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2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
(1) 当 时，与 等价的无穷小量是：（ ）
(A) (B) (C) (D) .
(2) 设函数 在 处连续，则下列命题错误的是：（ ）
(A) 若 存在，则 (B) 若 存在，则 .
(C) 若 存在，则 存在. (D) 若 存在，则 存在.
(3) 如图，连续函数 在区间 上的图形分别是直径为 的上、下半圆周，在区间
上的图形分别是直径为 的上、下半圆周，设 则下列结论正确的是：（ ）
(A) (B)
(C) (D)
(4) 设函数 连续，则二次积分 等于：（ ）
(A) (B)
(C) (D)
(5) 设某商品的需求函数为 ，其中 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等
于 ，则商品的价格是：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(6) 曲线 渐近线的条数为：（ ）(A) (B) (C) (D)
(7) 设向量组 线性无关，则下列向量组线性相关的是：（ ）
(A) (B)
(C) (D)
(8) 设矩阵 ， ，则 与 ：（ ）
(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似
(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 ，则此人第4次射击恰好第 次命
中目标的概率为：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(10) 设随机变量 服从二维正态分布，且 与 不相关， 分别表示 的概率密度，则在
条件下， 的条件概率密度 为：（ ）
(A) (B) (C) (D) .
二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．
(11) _________.
(12) 设函数 ，则 _________.
(13) 设 是二元可微函数， 则 _________.
(14) 微分方程 满足 的特解为 =_________.
(15) 设矩阵 则 的秩为_________.
(16) 在区间 中随机地取两个数，则这两数之差的绝对值小于 的概率为_________.三、解答题：17～24小题，共86分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．
(17) (本题满分10分)
设函数 由方程 确定，试判断曲线 在点 附近的凹凸性.
(18) (本题满分11分)
设二元函数 计算二重积分 ，其中 .
f(x,y)dxdy
D
(19) (本题满分11分)
设函数 在 上连续，在 内二阶可导且存在相等的最大值，又 ， ＝ ，
证明：
(I) 存在 使得 ；
(II) 存在 使得
(20) (本题满分10分)
将函数 展开成 的幂级数，并指出其收敛区间.
(21) (本题满分11分)
设线性方程组 ①与方程 ②有公共解，求 的值及所有公共解.(22) (本题满分11分)
设 阶实对称矩阵 的特征值 是 的属于 的一个特征向量.记
，其中 为 阶单位矩阵.
(I) 验证 是矩阵 的特征向量，并求 的全部特征值与特征向量；
(II) 求矩阵 .
(23) (本题满分11分)
设二维随机变量 的概率密度为
(I) 求 ；
(II)求 的概率密度 .
(24) (本题满分11分)
设总体 的概率密度为 ，其中参数 未知， 是来自总体 的
简单随机样本， 是样本均值.
(I) 求参数 的矩估计量 ；
(II) 判断 是否为 的无偏估计量，并说明理由.（相当于判断 ）
E（4X2)是否为22006 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.
(1) _________.
(2) 设函数 在 的某邻域内可导，且 ，则 _________.
(3) 设函数 可微，且 ，则 在点 处的全微分 _________.
(4) 设矩阵 ， 为 阶单位矩阵，矩阵B满足 ，则 _________.
(5) 设随机变量 与 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，则 _______.
(6) 设总体 的概率密度为 X ,X ，,X 为总体 的简单随机样本，其样本方差
1 2 n
，则 =_________.
二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分. 下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把
所选项前的字母填在题后的括号内.
(7) 设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在 处的增量， 与 分别为
在点 处对应的增量与微分，若 ，则：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(8) 设函数 在 处连续，且 ，则：（ ）
(A) 存在 (B) 存在
(C) 存在 (D) 存在
(9) 若级数 收敛，则级数：（ ）
(A) 收敛 (B) 收敛
(C) 收敛 (D) 收敛
(10) 设非齐次线性微分方程 有两个的解 为任意常数，则该方程的通解是：(A) (B)
(C) (D)
(11) 设 均为可微函数，且 已知 是 在约束条件 下的一个
极值点，下列选项正确的是：（ ）
(A) 若 (B) 若
(C) 若 (D) 若
(12) 设 均为 维列向量， 是 矩阵，下列选项正确的是：（ ）
(A) 若 线性相关，则 线性相关
(B) 若 线性相关，则 线性无关
(C) 若 线性无关，则 线性相关
(D) 若 线性无关，则 线性无关
(13) 设 为 阶矩阵，将 的第 行加到第 行得 ，再将 的第 列的 倍加到第 列得 ，记
，则：（ ）
(A) (B)
(C) (D) .
(14) 设随机变量 服从正态分布 ，随机变量 服从正态分布 ，且
，则必有：（ ）
(A) (B) (C) (D)
三、解答题：15~23小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
(15) (本题满分7分)
设 ，求(I) ；
(II) .
