中考冲刺：动手操作与运动变换型问题--知识讲解（提高）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_59中考冲刺：动手操作与运动变换型问题（提高）

让更多的孩子得到更好的教育 中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—知识讲解（提高） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【中考展望】 1．对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和 “再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验 稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现. 2．估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四 边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力． 图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型： 1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)． 2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要 求的图形等)． 3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)． 4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)． 解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用 代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计． 另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获 得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效． 从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类 是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，在梯 形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，动态问题 是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分. 【方法点拨】 实践操作问题： 解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭 示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发，通 过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、 思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知 发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题． 动态几何问题： 1、动态几何常见类型 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 （1）点动问题（一个动点） （2）线动问题（二个动点） （3）面动问题（三个动点） 2、运动形式 平移、旋转、翻折、滚动 3、数学思想 函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想 4、解题思路 （1）化动为静，动中求静 （2）建立联系，计算说明 （3）特殊探路，一般推证 【典型例题】 类型一、图形的剪拼问题 1．直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下(如图所示)： 请你用上面图示的方法，解答下列问题： (1)对下图中的三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形； (2)对下图中的四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形． 【思路点拨】 对于三角形的分割重组，要想拼成一个矩形，则分割时必须构造出直角来，示例中通过作中位线的 垂线段而分割出①③两个直角三角形．对于四边形的分割重组，可以先把四边形转化为三角形的问题，再 利用三角形的分割重组方法进行． 【答案与解析】 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 解：(1)如图所示： (2)如图所示： 【总结升华】 按照三角形的剪拼方法，探索规律，将任意四边形先分割成三角形，再进行剪拼，使学生经历由简单 到复杂的探索过程． 举一反三： 【变式】如图所示，将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是( )． 【答案】 裁剪之后，将最后折叠成的小正方形按原来对折相反的方向展开，折痕(虚线)所在直线即为对称轴， 则剪出的菱形小洞会对称地出现在折痕的另一侧，见下图： 故选D． 类型二、实践操作 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 ABCD 2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片 ，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH． （1）求证：∠APB=∠BPH； （2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出 这个最小值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）要证APB=BPH，由内错角APB=PBC，即证PBC=BPH，折叠后EBP=EPB=90°，再由性 质等角的余角相等即可得证．（2）△PHD的周长为PD+DH+PH．过B作BQ⊥PH构造直角三角形，再利用三角 形全等：△ABP≌△QBP 和△BCH≌△BQH．证明 AP=QP， CH=QH，可得其周长为定值．（3） 1 S  (BECF)BC，关键是用 x 来表示 BE、CF．过F作FM⊥AB，垂足为M，先由边角关系得 2 △ EFM≌ △ BPA ， 得 EM  AP=x ． 在 Rt△ APE 中 可 由 勾 股 定 理 表 示 出 BE ， 再 由 x2 ，很容易用x表示出S，再配方求最值． CF  BEEM 2 x 8 【答案与解析】 解：（1）∵PE=BE， ∴EBP=EPB． 又∵EPH=EBC=90°， ∴EPH-EPB=EBC-EBP． 即PBC=BPH． 又∵AD∥BC， ∴APB=PBC． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 ∴APB=BPH． （2）△PHD的周长不变，为定值 8． 证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q． 由（1）知APB=BPH， 又∵A=BQP=90°，BP=BP， ∴△ABP≌△QBP． ∴AP=QP, AB=BQ． 又∵ AB=BC， ∴BC = BQ． 