文档内容
镇江市2019年中考数学试卷
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）
1．﹣2019的相反数是 ．
2．27的立方根为 ．
3．一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝ ．
4．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
5．氢原子的半径约为0.00000000005m，用科学记数法把0.00000000005表示为 ．
6．已知点A（﹣2，y）、B（﹣1，y）都在反比例函数y＝﹣ 的图象上，则y
1 2 1
y．（填“＞”或“＜”）
2
7．计算： ﹣ ＝ ．
8．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等
边三角形，∠A＝20°，则∠1＝ °．
9．若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于 ．
10．将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D
落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝ ．（结果保留根号）
11．如图，有两个转盘A、B，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字 1，2，分别
转动转盘A、B，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字 1的扇形区域内”的
概率是 ，则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 °．
1 / 2412．已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长
不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是 ．
二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题所给出的四个选项中
恰有一项符合题目要求）
13．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a7÷a3＝a4 C．（a3）5＝a8 D．（ab）2＝ab2
14．一个物体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径， ＝ ．若∠C＝
110°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
16．下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组 的
2 / 24解集的是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角
线BD的长是 ，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运
动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则
菱形ABCD的边长等于（ ）
A． B． C． D．3
三、解答题（本大题共有11小题，共计81分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤。）
18．（8分）（1）计算：（ ﹣2）0+（ ）﹣1﹣2cos60°；
（2）化简：（1+ ）÷ ．
19．（10分）（1）解方程： ＝ +1；
3 / 24（2）解不等式：4（x﹣1）﹣ ＜x
20．（6分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C
分别作EF的垂线，垂足为G、H．
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．
21．（6分）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，
请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线
于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝ ．
23．（6分）如图，点A（2，n）和点D是反比例函数y＝ （m＞0，x＞0）图象上的两
点，一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点
D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OA，OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S ：S ＝3：
△OAB △ODE
4．
（1）S ＝ ，m＝ ；
△OAB
（2）已知点P（6，0）在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标．
4 / 2424．（6分）在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三
角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．
（1）∠ABC＝ °；
（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．
参考值：sin78°≈0.98，cos78°＝0.21，tan78°≈4.7．
5 / 2425．（6分）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后
对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示
的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．
各类别的得分表
得分 类别
0 A：没有作答
1 B：解答但没有正确
3 C：只得到一个正确答案
6 D：得到两个正确答案，解答完全正
确
已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试
题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：
（1）九（2）班学生得分的中位数是 ；
（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是多少？
6 / 2426．（6分）【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图 1中的⊙O）．人们在
北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图 2所示的工具尺（古
人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这
样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线
的夹角α的大小是变化的．
【实际应用】
观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在
子午线往北的另一个观测点 B，用同样的工具尺测得 α 为 67°．PQ 是⊙O 的直径，
PQ⊥ON．
（1）求∠POB的度数；
（2）已知 OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O 上 的长．（π 取
7 / 243.1 ）