(16) (本题满分7分)
计算二重积分 ，其中 是由直线 所围成的平面区域.
(17) (本题满分10分)
证明：当 时， .
(18) (本题满分8分)
在 坐标平面上，连续曲线 过点 ，其上任意点 处的切线斜率与直线 的斜率之
差等于 .
(I) 求 的方程；
(II) 当 与直线 所围成平面图形的面积为 时，确定 的值.
(19) (本题满分10分)
求幂级数 的收敛域及和函数 .
(20) (本题满分13分)
设 维向量组 ， ， ，
，问 为何值时 线性相关?当 线性相关时，求其一个极大线性无
关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.
(21) (本题满分13分)
设 阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 ，向量 是线性方程组 的两个
解.
(I) 求 的特征值与特征向量；
(II) 求正交矩阵 和对角矩阵 ，使得 ；
(III) 求 及 ，其中 为 阶单位矩阵.(22) (本题满分13分)
设随机变量 的概率密度为 令 ， 为二维随机变量 的分布函数.
求：
(I) 的概率密度 ；
(II) ；
(III) .
(23) (本题满分13分)
设总体 的概率密度为 其中 是未知参数（ ）， 为来自总体
的简单随机样本.记 为样本值 中小于 的个数，求：
(I) 的矩估计；
(II) 的最大似然估计.2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(1) 极限 =_________.
(2) 微分方程 满足初始条件 的特解为_________.
(3) 设二元函数 ，则 _________.
(4) 设行向量组 ， ， ， 线性相关，且 ，则 _________.
(5) 从数 中任取一个数，记为 ，再从 中任取一个数，记为 ，则 =_______.
(6) 设二维随机变量 的概率分布为
若随机事件 与 相互独立，则 =_________， =_________.
二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，
把所选项前的字母填在题后的括号内.
(7) 当 取下列哪个值时，函数 恰好有两个不同的零点：（ ）
(A) . (B) (C) (D) .
(8) 设 ， ， ，其中
，则：（ ）
(A) (B) . (C) (D) .
(9) 设 若 发散， 收敛，则下列结论正确的是：（ ）
(A) 收敛， 发散 (B) 收敛， 发散
(C) 收敛 (D) 收敛
(10) 设 ，下列命题中正确的是：（ ）(A) 是极大值， 是极小值
(B) 是极小值， 是极大值
(C) 是极大值， 也是极大值
(D) 是极小值， 也是极小值.
(11) 以下四个命题中，正确的是：（ ）
(A) 若 在 内连续，则 在内有界
(B) 若 在 内连续，则 在 内有界
(C) 若 在 内有界，则 在 内有界
(D) 若 在 内有界，则 在 内有界
(12) 设矩阵 = 满足 ，其中 是 的伴随矩阵， 为 的转置矩阵.若 为三个相
等的正数，则 为：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(13) 设 是矩阵 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 ，则 ， 线性无关的充
分必要条件是：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(14) 设一批零件的长度服从正态分布 ，其中 均未知.现从中随机抽取 个零件，测得样本均值
，样本标准差 ，则 的置信度为 的置信区间是：（ ）
(A) (B)
(C) (D)
（注：大纲已不要求）
三 、解答题：本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分8分)
求 .(16) (本题满分8分)
设 具有二阶连续导数，且 ，求 .
(17) (本题满分9分)
计算二重积分 ，其中 .
(18) (本题满分9分)
求幂级数 在区间 内的和函数 .
(19) (本题满分8分)
设 在 上的导数连续，且 ， ， .证明：对任何 ，有
.
(20) (本题满分13分)
已知齐次线性方程组
(I) 和 (II)
同解，求 的值.
(21) (本题满分13分)
设 为正定矩阵，其中 分别为 阶， 阶对称矩阵， 为 矩阵.
(I) 计算 ，其中 ；
(II) 利用(I)的结果判断矩阵 是否为正定矩阵，并证明你的结论.(22) (本题满分13分)
设二维随机变量 的概率密度为
求：(I) 的边缘概率密度 ;
(II) 的概率密度 ;
(Ⅲ) .
(23) (本题满分13分)
设 为来自总体 的简单随机样本，其样本均值为 ，记 .
求：
(I) 的方差 ；
(II) 与 的协方差 ；
(III) 若 是 的无偏估计量，求常数 .2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上．
(1) 若 ，则 _________， _________.
(2) 函数 由关系式 确定，其中函数 可微，且 ，则 _________.
(3) 设 则 _________.
(4) 二次型 的秩为_________.
(5) 设随机变量 服从参数为 的指数分布，则 =_________.
