大．
@ （l) 设 T 为总税额，则 T = 1.1 ，商品销售总收入为
R = 庐 ＝（7 — 0. 2工）.1· = 7.1、 -0. 2工2
利润函数为
六 ＝ R - C - T = 7.r - 0. 2矿 － 3.i· - 1 - t.r
o. +
=- 2.i-2 (4 - th - 1
令如— =0'即 －0. 心＋4 -t = 0．得｀r ＝ 沪 －t)． 巾于归 ＝－0. 4 < 0，因此，·r =§(4- I) 即
clr
为利润最大的销售批
5
(2) 将 r= 了(4 - I) 代人 T= 灯，得 T = lOt －辛亡
气 ＝ 10 - St = 0，得唯一驸点 t = 2，又
• l08 •d2T
—=—5 < 0
cl.1.2
由此可见，t = 2 时，T 有极大值，此时政府税收总额最大．
四(1998．五题，6 分）设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定 t =O) 就售出，总收人
却
为 R。（元）．如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为 R = R.,e" ，假定银行的年利率
为 r，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大． 并求 r = 0. 06 时的 t 值．
斜， 根据连续复利公式，这批酒存窖藏1 年末售出总收入R 的现值为J\(t) = Re" ，而R =
R。产，则 A(t) = R.. c祯－“．
=
｀气 e垃 1 （点－— r) 0,1斗唯一引点 1 = 3·又
(&, -
譬＝ R0 c~ -,, [ r)2 一 言 l 7 j
d2A '
则有 ~ I ll,』 = R,,e7 ( —12. 5r3) < 0
于是(。 =——是极大俏点即为最大值点，故窖藏， ＝ ——（年）售出，总收入的现值最大
2 5 r· 2 5产
100
当 r = 0. 06 时，t = —-~11（年）．
9
m(200] ，一（1 ）题，3 分）设生产函数为 Q = I\l4U知，其中 Q是产出扯，L 是劳动投入植，
K 是资本投入显，面 A,a,{3 均为大千零的参数，则当 Q = ] 时 K 关于 L 的弹性为 .
a
冬衷 /3.
斜折 巾 Q = AL"K入当 Q = 111寸．岗I AL"伈 ＝ 1 ，有 K = J\ 勺卢．
EK L dK L cl (A ,II L 1 " 1 )
= =
EL K dL AA -.,!I.L -,.I dL
— _E._A 兀－f
l
= L.
A-+, I勹
=- Q
四(2004 , 18题 ，9 分）设如商~I的盆求函数为 Q 100—5p，其中价格 p (0,20),Q 为
= E
需求拭
（））求衙求拭对价格的弹性 E,I(E,l >0);
dR .
(2) 推导— =Q( 1 -£.,)（其中 R 为收益），并用弹性丘说明价格在何范围内变化时，降低
dp
价格反而使收益增加
I~ Q'I
斜） （l) ~
£., = Q = 20 - I).
=
(2) 由 R pQ，得
器 ＝ Q＋ 心 ＝ Q(I ＋合）Q' = QO - E.,)
• 109 •zo½
又由 Ed= = ] ，得 p = 10.
dR
当 10 < p < 20 时，凡 ＞ l ，于是— <0.
dp
故当 10 < p < 20 时，降低价格反而使收益增加．
m(2007,5 题，4 分）设某商品的需求函数为 Q = 160-Zp，其中 Q,p 分别表示需求扯和
价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 l ，则商品的价格是
(A)lO. (B)20. (C)30. (D)40.
釭） D.
＂由需求弹性的定义和题设条件知
=
启＝曷＄
1 160p-2p · (- 2) |= 160:
=
由 1 停 I = 1 ，即 纱 ＝ ］可解出 p 40．故应选(D).
160 - 2p
合已大亭者，不惟有起书之才，亦心有
邕恣乐拔迎怂．
-—苏轼
• 110 •第 立
一 元函 数 积分学
早
t严
一元函数积分学是微积分的另一个主要内容．与 微分学 不 同，积分是研究 函 数整体性质 的．
其中不定积分是微分的逆运算，定积分是一种和式 的极限，微积分基本定理和牛顿－莱布尼茨公
式阐 明 了 微分学和积分学的内在联系，换元法和分部积分法是计算不定积分和定积分的两种主
要方法，微元法是用定积分解决几何等问题的一种常用的基本方法． 一元函数积分是多元函数积
分的基础
本章主要内容有：
(1) 不定 积分与原函 数的概念 ，求不定积分的两种主要方法 一—－ 换元法、分部积分法；
(2) 定 积分的概念、性质及计算方法（换元 、分部） ， 变上限积分及其导数 ；
(3) 反常积分的概念与计算 ；
(4) 定积分应用 （ 几何）．
仁立归一心
定积分与不定积分是积分学的两个基本概念，计符不定积分和定积分是微积分的一种基
本运算，是考研的一个重点，定积分应用是考研试卷中应用题考得最多的一个内容．
}本章一常考题_JLJ
(l) 不定积分、定积分及反常积分的计算；
(2) 变上限积分及其应用；
(3) 用定积分计算几何扯；
(4) －元微积分学的综合题．
｛一
一、不定积分的计算
m(l987，三（4）题，4 分）求不定积分］e.rz:;气d.1．
斜 令 J亏＝丁＝ t．则 2.1 = 1+ 12,2d.1 = 2tdt
f
Jc~d.1 = te'dt = j、tde'
= ,e' - f吵 ＋ C
＝戊－ e' + c
• 111 •= ~ e.兀－ c左;::-r + c
匮量1989，二（2）题，3 分）在下列等式中，正确I的结果是
(A)［厂C.r)d.:i- = f(.1.). (B) Idj.(.1) =.r (1).
d
(C) 石[.f釭）d丑. = /(.1.). (D)clI四）dx = f(x).
怎怎 C.
（吓） 裴I卢）d1 ＝ 卢［F(x) + C] = 「釭），故应选CC).
其余不正确，事实上
fI'
(1)d.l.. = f(x) + C, JdJ(x) = J(..l) + C,dIJ (．1)扣 ＝ f釭）d义
匮量(]992, 四题，5 分）计符 l = I arccot e·,d.r.
e'
f
斜） I =- arccot e-'de一．，
f
= - e-Jarccot e·' - ~一， cb
l +e幻
j
1
= - e-•·,uccot c·'- + d ? `
1 e1'
f
=-e'arccot e - e 2' d.1,
e 2.r -t- 1
I
= - e-·'arccot eJ + -:'.:-ln(e 2'+ 1) + C
2
巨量1995，一（3) 处3 分）设 f'(In .r) = 1 + .l，则卢） =
虹 x+e' + c.
缉芍｀） 令 In .,·= {，则 .:r = c''
f'(ln 伞I) = f '(I) = 1 + c1
则 f (I) = J Cl + e') dt = t + e' + C
回(1996，一（2）题，3 分）设I.1.J(.r)d.r = arcsin .r + C，则］鸟 ＝
J釭）
+c.
冬怎J 二次J乙）:J
3
纾扽^ 由j.:r｀／豆）山 ＝ arcsin x + C 可知
汀(.1.) = (a resin 立·)' = l
二
忒＝ 3. 二
I
J(.1 ) d1 = I立汀二玉 ＝－ 甘汀二勺(l -义2)
＝飞－ 汇二产＋ C
• 112 •m(l998，一（2) 题，3 分）IIn.r- ld3 =
.t·~ .
笭泉 － 皿勹 C.
.1.
J
斜析 J In .1 ; - l d:r =- In .rd 了l －I 丑l
立｀
.1.~
＝－ 宁 ＋j．」压 －I 卢
=- —ln .1· +
C
.1..
回(2002，五题，6 分）设 f(、in气）＝忒，求［；勹J(义-）d.L
斜 令 u = sin2.I，则有叩in.1 ＝石，工＝ aresin 石．
a resin石
j. (.2`) =
石
千是 ［』气G)心 ＝ Iarc、ln 气
二
= - 2f arcsin .J;d 汀
=-2 汀二arc..,it) 石＋ 2f 二 · d 石
,L
尸
= -2 ✓已arc..,m石＋ 2石＋ C
定积分的概念、性质及几何意义
一、
m(2007,3 题．亡1 分）如图所示，连续函数y =.I釭）在区间[-3, —2].[2,3] 上的图形分
别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间[- 2,0] ,[0.2] 上的图形 y
y寸(.r)
分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 F<.r) =『j.(t)dt，则下列结
" x
论正确的是
3 5
(A)F(3) = - —F(- 2). (l)dl ＝王
2
i1
• ll 3 •=- (-
FC- 2) = [ 2/ C1)d1 =—『 JJ(I) dt §)＝旁
- = =—
F( 3) I J.(I)d1 I ',r(I)d1 =—侵 － 牙］＝ 千
1
3
则 F(－ 3) = -F(2) ，故应选(C)．
4
> >
（方法二） 由定积分几何意义知 FC2) FC3) O，排除(B)．
又由 J(｀1) 的图形可知 f(..l）为奇函数，则 F(.1.） ＝『f(t)山为偶函数，从而
,,
> >
F<- 3) = F(3) O,F(- 2) = F(2) 0
显然排除(A) 和(D) ．故选(C).
【评注】 (1) 部分考生选(A) ，可能是没注意到
-2 ro
F(- 2) = [ 2f (t)dt =-f一2f(t)dt ＝亨
误以为 F(— 2) ＝厂f(t)dt ＝一 号；
。
(2) 方法二简单，这里用到一个基本结论：设 f（心是连续函数，则
f位）为奇函数尹（工）＝ I4 八t)dt 为偶函数
。
f(x）为偶函数尹（工） = I X J(t)dt 为奇函数
。
配量2008,2 题，4 分）如图所示， 曲线段的方程为 Y = C(O.f(a)).+-Y A(a,fl.a))
f(.z) ．函数 fG) 在 1凶间 [O,a] 上有连续的导数，则定积分
『汀'(.1一）山等于
D
。
(A) 曲边梯形 ABOD 的面积
。 B(a,O) X
(B) 梯形 ABOD 的面积．
（C) 曲边三角形 /\CD 的面积
(D) ＝角形 ACD 的面积
充怠＼ C.
虹＼ f矿(.1)d.1．＝ f1.djG) ＝习（立） ~- I 归）d.1.一
O II 。
- Ia
＝叮(a) j (｀飞·)d.1
()
" ',
其中叮(u) 等千矩形 /\HOC 的面积，J::f(.1.)心等于曲边梯形ABC)D 的面积． 因此Io.1f'(.1）如
等于曲边＝角形 A.CD 的面积．故应选(C).
三、定积分计算
胚(1987．一（2）题.2 分）（判断题）I， .2A、in.2釭）d丑
I
n J O J u
m(l988，三（3）题，4 分）求定积分『 釭
。 石(1 + x)
斜 j.1 d工 ＝ 2『“
。石(1 +工-) 。 1 + （石）2
= 2arctan石厂＝ —2亢
0 3
匡10994，一（1) 题，3 分）『．r＋1 .1 | d.1·=
2
一2 2 +x
苍息 In 3.
虹/ I' x2: | clx = 『 已卢 ＋I_乙卢沪x
= 0 + 2［寸产
I 2 —
= ln(2 + .ri) = In 6 ln 2 = In 3
。
1
m(l997，一（2）题，3 分）若函数 J(x) = + ＋汀二{1f <.z)山，则fof位）d.r ＝
l `1．一
苍床） 穴
,
、~' 4 - 1C
1
贷浙） 等式 f(x) = ~ ＋厂1 =-『m)心两端从 0 到 1 积分，得
1+:r
- ()
f：四）d1· =IT¾.1工2 ［二山 . I。J釭）d.1．
+
＝于 ＋ 于I：卢）dx
即 f:J(x)d.1
王
由此解得[ I f(.r）d又 = 4 = 1C
六 4 － 穴．
。 l
4
• 115 •【评注】 这里利用定积分几何意义得『 J「二了如： ＝ 工
。 4
四(1999，一（1 ）超3 分）设 f(:r） 有一个原函数si立n． .1`．则［亢 矿(x)d.1. =
f .
4
答哀 －穴 － 1.
11;
斜析 由题设知 f(x) = （兰严）' = :rcos sm .1．，则
;-
f:立·dj.（．I) ＝ 沪） I;J釭）d.1
L .1.J '(x)dx = 1
= :rcos.1· .1 . - sin 义． I ，于 _ si:nr .1 I 穴于
4
=— —l
六
l
.,.
m(l999，七题，6 分）设函数 j位）连续，且尸 心－t)dt = —arctan ．沪．已知 J(l) = 1,
2
IJ
2
求f J(:r)上的值
I
纤 令 2.1· — t = u，则 一 dt = du,
ttf(2x - t)dt = r ,(2.1·- u)f(u)du
= 2.:i:『,J(u)du - r.『叮(u)du
1
= —arctan .1·2
2
则 寸勹（u)du + 2.i-[f心） • 2 - J(x)]- [2汀(2工） . 2 - 习G)］ = + 工
J- 1 1A
zf
即 = 言三 ＋习（心
J (u)du
妇 ＝ ］ ，得 2『JCu) du = 上 + l = 立
2 2.
1
『卢）d.:i· =立
则 I J . -. -- 4
田(2001,3题，4 分） 设j釭） ＝ ｛xe· ＇ - —1 < .r < — 1 ,
2 2
l 则『1 卢－1)
d:r = .
- 1, .l＇ 多 —, 了
2
1
鉴/ 一～ 庶 2-
1 1
斜:.•析.. ＾~' I- = -x- - l-,. d-x-- = d-t-,. -当· -3-气＝ －2 时，t =- －，当 ．T = 2 时，t = 1.则
I: - l)釭 ＝ II
j (T J (I) d/ 2
廿
tI
= I勹戊Z d_t . fl
+ I~ (- l)dt
• 116 •= 0 -
-1
= -
-1
2 2
[El< 10 题，4 分）设 J(x + ~)= f½ ，则I/.IG)d1 =
2008,
1_2
n 3
恣森
1:- )_
+1+ I
奸 - - . / 析 \_ ， 由于 f _ 1 1 工 十 了 l ` = 工 2 - 工 1 __ ,.I \ + 2 + l \ I 2 , 令 工 + 1 - 工 __ u ,贝 U 有
工 ？- 工 了 I
丁
=--. u
f(u)
u" - 2
则厂j.（心d.T ＝ I:死.J. 义- ＝ ½In(工 -2) I~ ＝令ln3
2d.T
四、 变上限积分函数及其应用
m( r
,·
1988，一（1) 题，8 分） 已知函数 f(:i.·) = I 尸dt, - = < .r <+=.
n
0f'釭） =
@f（心的单调性是 ,
@f釭） 的奇偶性是 .
@f釭）图形的拐点是 .
@f釭）的凹凸区间是 ,
@f釭）的水平渐近线是 , .
怎忠 (De一了, ;@单调增加；＠ 奇函数；＠（o.o) ；＠（一 =,O) 内凹，（o, 十 =)内凸通）
5
y=`y=-
f'釭）＝ c令＞ 0，则 j釭）单凋增加．
斜析
广（又·) = - .re-－午2
=-`
<
在区间(-=,0) 上，广(:r) >0，则曲线是凹的，在区间（0， 十=)上，广(.r) 0，则曲线是凸的．
故(0,0) 为拐点
: I I:
,rEm四） ＝ j｀0 =- - -
又 e_ dt e _: dt e ; dt
压 J口） =[ ，c亏产 dt=Jf
则该曲线有水平渐近线 y ＝士《工
2
区i]<1989，六题，6 分）假设函数 J釭） 在压，b］上连续，在(a,b) 内可导，且 fIG) 0.
...+
0, 右 ；I' = 0
在[O. +=）上连续且单调不减（其中 11 >0).
>
社，、叫 （方法一 ） 显然 ．当 .r 0 时，F丘）连续．义
f ,1"f(1)clt
limF(x) = lim ~ = lim 立:"f(.r) = 0 = F(O)
.,J.0 .r-•0 + .r .r., ) 1
故 F(x) 在［0, 十 oo）上连续．
对千工 E (0，十 00），有
F'C:i.·) = 3~'户If(.r） — .r=亡f.(I) dt ~花）贮l. 5'f化）
-
= ·1.nf0)
.r 2 .1 .2 .r
其中 0 ＜ 仑＜ ．1:. 因此，由 f(x) 在[O. +~）上单调不减知 ，F＇Q） 诊 0，故 F釭）在［0, 十oo) 上
单悯不减．
• 119 •:
（方法二） 连续性的证明同上． 由于
F'(1) = ｀11.I.（立） I。t j (I) d' _ I .T J (r) dLx/ I 1 J(t) dI
『[.1”尸） — I丁(I)]dt
＝ 仆 ~ o
1. 2
由此可知 F釭）在［0. 十O2) 上单训不减．
厄~( 1999，二（1 ) 题，3 分）设 J(:1) 是连续函数，F（．1）是 J口）的原函数，则
(A) 当 J(．1·）是奇函数时，FG) 必是偶函数．
(B) 当 J(x) 是偶函数时，F（.l.）必是奇函数．
(C) 当 J(．l`) 是周期函数时，F(.r) 必是周期函数．
(D) 当 J(.2·) 是单调增函数时，F(．r) 必是单i),~]增函数．
答泉 A.
纤析 （万法一） 直接法 由于 f(.1) 连续 厕 F(x) = f:J J ((tt)) dcl11 -- 22 J .I (I)小＝ 0
()
【评注］ 也可以用定积分的性质与换元法来证明 (I) ，这时不必利用 J(x) 的连续性
而只需设函数 f(x) 以 2 为周期且在任何长度为 2 的区间[t,t + 2] 上可积．证明过程如下：
r
利用定积分的性质可得
厂f(x)dL--I:J(x)扛＝ rf(x)d工·十J:+2 J(x)dx - f；应）clx - f(x)dx
= J:+2 f(x)dx - f:J(x)d工．（ ＊）
在（＊）式右端笫一个积分中令x= u+2 作换元，则 工：2一t+2台u:O一l，且扣 ＝ du,
利用函数 f（心的周期性即得
L
厂J(x)dx =，平）也
= J/cu + 2)du = f:>J((uu))dduu =
把所得结果代入（ ＊） 式知对任意的实数 t 有
厂 f(x) 『 dx -1 。f(x)dx = 0台 J:'++22 J 1((xx))ddxx == JI。.f(x)dx
五、与定积分有关的证明题
回(1995，八题，6 分）设 j灯）、g釭）在区间[-a,a](a > O) 上连续 ，g(.l） 为偶函数，且
归）满足条件 f(.r) + J(-.r) ＝ A(A 为常数）．
(l) 证明［勹U)g(.l）dx = A［心）d:J.;
(2) 利用(1) 的结论计算定积分］f | 汕in _,- I arctan e·'归
分
位闷1 (l。)I“J(x)g(.1）归 ＝ 。U贮）正）d.r +[、I豆）炉）d:.i
[
I a J (r)g釭）d.1 x =- I -炉－ t)g (- t) dt = f。./（一；r）心）d.r
千是 L .fQ)g(1)d1 = I：八一工.)µ,位）d.1 + j.0/ （立g釭）如·
= ［：［J(一 r) + /(x)]g(.1·)d丑
=A『g(.1·)如
。
(2) 取 /(x) = arctan e' 心） = 1 、in .r I .o ＝亨·则 JC.r) ,g釭） 在［－ 奇，千］上连续．
g(x) 为偶函数，于是
—
(aarrccttaann ee''++ aarrccttaann ee--'' ))1 · == ~ e + ~ - e ' = ~ c + ~ e·' = 0
l + e红 l + e-zJ 1 + e2·'· · e2·'+ 1
则 arctan e' + arctan e-., = A
令 :z:、 =0 得 2arctan l = A，故 A = 王，
2
• 122 •f .
即 r釭）＋ f(一 1·) =
J:
f f
于是有厂f I sin.1· I arctan e'dx = I sin.r I d.r =
回(2000．八题 ．6 分）设函数汇）在[0.T(] 上连续．．目[m)d`l = 0.I:/G)co、心＝
0. 试证：在(O．亢）内至少存在两个不同的点名、令，使 I化） ＝「（令） = 0.
呾 ,~v· 月 · ） （方法一） 令 F(.1） ＝ 『．J(I)dl,o <3 < 元
。
则有 F(O) = O,F丘） ＝ 0. 义因为
0 = I: / (.1) co、 .1d.r = [ co、 .rdFC.r)
= F(.r) COS .11 : +』:F(．r)、In rd.1`
= 『F(．1)sin.1如
II
= nF伶）sin~. (0<$ < 六)
又 sin ~ =j: 0.则 F(¢) = o.
由此可得 F(O) = F(¢) = F(六) = () （O < $ < 六)
再对 FQ) 在[O．打，［5·亢］上川罗尔定理知，至少存在名 E (0丰） ．已 E （令式，使
F'化） = F'伶） = 0
即 j．（名）＝ ．I.（名） = 0
（万法二） 由积分中伯定理知
O = 『.f(1)d.1 = 六八名 ） (0 < ¢1 < 六）
, l
则 j、(6) = 0.
若在(0，六）内 j奴） = 0 仅有一个实根 .1 ＝ $1,则甘1『加）clr =（)可知，f(_r) 在(0，名）与($1 忒
异号．不妨设在(0名）内兀） > 0.在($ .六） 内 J(．1) < 0，千是丙由『们）cos 沁＝ 0 及 co、义在
')
[O，六］上的单调性知
0 = [ J (.1) ［co、 1" - CO!- ~I ]d.1
f I:,
= fC.d[co、 r - cos E1] d.r + /(x)[cos.1· - cos E1] d.1
由千这里『四）［COS.I—co、 e如 ＞ 0．『 、f(.r)[cos.1— co、 E1]cLr > 0． 上式左、右两端矛盾，从
,1 钉
而可知，在(0，心 内除 E1 外，．f釭） = 0 至少还有另一实根 $1. 故知存什 E1 名 E (0，六汃且 El ＃令 ，
使 J伶） = f伶） = 0,
>
回(2002．八题，6 分）设函数 f(.r) ,g(.1) 在[a .h] 上连续．且 g(:i·) 0. 利用闭区间上连
续函数性质，证明存在一点~ E [a,h]，使
(A坎(.. f伶）I：J.,心）如
I:j r)d.r =
毡3) 因为 J、(-r) ，心）在[a ./J] 上迕续， H g(x) >O．由最值定理知，J釭）在[a,b] 上有
最大值 M 和最小值 m ，即
Ill 冬 J(、．1） 冬 M
• 123 •故 mg(x) ¾ f(x)g(x) ¾ Mg(x)
所
以 J: mg(x)dx 寸f(x)g(x)dx 叮Mg(工)dx
a
『f(x)g(x)dx
即 m¾¾ I
r
x (
|
. ' 1
J
· .
a
（
坎
队
j
1 ``
[ ,
丿,
gI
> /
） .c
0
l r
.贝
g __
lJ
.,丿
（
( 、
'
,
l
',
( I ) d Tj- C l
＿＿
().飞)
1 丿、 ＿
(
~（
a
、
f '
j L 飞 g ( 1 .) . I 1 r +f 6 i j .( ｀、 丿、Cr >/ 丿、 g “ 丿 、 + ( 丿、 [ g ( _ 丿、 g ( u ) J
。 ll
= f(u)g(l).
（方法三） 『心）J＇G)小＋『妇）片1位）d．I'
[ f、(1) d立
= g (I)d +j 1./ (;I) g'(3`)
u
" J "
|-
＝正）．J(3)
I /
（五'(:r）cl.r+．『f(.r)
g'C.1·)
d.1.、
= g(a)f(a) ＋『f(.1:)g'(.1）心
~ g(a)_f'(a) +『j.（四g'(.1)山（由于 /(0) = 0,/'(x) ~ o,g'(x)~ 0)
= g(u)卢） ＋f(a)『g'G)d.1.书
= g(a)f(u) + J（四［g(l) — g(u)]
= f(a)g(I).
六、反常积分的计算与敛散性
区1(1987．二（3) 题，2 分）下列广义积分收敛的是
(A)『二、如． (B)『t. d3 (C)I+ d1. (D)『． d1 .
,' ·1. ,. .r ln :r· ,, .1:(ln.r)2' e .7" ✓卢
• 125 •妥® C.
积由千r · .~'， =r · ~dln.:i =—已 I , = \.
则[' dJ..-
收敛，故应选(C).
L..rCln x)2
四（ 1993,四题，7 分）已知rl:-m（国）．, = I一． 正e 2.，心，求常数 a 的值．
r
砃 .』l一i一~m 『(_~~))'-
=
= !!ii~~((1l +十~二 ）
=
e 幻
I 厅e-2rd.r =- 2r ..1 ·2d e
i,
= - 2~l2e ” 1 一 . + 4[r 1-.- J.e-“d立
" ',
=2矿e-2”- 2j 1 de玉
“
=2正e 2" - 2.re-2r I.:． '，+ 于2r ~～ e 2., d:i
,'",-,
= 2矿e-2" + 2ac-2" - c ·2-' I
',
=2矿e t,, + 2ac 2" 十 e-2,,
于是，由 e-2" = 2矿产 ＋ 2ae-2" 十 c-2“ 得 a= 0 或 a =- l.
囡褂1995，二（2）题．3 分）下列广义积分发散的是
(A)I 一 l 1 —SI d n `-I' 工． （B)」 `I l 了d.r了． (C) IUe 一．，？ 如． (D)I' d`t
2 `1、ln2x·
＠忠 A.
（方法一） 巾千『 －~dx _li~[ln(c、C.l"
叫:" ::,1:1 发散，故］1 1 上发散 )l Sl n..1. = ,. l) - COi X)] I~ = OO,
1:
（方法二） 由 千当 3 一 o+ ,sin.T ~.1 ,
·1 l
则[ ;山与j。 了山同敛散，而［ ］小发散，则［ ~d.r 发散
（评注】 方法二中用到一个常用结论：反常积分Ib d工 ，当 Po) 所围平面图形绕x轴旋转一周，得一旋
1
转体，求此旋转体体积 V(E)；求满足 V(a) = - 2 ;;- el:;i.mj:,:- , V<€) 的 a.
(2) 在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平
面图形的面积最大，并求出该面积． 卢-
@
（l) 如右图， x·
V(E) ＝寸：y2dx =寸:e-2rdx =旁（1 - e-25)
。
• 128 •V(u) ＝王(1 - e :!,,)
2
lim VC$) = 王
; · - 2
吁(l - e Za) ＝干解得 Cl =主In 2
(2) 设切点为(£1'e a ) ，则切线方程为
-
y - c-" = e-“(.r - a)
令｀1' = 0,得 y =(l +a)e"． 令 y=O．得．r = l + u.
故切线与坐标轴所夹面积为
S(u) = 占（ l ＋矿e一，＇
+
则 s'(a) = (l + £1) e " - (1 + (1)气广＂ ＝ 告(l —矿）e ".
令 s'(a) = 0．得 al = 1,ll; = - l（舍去）．
由于当 u < l 时，S1(o) > 0； 当 Cl > 1 时，S'(a) < O. 故当 a = l 时，面积 S(u) 取极大值．
即最大值，所求切，权为(1 ．亡） ，最大面积为 S = 2e气
田(1994 ，七题，8 分）已知曲线 y ＝ 叭厅(ll > (））与曲线 y = In✓；在点(.r,, •Y。)处有公
共切线，求
(l) 常数 u 及切点（．环 ，Yl, ） ;
(2) 两曲线与．1 轴闱成的平面图形绕又轴旋转所得旋转体的体积 V,.
斜） （l) 设两曲线在点(.T,， ．y,l ) 处有公共切点，则 I' (xo·) '( 1)
j＂ 汇＝ ln1 F,
l”=
l
2 ✓言 2.r。
。
c^_~ r
巾此解得 :.r,l = e2.u =上，切点为(e2 'I).
e
(2) 所求旋转休体积为
V, • :, l 2
= 六［ （了石）山 － 寸>In 石）
d.1
II
＝苦 I － 干［·IIn l — 2(In 心］
;
[, |
＝ 扣(_』 _f
1e - 2T ln.1 '-2f:'ctr]
— 亢
2
肛卧2001 ，六题，7 分）已知抛物线 y = J汇＋（p（其中 J1<0,q> 0) y
在第一象限内与直线x+y=5 相切，且此抛物线与 ｀I 轴所围成的平面图
x+y=5
形的而积为 s.
（l) 问 I) 和 q 为何俏时．S 达到最大值？（2) 求出此最大值
娟；1 由题设知，抛物线如右图所示 ．它与？轴交点的横坐标为
X
.1. =0, JJ.2 = - -q-
1 p
• 129 •面积 S = [:, o. 当 q>3 时，
3(q+l)5
S'(q) O；当 a>l 时，V' 0，求
( I 坎(t)= ,l！严f(x,y);
CI I ) limgC.T).
J 一II
分，，、浙； 第( 1) 问求极限时注意将 ；r 作为常拭求解，此问中含启，0 . = 型未定式极限；第
（ ll ）问需利用第(J) 问的结果，含 ＝ － ～ 未定式极限．
斜 ( _ 丿、 g ( x 丿、 ． __ y . · 1 ' m f ( ? . y ) __ ·、_ . . 1 m 尸 . l + n . y 工 y l1- ar y l si气 亢 can- Il n . `
s. _立
l
＿ l v ) — __
= lim - 工
1 _ y I .1` arctan.1噜
I
arctan又．
-+工
y
( ll ) hm心） = hm （上 ＿ 1 － 六.1． ）＝ hm arctan.1 一．1 + 亢．I2 （迪分）
J 一IJ'" ．，一0 .-r arctan.""t I '..。 "~ 工Rrctanx
• 131 •l +
, ~ - I 2六工
= lim arctan工 -.r ＋兀r' = , . lim l+x'
X一0＋ 工 2 ;::~; 2x
一工z +2亢工(1+工2)
= lim
; ＝六．
x-•O 2工
【评注］ 本题为基本题型，注意利用洛必达法则求未定式极限时，要充分利用等价无
穷小代换，并及时整理极限式，以使求解简化．
匣量2008,3 题，4 分）已知 f亿y) = e石二r，则
(A)几(0,o) ，f'y(0,o) 都存在． （B)几(0,0) 不存在，几(0,0) 存在．
(C)几(0,0) 存在，几(0,0) 不存在． （D）几(O,O)，几(0,0) 都不存在．
薹急） B.
叩 f:（0,o) ＝ hm f（竺0）－f(0,o) = hme了－ 1
山丑o A.r 山-．o A工
= lim e压~=lim 坠，
心--o /),,.工¥一0 A
极限不存在，所以偏导数几(0,0) 不存在．
-
f(0,Ay) J(0,0) e尽丁— l
f'y(0,0) = lim = lim
il.y-.o Ay 砓·o Ay
(/:.:,)
= lim ~ = lim 竺＝ 0
.:>.v-~O Ay 心y-.o Ay
偏导数 fy(0,0) 存在．
故应选(B)．
求多元函数的偏导数及全微分
、
匾置(1987，三（3) 题，4 分）z = arctan 五 — 土斗求 dz.
.x y
＂显函数求全微分，可以利用直接求导法或一阶微分形式不变性．
符（方法一） 生= 1 －二红＿＝－二上
杠 1+ （兰2)2 (.x－y)2 工2 + y2
工－y
—心 = 1 2.x = x
iJy 1 +（二叮 (x-y)2 xz+yz
-
.r y
有
dz ＝生心十生dy =二立－志＋下dy
ax 3y 工2 +y 工＋y
（方法二） 利用一阶微分形式不变性
dz= l+ （声）2 d （ 仁 工－ 巨 y)
- -
= l(.r y)d(x+y) (x-y)d(.r+ y)
1+ （兰）2 历 y)2
• 132 •=#山 ＋mcly
巨量1988，三（2) 题．4 分）已知 u +e" =．巧，求立二
心Jy
分｀货这是一个由方程确定的隐函数求偏导数问题，求一阶偏导数时可以用三种办法 ：
方程两边求偏导、方程两边微分、公式法．
缉｝ 在方程 u + e" — .1y 两边分别对．1_ ，｀＼， 求偏导．得
启＋ e 启＝ v，罔＋ l 焉＝
l
心 y Ju _.r
侃（得 = =
扣 1 + e" 'J y - l + e"
, 1 + e" - yyee"- -
r—7
:;
1
-
.
-
1
I1 -+-re e" · -一 ye ” +
.1
+
因而 a飞 — ay 1 c" = (I e") 2 - xy - c “
J.rciy Cl + e")2 o +e")' Cl +c")3
【评注】 在求多元复合函数偏导数，特别是高阶偏导数时，要注意函数求偏导数后仍
为复合函数．如本题中八，八仍是以 u,v 为中间变量，x,y 为自变量的复合函数．
回( 1989，三（2) 题 ，5 分）已知 z= l(t/，v) ，u =.1 + y,1) = .ly ,H J钮，v） 的二阶偏导数
、 a～之
都连绥.,K/
心Jy
斜I 利用复合函数求偏导方法
卢 ＝ j'.皂＋ j,I,飞 ＝ j畸'.,十 yf'.
护芯 (？(I'.，十 yf'..) +
进而 ＝凡，十 寸＇：n ！＇，十 `y(J'1,，十 1f'飞＇． ）
归吓 3y
= ./'：,＇，十 (x+ Y)／:'，十 f'，十 .1yf'，勹
m(199l ，一（ 1）题，3 分）设 义＝心”囚 ，则 dz =
怎怎 e''"'·•·.,, cos Cry) (ydx +.rely).
