文档内容
2017 年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）2017的相反数是（ ）
A．﹣2017 B．2017 C． D．﹣
2．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）某市今年约有140000人报名参加初中学业水平考试，用科学记数法表示140000为
（ ）
A．14×104 B．14×103 C．1.4×104 D．1.4×105
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3=a5B．a2•a3=a5 C．a﹣1=﹣a D．（a+b）（a﹣b）=a2+b2
5．（3分）在创建“全国园林城市”期间，郴州市某中学组织共青团员去植树，其中七位同学
植树的棵树分别为：3，1，1，3，2，3，2，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．3，2 B．2，3 C．2，2 D．3，3
6．（3分）已知反比例函数y= 的图象过点A（1，﹣2），则k的值为（ ）
A．1B．2C．﹣2 D．﹣1
7．（3分）如图所示的圆锥的主视图是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，
第1页（共26页）∠D=30°，则∠α+∠β等于（ ）
A．180° B．210° C．360° D．270°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）在平面直角坐标系中，把点A（2，3）向左平移一个单位得到点A′，则点A′的坐标为
．
10．（3分）函数y= 的自变量x的取值范围为 ．
11．（3分）把多项式3x2﹣12因式分解的结果是 ．
12．（3分）为从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加市锦标赛，特统计了他们最近10次射
击训练的成绩，其中，他们射击的平均成绩都为8.9环，方差分别是S 2=0.8，S 2=1.3，从稳
甲 乙
定性的角度来看 的成绩更稳定．（填“甲”或“乙”）
13．（3分）如图，直线EF分别交AB、CD于点E，F，且AB∥CD，若∠1=60°，则∠2=
°．
14．（3分）已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为 cm（2 结果保留
π）
15．（3分）从1、﹣1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率
是 ．
第2页（共26页）16．（3分）已知a=﹣ ，a= ，a=﹣ ，a= ，a=﹣ ，…，则a= ．
1 2 3 4 5 8
三、解答题（共82分）
17．（6分）计算：2sin30°+（π﹣3.14）0+|1﹣ |+（﹣1）2017．
18．（6分）先化简，再求值： ﹣ ，其中a=1．
19．（6分）已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE=CD．
第3页（共26页）20．（8分）某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式
进行问卷调查，调查结果分为“A．非常了解”、“B．了解”、“C．基本了解”三个等级，并
根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）这次调查的市民人数为 人，m= ，n= ；
（2）补全条形统计图；
（2）若该市约有市民100000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会
主义核心价值观”达到“A．非常了解”的程度．
21．（8分）某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg．现用这两种原料生产出A，B两种产品
共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；
生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品
x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：
（1）生产A，B两种产品的方案有哪几种；
（2）设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方
案，并求出最大利润．
第4页（共26页）22．（8分）如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路
（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距
A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km
为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：
≈1.73）
23．（8分）如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，
且OA=3．
（1）求证：AB平分∠OAD；
（2）若点E是优弧 上一点，且∠AEB=60°，求扇形OAB的面积．（计算结果保留π）
24．（10分）设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣
第5页（共26页）1}=﹣1，max{1，2}=2，max{4，3}=4，参照上面的材料，解答下列问题：
（1）max{5，2}= ，max{0，3}= ；
（2）若max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，求x的取值范围；
（3）求函数y=x2﹣2x﹣4与y=﹣x+2的图象的交点坐标，函数y=x2﹣2x﹣4的图象如图所示，
请你在图中作出函数y=﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小
值．
25．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+ x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于丁C，且A（2，
第6页（共26页）0），C（0，﹣4），直线l：y=﹣ x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+ x+c上的一动点，
过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．
（1）试求该抛物线表达式；
（2）如图（1），过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；
（3）如图（2），过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC．
①求证：△ACD是直角三角形；
②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？
26．（12分）如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，
点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点
第7页（共26页）C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE．
（1）求证：△CDE是等边三角形；
（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周
长；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
第8页（共26页）2017 年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2017•郴州）2017的相反数是（ ）
A．﹣2017 B．2017 C． D．﹣
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【解答】解：2017的相反数是﹣2017，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相
反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义
混淆．
2．（3分）（2017•郴州）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）（2017•郴州）某市今年约有140000人报名参加初中学业水平考试，用科学记数法表
示140000为（ ）