(6) 设总体 服从正态分布 ， 总体 服从正态分布 ， 和 分别
是来自总体 和 的简单随机样本，则
_________.
二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
(7) 函数 在下列哪个区间内有界：（ ）
(A) (B) (C) . (D) .
(8) 设 在 内有定义，且 ， 则：（ ）
(A) 必是 的第一类间断点. (B) 必是 的第二类间断点.
(C) 必是 的连续点. (D) 在点 处的连续性与a的取值有关.
(9) 设 ， 则：（ ）(A) 是 的极值点，但 不是曲线 的拐点.
(B) 不是 的极值点，但 是曲线 的拐点.
(C) 是 的极值点，且 是曲线 的拐点.
(D) 不是 的极值点， 也不是曲线 的拐点.
(10) 设有以下命题：（ ）
① 若 收敛，则 收敛.
② 若 收敛，则 收敛.
③ 若 ，则 发散.
④ 若 收敛，则 ， 都收敛.
则以上命题中正确的是：（ ）
(A) ①②. (B) ②③.
(C) ③④. (D) ①④.
(11) 设 在 上连续，且 ，则下列结论中错误的是：（ ）
(A) 至少存在一点 ，使得 > .
(B) 至少存在一点 ，使得 > .
(C) 至少存在一点 ，使得 .
(D) 至少存在一点 ，使得 = .
(12) 设 阶矩阵 与 等价，则必有：（ ）
(A) 当 时， (B) 当 时， .
(C) 当 时， . (D) 当 时， .
(13) 设 阶矩阵 的伴随矩阵 若 是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐
次线性方程组 的基础解系：（ ）(A) 不存在 (B) 仅含一个非零解向量
(C) 含有两个线性无关的解向量 (D) 含有三个线性无关的解向量.
(14) 设随机变量 服从正态分布 ，对给定的 ，数 满足 ，若
，则 =（ ）
(A) (B) (C) (D) .
三、解答题：15~23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．
(15) (本题满分8分)
求 .
(16) (本题满分8分)
求 ，其中 是由圆 和
所围成的平面区域(如图).
(17) (本题满分8分)
设 在 上连续，且满足 ， .
证明： .
(18) (本题满分9分)
设某商品的需求函数为 ，其中价格 ， 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性 ( > )；
(II) 推导 (其中 为收益)，并用弹性 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.
(19) (本题满分9分)
设级数 的和函数为 .求:
(I) 所满足的一阶微分方程；
(II) 的表达式.
(20) (本题满分13分)
设 ， ， ， ，
试讨论当 为何值时，
(I) 不能由 线性表示；
(II) 可由 唯一地线性表示，并求出表示式；
(III) 可由 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.
(21) (本题满分13分)
设 阶矩阵 .
(I) 求 的特征值和特征向量；
(II) 求可逆矩阵 ，使得 为对角矩阵.(22) (本题满分13分)
设 为两个随机事件，且 ， ， ，令
求(I) 二维随机变量 的概率分布；
(II) 与 的相关系数 ；
(III) 的概率分布.
(23) (本题满分13分)
设随机变量 的分布函数为
其中参数 .设 为来自总体 的简单随机样本，
(I) 当 时，求未知参数 的矩估计量；
(II) 当 时，求未知参数 的最大似然估计量；
(III) 当 时，求未知参数 的最大似然估计量.2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(1) 设 其导函数在 处连续，则 的取值范围是_________.
(2) 已知曲线 与 轴相切，则 可以通过 表示为 _________.
(3) 设 ， 而 表示全平面，则
=_________.
(4) 设 维向量 ， 为 阶单位矩阵，矩阵 ， ，其中 的
逆矩阵为 ，则 _________.
(5) 设随机变量 和 的相关系数为 ，若 ，则 与 的相关系数为_________.
(6) 设总体 服从参数为 的指数分布， 为来自总体 的简单随机样本，则当 时，
依概率收敛于_________.
二、选择题：7~12小题，每小题4分，共24分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(7) 设 为不恒等于零的奇函数，且 存在，则函数 ：（ ）
(A) 在 处左极限不存在 (B) 有跳跃间断点
(C) 在 处右极限不存在 (D) 有可去间断点
(8) 设可微函数 在点 取得极小值，则下列结论正确的是：（ ）
(A) 在 处的导数等于零 (B) 在 处的导数大于零
(C) 在 处的导数小于零 (D) 在 处的导数不存在.
(9) 设 ， ， ，则下列命题正确的是：（ ）(A) 若 条件收敛，则 与 都收敛.
(B) 若 绝对收敛，则 与 都收敛.
(C) 若 条件收敛，则 与 敛散性都不确定.
(D) 若 绝对收敛，则 与 敛散性都不确定.
(10) 设三阶矩阵 ，若 的伴随矩阵的秩等于 ，则必有：（ ）
(A) 或 (B) 或
(C) 且 (D) 且 .