斜顶i 可以利川直接求导法或一阶微分形式不变性．
（方法—) 直接求导
卢＝ ye`'“',“co!-,（．ry) ，飞＝ ｛它“（八）co心y)
有上 ＝生心 十 杠dy = e”“<,`) CO".1y) (yd.r + xdy).
a.1Jy
（方法二） 利用一阶微分形式不变性
=
d:.:; = c、，心）d(sin(.J..v)) e'in(J_v)心(.ry)d(.ry)
= e"nC.r_vl CO；；釭y)(yclx + .rely)
匾量1992，五题，5 分）设 之＝、In(．ry) ＋ 叶二－ ） ，求 a'之 ，共中 中（ u,·v) 有＿ 一 阶偏导数
y a五y
斜） 利用复合函数求偏导方法
a之 = ， ］ ，
~ yco叶ry) 十 午1+ ~::'_ +_.re亡r.r 吐 F'y
玩＝－丙＝ 1 ＋工e=-》－.r ，石＝－严＝ 1
—
1 e=-r:r + xe=-r.r
故 dz= dx+dy
1 + xer-r.r
（方法三） dz= 皂釭＋房dy,
方程 z-y-x＋工e.--r.r = 0 两边分别对工，y 求偏导数得
皂－ 1 ＋产妇e=-r-•·（皂－ 1)= 0,岛－ 1 ＋工e亡r.r （房－ 1)= 0
得 az = l - e亡～ ＋工e=-r.r'½az= =
故 ax l +xe:-y-.r 1
1-e=-r.r
+xe亡r.r
dz= dx+dy
1 +xe=-r.r
匾量(1994，五题，5 分）已知 f(x,y) ＝工2arctan 立＿y2arctan 三，求立辽＿
"•-axay·
工 y
斜）利用复合函数的求导方法
召＝纭arcta哼＋x2~计－沪－y2 占上＝纭arctan 立－ y
1 ＋斗 1 ＋兰 y X
工 y
进而 一 3 a 或 — 2 - f y － - = . 2 . - , 工 - - 1 -1_ 1l y2 - X 11 - 1 1 = - x工 工 2 2 － + - y yy 2 2
l+ 亏
工
m(l995，一（2) 题，3 分）设 z = xyf停），j(u）可导，则 xz:+y式＝ .
釭 2xyf停）．
五用复合函数求偏导的方法得
昙＝ yf停）＋xyf'停）（－沪
= yf停）一号＇停）
隽＝ xf停）＋xyf'仔）（打
• 134 •＝汀(;-)+
yf'(;)
(f)
千是工已＋ yz1,,= xyj行）－ y2 I＇行）＋xyf停 ）＋ y f' = 2. .I yj (:)
m(
1996，四题，6 分）设函数之＝ j（u) ，方程 u = 中（四十［叭I)dt 确定／，是工，y 的函数，
·`'
其中 f(II) ，中(u）可微；叭I) ，cp'(II) 连续，且中'(u) -:/=- l ，求叭沁卢 ＋ p丘）飞
(i；柯 遠 1',y 的二元函数，为了求生』三，需要求钮立竺
心 aY 心办1
釬＼ 由之 ＝ f(u) 可得
- 3::: = f'(u) ; - )u -J之 = f'（u） a 一 II
心归＇办办
在方程 ll = cp(ll) ＋『p dl 两边分别对变挝．1·,y 求偏导数，得
(t)
- 心 = cp,( 心 u) - ＋沁 心 ·) '— = cp'(u) r - J l/ - /1(y)
心心砂 舒
r7u _ p(.r) Ju _ - J1(y)
解得．一 归 —== l — cp 1 '(u) , 'J — y = 1 - cp1 '(II) •
从而
归）生
归.
＋
• r
I 心
·-
）
·.
生
Jy
＝ /1(y)/(u) 性
心..
＋ p
,
(
. -
J汀
J
(
.
u
..
)
.
a钮
Y
= I)(y)j'(u) p(.1.) + pG·) f., (lI) - p(y)
l －矿（u) l - 萨(u)
=O
肛牙1997，四题，5 分）设 II = f(x,y,：：：）有连续偏导数，y = y(.1) 和乏＝之(.1..) 分别由方
程e·'-" - y = 0 和 e: _ .1.它 = 0 确定 ，试求贮
（忙扽本题是一个抽象复合函数求偏导及由方程所确定的隐函数求导的题目，先用隐函
d dz du
数求导法则求出立！．一，再用抽象复合函数求偏导法则求全导数一．
d.T. d.1 d.1
.
奸 业 ＝ 吐＋吐少 ＋ 过生
cl:r a.1''Jy clx ' ,7之山
而由方程 c·'Y - Y = 0 的两边对 .l 求导，得
(y
c'" + +.t 贵）—皂＝ 0
y
有心＝ yc.,.`
=
dx 1 一工e·'-' l - .1.-y'
由方程 e' 一 义又＝ 0 的两边对 工· 求导，得
e' 生—之— .r 生＝ 0
dx - ·· dx
dz =
所以一＝ ~ 乏 ，进而得
如. e' - .1、 工之— .1`
业 ＝ 丑－＋ yi 丑十 z 辽
d.l. 心 1-.ry "Y,.r之 一 ．1· 吐
135 •m(l998，过5 分）设：：： ＝ 釭2+ 沪c动！叶 ．求也与二．
a.rrJ.)1
斜＇）~之 = 2.re-arctan-，十 （．1心＋ yt)c `',.”“-; — 1 斗
a工r 1 + 卢 2 ｀ 1. 2
+ +
= 2xe-m{,n-;V- ye .ueian-;、- = (2.r Y
y)c .，"一”“-;-.
生＝ 2ye-"'"'.，叶 －正 ＋．沪 ）e 叩·'"; l 上
吓 1 ＋ 立 ·t·
.1.2
= 2ye ,,,,.,.,n7V - .re 吓叩7 ,. = (2 y - .i·) C ""'''”了 、, ．
千是 d定 ＝ （2.r
+
y)e '"'''""
,
7~ d.i-
+
(
,
2.)， 一 ．l－）
.
e一扣1'“了
`,
dy.
进而 于：： = c ＇『nan-; — (2:r ＋ y)e玉”“于 1 上＝ y1 -- x｀r2~ 一1.)1e ”CI勹II宁
历心 1 + 立 1 .产十y2 •
1--
【评注】 求 dz 时，也可利用全微分形式不变性．
m<2000．一（l）题．3 分）设之 ＝．I（.1三）＋心），其中 j,g 均可微，则生＝
心 ．
虹丿 yf~+ ~J;-.知1 ＇．
优析用复合函数求偏导的方法得
—心 ＝ 汇＋ 江－沪＇
心· .)'.
肛迅2001 ．三题，5 分）设 u = fo,y,z) 有连续的一阶偏导数，又函数 y = y(.1.`) 及:;::=
扣．．）分别由下列两式劭定：
c'·y _ .1.)1=2 和 e'=[／ 罕dt
求业
d.1··
（江先巾两个方程求出业生，再用复合函数求导法则求出业
如． d．r d工
斜业＝（辽+ 丑心 ＋ 过生．
d.T a.1. . ay d.1． 心 cl.1
=
方程 e'·'' 一．1'y 2 两边对 ．I· 求导，得
(y +.,器）e·'-" - y- .1 归 ＝ 0
d伈？
-dy
即 ＝－ 立．
d.1..r
方程 e' ＝厂亚匀，两边对T 求导 ．得
C' = sin(.T - 之) (I 一 生
.r - ::: cl.1.)
d::: er釭— z)
即一－ = ] -
d.r · sin(.1` － 之）．
l
进而有业 ＝ 丑＿ 立丑．十 －] -~sin：(．：1 一：：：：)） ］(7亢/ ·
d.r 3.r I O),
• 136 •i]1(2002，四题．7 分）设函数 I.I = f(.1',y，之）有连续偏导数，且 z = z(工，y）由方程 .re.r _
yev ＝乏e= 所确定，求 du.
分析
利用复合函数求偏导公式或全微分形式不变性．
斜
（方法一） 利用全微分形式不变性
r',
du =.f'Jd.1 +. dy + j.,. dz
方程记 － ye` =芒e 求两边求全微分得
(、, + I )e气l.r - (y + l)c'dy = (z + 1)e'cl之
故 dz ＝釭十 l)e' 山 － (y + 1)e`dy,
位十 l)e' ___
(::+ l) e'
所以如 ＝ [ j ' ' + II : ( ( 、 : ？ : · : + + l 1 ) ) c e' 二 . ］dx + [J,1、, _ r I : ( ( y 之 + + 1 1 ) ) e e : `, ]dy.
（方法二 ） 利用复合函数求偏导
du = 性山＋钮dy
心砂
而业＝＇ ．，注钮＝八＋ I, 生
a工 f，十 j 二幻.•,J y - J y I ./ 'J_y •
-
令 F(my,z) = -re' yey ＿ 对，则
飞＝一~=彗长亮＝－~=- 三 ｝e'－
故 du= ［八＋f':::
} }:
］小＋ ［八－/,~
]dy
护/
I,72J
mc2003，四题，8 分）设 j(u.v) 具有二阶连续偏导数，且满足一-+（一 ＝ 1 ，又 g釭，y)
Ju2 ' av2
= j.［巧，了 l （r．1... z ？ - 一 . 心 . 2 ］ , 7 ，~求 J 汀 z g 十 I a 万 2~
I
分析 本题是典型的复合函数求偏导问题：K = f( u,v) ,u = 功，v= 一(3·1· -_ y2) ，直接利
2
J2f
-沪-f-
用复合函数求偏导公式即可，注意利用上—- =
扣凡v JvJu'
斜
-a
a
,
1
.r
.
=_
y
..
-
a
aL
f
I + ｀飞
r
3，
J
＿v
f
3J
奴 af
—Jy=．.1..· 一－ y-:;=-
rJu 昴
故
沪
~
g
= y'
2'
:;
)
--
2
--4
f
, - + 2.i·y -
3—2f .
+1·
L a—2.f+ -叮
加·2 all2 3l/3·u 3矿 3v
—-
a—飞- ，护j 32f' ; a2「叮-
＝工-— -2xy -— + y
心2 3u2 3v3l/ 3·ui 0·u
所以 立 归2 十 ' 五 ;Jy2 ＝ 归＋｝产 ） 心 立 2 ＋ (`rz + Y2) 护— Ov j 2 =x"? + y ',
【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导．
肛卧2004,2 题，4 分）设函数 f (u,v) rh关系式 r [xg(y) ,_y] = :r + g(y) 确定，其中函
数 g(y) 可微且． g(y) =p 0．则[五 ＝ ·
137 •岔恙－辛．
g (·v)
;;T 叮 l f fg'(,v)
扫 -~0-uu ==.r.rgg((yy)),,vv == yy,]，J!则IJ JJ((uu,,vv)) == ~+g(v)．所以 ，－ ＝一—·一—=－ —一．
g(·v) 3u g(u) 3t/Ov 忙(v)
IPJ(2005,3 题，4 分）设二元函数 z ＝奴“ ＋ C.r+ J)ln(l +y) ，则 dz\ ,1.11,
=
II.II>
~ 2edx + (e + 2)dy.
＂祈＼ 生＝ e,+｀·+:re一｝，十 In(!+ y) ，生＝式＇＋｀ 十＇二
~～， 归 3y l + y'
千是 d之\(,.o>
=2ed.r +(e+ 2)cly.
(1.0)
四(2005,16 题，8 分）设 f(u) 具有二阶连续导数，且 g(.r,y) = J(立) + yj，(又—＇ ),
X y
．， 于片 ) a2g
求 ．r· 汀— y· 丙了·
$度) 先求出二阶偏导数，再代人相应表达式即可．
线由已知条件可得
纽＝－匀＇己）＋ f＇己）
杠．f ．1. y
立＝幻·，心）＋立f“心） ＋气亿）
心 .1. .r.r.1.、 y y
纽 ＝ 乌＇心）＋J己）－匀＇己）
Jy.1.. 工 y y y
归＝沪亨予亨勹／（;) ＋卢宁
立＄ 丘 — 2 五
所以 y
a.1立 Jy
＝沪'(;) ＋ 沪＇，（~) + 亨'`) —斤广(;-) － 亨'(~)
＝幻·，心）
.1. 1·
【评注】 本题属基本题型，但在求偏导数的过程中应注意计算的准确性．
l
m(2006,3 题，4 分）设函数j(u) 可微，且 I'(0) ＝—,则 z= j.(4.1.2 _ y2 ) 在点(1,2) 处
2
= .
的全微分 dz l
(I.2>
怎氐 4d工 一 2dy.
\
吓 栝为 皂 归 {• 2)(• __ ) 2 f' 4 1 1 ( 工 工 ,f ) (2 - 2y -2 ） y .28 . x ( L2 ) y __ 4 , )
d－ __ - 丿、 y (- 12 ) o .2 y __ 2 ,
y a3
所以 d 乏 __ 昙 d 1 + i 之 d l- 'j, d r 2 d .
( 2 ) ( 2 y ( 2 )
• 138 •=
【评注】 本题也可如下求解：对 z f(4正—y2) 微分得
dz= /(4x2 -y2)d(4x2 - y2) = j.,（4x2 —y2.)(8式x- Zydy)
I
故 dz = J'(0)(8d.1.. -4dy) = 4dx - Zdy.
(1.2)
回(2007, l :i 题，4 分）设／（u.v) 是二元可微函数，： = I（f:-），则 ．1 启－ y 飞＝
杰忠 － 2亿 千－ jJ 勹
贷炕） 利用求导公式可得
告 ＝ - ] / ｝ 十 +,.r; .飞 ＝ 归；—;广
y ,., ; )
所以 l 言 '）之 一飞 a之 ＝－ 2 ， （I ·,/ l 了 — I :1·
【评注】 二元复合函数求偏导时，最好设出 中 间变量．
回(2008, 16 题， l0 分）设 ：： ＝ ：：（x,y) 是巾方和'· .1·' j- y" 一 ：：：： ＝ 中(.r +y 卜之） 所确定的
函数，其中 中具有二阶.';f数，且 中' #- 1 时，求
( I )也；
( Il) 记 11(.1·.y) ~(臼—飞） ．求芢
=
斜 ( l) （方法一） 利用微分形式不变性 ．等式正 ＋y2 _ 之 = cp(l +y+乏）两边同时
求怓分，得
2.1d.r + 2yd_v - cl ＝ 听（t 十 y 十 ．：：） • Cd.r + dy + dz)
:::
千足有（矿 ＋ l)d：：： = (— >
(A)J3 12 Ii. (B)Il > I2> I3·
> >
(CH2 11 Ia. (D)13 > 1l> I2·
釭 A.
＂在区域 D={（工，y) I x 2 + Y2 ~ i} 上，有 O~x2 +y2 ~ 1，从而有
f>1> 石乓了巨2 + Y2 ~ (x2 + y守 ~o
由千 COS X 在（0，王）上为单调减函数，千是
2
0 ~ cos ✓歹干歹~ cos（丘＋y勺~ cos(工2 +y守
因此』cos 石勹芦<』co卢＋y2)如<』cos（丘＋y守如，故应选(A).
【评注］ 本题比较二重积分大小，本质上涉及用重积分的不等式性质和函数的单调性
进行分析讨论．
• 144 •二重积分的基本计算
、
回(]987，六题，5 分）计贷二 屯积分 ［ ＝丿Ie' d·1dy，其中 D是第
象限中巾直线y =.1禾II
I)
}'=_r·l 所削成的封闭区域．
， 分析 因为被积函数 c'！ 的胀函数不是初等函数 ．所以积分次斤应为先 y 后．1．
j'r -
斜 l = f d3 e'.,dy = j.1 (， 一 1' )e'` d.r = 上2 e' 。 - 2 」,').r" de'
= +（e- ] ） 一了e' +『:.re·''ch· = 扣 －
]
若被积函数中关于x的表达式为 e,.2 ,e_Jz 星旦王皇竺立等，应后对变量x求积分．
【评注】
X X
匮量1990．三（2) 题，5 分）计符二匝积分］『1 ；山dy. 丿l中 D 是曲线.)' = ti工立 和 y = 吓
C
j)
在第一象限所川成的区域
， 分．析 本题是无界区域 L的反常二重积分，根据被积函数和积分区域的特点．仿照二应
积分的计算方法，先 .1.～ 后 y 化为累次积分，
积分区域 D = {c,-.y)lo ~ .v < r?）.§ < .1 冬 ? ·则
斜 I:
JJb
r e 飞． ." ( 1 ,J y __ . , . , dy : . 1 C~ : (I 1 、 ＝ 主 I” （扣 － 扣）c `,dy
,
= - ;户,e .\ ' ＝ 主＿
1 4 4 lH
m(l99] ．四题，5 分）计贷二五积分］ ＝．ji『邓lnly．其中 D是由顷11、.y轴与曲线五-+Jt=
>
］所闱成的区域，a > O,h 0.
V
.
分析 画出积分区域的草图，利川直角坐标计算． b
:
斜积分区域如图，由厂＋ 汾 ＝ l 得 y = h(l -《了） ．
u
利用直角坐标
I = j.J~, cl.nly = J:: cl.1 『( lF ) .ydy ＝ 勹（ I 产）1 cl.l 。 " x
2 ” “
;)
令 t l -《：，有 I = ubfII1 (1 - l)d1 ＝ 告
=
回(l994．三题，6 分） 计符二币积分jf(．1 卜y)扣cl.y，其中 D= {(.,'·y) 1 :r2 + .)'2 ~ .1·+ y+ I}.
i',
1 分析 由积分区域的特点，可用极坐标计符；巾被积函数的形式可用形心坐标的结果计符
I \ 2 . 'I \ 2
斜 （方法一） :r2 + .y; <.t + y + ］可变为 （1 - 言 ＋ （y - 了） 冬 享．
• 1-15 •1 _ l
令 .l. - - =rcos().y- — = r、in 0．于是
2 2
』釭＋y）如dy = 『,d0I石(1
+ rcos 0 + rsin 0) rdr
i,
JO JU
=2六 f~rdr+『六(co..,0+sin0)d0J打产dr =斗
。。 2
l 1
（方法二） 区域 D 的形心坐标为（一·-），因而有
2 2
』.ld.l.、cly ＝主』如dy=:六,ji『~dxdy ＝点］』扛dy ＝扣
JJIJ
3
所以 ( t 十 y 丿、 d 父 d y __ _2 六
1 1
【评注】 本题还可利用作变换 u =x- -;;-,v=y- -;, 来计算．
2 2
m(1998，四题，5 分）设 D = { C.1·,y) |正 +y2 己｝ ，求JI石心dy.
D
分．：虷可以用极坐标或直角坐标来计算．
斜I, （方法—) 利用直角坐标系计算
』石cl.rely = 『 卒l又． f＿：.),dy L义．二d.1
= 2
f
..rr-=-:;:-= I 4 I I (1 - t勹t2d1 = — 8
1 5
t)
（方法二） 利用极坐标系计算
』如lxdy =『． d()『，。 尽rdr= 『尽玉()『`~r寺dr
/J 一了 “ f ,l
t
ff f f
＝了 2 」 ．玉 2 手~ cos3 4 I,王 4 —2 —~8
cos30OddO0 == JJ~~ ccooss33(())ccllO0 == XX XX ll ==
½
方法二中I: 1 是直接利用沃里斯公式．
【评注】 cos38 d0 = X
o 3
回(1999，二（2）题，3 分）设 f C.:i·,y) 连续，且
f(x,y) =立y -\-『f(u,v)dudv
/)
其中 D 是由 y = O.y = 工2 ,X = 1 所围区域，则 J (x,y) 等于
+
(A)文y. 0) 和直线 y =- .i 围成的区域
\分/，荷本胞主要考查二重积分在极坐标系下的计算方法．
奸因为被积函数含有 J了二了，且积分区域 D 为部分圆域，用极坐标系
.
l = I° d0I 还m0 ,- rdr r = 2吓In 1 I ” d0I-0 矿 sm;l • 2UCOS /(lt
"T - JI) ✓矿— I.2 r 斗。 2acos t
ff
l
0 -O
= 4d~ I 上clOI{， 了(I - co、 21)dt = 2a2 + ( ( - - o o + + ½ 幸 s s i i n n 2200)) dO
= a' （屙 － 勹
【评注】 本题若用直角坐标计算，则较为烦琐．
匹(2001 ，五题 ，6 分） 求二重积分j『y[l +．1et卢）f:＇］山dy 的值，其中 D 是由直线y = .l',
r,
y = - ],.1.'= 1 围成的平而区域
\?析． 分项求二重积分，注意积分对称性的运用．
研） （方法一） 积分区域 D = D1 + D2 ．队 关于 1勹轴对称、趴关千 y 轴对称，函数
y.Te扣产，/) 关千 i· 及 y 都是奇函数，利用二重积分的性质
• 147 •妒"+y2ld.rdy= 』y.re如心心dy+~y..re.!.矿+．y2)d.rdy = o
而』ydxdy=jl d工I.rydy =-½，所以~y[l +.re沪＋y2)Jdxdy =—鸟
-1 -I D 3
（方法二） 』Y工e+（.r2+/也dy = I一,d.r『-1yxe沪＋v“dy
= I : 1 工e + .r2 +` ,“ 1 工 一1d x = [ 1工 [ e2 - e 产 + " ] d .r = 0
』yd.1·dy= 『叶~lydy
=-½
/) -1 -1 3
所以『~[l + xe了I.矿?＋. .2v '>]dxdy=－一 2 ．
l) 3
a, O~x~ 1,
m(2003，一（3）题，4 分）设a>O，沪）＝ g(x) = { o, 而D表示全平面，
其他
则I =』卢）g(y－工）如dy=_.
D
釭矿．
碍本题积分区域为全平面，但只有当 0~ 工 <1,osin(x2 + y2)d.rdy
r)
2. 石
= e. I`l d()l。 re-r2sin r2dr
=
令 t r2 ，则
I= 亢e冥 J:e-'sin tdt
J: 。
记 A = e-• sin tdt，则
J:
。 A I。亢sin tde-'=— [e-'sin,,贯－I飞－'cos
=- tdt] =- cos tde-•
I: J:
=- [ e-, cos I + e飞n tdt ]= e一霄＋ I-A
因此 A= 扛＋ e一．），I= 芍(l +e一咒） ＝王(l +e冗）．
2
• 148 •【评注】 本题明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换
元与分部积分，即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分部积分等多个基础知识点．
匡，（2004,16 题 ．8 分）求］·1 （石丁了了＋ y）由，其中 D 是1*1 I员I.l'2 + y2 = 1 和Cr + 1)2 +
1)
y2 = ］所闱成的平面区域（如图）．
分't 首先，将积分区域 0 分为大圆 D, = I C.r, y) I.r'+ y' 冬 心减去小圆 D~ = ! (.-i-,y)
勺· 十 l)2 + y2 冬 l } '再利用对称性与极坐标计箕即可．
^
t
烙） D D 1 = 1(x,_y) I.r2 + Y2 冬 11}, D2 = { C.1·, y) I C.r + I) 1 + _y2 冬］ }.
由对称性．I『．ydr; = 0.
/)
j『 v厂言＼la = 『二cl6 丿．『二由
i'; 1 ; “
I,?
f:'c10』()
= 1 dr- I: d0 [ 1 , dI
＝宁 － 擘 ＝ 炉归— 2)
所以．jJc /:7+了＋ y）如 ＝ 早(3六 － 2).
/)
【评注】 本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用
对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算．
mczoo6,16 题，7 分）计算二重积分』［五了二言扣cly，其中 D 是由直线 y = .r,_y = 1,
:r· =O 所围成的平面区坡．
也梪画出积分域 ．将二重积分化为累次积分即可． y
奸） 积分区域如图所示． 因为根号下的函数为关千 3 的一次函数，
D
“先．1一后 y“ 积分较容易 ，所以
』二d.nly =『 叫｀心二刓．1
" ') I: 。 x
:.),2 f
2
＝了2 『u l 飞 l
- .ry)t dy = f,.idy
2
=
9
【评注】 计算二重积分时，首先画出积分区域的图形，然后结合积分区域的形状和被
积函数的形式，选择坐标系和积分次序．
田(2008,4 题 ．i1 分）设j(.:z） 连续，若 F(mv) ＝ jj、. f(:i_·'+ . i ) d.rdy,
y
心， 石
aF .t+，沪＝lIl
其中区域 D,只， 为图中阴影部分，则a—u =
(A) ·vj （矿）． (B) 巠f.（矿）．
u ·
(C)可.(u). (D).!:'__I(II).
I I 已 。 X
• l,19 •笼注 A.
斜祈 利川极坐标．有
F(u.v) =［叫1 、I.(1- ），（h = vII J( ,) d,
aF
-f是 — = u J （矿），故应选(A)．
al/
二 利用区域的对称性及函数的奇偶性计算积分
．、
m (2OO8. l 1 题 ．4 分） 设 r) = ｛ (r.y) | ．1, + y 冬 1 } .则』(t' — y)d.1（l_v =
答寸长1 鸟
I!
• z
斜析 由 于积分区域 D 关十 1 .y 轴对称厕仆
l. I 『 .) ( I 1 d y . = 0 `．jl~1、, lI i lly = 4』1 d l dy
其中 Dl = { (1,.y) | 1 ；寸－ 贮＼产冬 l ，义娑 0,y 多 （）｝ ，从而j
』Cr' - 4』1(l 1j 叫'1, I(.O、Odr = 主.r + = 王
y)d.rdy = 1(b = r2 • < I cos20)d0
/J IJ 4
四、 分块函数积分的计算
.,.
1995 . 六题 ．5 分）计符］ 』 min{.r.y}L·'' 、0'd.rdy.
回（
分析 这是一个分块反邯二正积分的计符．把整个平而用一 、 ＝ 象限的角平分线分为两
个区域．
:· f :
纤 f min{.r.y)e i." ,、， 1d 1 dy =j . 、f l L `＇ 1、”)d 1d y + l.f ` v . c 'r2+- ) cl l (ly
- f'` '. `
I . dv ].l c '＇ ”气'cl.1 十 f i; d [ l. [ Ve , ' .l ' `` -, I ( J I
>
l
| )
= －主］（L e-J d v - (e c ）山·
`
=-+ 『 c '． dy －上［ e 1··' d:r
2. 2
l.
=- L. :' dl =-
因被积函数中含有正＋y2 ，也可考虑用极坐标来计算． 题中在计算［一 ·,e1,2d.r
【评注）
时，用到了概率积分厂e-2...2d工 二二之二 『、e 亡dt = 又巨厂 」—e-·? = 立巨
dt
- OO 2 -~, 2 －子 平 2 .
150 •(EJC2005. I 7 题，9 分）计价二质积分．j;『I i·2 气 － I I 如．其中
D ={ （义，y> l o 冬 l. 冬 1,o 冬 y 冬 1 }
分析 被积函数含有绝对伯，应当作分区域函数看待 ，利用积分的可加性分区域积分即可．
斜记[] = {( 父，y) 1.r' + y' 冬 1, C.r,.v) E D },
>
趴 ＝ { (.r . Y) I x:' +.l 1, （、r._v) E D},
丁是
jJ..
I.1_'2 + y: - I I c[r5 =-.!.『(l + y' —l)cl.rdy+ jJio『(,-'- I)1小＋』尸 + v - l) d义小 － [.(1 2 _l y — l) cl l d \
/) /I f-+
i
— + _f.',c1.rI (.z-' + y'- l)dy - r c1of, (r'- l),-d,- =
【评注】 形 如积分』II .r（义，y)l d(J，』rmax{f(x,y),g(.i:,y) }cl(J， lImm{f丘y) ,g(x,
/)
y) }cl(JJI[J丘y)]d(J,II sgn{f(x,y) - g(x,y) }cl(J 等的被积函数均应 当作分区域函数看待，
D D
利用积分的可加性分区域积分．
肛!JC2007. 18 题 ， 11 分）设二元函`数
丿 Ii 、 I 飞 l+I y I 炙 l.
.I (.1,.y) = ] 1, 1 < I.r l+ I _y 飞 2
+.
1 y;
旧？二重积分』／（r,y)cl(J，其中 D = (Cz·,y) II x l+l Y 冬 2}.
分析 由于积分区域关千 r,y 轴均对称，所以利用二币积分的对称性结论简化所水积分．
斜因为袚积函数关千 l·,y 均为偶函数．」」积分区域关于 1·,y 轴均对称，所以
』,f(r.y)如 ＝，ll.『/（r,y)如，贝中 D1 为 Dtl第一象限内的，邵分
节l
而
』J(1 ·.y)如 ＝ j．I 工 ch十 ］．『 l cl(1
`, ,· 、IJ. ` ： 、（］ I· .,·I、,-;;i.，>o.，;,'，石
D, -,--. l : ?I -
—I d凰1『 ldy + (f1 d 1 小 ＋ I cl1 I l dy)
_I" j I-、, ✓7+7- · 11 J,, r 心i + y:
l
= ＋疫ln(l ＋石）．
12
肵以．『「（｀r,y)如 ＝千] ＋ 4过In( ］ ＋迈）．
I) $
【评注］ 被积函数包含✓·1.: + y2 时，可考虑用极坐标，解答如下：
『 f(x,y)如＝ 『 1 如 ＝ J:。二
def:::dr
］多1一心 石立言了
l冬叶炙2
.t·>O-y>O i·>O,.v>O
—拉ln(l ＋拉）．
• l 51 •匡(2008,17 题，11 分）计算』max{xy,1 }dxdy，其中 D= { (x,y) IO:;,:;; 丘,;;; 2,0:;,:;; y已｝．
D
, ，． 被积函数J亿y) = max{xy, 1} 是分区域函数，要利用积分的可加性分区域积分．
@ xy, xy ~ 1,
max{xy,1} = {
<
l, xy 1,
<
记 D1 ={（工，y)lxy~l,(工,y) E D}, D2 = { (x, y) I xy I,(工,y) ED} ，则
』max{xy, dxdy= 』xydxdy+』如dy
1}
J:
J:
＝们心·y J＼寸：dy
dy + dx dy +
15 19
=—4 -I-n-- -2 .+ 1- .+ Z--i-n- -2 = =4- ::-+In 2.
五、交换积分次序及坐标系
国1988，三（4）题，4 分）求二重积分j6dyI6 竺立dx.
X
＂因为竺尸的原函数不是初等函数，先对 x 积分无法计绊，所以需交换积分次序来
计算二次积分．也可用分部积分法去掉变限积分计算．
斜（方法一） 积分区域可表示为
D = { (x,y) IO< x 勹 f,O 0. 11 = I. 2..... Fi L (1" 发散 ． 2 （— l )＇－1(1,， 收效 ． 则下列结
,, I " I
论 II．确的是
(/\)I: a,,,~I 收敛， 2(1, 发散． (B) 2幻，， 收敛 、 之」从，＇ ］ 发散．
'』 1 " I ,i • 1 " I
(C) 2 仇，＇ ［ 十 （I"' ) 收敛． (I)) ~ 凡，， I — a,, ） 收敛．
" I ', l
答哀 D.
']
斜析 取u, ＝上 ．则 2u， 发散． 2 (- l) 飞 收攷．但:(1, 2心，， 均发散．排除(J\) 、
II
" I " I " I,, I
山）选项且~ (a,,, I 寸飞,~，,）发收．进一步排除（（｀） ．故应选(D)． 1i实 l ，级数笘也，'I —（,~,,)的部
" I
分和数列极限存在．
【评注】 通过反例 用排除法找答案是求解矣似无穷级数选择题的 最常用 方法．
肛(2006.9 题 1 分） 什级数I:a., 收攷 ．则级数
,t= l
2
(A) 1 化， I 收敛． (l1）区（－ l)＇，（1,， 收敛．
“-
" I l
(C) 2{i,』{1，．-I 收敛． （［）心”'， 十 (1,, I l 1父敛．
2
" I n-l
笭点 D.
奸析由 2u,， 收敛打12u,＇，1 收敛 ．所以级数2”， 十 u, I 收敛．故应选(I)).
2
n= I
I
或利川排除法：取 a,, = (- 1 )" 一．则可jIII饮选项(A) 、(l1) ；取 I/,, = (- l)” j一;; ．则可fII除选
II . -. -..... ·- --. . . - .,
坝（（、）． 故(D) 项正确．
【评注】 本题主要考查级数收敛的性质和判别 法，属基本题型．
• 1.-; 7 .求幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域
一 、
m(l989，一（2）题，3 分）幕级数2 工n 的收敛域是
.
✓n+T
"=0
钰 [- 1, 1).
＂ 可直接用收敛半径公式，求出收敛半径及收敛区间，区间端点处的收敛性可转化
为数项级数敛散性的判定，进而得到收敛域
1
I
因为 P= lim la，叶I = lim ✓，i+T =l，所以收敛半径为R= — 1 = l，收敛区间为(— 1,1).
＂一～ 丁言 n-．～ 上 p
石
(- 1)" 1
当 X =-1 时，原级数为 2 ——— 收敛，当工＝ 1 时，原级数为 2 发散．故所求的收
"= J J
0 n=0
敛域为[- 1,1).
匝，（1990，三（3）题，5 分）求级数t”-23)n 的收敛域．
n
'』=1
1
＠ 因为P= ＇！［四早产＝ hm(n+ l)2 =1，所以收敛半径为R=..!.=l，收敛区间为(2,4).
,;:.;:。 1 p
一了
II.
当 .T =2 时，原级数为 2 仁才江是收敛的，当工＝ 4 时，原级数为 t 上 是收敛的．故所求的
n= I 1l "= 1 11
收敛域为[2,4].
匝，（1992，一（2) 题，3 分）级数2(工— 2)2n 的收敛域为 .
n4”
"- 1
(0. 4).
、、
＂ 这是缺项的幕级数，不能直接用阿达玛公式求收敛半径，可看作一般函数项级数，
用比值判别法或根值判别法．
(义. - 2)2"
令 u,,(x) =，则
n 4n
釭－ 2)2叶2
P釭）＝ " l .: i :; m ; I “ u 叶 . 1 < 釭 i· ） ），， = . : l : im ;; (n (义 + :- 1 2 )4 ) ' 2 r " l- 1 I = (义·- 4 2 )2
114"
当 P（工） = (工-2)2 l ，即 l x- 2 1> 2 时，幕级数〉 发散．
4 n4"
2 ＇，一l
而 x=O 时，原级数为 — 发散．立·= 4 时，原级数为区｝上发散．故级数: (x 一 2)知 的
l
"= 1 71 n= I n "= 1 n 4',
• 158 •收敛域为(0,4).
【评注】 还可作变量替换 y = (x- 2)2 ，利用级数t 义； 的收敛域得到所求．
n4"
"=
l
＂盲冒盲
｀比． 己心 污 1
m (2002，-一(2 ）题，3 分）设幕级数 ~a,，工”与 :九x'' 的收敛半径分别为—与一，则幕
3 3
"=
1 ,'= 1
2
级数互乌x” 的收敛半径为
" = l b,'
c
(A)5. (B) 石 - 3 ;- . ( 丿、 3 l 一 . (D) 一 5 1 ．
登尸-惠- ） A.