27．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数y
＝ x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．
（1）点D的坐标是 ；
8 / 24（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标
为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．
①当n＝ 时，求DP的长；
②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值
范围 ．
28．（11分）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B
之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到
达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、
在端点处相遇这两种．
【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位
长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A之间的距离为40个单位长度，则
他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度；
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第
二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与
x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．
①a＝ ；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第
9 / 24三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，
则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是 ．（直接
写出结果）
10 / 24参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）
1．解：﹣2019的相反数是：2019．
故答案为：2019．
2．解：∵33＝27，
∴27的立方根是3，
故答案为：3．
3．解：∵数据4，3，x，1，5的众数是5，
∴x＝5，
故答案为：5．
4．解：由题意得x﹣4≥0，
解得x≥4．
故答案为：x≥4．
5．解：用科学记数法把0.0000 0000 005表示为5×10﹣11．
故答案为：5×10﹣11．
6．解：∵反比例函数y＝﹣ 的图象在二、四象限，而A（﹣2，y）、B（﹣1，y）都在第二象限，
1 2
∴在第二象限内，y随x的增大而增大，
∵﹣2＜﹣1
∴y＜y．
1 2
故答案为：＜
7．解： ＝2 ﹣ ＝ ．
故答案为： ．
8．解：∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠BDC＝60°，
由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2﹣∠A＝40°，
故答案为：40．
11 / 249．解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，
解得m＝1．
故答案为1．
10．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝1，∠CDA＝90°，
∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，
∴CF＝ ，∠CFDE＝45°，
∴△DFH为等腰直角三角形，
∴DH＝DF＝CF﹣CD＝ ﹣1．
故答案为 ﹣1．
11．解：设转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x，
根据题意得： ，
解得 ，
∴转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：360°× ＝80°．
故答案为：80．
12．解：∵抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，
∴ ＝﹣ ＝﹣2
∵线段AB的长不大于4，
∴4a+1≥3
∴a≥
∴a2+a+1的最小值为：（ ）2+ +1＝ ；
故答案为 ．
二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合
题目要求）
13．解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；
B、a7÷a3＝a4，正确；
C、（a3）5＝a15，故此选项错误；
D、（ab）2＝a2b2，故此选项错误；
12 / 24故选：B．
14．解：俯视图从图形上方观察即可得到，
故选：D．
15．解：连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，
∵ ＝ ，
∴∠CAB＝ ∠DAB＝35°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，
故选：A．
16．解：由x+2＞a得x＞a﹣2，
A．由数轴知x＞﹣3，则a＝﹣1，∴﹣3x﹣6＜0，解得x＞﹣2，与数轴不符；
B．由数轴知x＞0，则a＝2，∴3x﹣6＜0，解得x＜2，与数轴相符合；
C．由数轴知x＞2，则a＝4，∴7x﹣6＜0，解得x＜ ，与数轴不符；
D．由数轴知x＞﹣2，则a＝0，∴﹣x﹣6＜0，解得x＞﹣6，与数轴不符；
故选：B．
17．解：如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．
13 / 24∵E（﹣2，0），F（0，
6），
∴OE＝2，OF＝6，
∴EF＝ ＝2 ，
∵∠FGE＝90°，
∴FG≤EF，
∴当点G与E重合时，FG的值最大．
如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．
∵PA＝PB，BE＝EC＝a，
∴PE∥AC，BJ＝JH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BH＝DH＝ ，BJ＝ ，
∴PE⊥BD，
∵∠BJE＝∠EOF＝∠PEF＝90°，
∴∠EBJ＝∠FEO，
14 / 24∴△BJE∽△EOF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴a＝ ，
∴BC＝2a＝ ，
故选：A．
三、解答题（本大题共有11小题，共计81分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
18．解：（1）（ ﹣2）0+（ ）﹣1﹣2cos60°
＝1+3﹣2
＝2；
（2）（1+ ）÷
＝（ + ）÷
＝ •
＝x+1．
19．解；（1）方程两边同乘以（x﹣2）得
2x＝3+x﹣2
∴x＝1
检验：将x＝1代入（x﹣2）得1﹣2＝﹣1≠0
x＝1是原方程的解．
∴原方程的解是x＝1．
（2）化简4（x﹣1）﹣ ＜x得
4x﹣4﹣ ＜x
∴3x＜
15 / 24∴x＜
∴原不等式的解集为x＜ ．
20．（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，
∴∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE，