(11) 设 均为 维向量，下列结论不正确的是：（ ）
(A) 若对于任意一组不全为零的数 ，都有 ，则 线性无关.
(B) 若 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 ，有
(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 .
(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.
(12) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件: ={掷第一次出现正面}， ={掷第二次出现正面}， ={正、反面
各出现一次}， ={正面出现两次}，则事件：（ ）
(A) 相互独立 (B) 相互独立
(C) 两两独立 (D) 两两独立.
三、解答题：13~22小题，共102分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
(13) (本题满分8分)
设 ，试补充定义 使得 在 上连续.(14) (本题满分8分)
设 具有二阶连续偏导数，且满足 ，又 ，求
(15) (本题满分8分)
计算二重积分 ，其中积分区域
(16) (本题满分9分)
求幂级数 的和函数 及其极值.
(17) (本题满分9分)
设 ，其中函数 在 内满足以下条件：
， 且 ，
(I) 求 所满足的一阶微分方程；
(II) 求出 的表达式.
(18) (本题满分8分)
设函数 在 上连续，在 内可导，且 .试证必存在 ，使
(19) (本题满分13分)
已知齐次线性方程组
其中 试讨论 和 满足何种关系时，
(I) 方程组仅有零解；
(II) 方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.(20) (本题满分13分)
设二次型 f(x ,x ,x ) XTAX ax2 2x2 2x2 2bx x (b0), 其中二次型的矩阵 的特征值之和为 ，特征
1 2 3 1 2 3 1 3
值之积为 .
(I) 求 的值；
(II) 利用正交变换将二次型 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
(21) (本题满分13分)
设随机变量 的概率密度为
是 的分布函数.求随机变量 的分布函数.
(22) (本题满分13分)
设随机变量 与 独立，其中 的概率分布为
而 的概率密度为 ，求随机变量 的概率密度 .2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共 5小题，每小题3分，满分 15分，把答案填在题中横线上)
n
1 n2na1
(1) 设常数a ，则limln .
2 n n(12a)
1 1 1
y
(2) 交换积分次序：4dy f(x,y)dx2dy2 f(x,y)dx .
1
0 y y
4
1 2 2
(3) 设3阶矩阵A 2 1 2 ，3维列向量a,1,1T .已知A与线性相关，则a .
3 0 4
(4) 设随机变量X 和Y 的联合概率分布为
Y
-1 0 1
X
0 0.07 0.18 0.15
1 0.08 0.32 0.20
则X2和Y2的协方差Cov(X2,Y2) .
(5) 设总体X 的概率密度为
e(x),若x,
f(x;)
0, 若x
而X ,X , ,X 是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为 .
1 2 n
二、选择题(本题共 5小题，每小题 3分，共 15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选
项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设函数 f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内可导，则 ( )
(A)当 f(a)f(b)0时，存在(a,b)，使 f()0.
(B)对任何(a,b)，有lim[f(x) f()]0.
x
(C)当 f(a) f(b)时，存在(a,b)，使 f()0.
(D)存在(a,b)，使 f(b) f(a) f()(ba).
5 1 a2
(2) 设幂级数a xn 与b xn 的收敛半径分别为 与 ，则幂级数 n xn的收敛半径为 ( )
n n 3 3 b2
n1 n1 i1 n
5 1 1
(A) 5 (B) (C) (D)
3 3 5(3) 设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则线性方程组 ABx 0 ( )
(A)当nm时仅有零解 (B)当nm时必有非零解
(C)当mn时仅有零解 (D)当mn时必有非零解
(4) 设A是n阶实对称矩阵， P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量是 A的属于特征值的特征向量，则矩阵
P1AP T 属于特征值的特征向量是 ( )
(A) P1 (B) PT (C)P (D) P1T
(5) 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( )
(A) X Y服从正态分布 (B)X2 Y2服从2分布
(C)X2和Y2都服从2分布 (D)X2/Y2服从F 分布
三、(本题满分5分)
x u2
arctan(1t)dt du
0 0
求极限 lim
x0 x(1cosx)
四、(本题满分7分)
设函数u f(x,y,z)有连续偏导数，且zz(x,y)由方程xex yey zez所确定，求du.
五、(本题满分6分)
x x
设 f(sin2 x) ,求 f(x)dx.
sinx 1x
六、(本题满分7分)
设 D 是由抛物线 y2x2和直线 xa,x2及 y0所围成的平面区域； D 是由抛物线 y2x2 和直线
1 2
y0,xa所围成的平面区域，其中0a2.
(1)试求D 绕x轴旋转而成的旋转体体积V ；D 绕 y轴旋转而成的旋转体体积V ；
1 1 2 2
(2)问当a为何值时，V V 取得最大值？试求此最大值.