仔衬用求收敛半径的阿达玛公式
由已知叫1 于＝言，！l ．叫们＝ 3 则
t
归 贮I 汇 ＝ 主l主匠I 兮＝阜lg =
O4 ,
所以幕级数:笃.r" 的收敛半径为 5.
b:
n- 1
【评注】 本题假定了极限！叫芒 I 屯巴兄叶均存在，严格来说只能保证它们的上极
限存在．
三、 求幕级数的和函数及数项级数的和
m(l989，五题，9 分）已知函数 j、(x) ＝尸 ° <三 l
，试计算下列各题：
— < .r
2 X, 1 ~ 2.
-
s。 =『卢）亡d.r; s, =『f(:r 2)亡d:r；
(1) (2)
。 2
J:.:
(3) S,, = 厂-f(1· - 211)亡dx(n = 2,3,…) ; (4) s = ~s...
"= r,
” (1) 求分段函数的积分；（2)(3) 变+蜇r替 换化为(1);(4) 求数项级数的和
斜） （1)S。 =IJ釭）e-』归＝ ［正d.1` C2 - x) e-., d工
2
I~ I
e一审 － |:- r亡d工
+
=~oxe-.r (2 -1~)1e-.r
— +
= 1 2e-1 e-2 = (1 - e-1)2
(2) 令 t=x- 2，则
S1 =『卢－ 2)e-., d.2.· = e-2 『八t)亡dt = e-2S 。
(3) 令 t = x- 211，则
I :
S,, ＝ 『'，+2f釭— 2n)亡dx = e-2" f:J(t)e-'dt = e-2"5。
• 159 •"' ｀飞 1 e- 1
(4) s = ~s.. = 2e-2“S。 = S。 ＝巳二＿
1 - e-2 e+l
"= 0 n=0
【评注） 本题虽然涉及多个知识点，是一个综合题，但每一个问题都较简单．
肛卧1993，一（3）题，3 分）级数2 业迳江的和为
2"
"=
0
釭 2
2- ln 3·
印 直接利用几何级数的求和结果
2
(ln3)” = ] = 2
—
2'i In 3 2 In 3
"= (l 1
2
"量1997，七题，6 分）从点 Pi (l,O) 作 .r 轴的垂线，交抛物线 y=I2 于点 Q1Cl,l) ；再从
QI 作这条抛物线的切线与 ．1· 轴交千几，然后又从几作 .1句轴的垂线，交抛物线千点 Q2 ，依次重
复上述过程得到一系列的点 P1,Q1 ;Pz,Q2;…;P,',Q,, ;….
(1) 求可兄(2) 求级数＠下了十d下；十 …＋豆予：十…的和．
其中心I ~ 1) 为自然数，而M1矶表示点 M) 与坏之间的距离
畛 从几何上看，Q，，P,， ＝ （＠勺）2 ，而罚匀是点 Q,，的横坐标．
社 (1) 抛物线 y= 工； 上任意点(a，矿）（O < a ~ 1) 的切线方程为 y－矿＝ 2a(.1.-－a) ，
且该切线与 工 轴的交点为（号，o) ，因而得
丽 ＝ l ，宜＝ ；硐＝占，酮 ＝ 主丽＝卢…，严＝申酰了＝卢
1
(2) 由千Q,,P,, = (OP.)2 ＝ 沪＇所以
1 -4
Q1P1 + Q2凡＋… ＋ QnP，，十 ...= =
1 - （主）2 3
【评注】 本题考查了导数的几何意义及几何级数的和．
m(l998 七题，6 分）设有两条抛物线 y = TIX?一 十一
n
1 和y = (n+l)正＋—
n+
- l —
1
，记它们交
点的横坐标的绝对值为 a”.
(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 S,，;
'“ S
(2) 求级数：二的和．
“~ 1 a,'
归 先求出 u" 和 S,＇ ，再求 2 邑的和．
"= l a,'
@
(l) 解方程组
+ [
{y = 1/.1 2
y = (11 + 1 归＋ 三丁
• 160 •1
得工2= ，从而 u,, = 1 +
11(II+ 1) ✓n(n 1).
两条抛物线所围成的平面图形关于 y 轴对称，则
S,, = 2 尸气旷＋上一 (n + 1)工2- ¾i]d工
n n+ l]
4 1
=
311(11+1) 心（1l + 1)
l+ l
( 2 ＇ 、， 寸 " 4 邑 5 l 4 3 一 寸 i L ?I ( 1I 1 丿、 __ 4_ ,, 3 .1 . m , l ?l + 11j, 、 __ 4 3 一
999，一（2）题，3 分）级数2 心 七l）”一1
m (l =
昼尽1) 4.
~ 1
扫 构造幕级数芝四＇， I ，求其和函数在 x= —的值
2
"= 1
考虑幕级数:四”一1 的和函数 S(3 .
”-
1 .., ,.,
S(::r) = 2虹'i一．＝ 心1·)＇＝（亡）＇＝（l ］ .1.）2
”-
1
所以，n区= 义 忨1 行 l ） ”一l ＝ S行 l ） ＝ 4.
f
干
m(2000，七题，6 分）设 I. = = I · sin"xcos xd工，II = 0,1,2,…求~、 [,,.
。 " = ()
I§｀树 先求定积分 I,'，再利用幕级数的和函数求数项级数芝江，
.,=o
¾i
蜕 I,, =『 sin".rdsin x = + sin"+1.l 干 ＝上 + － 隘），叶
o 1/ 1 。 n 1 2
2I,
口」
, = 笘］停）＇
n=O
考虑幕级数 S(.r) = ~乌勹显然其收敛区间为(- l,l) ，有
n~ I II
沪）＝言 I:I'， 1dl ＝们笘',-I)dt t 卢dt ln(l —工）
= =-
令工＝享，客 l ＝实上 （享）＝ s(空）＝－ In(1 － 享）＝ ln(2 ＋迈）
回量2001 ，八题，7 分）已知 J，心）满足J:,(x) = J.，心） ＋义J广1e-'(71为正整数），且J,,（l) ＝上，
11
求函数项级数2江，（工）的和
"= 1
釭 先求一阶微分方程 /,(x) =./,，(又·) +.:r'广le.，满足初值条件j,，(1) ＝主的特解，再
n
求 ~f..(.2.) 的和．
'”=1
斜） 方程 j.：心） = j．，心）＋工,,-1e.r 化为一阶线性微分方程的标准形式
• 161 •f'n位） － fn位） ＝工,,-Ier
卢） = 上 (c+]尸ere一五）
= e (c+］又曰dx) = er (C + ~)
由 jn(1） ＝主得 C = O，所以 J,，位） ＝ eJ 立．
?1 ??
~ u,`工, C
因而导·(.:t）＝笘e·'f = e.r 笘 f =eI I-0r （笘尸）dt(-1 <工. < 1)
= e-' 『上dt =- e-'ln(l - x)(-1 ~ x· < 1).
。 ] - t
【评注】 最后所求和函数要包含端点 － 1.
3 6 9
回（2002，七题，7 分）（1）验证函数y(:r） = 1＋五十五十三．． 十』二－ +…··•(—-o o ＜工＜
3! ' 6! ' 9! ' (311)!
+OO）满足微分方程 J'+y' +y = e勹
(2) 利用(1) 的结果求幕级数区 O3 工 3” 的和函数．
"~(3n)!
叨 (1) 利用幕级数的逐项微分性质；（2) 利用(l) 中微分方程的解．
@
(l) 由幕级数的逐项微分性质，可知
:r2 工:5 工丘l
卢）＝刃 ＋ 可 十 … 十 ~+··· 心 E R
y/I位） ＝儿 十 五＋…＋ （3：：一22) ! + … ，又 E R
所以
2 ! - n
y"+y' + y= l+x+工~ + 工— + …+ 工 + … = e' ,x E R
2 ! ' 3 ! ' ' 71 !
(2) 由已知 2处， -工— 3,, = y(工－），所以为求 2 工扣， 的和函数，只要求出 y（工）的表达式即
~ (3沁 ！ ，』＝~ (3n) !
1 欢
可．解齐次方程 J'+y' + y = O，其特征方程为 入2 十入 ＋ 1 = 0，特征根为入1.2=—一 士 —i，故
2 2
齐次方程的通解为 y=e号 (C1cos 祁—
fxx
、
++ C
C2 si·n戎曰
可设方程 y”+y'+y= e工 的特解为y诊 ＝ Ae勹代入可得A = ½，故y. ＝十e“，千是y=y釭）
+
＝ 口 (C1cos星．十 C2sin车）＋ •由(1) 中的结果可知 y(O) = O,y'(O) = 0，由此得
r
2
—2
C1= ,C2 = o
3
因此 y (.1·) = -
3
1 e J + -
3
2 e ＿ ` c 令 os 我 -2X
2 二 ＝ 卢） ＝ 上er 十斗－令COS么
故
(3 II) ! 3 3 2
n=l
• 162 •回(2000033,，:;六\"题;lf，!, 99 1分)-）) >求J<幕;m级;~数tt 1l + + ~~( - 1)'/ 土 . - 2” （|工 I< 1) 的和函数 f(x）及其极值．
211
"= 1
江 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当工． ＝ 0 时和为 1. 求出和函
数后，再按通常方法求极值．
`
斜 f釭） ＝ ~ (-1)”工加一1 = ——_X _
l +x2
"=
1
上式两边从 0 到 工 积分，得
卢）－ f(O) =-I-了dt =-½tn(l +.1.立)
o l + t 2
=
由 f(O) 1, 得
妇）＝ 1 － 申lnO + :r2), (I x I< 1)
令 J'（:r） = 0，求得唯一驻点 X = 0. 由于
1 -工2
广(:r) = - +
(1 1·2)2
<
/'(O) =— 1 0
可见 f(x) 在 .1.. = 0 处取得极大值，且极大值为 f(O) = 1.
匠，（2005, 18 题，9 分）求幕级数~"＝(1 二一 1）工2" 在区间（一］，1) 内的和函数 S釭）．
＠控） 幕级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幕
级数展开式，从而达到求和的目的．
＠ 设
S（工）＝笘 （卢 — l)芷
L,
S心） ＝ 2 —匕一分 ，S山） ＝ 2产
2n+1
"= 1 n=l
则 S(工) = S,(.2:) - Sz(x),
由于
.,
2
2 = 工
S2（工）＝工2"
l —工2
"= l
, '~
2
(xS心）） ＝ 2亡＝二，工 E(- 1,l)
1- 艾2
u=I
因此这（1.）.r = Jo
J
1 -
t.2 I2dI.t=－,工．十 了 1 II n 二 1 +..r
又由于 s, (0) = 0，故
lxl< l.x=-1=
S心） ＝｛－ l ＋卢l•n 口 O,
0' x =O
<
所以 S位） ＝ S心）－ S心） ＝ ｛沪芒于 已 |又-| l,工 #o,
0' X = 0.
• 163 •幕级数求和尽量将其转化为形如t 立或 t虹n-1 的幕级数，再通过逐项求
【评注】
•=I n ”- 1
导或逐项积分求出其和函数．本题应特别注意工＝ 0 的情形．
(— l)”一l.l心1 1
因(2006,19 题，10 分）求幕级数: 的收敛域及和函数 S(.r）．
11(211- l)
庄．析 因为幕级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算收敛域；利用逐项求导或积分
并结合已知函数的幕级数展开式计算和函数．
(- l)"-1沪'+1
斜记 u,,(:i.-) = ，则
11(211 - 1)
(-1)”工红十；
+ +
lim II,,rl (.1·) = lim (n 1)(2/1 1) = l:rl 2
”- lI,, （.1、) ,'~.. (- 1)',-1.1少叶1
n(2n—l)
所以当 I.l 尸＜ l , 即 1.1|< 1 时，所给幕级数收敛； 当 1.r| > 1 时，所给幕级数发散；当 工＝土 l
(-1)" 1 (-1)"
时，所给都级数为 , 均收敛，故所给幕级数的收敛域为[- 1,1].
11(211 - 1)'11(211 -1)
(- 1)”一l工扣l J (- l)"-1工坏
在(-I, l) 内，S（工） = : = 2.r2 =2.1、S1 C.:z-) ，而
"=l n(2n — 1) ,i=l (211 - 1)(211)
s; (x) = ~ (- 1)'户1工丘I
211- 1
" I
沪立一）＝ 2 (- l)”-l沪'-2 = －——
1+ .:z.$
"=I
所以 S; (.1`) - s; 0 及工 < 0 讨论．
@
x>O 时方程化为
岱＝：一｀
du
令 u= 义，有 u+工— =u- ✓了平了，分离变址
工 dx
du 1
=- －d工
J.1..
两边积分
ln(u + J了了7) =-In 工十 In C
即 u+ F厂u亏 = － C ，代 、 入 u =立，得方程的通解为 y+ ✓7+?= C(x>O).
x.r
同理，当工 <0 时，也可得方程的通解为 y+ ✓.1．2+y2 = C釭 <0).
• 168 •1'{1(1997，八题，6 分） 设函数 f(t) 在[O， 十～）上连续，且满足方程
f(/) = el霄I2 + [J.I一（； 二）如dy
,2 ! ：，：旮＇
求 f(t)．
沦浙！ 因被积函数 j 具有因子｀T仁 ＋ y2 ，且积分区域为圆域，用极坐标将二重积分化为累
次积分，得到一个积分方程，再通过求导，得关千 f(t) 的微分方程．
贷） 由千
f(t) ＝产＋『六d0厂（主r)rdr = e·1•/ + 2亢 IIIIJ片）rdr
0 J (l
方程两边对 t 求导得
/ (t) = 8亢te'1霄,, + 8动(t)
解方程
( [
f(() = d肚1,l, c + 8rrle”/2 e I扣d,dt) = e'',,' (C + 4矿）
可看出 f(0) = l ，代人上式得 C=l ，所以 f(t) = e打12 (l +4订）．
【评注】 由一般的 变限积分方程 f (x) ＝『 f(t)dt 所得到的微分方程，均有一个隐含
气
的初始条件 f 伍） ＝ 0. 本题中用到了 f(O) = 1.
匾量1999，六题，6 分）设有微分方程 y' － 2y=
0, X 1.
(-oo， 十 OO）内的连续函数y = y釭），使之在（－oo,l) 和(l, +OO）内都满足所给方程，且满足条
件 y(O) = 0.
饱沔｝ 本题主要考查非齐次项为分段函数的微分方程的求特解的方法以及解的连续性问题．
（纤） 当 x < l 时，非齐次线性微分方程 y' — 2y= 2 的通解为
y = e f 2d.r (c1 + Jze-I2山心）= C1e 2·'-1
由 y(O) = 0，得 C1 = 1 ，此时 y = 芒 － l.
>
当 1· l 时，齐次线性微分方程 y'-Zy = 0 的通解为 y = C2e气
由题意知 limC2e2·'= lim(e2'- 1) ，得 C2 = 1 — e-2 ，此时 y = (1 - e-2)e气
.r-1+' .r-•I
于是，补充定义函数值 y(l) = e2 - 1 ，则得在（一～， 十～） 内的连续且满足题中条件的函数
e2·'-1,.l.~ 1,
卢） ＝｛
>
(1 - e-2)产 ， .r 1
m(2OO3，七题，9 分）设 F(x) = f(.r)g(.r) ，其中函数 J（心 ，g（心 在（一～， 十～）内满
足以下条件：
f
Cr ) = g(.2·),g'(x) = /Cr) ，且 f(O) = 0, f(x) + g釭） = 2er
(1) 求 F(x) 所满足的一阶微分方程；
(2) 求出 F（工）的表达式．
纪炕 F（工）所满足的微分方程自然应含有其导函数，导出相应的微分方程，然后再求解
相应的微分方程．
@
(l)F'(x) = /(.T）g位） + r（五＇釭）
• 169 •= g2(x） ＋广(x)
= [J釭） ＋g(x)了 － 2f(x)g(工）
= (2e1)2 - 2F釭）
可见 F（心所满足的一阶微分方程为
F'(x) + 2F(x) = 4e妇
(2)F位） = e-I2dr [I4e妇 ． efzd:rdx + C]
= e~2"[f 4e4zdx+C]
＝ 泸＋ ce-2·'
将 F(O) = f(O)g(O) = 0 代人上式，得 C =- 1. 于是 F(工) = e“ — e-2气
【评注】 本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的
形式，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围．
_
一．，＿
111<2004'19 题，9 分）设级数
,I 6 8
舌 ＋ 工 工 8 十 ．．．（— =
怎遠） y= 工 (丑. e-1).
✓ln 工＋ 1
1 ,, . du dx
斜析I 令 u. ＝立，则原方程变为 u＋工业＝ u-
—u3一— =－ -
工 d工 2 记 2工
两边积分得
—卢＝－主In.r－主In C
即 x ＝扣古今＝扣；，将 Y I ]代人左式得 C
= = e.
r~ I
已
故满足条件的方程的特解为 ex= e,', ，即 y =~,.r> e气
✓ln x+ 1
胚订(2008,12 题，4 分）微分方程 xy'+y=O 满足条件 y(l) = 1 的解是 y =_.
在总 y ＝主
侵浙i 分离变量，得少 ＝－ 上扣，两边积分有
y 工
lnlyl =- lnl丑气I+ CI⇒lnl xy I= C,⇒工y ＝士 ec, = C
l
利用条件 y(l) = 1 知 C = l ，故满足条件的解为 y =.!... .
.r
（评注】 徵分方程 xy' +y = 0 可改写为(xy)'= 0，再两边积分即可．
二阶常系数线性微分方程的求解
、
m(l989，三（3) 题，5 分）求微分方程:/+ 5/ + 6y = 2亡的通解．
1分；折本题是求解二阶常系数非齐次微分方程的通解，利用二阶常系数非齐次微分方程
• 171 •解的结构求解，即先求出对应齐次方程的通解 立然后求出非齐次微分方程的一个特解 y. ，则
其通解为 y=y+y·.
＠ 对应齐次方程的特征方程为
入2+ 蚁＋ 6 = 0，得 入I =-2，入2 =-3
则对应齐次方程的通解为 y = C心一”+C2e 3·•·.
因— l 不是特征方程的根，可设原方程的特解为 y· = Ae-' ，代入原方程得 A = 1.
故原方程的通解为 y =C匡2·'+ C2e_3_,. ＋亡 ，其中 Ci,C2 为任意常数．
y" + 4/ +4y = o,
因(1994 ， 四题，5 分）设函数 y = y(.1.) 满足条件 { 求广义积分
y(O) = 2,y'(0) =— 4'
厂卢）d工．
。
归 先求出二阶常系数齐次线性微分方程的特解 y = y釭），然后再计算广义积分．
邑） 齐次微分方程的特征方程为 入2 ＋似＋4 =0，得入1 = 入2 =－2． 所以，齐次微分方程的
通解为y=(C1 + C公r)e-2.，．代入条件 y(O) = 2,y'(O) =- 4 ，有 C1 = 2,Cz = O, 即 y(工） =
l:
2e 釭 进而I：心y位）归＝ IO+ 2e-“ d1 = e-2.r = 1
【评注） 本题综合考查了微分方程和广义积分的计算．
肛卧2000，三题，6 分）求微分方程 y"- 2y'- e2'= 0 满足条件y(O) = I,y'(O) = 1 的解
纷 利用线性微分方程的通解的结构求解
先求齐次微分方程 y"- 2y'= 0 的通解 y.
特征方程为入2_ 2入＝ 0，得入1=0，入2 = 2. 所以，齐次微分方程的通解为 y = Ci +C2c气
再求非齐次微分方程 y'＇－2y'－e”= 0 的一个特解 y· ．入2 =2 是特征方程为入2 -2入 ＝ 0 的
单根，则设特解的形式为 y. = A:ce气
1 1
将 y．代人到原微分方程，得 A= －，原微分方程的通解为 y = C1 + C2泸＋ —工e气
2 2
由条件 y(O) = 1,y'(0) = 1 得 C1 = 一4 3 ．. C--2= —4 1 ，所求的解为 y = — 4 3 + . I - 4 I e _ 2 2. . r r ++ -J 2 :_ : 工 c e e2.r .
【评注） 此方程也可如下方法求解，方程 y"- 2y' - e2J = 0 两边积分，有 y'-2y =
1
一产 ＋C1 ，再解此一阶线性微分方程即可．
2
三、差分方程
匝量1997．一（3) 题，3 分）差分方程 y,仁I - y, = /2' 的通解为 .
c+ c,-
归 y, = 2)2'.
＂ 本题是典型的一阶常系数非齐次线性差分方程，按固定方法求解．
齐次线性差分方程的通韶为 y, = C.
可设非齐次方程的特解为对＝ (a + bt)2' ，将其代入原方程
[a + b(t+1)]2'II - (a+ht)2' = t2(
• 172 •待定系数得 a =-2,b = 1.
故差分方程的通解为 y, = C+O 和（心＞ 0 为常数；价格 p 是时间 t 的函数且满足方程
dp
— = k[D(p) － S(I))］(K 为正的常数）
dt
假设当 t = 0 时价格为 1 ，试求
(1) 需求扯等于供给员时的均衡价格化；
(2) 价格函数叭t) ；
(3) 极限 lim p(n.
／一．!'
＂ 本题是一个简单的经济应用问题，涉及到了微分方程和极限等知识，但每一个知
识点的考查都较容易
+
（蜕 (l) 需求队等千供给员时，有卢 ＝ bp ，此时均衡价格 /1,. = （丑） ·
I)
dp
(2) 把 D(p) ＝气S(p)=bp 代入方程一 ＝ k[DC/1) - S(J>)]，得
µ dt
赞＝节－吵），有“飞3 = kdI
两边积分 - ~ 1 I n ju - hp:i I= kt+ C, ，即矿＝— Cl - - C e-w,, (C ＝土 e一iu·,) ，代入 I丿（0) = 1 ，得
3b b b
C =a - b.
所以价格函数 p(t) ＝ [f; + (1 — $）尸丁·
• 173 •寺
!!恩p(t) ＝ 严［责＋ （1 一 份）产］ （贵）了＝
(3) = pc
回，（1993，六题，8 分）假设：（1）函数 y = J(x)(O:::;;;.1. ＜+～）满 y
M
-
足条件f(O) =O 和 0 :::;;; f(工) :::;;; e.r 1 ;
(2) 平行千 y 轴的动直线MN 与曲线y=f（立和 y =e'- 1 分别
相交于点 R 和 P2 ;
(3) 曲线y= f(x) 直线MN 与3·· 轴所围封闭图形的面积S 恒等于
线段 P]凡的长度求函数 y=j釭）的表达式．
归 由条件（3) 列出积分方程进而转化为微分方程，解方程求。
出 Y = f(x).
＠ 由题意及图示，有I.rf(t)dt = e_,. - 1-J釭），两边对工求导，得
J位）＝ e·r _/（x) ，即 J'（.1.） + J釭） = e-'
解此一阶线性微分方程，有
归）＝ e－Id.r(C+Ie.rd飞） = e－.r（C＋上泸） ＝扫＋ Ce一工
2 2
在jrf(t)dt = e'- 1 — f(.1..）中，令．x = O，有 f(O) = 0，进而 C=- —.
2
所以 f(x) ＝ 令(e』- e-r).
【评注】 注意题 目 中隐含的条件 f(O) = 0.
回(1998，八题，7 分）设函数f(x) 在[l，十CX)）上连续，若由曲线 y=f釭），直线 x= l,
X = t(t> l）与x轴所闱成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为V(t) ＝王[t勹(t)
3
— j(1)]． 试求 y = f(x) 所满足的微分方程，并求该方程的满足条件 ylr=2 = ¾的解
r=2 9
步树 用变限积分表示旋转体的体积，得到一个积分方程，继而转化为微分方程并求解．
＠ 由题意知
f＇ 寸（工）d义＝ 气门(1,)-/(1)]
3
两边对 t 求导得
3广(t) = 2廿(t) + l丁(l)
这即为所求的微分方程，为方便进一步计算，将方程改写为
y' = 3 停）2- 2;
令 u= 立，方程变形为 u ＋工 业 ＝ 3矿－ 2u，分离变址得
x d工
du 3
=—d工
u(u - 1) 工
两边积分得
u-1
= Cr3
u
• 174 •即 y - .z· ＝立y，用条件 yI.,=2 ＝ 点得 C = - 1,
所以所求的解为 y －工＝－工为，即 y = －土—
1 +立、J.
匝讥2006,18题，8 分）在式）y 坐标平面上，连续曲线 L过点 M(l,O),
其上任意点 P位，y）(工# 0) 处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于
心．（常数 a> 0).
(I) 求 L 的方程；
8
=
(II ）当 L与直线y a:x 所围成平面图形的面积为一时，确定a 的值．
3
” (I) 利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；（ II ）利用
X
定积分计算平面图形的面积，确定参数．
（纾 (1) 设曲线 L 的方程为y=f釭），则由题设可得y'－立＝（江，这是一阶线性微分方
又~
程，其中 P(x)=－—,Q(.T） = ax，代人通解公式得
y= 上（］”．e书山dx+C)=.1.妇 +C) ＝矿 ＋ Ci.·
又 J(l) = 0，所以 C=-{l．故曲线 L 的方程为 y=a.1..2 —釭（工＃ 0).
([I ）L 与直线 y ＝釭（a>O) 所围成平面图形如图所示．所以
4a
D= 『妇－ （矿－釭）］归＝ af:(2工 气）心＝ ＝ 主
3 3
故 a = 2.
【评注） 本题涉及了导数和定积分的几何意义，一阶线性微分方程的求解，属基本题型．
- - - - - - - － 勹
I
I
共书之法凡他，惟＊笃志庄心，反 i 井仇， I
I
I
为有伈手。
I
|
朱熹 I
I
I
• 175 •第二部分 线性代数
第 一 章 行列式
炉…峦灵｝
历年来单纯考查行列 式的考题不多 ，分值也不高，相对重要的 是抽象型行列式的计算，另
一方面大家要注意如何通过行列式的计算来帮助解答矩阵、向量 、方程组 、特征值 、二次型中的
一系 列 问题 ， 即行列式的应用．
一、数字型行列式的计算
仁扭呻一点｝
对于数字型行列式的计算主要是用按行、按列展开公式，但在展开之前往往先运用行列式
性质对其作恒等变形，以期某行或某列有较多的零元素 ，这时再展开可减少计算扯． 同时，也要
注意一些特殊行列式的计算，如上（下） 三角、范德蒙行列式以及拉普拉斯展开式的运用．
计算行列式时，一些常用的技巧有：把第一行的 K， 倍加至第 1 行；把每行都加到第一行；逐
行相加；……
1 1 1 O
1 l O 1
厘(1988,-(2
，一）题，1 分） i O 1 11=
0 1 1 1
二 这一；．基础题，解法很多，先用性质恒等变形再展开，例如
1 1 1 01 11 1 l 0
0 -1 11 10 - 1 1
1 1 0 11 10 0 - 1 1
= I 1=1- 1 0 11=10 l 21 =- 3
1 0 1 11 10 -1 0 1
1 1 11 11 l 1
0 I 1 11 10 1 I 1
1 1 1 01 13 3 3 31 11 1 I 11 I l 1 1 1
1 1 O 11 11 1 O I I 11 1 O I I I O O - 1 o
戈i!f I . I = I. I = 3 I I = 3 I I =-3
1 0 1 11 11 O 1 JI 11 o 1 11 I o - 1 0 0
0 1 1 11 10 1 1 11 10 1 1 11 1-1 0 0 0
• 176 •（评注） 第一种方法是直接用展开公式，第二种方法用到公式
aa aa
aII 122 1( L I ，、L a1,,
an : 2 · 2( … I 、 丿 。 .o = o （一 1) 一2 I n o-1)ah,a 2(,r-I)...an1
00
a丘一1)1 a"一I)2
a.1 。
匮量2008,20 题，6 分）（局部）设 n 元线性方程组Ax= b，其中
2a l
“2 2“2” l - - -lO-
工1 l
l. 工
2a 2 b __
A= ,x = , .
. ．： …
" 2 2” l O
U -工 ” -
2
2a...J,,x,I
证明行列式 IAl=(n+l)a".
提示：为证明 I A I= (n+l)a” 可以用数学归纳法；或者用逐行相加的技巧，即把第一行的
倍r数加 到第二行，再把新第二行倍数加到第三行，……，化其为上三角行列式．
详细解答参看第四章线性方程组．
练习题3
0243200 '
3 。
2 2
I. （如（）I .数四 ．．i 分 ） 设行列式 D= 7 ，则第 4 行各元素余子式之和的值为 .
。 。
2
5 2
a00 000
b 。
“0 ) 。
”:·00
。
:'.. l 19!)] ．数四 ．:,分）n 阶行列式 … … , : b
0b OO a0
"
惶东习题参考答案｝
-
1. 【答案】 28.
【解析】 按余子式定义，即求下列 4 个行列式俏之和
02 420
0 4 01 13 4 01 13 0 01 13
2 2 21+1 2 2 21+ 12 2 21+12
7
-7 0 01 10 0 01 10 -7 01 10
= - 56 + 0 + 42 - 14 = - 28
因为行列式中有较多的零元索，所以用余子式的定义直接求和井不复杂．
如果利用余子式与代数余子式的关系及代数余子式的性质，也可如下计算
~M,; =-A•，，十A，12 —Ao:,+A,_,
3 0 4 0 42
3 。
2 2 2 2
= I I= 71 2 21 =-28
0 - 7 0 0
- l 1
-1 1 - 1 I
• 177 •2.【答案】 矿 ＋ (- l）叶Ib".
【解析】 将行列式按笫 1 列展开，有
a b I I b
a a b
D = a \ . ••• •• I + h(-1)厅，I
IJ
a b
a a b
= （I“ 十 (-1)”+1b ”
请思考本题按第 1 行展开与按第 1 列展开哪一种方法更简便？
二、抽象型行列式的计算
巨屯…3
对于抽象型行列式的计算，有可能考查行列式性质的理解、运用，有可能涉及矩阵的运算，
也可能用特征值、相似等处理． 这一类题目往往综合性强，涉及知识点多． 因此，考生复习时要
注意知识的衔接与转换，如果内在联系把握得好，解题时的思路就灵活．这一类题目 计算量一
般不会太大
匮量1988，九题，6 分）设A 是 3 阶方阵，A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式 \ A \=..!.，求行列
2
式I (3A)-l - 2A. I 的值
-
@ 因为(3A)一l = -A一1 ,A' = I A\ A一l = A刁 ，又 I A-1 1 ＝一 ＝ 2'
3 2 | A |
I
所以 I ½A一1 —A一l \ = |— 阜A-l （－旬3 A一l |＝一片
(3A)-I - 2A. I = l= I
【评注】 I kA I= k" I A I 不要出错． 对于 \ A+B \ 型行列式没有计算公式，应设法恒
等变形化 A+B 为乘积的形式．
匮量1992，一（4) 题，3 分）设 A 为 m 阶方阵，B 为 n 阶方阵，且 \ A\ = a, \ B \=b,C =
[O A
］，则 \Cl = _.
B 0
扫 (- 1)"wab.
归 由拉普拉斯展开式，有
0 A
I C I == (- 1)”“ I A | I B I = (- l)而ab
B 0
故应填 ：（— 1)""'ab.
2 1
匡量2006,4 题，4 分）设矩阵 A = [- 1 2]，E 为二阶单位矩阵，矩阵 B 满足BA = B+
2E，则 I B |=
归 2.
＂ 由 BA = B+ 2E 得B(A - E) = 2E，两边取行列式，有
\ B \ • \ A - E \ = \ 2E \ = 4
|=
因为 I 门 ＝ 2，所以 I
A - E 1_11 B I= 2.
• 178 •【评注】 本题考查抽象行列式的计算，运用的是矩阵运算，行列式乘法公式等基础知
识．另外 I kA I= k" I A I 不要出错．
m(2008,13 题，4 分）设三阶矩阵 A 的特征值为 1,2,2,E 为 3 阶单位矩阵，则 I 4A-I -
E l=
答桌 3.
~ -－上
纤析本题为抽象行列式的计算，考查的是 I A I= II入，以及相关联矩阵特征值之间的联系．
1 1
A 的特征值1,2,2⇒A-I 的特征值 1，一，一⇒4A一1 的特征值4,2,2⇒4A-1 -E的特征值3,1,1.
2 2
所以 I 4A-I - E I= 3 X 1 X 1 = 3.
t一
(l勺88.-it- .:, 分） 设 4 X4 矩阵A= [a,Yz,y,,y,],B = [/J，Y2 ,Y3 ,Y,]，其中 a,p,Y2 ,Y1,丫｀ 均为 4 维列
向量，且已知行列式 IA l= 4, I Bl=l，则行列式 I A+ B I= .
2. l20小）．牧四 ．3 分） 已知 4 阶矩阵A相似于B,A 的特征值为 2,3,4,5,E 为 4 阶单位矩阵，则 I B- EI =
恒习题参考答窒｝
1.【答案） 40.
【韶析】 这是抽象行列式的计算．由于
A+ B = [a+JJ,2r2 ,2y3 ,2九］
从而 IA+ B I = 8l a+/J,r2 ，九，r., I
= 8(I a,r2,r,,y, !+ I /J,Yz,y3,y, I)
= 8< I A l+I B I>= 10
【评注】 当行列式的一行（列） 有公因数时，可把公因数提取到行列式记号之外，这一性质不要与 I kA
I= k" I A I 相混淆．
当行列式的一行（列）是两个数的和时，可把行列式对该行（列） 拆开成两个行列式之和，拆开时其他各
行（列）均保持不变，对于行列式的这一性质应 当正确理解．因此，若要拆开 n 阶行列式 I A+B| ，则应当是
2“ 个n 阶行列式的和，所以 IA+Bl = IA l+IB I 是不正确的．
2,（答案】 24,
（解析】 由 A ~ B 得B 的特征值为 2,3,4,5．进而知 B-E 的特征值为 1.2,3,4． 故应填：24,
若用 B [ 4] ，推出 B-E~A-E，进而知 I B-E I - IA-EI ，亦可求出行列式的值
~ A = 1 2 3
三 、 行列式 I A I 是否为零的判定
仁空空心
常用的判断 I A I 是否为零的问题的思路有 ：
<
CD 利用秩，设法证 r(A) n;
＠ 用齐次方程组 Ax = 0 是否有非零解；
• 179 •＠ 据 I A I= JI;.i ，判断 0 是否是特征值；
＠反证法；
＠ 相反数 I A l=-1 A I.