又∵C=BQH=90°，BH=BH， ∴△BCH≌△BQH． ∴CH=QH． ∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8. （3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM  BC  AB. 又EF为折痕，∴EF⊥BP. ∴EFM MEF ABPBEF 90， ∴EFM ABP． 又∵A=EMF=90°， ∴△EFM≌△BPA． ∴EM  AP=x． ∴在Rt△APE中， ． (4BE)2 x2  BE2 解得， x2 ． BE 2 8 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 ∴ x2 ． CF  BEEM 2 x 8 又四边形PEFG与四边形BEFC全等， ∴ 1 1 x2 ． S  (BECF)BC  (4 x)4 2 2 4 1 即：S  x2 2x8． 2 1 配方得，S  (x2)2 6， 2 ∴当x=2时，S有最小值6． 【总结升华】 本题将函数和几何知识较好的综合起来，对能力的要求较高．本题考查了三角形全等、正方形的性质、 勾股定理、梯形的面积公式、折叠的性质、二次函数等相关知识．难度较大，是一道很好的压轴题，通过此 题能够反映出学生的思维能力及数学知识的掌握程度，解答本题要学会将题目中的已知量与待求量联系 起来．此题的关键是证明几组三角形的全等，以及用x来表示S． 3．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B＝90°， ∠A＝90°，∠A＝30°，BC＝6 cm；图(参中，∠D＝90°，∠E＝45°，DE＝4 cm．图③是刘卫同学所做的一 个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程 中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)． (1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐________．(填“不变”、 “变大”或“变小”) (2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题： 问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行? 问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形 是直角三角形? 问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD＝15°？如果存在，求出AD的长度； 如果不存在，请说明理由． 请你分别完成上述三个问题的解答过程． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 【思路点拨】 本题以动三角形为背景，考查特殊角的三角函数值、勾股定理． 【答案与解析】 解：(1)变小． (2)问题①： ∵∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝6， ∴AC＝12． ∵∠FDE＝90°，∠DEF＝45°，DE＝4， ∴DF＝4． 连结FC，设FC∥AB， ∴∠FCD＝∠A＝30° ∴在Rt△FDC中，DC＝ ． 4 3 ∴AD＝AC－DC＝ 124 3 即AD＝ cm时，FC∥AB． (124 3) 问题②： 设AD＝x，在Rt△FDC中，FC2＝DC2+FD2＝(12-x)2+16． 31 (i)当FC为斜边时，由AD2+BC2＝FC2得x2 62 (12x)2 16，x ． 6 49 (ii)当AD为斜边时，由FC2 BC2  AD2得(12x)2 16 x2，x 8(不符合题意，舍去)． 6 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 (iii)当BC为斜边时，由 得 ， ， AD2 FC2  BC2 x2 (12x)2 1662 x2 12x620 △＝144－248＜0， ∴方程无解． 另解：BC不能为斜边． ∵FC＞CD．∴FC+AD＞12． ∴FC、AD中至少有一条线段的长度大于6． ∴BC不能为斜边． 31 ∴由(i)、(ii)、(iii)得，当x cm时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形． 6 问题③： 解法一：不存在这样的位置，使得∠FCD＝15°． 理由如下：假设∠FCD＝15°． 由∠FED＝45°，得∠EFC＝30°． 作∠EFC的平分线，交AC于点P， 则∠EFP＝∠CFP＝∠FCP＝15°， ∴PF＝PC．∠DFP＝∠DFE+∠EFP＝60°． ∴PD＝ ，PC＝PF＝2FD＝8． 4 3 ∴PC+PD＝8+ ． 4 3 12 ∴不存在这样的位置，使得∠FCD＝15°． 解法二：不存在这样的位置，使得∠FCD＝15°． 假设∠FCD＝15°，设AD＝x． 由∠FED＝45°，得∠EFC＝30°． 作EH⊥FC，垂足为H． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 1 ∴HE＝ EF＝2 2 ，CE＝AC－AD－DE＝8-x， 2 且 ． FC2 (12x)2 16 ∵∠FDC＝∠EHC＝90°，∠DCF为公共角， EC HE ∴△CHE∽△CDF．∴  ． FC DF  HE  2 2 2  2 1 EC 2 1 又        ，∴    ． DF   4  2 FC 2 (8x)2 1 整理后，得到方程 ．  (12x)2 16 2 ∴ (不符合题意，舍去)， x 44 3 0 1 (不符合题意，舍去)． x 44 3 8 2 ∴不存在这样的位置，使得∠FCD＝15°． 【总结升华】 本题的突破点是将图形静止于所要求的特殊位置，根据题中条件得出相应的结论．本题涉及分类讨 论思想、方程思想，有一定的难度． 举一反三： 【高清课堂：图形的设计与操作及运动变换型问题 例3 】 【变式】如图，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB=6,CD=BC=4， BC⊥OB于B,以O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，开发区综合服务管理委员会（其占 地面积不计）设在点P（4,2）处.为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条 路所在的直线 将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线 是否存在？若存在求出直线 的解 析式,若不存在，请说明理由. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第9页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 【答案】 解：如图③，存在符合条件的直线 ， 过点D作DA⊥OB于点A， 则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心 ∴过点P的直线只要平分 的面积即可. 易知，在OD边上必存在点H，使得直线PH将 面积平分， 从而，直线PH平分梯形OBCD的面积. 即直线PH为所求直线 设直线PH的表达式为 且过点 ∵直线OD的表达式为 解之，得 ∴点H的坐标为 ∴PH与线段AD的交点F的坐标为 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第10页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 ∴ 解之，得 ∴直线 的表达式为 l 类型三、平移旋转型操作题 4．