1 2
七、(本题满分7分)
x3 x6 x9 x3n
(1)验证函数 y(x)1 x满足微分方程 y y yex
3! 6! 9! 3n!
x3n
(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数.
3n!
n0
八、(本题满分6分)
设函数 f(x),g(x)在[a,b]上连续，且 g(x)0.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[a,b]，使
b b
f(x)g(x)dx f() g(x)dx.
a a九、(本题满分8分)
设齐次线性方程组
ax bx bx bx 0,
1 2 3 n
bx ax bx bx 0,
1 2 3 n
bx bx bx ax 0,
1 2 3 n
其中a0,b0,n2，试讨论a,b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，
并用基础解系表示全部解.
十、(本题满分8分)
设A为3阶实对称矩阵，且满足条件 A2 2AO，已知 A的秩r(A)2
(1)求A的全部特征值
(2)当k为何值时，矩阵 AkE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵.
十一、(本题满分 8分)
假设随机变量U 在区间2,2上服从均匀分布，随机变量
1,若U 1 -1,若U 1
X Y
1, 若U 1; 1, 若U 1;
试求：(1) X 和Y 的联合概率分布；(2)D(X Y).
十二、(本题满分 8分)
假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX） 为5小时.设备定时开机，
出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数
F(y).2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题
(1) 设生产函数为Q ALK, 其中Q是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而A, α, β均为大于零的参数,则
当Q =1时K关于L的弹性为 .
(2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万元.若以W 表示第t 年的工资总额(单位：百万
t
元)，则W 满足的差分方程是___
t
k 1 1 1
1 k 1 1
(3) 设矩阵A ,且r(A)=3,则k = .
1 1 k 1
1 1 1 k
(4) 设随机变量X和Y 的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5.则根据切比雪夫不
等式P | X Y |6 .
(5) 设总体X服从正态分布N（0,22），而X ,X , X 是来自总体X的简单随机样本，则随机变量
1 2 15
X2 X2
Y 1 10 服从____________分布，参数为__________.
2 X2 X2
11 15
二、选择题
f '(x)
(1) 设f (x)的导数在x=a处连续,又lim 1,则( )
xa xa
(A) x = a 是f (x)的极小值点.
(B) x = a 是f (x)的极大值点.
(C) (a, f(a))是曲线y= f(x)的拐点.
(D) x =a不是f (x)的极值点, (a, f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点.
1
(x21),0x1
x 2
(2) 设函数g(x) f(u)du,其中 f(x) ,则g(x)在区间(0,2) 内( )
0 1
(x1),1x2
3
(A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续
a a a a a a a a 0 0 0 1
11 12 13 14 14 13 12 11
a a a a a a a a 0 1 0 0
(3) 设A 21 22 23 24 ,B 24 23 22 21 ,P ,
a a a a a a a a 1 0 0 1 0
31 32 33 34 34 33 32 31
a a a a
a a a a
1 0 0 0
41 42 43 44 44 43 42 411 0 0 0
0 0 1 0
P ,其中A 可逆,则B1等于( )
2 0 1 0 0
0 0 0 1
(A) A1PP (B)PA1P (C)PPA1 (D)PA1P.
1 2 1 2 1 2 2 1
A
(4) 设A 是n 阶矩阵，α是n维列向量.若r r (A)，则线性方程组( )
T 0
(A)AX =α必有无穷多解 (B)AX =α 必有惟一解.
A X A X
(C)
0仅有零解 (D)
0必有非零解.
T 0 y T 0 y
(5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于( )
1
(A) -1 (B) 0 (C) (D) 1
2
三 、(本题满分5 分)
设u= f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定:
xzsint du
exy xy2和ex dt,求 .
0 t dx
四 、(本题满分6 分)
xc
已知f (x)在(−∞,+∞)内可导,且lim f '(x)e, lim( )x lim[f(x) f(x1)], 求c的值.
x x xc x
五 、(本题满分6 分)
1 (x2y2)
求二重积分y[1xe2 ]dxdy的值,其中D 是由直线y=x, y= −1及x =1围成的平面区域
D
六、(本题满分7 分)
已知抛物线 y px2 qx(其中p<0,q>0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的
面积为S.
(1) 问p和q为何值时，S达到最大? (2)求出此最大值.
七、(本题满分6 分)
1
设f (x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足 f(1)kk xe1xf(x)dx(k 1),
0
证明至少存在一点ξ∈(0,1), 使得 f()(11)f().
八、(本题满分7 分)
e
已知 f (x)满足 f'(x) f (x)xn1ex(n为正整数)且 f (1) ,求函数项级数 f (x)之和.
n n n n n n
i1九、(本题满分9 分)
1 1 a 1
设矩阵 A 1 a 1 , 1 .已知线性方程组AX =β有解但不唯一,试求:
a 1 1 2
(1) a的值;
(2) 正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.