最近十年没有考这类题型．下列考题会做吗？
匾量1989，二（3）题，3 分）设A 为 Il 阶方阵且 I A I= 0，则
(A)A 中必有两行（列）的元素对应成比例．
(B)A 中任意一行（列）向扯是其余各行（列）向妞的线性组合．
(C)A 中必有一行（列）向狱是其余各行（列） 向址的线性组合．
(D)A 中至少有一行（列） 的元素全为 0.
归 c.
归 CA)(B)(D) 均是 I A I= 0 的充分条件，并不必要． 建议 自编简单的反例．
I A I= 0 台A 的行（列）向扯组线性相关
-有一行（列）向址可由其余的行（列）向量线性表出．
因此，应选(C).
t卢
I. (I 989，牧一,3 分） 设 A 是 4 阶矩阵．且 A 的行列式 I A I= o，则 A 中
(A) 必有一列元素全为 0. （B) 必有两列元素对应成比例．
(C) 必有一列向岳是其余列向量的线性组合． （I)) 任一列向量是其余列向量的线性组合．
2. (l99上数一，6 分） 设 A 为 II 阶非零方阵．A 是A 的件随矩阵，心是 A 的转置矩阵． 当 A'= A1 时，证
明 I A 1¥-0.
}练习题参考答窒｝
I.【答案】 C.
［解析】 本题考查的是 I A I= o 的充分必要条件，而选项(A)(B)(D) 都是充分条件，并不必要，
[1I 2l 2
以 3 阶矩阵为例，若 A 3] ，条件(A)，（B) 均不成立，但 I
o.
= A I=
I 3 4
若 A= [: :]顶l 0但第 3 列月不是其余两列的线性组合．可见(D) 不正确
: I A I=
l 2 5
这样，用排除法可知应选(C).
复习时，对于概念性的选择题，错误的最好能举一个简单的反例，正确的最好有一个简单的证明，这样可
加深理解．把握概念能更透彻．
2.【解） （方法—) 由于 A" = AT．根据 A 的定义有
A.; = a,, ( \/i.j = l.2,···,11)
其中儿是行列式 I A I 中 （1,, 的代数余子式．
因为 A# O．不妨设 a，丿＃ 0.那么
I A | = a,l A,l + a,2A,2 + …+ (l,“A," = (l$ ＋吐＋ … ＋吐 ＞ 0
故 I A I# 0.
（方法二） （反证法）若 I A I= o，则
AA,.= AA· = IA I E = O
设 A 的行向拭为a,Ci= 1,2.···.11)．则
a,a,r = a;, ＋心 ＋ … ＋吐＝ O(i = 1.2,...、11)
于是 a, = ((l,l ·(l,？ ,．．． “儿，） = O(i = 1.2.…．II)．进而有 A = O．这与 A 是非零矩阵相矛盾，故I A l#O.
• 180 •第 二 章 矩阵
［夺
矩阵是线性代数的核心内容，矩阵的概念、运算及理论贯穿 线性代数的始终． 儿乎年年都有
单纯的矩阵知识的考题，而且其他考题也回避不了矩阵的知识 ，矩阵的重要性不言而喻．
二十多年来，矩阵的解答题考得很少，但复 习 时 ，对千填空题 与选择题不要大意失荆州．
一、矩阵运算、初等变换
仁屯豆一
本章考查的试题简单、基本、但容易失误．由千矩阵乘法没有交换律、没有消去律、有零因
子，这和大家熟悉的算术运算有很大区别，试题往往就是考查考生对这些内容的掌握程度，因
此考生在复习时对千矩阵的运算要正确 、熟练．不要眼高手低犯低级错误．
矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵、矩阵的初等列变换是右乘初等矩阵，在这里要分清左
乘、右乘，记住初等矩阵的逆矩阵．
厘量1989，二（4) 题，3 分）设 A 和 B 均为 n X n 矩阵，则必有
(A) IA + B l=/ A l+ I B I. (B)AB = BA.
CC) / AB /=/ BA /. (DHA + B)-1 = A一1 +B气
钰 C.
扫 回顾行列式性质，知（A) 错误．矩阵的运算是表格的运算，它不同于数字运算，矩
阵的乘法没有交换律，故(B) 不正确
~].B
若 A ~］，则
= [~ = [~
;1
[!
＝ 丿 勹 ＝
(A + B)
l
½]~
+B-' ~[；：主 lo [:门
A-,
可知(0) 错误．
由行列式乘法公式
I AB I = I A I I B I = I B I I A I = I BA I
知(C) 正确注意，行列式是数，故恒有 I A II B | — I B II A I ，而矩阵则不行．
• 181 •匮量1998，二（3） 题，3 分）齐次线性方程组 :
厂言厂言：
工1+工2 十杠3= 0
的系数矩阵为 A，若存在三阶矩阵 B =/:- 0使得AB =0，则
o.
(A)入 ＝－ 2 且 I BI = CB以＝— 2 且 I B I=/:- 0.
o.
(CH = 1 且 I BI = 0. (D)入＝ 1 且 I B I=/:-
釭 C.
g浙》 由 AB=O知 r(A) + r(B) ~ 3，又因A=/:-O,B =/:-0，千是 1 ~ r(A) < 3,1 ~ r(B) < 3.
故 I BI= o．可排除(B) 和(D)． 显然，入＝ 1 时
[: :l 入:]
A =
<
有 1 ::,;;; r(A) 3．故应选CC).
作为选择题，只需在入 ＝－ 2 与入 ＝ 1 中选择一个，因而可以用特殊值代人法．
1 0 l
回(1999，一（3） 题，3 分）设 A =[: : ：l ，而 II > 2 为正整数， 则 A” -
2A”-1 =
釭 。．
臼） 由于 A" - 2A..-1 = (A — 2E)A•-I ，而
- 1 0 1 l, :l l]
A - 2E = [ 0 o o (A - 2E)A = [— [ _: [: :
;l= 0
1 0 - 1
从而 A" — 2A.,-1 = 0.
【评注】 由于
o n o rz o
1 11 11 2
[ [
Ol Ol
A2 = 02 0] 02 = [0 4 =2A
1 0 1111 0 11 12 0 2
利用数学归纳法也容易得出 A”- 2A广l =O．本题若用相似对角化的理论来求A" ，虽亦可得
到正确结论，但计算较烦琐．
匮量2001 ，二（3） 题，3 分）设
a11 U12 a13 a,., a1.1 “IJ a12 a >l
a21 a22 a21 Uz.1 a21 a22 a21
A = ,B = ”“
a31 (L32 a33 a3~ a” a33 a32 a31
”“ a”
O O
a
0
4
O
3
0
a
0
” l--a
_
”
1 0
a.1
0
3
O
a.,
O
z
_ O
a,1
Ol
f
1 OOO 000 l
Pl __ P__2
001 , 2 1 OO
l 0 0
_ _
- . l 8 .其中 A 可逆，则 B」等千
CA)A-1P1P2. (B)P1A一1P2. (C)P,P2A-1. (D)P2A-1P,.
苍岔 C.
1纤挽， 把矩阵 A 的 1 、4 两列对换，2、3 两列对换即得到矩阵 B．根据初等矩阵的性质，有
B = AP1几或 B = AP2P1
那么 B一I = (AP2P1 )一I = ril盯A-I = P1P2A气
所以应选(C).
【评注】 本题考查初等矩阵的两个定理，一个是行变换、列变换与左乘、右乘初等矩阵
间的关系 ，一个是初等矩阵逆矩阵的公式．复习初等矩阵时应搞清这两个基本定理．
匡量2004,12 题，4 分）设 n 阶矩阵A 与 B 等价，则必有
(A) 当 I A I= a(a =p 0) 时， I B I= a. (B) 当 I A I= a(a # o) 时， I BI =—a.
(C) 当 IA l# O 时， I B I= 0. (D) 当 I A I= o 时， I B I= 0.
怎沁 D.
扛） 所谓矩阵A 与B 等价，即 A 经初等变换得到B.A 与B 等价的充分必要条件是A 与
B 有相同的秩．
矩阵经过初等变换其行列式的值不一定相等，例如，假若把矩阵A 的第一行乘以 5 可得到
B，那么 A 与 B 等价，而 I A I= a 时， I B I= 5a．可知(A)（B) 均不正确．
<
若 I A I# 0，说明 rCA) = 11，而 I B I= 0，说明 r(B) n，因此(C) 不正确
< <
当 I A I= 0 时，r(A) 11，故 r(B) n，因而 I B I= o，即（D）正确，应选(D).
m(2006,13 题，4 分）设A 为三阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列
1 1 0
的一 1 倍加到第 2 列得 C，记 P 0 ，则
== [;0 1
(A)C = P IAP. (B)C APo l ll (C)C = PTAP(D)C = PAP·r
（红： B.
:
＂ 按已知条件，用初等矩阵描述有
[:: : []
B - lAC=B[: 1
1 1 07 11 - 1 0
于是 C= [O !，所以应选(B)．
l OlA [O l Ol = PAP
0 0 11 10 0 1
【评注） 本题考查初等矩阵的左乘、右乘问题及初等矩阵逆矩阵的公式．
｝卢翌因二
I 2 -2
(lqq7，共一 ·} 分） 设 A ,B 力三阶非零矩阵且扭＝ 0,则 t
l :!）叮牧一 rl 分） 设 A 是= n[34阶 可t ｀3 』A 的笫，行和笫）行对换后得到的矩=阵 记为 B .
: :
• 183 •(I) 证明 B 可逆；
(0) 求 AB气
恒习题奎考答窒}
-
I.［答案】 3.
［解析】 由 AB= 0，对 B按列分块有
AB= A(/II ,/12 ，凡） = (Afl, •A/It,A/I,) = (0,0,0)
即 P1 ,2 ,/I3 是齐次方程组 Ax = 0 的解．
又因 B-# 0，故心＝ 0 有非零解．那么
I 2 -21 17 O 0
I A I= 14 I 3 I = 14 t 31 = 7(t + 3) = o
3 -I 1 I 13 - 1 1
-
所以应填： 3.
+ <
若熟悉公式：AB = 0观lj r(A) r(B〉 ~71．可知 r(A) 3．亦可求出 t =-3,
2.［解】 由于 B = E;;A，其中 E,，是初等矩阵
。
E,J =
。
(1) 因为 A 可逆． I A I::/= o，故
I B l=I E,,A l=I E,; 1·1 A l= - 1 A l::/=O
所以 B 可逆．
=
（ II ）由 B E,;A，知
扭-I= A(E.,A）一1 =丛一IE沪＝瓦1 = E,J
二、伴随矩阵、可逆矩阵
炉竺知巳｝
伴随与可逆是矩阵中最重要的知识点，关键公式:AA. =A.A= I A I E，进而有
A -I = ~ A. 或 A" = I A I A-I
I A I
涉及伴随与可逆的试题非常多，要想到并灵活运用 AA'=A'A=IA I E 这一核心公式．
定义法，单位矩阵恒等变形，可逆的充要条件都是重要的考点．
;
O O O l - 1
回(1988.一（3）题，1 分）［： 1=
}
:
1 0 0 0
0 0 0 1
釭 [~ ~ ;』
• 184 •斜析 这是基础题，韶法很多，例如
:l OO01-b0
利用贮；］－'~ 飞 ］及[: ;]一1 [f \]] 0 : 0 al 1 r 、 oo
[AO'
=
l
~l
a
0 0 0 1
知其逆仍是[ ~
r
当然 ，用初等行变换(A E) 一 … -(E A一l ) 也很简捷．
m(l990．七题．5 分）已知对千 n 阶方阵A ．存在自然数 k，使得 A" = 0． 试证明矩阵 E
A 可逆．并写出其逆矩阵的表达式(E 为 11 阶单位阵）．
证喝 由千 A'= 0，故
+…
(E- A) I A 12 =I A 13=> I A I 为 0 或 1
祁
从而 3吐＝ 1 ，故 a11 = —.
3
肛卧2008,5 题．4 分）设 A 为 n 阶非零矩阵．E 为 n 阶单位矩阵．若 A3 = 0，则
(A)E —A 不可逆，E +A 不可逆． （B)E-A 不可逆，E+A 可逆．
(C)E-A 可逆，E+A 可逆． (D)E-A 可逆，E+A 不可逆．
烙廿k C.
斜析判断矩阵A可逆通常用定义，或者用充要条件行列式 I A l-=i=-0（当然 I A l-=i=-0 又有
很多等价的说法）．因为
(E-A)(E+ A+A2) = E-A3 = E,(E+ A)(E-A + A2) = E + A·1 = E
所以，由定义知 E-A,E+A 均可逆．故选(C).
【评注】 本题也可用特征值，由 A3 = 0=>A 的特征值入 ＝ 0=>E-A（或 E+A) 特征
值均不为 0=>IE-Al=/:-0（或 IE+Al=/:-0)=>E-A（或 E+A) 可逆．
［巠现国二
I的·，钗四 b 分） 已扣 3 阶矩阵A 的逆矩阵为 A
[1 I I
1 ]．试求件随矩阵A 的逆矩阵．
l I l = 1 2
I I 3
A 0
:!. (~1111~.坟四 ．3 分 ） 设A,B为，r 阶矩阵．A",B· 分别为 A,B 对应的伴随矩阵．分块矩阵C= [0 BJ·则
=
C 的伴随矩阵c·
--A-I -AA B 0 -- --B-_-BB. A ( ) --
(A(C (B(D
、 丿 ） O B| BBA 丿） 、 0 AI AA l B
0 _ O
— l
O 0 | .
—
飞（ ］＇四2．攻四 .:,分 I 设 A,B,A+B,A一l + B一1 均为 II 阶可逆矩阵，则(A一1 +B一1 尸等于
(A)A 1 + B 1. (13)A+ B. (C)A(A+ Bl 1B. (D)(A+ nl-1.
I
I. (~IIIJ~. _;支四 ．．；分） 设矩阵 A = [ -3I].B = A2 - 3A + 2E,凡） B-' = .
2
• 188 •往习脰参考笞窒｝
I.（韶】 由 AA' = A' A = IA I E，有
I A A 1·A . .· .= . . .A . · — I A A I = E
按可逆定义，知
(A. ) I = 呤 ＝ I A一I I A
巾于CA 1)' = A．求 A' 的逆矩阵．有
- -1 00 r J 1_-2
-ll]l? l I 01O0O 。 -2 - I
,'
( A • E · · _ __ l1 l3 .. , ,', ' ' O O l 00- ll 0 1
- ·· 。 -2 。 _2
- -
____ ]
5
2一
- l _2
于是 ; `` __ - l O
_ 2 l - 。 _ l 2
又 n ．、l 一 v A I 2 敖 知 l- 2 --
5
20 0
(A. )-1 = | A 1 | A = 2
1
- l
2.［答案】 D.
【解析】 对任何 II 阶矩阵A .B 关系式要成立．那么 A,B 可逆时仍应成立．故可看 A.B 可逆时C' =?
I~ I[ ~~ ]
A o I rA 01 '
由于 C = I CI C '= ~
[ A ' o 1 r I A 11 n I A-' 。
= | A I | B| ]= [。 B一1
0 B l I A II~ I ]
故应选(D)．
3.【答案】 C.
【韶祈］ 因为 A.B.A+B 均可逆．则有
(A-\+ B ') I = (EA一I + B 'E) I
=
(A)r r1. (13)r < r1.
(C)r =r1. (D)r 与 r1 的关系依 C 而定．
癹尽 C.
斜祈 利用公式，如 A 可逆，则 r(BA) = r(B).
=
或由可逆矩阵可写成若干初等矩阵的乘积，于是 C P1P1···P、 ,p，是初等矩阵，再用经初
等变换矩阵的秩不变，亦有 r = r1.
即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩，所以应选(C)．
回(1995．二（3）题，3 分）设矩阵 A“'x,1 的秩r(A) = m < 11.E,'，为 m 阶单位矩阵，下述结
论中正确的是
(A)A 的任意 m 个列向屈必线性无关．
(B)A 的任意一个 m 阶子式不等千零．
(C) 若矩阵 B 满足BA = 0，则 B = 0.
(D)A 通过c初 等行变换，必可以化为(E,,, ,O) 形式．
薹泉
~~) r(A) = 1n 表示A 中有 m 个列向批线性无关，有 m 阶子式不等千零，并不是任意
的 ，因此(A) 、（B) 均不正确．
经初等变换可把A 化成标准形，一般应当既有初等行变换也有初等列变换，只用一种不一
定能化为标准形．例如
[~ ~ ~]
只用初等行变换就不能化成(E2 ,O) 形式，故(D) 不正确．
+
关于(C)，巾 趴 ＝ 0知 r(B) r(C> ¾ m，又 r(A) = m，从而 r(B) = (A(J,.A(J,.·--.A(J.,) = (0.0.--·.0)
于是 A{J, = OU = 1.2.… .11) ．即 µ．是齐次方程组心 ＝ 0 的韶．
那么,AD = 0意味若 B 的列向肚全是卉次方程组Ax = 0 的韶．
因此，战 ＝ O,B =I= 0表明 A.\. = 0 有非岑韶．从而 r(A) < 11.
可以练纹川非零陷的观点来处理 ，（JJ“)`，方l法 如下：
= (AB)「 ＝ OT= 0
从 A,. :II容，知l,（矿） < 1/，故 r(IJ) < II,
当然．本题最简单的方法是用命题：
若 A足111X11矩阵，B是11 X｀矩阵,filJ = O埬l 1·(A)十，（B）
那么 a1 ,A(a1 + a2 ) 线性无关 已r(a1 ，入，1 +入2a: ） = 2.
巾于 a1,a2 线性无关，故 a1 ,A(a1 a,) 线性尤关 已r[： 勹＝ 2台儿＃ 0.
+
【评注】 处理线性相关、线性无关要会用定义法和秩这些手段．
• 205 •肛卧2006,12 题 ．4 分）设 aI ·Q ·…,a， 均为，，维列向仙A 是 111 X ll 矩阵，下列选项正确的是
（A) 若 a1,a2 ,… ，"， 线性相关 ，则位I '知2 .... ｀应，线性相关．
(B) 若 q ,O ,… ，＂， 线性相关，则 Aa1 ,Aa2 , … ．心，线性无关．
(C) 若 q ,“2 ,… ，“·, 线性尤关 ，则 心z1 ,Aa2 .··· ，心， 线性相关．
(D) 若 a1,a2 ,···,a.，线性无关，则 知J,Aa, ,… ，Aa｀ 线性无关．
答饭 I\.
夕 一，
砫货） （方法—) （）甘定义法）
因为 a,,a2 ,… ，＂， 线性相关，故存在不全为零的数 K1 .K2 ·… ,K， 使得
…+
/~1a1 + k2a2+ k`a` = 0
从而有
+…
A(k,a, + k2a2 + k,a.) = AO= 0
亦即
+…
I:lAa1+ k2Aa2 + k.Aa` = l)
巾 于 K1 ·丸，．．． ．K． 不全为 0 而使上式成立，说明 Aa, ,Aa2 ，…，Aa, 线性相关． 故(A) 正确．
（方法二） （用秩）利川分块矩阵有（出l1 .Aa, •….Aa,) = A(a, ,a2 ,…．q) ，那么
，二（知！ ，知2 .… .Aa`) 冬 ,-（q .“i ,… ，“·,)
因为 a1 ,a2 ,… ,"， 线性相关，有 r(a, ,a2 ,… ,a,) < `．从而 r(Aa1,Aa2 ,… ，Aa,) < 、，故 Aa! ，
Aa2 ,… ，Aa,线性相关，即应选(I\).
【评注】 如令 A= O 易见(B)、（D) 不正确． 如令 A = E 易见(C) 不正确．
mc2007,7 题，4 分）设向扯组 a,,a2 ,a3 线性无关，则下列向址组线性相..关 的是
(A)”1 - a2,“2 - a1,m - a1· (B)a1 + a~,a2 + a, ,a, + a1.
CC)a1 - 2a2,a~ - 2a.1 ,a:, - 2a1. (D)a1 + Za.2,tr.1 + 2a3,ai + 2a1.
溶衷 A.
、、·
母芍， 因为(a,- a2) + Ca2 一”3 ) + (a:i - a1) = 0，所以向簸组 a1 - a2,a2 - a3 ,a3 一 ”
线性相关，故应选(A).
= A(a,,a, ,a:i ) = (Aa,,Aa, ,Aa3) = I(- a:i1 ， 也，＂2 + a:i )
= [一:`l: : = P[一:I
(a a a)
巾 (l ) ，P 为可逆矩阶 ．从而
- l O O
[
p-lAP = O l ll
0 0 1
【评注】 如果已知 q ,a”“3线性无关，且有
战］ ＝ a如＋a21a2 +as1a3,Aa2 = a12a1 + a22a2 +as2a3 ，心J = a13a1 + a2aa2 + a、33a3
这就有相似的背景，这是一个常考的知识点，本题的(I) 实际上是为( II ）作提示的．
当然，本题( I) 也可用反证法：
若 a1 ,a2 ,a3 线性相关，由 于 a1,a2 是矩阵A 不同特征值的特征向量，“”“2必线性无关，
那么 m 必可由 «1,a2 线性表出． 不妨设
a3 = k1 a.1 + k2a 2 (1)
用 A 左乘式(1) 得
知3 = k1战I + k2Aa2 (2)
因为 Aa1 =-a1,Aaz = a2 ，从凸 ＝ a2 +a3 ，有
«2 + a3 = - k1«1 + kzaz (3)
式(3) 一 式(1) 得 a2 =-2k心． 与 a1 ,a2 线性无关相矛盾． 从而 «1 ,a2 ,a3 线性无关．
本题难度系数 0. 268，反映的是同学们的推理能力较低．
｛沪
I.
I ::1111~,五四 ，．） 分 ） 设向量组al
= (u.o.,).a2 = (b.c.o).m =
（0.u.b) 线性无关．员1l (/．h.(．必志足关系
式
~-l I !I飞．牧四 ．；． 分 ） 设 a, ．仅·….U,'， 均为／1 维列向世．那么，下列 结论正确的是
(/\)若 k,a， 十k,a, + ··· + k,,.a,,, = O,则 a， ，“2 ·…,a,＇， 线性相关．
(l1) 若对任意一组不全为零的数k, ./:, .….k,l,．都有I:,a, 十k2a2+ ··· +I心，a,＂ # ｛1,则 a, ,a; .….a,＇，线性无关．
(C) 若“' .a2 ·…．亿，线性相关．贝·)对任意一组不全为零的数k1 .k, .....k.., ．都有/:1a1 十k,a,+…+k,＇，a,＇， = II.
• 207 •(D) 若 Oa1 + Oa, + …+ Oa., = O.则 a1 .a, •·••.a,. 线性元关．
恒东习题参考答窒｝
I. （答案】 ulJ( # 0.
【韶析】 ，1 个，』维向扯a, 如 ．···,““线性儿关的允分必要条fI足行列式 I a1 心·….“, I# o. 而
a h 0
I a1 .贮｀a., I = I O c a I = 2al"
(· 0 b
故应坟：＂be cf:- 0.
2. 【答案】 B.
【解析】 按向从组线性相关的定义．若存(I·不全为零的一组数/,I •丸 ....．从， ．使
k,a, 十I1?”2 + …+ k,na,i, = 0
则称 a1 ,a, ,…．a,＇，线性相关．
选项（A) 没,(；指明 k, .k, .…．如不个为 0.1枚(J\) 不正确． 选项(l、)，艾求任总一组不全为 0 的数，这只能
a,(i = 1.... ,111) 全是客向队．不是线性相关定义所要求的．
对任意一组向Iil. a,.“;......a," '
Oa1 + Oa, + ... + Oa,,, = 0
恒成立．而 a, ．正 ····.a..，是否线性相关'1就是问除去 上述情况外，是合还能找到不全为 0 的一组数从，k, .....
丸， ，仍能使
k,a, 十k,,a, + ... 十k.,a.., = 0
成立．若能则线性相关，若不能即只要 k1 ,ki .....k,,, 不个为 0．必有
/..，,a, 十 k,a, 十 ．．． 十k,“a,n # II
可见(B) 是线性尤关的定义，而(D) 没有指明仅芍丸 ＝ O,k, = o.…．/，＂, = O 时心a, 十k2a2 + ··· + k,',a,', = 0
成立． 故(D) 不庄确．所以应选(B)．
三、向量组的极大线性无关组与 秩
t 屯担点｝
向盘组的极大线性无关组或向桢组秩的考题虽不多，但是齐次方程组的基础韶系实际上
就是韶向星的极大线性无关组，这在方程组求附和求特征向阰时是回避不了的，所以复习时这
里的概念、计筛 、证明仍然要认真对待．
肛】（1995，九题 ．9 分）已知向且组( .[）q,a2 心； （ II)q.a2 ,a.3 心；（ Ill)q.a2 ,O,a5．如
果各向械组的秩分别为，一(I) = r()] ) = 3,r(llI) = 4.
证明 ：向员组 O ,“2 ,a·1 ,“J -a4 的秩为 4.
艾因为 r(I) = r( 11 ) = 3，所以 a,,a2 ,“} 线性无关，而 a,,a2 ,a., ,a, 线性相关，因此
＂I 可由 g ,“i .o 线性表出，设为 a,= l,a, + l2a2 + I心， ·
若丸a1 + k,a, + k_,a:1 + k, (a,. —a,) = O. 岗l
（九 － l1/ ...4)”1 + (K: —I 2九）”1 + （如一 l3丸）a, 十 k,a; = 0
由千，一（ 川）＝ 4，即 q,“2 心，0; 线性无义． 故必有
] k - I k ; = 0
1 l
k, - l2亿＝ ()
l如 一 I飞k.l = 0
丸＝ 0
• 208 •韶出九 ＝ O,k:i = O.k2 = 0．丸＝ 0. 于是 q.q ,aI g - q 线性无关．即其秩为 4.
四(2006.20 题，13 分）设四维向吊组 al= ( l+ u. 1. 1. 1)T 汇 ＝ （2.2+a,2,2)T,a:i =
(3,3,3 + a噜~)T • a 1 = (4 • 1I,,[, 4 + (I) I ，问 u 为何伯时也 ．＂： ．＂3 ，a4 线性相关？当 a1,“i ,q .“!
线性相关时，求其一个极大线性无关组， Ji将具余向 l1l:Hli亥极大线性无关组线性表出．
斜 （方法—} ?1 个 II 绯向屈线性相义 一 1 ” 立····,a,, I = 0．记 A = (a, ．贮．q ．q )
1 + u 2 3 4
| A I = l 2 + a + :, ,t = (u + lO)矿
l 2 3 a ,1
1 2 :~ 1l+ o
于是当 a= 0 或 a =- 10 时，＂1 ，“2 .q,“1 线性4|I关．
当 a = O 时 ，＂！ 为 a！ 也 ．O ．“1 的一个极大线忤儿关组，且 a2 = 2q.q = 3q ,0 = ilq.
省 u =- 10 时．对 A 施以初等行变换．才J
-9 2 3 4 - 9 2 3 4
.
l —8 3 4 10 - 10 。 。
A =
J 2 - 7 4 10 () — 10 。
2 3 - 6 IO () () - 10
- 9 2 3 /l 。 () 。 。
I - 1 。 。 l - l 。 ()
＿► 。 - l 。 —► I 。 —1 。 = （＇1 ,凡，pi, p 1).
I {) 。 - I l () 。 - I
P
巾于 ，2 ｀，｛ ＇,1 为 /l, ./11 ·/J, .p, 的一个极大线H尤关组..11 /J， ＝- -P飞-/JI 畸，收 a: .O .a1
为 al 也．a., .a， 的一个极大线性无关组 ．－Fl al =- Q —a., - a,.
（方法二） 记 A = （q.0·i .q.a, ） ．对 A 施以初等l行t变·换 ．;有
304C-0lo0- ”
- 』l ／li』-·
= B
A ; 2; 3:
当 l1 = 0 时，A 的秩为 1, 因而 a1 ,az ,“飞 ．＂！线性相关，此时 “1 为 q ．也，q ，a1 的一个极大
线性无关组 ，且 a2 = 2a1,a3 = 3a1,a1 = 如．
当 u # 0 时，再对 B 施以初等行变换．行
? 『1+： : :: ► :
l fl -
:
B [ + 1 : C (Y Y Y Y )
如果 a =j=.- 10.C 的秩为 1 ，从而 A 的秩为 4 ．故 a1. a, . a, . a 1 线性无关．
如果 u =— 10.C 的秩为 3，从而 A 的秋为．3，故 a1 、“2 .“, ．q 线性相关．
山 于 Yl ,Y', ．Y1 为 Y1 ,Y2 寸， 平的一个极大线性无关组，且 r1 =-r2 -r" 一YI． 千是a, ．q,
a1 为 0 ，a2 ,a:1 ,a1 的一个极大线性尤关组，日 0 = —“2 - a:, —a\·
【评注】 本题是考查求极大线性无关组并把其他向量用极大线性无关组线性表出的
方法．（注意 ：列向量作行变换，用化简以后的矩阵来回答极大无关组的问题． ）
• 209 •｛五匀阻｝
I. Cl吓I ,牧四 ．3 分） 设有向量组a, = (1 .-1.2..1 ).a, = C0.:3.1.2).a.. = o .o.7.14),a, = (1.-2,2,0J,
a:, = (2. 1. 5. I 0)．则该向量组的极大线性无关组是
(A)0 .a2.“3. (B)a,.a:,a4. （C)a, ．贮．a,. T,a, =
(- 2.—6. IO. J;)'.
( l)p 为何值时 ，该向设组线性无关？并在此时将向节 a = (4. 1.6,IO)l. Jtl a, ．“2 .a, ．a，线性表出．
(2)p 为何值时，该向壶组线性相关？并在此时求 出 它的秩和一个极大线性无关组．
恒习题参考答巠}
1. 【答案】 ll.
【解析】 这是一迫．，常规题，按一般｝丿认求韶即可．
I三三：401卢 : :三I-·r~三 I： :: ~三:”:
:
[; : :
己能看出秩为 生L极大线性无关组是 a1 ,a, .a1, 或用列向l1ti1行变换，有
l』l -· ~ j,: 』
:) : :
4 2
＿► : ： 一；: i』
[: } ~;;
每行第 1 个非零数仆第 I.2..J 列 ，故 a1 .a,."， 是极大线性尤义组．因此应选(13).
【评注） 当选择 a1,a, ,a, 作为极大线性无关组时，由第一种方法立即知
a, = 3a1 + az + Oa,, as = 2a1 + a2 + Oa,
即用极大线性无关纽表示向量组中每个向世，那么用笫二种方法时，你如何写出上述表达式？
2.（绍】 对矩阶[a1 ,“2 .“3 .“t ; a] 什初等行变换：
- l - - 1 3 j? 2 --2 >6 .. 4 1 - - 0 1 - -- l 2_ 3 1 - l 2 4 - ．矗 4 3 l 2 2 -
l 5 - I l O: ; :: 6 - ► 0 64 - 4 l ?
4 I) + 2 µ . 0 - 0 hr l 7 p + 』 6
- 00 - - 12 -
-
3 1
7
- -
0
2 i1. ;
:
. :
:
:-·
3 7 8
4 l -
f
00 O l
O
~
O
0 0
1
0 2
0
．；：：：'
1]
2 --
。 -
- 0 O IJ - 9 fJ _2 I : - 0 p - 2 · 一 p
(I) 当 /1 ¥= 2 时．向 员组 a, .a,也．ai 线性尤关． I.h a = Jla1 + r2a2 +．1,a，十．T1a, ．韶得
3 /, - 4 1 - I)
r1 = 2..r , = p—2 、．lj = 1,.t· 1 = — p - 2
(2) 当 p = 2 时，向扯组 a, ，贮 ．a., .a, 线性相关． 此时向拭组的秩等于 3.a, 也．m（或 a1 ,a" .a1) 为其一
个极大线性无关组．
• 210 •第四辛 线性方程组
仁扣一覂｝
线性方程组是否有解？若有解，那么一共有多少解？有解叶怎样求出其所有的解？如何求齐
次方程组的基础解系？
当给出具体的方程组时 ，如何加减消元化简（注意只用行变换）？如何求出所有的解（可能
还涉及对一些参数的讨论）？
没有具体的方程组时 ，如何利用解的结构（注意对矩阵秩的推断）分析 、推导出通解？
面对两个方程组 ， 如何处理公共解或同解问题？
以上这些都是大家在复习方程组时要认真对待的． 方程组历年来都是考查的重点，比重
大 、分值高、解答题多 ，考生一定要好好复习 ．
一、齐次方程组、基础解系
炉竺嗖点
考查的主要定理是：
<
(1) 设 A 是 m X 11 矩阵 ，齐次方程组 Ax = 0 有非零解 R 秩 r(1\) 11;
(2) 齐次方程组Ax = 0如有非零觥，则必有无穷多解，而线性无关的解向屈个数为 11-r(A).
求基础解系是重点．
11- r(A) 既表示 Ax = 0 线性无关解向讯的个数｀也表示方程组中自由变量的个数，如何
确定自由变社？如何给自由变量赋值井求解，是这里的基本功．
不论是 Ax = 0 还是 Ax = b 都要涉及求Ax = 0 的基础解系 ，这里的计算一定要过关（正
确、熟练）．
线性无关的证明题另一种出题方法就是证基础解系．
下面的考题既涉及如何加减消元求基础解系也涉及如何判断矩阵的秩和基础解系的证明．
杠1 +工；十m= 0,
0(1989,一（3) 题，3 分）设齐次线性方程组{11王＋11 =0．只有零解，则入应满足
_ 贮l'1 +立.2+~r飞 ＝ 0
的条件是
答哀 入 土 l.
吓、 II个方程 II 个未知数的齐次方程组Ax = 0 有非零解的充分必要条件是 I A l=O．而
l
入 入1 1 入—。 1 入 一 0 1 0 （入 一 I
1 l = 0 = l'
1 1 11 I 1 1 1
• 211 •所以应填入 ＃ l.