∴∠AEG＝∠CFH，
在△AGE和△CHF中， ，
∴△AGE≌△CHF（AAS）；
（2）解：线段GH与AC互相平分，理由如下：
连接AH、CG，如图所示：
由（1）得：△AGE≌△CHF，
∴AG＝CH，
∵AG∥CH，
∴四边形AHCG是平行四边形，
∴线段GH与AC互相平分．
21．解：根据题意画树状图如下：
16 / 24共有9种等情况数，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，
则小丽和小明在同一天值日的概率是 ＝ ．
22．（1）证明：连接AB，如图所示：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠OCD，
∴∠ABC＝∠OCD，
∵OD⊥AO，
∴∠COD＝90°，
∴∠D+∠OCD＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠D，
∴∠OBD+∠ABC＝90°，
即∠ABO＝90°，
∴AB⊥OB，
∵点B在圆O上，
∴直线AB与⊙O相切；
（2）解：∵∠ABO＝90°，
∴OA＝ ＝ ＝13，
∵AC＝AB＝5，
∴OC＝OA﹣AC＝8，
∴tan∠BDO＝ ＝ ＝ ；
故答案为： ．
23．解：（1）由一次函数y＝kx+3知，B（0，3）．
17 / 24又点A的坐标是（2，n），
∴S ＝ ×3×2＝3．
△OAB
∵S ：S ＝3：4．
△OAB △ODE
∴S ＝4．
△ODE
∵点D是反比例函数y＝ （m＞0，x＞0）图象上的点，
∴ m＝S ＝4，则m＝8．
△ODE
故答案是：3；8；
（2）由（1）知，反比例函数解析式是y＝ ．
∴2n＝8，即n＝4．
故A（2，4），将其代入y＝kx+3得到：2k+3＝4．
解得k＝ ．
∴直线AC的解析式是：y＝ x+3．
令y＝0，则 x+3＝0，
∴x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴OC＝6．
由（1）知，OB＝3．
设D（a，b），则DE＝b，PE＝a﹣6．
∵∠PDE＝∠CBO，∠COB＝∠PED＝90°，
∴△CBO∽△PDE，
∴ ＝ ，即 ＝ ①，
又ab＝8 ②．
联立①②，得 （舍去）或 ．
故D（8，1）．
18 / 2424．解：（1）∵五边形ABDEF是正五边形，
∴∠BAF＝ ＝108°，
∴∠ABC＝∠BAF﹣∠BAC＝30°，
故答案为：30；
（2）作CQ⊥AB于Q，
在Rt△AQC中，sin∠QAC＝ ，
∴QC＝AC•sin∠QAC≈10×0.98＝9.8，
在Rt△BQC中，∠ABC＝30°，
∴BC＝2QC＝19.6，
∴GC＝BC﹣BG＝9.6．
25．解：（1）由条形图可知九（2）班一共有学生：3+6+12+27＝48人，
将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D类，所以中位数是6分．
故答案为6分；
（2）两个班一共有学生：（22+27）÷50%＝98（人），
九（1）班有学生：98﹣48＝50（人）．
设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是x人、y人．
19 / 24由题意，得 ，
解得 ．
答：九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是6人、17人．
26．解：（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，如图所示：
则∠DHC＝67°，
∵∠HBD+∠BHD＝∠BHD+∠DHC＝90°，
∴∠HBD＝∠DHC＝67°，
∵ON∥BH，
∴∠BEO＝∠HBD＝67°，
∴∠BOE＝90°﹣67°＝23°，
∵PQ⊥ON，
∴∠POE＝90°，
∴∠POB＝90°﹣23°＝67°；
（2）同（1）可证∠POA＝31°，
∴∠AOB＝∠POB﹣∠POA＝67°﹣31°＝36°，
∴ ＝ ＝3968（km）．
27．解：（1）顶点为D（2，9）；
故答案为（2，9）；
（2）对称轴x＝2，
∴C（2， ），
20 / 24由已知可求A（﹣ ，0），
点A关于x＝2对称点为（ ，0），
则AD关于x＝2对称的直线为y＝﹣2x+13，
∴B（5，3），
①当n＝ 时，N（2， ），
∴DA＝ ，DN＝ ，CD＝
当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，
∵△DAC∽△DPN，
∴ ，
∴DP＝9 ；
当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA，
∴△DNQ∽△DCA，
∴ ，
∴DP＝9 ；
综上所述，DN＝9 ；
②当PQ∥AB，DB＝DP时，
DB＝3 ，
∴ ，
∴DN＝ ，
∴N（2， ），
∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时， ＜n＜ ；
故答案为 ＜n＜ ；
28．解：【观察】①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣30＝120个单位长度，
设机器人甲的速度为v，
21 / 24∴机器人乙的速度为 v＝4v，
∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为 ，
机器人乙从相遇地点到点 A再返回到点 B所用时间为 ＝ ，而
，
∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，
机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），
∴m＝90，
故答案为：90；
②∵相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣40＝110个单位长度，
设机器人甲的速度为v，
∴机器人乙的速度为 v＝ v，
∴机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为 ＝ ，
机器人甲从相遇点到点B所用时间为 ，而 ，
∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点 A，再到点B，返回时和机器
人乙第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，40+150+150﹣m＝ （m﹣40），
∴m＝120，
故答案为：120；
【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为 v，
根据题意知，x+150＝ （150﹣x），
22 / 24∴x＝50，
经检验：x＝50是分式方程的根，
即：a＝50，
故答案为：50；
②当0＜x≤50时，点P（50，150）在线段OP上，
∴线段OP的表达式为y＝3x，
当v＜ v时，即当50＜x＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B返回向点
A时，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为 v，
根据题意知，x+y＝ （150﹣x+150﹣y），
∴y＝﹣3x+300，
即：y＝ ，
补全图形如图2所示，
【拓展】如图，由题意知，x+y+150+150＝ （150﹣x+150﹣y），
∴y＝﹣5x+300，
∵第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，
∴﹣5x+300≤60，
∴x≥48，
∵x＜75，
∴48≤x＜75，
故答案为48≤x＜75．
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