十、(本题满分8 分)
设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n， A 是A a 中元素a 的代数余子式 (i,j =1,2,…,n) ，二次型
ij ij nn ij
n n A
f(x ,x ,x ) ij x x .
1 2 n | A| i j
i1 j1
(1) 记X （x ,x ,x )T,把f(x ,x ,,x )写成矩阵形式，并证明二次型 f(X)的矩阵为 A1;
1 2 n 1 2 n
(2) 二次型g(X) XTAX 与 f(X)的规范形是否相同？说明理由.
十一、(本题满分8 分)
一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5千克.若用最大载重量为
5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (Φ(2)=0.977,
其中Φ(x) 是标准正态分布函数).
十二、(本题满分8 分)
设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G=
{(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3 }
上的均匀分布，试求随机变量U=| X Y |
的概率密度 p(u).2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、填空题
x y z
（1）设z fxy, g ,其中f,g均可微，则 ________.
y x x
dx
（2）设 ________.
1 ex e2x
1 1 1 1
（3）若4阶矩阵 A和B相似；矩阵为 A的特征值 ，，， 则性列式|B-1-E| ________.
2 3 4 5，
1
,x[0,1]，
3
2 2
（4）设随机变量X的概率密度为 f(x) ,x[3,6]，若k使得P X k ,则k 的取值范围是________.
9 3
0,其他
1, X 0
（5）设随机变量 X 在区间 1,2 上服从均匀分布，随机变量Y 0, X 0则方差DY =________.
1, X 0
二、选择题
(1)设对任意的x，总有（x） f(x) g(x),且lim[g(x)(x)]0,则lim f(x)( )
x x
(A)存在且等于零 (B)存在但不一定为零
(C)一定不存在 (D)不一定存在
(2)设函数 f(x)在点xa处可导，则函数| f(x)| 在点xa处不可导的充分条件是( )
(A) f(a)0且f（a）0 (B) f(a)0且f（a）0
(C) f(a)0且f（a）0 (D) f(a)0且f（a）0
(3) 设a ,a ,a 是四元非齐次线形方程组 AX b的三个解向量，且r(A)3,a (1,2,3,4)T,a a (0,1,2,3)T,C
1 2 3 1 2 3
表示任意常数，则线形方程组 AX b得通解X ( )
1 1 1 0 1 2 1 3
2 1 2 1 2 3 2 4
(A) C (B) C (C) C (D) C
3 1 3 2 3 4 3 5
4 1 4 3 4 5 4 6
(4)设 A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）：AX 0和（Ⅱ）：ATAX 0，必有( )
(A)（Ⅱ）的解都是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）解也是（Ⅱ）的
(B)（Ⅱ）的解都是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）解不是（Ⅱ）的
(C)（Ⅰ）解不是（Ⅱ）的，（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解
(D)（Ⅰ）解是（Ⅱ）的，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解
(5)在电炉上安装4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t ，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，设T T T T 为4个温控器显示的按递增顺序排列
0 (1) (2) (3) (4)
的温度值，则事件E等于事件( )
(A) T t (B) T t
(1) 0 (2) 0
(C) T t (D) T t
(3) 0 (4) 0
三、（本题满分6分）
求微分方程 y2ye2x 0 满足条件 y(0)1,y(0)1的解。
四、（本题满分6分）
x2 y2
计算二重积分 d，其中D是由曲线 ya a2 x2(a0)和直线 yx围成的区域。
4a2 x2 y2
D
五、（本题满分6分）
假设某企业在两个相互分割的市场上出手同一种产品，两个市场的需求函数分别是
p 182Q,p 12Q ,其中 p ,p 分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），Q和Q 分别表示该
1 2 2 1 2 1 2
产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是C 2Q5，其中Q
表示该产品在两个市场的销售总量，即QQ Q
1 2
（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；
（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润
最大化；并比较两种策略的总利润大小。
六、（本题满分7分）
求函数 y (x1)exp arctan x的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线。
2
七、（本题满分6分）
设I 4sinn xcos xdx,n0,1,2,...,求I 。
n n
0
n0
八、（本题满分6分）
设函数 f x 在[0,]上连续，且 f x dx0, f x cos xdx 0
0 0
试证明：在 0， 内至少存在两个不同的点，，使f f 0
1 2 1 2
九、（本题满分6分）
设向量组a
a,2,10
T,a
2,1,5
T,a
1,1,4
T,(1,b,c)T,试问：当a,b,c满足什么条件时，
1 2 3（1）可由a ,a ,a 线性表出，且表示唯一？
1 2 3
（2）可由a ,a ,a 线性表出？
1 2 3
（3）可由a ,a ,a 线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式。
1 2 3
十、（本题满分10分）
设 有 n 元 实 二 次 型 f
x ,x ,...,x
x a x
2
x a x
2
...