匿量 l992，二（3) 题，3 分）设 A 为 /II X ,／ 矩阶，齐次线性方程组 Ax= （） 仅有零解的充分
条件是
(A)A 的列向队线性无关 (B)A 的列向显线性相关
(C)A 的行向扯线性无关． (D)A 的行向扯线性相关
答桌 A.
、一
纤布齐次方程组 Ax = 0 只有各韶已,-(A) = II.
由于 r(A) = A 的行秩 ＝ A 的列秩，现 A 是 Ill X II 矩阵，r(A) = 1/，即 A 的列向批线性无
关． 故应选(A)．
注意，虽 A 的行秩＝ A 的列秩．但行向扭组与列向扯组的线性相关性是可以不同的．
:
匮量1992，十题，6 分）巳知三阶矩阵 B :,6= 0．且 B 的每一个列向屈都是以下方程组的韶
::
{ 2.11.: -I--2.:.2+—
! :
3.m ＋立一．l．1 = 0
o.
(1) 求入的值；（2) 证明 I B I=
斜 （］ ）因为 B ;;i=O．故B 中至少有一个非零列向址． 依题意，所给齐次方程组Ax= ｛)有非
零斛，千是
1 2 - 21 11 0 -2
A I= 12 - I 入 = 2 入 一 1 入 - 5（入 一 l) = 0
3 I - 11 13 0 - l
解出入＝ l.
(2) 对千 AB = 0，若 I B I ＃ 队则 B 可逆，那么
A = (AB)B-I = OB I = 0
与已知条件 A-:p O 矛盾，故 I B I= 0.
巨量2002．二（3) 题，3 分）设 A 是Ill X /I 矩阶 ，B 是 11 X m 矩阵侧线性方程组（AB)x = 0
(A) 当 II > m 时仅有零衄 (l:',) 当，I > Ill 时必有非零韶．
(C) 当 111 > II 时仅有零解 (D) ~m > n 时必有非岑侃(.
冬床 D.
_..
虴浙I AB 是 m 阶矩阵那么 AJJx = 0 仅有零韶的充分必要条件是 r(AB) = m.
<
又因 r(AB） 冬 ，·(B) min(111,11)
故当 m > II 时，必有 r(AB) < min(111.11) = 11 < 111. 所以应当选(D).
: :
回(200趴九越8 分）设齐次线性方程组
(I: :
: ;::
厂1 :: :
++
1
In 1 + I人1: + bx i + ··· 十(/.m = 0
其中 a=f:.O.b=f:. 0,1／ ~ 2. 试讨论u.b 为何值时，方程组仅有零斛、有无穷多组解？在有无穷多组
解时．求出全部韶．并用基础解系表不全部解，
l分．：折 这是 ／1 个未知数n 个方程的齐次线性方程组，Ax= 0 只有零解的充分必要条件是
I A I ¥-0，故可从计符系数行列式入手．
• 212 •纤方程组的系数行列式
b bb b,"
"
b ub. b ub b bb
A l = b.:h ,Li =[a+ (n —I)/J] { ) a
: ••• ... :·b .:h
b I I a
、, u. )
10-
00
。 u - I)
0 0 a b
= [a+ (11 - l)h]
… … …
0 0 0 ”-
I)
= [a + (11 —l)h](a - /J)" 1
(1) 当 CI# b 且u # (l - II)b 时，方程组只有零韶．
(2) 当 a= b 时，对系数矩阵作初等行变换，有
aaaa au
(i(j( "
(1 。 。 。 。
0 0 0 0
A= / " —,._
.: :·
… …
0 0 0 0
(I ll {I "
由千，1 - r(A) = 11-I ，取自由变拭为．r' 这:1 '…．．飞，，． 得到基础韶系为
a1 = (- l.l.O,··· ,O)r ,a乙 ＝ （－ l,0, I, · · ·, 0) T, · · ·, a,, 1 = (- J, 0, 0, · · ·, 1) 1
方程组的通韶是：九a1 + 丸a, 十 ... 十k,， 1a，＇-I ,其中 k1 ，如， …，K，已 为任意常数．
(3) 当" = (1 - n)b 时
h bb b b IOO
(l - n)b b (l 一1/）/） ]
— h bb ,
b (l 11)b II/ 小 。
b b b O” b
A -► (l - ?1)/) -► I
:
.
.: :
…
.:
…
o
:.
··矗
b b I) ( l , l ) I J . b 0 I +”
ooo
0 00
— II 。
1 00 _ 1
- 1 。
0 l 0 l
一一渗
...
… … …
0 O 0 O -
- 1 ]
甘1 /1 一 r(A) = n - (11 - 1) = 1. 令 7"1 = 1 得基础斛系
a =(].],l,••• ,l)T
故通解为 如(k 为任意常数）．
m(2003．九题，13 分）巳知齐次线性方程组
(a, +b)丑I + U2.1"2 + Cl心｀3 + … + a,，工，， ＝ 0
+…
a1.T,+ Ca2 + /J).r2 + Cl:,.2"3 +u，心，，＝ 0
ll I.1-· I + “2 m+ (“rl + b) 1.3 + ··· + a,，义，』＝ 0
+
ClJ X1 u4心 +a心3+ …+ （u,， 十 b)气,·,,= 0
• 213 •其中 :化＃ 0. 试讨论 a1 ,az,…，a,，和 b 满足何种关系时，
t = 1
（］）方程组仅有零解；
(2) 方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．
符方程组的系数行列式
a1 +b ll 2 a, a,' a1 + b a 2 ! a:, a,'
a1 a2 + b “3 a" - b J 。 。
I A I = al U? a.1 + b a,' -b 0:·0b :· 0
;
…
0 b
“ al a2 Q3 a,,+b -b
2
t a ,. 0十 h 0 a 1 a1 u,'
b 00
。 "
0 b:·0 = b'广1 ( I;a; + b)
'= 1
…
0 b
。
(1) 当 b -::ft o 且~a, + b -::ft 0 时， I A 1-::ftO，方程组仅有零解
i=l
=
(2) 当 b o 时，原方程组的同斛方程组为
＂心1 +a江2 + ···+a，江，，＝ 0
由 2a, # 0，可知 a,（i = 1,2,…，n) 不全为零，不妨设 a1 :-j= 0. 因为秩 r(A) = 1 ，取r2 ,X:i ，…，
I，， 为自由变屈，可得到方程组的基础解系为
a1 = （一ll2 ,a1 ,0,...,Q)「 ．“2 = <-:-a:1 ,0,a1,"·,0)T,...,a,,-1 = (-a,, ,O,O,·..,a1)T
当 b = - ~a, 时，由 ~a;:-;i= O 知 l]# 0，系数矩阵可化为
i- 1 ,- 1
“
-
+
b-
b
-b
a2
b
a J 0 a , ,O a1 - I “ ; a, a 2 a, U,'
b - '= l 1
0 b 0 - 1 。 。
A --- 0 l 0
… …
—l
0 II … …
。 O 1
— ] 。
l l
。 。
- l 0 1 0
, … … …
- l 0 O 1
0 0 0 ... 0
由于秩 r(A) = 11 — l ，则 Ax = 0 的基础解系是 c = (1,1,1,…,1) T.
回(2004, 13 题，4 分）设 11 阶矩阵A 的伴随矩阵A 会＃ O，若;口{2 ,{3 ,{1 是非齐次线性
方程组 Ax = b 的互不相等的韶，则对应的齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系
(A) 不存在． （B) 仅含一个非零解向扯．
(C) 含有两个线性无关的解向址 (D) 含有三个线性无关的解向址．
• 214 •烙｀，泉 B.
<
斜析 因为 ~I ＃ 女 ，知 ~I -~2 是心 ＝ 0 的非零韶，故秩 r(A) 11. 又因伴随矩阵A. # O,
说明有代数余子式 A，丿 ＃ 0 ．即 I A I 中有 n - l 阶子式非零． 因 此秩 r(;.\) = I/ — l. 那么
11 -r(A) = J , 即心－ = 0 的基础解系仅含有一个非零解向 lit． 应选 ( l3)．
｛竺－
I. I I心I. ft四 ．．， 分） 设 II 元齐次线性方程组Ax = （) 的系数矩阵 A 的秩为，，则 flr = I.) 有非零解的充分
必要条件是
(./\),· = 11. (8),-~ 11. (C)r < 11. (D)r> 11.
:· （国II. tt四 ．8 分 ） 设 a, .a, .a, 是齐次线性方程组心 ＝ 0 的一个基础斛系， 证明 a， 十a, .a, +a:1 .a.； 十
a, 也是该方程纽的一个基础斛系．
恒东习题参考答窒｝
1. 【答案】 L..
［解析】 对矩f叶，＼ 按列分块．有 A = (a, ，贮····.q,）．则心 ＝ 0 的向从形式为
r, a, +.1..：a:+ ... 十．l，，a,， = "
那么．Ax = II 4i lI.，岑韶已a, 立．....＂斤 线件相关
与r(a1 .贮 ·... g ,,) < 1/
< "
仁I·(A)
故应选(C).
注意，／1 元方和组只是强叫有 ，1 个术知数而方程的个数不一定是，I．因此．系数矩lvi A 不一定是II 阶方阵，
所以我们应当｝Fl ,·(A) < II．而有些同学特别爱用行列式 I .4. I = （)．这见儿婓小心的．
2. ［证明） 由 A(a, +a,) ＝ 心，十f囡 ＝ u+o = o，知 a, + a, 从 心 ＝ 0 的简
同理知 a2 寸－ “, .a., +a, 也都足 心 ＝ 0 的I眻．
若丸 (a1 + Q ) ＋从(a, +a,) ＋丸(a, + a1) = O，即
(lq 十如）”I+ (fl, 十九）”i + (K + k;1 )a, - i)
由丁 a, 心·"， 是从础韶系．知I q,a, ．“3 线性无关． 故知
｛：十：二 ：
因为系数行列式
I O 1
I l o I= 2 =ic- o
0 l l
所以方程组只有零韶 /11 = 从＝ 丸 ＝ （）． 从而 q + a2.“: ＋O.a，十a, 线fl．儿关．
由已知．A＼. = (}的从础韶系含＝．个线性尤关的解向员．所以a, + a,.a, -\ a., .a,十a, 足心 ＝ 0 的基础韶系．
二、非齐次方程组的求解
炉担氓心
记住韶的结构
+…+
a + k1 tJ1 + k2712 k,, r11" '
• 215 •其中 a 是Ax = b 的特解，nl 兀，…．n" ，是Ax = 0 的拈础f（（｝系．
往届考生在加减消元时计算错误较多（一定要多动手认贞做） ；讨论参数时不能丢三落四，
殁严谨
求 A 的机求特解、求基础僻系、讨论参数是复习时要注意的知识点．
- .1.-2+ =—
2.11 4.r:,- 3.r1 4
口98礼八跑8 分）解线性方程组·l 1；, 一'.:=— 3
+
l~ :~:1::1
+.1'2 +~:::: = l
7x1 + 7.r:,- 3.r., = 3
斜 － 1 3 2 b) 、 对 - 。 土 l 1 汝 曰 I L 4 l 矩 咋 － － 。 － 勹 什 3 1 了· : ： ; ： ： 初 - 等 l 4 ► ► 1 4 丁 - 一 变 - 换 门 乃 厂 忖 -．俨 4 - 3 。 I 4 - - 。 ,1 - . 3 - - l 33 - } 14- l O 3 f O - - 。 1 2 O - - 2 2 0 - 3 - l . l 2 3 J - O24
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尸 。 。
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因 故 为 方 令 令 程 r m 名 A X X ( ： 且 ｀丿 通 _ _ 解 _ _ _~ ＇ 为 趴 ] 1 0_ ， 得 ) g A- 5 到 到 1 ， 一－ 特 导 － 3 8 解 出 趴 仅 组 们 ） ． 基 们 已 卧 给 斤 石 T l 8 以 1 ` ` W f t 系 （ ． 平 6 （ s E ) ＿ 口 0 I - 红 l 1 2 ， 牙 _ , 丿 1 , 、 2 无 ,l , 。 穷 、丿 。 1 多 丁 ） , l "祝 k k " 为 , 王 1 - 总 常 l 数
q 9 七 题 分 线卜上方 启组
8 ． / /
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厂++：3·一
3
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.1.1 - 5.1 :— I 0.1,+ 12.1I= A心
间如和 k2 各取何值时，方程组无侃（？有睢一hi胪有无穷多组解？在方程组有无穷多组解的
悄形下，试求出一般韶
＼斜 对增广矩阶作初等行变换 ，有 -
-11 ?> 3 ] -1 l __
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3 5 ； k
此 程 时 组 古 m 穷 q ; ＃ 多 9 解 5 L贝 _ l - J ( I 般 心 3 解 题 ) 为 ， - ＿＿ 3 ( 趴 分 一 r ) ( 3 若 , 8 A - 乡 ) 。 戈 , , __ 主 2 ' 、丿 方 + ,才 k 十 程 J 2 1 程 以 组 + 乡 0 且无解 2 - , 若 L。 ) 2 , l k ， 为 l 则 任 ； ， 意 r C 2 常 A - ) 一 数 - － r ( -A ) __ 3 < 4 ,方
9 ＇ , Il + +工
工
23
_
__
_
-
a
u l a
Y
工23++
_
2
-
工 工 工 工 11 __ a 3
1 1
`
有解，则常数 a1 ,a2 ,a3,a4 应满足条件
（冬衷) a1+ a2+a:i +a.1 =O.
1 1 。 。 - Cl1 1 。 。 - a1
。 1 1 。 a2 。 1 1 。 a2
斜．、析
。 。 1 1 - a.;i 。 。 1 1 —a:'
1 。 。 1 a1 。 —l 。 1 Cl1 + a,
1 1 。 。 - al
o ·
, 。 l 1 a2
。 。 1 1 一”'
。 。 1 1 : a1 +a2 + a.1
1 1 。 。 - (11
1 l 0 : a2
,
1 1 - a3
0 : a 1 + a2 + a.1 + a,
故应填：a1 + a2 + a3 + a.1 = 0.
mo990，六题，8 分） 已知线性方程组
厂++2三三勹：三
5.r1+ 4x2+ 3又::,+3x,1 — 几．5= 2
(l)a ,b 为何值时，方程组有fjf?(,?
(2) 方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系．
(3) 方程组有解时，求出方程组的全部解．
斜丿 对增广矩
I;
阵 作;初; 等行 变换，有:
l-
:
； 一：： ：勹
[
1 2 1 2 1 5 6 ;
(1) 当 I}— 3a = 0 且 2 — 2a = 0，即 a=l,b=3 时，方程组有韶．
(2) 当 a = l,b = 3 时，方程组的同解方程组是
• 217 •ti-工3 —m-5工5=－ 2
工2+2工3+ 2xi+ 6xs = 3
由 n - r(A) = 5 - 2 = 3，取自由变扯为工3 ，工．I'.r$ ，则导出组的基础解系为
—
,,l = (l, - 2, 1,o,o)T,“2 =(l, 2,0,l,O)T,,,3 = (5,-6,0,0,l)T
(3) 令 X3 = X.1 ＝卒＝ 0，得方程组的特解为
" =(-2, 3,o,o,0)T
因此，方程组的所有解是 "+kI'11 + k2'12 + k3平，其中 k1 ，如，如为任意常数．
“量1993，八题，10 分）k 为何值时，线性方程组
｛—:言：二勹言2
工1 -工2+ 2工3=-4
有唯一解、无解、有无穷多组解？在有解情况下，求出其全部解．
像）对增广矩阵作初等行变换，有
—
1 1 k : 47 fl 1 2 : -4
五＝［－ 1 k l [0
k2 ]-
— K : l k ; 2 K2 8- 4]
1 -1 2 : 41 IO
2
-l: -4
-: k-2 -4)l
l
(1 土正4-k) k(K8
2
(1) 当 k#－ l 且 k -=I= 4 时，r(A) = r（五）＝ 3，方程组有唯一解，即
炉＋2k k2 + 2k + 4 - 2k
X1 = -.---,--:;-, X2 = ~ ,X 3 =
K+l k+l k+l
(2) 当 k=-1 时，r(A) = 2,r忒） = 3，方程组无解．
(3) 当 k=4 时，有
-8 ]-
l - 1 2 : 4 1 0 3 0
五－［02
2 [Ol 1 4]
! !
I
o o o o lo o o o
因为 r(A) = r（五） ＝ 2<3，方程组有无穷多解．取工3 为自由变扯，得方程组的特解为"=(0,
4,0)飞又因为导出组的基础解系为,, =(—3, -1,1)飞所以方程组的通解为 "+kn次为任意
常数匝量1994，九题，11 分）设线性方程组
:
{:1三曰：
::
又·1 +a江2+a扫3 = a~
(1) 证明：若 a1,a2,a3,a4 两两不相等，则此线性方程组无解．
jll
(2) 设 a, = a3 = k,a2 = a1 =-k(k :;i= 0) ，且已知，l,凡是该方程组的两个解，其中
［了l,/J2
[
/J = =
写出此方程组的通解．
• 218 •仿 (1) 证明：因为增广矩阵 A 的行列式是范德蒙行列式
I A I= Ca2 一 (I1)(u1 - u, ）也 — ul)如— a2)(a, 一 （l3)也 －a3 ) #-0
故 r（五） = 4，而系数矩阵 A 的秩 r(A) = 3，所以方程组无解，
(2) 当 a1 = "飞 ＝ k,a2 = a., =-k(k #- 0) 时，方程组同解于
{
m ＋压＋卢＝ k3
+
又·1 - 如·, // .1:1 =- k"
l k
因为 =- 2k =I= 趴知 r(A) = r(A) = Z.
1 - k
由 n-r(A)=3-Z= l ，知导出组 心 ＝ 0 的基础解系含有 1 个解向批．那么
-P2 l/ ［勹
[-
[_\]
,,, = p1 = =
是 Ax= 0 的基础俯系．
于是方程组的通解为 P1 [ //l,e 为任意常数
+(n
=
mo996，一（4）题，3 分）设
l ll
l 1
．飞·1
a1 a2 a3 ... a,, .L,2
l
A= a了 cd 吐 … 忒 ,x = ~l,.3 ,b =
; ; ; ;
…
l
a'"i 一·l ,a2，- I· a3,，一 ·l..,. a;;＇ -·1 J LX.,
1,z.....
其中 a, -=I= a;(i-=/= j,i,j = 11)．则线性方程组 A压＝ b 的解是 .
~ (l,0,0,•..,0)1.
＂ 因为 I A I 是范德蒙行列式，由 a, ＃ (i) 知
IT
I A I= (a， 一 （i1) ＃ 0
所以方程组 ATx = b 有唯一解．
根据克拉默法则．对于
a; ... a1' 1
U1 工．l
u 2 a22 ... u 2,，一 1
工2
1 a3 aj2 ... (l.i" 一1
工3
;
: : :
I a,，吐 ．．． a广」 L.r,,
易见 6.1 = IA I 心 ＝凶＝ ．．． ＝ A,, = 0
故 ATx = b 的解是0,0,0,..,.0)1 .
肛司(2000，二（3) 题，3 分） 设 妇应a3 是四元非齐次线性方程组Ax = b 的二个俯向址，且
,-(A) =3,a, =(l,2,3,4)T,a2 + a, = (0,1.2,3)一， ，（表示任意常数，则线性方程组 Ax = b 的通韶
x =
+-[~]
[j] [~]+［』 rl]+ ［：』
[:]+[ ]
(A) (B) (CJ (D)
• 219 •“C.
归方程组Ax= b 有解，应搞清解的结构．
由千 n-r(A)·=4-3= I，所以通解形式为"+kT/，其中 a是特解，n是导出组Ax =0 的
基础解系．现在特解可取为＂1,下面应找出 Ax= 0 的一个非零解．
由于应;=b,有
A[2a1 一 (az +a3)] = 0
即 2a1 一 (az + aJ) = (2, 3, 4, 5) T 是 Ax= 0 的一个非零解．
故应选(C).
m(2001，二（4) 题，3 分）设 A 是n 阶矩阵，＂是n 维列向扯，若 r[:T r(A) ，则线
"0]=
d 。
性方程组
(A)Ax = a 必有无穷多解． (B)Ax =＂必有唯一解．
(C)[:T ;][:]=
0 仅有零解． (D)匕尤］＝ 0 必有非零解．
aT oJLy
句 D.
＂因为“Ax= 0 仅有零解“与“Ax= 0 必有非零解“这两个命题必然是一对一错，不
可能两个命题同时正确，也不可能两个命题同时错误．所以本题应当从(C) 或(D) 入手．
由于[“AT”。]是 n+l 阶矩阵，A 是n 阶矩阵，故必有
心。A］”） ＝ r(A) ~ <
n n+ 1
因此(D) 正确
匝量2004,20 题，13 分）设 a.= (1,2,0)T,a2 = O,a+2, -3a)兀m= （一 1.-b-2,
a+2b)飞/J= (1,3,-3)T, 试讨论当 a,b 为何值时，
(I)p不能由 a.,a2,a3 线性表示；
（ II ）p可由 “”“”“3 唯一地线性表示，井求出表示式；
（皿），可由 g,“”“3 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式．
秒设
屯＋心＋X心＝ p (I)
记A= （“”“心），对矩阵(A 打i) 施以初等行变换，有
(1) 当 a =(OAb:)”:：一言三：1:乒 1[［
il
;
__;
b
:
1ll
—
(A ;,) -[: -b
可知 r(A) -:/: r(A 打i)．故方程组(1) 无解，p不能由 “”“”“3 线性表示．
（ II ）当 a =I= 0，且 a -=I= b 时，r(A) = ra = 2
I 1 a
对(I) 系数矩阵作初等行变换，有
[; :} [~
~』
可求出方程组(1) 的通解是 k(-1,-1,l)T.
因为（一 I, -1,1尸应当是方程组(II ）的解，故有
{-1
-b+ c = 0,
-2-b2+c+l=O
解得 b=l,c=2 或 b = O,c = 1.
当 b=O,c=l 时，方程组(II ）为
{.r1 五＝ 0．
2.r1+2.rl= 0
因其系数矩阵的秩为 1，从而可验证出(1) 与(II ）不同解，故 b=O,c=I 应舍去．
当 a= 2,b = I,c = 2 时，可验证出(I) 与（ II ）同解．
回量2007,21 题，11 分）设线性方程组
e
｛：霆： ：a工x：二：
xi+ 4x2+a飞＝ 0
@
与方程 工1+2工2+工3=a-l
有公共解，求 a 的值及所有公共解．
＂本题考查两个方程组的公共解问题，应当有两种思路：一个是 0 与＠联立方程组
的解就是公共解；一个是先求 0 的解然后代人到＠中来确定公共解．
翎（方法一） 因为方程组＠与＠的公共解，即为联立方程组
户
Xix + i xxi2xxi 2x+ 2
工
x 32 _ __0_,_0 '__, 0_ a
+2+4++2
a 333
Y + 2 x ax+x @
l
、
的解
对方程＠组
的增广矩阵施
-A
以
-
初行等 变换 有
由 －＿ ＿ 方
A
组一 1 1 1
1
l21 a 2 4： ： …
……
·· 2o o o
-
0 一 一
的
10 1 a
l
0 n b
b
幻 阵 @ 1 1 3 1 a
2
l - , 1 l . ; : : . . …… 0 :::· 0-0 _ - --1 1 1 0 0 0 -00 1 0
1
“1 0 - 1 - a - -
- a l a a 1 :： ： l - D 炒 勹 0 秩 ” - － a 1 － 一 是 a 2 a 1 3( l a 、丿
1－ 1 ．
_0 有0 … 了
0 - … 数
0 ……
3@
于
o
, 程
解
故
……
， 系 一 矩 － 的 等千增广矩阵 -A 的 秩 千 ( a 1 、，＇ ( a 2) __ 。 .
• 224 •2.
即 a= 1 或 a=
当 a= 1 时，
-100-01l0O0
.
o 0O-o
O
o- o
-A
f
-1
因此 0 与＠的公共解为：x ＝ k[ 0 ，其中 k 为任意常数．
因此当0”与2＠/唯的A:解-』;X:
:
l
/:1::l-li / I:ll
（方法二） 先求出方程组 CD 的解，其系数行列式 l 2 a1 = a-l) a-2)
( ( .
1 4 a2
=
当 a# 1,a#2 时，方程组＠只有零解，但此时 x (O,O,O汀不是方程＠的解．所以公
共解发生在 a= 1 或 a=2 时．
当 a=l 时，对方程组 0 的系数矩阵施以初等行变换，
］』- ~
[~ ~]
[}
- l
因此 0 的通解为 x=knll ，其中 k 为任意常数． 1
—
此解也满足方程也所以方程组＠与＠的所有公共解为：x=k[0 ，其中 k 为任意常数．
当 a=2 时，对线性方程组 0 的系数矩阵施以初等行变换，
l l
1 1 1
= [12 2]- [01 1
得到方程组 Q) 的通解是 x=k(0, —卢卢凡；？』其代人方程组＠有
A
0,1, l)T.
-
得 k =-1，因此 Q) 与＠的公共解唯一为 x= (
［评注】 本题是给了两个方程组求公共解的题，大家还要会没有给两个方程组的题，
例如 2002 年数四考题．
• 225 •｛因呾垦3
{
I, ( 199-1,，数-.8方） 设四元齐次线性方程组(1) 为： 、）．， 十，l飞 ＝ o,又已知某线性齐次方程组(ll ）的通
.r, - .r1 = 0,
舟f加k，飞沁m,0).T +.k,d一1,2,2,1),.,
年），求线性痉社召囡!H. ' 的基础解系；
(2) 畸妃些方沼妯( 1) 和( ll ) 是否有非零公共解？若有｀则求出所有的非零公共解．若没有，则说明理由，
2血炽0及数四 ．8 分） 设 4 元齐次线性方程组(I) 为
｛红＋3义．2一．11 = ()
+ +
工1 2 簪飞:, .r, - .r , = 0
而已知另一 ,,元齐次线性方程组( ll ) 的一个基础斛系为
a, = (2, - La+2, I)·1立 ＝ （－ I.2,4,a+8)T
(I) 求方程组(I) 的一个基础解系；
(2) 当« 为何值时．方程组(,l) 与([I) 有非零公共解？在有非零公共解时．求出全部非零公共斛．
往习题参考答窒｝
l.【解】 ( I) 由已知§(1 ) 的系数矩阵为
~ ~
A = [~ : l]
由于 n- r(A)=2,x.1 ，,·, 可为自由变址，故( I ) 的基础解系可取为
(O,O.l.0),(- 1.1.0.1)
(2) 方程组( I ) 与方程组( II ) 有非零公共解．
将( I ) 的通解凸＝－如 ，、1·, = k, + 2k, 心 ＝丸 ＋2k, ..1·1 = 如 代人方程组( J )．则有
｛玉＋丸 ＋ 2K2 = 0
k1 + 2如 一k,, = 0
韶出丸 ＝－ K2·
那么当 丸＝—k2 # 0 时，向扯
k1 (0, I, I,0) 十k,(一 1 ,2,2,l) = k1(1, - l, — l, - l)
是( l ) 与( II ) 的非零公共解
【评注］ 由于(1) 的通解是叭0,0,1,o)+lz(-l,l,0,1),(II) 的通解是丸(0,1,1,0)＋如(-1,2,2,
l)，因此若令公共解为 r，则
r = Li (O,O, 1,0 * ) + l2 (- 1,1,0,1) = k1 (0, 1, 1,0) ＋如(-1.2,2,1)
只要能求出不全为 0 的 Z1,l2，则 r o,且 7是(1) 的解，也是(IJ) 的解．由此可得 ll,l2,k，心的齐次方程组
/}二\]-[ ： 一：
:;:]
[ 11 1 1
可见当 k1 =-k2 =I= 0 时，有非零公共解，下略．
2.【解】 (1) 对方程组(I) 的系数矩阵作初等行变换，有
[: : - [
］ 一。］］－► :: 二；］
l ]~
由 于11-,·(A) = 4—2=2，拈础韶系由 2个线性无关的解向址所构成，取立 ，1.｀ 为自由变itt，所以p, = (5,- 3,
1.o>"r．化 ＝ (- 3,2.o, I)「是方程组（［）的基础解系．
(2) 设 n是方程组( l) 与(ll) 的非零公共韶，则 1J = k,/l， 十丸/l, = l,a, 十l2a2 ，其中 k! ，如与 l1 占 均不
全为零的常数．
• 226 •:
由此得齐次方程组(lll )
:
三言一 (a+一::
-+::
+
从 一 八— (a 8)l2 =0
有非零解， 对系数矩阵作初等行变换，有
5 - 3 - 2 1 I () —a - 2 - 4
-3 2 - 2 。 I —l 一a -8
。 -a - 2 - 4 。 2 -3a- 5 - 14
。 I - 1 - a- 8 0 - 3 5a +8 21
I 。 - (1 —2 - 4
。 I - 1 一a - 8
0 0 —3a-3 知 ＋2
() 0 5u+ 5 - 3u —3
当且仅当 a+ l = O 时巩 IIl ) < ·,1，方程组有非零觥
此时，（川）的同韶方程组是
｛丸 － I]一 1比＝ 0
k2- l1- 7l2 = ()
于是 1/ = （｛， / 十Ill. l )µ + (K +7[:)几 ＝ l1(P1 十几） ＋ l.，（讥 ＋ 7p,）
/l』
([
=
__ _ _ _ _ 7
r· 一一一一 一一 一一一一一一一一 一一一 一一一 一 一 一一
读书之法，在礼片浙过，包读而扑，思。
朱熹
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
' __ __ _ _ J
• 227 •第五章 特征值与特征向量
炉竺野3
特征值和特征向量是线性代数的重要内容之一，也是考研数学的重点之一，它涉及行列
式，矩阵，相关、无关，秩，基础解系……一系列问题，知识点多，综合性强，必须好好复习．
考生首先要掌握求特征值、特征向量的各种方法；第二是相似，把握住和对角矩阵相似的
充分必要条件，会求可逆矩阵 P；第三（可能更重要），要会利用实对称矩阵的隐含信息处理求
特征值、特征向世，用正交矩阵相似对角化等一系列问题．
一、特征值、特征向量的概念与计算
炉想呻一
常见的命题形式：
(1) 用定义 Aa =尬，“＃ 0 推理、分析、判断．
(2) 由 I.\E-Al=O 和（入，E -A)x = 0 求基础解系．
(3) 通过相似 p-•AP = B.
若 Aa ＝泣，则 B(P-1a) ＝入(F飞）；
若 Ba= 边，则 A(Pa) ＝入(Pa).
=
特别地，若 rA ~ A.
m(l992，九题，7 分）设矩阵 A 与 B 相似 ，其中
o r- o o
'-- 2 01 1
A = [ 2.r2] ,B = 0 2 0
：（：1了三气：］P[二尸尸勹E
;l
/0B
| yl
0
即 （入 ＋ 2）庄 － 釭 ＋ 1 ）入 ＋ （又· - 2)] = （入 十 l)（入 － 2）（入 — y)
令 入 ＝ 0，得 2(、r - 2) = 2y.
令入 ＝ I .得 3 • (- 2) = - 2(1 - y).
由上两式韶出 y =— 2 与 r = 0.
(2) 由（ 1 ) 知
--2 001---- l
0 l
23J2
1 ~ 2)
2020
----
于是矩
当
屈 当
阵
＿ 特 A J
A
_
的
－
特
1
征
时
气
g
入
－
E
＿＿
A
l
) -
x
"_
l__
=
0
2 ·入 }, 3 0 l _
0
_ l 2 .
0- l -
f
2O l
-
-2
.
_ 23 _ - 22,00
___ -( O
得到 于 征值 A - － l h 勺特征 － 向批 “1 = - 2. 1 T l
儿 “ ＿＿ ? } 时 J , 年 一 E -A 坎 4 _ 7 0 70 2 0}1- -] -0 o --
［
- 001 _l
f
o
1 0
. 3 ?
1得到屈千特征值入2 =2 的特征向屈 a1 = (O, 1, l >'1 .
当入3 =- 2 时，山(- 2E - A) x = 0,
2 王；
[-02 -0 2 -0 () ;
得到屈千特征俏儿 ＝— 2 的特1：一向尸 := :13』 —[。)i
o ol
那么，令 P （al ， 心） ＝ ［－ 2 1 0 ] ，有
=
1 I - 1
p 1AP = B
【评注】 由 2a" ＝ 芝忱， 和入＝－ 2 是A 的特征值
{— 2 妇＋ 1 =—1+2+ y
1-E-A l=O
建立方程组来求参数工，y 更简单．
配量1993．二（3) 超3 分）JI 阶矩阶A 具有 ？1 个不同的特征值是A 与对角阵相似的
(A) 充分必要条件． （B) 充分而非必要条件．
(C) 必要而非充分条件 (D) 既非允分也非必要条件．
生、发， B.
斜析 A ~ A(.=}A 有／1 个线性无关的特征向扯． 由千当特征值入1# 入1 时．特征向扭 a1,a2
线性无关． 从而知，当 A 有 II 个不同特彻值时．矩阵 A 有 11 个线性无关的特征向扯．那么矩阵 A
可以相似对角化．因为 ． 当 A 的特征值有正根时，矩阵A 仍有可能相似对角化．所以特征值不同
仅是能相似对角化的充分条件．并不必要 ．故应选(B)．
0 0 I
m(l994，十越8分）设A= ［-1 l yl 有三个线H无关的特征向虽，求1和ly应满足的条件．
] 0 0
斜 由 A 的特征方程
入 0 - 1
- 1
入
I 江 － A l = —.J 入 － l - y l = （入 一 1)
- 1
入
- l () 入
= （入 一 ） ）；佽 ＋ l) = 0
得到 A 的特征值为入1 = 入' = 1 ．入3 =- I.
因此，入1 = 入2 = I 必有两个线性儿关的特征向从．从而 r(E - A) = I. 巾
l O - 17 r1 0 -1
y』- ［0 (）
E -A =[- : 0 - .] - y
- l () 1 0 0 0 ]
知 1 和 y 必须满足条flj:.i- + y = 0.
m(1999，二（4) 题，3 分）设 A、B 为 II 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则
(A以E - A = 入E － B. （B)A 与 B 有相同的特征俏和特征向扭．
(C)A 与 B 都相似千一个对角矩1作 (D) 对任意常数，，心 —A 与 IE -B 相似．
笭森 D.