A．14×104 B．14×103 C．1.4×104 D．1.4×105
第9页（共26页）【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将140000用科学记数法表示为：1.4×105．
故选D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2017•郴州）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3=a5B．a2•a3=a5 C．a﹣1=﹣a D．（a+b）（a﹣b）=a2+b2
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=a6，不符合题意；
B、原式=a5，符合题意；
C、原式= ，不符合题意；
D、原式=a2﹣b2，不符合题意，
故选B
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（3分）（2017•郴州）在创建“全国园林城市”期间，郴州市某中学组织共青团员去植树，
其中七位同学植树的棵树分别为：3，1，1，3，2，3，2，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．3，2 B．2，3 C．2，2 D．3，3
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中3是出现次数最多的，故众数
是3；处于这组数据中间位置的那个数是2，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是
2．
【解答】解：在这一组数据中3是出现次数最多的，故众数是3；
处于这组数据中间位置的那个数是2，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是2．
故选B．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，解题时要细心．
6．（3分）（2017•郴州）已知反比例函数y= 的图象过点A（1，﹣2），则k的值为（ ）
第10页（共26页）A．1B．2C．﹣2 D．﹣1
【分析】直接把点（1，﹣2）代入反比例函数y= 即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y= 的图象过点A（1，﹣2），
∴﹣2= ，
解得k=﹣2．
故选C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标
一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
7．（3分）（2017•郴州）如图所示的圆锥的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．
【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，主视图是从物体的
正面看得到的视图．
8．（3分）（2017•郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，
∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（ ）
第11页（共26页）A．180° B．210° C．360° D．270°
【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可．
【解答】解：∠α=∠1+∠D，
∠β=∠4+∠F，
∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F
=∠2+∠D+∠3+∠F
=∠2+∠3+30°+90°
=210°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内
角的和是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2017•郴州）在平面直角坐标系中，把点A（2，3）向左平移一个单位得到点A′，则点
A′的坐标为 （ 1 ， 3 ） ．
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
【解答】解：∵点A（2，3）向左平移1个单位长度，
∴点A′的横坐标为2﹣1=1，纵坐标不变，
∴A′的坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；
纵坐标上移加，下移减．
第12页（共26页）10．（3分）（2017•郴州）函数y= 的自变量x的取值范围为 x≥﹣ 1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
11．（3分）（2017•郴州）把多项式3x2﹣12因式分解的结果是 3 （ x﹣ 2 ）（ x+ 2 ） ．
【分析】首先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【解答】解：3x2﹣12=3（x2﹣4）=3（x﹣2）（x+2）．
故答案为：3（x﹣2）（x+2）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，在分解因式时首先要考虑提取公
因式，再考虑运用公式法，注意分解一定要彻底．
12．（3分）（2017•郴州）为从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加市锦标赛，特统计了他们
最近10次射击训练的成绩，其中，他们射击的平均成绩都为8.9环，方差分别是S 2=0.8，S
甲 乙
2=1.3，从稳定性的角度来看 甲 的成绩更稳定．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义即可得．
【解答】解：∵S 2=0.8，S 2=1.3，
甲 乙
∴S 2＜S 2，
甲 乙
∴成绩最稳定的运动员是甲，
故答案是：甲．
【点评】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义：方差越小，数据的密集度越高，波动幅度越
小是解题的关键．
13．（3分）（2017•郴州）如图，直线EF分别交AB、CD于点E，F，且AB∥CD，若∠1=60°，则
∠2= 12 0 °．
第13页（共26页）【分析】两直线平行，同位角相等，据此可得到∠EFD，然后根据邻补角概念即可求出∠2．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DFE=∠1=60°，
∴∠2=180°﹣∠DFE=120°．
故答案为：120．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
14．（3分）（2017•郴州）已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为 15 π
cm2（结果保留π）
【分析】首先利用勾股定理求得圆锥的底面半径，然后利用圆锥的侧面积=π×底面半径×母线
长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：∵圆锥的高是4cm，母线长5cm，
∴勾股定理得圆锥的底面半径为3cm，
∴圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm2．
故答案为：15π．
【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．
15．（3分）（2017•郴州）从1、﹣1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐
标轴上的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出刚好在坐标轴上的点个数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表得：
第14页（共26页）﹣1 1 0
﹣1 ﹣﹣﹣ （1，﹣1） （0，﹣1）
1 （﹣1，1） ﹣﹣﹣ （0，1）
0 （﹣1，0） （1，0） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种，
所以该点在坐标轴上的概率= = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
也考查了点的坐标特征．
16．（3分）（2017•郴州）已知a=﹣ ，a= ，a=﹣ ，a= ，a=﹣ ，…，则a= ．
1 2 3 4 5 8
【分析】根据已给出的5个数即可求出a 的值；
8
【解答】解：由题意给出的5个数可知：a=
n
当n=8时，a=
8
故答案为：
【点评】本题考查数字规律问题，解题的关键是正确找出规律，本题属于中等题型．