x a x
2
x a x
2
， 其 中
1 2 n 1 1 2 2 2 3 n1 n1 n n n 1
a i1,2,...,n 为实数，试问：当a ,a ,a，...a 满足何种条件时，二次型 f(x ,x ,...,x )为正定二次型。
i 1 2 3 n 1 2 n
十一、（本题满分8 分）
假设05.50、1.25、0.80、2.00是来自总体X的简单随机样本值。已知Y ln X 服从正态分布N ,1
（1）求X的数学期望值E(X)(记E(X)为b)；
（2）求的置信度为0.95的置信区间；
（3）利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间。
十二、（本题满分8 分）
1 A出现 1 B出现
设A,B是两个随机事件，随机变量 X ，Y
1 A不出现 1 B不出现
试证明随机变量 X和Y不相关的充分必要条件是 A与B相互独立。1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、填空题
（1）设 f x 有一个原函数 sin x ，则 xf x dx ________.
x
2
1 n1
（2）n ________.
2
n1
1 0 1
（3）设 A0 2 0,而n2为正整数，则 An 2An1 ________.
1 0 1
（4）在天平上重复称量一重为 a 的物品，假设各次称重结果相互独立且同服从正态分布，N a,0.22 ，若以X 表
n
示n次称重结果的算术平均值，则为使P X -a 0.1 0.95,n的最小值应不小于自然数=________.
n
X X X
11 12 1n
X X X
（5）设随机变量 X i, j 1,2,...,n;n2 独立同分布， EX 2，则行列式Y 21 22 2n 的数学期望
ij ij
X X X
n1 n1 nn
EY ________.
二、选择题
(1)设 f
x
是连续奇函数，F
x
是f
x
的原函数，则( )
(A)当 f x 是奇函数时，F x 必为偶函数 (B)当 f x 是偶函数时，F x 必为奇函数
(C)当 f x 是周期函数时，F x 必为周期数 (D)当 f x 是单调增函数时，F x 必为单调增函数
(2)设 f x,y 连续，且 f x,y xy f u,v dudv，其中D是由 y0,y x2,x1所围区域，则 f x,y 等于( )
D
1
(A)xy (B)2xy (C)xy (D)xy1
8
(3) 设向量可由向量组a ,a ,a 线形表示，但不能有向量组（Ⅰ）a ,a ,a 线性表示，记向量组（Ⅱ）：
1 2 m 1 2 m1
a ,a ,a ，，则( )
1 2 m1
(A)a 不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示
m
(B)a 不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示
m
(C) a 可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示
m
(D) a 可由（Ⅰ）线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示
m(4)设 A,B为n阶矩阵，且 A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )
(A)EAEB (B)A与B有相同的特征值和特征向量
(C)A与B都相似于一个对角矩阵 (D) 对于任意常数t,tEA与tEB相似
10 1
(5)设随机变量 X ~ 1 1 1 i1,2 ，且满足P X X 0 1，则P X X 等于( )
i 1 2 1 2
4 2 4
1
(A)0 (B)
4
1
(C) (D) 1
2
三、（本题满分6分）
1
曲线 y 的切线与x轴和 y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a，试求切线方程和这个图形的面积，当
x
切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？
四、（本题满分7分）
计算二重积分 ydxdy,其中D是由直线x2,y0,y2以及曲线x 2yy2 所围成的平面区域。
D五、（本题满分6分）
设生产某种产品必须投入两种两种元素， x和x 分别为两元素要投入量，Q为产出量；若生产函数为
1 2
Q2xax，其中，为正常数，且1。假设两种元素的价格分别为 p和p ，试问，当产量为12时，两
1 2 1 2
元素各投入多少可以使得投入总费用最小？
六、（本题满分6分）
2, x1,
设有微分方程 y2y x ，其中 x
0, x1.
试求出 ， 内的连续函数 y y x ，使之在 ，1 和 1， 内都满足所给方程，且满足条件 y 0 0.
七、（本题满分6分）
设函数 f x 连续，且 x tf 2xt dt 1 arctan x2。已知 f 1 1,求 2 f x dx的值。
0 2 1
八、（本题满分7分）
1
设函数 f x 在区间 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 f 0 f 1 0，f 1.
2
1
试证：（1）存在 ，1，使f ;
2
（2）对于任意实数，必存在 0， ，使得 f f 1.九、（本题满分9分）
设矩阵
a 1 c
A 5 b 3 ,且|A|-1.又设A伴随矩阵A*有特征值，属于的特征向量为a 1，1,1 T
0 0
1c 0 a
求a、b、c、及的值。
0
十、（本题满分7分）
设 A为mn实矩阵，E为n阶单位矩阵。已知矩阵BEATA 试证：当0时，矩阵B为正定矩阵。
十一、（本题满分9 分）
0，X Y,
假设二维随机变量 X,Y 在矩阵形G x,y |0x2,0 y1 上服从均匀分布。记U
1， X Y,
0，X 2Y,
V
1， X 2Y,
(1)求U和V的联合分布；
(2)求U和V的相关系数r.