~ -·
纤浙） 若邓 －A = 入E — B, 则 A = B, 故 (A) 不对． 当 A~ B 时，即 I)-lAP = B，有
• 233 •几E-AI＝队E-B I ，即A 与 B有相同的特征值，但若AX ＝店，则B(P-1X) ＝庄一1X．故A与 B
的特征向量不同．所以(B) 不正确．当 A~B 时，不能保证它们必可相似对角化，因此(C) 也不正确．
由 P-1AP = B 知， Vt 恒有
p刁（tE -A)P ＝心－p-lAP = tE-B
即心－A~ tE-B.
故应选(D).
匝量2000，一（3）题，3 分）若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为上A勹上」－，则行列
2 3 4 5
式1 旷－EI= - - -·
添 24.
呻本题已知条件是特征值，而要求出行列式的值，因为 IA I= II入．，故应求出 B-1 —
E 的特征值．
1 1 I 1
由 A~B，知 B 的特征值是一．一，一，一．于是B一1 的特征值是 2,3,4,5．那么 B一1-E 的特
2 3 4 5
征值是 1,2,3,4．从而
I B-1 - E I = 1 • 2 • 3 • 4 = 24
故应填：24.
111<2004,21 题，13 分）设 n 阶矩阵
[ b1. b-b.-:l
:
A =
b
(I) 求 A 的特征值和特征向量；
（ II ）求可逆矩阵 P，使得 plAP 为对角矩阵．
碰 (1)(1) 当 b =I= 0 时，
入一 1 -b •·· -b
— … -
b 入一 1 b
I 辽—A I= I.·-... ;
…
-b -b 入一 l
= ［入一 1 — (11- l)b]［入一 (1-b)]..-1
故 A 的特征值为入I= 1+(11-l)l)山＝…＝入n = 1-b.
对千入1 = 1 + (n- l)b，设A 的属于特征值入）的一个特征向扯为 ~I ，则按定义
1 b ·•• b j
;
[: :..::
li ;l = [1+ (n-1)b] 1
解得 ;l = （l,1,．．．．l)飞所以全部特征向扯为
均＝ k(l,l,···,l)T(k 为任意非零常数）
对于入2= …＝儿＝ 1-b，解齐次线性方程组[O -b)E-A]x = 0，由
;
;
(1-b)E-A= ［二：勹）飞[;
f 卢．－
- b - b0 0 … 0]解得基础解系
~2
= (1. -1,0,…,O)T
~3
= (1'0'- 1.…,O)T
…. -
~- = (1,0,0, l)T
故全部特征向址为
k2~2 + k3~3+ … +k.~. (kz,…心是不全为零的常数）
(2) 当 b=O 时，特征值入1= …＝入＂＝ 1，任意非零列向证均为特征向扯．
（ II ）当 b =I= 0 时，A 有 n 个线性无关的特征向扯，令
lll
1 1... 1
o-
0
—i
l 0
P= 。 …-
;
… …
0 1 l
。
l -I}
1-b
则有 P-1AP =A=
1-b
1+(11-l)b
当 b=O 时，因为 A=E，那么对任意可逆矩阵 P，均有 P-1AP =E.
丘巨匣｝
l. (1997，数四．9 分）设矩阵A 与 B 相似，且
020-00 -b
A ;3 :4: :2] B [0
.
= [_ =
(1) 求a,b 的值．
(2) 求可逆矩阵 P，使 p-'AP = B.
22
[3
(1999，数四，7 分）设矩阵A = l -K2] ，问当 k 为何值时，存在可逆矩阵P，使得PIAP 为对
2. -K
4 -3
角矩阵？并求出 P和相应的对角矩阵．
往习逼参考答塞｝
1.【分析】 B是对角矩阵，那么A与B相似时的矩阵P就是由A 的线性无关的特征向社所构成的．求矩阵
P也就是求A 的特征向批．
【解】 (1) 由于 A ～肛故
{1+4+a = 2+2+I,
6(a - U = I A I= I B I= 4h
解出 a= 5,h = 6.
(2) 因为A~B,A 与B 有相同的特征值．故矩阵A 的特征值是入1 =入2= 2．入，＝ 6.
当入，＝入2 = 2 时，由(2E-A)x = O,
1001- -
[~2 1
/2: oo
-2 ]-- [;
3
• 235 •得到基础紨系为
a1 = (- l.J.O)「 ，“2 = (1.0. I)T
即为矩阵 A 的屈于特征伯入1= 入, =2 的线fl无关的特征向扯．
当入3 = 6 时．由CGI，;- A)x = O. :
:
[-;2 . l] ~
-. -:, -:']
其基础解系为
a, = (l. - 2, 3) ·i
即为矩阵 A 屈于特fil（且入' = 6 的特补向 hl.
那么，令
—1 1 I
P =[a, .a, 心］＝［
1 0 - 2]
0 1 3
则有 1' IAP = B.
2. 【分析l lbl为A~A台A有？， 个线性尤关的特征向扯．而对千 l'一lAl>= A，其中A 的对角线上的元素足
A 的全部特征（且．P 的每一列是矩阵A 的对应牡征值的线性无关的竹补向址从1此．本题应当从矩阵 A 的特补
伯、特征向拭入手，分析 k 的取值对相似对伯化的影响．
【解】 巾矩l!!f A 的特征多项式
入－3 - 2 2 入－ 1 - 2 2
I 从； －A I= I k 入 十 I - k I= I o 入十 I - k
—,I - 2 入＋ 3 入－ I — 2 入＋3
入－ 1 - 2 2
O 入十 I - k I = （入 一 1)（入 －卜 l)'
0 0 入十 l :
得知矩阵A 的特征伯为入I= ] ．入, = 入，＝－ 1.
由千 A~ A．故入2 = 入1 =- 1 时，矩阵 A 必有两个线性尤关的特征向批，因此秩 r(— E-A) = 1. 由
[-~ii
- 4
—E - A = [, /0: k] -{ 一：k]
-,1
知，k = 0.
当 入I = I 时．由(E-A>x= O,
[:::2 :
: -~!]
－酝 [i
[]
得到矩阵 A 屈千特补伯入，＝ 1 的特征向 l,ta, = (1,0,1)°1.
当 入2 =入1 =— l 时．由(-E-A)x = O.
: :
［勹） 0: - [[ ［ 勹
:]
得到矩阵 A }函丁特fil-（且入2= 入' =- 1 的线性无关的特征向桢 a, = （— l .2. o l 1. a., = (o. I, I),..
I - I 0
P [a, 心，o]= [0 2 1]
那么．令 =
I O I
1 l]
一 ］
石 P 'AP = A = [ -
（评注】 本题得分率不高，人均仅2.2分．有的同学是不会计算含有参数k 的特征多项式1 店－A l，有的同学
不知用什么方法来确定k的取值．其实，早在 1994年就出现了用相似对角化理论，利用秩来确定参数的思想方法．
• 236 •三、 实对称矩阵
｛ —沪｝
实对称矩阵有儿个正要的定理，例如：实对称矩阵一定和对角矩阵相似（不管特征值有没
有五根） ；实对称矩阵牡征俏不同时特征向讯必相互正交( rh 此有内积为 0，从而可构造齐次方
程组求特征向扭）；实对称矩阵可以用正交矩阶来相似对角化．试题就是围绕这些定理来设计
的． 考研的重点，特别要复习好综合性强的韶答题
m(l99九十题 ． 10 分）设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 I .2,3；矩阵 A 的属于特价值 l,
2 的特征向显分别是 a1 = (- I. - I. I)T -a2 = ( I. —2, - 1) l .
( I ) 求 A 的属于特彻值 3 的特征向队．
(2) 求矩阵 A.
（忧） （ 1) 设 A 的屈丁特征伯入 ＝ 3 的特征向址为
.r
a:,= (.r1 .心 ，．1"3)
囚为实对称矩阵属于不同特征值的特征向址相互正交，故
+
｛旷0 =－．1 1 一 ．I2 `?.、 ＝ 0
“ 2 T m = .I.l - 2.1·, -.r3 = 0
得到基础俯系为(l,0, I> r.
因此，矩阵 A 的屈于特征值入 ＝ 3 的特补向柏为
“j
= k(l,o. I)1 (K 为非零常数）
(2) 巾千矩阵 A 的特征侐是 l,2,3，特1il向址依次为 q 也 ，a:, ，利用分块矩阵有
A(a1 立，＂1） = （q,2忆，3aj)
因为 aI 立，“3 是不同特彻值的特征向她它们线性无关， 于是如作(0 立，＂3) 可逆． 故
A = 0
A+kE 正定叫
k>O
因此，k>2 时，矩阵 A+kE 为正定矩阵．
匝量2006,21 题，13 分）设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3, 向址 a,=
（一 1,2,- 1) T, Qz = (0, - 1, 1尸是线性方程组 Ax= 0 的两个解．
(I) 求 A 的特征值与特征向扯；
(0) 求正交矩阵 Q 和对角矩阵A ，使得 QTAQ = A;
（皿）求 A 及µ－尹3 ）6,其中 E 为 3 阶单位矩阵．
＂本题矩阵 A 未知，而(I) 要求出 A 的特征值、特征向最．因而要有用定义法分析、
推导的构思．
17 13
（ I) 因为矩阵A的各行元素之和均为3，即有叶 [3l=3 1 ，所以3是矩阵A的
@
卫已1=，的三）；三2:3;o入：O二，亡只矩阵A1 属于入3=0i：：个线性无关的特征
入＝ 3 的特征向世为 k(l,1,l)T，其中 k # 0 为常数；
入＝ 0 的特征向扯为 k1 (-1,2, - l)T +kz(O, 一 1,l)T ，其中 k] ，如是不全为 0 的常数．
(I) 因为 a1,“2 不正交，故要 Schmidt 正交化．
,l = al = （一 },2,-l)T
尸气妇 [~1]－于 [::2:l 叶 [~I]
单位化？l =克[::2:l 寸2 ＝贞门］寸．飞＝时］
1 飞 1
－
扎 -- --
。 我 。
那么令 Q=(.,I'.,2'.,3) = I ~ 2 1 － 翡 Q T AQ __ A __ 。 .
顶 3
我
1 1 1
－ 万
屈
我
（ ID ）由（ II ）知 Q-1AQ = A，有 A= QAQ-l = QAQT，即
• 239 •1 1
l 1 l 2
屈 － 控 － － -- - 祁 一 祁 --l l - ll
岛 。 沉
2 l l l
A = 一 屈 0 石－ 。 3 - 匠 － 。 － 疫 l - “
1 1 l l I
屈－ － 瓦－ － 祁 －
疫 灯
=
又 Q-'AQ = A Q-' (A －扛）Q = A — 妇
E
=> Q一I (A — 红）Q = (A — 沪）r = 侵）
所以（A - 红） ＝ 列(½)" JQ-1 (½)"
E = E
【评注】 本题也可先求出矩阵 A，然后来完成(I) 和(Il ），这样工作量会大一些，
设A :: ：：:l ，由题设有｛：：：二二： ::
= [:::
a13 a23 a33J la13 + a23 + a33 = 3,
又由应 ＝ 0，知 ＝ 0 有
- aa+aa + a +__ a 0 ', 0 0
, lz22231 32333
｛二言：：二 ：~: -- ____
和 Y
-a13 + 2a23 -a33 = 0
、
联立这儿个方程可得
111_11 _1
A = [[
I=
进而由 1 尥 －A 0…可完成本题．
当特征值有重根时，要小心此时的特征向童是否垂直，是否有 Schmidt 正交化的考点．
肛卧2007,22 题 ，11 分）设 3 阶实对称矩阵 A 的特征（如I = I ，入:i = 2小＝－ 2，且 0 =
(1 ,- 1.1)1 是 A 的屈于入 的一个特征向星 ，记 B = A" - 1IA'一 + E,其中 E 为 3 阶单位矩阵．
（ ．［）验证 q 是矩阵 B 的特征向址 ，并求 B 的全部特征俏与特征向:lil:;
( l| ) 求矩阵 B.
斜 (l一 ）由 Aa ＝ 垃知 A"a = X'a．那么
JJa, = (A'' - 4A3 + E)a, = Aja, —4A:'a, +a, = （店 — 11入l + 1)”1—- 2”l
所以 “1 是矩阵 B 屈于特征俏µ1 =- 2 的特征向散．
类似地，若 Aa~ = 入?”; ．Aa·, ＝ 入303 ，有
应2 = （入~ - l入~ + 1 >a2 = a, . l虹 ＝ （入； - 4入1 + 1)a" = aJ
因此，矩阵 B 的特征俏为/1I=—2. µ, = µ., = 1.
= =
由矩阵 A 是对称矩阶知矩阵B 也是对称矩阵，设矩阵 B 屈于特征值/12 /13 1 的特征向
扯是 p = （上 ，巨 ，．1,1） 1 ．那么因为实对称矩阵特彻值不同时特征向狱相互正交 ，有
a『p =.m -.1 ; +．飞1 = ()
所以矩阵 B 屈千特征伯fl2 = /13 = 1 的线性无关的特征向拭是p乙＝ (l .l,()) l ,p1 = (- 1,o,1)i.
因而，矩阶B屈于特征值1.I.l =-2 的特征向毋是k1 (1, - 1. J）一1 .其中fq 是不为0 的任意常数．
矩阵 B 屈于特彻值µ, = /.l.:1 = ］的特彻向虽是忙 (1 ,1,0)1 十九(- l,0, 1)1 ，其中如，如是
• 240 •不全为 0 的任意常数
（ l| ） 巾肋I = - 2a1,B/J2 = P~.np, = /J飞 有 B 0)
其中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为－ 12.
(1) 求 a,b 的值．
(2) 利用正交变换将二次型 f化为标准形，井写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
份 (l) 二次型 J 的矩阵为
A- [~ ; }2]
设 A 的特征值为入，（i = 1,2,3)，由题设，有
入1 +入2 十入3=a+2+(-2)=1
入订＼认．3 =I A I= 2(-2a-b2) =-12
解得 a= I,b = 2（已知 b> 0).
(2) 由矩阵 A 的特征多项式
入一 1 0 -2 | -2
I 迂－A I= I 0 入－ 2 o I= （入－2) 入一 1 叶 21
-2
-2 0
入＋ 2
=
（入－ 2)2().+3)
得到 A 的特征值入1= 入2 = 2,).3 =-3.
对于入1= 入2 = 2，由(2E-A)x = O,
• 244 •[i2 -~2]
~一：厂 －. ~
[~
得到屈千入1 = 儿＝ 2 的线性无关的特征向挝 a1 = (0,1,0)T,a2 = (2,0,l)T.
对千入3 =-3,由（－ 3E -A - )x 4- = O 2 , - 2- -2- 00100,
0 1l
o 0 J- uJ o f 0 0
- -
得到屈
巾
于
千
入"3
,
__
a
-
,
2
”
3
3
什 勺
已 rl
特
似 ＝ -
们
两 （
1 ,
J
'
。
右
J 仅 · l
I
。
a
, 、丿 故 ， ； 只 Y
_
2 需
C
l
_
__ 单 立 5
,
, 1 l -
-
(
l
化 2
- 一 2
. .有 ，
)
0
i . _
． ) . v 3 __
l
－ ( l . 。 .. 2 )
丁
。
石
2 1
一 －
万 石
那么，令 P =Cr1,Y2 ,Y:i ) = ll 0 o I ，则 P 为正交矩阶，在IF交变换 X = Py 下，有
l 2
。 － 一
污 石
[
pTAP = P_,AP = 2 2 - 3]
二次型的标准形为 J = 2y; + 2A - 3y 主
巨量2004,4 蓬4 分） 二次型 J丘，立 ，．1飞） ＝口＋X2)2 + C.r2 - .r,)2 + (:r3 +.1、I)2 的秩
为
裕急 2.
蚝衬） 因为
J釭1 ,1i ,巳r,.) = 2式＋ 2式＋ 2点＋ 21.l石 — 21心？，十 2又．这1
二次型 「的矩阵是
［了 一；I ~
A 1]
=
=
易见秩 r(A) 2，故二次型的秩为 2.
二次型的正定
、
炉竺知气｝
阶绕正定的定义”'r:/x=i=- 0 必有 x,.Ax > O”设计的试题一般难度较大，考特征值（参看 2010
年数一试题） 、顺序主子式的考题是容易的．
回(1991 ，十题，6 分）考虑二次型
f = 忒 ＋ 4式＋ 4五十 2沁l、r2 - 2.r, :i:·_, + .1.1"2.l飞
• 245 •问入取何值时，J 为正定二次型．
豁二次型 J 的矩阵为
l 入一 1
［入 42
A =
- 1 2 4 ]
其顺序主子式为
1心＝ 入 I= 4 －入飞＝ I -4入十 8
b.1 = 1 A l=-42
入 4
正定的充分必要条件是
心＞ 0，心＝ （2 －入）（2 ＋入） > O,b.3 =-4（入一 1)（入＋2) > 0
解出其交集为(- 2,1)．故入 E <- 2,1) 时，J是正定二次型．
-（l992，十一题，6 分）设 A,B 分别为 m 阶，n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C=
：］是否为正定矩阵．
[;
@
（方法一） 因为 A,B 均为正定矩阵，故 AT =A，矿＝ B.
[;;
[;
CT= 盓订＝
那么 TB?]= ]=C
即 C是对称矩阵．
设 m+n 维列向扯zT = O
又因 B 是正定矩阵，故对任意 n 维向量 Y，恒有
YTBY~ 0
A OltX
~加）＝ XTAX 十YTBY>
于是 ZTCZ = (XT,YT)[~ 0
即 ZTCZ 是正定二次型，因此 C是正定矩阵．
（方法二） CT =C 同（方法一），略．
设 A 的特征值是入l ，从…，入m,B 的特征值是µ1,µ2,…，µ可． 由 A,B均正定，知入，＞ O,µi >
O(i=l,2,…,m,j = 1,2,…,n)．因为
IAE-Cl=l忠－A _o_ I I 忠－A I·| 忠－Bl
;.E B =
O 入且－B
= （入一一入1)··· （入一入，n)（入一µ1)••• （入一µn)
千是矩阵 C 的特征值为
入l ，入2'…，入m中I,µ2•…,µ“
因为 C 的特征值全大于 0，所以矩阵 C正定．
（方法三） C是实对称矩阵的证明同前．
因为 A,B 均是正定矩阵，故存在可逆矩阵 C1 与 C2 ，使
C[AC, = Em,Ci.BC2 = E.
°]=
那么 尸 °]T尸°]［c1 ]＝尸°]
[crAC1 °
0 C2J LO BJLO C2J L O C[.BC2J LO E.
• 246 •C1 0
且 = I Ci I • I C2 I # o
0 C:
心:)］与 F 合同故[~ ~]汗定
回(I的7．一（4) 题．3 分）若－．次氏1 .f（:r1,.rz ,.1_:, ) = 2.1f 十式 十r!, +2凸r2 +u·2.1_｛是庄
定的，则 l 的取俏范围是
烙｀庶桌 —迈 < l < 疫．
1斜，｀析 二次型 I 的矩阵为
-
?~ ll/0-/
1 _
A __ 2
0 _ 1
- 2
-
因为 I IE定 己A 的顺序主子式全大丁岑．义
2心 ＝ ~ ~ I - 卢
61 = = ] • D,3 = I A I = ]
故 J 正定 台l －卢＞立 即 一迈 < I ＜ 迈．
【评注） 本题若用配方法，有
1 \2
f = 2(X1 千 ） ＋ 沪＋矿 ＋ （l － 扣）式
=2外 ＋ 扫 ＋ （1 - 扛）沁
因此，J 正定 台p = 381 － 卢 ＞ 0.
1 0 1
m(l998.-t题．7 分）设矩IIi1 [ 0』 ，矩阵 B （KE +A); ．其中 k 为实数，E 为
A = 0 2 =
I O l
单位矩阶． 求对角矩阵 A．使 B 与A 相似.JI求 k 为何值时 ．B 为止定矩阵．
＼分析 rh于 B 是实对称矩阵 ．B 必可相似对角化，而对角矩1µ「 A 即巾 B 的特征值组成，只
要求出 B 的特征（但即知 A ，又因正定的充分必要条件是特征值全大 丁 0次的值亦可求出．
斜） ［h 千 A 是实对称矩阵，打
Br -［(I五 十 A)1]' = [(kE +A)T『= (lill + A)' = B
即 B 是实对称矩阵，故 B 必可相似对角化．
入 一 I O 1
i- 1 l 入E —.4 I= I o 入 － 2 o I= 入（入 — 2)~
- I 0 入 － l
可得到 A 的特征值是入1 ＝ 儿＝ 2．儿 ＝ 0.
那么，l~E A 的特征值是k +2.ll + 2.k.而（kE +A)？ 的特征值是(K + 2):.(K + 2)气I`
=[
B ~ A (K + 2)2 (K + 2)”
故
k'l
• 247 •因为矩阵B正定的充分必要条件是特征值全大千0，可见当 k#,-2且k#-0时，矩阵B正定．
瞿量1999，十题，7 分）设A 为mXn 实矩阵，E为n 阶单位矩阵，已知矩阵B ＝ m+ATA,
试证：当入＞0 时矩阵 B 为正定矩阵．
句因为 BT= （IB+ATA)T=AE+ATA =B，所以 B是n 阶实对称矩阵．构造二次型
xTBx，那么
xTBx = xT（灶＋ATA)x
＝杠Tx+xTATAx ＝杠:Tx+ (Ax)T(Ax)
Vx# 0，恒有 XTX > O,(Ax)．「(Ax)~ o. 因此，当入＞ 0 时， Vx#0，有
xTBx ＝杠参「x+ (Ax)'r(Ax) > 0
二次型为正定二次型．故 B 为正定矩阵．
1111(2000，十题，9 分）设有 n 元实二次型
f亿，立，…，工，，） =(x1 +a1.r2)2 +伍＋a江3)2 +… +(x.-1 + a.-1工．）2+(x.+a.x1)2
其中a;(i=l,2,…,n) 为实数试问：当a1,“2,…,““满足何种条件时，二次型f（工1 ，立，…，工．）
为正定二次型．
铩）由已知条件知，对任意的工口立，…，立，恒有
f(x1 ，立，…，工，,) ~ 0
其中等号 f=O 成立的充分必要条件是
工1 +a心2 = 0
工2 +a江3=0
(1)
工,,_1 + a.-1工，，＝ 0
x“+a占~1 = 0
根据正定的定义，只要 X =/= 0，恒有 XTAx > 0，则 XTAx 是正定二次型．为此，只要方程组
(1) 仅有零解，就必有当 X=/=0时，工1+a心2,x2+a2立，…必不全为0，从而f(x1 ，立，…，xn)>
趴亦即 J是正定二次型．
而方程组(1) 只有零解的充分必要条件是系数行列式
1 a1 0 … 0 0
a
。 1 2 。 。
0 0 l 0
。
… … … …
= 1 + (- 1)叶1a1 a2 ···a. =I= 0
0 0 O 1
a.--1
。 。 。 1
. a”
即当归2…a,. =I= (- 1)" 时，二次型 J
B y1 0
所以矩阵 B - CrA 1c正定．
【评注】 对于抽象的二次型其正定性的判断往往要考虑用定义法，另外不应忘记首先
要检验矩阵的对称性．本题考的较差，难度系数仅 0. 259.
三、合同矩阵
仁五呻点｝
不是重点、填空、选择为主
A :::::: B已加 ＝ pB,qA = q”
通过什么来确定正、负惯性指数？特征值！有时也可用配方法．
注意相似与合同的联系和区别． l[
0 1 0 0
［、:1
m(l996，九题，8 分）设矩阵 A = :]
(l) 已知 A 的一个特征值为 3，试求 y.
(2) 求可逆矩阵 P，使（AP)T(AP) 为对角矩阵．
~ ) (])囚为入＝ 3 是 A 的特征值，故
3 - 1 0 。
- 1 3 0
I 3E-A I= 。
0 0 3-y -1
0 0 - 1 l
-1
= 1 3 - l . I 3 - .y = 8(2 — y) = 0
- 1 3 I I -1 1
所以 y = 2.
= :=
(2) 由于心＝ A，要使(AP)T(AP) p1、A2P A，而
:]
A2 = [;;
• 249 •是对称矩阵，故可构造二次型 x,.A2x，将其化为标准形 yTAy. 即有A2 与 A 合同． 亦即 pTA2P = A.
由于 xTAz x =式十式＋ 5式＋ 5．讨 ＋ 8:r:江1
＝ 式十式＋ 5(让＋宁、1义，1 ＋ 髻）＋ 5式 — 启
＝叶 ＋ 式 ＋ 5(X1 + 卢 ）2 ＋妇
4
那么，令 YI ＝工1 •Yz =立 ,YJ = X3 +－ 5 工 ： 心1 ＝工1,即经坐标变换
-- -l 。 。 。 --
x ooo O lO -Y
l 。 l
工23__ 4-5 y
工 00
工 t
y
I - 1 斗 J
有 XT A2X = yf 十兑＋ 5y~ ＋ 扣
00 00
。
000
4
所以，取 P = 00 -5
1
。
5
有 (AP)T(AP) = p「A2P =
9-5
＂卧1997，二（4) 题，3 分）设 A,B 为同阶可逆矩阵，则
(A)AB = BA. (B) 存在可逆矩阵 P，使 P－IAP = B.
(C) 存在可逆矩阵 C，使 C1、AC = B. (D) 存在可逆矩阵 P 和Q．使 PAQ = B.
吞二 D.
扫 矩阵乘法没有交换律，故（A）不正确
两个可逆矩阵不一定相似，因为特征值可以不一样． 故(B) 不正确．
两个可逆矩阵所对应的二次型的正、负惯性指数可以不同，因而不一定合同． 例如
~］与 B = ［一。1 勹
A=[~
既不相似也不合同．
A 与 B 等价，即 A 经初等变换可得到 B ， 即有初等矩阵 P1,P2 ,… ，Q1,Q2 ,…，使
P,···P2P1AQ1Q2…Q, = B
亦即有可逆矩阵 P 和 Q 使 PAQ = B.
另一方面，A 与 B 等价 {=},-(A) = r(B) ，从而知(D) 正确． 故应选(D).
m<200] ，十题，8 分）设A 为n 阶实对称矩阵，r(A) = n，凡 是A = （a,J压，， 中元素（L,, 的
代数余子式(i,j = l,2.… ,n)． 二次型
2" 2" A,J
f亿，石，… ，立一”) =
,-1 1-1 I A I 工；工
• 250 •（］）记入 ＝ (1 1 `I . ·…. r,＇）T 把／(r 1,.r, .…. l，』 ）写成矩1;｛形式、并iil明二次刑 f(x) 的矩阵为 A-1 ;
(2) 一次刑 .1-!'(x) = 对心与 ．f(入） 的规范形从否相同，说明押巾．
分析如果 f（入） ＝ 人1心． 丿－［中 A 足灾对称矩阵那么 x·1心 就足二次氏I, r(x) 的矩阵表
示，为此／如如1凶义和号的含义．两个二次）i') 如果，I-巨L负惯性指数相同 ．它们的规范形就一样 ，反
之亦然而根剒惯性定理，经坐标变换二次刑的正负惯性指数不变，囚血规池形相同．
奸 111千
”
?
f ( A、 . I 令
1
. " .. j ,, ) __ ' 2 “
L\
A , I 1 .. l 1
1 - t \ AAA ---- -
__ (
·
~. .. ? ·,, ) lA .' L \ •
l
、 J ••
l l
·7~
1
2
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介
A
八
l
f}
'',,
工 ．
X
••
l
•
2
』
r
-八 矗” l , , A' "~ ,, -
因为 r(A) = 11．优l 4 可逆，又囚 A 是实对称的，有
(A l ) 1 = （A「)-l = A I
A.
得知 ，\ I =—— 是实对称矩阵 ．1兄 A 、是对称的，故二次剧 （（．r) 的知阶是 A-1 .
I A I
(2) 经怅标父换 ．｀ ＝ A ' y.有
如x) = x'心 ＝ （A l y ) rA(A i y )
= .v1 (4 l l ' y ＝ 卢 ＇y = f( y)
即，g(x) 与 I(．r) 介相同的规范形． - - -l -
田(2OO7.8 题．4 分）设矩I~「 A = ［- 2 l - 2 - 咖 4. B __ OO l, , ) ' _ , ' ` , ),' . ) L / 、 ` ”“ , A 与 B
(J\) 合同I1相似
- I - (B()D
合 既
2 )
百
-
］．、 ｛ 合 , 且才 同 ． 、 ．.
4 l I
似
III _. .
,
_
1
', i
(C） 不f「同．但相似． 才 4． 、 ·』 以
答点 I!,.
:d,,
斜析 根据柜似的必要条件 : ＝ 互：h, 易见 A 和B 徇；L才、相似 ． 由此可排除(A) 与
(C)． 而合同的充分必要条ftl是有相同的正惯性指数 、 负惯性指数为此可以用特征俏加以判
断． 巾
入 — 2 I I 入入 入
I 肋 — A I= j 1 入 一 2 I j = I l 入－ 2 l － 入（入 — 3):
I l 入 一 2 I 11 1 入 一， 2
知矩阵 A 的特征值为 3,3,0. 故二次印矿心的正惯性指数 /J = 2．负惯冈指数 q = 0. i(ll=
次型．｀J－Bx 的汗惯性指数亦为 /1 = 2、负1,VWI指奻 q = 0，所以 A 1-:j B 合1五］．故应选(B)．
【评注】 实对称矩阵A 和B 相似 ． 则 A 和 B 必合同，（因为 A ~ 1)::::;>入＇， ＝ 入，严汀IA= p/J '
(/,` = （／I产A ~ B) 但合同不一定相似，一般情况通过特征值来判 断合同是方便的．
I 2
肛趴2008.6 题 ．4 分）设 A = 1. －卜则在实数域 上与 A 合同的矩阵为
2 I
[—
(A) 12 - 12 (i1)[—21 -21]
25 ] •(C)[~ ~].
2 了］
(D) [~
§ 。.
扫 A与B 合同 已XTAx 与xTBx 有相同的正惯性指数，及相同的负惯性指数．而正（负）
惯性指数的问题可由特征值的正（负）来决定．因为
入一 1 - 2
I 壮 －A |= = （入 一 3)（入十 1) = 0
- 2 入 － l
故 p = l,q = l.
入 一 ］ 2
本题中(D) 之矩阵，特征值为 = (;.-3)（入＋ 1) = 0，故 p = l,q = 1.
2 入 一 ］
所以选(D).
[1 1
【评注） 本题的矩阵 A= 2]不仅和矩阵[ - 2]合同，而且它们也相似，因为
2 lJ'. . L- 2 1
3
它们都和对角矩阵［ -1]相似．
有志者，亭免成。
—《后汉书》
L
• 252 •第三部分 概率论与数理统计
第 一 章 随机事件和概率
炉…，口
本章是概率论与数理统计的基础．近几年单独出本章的考题较少，平均 2~3年一个小题，
大多作为基本知识点出现在后面各章的考题中，考生应该将本章有关的重点的基本概念、基本
理论和基本方法理解透彻和熟练掌握．
t过呾沪｝
本章的考题大多是选择题或填空题，考查重点有事件的关系和运算、概率的性质、概率的五
大公式（加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式）、古典概型和伯努利概型．
一部分考生对古典概型中的难题感到困惑．其实考试大纲对古典概型和几何概型的要求
是只要会计算一般难度的题型就可以，不必刻意去做各种复杂的题．
本章的选择题或填空题一般会综合 3~4 个考点，计算蜇不太大．
仁五涟匠｝
一、事件关系，概率性质和五大公式
厦眉(1987，二（5）题，2 分）若两事件 A 和 B 同时出现的概率 P(AB) = 0，则
(A)A 和 B 不相容（互斥）． （B)AB 是不可能事件．
(C)AB 未必是不可能事件． (D)PCA) = 0 或 PCB) = 0.
钰 C.
扫 PCAB)=O概率是不能得到事件的结论，所以(A) ，（B) 不可能．例如，X 为正态分
布随机变批，X~NCO,l).A:"工娑0”,B:“.1、~ O",AB ：｀互＝ O". 显然，P(AB) = P位＝ O} =
1
UP(A) = P(B) = -
2.
匮量1987，十二题，8 分）假设有两箱同种零件：第一箱内装 50件，其中 LO件一等品；第＿
箱内装 30件，其中 18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零件
（取出的零件均不放回）． 试求：
(1) 先取出的零件是一等品的概率 p;
• 253 •(2) 在先取出的零件是一等品的条件下 ，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率 q.
＠ 设事件 B， 为第i 次取出的零件是一等品(i= l,2)． 事件A 为被挑出的是第一箱，A 与
-1
六构成一个Q 的完备事件组，且 P(A) = P（六） =
2 ·
(1) 应用全概率公式，知
=
p = P(Bl ) P(Bl I A)P(A) + P(Bi l 冗）P（页） ＝器 · 卡彗 · 申 ＝卓
(2) 设事件 C 为先取的零件是一等品的条件下 ，再取出的零件仍是一等品 ，则
q = P
m 3} ＝曰勹
2
令 Y 是三次独立观测中 X 的观测值大千 3 的次数，则 Y ~ B(3，了）．故所求概率为
+
P{Y ~ 2} = P{Y = 2} P{Y = 3)
c~ （打(½)+ （打＝詈
=
IEl
，
扣） ＝［s;n 王<
王 ,
I, 2
2
则 A =_,P{ l x | ＜们＝．
l
1 ; _2 .
扫 F(x) 是右连续的，F（奇）＝ Asin 牙＝ A,而 limF（心＝ 1，故 A = l.
X－王＿
½
叶 I X l< f } =P{－詈 < X < f}= F行）－ F(-f)= —
Asin f 0 =
匡量1990，十一题，7 分）某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似正态分
布，平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的 2. 3% ，试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分
之间的概率．
［附表］（表中的中(.r) 是标准正态分布函数）．
.r I O 0. 5 1. 0 1. 5 2. 0 2. 5 3. 0
中(:r)I o.soo o.692 o. 841 o. 933 o.977 o. 994 o. 999
＠ 设 X 为考生的外语成绩，则 X ~ NC72,(J勹． 根据题给 P{X > 96} = 0. 023.