三、解答题（共82分）
17．（6分）（2017•郴州）计算：2sin30°+（π﹣3.14）0+|1﹣ |+（﹣1）2017．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及乘方的意义
计算即可得到结果．
【解答】解：原式=1+1+ ﹣1﹣1= ．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是
解本题的关键．
18．（6分）（2017•郴州）先化简，再求值： ﹣ ，其中a=1．
第15页（共26页）【分析】先根据异分母分式的加法法则化简原式，再将a的值代入即可得．
【解答】解：原式= ﹣
=
= ，
当a=1时，
原式= = ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键．
19．（6分）（2017•郴州）已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求
证：BE=CD．
【分析】由∠ABC=∠ACB可得AB=AC，又点D、E分别是AB、AC的中点．得到AD=AE，通
过△ABE≌△ACD，即可得到结果．
【解答】证明：∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵点D、E分别是AB、AC的中点．
∴AD=AE，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记定理是解题的关键．
第16页（共26页）20．（8分）（2017•郴州）某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机
抽样的方式进行问卷调查，调查结果分为“A．非常了解”、“B．了解”、“C．基本了解”三
个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）这次调查的市民人数为 50 0 人，m= 1 2 ，n= 3 2 ；
（2）补全条形统计图；
（2）若该市约有市民100000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会
主义核心价值观”达到“A．非常了解”的程度．
【分析】（1）根据项目B的人数以及百分比，即可得到这次调查的市民人数，据此可得项目
A，C的百分比；
（2）根据对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的人数为：32%×500=160，补全条
形统计图；
（3）根据全市总人数乘以A项目所占百分比，即可得到该市对“社会主义核心价值观”达到
“A非常了解”的程度的人数．
【解答】解：（1）280÷56%=500人，60÷500=12%，1﹣56%﹣12%=32%，
故答案为：500，12，32；
（2）对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的人数为：32%×500=160，
补全条形统计图如下：
第17页（共26页）（3）100000×32%=32000（人），
答：该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的程度．
【点评】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的运用，解题时注意：从条形图可以很容
易看出数据的大小，便于比较．从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
21．（8分）（2017•郴州）某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg．现用这两种原料生产出
A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品
可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．
设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：
（1）生产A，B两种产品的方案有哪几种；
（2）设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方
案，并求出最大利润．
【分析】（1）根据两种产品所需要的甲、乙两种原料列出不等式组，然后求解即可；
（2）根据总利润等于两种产品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性求出最大利
润即可．
【解答】解：（1）根据题意得： ，
解得18≤x≤20，
∵x是正整数，
∴x=18、19、20，
共有三种方案：
方案一：A产品18件，B产品12件，
方案二：A产品19件，B产品11件，
方案三：A产品20件，B产品10件；
第18页（共26页）（2）根据题意得：y=：700x+900（30﹣x）=﹣200x+27000，
∵﹣200＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x=18时，y有最大值，
y =﹣200×18+27000=23400元．
最大
答：利润最大的方案是方案一：A产品18件，B产品12件，最大利润为23400元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确找出题
中的等量关系和不等量关系是解题的关键．
22．（8分）（2017•郴州）如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一
条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线
段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆
心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参
考数据： ≈1.73）
【分析】作PH⊥AC于H．求出PH与100比较即可解决问题．
【解答】解：结论；不会．理由如下：
作PH⊥AC于H．
由题意可知：∠EAP=60°，∠FBP=30°，
∴∠PAB=30°，∠PBH=60°，
∵∠PBH=∠PAB+∠APB，
∴∠BAP=∠BPA=30°，
第19页（共26页）∴BA=BP=120，
在Rt△PBH中，sin∠PBH= ，
∴PH=PB•sin60°=120× ≈103.80，
∵103.80＞100，
∴这条高速公路不会穿越保护区．
【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
23．（8分）（2017•郴州）如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是
⊙O的半径，且OA=3．
（1）求证：AB平分∠OAD；
（2）若点E是优弧 上一点，且∠AEB=60°，求扇形OAB的面积．（计算结果保留π）
【分析】（1）连接OB，由切线的性质得出OB⊥BC，证出AD∥OB，由平行线的性质和等腰三
角形的性质证出∠DAB=∠OAB，即可得出结论；
（2）由圆周角定理得出∠AOB=120°，由扇形面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵BC切⊙O于点B，
∴OB⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴AD∥OB，
∴∠DAB=∠OBA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠DAB=∠OAB，
第20页（共26页）∴AB平分∠OAD；
（2）解：∵点E是优弧 上一点，且∠AEB=60°，
∴∠AOB=2∠AEB=120°，
∴扇形OAB的面积= =3π．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、扇形面积公
式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
24．（10分）（2017•郴州）设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：
max{﹣1，﹣1}=﹣1，max{1，2}=2，max{4，3}=4，参照上面的材料，解答下列问题：
（1）max{5，2}= 5 ，max{0，3}= 3 ；
（2）若max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，求x的取值范围；
（3）求函数y=x2﹣2x﹣4与y=﹣x+2的图象的交点坐标，函数y=x2﹣2x﹣4的图象如图所示，
请你在图中作出函数y=﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小
值．