十二、（本题满分9 分）
1 1
设X ,X ,X 是来自正态总体X的简单随机样本，Y X X ,Y X X X ，
1 2 9 1 6 1 6 2 3 7 8 9
1 9 2 Y Y
S2 X Y 2,Z 1 2 ,证明统计量Z 服从自由度为2的t分布。
2 i 2 S
i71998 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设曲线 f(x) xn在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(,0),则lim f() .
n n
n
lnx1
(2) dx .
x2
(3) 差分方程2y 10y 5t 0的通解为 .
t1 t
1 0 0
(4) 设矩阵 A,B满足 A*BA2BA8E,其中A 0 2 0 ,E为单位矩阵, A*为A的伴随矩阵,则
0 0 1
B .
(5) 设 X ,X ,X ,X 是来自正态总体N 0,22 的简单随机样本, X aX 2X 2
1 2 3 4 1 2
b3X 4X 2 其中a,b0.则当a ,b 时,统计量 X 服从2分布,其自由度
3 4
为 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共 15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字
母填在题后的括号内.)
f 1 f 1x
(1) 设周期函数 f x在,内可导,周期为 4.又lim 1,则曲线 y f x在点 5, f 5
x0 2x
处的切线的斜率为 ( )
1
(A) (B) 0 (C) 1 (D) 2
2
1x
(2) 设函数 f xlim ,讨论函数 f x的间断点,其结论为 ( )
n1x2n
(A) 不存在间断点 (B) 存在间断点x1
(C) 存在间断点x0 (D) 存在间断点x1
x x 2x 0,
1 2 3
(3) 齐次线性方程组 x x x 0, 的系数矩阵记为 A.若存在三阶矩阵B0使得AB0,则（ ）
1 2 3
x x x 0
1 2 3
(A) 2且|B|0 (B) 2且|B|0
(C) 1且|B|0 (D) 1且|B|0
(4) 设nn3阶矩阵
1 a a a
a 1 a a
Aa a 1 a,
a a a 1 若矩阵 A的秩为n1,则a必为 ( )
1 1
(A) 1 (B) (C) 1 (D)
1n n1
(5) 设F(x)与F (x)分别为随机变量 X 与X 的分布函数.为使FxaF(x)bF (x) 是某一变量的分布函数,
1 2 1 2 1 2
在下列给定的各组数值中应取 ( )
3 2 2 2
(A) a ,b (B) a ,b
5 5 3 3
1 3 1 3
(C) a ,b (D) a ,b
2 2 2 2
三、(本题满分5分)
arctan
y 2z
设z (x2 y2)e x ,求dz与 .
xy
四、(本题满分5分)
设D
x,y
x2 y2 x
,求 xdxdy.
D
五、(本题满分6分)
设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定t 0)就售出,总收入为R (元).如果窖藏起来待来日按陈酒价格
0
2
t
出售,t年末总收入为R R e5 .假定银行的年利率为r,并以连续复利计息,试求窖藏多少年售出可使总收入的现
0
值最大.并求r 0.06时的t值.
六、(本题满分6分)
设函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(x)0.试证存在,(a,b),使得
f() eb ea
e.
f() ba
七、(本题满分6分)
1 1
设有两条抛物线 y nx2 和 y(n1)x2 ,记它们交点的横坐标的绝对值为a .
n n1 n
(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积S ；
n
S
(2) 求级数 n 的和.
a
n1 n八、(本题满分7分)
设函数 f(x)在[1,)上连续.若由曲线 y f(x),直线x1,xt(t 1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转
一周所形成的旋转体体积为
V(t) t2f(t) f(1).
3
2
试求 y f(x)所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件 y 的解.
x2 9
九、(本题满分9分)
设向量(a,a , ,a )T,(b,b , ,b )T都是非零向量,且满足条件T0.记n矩阵AT.求：
1 2 n 1 2 n
(1) A2；
(2) 矩阵 A的特征值和特征向量.
十、(本题满分7分)
1 0 1
设矩阵 A 0 2 0 ,矩阵B(kEA)2,其中k 为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵,使B与相似,并求
1 0 1
k为何值时,B为正定矩阵.
十一、(本题满分 10分)
一商店经销某种商品,每周进货的数量 X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量,且都服从区间
[10,20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润 1000 元；若需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供
应,这时每单位商品获利润为500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.
十二、(本题满分9分)
设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5 份.随机地
取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.
(1) 求先抽到的一份是女生表的概率 p；
(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.