0.023=P{X > 96} = l - P{X ,::;;; 96}
X - 72 ~ 96 - 72
= l-P{7 ,::;;; (J }
=l — P{ x : 72 勹｝ ＝ 1 －叫弓）
即中卢） ＝ 0.97兀查表得纽＝ 2,a = 12，即 X ~ N(72,12勹 ，
(J (J
I
现求 P{60 < x < 84} = P{60- 72 < X-72 < 84 - 72 ｝ ＝中(1) 一 中(— 1)
12 12 --._ 12
—
= 2l9.6}= P{ 节＞悍｝＝ P{ ＼了 ＞ 1． 96}
X - O X - 0
=P{~<-l. 96}+P｛飞厂＞ 1. 96}
/J = 2中(- 1.96) = 0.05
设 Y为 100 次独立重复测量中事件( I X I> 19. 6} 出现的次数，则 Y服从参数为11 = 100,
~
p = 0, 05 的二项分布，Y BClOO,0. 05)． 所求概率
• 263 •a = P {Y ~3} = 1- P {Y <3} = 1 - (1 - p严 － C妯p(l — p)99 - Cfo。矿(1 _ p)98
由泊松定理知 Y 近似服从参数为入＝ 11/1 = l 00 • 0. 05 = 5 的泊松分布．
入2 25
a~ 1- c-入 （1+入 十 了） ＝ I - c-5 (1 + 5 ＋寸＝ 1 - 0. 007 X 185 ~ 0. 17
【评注】 原题没有给出 q;J(-1. 96) = 0. 025，要求背 出，a 的值写出表达式即可．
m(l993，二（5）题，3 分）设随机变扯 X 的密度函数为 I} 就是{N(t) = 0} ， 即两次故蹄间故障次数 N(t) = 0．所以 l 多 0 时，
()J)0
FCt) = P{T ~t} = 1-P{T > t} = 1- P{N(t) =O} = 1 —尸＝ 1-e气
O!
o,
总之 F(i) 1 - e动 ， t ~
= { < T 服从参数为入的指数分布．
O, t 0,
C2 ) Q = P { T ~ 16 I T ~ 8} = P { T ~ 8} = e-8勹这用了指数分布的两个性质：
(DP{ T 多、十 t l T ~ t)= P{T~ 寸，s>O,t >O
® P{T > I}= e气
m(1994，一（5) 题，3 分）设随机变址 X 的概率密度为
2-l..,O<.r < l'
f( .r) = { o,
其他
1
以 Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件 {x ~了｝ 出现的次数，则 P(Y = 2} =
• 264 •答孚 鸟．
(i,1
}
斜 析 巾f| {X 冬 +} 1/1'I的概率 P{X 委 ; = jJ. / (t ) (l l = j．上 加(I ] = — 4 ] .
0) - - - -
＼服从二项分M 13 (3.十） ． p \ = 2 } = l （十） （！ — +) =卢
m(l995 ．二（5) 题 `:)分）设随机变吊 X 服从仆在分布 ＼I(，／A.6 ) ．则随着 a 的增大 ． 概f'
<
P{ | X - /' | 6}
(/\)单叫c增 大． (I~) 中说I减小． （（＇）保从不变． （ ［）） 培减不定，
答哀
奸 析 X ~\J((＂了） ．三~ :\J(0. I),
lJ ·: I X - µ ＜ 矿 ＝ I ) ! | 二/!. < l l ＝ 中（ l ) — 扣－ l ).
1 6 /
匡I< t 99礼十一题，7 分） fl员戊随机变 吊 X 的绝对伯小大丁 l ; l只 ．＼ ＝－ I } = 上 .P{ X =
8
l } =- 』；｛.「中件{— I < X -< 1 } 出现的条件卜，X h (— l .」) 内的打 一千l.x间上取值的条什概
牛 ＇了该千区间长度成正 1七． 试求 ．X 的分布闲数．
斜 X 的绝对值不大 l l ．所以 `r <-1 时 F<.r) = O,.l 娑 1 II寸 卜(J·) = 1.
I) l,\ = - l \ = ; l听L丿 I(— I) =卡 .Pl X = I ＝ 十·｝Vr以
1 3 l l -
limFC.rl = I ~ = — ,F{- 1 X < J} = 1—- － 一 —一 ｀勹
' , I '1 4 ·::::: 8 4 8
打 X 的值屈于(- 1.1 ) 的条(41: ，半件{- 1 < X 冬 r}(- l < X < I) 的条件概率为
p:- | < X 冬 l — l <. .\ < I ) ＝ 气
十足对r -1< .飞 < j . 介
P{- l < X 冬．1} = I勺－ l ＜：：：： X 冬 r. - l ．之： x .< 1}
= /' { I < X < l } P { - l .二了 X 冬 .1 1- 1 < X 了 ] }
+ +
5 l 1 5 1 5
=— • - =
8 2 16
+7
F(、．r) = [) ｛入 ．、二－ 1 1 + P1- I ·-:. .＼俨 ．乏~ r} =+] +1 : ~ i1 十一 了 = 51
8 . l(i ]6
r < - l .
总之 F(?） .j( ).
= L i _ - 7 - l 冬； 1 < l.
16 ·
l . l 炙 ．1 ．
l
【评注］ 本题 F(、7.) 实质就是在 1_·=- 1 处有一 的跳跃．
8
= ]
在 ．r 1 处有一的跳跃．
4 .`.
在(- 1 ,1) 内 均匀分布 ．如图．
• 26:i •m(l998，二（5）题，3 分）设 F心）与 F2釭）分别为随机变揽 X1 与凡的分布函数．为使
F(.T) = aF1( .1)- bF2(_1-)
是某一随机变蜇的分布函数，在下列给定的各组数值中应取
3 2 2 2 1 3 1 3
CA)a =—,b=- —.(B)a = - ,I) =—. (C)a=—— b= —-. (D)a = ~.b =— 一
5 5 3 3 2'2 2 2.
A.
`、
畛 F(x) 是分布函数，必有 F(+ = ) = l = aF 1( + oo) - b凡（＋oo)=a-b，即 a -
b = 1 ，只有 A 满足
＂卧2000，一（4）题，3 分）设随机变扯 X 的概率密度为
卢）＝ 1i:: : ；二
o,
其他
2
若 k 使得 P{X 娑 k} = ，则 k 的取值范围是
3
[1.3].
I
2
十'··-
“ P{X?>k K)} = I J(x)釭＝ 一， l ~ k ~ 3 成立．
3
K
m(2003，十一题，13 分）设随机变扯 X 的概率密度为
{3 归上 E[l,8]，
J(x) =
0, 其他
F（工）是 X 的分布函数求随机变拭 Y = F(X) 的分布函数
.,·
＠ 先求出 F(x),F(x) = f 四）d工．
一，.＂
当 、r < I 时，F 比｝ ＝ a. 若P{I X l :d = P{X ? 习＝ 1 - a,.r = u宁·
2 2
1E1<2006, 14 题，4 分）设随机变扯 X服从正态分布 N(µ1 忒），Y服从正态分布 N(µ2 忒） ，
且
P { I x - µ1 I < 1 l > P { I Y - µ2 I < I }
则必有
> >
(A)u1 < u2. (B)61 62. (C如 < µz. (0)µ1 µz.
A.
、、
＂ 由于 X 与 Y 的分布不同，不能直接判断 P{ I X-µ1 I< 1 } 和 P{ I Y - µ2 I < 1 } 的
大小与参数的关系，如果将其标准化，就可以方便地比较．
P仆三曰｝．
P{I X - µ, I< l } =
随机变擞芷二生～ N(O,l汃且其概率密度函数是偶函数． 故
111
叶气叫三｝＝ 2P尸 气气 ｝＝ 2[心）一
因为 0位）是单调增加函数，当 P{ I X- µ, I< l ) P{ I Y- µz I< 1} 时，
｀卢）－ 1 ＞五）－
l
1
即中仁）＞ 中吐） ，所以［ 三，即 rJ1 <
rJ2
答案应选(A).
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
r - －勹
学扣不足，业扑才ft,.
——韩愈
L l
• 267 •第 三章 多维随机变 星 的分布
呻
本章是概率论的重点之一，也是每年必考的内容，且往往是解答题． 尤其要汪 意 0 二维随
机变量 的 函数 Z = g(X,Y) 的分布函数 凡（心的求法 ；＠ 二维随机变位(X,Y) 的两个分蜇之
间的关系，包括 X 与 Y 的相互独立的条件及不独立时的条件，概率分布和条件概率密度等，都
是这几年常考的内容．
炉空虚点｝
试题一般只涉及二维随机变屈，很少涉及三维随机变址的悄况．
在涉及二维离散型随机变员的题中，常要考生自已建立分布，计算边缘分布、条件分布．在
涉及二维连续型随机变蓝的题中，常要考生熟练地应用二重积分和二次积分来计狩边缘密度、
条件密度
独立性及不相关性是一对重要概念，考生要掌握它们的关系及判定方法，特别是对二维正
态分布及其参数做独立性和不相关性的判定．
对二维均匀分布，密度函数是常数，如何判定该常数，以及在积分时如何利用这一特性，考
生应予以充分注意．
｛歹口
一、 (X,Y) 的概率分布， X 与 Y 相互独立性
..( 1990，二（5) 题，3 分）设随机变扯 X 和 Y 相互独立，其概率分布为
111 | - 1 1 m - 1
1 1 1 1
P{X = m} P{Y = ml
2 2 2 2
则下列式子正确的是
(A)X = Y. O. l} = 1-FxCO. l).
同样，P{Y >O.l } = 1-FrCO,l).
经/ ； （l ）凡(J·) ＝ F(．T， 十o.:,) = { I - 。 c ''· :.. ． - 0 - 0. ．， 其 全 他 0 ＝ f 1- 。 e九 ， :.., . 又．娑 0,
{
其他
同理 Fy(y) = { 1 - e一1'；， ． .)I 多 0.
o.
其他
显然 F(.1.:,y) = Fx C.1.)凡(y) .X,Y 相互独立．
(2)a = P{X > 0. J, Y > o. I} = P{X > 0. I }P!Y > 0. I}
= [1 —FxCO. D][l - F1-(0. I)]= c一11(', e一11,1,·, = C-,J.10
【评注】 本题也可用 (X,Y),X 和 Y 的密度函数 f(x,y) ，八（心和 jy(y) 来求．
(l)j(.x,y) ＝八(x)fy(y);
=厂厂f(:r，y)扛dy.
(2)a
O. I J O. I
匡量1992，十四题，4 分）设二绯助机变扯(X.Y) 的概率密度为
<
e `', 0 < .r y,
/Cr,y) = {
O, 其他
(I) 求陆机变桩 X 的密度 j＼釭） ；
(u) 求概率 P{X +Y < I }.
y
={
@ (\)人(.1·)= I I.(J ,y)dy j e vdy, T > 0,
<
o, .1· 0.
>
c-' ' .i- 0
fx(x) = { J· <
0, o t
jJ
X
l,y > l 时，F（工飞y) = 1.
(4) 对工＞ l,O ~ y~l,有 F(x,y) = P{X ~ l,Y ~ y} = y气
(5) 对 y > l,O~x~l，有 F（.2..，y) = P{X ~ x,Y~ l} ＝式
@
(X,Y) 的分布函数
O, x < 0 或 y
l o, j i,
的取l,••·.x，概率必为双．所以 P{X ｛卢
= 1,Y = ] } = ．且II
j ~ i.
• 271 •'
＼户
,} ·
`)
) 」.
oo 1
() ()
-Jl-4
, l l
·} -8 -8 O
1 ll l-12
“ Jj -2 -? 0
1 1 1 1-
l- 6 ll 6 1-6 -1 6 4
故 I环Y = 2 } =
-I
+
. -I
I -
I
= —
J:-l
8 l 2 16 ! 8.
配置(20(），了．6 题 ．1 分）设＿gii-1分0机变昂（ ＼勹Y) 的概率分布为
\ \\.
\l 。
0. -1 u
()
h
0. l
若随机小针(X = O1 1: H X + Y = I) +1I I 1独立，则 u = ,b = .
烙｀｀枭 0. 11.0. I.
奸析， 显然．o. ,J -1-a + h \-o. I = I . 可知 a +h = 0. 5,再巾事件{X= 0} 和{X -1- Y = l
相可独亨可以求出 ll.f人
（方法一） 山独 1,［卜|IIl IJ、~l l环 X = o. X -\ Y = I 1 = P { X = 0} P { X + Y = l} , 1/11
P { X = o. X + )' = I } = /'{ X = o. Y = l } = a
P{X = O} = /'{.\ = o.Y = Or + I'{X = O.Y = l} = 0. t + a
P{ X .. Y = I:- = /1: X = O.)" = I}+ P{ X = I. Y = 0} = a + h = 0. S
代入独立~I等式 ．得 a = (0. -I-\ a) >-- 0. j .)(1/（得 a = 0. -I .再由 a + b = 0. 5.得 b = o. 1.
答案应打(u = 0.,I./1 =fl.I.
（方法二） 如果把独 ,/-~I则韶为
J> I .\ ～1- Y = l ] X =O} = P{ X －卜 Y = 1 }
即 P{Y = l I X. = o} = P { X + Y = l } = a + b = o. 5
所以 JJ : Y = o I X = o, = 1 — PiY = l l X= Or = 0.5
tW Pl.\ = I I X = O) = Pff =OI X =0}= 0.5
从j(1j P: X = 11.)' = I. = P、( .\ =0.Y = O}
即 ll = 0. ,.J ． 义囚 <1 + /J = 0.,)． 得/, = (I. J.
答案应Jj'[ u = o. ·I./J = 0. l.
【评注】 也可以把本题的独立性理解成下列各式中任一个：
(] )P{X = O,X + Y=t: l } = P{X = O}P{X+ Y,t: U ;
C2)P{X = L.X+ Y = I}= P(X = 1}P{X+ Y = 1} ;
(3)P{X+ Y = I I X = 1} = P{X+ Y = 1}.
各有相应的解法．
• 272 •0<2006.5 题．4 分）设随机变lI! X 与 Y 相互独)y ．月均服从区间[0,3] 「的均匀分布．
则 P{max{X,Y} 冬 ] } =
1
答孚
、 一9 ．
斜析本题考查均匀分布，两个随机变址的独立性和它们的简单函数的分布，
巾件{max{ X, Y} 冬 l }=(X < l.Y 乓 l } = {X < l } 门 { Y < 1} ，义根拟 X,Y 相互独立，
l
均服从均匀分布，可以且桵写出 P{X 冬 1 } ＝丁·
`j
P{max{X,Y} 冬 1 ) = P1 X 冬 l.Y < I }
-l l -l
= P{X ~U P{Y 冬 1 } = 3 X — 3 = 9 .
肛!)<2007,10 题 ．1 分）设随机变扯(X.Y) 服从二维d态分布 ．且 X 与 Y 小相关．八(I) ．
j1 (.y) 分别表示 X.Y 的概午密度，则打 Y = y 的条什下 ，X 的条什概率密度 fx1r(今rly) 为
(D) ．八(3)
(A) j, (.~I). (B)J\ (y). ((:) / \ (1) / \ (y). j l (.y).
答哀 A.
斜析二纠正态分，（叫油机变队(X.Y) 中， X 与 Y 的独立笘价千 X 与 Y 不相义．而对任岛
两肋机变尬 X 与 Y，如果它们相互独立，则4i / (t,y) = I\ (1)人(y).
根肌条件概率密度的定义，当在 Y = y 的条件下，如果 Il(y) ＃趴则
I \ l (r | y) = / (l. v) =.f \ (}) / l (y) = j \ (.t)
j) (y) j ) (y)
现 f}(y）显然不为（）．闪此 I\)G | .y) = j\ （1)． 答案应选(A)．
【评注】 因为 X,Y 不相关，（X,Y) 又服从二维正态分布，故 X与 Y相互独立， 直观上考
I
虑 Y 的取值不影响 X 的取值，所以 /x1r (.1.· Y) ＝八(.i:-).
对于不要求解题过程的选择题以上分析也是一种好方法．
m(2008.7 题 ．l 分）设 随机变州 X.Y 独立同分伈 ． 且 X 的分｛h 面数为 F(.1） ． 则
Z = max{X,Y) 的分{µ函数为
C/ \ ) F1 (:i-). (B) F (l) [..-(y).
CC).I - [ 1 - F(.1)千． (D) [ l - F(1) ][ l —F(y)].
答点 A.
斜析随机变阰 Z = max(X.Y) 的分布函数 F八l) 应为 F/（r) = P忆伈三 ．1} ． 由此定义
不难拊出 F／口）．
凡C.1) = P(Z 冬 ，d = Pi max(X,Y) 冬 r) = P{ X 冬 ，．Y 冬～1}
= P{X ~ ,}P!Y 炙叶 ＝ FG) F(.I) = F2U ).
故答案应选(/\).
【评注】 不难验证(B) 选项中．F(:r) F(y) 恰是二维随机变量(X,Y) 的分布函数．
(C) 选项中，1 —[1 -F(.1）了 是随机变觉 min (X,Y) 的分布函数．（D) 选项中 ，［l —F(x)][l
- F(y)] 本身不是分布函数，因它不满足分布函数的充要条件．
• 273 •二维随机变量的函数 Z = g (X, Y ) 的分布
、
＂褂1994 ，十一越8 分）假设随机变批 X1,X2 ,XJ ，凡相互独立．且同分布． P{X;=O} =
0. 6,P{X, = l} = O. 4(i = 1.2,3,4).
求行列式 X = I 入勹
X2
的概率分布
X:i X1
@
X =X丸－ X2凡，故 P{X丸 ＝ 1} = P{X1 = l.X.1 = 1} = P{X1 = 1 }P{X, = l}
= 0. 16.
XIX1 。 1
所以 p
0.84 0. 16
X2X1 I o
同理 p
0.81 0. 16
X = X1X1 - X2X) ,X 可能取值为 一 ］，0. l．且 X,X.1 与 X2凡是相互独立．
P{X=—l} = P(X1X., —凡X1 =- 1} = P(X,X1 = O,X2X:1 = 1l
= P{X1X1 = O}P{X2X.1 = l} = 0. 84 X 0. 16 = 0.13H.
P(X = 1} = P{X1X.1 - X2X:1 = 1} = P (X1X.1 = l.X2X:1 = 0} 这与 P{X =- 1} 悄况
对称，故 P{X =- I} = P{ X = l}
P{X = O} = I - 2 X 0. 13'1'1 = 0. 7312
总之
X - l 。
P I o. l:3<14 o. 7312 o. 1344
Ill(1999，十一题，9 分）假设二维随机变批(X,Y) 在矩形 C = ｛位，y) Io~.1~2,0~
y ~ l } 上服从均匀分布．记
{°.x <
u = {~: X < Y, V = > 2Y,
1, X > Y; 1, X 2Y
y
(])求 U 和 V 的联合分布；
(2) 求 U 和 V 的相关系数P.
＠ 由题设可得
< l l < < l x
P{X Y} = -;-,P{X > 2Y} = ~.P{Y X 2Y} = -;-.
4 2 4
(l)(U,V) 有四个可能取值(0,0) .(0.1),(l,0),(1,1).
< < < 1
P { U = O, V = o} = P { X Y, X 2Y} = P { X Y) =—,
4
P{U = O,V = l} = P{X ¾ Y,X > 2Y} = O,
P{U = 1,V=O) = P{X > Y,X 冬 2¥) = P{Y < X ¾ 2Y} =— 1 ,
4
• 274 •1
P{U = l,V = l }= l- 行＋0 + 十） ＝ 告
或者
\
。 1
I I
。 。
4 4
1 1 3
1
4 2 4
1 1
2 2
=
Cov(U, V) E(UV) - E(U), E(V)
(2)P =
J J J J
3 l 3 3 l l l l
显然 E
= 0. 3P(Y ~ u - l I X I}+ 0. 7 (Y,s; u - 2 [ X = 2}
巾千 X 和 Y 独立 ，所以
—
G(u) = 0. 3P{Y ~ u 1} + o. 7P(Y ~ u- 2} = 0. 3F(u- l) + o. 7FCu- 2)
由此，得 U 的概率密度
g(u) = G1C11) = 0. 3F1(u - 1) + o. 7F气u - 2) = 0.3J(u - l)+0.7f(u-2)
“量2005.22 题，13 分）设二维阶机变址(X,Y) 的概率密度为
]. 0 < x < 1,0 < y ＜ 加；
J (~1,y) = {
0, 其他
求(I)（X,Y) 的边缘概率密度八(.1·) ．八(y);
， ly,~其-~他.T < l ｛。2.1，.,其o <他．`r < l,
=
f\ (y) =
j'
.I. (1:,y)
d工·
= {f: d.l,
其O<他y < 2=j
{
l -f• 其O他< ．y < 2,
o. 0,
• 276 •（ JJ ） 当 z~O 时，Fz位）＝ O;
当 O ,
当 z~ 2 时，Fz(z) = 1.
{
< <
儿（乏） 1- 亨· 0 z 2,
= :
所以
o,
其他
I t
( ill )P{X ¾ 卓｝ - I/ 八（父）釭＝
2xd.r =
I:
J
叫X 气， 1 y~ 甘＝ 』 .f(.r,y)d.rdy = J~ dy』寺dx ＝立16
_/C.r,y)d.rdy =
J' 2Y归
（ Il ）求 Z = X+Y 的概率密度几(z).
釭 本题考查二维随机变盘相关事件的概率和两个随机变虽简单函数的分布
计算 P{X > ZY} 可用公式 II
P{X > 2Y} = f亿y)心dy
.,·>2s
求 Z= X + Y 的概率密度 几(z) ，可用两个随机变址和的概率密度的一般公式求解．
厂
I_
儿(z) = I / (z —y,y)dy = I －人 f位，z —又.)cl丑．
• 277 •y
此公式简单，但讨论具体的积分上下限会较复杂 ．
另一种方法可用定义先求出
凡(z) = P{Z~z) = P{X + Y ~z}
=
然后 fz(z) F仅z). 1
II
® -2
(I)P{ X > ZY} = I (.r,y)dxdy
IrI> 2y
= (2 -x - y)d.,_·dy
x
。
［叫扣(2-i·- y)dy
=
L
= (x - 于心2 )如 ＝五
> o.
其中 D 为区域： 1 ＞｀亡＞ 2y
（ II ）（方法一） 根据两个随机变县和的概率密度的一般公式有
fz位） ＝厂J釭，之一 .r)d.r
先考虑被积函数 f(mz-.r） 中第一个自变扯工的变化范围，根据题设条件只有当 O<.1－
z 2 时，由千 O< 工＜ 1,故 之一工＞ l ，所以儿（之） = 0． 总之，
O
0,
y~O
1
求随机变盘 Z= —的数学期望 E(Z).
Y
~
E停）＝ 「 乌(y)dy =订 e古dy ＝ 臼 E,e子dy
斜 E(Z) =
y a心。拉(1 - .， 尽(1
2
显然 e一言 是正态分布 N(O，矿）的概率密度函数，其积分应为 l ，所以 E(Z) ＝立在．
1
亭a 2ci
匮量1989，十题，7 分）已知随机变扭 X 和 Y 的联合密度为
e一（叶” , O < .T < + = ,O-』如·
r< .Y ½
= [ ' e-yo - e-v)dy =
• 281 •（方法二） 因 f(x,y) = {e 一（五 ， 工＞ 0,y > 0. J丘y) 关千工飞 y 是对称的．
o,
其他
故 P{X < Y} = P{Y < X} = P{Y ~ X} = 1- P{X < Y)
1
即 2P{X:,
X,Y 相互独立，ECXY) = E(X)E(Y) = 1 • 1 = 1.
匮量1991，二（5) 题，3 分）对任意两个随机变扯 X 和 Y，若 E(XY) = E(X) • E(Y) ，则
(A)D(XY) = D(X) • D(Y). (B)D(X + Y) = D(X) + D(Y).
(C)X 与 Y 独立． （D)X 与 Y 不独立．
钰 B.
归 DCX+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)
= D(X) + D(Y) + 2(E(XY) - E(X) • E(Y)) = D(X) + D(Y).
匮量1992，十三题，5 分）一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概
率相应为 o. 10,0. 20 和 0.30． 假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，
试求 X 的概率分布，数学期望 E(X) 和方差 D(X).
斜） （方法一） X 可能取值为 0,1,2,3，设 A, 第 i 个部件需要调整，i = 1,2,3.
P{X=O} =P｛丸瓦瓦 ｝ = 0. 90 X 0. 8 X 0. 7 = 0. 504.
P{X = l} = P{A1瓦瓦 u 瓦A2元 U 瓦瓦A3}
= 0. 1 X 0. 8 X 0. 7 + 0. 9 X 0. 2 X 0. 7 + 0. 9 XO. 8 X 0. 3 = 0. 398.
P{X = 2} = P{A1A2元 U A1凡A3 U 瓦A2儿｝
= 0. 1 X 0. 2 X 0. 7 + 0. 1 X 0. 8 X 0. 3 + 0. 9 XO. 2 X 0. 3 = 0. 092.
P{X = 3} = P{A,儿A3} = 0. l X 0. 2 X 0. 3 = 0. 006.
X 的分布为
X 0 1 2 3
p
0.504 0.398 0.092 0.006
EC X) = 1 X 0. 398 + 2 X 0. 092 + 3 X 0. 006 = 0. 6.
E(X2) = 1 X 0. 398 + 4 X 0. 092 + 9 X 0. 006 = 0. 820.
DCX) = ECX2)-(E(X))2 = 0.820 - 0.36 = 0.46.
（方法二） X 的概率分布求法同方法一．
={
1, A;,
设随机变撒 X,
, = ~ ~ i = 1,2,3.
0, A,.
显然，E(X,) = PCA;),D(X1) = P(A;)[l - P(A1)].
X = Xi +X2 + X1 ,X1,X2 ,X3 相互独立．
E(X) = E(X1) + ECX2) + E a) 和 B = {Y > a) 独立，且 P(A UH) = ¾，求常数 a;
1
(2) 求勹．的数学期望．
X
线 (1) （方法一） P(A) = P(B) ,P(AB) = P(A)P(B),
PCA U B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 2P(A) —[P(A)]2 = — 3 .
4
3 1
所以[P(A)千 — 2P(A) 十一＝ 0,解得 P(A) = - ,
4 2
』 = P{X > a) = r 卢)d.1.. ＝奇[.1. 1dr =』(8 －矿），a= 沉
3 1 -1 - 1
（方法二） P 0, l = l,2
0,.].,:( 0'
显然，X1 和凡相互独立．利用两独立陆机r变:队 和的密度公式可求：HT 的概率密度
f(-1') = / 1( I) / 1 (.1· - I) cit
.1一冬 0 时．f(x) =O;
.1 > 0 时，J(.1一） = 5I e-' J ( ..1 - l)dt = 25『e :,,e _-,,, ''cit = 25e·''·'{ dt = 25.1·e '
总之，T 的密度．I（1) = {25/C ” · I > 0.
0, 1,:( 0.
X, ~ E(5) 分布，则 E X
由千 X 和 Y 相互独立 ，囚此(X,Y) 的概率密度为
x
10
巳－, 10 ~ .J:' 冬 20,10 ~ y ~ 20,
f亿y) = 100
] 其他
0,
从而可得每周所得利润的数学r期:望[ 为:
E(Z) = E[g(X,Y)] = gC.r,y)f<.1.·,y)如ly
＝ 厂厂g(.1·,y) 高hdy
= JJ10ooy 忐山dy+j.『500Cr + y) 忐d.rdy
／），也
= 』加(id3』," IOydy +厂叫飞05C.1·+ y)Jy = 1,1166. 67(元）
l')
m(l999，一（5) 题，3 分）设随机变屾 X,1 (I.） = ］ ,2.…，1/＂1~ 2) 独立同分布，E（X,I ) =
2，则行列式
• 285 •X11 X12 X1,,
Y= 1-X-_21 x戏 x约
X,l X,,2 x叩
/
=
的数学期望 E(Y)
釭。．
扫 行列式展开后每项均是行列式不同行、不同列元素相乘 ，各元素都是独立同分布
的随机变址，它们相乘的数学期望等于各元素数学期望的相乘．即
ECX11) ECX12) … E(Xl',) 2 2 … 2
E(Y) = 1- EC . X .- 2 . 1 ,. > - E( . X .. z . z) . … E(X .. 2 . ' . , ) I = I.2 2. … .2 I = 0
E(X,,,) E(X,,2) ... E(X,.,) I I 2 2 … 2
肛褂2000，一（5）题，3 分）设随机变蜇 X 在区间[- 1,2] 上服从均匀分布，随机变量
1. X > o,
Y {0, X 0,
= =
- 1, X O} +o • P{X = O} +(— DP{X o} + 02 • P {X = o} + C- 1) 2P {X < 0} = 1 •宁 ＋O • O+ l • ½=l
D(Y) = E(Y乙）－［E（Y)千＝ 1 - （上） ＝ 立
3 / 9 .
＂卧2002，十一题，8 分）假设随机变盘 U 在区间[- 2,2] 上服从均匀分布，随机变撮
{-
—
X = l, U<- l, Y={ l, U < 1,
>
1, U >- 1; I, U 1
试求(DX 和 Y 的联合概率分布；（2)D(X + Y).
@
(l) 由题可得
l
X I —1 1 Y I -1
l 3-4 , 3-4 l-4
p p
-4
1 3
因 P{U,,::;;;— l} = 7,P(U ,,::;;; l} =--:-
4 4
P{X =- 1,Y =-1) = P{U ,,::;;;-1,U ,,::;;; l}
]
= P{U ,,::;;;- 1} = 7
4
所以
• 286 •了
- ] 1
1
- l
4
3
]
4
3 l
4 4
进一步有
\
- l 1
1 1
- 1
4 4
3
1
',I
3 l
4 4
最后得(X,Y) 的联合分布
\
- 1 I
1 l
- 1 4 。 4
1 1 3
I
2 II 4
3 1
4 4
l
P{X+ Y = —2} = P{X =- LY =- 1}= —
(2) 因
4
I
P{X + Y = 2) = P{ X = 1, Y = U = -;-
·1
I 1 I
P{X+ Y =O} = 1----:- - —= —
4 4 2
l l l
故 E✓积X)} =
” :
" 1
X 服从参数为入的指数分布，故 D(X) ＝丁·
入
• 287 •T}
j ~. -1
P{X > 邓豆＝ P { X > = f C.r) d.r =『+..汒 d.l.. =
e
田(2008,14 题，4 分）设随机变址 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 P{X=E(X2)}=
.
1
登恚 —.
2e
入k
缉芍 X ~P（入），则有 P{X=k} = —e-入 ,k = 0,1,2,… ，且 E(X) =,1..,D(X) ＝入，
k !
将入 ＝ 1 直接代人就可以了．
由 D(X) = E(X2) - (EX)2 ，即 1 = EC X2) - 1 2, E (X2) = 2.
12 -1
P{X = E(X)2} = P{X = 2} = ~
2
!e-一1 =
2e
二、协方差 (`ov( X.Y )
肛卧2002，一（4）题，3 分）设随机变址 X 和 Y 的联合概率分布为
- l O
o.
。 0.07 0. 18 15
l I O.08 o. 32 0.20
则 X' 和 y2 的协方差 Cov(X2 ,Y2) =
怎怎 － 0. 02.
五 （方法一） Cov(X2 ，沪） ＝ E(X宁） — E(X2)E(Y江
E(X2) = 02 • 0. 40 + l 2. 0. 60 = 0. 60
E(Y2) =(— 1)2. 0. 15+02. 0.50+12. 0.35 = 0.50
E(X2Y乙） = 02 • (0. 07 + 0. 18 + 0. 15 + 0. 32) + 1z • (0. 08 + 0. 20) = 0. 28
故 Cov(X2 ,Y2) = 0. 28 - 0. 60 • 0. 50 = - 0. 02.
（方法二） 由已知可得如下分布律
\ /
。 l
。 0. 18 0.22 0.40
1 0.32 0. 28 0.60
0.50 0.50
E(X2) = 0. 60,E(Y2) = 0. 50,E(X2Y2) = 1. 0. 28 = 0. 28,
Cov(X2 ，平） = E(X2Y2)-E(X2)E(Y2) = 0.28 - 0.60 • 0.50 =-0.02.
肛量2006,22 题，13 分）设随机变址 X 的概率密度为
广，－ l < .l. < o,
j\ (.:r) ＝广° < .l. < 2,
o,
其他
• 288 •令 Y = X2 ,F（工，y) 为二维随机变址(X,Y) 的分布函数．
求(I) Y 的概率密度八(y);
(Il) Cov(X, Y);
1
= DCX).
呕质
- D(X)
Cov(X,Y) = Cov(X,11- X) = Cov(X,11)-Cov(X,X) =-D(X).p.w =~=- I
陑皿
回(2003，一（5）题，4 分）设随机变扯 X 和 Y 的相关系数为 0. 9，若 Z=X—0. 4，则 Y 与
Z 的相关系数为
釭） 0.
9.
Cov(Y,Z) CovCY,X - 0.4) .... Cov(X,Y)
”:、析 P忆 = = = = 0. 9.
八卢 J积节 ✓D(X-0. 4)J J
l l
回(2004 ,22 题 ， 13 分）设 A,B 为陆机事件，且 P(A) =—,PCB I A)= ~ .PC/\ I B) =
4 3
l
＿
2
＿• 今J
A 发生· ] . B 发生，
X = 厂 o ＇ , Y ={ o.
A 不发生， B 不发生
• 291 •求：（ I) 二维随机变员(X,Y) 的概率分布；
([[）X 与 Y 的相关系数Px1·;
（问）Z = X勹平的概率分布．
B, l
(I) 由 X =厂＇
斜 = {~: ;: y 一和 PCA) = － 得到
o, 六， o, B 4
\ 万 B
。 1
3
六 。 4
l
A 1
4
P(AB) l l l
再由 P(B | A) = ＝—，故 P(AB> =—P(A) = —
P(A) 3 3 l2
l
P(AB) 1 PCAB) 12 1
又因 P(A | B) = ＝ —，故 P(B) = = =
P(B) 2 1 1 6
2 2
l l
将 P 0.