【分析】（1）根据max{a，b}表示a、b两数中较大者，即可求出结论；
（2）根据max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y=﹣x+2的图象，观察图
形，即可得出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．
第21页（共26页）【解答】解：（1）max{5，2}=5，max{0，3}=3．
故答案为：5；3．
（2）∵max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，
∴3x+1≤﹣x+1，
解得：x≤0．
（3）联立两函数解析式成方程组，
，解得： ， ，
∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．
画出直线y=﹣x+2，如图所示，
观察函数图象可知：当x=3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数的图象，
解题的关键是：（1）读懂题意，弄清max的意思；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，找出关
于x的一元一次不等式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标．
25．（10分）（2017•郴州）如图，已知抛物线y=ax2+ x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于丁
C，且A（2，0），C（0，﹣4），直线l：y=﹣ x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+ x+c
上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．
第22页（共26页）（1）试求该抛物线表达式；
（2）如图（1），过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；
（3）如图（2），过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC．
①求证：△ACD是直角三角形；
②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？
【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、c的方程组，然后解方
程组求得a、c的值即可；
（2）设P（m， m2+ m﹣4），则F（m，﹣ m﹣4），则PF=﹣ m2﹣ m，当PF=OC时，四边
形PCOF是平行四边形，然后依据PF=OC列方程求解即可；
（3）①先求得点D的坐标，然后再求得AC、DC、AD的长，最后依据勾股定理的逆定理求解
即可；②分为△ACD∽△CHP、△ACD∽△PHC两种情况，然后依据相似三角形对应成比例列
方程求解即可
【解答】解：（1）由题意得： ，解得： ，
∴抛物线的表达式为y= x2+ x﹣4．
（2）设P（m， m2+ m﹣4），则F（m，﹣ m﹣4）．
∴PF=（﹣ m﹣4）﹣（ m2+ m﹣4）=﹣ m2﹣ m．
∵PE⊥x轴，
∴PF∥OC．
∴PF=OC时，四边形PCOF是平行四边形．
第23页（共26页）∴﹣ m2﹣ m=4，解得：m=﹣ 或m=﹣8．
当m=﹣ 时， m2+ m﹣4=﹣ ，
当m=﹣8时， m2+ m﹣4=﹣4．
∴点P的坐标为（﹣ ，﹣ ）或（﹣8，﹣4）．
（3）①证明：把y=0代入y=﹣ x﹣4得：﹣ x﹣4=0，解得：x=﹣8．
∴D（﹣8，0）．
∴OD=8．
∵A（2，0），C（0，﹣4），
∴AD=2﹣（﹣8）=10．
由两点间的距离公式可知：AC2=22+42=20，DC2=82+42=80，AD2=100，
∴AC2+CD2=AD2．
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．
②由①得∠ACD=90°．
当△ACD∽△CHP时， = ，即 = 或 = ，
解得：n=0（舍去）或n=﹣5.5或n=﹣10.5．
当△ACD∽△PHC时， = ，即 = 或即 = ．
解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18．
综上所述，点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形
与△ACD相似．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函
数的解析式、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、相似三角形的性质，依据平行线的对边
相等列出关于m的方程是解答问题（2）的关键，利用相似三角形的性质列出关于n的方程是
解答问题（3）的关键．
26．（12分）（2017•郴州）如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，
第24页（共26页）且OA=6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将
△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE．
（1）求证：△CDE是等边三角形；
（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周
长；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；
（ 2 ） 当 6 ＜ t ＜ 10 时 ， 由 旋 转 的 性 质 得 到 BE=AD ， 于 是 得 到
C =BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到
△DBE
当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；
（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质
得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，
求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，此时
不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到
t=14÷1=14s．
【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴∠DCE=60°，DC=EC，
∴△CDE是等边三角形；
（2）存在，当6＜t＜10时，
由旋转的性质得，BE=AD，
∴C =BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，
△DBE
由（1）知，△CDE是等边三角形，
∴DE=CD，
∴C =CD+4，
△DBE
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，
此时，CD=2 cm，
第25页（共26页）∴△BDE的最小周长=CD+4=2 +4；
（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
∴当点D与点B重合时，不符合题意，
②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，
∴∠BED=90°，
由（1）可知，△CDE是等边三角形，
∴∠DEB=60°，
∴∠CEB=30°，
∵∠CEB=∠CDA，
∴∠CDA=30°，
∵∠CAB=60°，
∴∠ACD=∠ADC=30°，
∴DA=CA=4，
∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，
∴t=2÷1=2s；
③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，
∴此时不存在；
④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，
又由（1）知∠CDE=60°，
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，
而∠BDC＞0°，
∴∠BDE＞60°，
∴只能∠BDE=90°，
从而∠BCD=30°，
∴BD=BC=4，
∴OD=14cm，
∴t=14÷1=14s，
综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形
的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
第26页（共26页）