两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝1．固定△ABC不动，将△DEF 进行如下操作： (1)如图所示，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的 形状在不断地变化，但它的面积不变化，请求出其面积． (2)如图所示，当D点移动到．AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由． (3)如图所示，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边 上，此时，点恰好与B点重合，连结AE，请你求出sinα的值． 【思路点拨】 平移时，CF AD，AD＝BE，根据等底等高的特征，将求梯形面积转化为求 ，旋转时需知道∠ABE S △ABC ＝90°，BE＝CB，运用相似等知识解答． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第11页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 【答案与解析】 【解析】(1)过C点作CG⊥AB于G，如图． CG 在Rt△AGC中，∵sin60° ， AC ∴ 3 ． CG  2 ∵AB＝2， ∴ 1 3 3 ． S S  2  梯形CDBF △ABC 2 2 2 (2)菱形． ∵CD∥BF，FC∥BD，∴四边形CDBF是平行四边形 ∵DF∥AC，∠ACB＝90°， ∴CB⊥DF， ∴四边形CDBF是菱形． (3)解法一：过D点作DH ⊥AE于H，如图， 则 1 1 3 ， S  AD EB 1 3  △ADE 2   2 2 又 1 3 ， S  AE DH  △ADE 2   2 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第12页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 3 3 21 DH   或  ．   AE 7 7   DH 3  21 ∴在Rt△DHE中，sin  或  ．   DE 2 7 14   解法二：∵△ADH∽△AEB， ∴ DH AD ，即 DH 1 ，   BE DE 3 7 3 ∴ ， DH  7 DH 3  21 ∴sin  或  ．   DE 2 7 14   【总结升华】 本题是平移和旋转类型的操作题，需知道平移和旋转的性质，这两种变换都是全等变换. 类型四、动态数学问题 5．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发 沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90，得到线段 AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作 y 轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒． （1）当点B与点D重合时，求t的值； 25 （2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S  ； 4 （3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线yax2 10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围． 【思路点拨】 （1）易证Rt△CAO∽Rt△ABE；当B、D重合时，BE的长已知（即OC长），根据AC、AB的比例关系，可得AO、BE 的比例关系，由此求得t的值． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第13页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 （2）求△BCD的面积时，可以CD为底、BD为高来解，那么表示出BD的长是关键；Rt△CAO∽Rt△ABE，且知 道AC、AB的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长，进一步得到BD的长，在表达BD 长时，应分两种情况考虑：①B在线段DE上，②B在ED的延长线上． （3）通过配方法，可得抛物线的顶点坐标，将其横坐标分别代入直线MB、AB的解析式中，可得抛物线对称 轴与这两条直线的交点坐标，根据这两个坐标即可判定出a的取值范围． 【答案与解析】 解：（1）∵CAOBAE90，ABEBAE90， ∴CAOABE． ∴Rt△CAO∽Rt△ABE． CA AO ∴  ， AB BE 2AB t ∴  ， AB 4 ∴t 8． 1 （2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：BE t，AE2． 2 1 1 t 25 当0＜t＜8时，S  CDBD (2t)(4 ) ． 2 2 2 4 ∴ ． t t 3 1 2 1 1 t 25 当t＞8时，S  CDBD (2t)( 4) ． 2 2 2 4 ∴ ， （为负数，舍去）． t 35 2 t 35 2 1 2 25 当t 3或35 2 时，S  ． 4 1 （3）如图，过M作MN⊥x轴于N，则MN  CO2． 2 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第14页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 当MB∥OA时，BEMN 2，OA2BE4． 抛物线 的顶点坐标为（5， ）． yax2 10ax 25a 它的顶点在直线x5上移动．直线x5交MB于点（5，2），交AB于点（5，1）． ∴1＜25a＜2． 2 1 ∴ ＜a＜ ． 25 25 【总结升华】 本题是二次函数综合题，属于图形的动点问题，前两问的关键在于找出相似三角形，得到关键线段的 表达式，注意点在运动过程中未知数的取值范围问题．最后一问中，先得到抛物线的顶点坐标是简化解题 的关键． 举一反三： 【高清课堂：图形的设计与操作及运动变换型问题 例4 】 【变式】如图，平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，∠A=60°，点P从点A出发沿折线AB-BC以每秒1个单位 长的速度向点C运动，当P与C重合时停止运动，过点P作AB的垂线PQ交AD或DC于Q．设P运动时间为 t秒，直线PQ扫过平行四边形ABCD的面积为S．求S关于t的函数解析式． 【答案】 解：（1） 1 3 ； S= t 3t  t2(0≤t≤3) 2 2 （2） 1 9 3 ； S= （t-3t）3 3 3 3t- (3＜t≤10) 2 2 （3） 1 16-t 3(16t) S=103 3-   2 2 2 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第15页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 3 =103 3- （16-t）2 8 3 . - t2 4 3t2 3(10＜t≤16) 8 综上，S关于t的函数解析式为：  3  t2 (0≤t≤3) 2   9 3 S 3 3t- (3＜t≤10) 2   3 - t2 4 3t2 3(10＜t≤16)  8 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第16页 共16页