答案应选(D).
Cov(X,Y) aCov(X,X) _ a
【评注】 从 1 = PXY = = ＝—，也可得到 a= 2
五严孔石 2
节饮贪以个 f, 多读书以个肛。
庄子
• 293 •第五 章 大数定律和中心极限定埋
｛竺
本章内容不是考试的重点，2001 年考过一次中心极限定理 ，2003 年考过一次大数定律，近
十年就没再考过．本漳 内容包括三个大数定律 ：-l-J] 比雪夫大数定律，伯努利大数定律，辛钦大数
定律 ； 两个中心极限定理 ：棣莫弗－拉普拉斯定理，列维－林德伯格定理．
仁主翌恁
本祁试题大多是简单的选择题和埮空题，考生只要把本章定律和定理的条件与结论记住
就可以了． 曾经有用中心极限定理来近似计算的解答题，但由千考试时不能使用计算器，因此
计算扯过大，这类考题近几年也不太出现．
仁竺
厘量1988，十一题，6 分）某保险公司多年统计资料表明，在索赔中被盗索赔户占 20% ， 以
X 表示在随意抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数．
(1) 写出 X 的概率分布；
(2) 利用棣莫弗－拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于 14 户且不多千 30 户的概率的近似值．
附表 设中G) 是标准正态分布函数．
.1· I O 0. 5 1. 0 1. 5 2. 0 2. 5 3. 0
中 999
I'虴 (1)X服从二项分布 B000,0. 2),P{X=k} =C沁（0. 2)'(0. 8)100--k,k = 0,1,2,…,100.
(2) 根据棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理：
X,, ~B(7/,p).n = l ,2,… ，则对千任意实数工
<.r
＂l一i．m、P{ 三 X，，一 1／p ｝ = (p(x)
定理表明当 n 充分大时，X ~ B(lOO,O. 2) ，标准化后 X - lOO • 0. 2 = X- 20，近似服
✓100 • 0. 2(l - 0. 2) 4
从标准正态分布 NCO,1),
P{I4 :,::;:; X :,::;:; 30} = P{¥ :,::;:; 2＼勹 20< 30;20}= P { - 1 5< x]20 < 25}
J
＝ 中(2. 5) 一中（－ 1. 5) =中(2. 5) - [l - 中（1. 5)
= 0. 994 - [1 - 0. 933] = 0. 927
匿暹(1989，一（5）题，3 分）设随机变扯 X 的数学期望ECX) = µ，方差 D(X) ＝ 矿，则由切
比雷夫不等式祚f P{ I X —µ |;;?:: 3叶 :;::;:; _.
• 294 •笭黛 l.
- 9
D(X)
斜浙， 根据切比雷夫不等式 P{ I X - ECX) | 多 c} 冬 ,
E-
现在 c = 3(J.E(X) = µ,D(X) ＝ 矿 ．上式成为 P{ I X - 1.J. 1~ :沪 <
6一 =—］
9 .
（物）2
匡量1996，十三题，6 分）假设 X, ,X2 ，…，X,1 是来自总体 X 的简们尬机样本；巳知 E(Xk) =
Uk (k = 1. 2. 3, 4)， 证明当 1] 充分大时，陆机变批 Z,，＝
-l
_5_
"
J xf 近似服从订态分布．月指出具分布
/1 ;=1
参数
好 X1 .x2 ,…，X,， 独立同分布 ．因而 Xi .X~ .…．x] 也独立同分布．
EC X~) = EC X2) = a2. DC X;) = D(X2) = E(X') - CE X 2 )贮＝ l／1 —忒
Z.. - ECZ..) ~
都存在，根据中心极限定理” " 的极限分布是标准正态分1fi. llll 当 II 充分大时立，I
三
N(E(Z,，） .D(Z,，））近似正态． 其分1|］参数
E(Z) ＝ 上t E(X~) = 也 ,D(Z,) = `0(X· >) = （／I 尸
?'1 ,= I 1/ ~ i-1
(“: · (l \一 (i·;;， 的正态分布．
m总之(Z2 ', O O近l似．一服（从4）参题数．3为分）设心，交:lt X 和 Y 的数学期望分别为 － 2 和 2．一方差分别为 1
和 4 ，而相关系数为－ 0. 5,根据切比雪夫不吟式P{ I X+Y 臣~ 6l· ~
氐冬1 上
12
吓｝ 令 Z= X + Y，则
E(Z) = E 0. 977 ＝ 中（2)
由此可见 IOOO - lO“ > 2，解得 11 < 98. 0l叨 ．所以最多可装 98 箱
石
• 295 •m(2003，一（6）题，4 分）设总体 X服从参数为 2 的指数分布，X1,X2 ,… ,X,，为来自总体
1 “
X 的简单随机样本，则当n- = 时，Yn =— 2双依概率收敛于
II , - l
1
冬桌 —.
Z~ 2
斜贲随机变虽 X; ,X~ ，…，双独立同分布，具有数学期望
1 \
E(X!) = D(X,)+(EX,)2 ＝卢＋行）2 ＝占
1 ',
根据辛钦大数定律：当 11- = 时，Y，，=—txt 依概率收敛千 E(X;) =上
n 2
;- 1
诗学之， ，章 1司之，烘思之，咐辨之，鸟行之．
《礼记．中庸）
• 296 •，、六｀ ` ^ ``.
数则统计的从本概念
小八 1,~
本章写读
咖胃＿＿ ＇，．一
本章是数理统计的基础，也是重点之一． 数理统计的基本概念包括总体、简单随机样本 、统
计量、样本均值、样本方差等． 特别对正态总体的分布及其性质考生应 予以充分的注 意 ， 对 X2
分布 、t 分布和 F 分布，要掌握这些分布对应随机变量的典型模式和它们参数的确定．
［呾堕克－
近几年数三的数理统计都只考一个小题，也就是一个填空题或选择题，这个小题大多是本
章的一些基本概念． 数理统计一般是历届考生的蒲弱点，很多考生感到公式多不好记，其实只
要熟记一个总体的灭，S2 ,ECX).D（灭），E(S2 ）和 X2 分布，t 分布，F分布的典型模式和参数，尤
其是正态总体抽样分布的一些性质就可以了．
勹亘芷
(1994，二（5) 题，3 分）设 X, ,X2 ,… ，X,，是来自正态总体 N(µ,(J2) 的简单随机样本，
X 是样本均值，记
Sf ＝卢笘 (X －对，S2 ＝ 彗笘 (X －对 ，Si ＝ 土 2 （X —泣飞＝ 骂 (X
- µ),
则服从自由度为，1- l 的 t 分布的随机变扯是
(A)t = X - µ . (B)t = Y-1.J.(C)t ＝ 丘．（D)t =芷．
S,/ 厂 S2/ 尸． S3/石 S,/石
答哀 B.
斜祈 T ＝ 凶二～ t(II - l) ，其中 S2 = 2 (X，一灭）气
S／石 II-l
(1997，一（5）题，3 分）设随机变扯 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 N(O，了），而
x1,… ，凡和 Y,,... ，比分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则统计量 U=
x 1 + …+ X
9 服从 分布，参数为
Y;
✓W + … +
答泉 l,9.
斜析 E(X1 + …+ X9) = ECX,)+··· + ECX9) = O,D(X,+…+ X9) = DCX,) + …+
x 1 + …+ x9
D(X9) = 9D(X) = 81. 故（X1+…＋X9) ~NC0,92),~~ N(O,l),Y, ~N(0,32),
9
yf 2 Yf + …+Y; ~ 2
一32 ～ X (l),
9
X (9)
X1 + ···+ X9
ex, + .. • + x9) ,_ Yf + …+ Yfi "·'·--'·· 9 ·"" X, + …+ x9
与 1 9 独立， ~ t(9)，R即n TUr =~~t(9).
9 9 了二霄＿ t
✓Yf 十…＋冗
/9
9
• 297 •匡量1998，一（5) 题，3 分）设 X1 ,X2 ,X3 ,X1 是来自正态总体 N(0．沪） 的简单随机样本，
X = a(X1—2X2)2 + hC3X3 - 4 X.1)1 ，其中 (1,b =I=- O
则当 a= ,b = 时，统计拭 X 服从 x· 分布，其自由度为 .
笭衷`} _!_ _J__ ,2.
(!).:5' 20'100
x1 - 2X2 3X1- 4X,i
臼 X1- 2X2 ~ NC0,20).~ ~ N(O,l),3X:i -4X1 ~ N(0,100).~ ~ N(O,D.
荩 10
(~—
荩 2X2 ） 2 + （ 3 邓 凡— ~ 4X ) 4 2 =—2 1 0 ( .. X . 1 ' - - 2 . X -. 2) . 2 + . - l 0 1- 0 ( 3X,! - 4X1)2 ~ X2(2).
【评注】 严格地说本题有三个答案都对，
1 1 1 1
, ,1
页面＇2; 沉'O,l; 。
100
巨量1999，一（4）息3 分）在天平上重复称批一重为 u 的物品，假设各次称矗结果相互独
立且同服从正态分布N(a,O. 22)． 若以又表示 n 次称址结果的算术平均值，则为使
P{ | X,, — a I< o. 1 } ~ o. 95
n 的最小值应不小于自然数 .
豆`16.
妥顶） 设第 t 次称得结果为 X, ,i = l,2.… ，1/，则
又＝ N(a ，气）二 (1
X, ~ ~N(O,l)
.
P［ 勹；；；<言＝式。了） ＝ 2中（氖）－ l 匀 95
=
P{` I X0. -9a I7< o5.， l 即I -孕 娑 l96，解得，1 ＝五］［ l
回(1999，十二题，7 分）设 X1 ，凡，… ，凡 是来自正态总体 X 的简单随机样本：
yl =心(X1 + … +x6)，忱＝ ½(X, + Xs + X,),SZ ＝三1 笘 9 (X -Y2兀Z = 我（Yls- Y2)
证明统计量 Z 服从自由度为 2 的 t 分布．
勺1 攻、 t X ~ NCµ，切，矿未知，则 ECY1) = E(Y2) = µ, D(Y1) =巴 ,D(Yz) = t. 由千
6 3
2
Y1 和江独立，DCY1- Y2) ＝色 ＋ 立＝亡
6 . 3 2
-
Y] Y2 2S2 2
所以 U= —一—-~ N(O,l) ，而一亡 ～ X （2) ，由于忱 与江 独立 ，忱与 S2 独立 ，江 与 SL
17/迈 69
独立，所以 Y1 －又与 S2 独立，
U 拉(Y1 - ¥2)/17 疫CY1 - Y2)
总之 Z = 厚 ~ = ~ = ~ ~ 1(2).
• 298 •配量2001 ，一（5) 题，3 分）设总体 X 服从正态分布 N(0平），而 X1,X乙 '… ,X1; 是来自总
体 X 的简单随机样本，则随机变批
欢 ＋ … ＋ Xf。
Y=
+…
2CXf1 + Xf;)
服从 分布，参数为 .
爰怎 F,00. 5).
~ —
斜；析 x; ~ N(0,22).X, ~ N(O,l),i = 1,2.…,15.
_y·'-./ 2
记 Yl = （宁）2+ （宁）2 + … + （学）？ ，则 Y;
~ X2(]0)
记 y~= （今）2 + （今）勹 ，则 y~ x2 (5汃且 Yf 与胃相互独立．
+ ... ~
则 Y = 江丛~=立－ = Xf +…+ Xf。 ~ FCl0,5).
沼／5 2Y~ 2(X礼 ＋ … ＋ Xfs )
匿量2002，二（5）题，3 分） 设随机变扯 X 和 Y 都服从标准正态分布，则
+
CA)X Y 服从正态分布 (B)炉 ＋ 沪服从 X2 分布．
(C)X2 和沪都服从 X一 分布． （D）X2／沪服从 F 分布．
芩衷 C.
.:...,,、
（蚝浙 X 和 Y 均服从标准正态 N(0, 1), X2 和 y2 都服从 X2(l).
至千选项(A)（B)（D) 如要成立，都要求 X 与 Y 相互独立，这在题干中没假设．
m(2004,6 题，4 分）设总体 X 服从正态分布 N(µ1 ，矿），总体 Y 服从正态分布
N (µ2, a2), XI, X 2 , … ,X,＇， 和Y1,Y2 , … ,Y,＇e 分别来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则
E[笘（X － 对 ＋ 笘 (Y）了）2
-2 l
+
1/1 = .
Il2
生负矿．
E［言（X －X)2 十 笘 (Y, —Y)2
"／贷 +
n2 - 2 ]
II1
= n1+ rl/2 -2 ｛仇 － l）E［卢笘 (X 飞）] +(
111 - 1)``\ —Y)2]}
1
= “1 + n2 — 2｛ 饥－ l）矿 十 (n, - l)a2} = a2.
l
配量2006,, 6 题，4 分）设总体 X 的概率密度为 JC.1·) = — e一1~1I ( 一文 < :r <+ =),
2
X1,X2… ,X,，为总体 X 的简单随机样本 ，其样本方差为 S2 ，则 ECS2) = .
发急） 2.
贷货 E(S2 ) = DCX) = ECX2) -[E(X)]2 = ECX勹
＝厂121位）di-= 2『 12 」 e - 'd1 = 2.
。 2
• 299 •第七 祁 参数估计
t空U
本章要求了解点估计 、估计量与估计值的概念， 掌握矩估计法和最大似然估计法，
在 2008 年修订考试大纲前，本幸也是考试重点之一 ，大纲修订后取消了原先要求的估计
亚的无偏性、有效性和一致性 ，区 间估计，假设检验 ，所以本章所列 2008 年及以前的考题 ，一些
超大纲范围题（我们题后都有标汪）可以不看．
2008 年修订后的大纲 ，仍要求学握矩估计法和最大似然估计法．但随后 2009-2012 年四
年间数三 的数理统计都是考笫六幸的内容 ，而且全是填空题和选择题． 2008-2012 年五年间
就一直没有出过矩估计法和最大似然估计法的考题．直到 2013 年，数三第 23 题解答题又开始
考矩估计法和最大似然估计法． 2021 版大纲对本章的要求无变化．
仁虹压心
要掌握离散型和连续型两种不同形式的处理方法，尤其要会写出似然函数．
统计掀的无偏性不屈考试范围 ，但应该会求统计扯的数学期望．
}彗卫一口
厘瞿(1991 ，十四题 ．5 分）设总体 X 的概率密度为
J(r ；入） = ｛入a.1,·“-I产 ，又· > 0,
`
o, 工 ~o
其中入＞ 0 是未知参数，（1 >0 是已知常数，试根据来自总体 X 的简单随机样本X1 ,X2 ,… ,X.,,
求 入 的最大似然估计拭~.
I I ” 2入区·4'
斜 似然函数为 I众）＝ IIf（工，认） = （入a)"II:r尸e ，=-,··,'
i= 1 '= l
归= .!!.... ＿
2式＝ 0
a入入
,=I
解得 入 = -i-，故入的显大似然估计批i = ＝立＿．
2.r.: 2X?
,- 1 ,~1
暨量1992，二（5) 题，3 分） 设 11 个随机变量X1 ,Xz ,… ,X,， 独立同分布，D(XI ) = a2,)[ =
气；X,,S2 = 1 2 “ (X, －灭）2 ，则
n ,= I 11- 1 ，一1
(A)S 是6 的无偏估计拭． （B)S 是6 的最大似然估计扯．
(C)S 是6 的相合估计址（即一致估计盘）．（D)S 与灭相互独立．
答床 C.
• 300 •奸衍 s~ 是矿的无偏估计扯，但 S 不是6 的无偏估计拭，S; 是 (Ji 的一致估计社，S 也是(J
的一致估计量，S2 与 X 在 X, 为正态时，相互独立．
匮量1993，一（5) 题，3 分）设总体 X 的方差为 1 ，根据来自 X 的容址为 100 的简单随机样
本，测得样本均值为 5，则 X 的数学期望的置信度近似等千 0. 95 的咒信区间为 ．（最新
考纲已不考此知识点）．
答泉 (4. 804,5.196).
斜析
正态总体 X~ N(µ心2 ) ，方差已知172 = 1 ，监信度 1 -a = 0. 95，数学期望的置信区
间为 (X a -x + u手－6 ）
- l/· - ,
了 石 一 五－ ．
汇肛立＝ 5 — l/0112 ． 上＝ 5 - 1. 96 • 点＝ 4. 804,x + u.!!. 立 = 5 + 0. 196 = 5. 196
2 沥一 10 飞岱
即所求置信区间为(4.804,5. 196).
【评注】 本题应设 X ~ N(µ,(12) ，给出表中(- 1. 96) = 0. 025，由于题中有...近似等
于…，所以当年改卷时如写置信区间(4.8,5.2) 也算对的．本题超纲．
巨量1996， 一（5) 题，3 分）设由来自正态总体 X ~ N(µ,O. 9: ） ，容拭为 9 的简单随机样本，
得样本均值灭＝5，则未知参数1.L的悝信度为0.95 的罹信区间是 ．（最新考纲已不考此知
识点）．
冬孚 (4. 412,5. 588).
斜析 (12 = 0. 92 巳知、µ的 l —a 置信区间为 (x - l／芒 ；汉＋ l1号 责），现X=S,11 =9,
(1 = 0. 9,a = 0. 05. l／手 ＝ 11,,. uz; = l. 9 6, I／寺立＝ 1. 96 X 罕＝ 0. 588.
石
o. +
算得置信区间为(5 - 588, 5 0. 588) 即(4. 412.5. 588).
回(2000，十一题，8 分） 假设 o. 50,1. 25,0. 80,2. 00 是来自总体 X 的简单随机样本值．
巳知Y=ln X 服从正态分布 N(µ,l).
(1) 求 X 的数学期望 E(X)（记 E(X) 为 b);
(2) 求µ的置信度为 0. 95 的置信区间；（最新大纲不再考查）
(3) 利用上述结果求 I) 的置信度为 0. 95 的置信区间．（最新大纲不再考查）
斜 (l)Y ~ N(µ,l) ,Y 的概率密度 j.l'(( y) = — l e －竺 . ,-03 < y <+ ~.
尽
Y = In X,即 X = e1勹
e'c 王心
b = E(X) = E(c1·) =_!_[ :
~r· 尽 ＿，．
1 I' . , ·2
= e'+''e亏dt
ffrrJ-
= e,叶『， 上e号－cit
． 平
，气
=e
h = E(X)=eI 峙
(2) 当置信度 1 ~a= 0. 95 时，a = 0.05，标准正态分布的水平为 a= 0. 05 的个位数等于
• 301 •1. 96.
故由 Y~N伈十）可得
叩－ 1. 96 • Ji < µ < Y + 1. 96 • 扒＝ 0. 95
其中
y = ¾on o. 50 + In l. 25 + In o. 80 + In 2. 00) = ¾ In 1 = 0
于是，有
P{—0. 98 < µ < 0. 98} = 0. 95
从而µ的置信度为 0. 95 的置信区间为(- 0. 98,0. 98).
(3) 由 e.r 的严格递增性
0. 95 = P{- 0. 48 < µ+ 上 < 1. 48} = P{e一IJ.IK < el,+j- < el.,8}
2
总之 b 的置信度为 0. 95 的置信区间为(e-o.., s, e 1. a`
O,.1· ::,;;; a
其中参数 a>0,[3> 1． 设 X1,X2 ,··· ,X,， 为来自总体 X 的简单随机样本．
( I ) 当 a= 1 时，求未知参数 p 的矩估计队；
（ II ）当 a= 1 时，求未知参数 p 的最大似然估计世；
=
(m) 当 /3 2 时，求未知参数 Q 的最大似然估计批．
符 (l ）当 a ＝ 1 时，X 的概率密度为 f釭；1 ，p) =｛上尸 ＇ I > l,
o. .l_. < l,
I
E(X) = 订（x; 1, /3) dx = 』['" x • 工主p+1心＝上
p - l
x
-
令 E(X) ＝灭，即~=X，解得 p=
B- l X- l
, X
当 a = 1 时，B 的矩估计址队＝ =——.
X-1
（ II ）似然函数
• 302 •“ 1
LC l,/3) ＝ 订f(x, ;1,/3) = ＿ (又.I义 矿 2…工，，）阳l ' .i-, > l (i = l, 2, ···, 11),
l 。.
, I 其他
当．1·1 心 ·…,贮1,， ＞ 1 时，L(l ．沪 ＞ O,In L (1, /3) = n In f3 - (f3 + 1)I ', ; In .r,,
,- I
^ 了 dln L d/ ( 3＝ ] , /3) - / / 3 1 - ~ " I n 工， ＝ 0，解得 p= ,, II
~ln .:i:-,
'1
,~I
故 a = l 时书的最大似然估计扯伈＝ n
',
I;ln X,
,-1
( 1Il ） 当 /3 = 2 时，X 的概率密度为
j、(.2；a,2) ＝｛气 ， .r > a,
o,
义. :;;;;; a
>
似然函数 L(a,2l ＝ 订f ~ .i:, aC i = l. 2,..., 11),
(I;'a, 2) {,;:;.r2:f .“`r,,)3
'
i~I l 0, 其他，
当立·1 ·义2 .…过，，＞ a 时．a 越大 L(a,2）越大，所以 a 取 min(.2·1 ，心 ，… ，丸，） 时，L(a,2) 最大． 于
是 a 的最大似然估计扭为; = min(X1,Xz,…,X,,).
m(2005.14 题．4 分）设一批零件的长度服从正态分布 N(µ，矿），其中 ／」，均未知．现从
中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 ; = 20 cm，样本标准差 S = 1 cm，则µ的置信度为 0. 90
的置信区间是（最新大纲已不考此知识点）
--1- o+o+
(A) (20 — 扣o,(16) , 20 + + 扣 （）5(16) ). (B ） ( _ L ~, D2 0 20 4 I 0 I (l ” J) 6 ( 、 , l' 52 , 2 了 l i 0 (l 6()\ j _ 5 )
、 l-
(C) (20 -扣。; (1 5) • 2 0...:_ I u. u.; (1 5) )- 丿｀_ l 4 1 l 0 l
c \ 4
签息
纤村 正态总体方差未知时，关千期望值µ的燧信区间公式为
(Y- `/1 - 1) ，X+;尸 - 1) ）
其中 I号(11 - I) 满足 P{I T I> I号 (11-l)f = a,T~t(11 - I).
本题 11 = 16,~ = 20,S = I,a= l - O. 90 = 0. IO，传(11 - I) = / 0. 05 (1 5).
答案应选(C).
_
配夏2005,23 题， 13 分）设 X1,X2 ,…．x,，（n > 2）为来自总体 N(O，矿）的简单随机样本，
其样本均值为入记 Y, = X, —X.i = l,2,···,11.
(I) 求 Y， 的方差 D(Y,),i = 1,2,…,n;
( I ) 求 Y1 与 Y,， 的协方差 Cov(Yl,Y,,) ；
（川）若c(Y1 +Y,，)2 是矿 的无偏估计挝，求常数 c. （可改为“若 E(（（忆 ＋江）2 ) = (J2 ，求帘
数 C. ")
1 沪柯求 D(Y,) 时，Y, = X, －灭，而 Y 中又有 X, ，因而 X; 与 Y 井不独立．故
D(Y,.) = DCX; 一了） # D（X,） + D(X)． 应该将Y 中的X, 成份与 X, 合并，再用 Xi ,X, ,… ,X,＇
• 303 •相互独立性求解．
求 Cov(Y, ,Y,，) 也用类似的方法．
求 c(Y, + Y.)2 是62 的无偏估计社的关键是求出 E(Y1 + Y,,)2. 因为 E(Y1 + Y.,) = 0，所以
ECY, + Y,,)2 = DCY1 + Y.,) = D(Y,) + DCY,,) + 2CovCY1 ，江）．
D(X， 飞） v[ (1 - ~)x, —:产
斜 (I)D(Y,) = =
= (1 - 上)2 D(X,） ＋ 心 1 ： ” D（X)
11 I 11· J
j=I
j~i
= [~尸＋ 了］62 ＝ 气切， i=l,2,.. ·,n.
( II )Cov(Y1,Y,,) = E[Y1 - E(Yl)][Y,,- E(Y,,)]
= E 4(E(X))2 > 叶叶）2 ＞沪
m(2008,23 题 .1 I 分） 设 X,,X1 ,"·,X,，是总体 N(µ矿）的简单随机样本． 记X = 上 i= X,,
2 II '= 1
-
S'= －一 (X, －灭）2 .T = 灭2 - S\
II - I II
（ l ) 证明 T 是µ的无偏估计ht; （可改为计算 E(T)）
（ l| ）芍µ = ().6 = 1 时．求 D(T)．
- —
52)
（夕分、＇，树 ( I ) 证明 T1「丘I f.1.; 1，向无偏估计扯，只要验证 E(T) = E(灭: = p'．由 E（灭）
II
= 1.J.. D汉） ＝ 丘，E（S: ） = (J: ．就小难求得 E(T)．
II
( |l ) 当 1.1. = 0,a = l 时．，总体为标准正态分布 N(O,l) ，且 X 与 S2 相互独立．如果用公式
[)(T) = E(T2) - ［E(T)了＝ E(T2) = E仅— fx乙 ． S' 十 ~)
计符会很繁朵
如果和11 x.s2 的独 立性． D（ T) = D仅 － ~S2 ) = D杰） ＋ 上D(S2) ，再直接计符
“一
• 306 ·心） ＝ 0(喜双 ＋ 岭1x;X,)
和 D(S2) 更困难．
— =
注意到$;x ~N(O, l ) ，即 nX 2 ~ X_,z I( l1 )\ '和1".n I(n. - 1l )\ Sc,2i ~ Xv2 ( / n . - 1l )\ ，而 DT"c\ / x v2 · cn)) = 211. 再
l
来计算 D(T) = D(x2) ＋亏D(S2) 就不困难了．
11
纤\) （ l)ECT) = E仅 － 忤） ＝ E衣） 一 ；E（S勹
1
= D（飞） ＋［E（X)千一 —E(S勹
II
=~<72+, µ2., _ ~<72 = µ
µ
II II
所以 T 是矿的无偏估计蔽．
([l ）当 I-'- = 0,(J = 1 时，X~N（三），即有忑～ x2 (1) , (17 - 1) $2 ~ x2 (ll - 1).
注意到 X 与 S2 是相互独立的，且 DCi (11)) = 2n，所以
1
D(T) = D仅－产） ＝ D(X2) ＋ -D(S勹
II -
= ~ ] D 2 - — C1 " 1 '. X . 2 , ) + '1 - / 11. 2 - . ~ (1J - 1) D[ (II - 1) s勹
?j
= -1= ,x z+ 1 X 2(11 - l)
?1归 n2 (n - l)2
21, , 1 \ 2
= ;;(1 + ~ )= ~
发奋铝遗 f、下宇， 立志读尽心'1i1 书．
－苏轼
• 307 •第八辛 假设检验
}丕巠一心
假设检验是在历年考题 中出 现最少 的一 类 内容，1995 年的考题中曾出现过，数学三现在
不要求．
{_－壁望｝
假设检验的情况较多，考试时间有限，又不能使用计算器．所以一般考题考查单个总体的
均值较多考生应该记住方差已知和方差未知时．单个正态总体均值的假设检验的假设类型 ．
统计蜇的选择，检验的基本步骤，根据显著水平确定拒绝域等知识点．
｛妇口
厦瞿(1995，一（5）题，3 分）设 X1 ,X2 ,… ,X,， 是来自正态总体 N(／h62）的简单随机样本，
"
其中参数µ和矿未知 ．记X = ~言X, ．Q2 = 2(X, －灭凡则假设H,, : p = O 的 I 检验使fll
i= I
统计员I = . （最新大纲 已不考此知识点）．
灭_
答阜 ✓II(／1 一 ］）．
Q
~
斜析 正态总体 X N(µ，矿） ．矿未知 ，则假设 H,， ：µ = 0 的 t 检验使用统计拭应为 t =
—
三．其中 S2 = 一 l 一 区 ” (X, － X)2 同现在 炒＝ o.s2 = Q2
S／石 /1 - 1,= l n - l
Y—o
~ fr 汇二吓
I = . = .
二石
【评注】 新大纲假设检验不要求．
兴手《诗», 立手杠， 成才乐。
—孔子
• 308 •一一一一 .,·, _. .. • ... 宁． ．丐 '.. •
考研数学系列
书名 作者 出版时间
数学公式的奥秘 刘喜波等 2020 年 3 月
数学复习全书·基础篇（数学一、二、三通用） 李永乐等 2021 年 6 月
数学基础过关 660 题（数学一／数学二／数学三） 李永乐等 2021 年 6 月
数学历年真题全精解析·基础篇（数学一／数学二／数学三） 李永乐等 2021 年 6 月
数学复习全书（数学一／数学二／数学三） 李永乐等 2021 年 12 月
数学历年真题全精解析（数学一／数学二／数学三） 李永乐等 2022 年 1 月
数学杂化通关 330题（数学一／数学二／数学三） 李永乐等 2022 年 3 月
高等数学辅导讲义 刘喜波 2022 年 2 月
高等数学辅导讲义 武忠祥 2022 年 2 月
高等数学基础篇 武忠祥 2021 年 7 月
线性代数辅导讲义 李永乐 2022 年 2 月
概率论与数瑾统计辅导讲义 王式安 2O22 年 2 月
高等数学解题密码·选填题 武忠祥 2022 年 6 月
数学真题真练 8 套卷 李永乐等 2022 年 8 月
数学压轴大题满分过关 150 姜晓于 2022 年 9 月
数学核心知识点乱序高效记忆手册 宋浩 2021 年9 月
数学决胜冲刺 6 套卷（数学一／数学二／数学三） 李永乐等 2022 年 10 月
数学临阵磨枪（数学一／数学二／数学三） 李永乐等 2022 年 11 月
数学终极预测 3 套卷·名校冲刺版（数学一／数学二／数学三） 刘喜波宋浩等 2022 年 11 月
数学终极预测 3 套卷·过线急救版（数学一／数学二／数学三） 刘喜波宋浩等 2022 年 11 月
经济类联考数学复习全书 李永乐等 2022 年 5 月
经济类联考数学通关无忧 396 题 李永乐等 2022 年 5 月
农学门类联考数学复习全书 李永乐等 2022 年 5 月
大学数学系列
书名 作者 出版时间
大学数学线性代数辅导 李永乐 2018 年 12 月
大学数学高等数学辅导 宋浩刘喜波等 2022 年 5 月
大学数学概率论与数理统计辅导 刘喜波 2022 年 5 月
线性代数期末高效复习笔记 宋浩 2022 年 7 月
高等数学期末高效复习笔记 宋浩 2022 年 7 月
概率论与数理统计期末高效复习笔记 宋浩 2022 年 7 月
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考研政治精雕细刻 ]000 题 米鸥 2022 年 6 月
考研政治冲刺大串讲 米鹏 2022 年 10 月
考研政治考前大预测 • 20 题＋3 套卷 米鹏 2022 年 11 月
考研英语系列
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考研英语核心词汇源来如此 全榜时代考研英语教研中心 2021 年 12 月
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考研英语历年真题精析 ． 基础篇 · 英语二 全榜时代考研英语教研中心 2021 年 12 月
考研英语历年具题精析 · 提高篇 · 英语一 金榜时代考研英语教研中心 2022 年 4 月
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考研英语写作极简笔记 白子墨 2021 年 8 月
考研英语词汇通关“密＂籍 许密杉 2021 年 12 月
考研英语阅读通关“密“籍 许密杉 2022 年 2 月
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大学英语四级真题大全解 全榜时代大学英语教研中心 2021 年 8 月
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英语口语自由 · 购物篇 全榜时代实用英语教研中心 2021 年 12 月
英语口语自由 · 亲子篇 金榜时代实用英语教研中心 2021 年 ］2 月
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专业硕士系列
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写作复习 指南 房文学 2021 年 1 月
逻耕复习指南 房文学 2021 年 4 月
,
医师资格考试系列
书名 作者 出版时间
贺银成国家临床执业医师资格考试辅导讲义（上、下册） 贺银成 2021 年 12 月
贺银成国家临床执业医师资格考试辅导讲义同步练习 贺钮成 2021 年 l2 月
贺银成国家临床执业医师资格考试全真校拟试卷及精析 贺铢成 2021 年）2 月
贺银成国家临床执业及助理医师资格考试历年考点精析（上、
贺银成 202] 年 12 月
下册）
贺银成国家临床执业及助理医师资格考试实践技能应试指南 贺银成 2021 年 12 月
贺铁成国家临床执业助理医师资格考试辅导讲义（上、下册） 贺铢成 2021 年 12 月
贺银成国家临床执业助理医师资格考试辅导讲义同步练习 贺银成 202] 年 12 月
贺银成国家临床执业助理医师资格考试全真模拟试卷及精析 贺银成 2021 年 12 月
国家临床执业及助理医师资格考试抢分速记定心丸 高鑫 2021 年 12 月
文1]应朴中医执业（助理）医师实践技能通关掌中宝 刘应科 2021 年 12 月
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贺银成考研西医临床医学综合能力辅导讲义（上、下册） 贺铢成 2022 年 4 月
贺银成考研西医临床医学综合能力辅导讲义同步练习 贺银成 2022 年 4 月
贺钮成考研西医临床医学综合能力全具模拟试卷及精析 贺银成 2022 年 4 月
贺银成考研西医临床医学综合能力历年共题精析 贺银成 2022 年 ，1 月
·皿·书名 作者 出版时问
刘应科考研中医综合教材 刘应科 2021 年 12 月
刘应科考研中医综合教材同步练习 3000 题 刘应科 2021 年 12 月
刘应科考研中医综合历年真题精析及复习思路 刘应科 2021 年 12 月
刘应科考研中医综合终极预测试卷 刘应科 2022 年 9 月
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中国历代名人长寿养生精粹 刘应科 2022 年 4 月
中国历代医家长寿养生精粹 刘应科 2022 年 4 月
中国历届国医大师长寿养生精粹 刘应科 2022 年 4 月
中外名著系列
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小王子 ［法］安托万·德·圣埃克苏佩里 2018 年 12 月
飞鸟集 ［印J泰戈尔 2018 年 12 月
瓦尔登湖 ［美］亨利·戴维·梭罗 2018 年 12 月
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