文档内容
年春季期⾼⼆年级期末考试
2025
数学
考⽣注意：
1．本试卷分选择题和⾮选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考⽣务必⽤直径0.5毫⽶⿊⾊墨⽔签字笔将密封线内项⽬填写清楚.
3．考⽣作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每⼩题选出答案后，⽤2B铅笔把答题卡上对
应题⽬的答案标号涂⿊；⾮选择题请⽤直径0.5毫⽶⿊⾊墨⽔签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案⽆效，在试题卷、草稿纸上作答⽆效.
4．本卷命题范围：⼀元函数的导数及其应⽤，计数原理，数学探究，随机变量及其分布，成
对数据的统计分析，数学建模，集合与常⽤逻辑⽤语，⼀元⼆次函数、⽅程和不等式，函数
的概念与性质.
⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
符合题⽬要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利⽤集合的交集、补集的定义即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
⼜ ，所以 .
故选：A.
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件概率的公式求解，即可得出答案.
第1⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】由条件概率公式 可得，
.
故选：B.
3. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ）
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利⽤正态分布的对称性列式计算作答.
【详解】因为 ，所以 ，
⼜ ，所以 .
故选：B.
4. 曲线 在 处的切线⽅程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将 代⼊曲线⽅程求得切点坐标，利⽤导数的⼏何意义求解切线斜率，利⽤直线⽅程点斜式求
解即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ．
⼜当 时， ，故切点坐标为 ，所以切线⽅程为 ．
故选：A.
5. 已知函数 满⾜ ，且 ，则 （ ）
A. B.0 C.1 D.2
【答案】C
第2⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【解析】
【分析】⾸先得出函数的周期是4，然后结合 ， 即可求解.
【详解】 ，
.
故选：C.
6. 设随机变量 ，且 ，随机变量 ，则 （ ）
A. B. C.2 D.3
【答案】B
【解析】
【分析】根据⼆项分布期望公式可求出 ，从⽽可求出 ，进⽽由 求得结果.
【详解】因为随机变量 ，
所以 ，解得 ，
所以 ,
因为 ，
所以 .
故选：B
7. 随着⼤数据时代的到来，越来越多的⽹络平台开始使⽤推荐系统来给⽤户提供更加个性化的服务.某公司
在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x（ ）万条时，平台软件收⼊为 元.已
知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当该软件获得最⾼收益时，收集的数据量应为（ ）
A.17万条 B.16万条 C.15万条 D.14万条
【答案】C
【解析】
【分析】由题意列出收益函数，然后利⽤导数研究其单调性，根据单调性求解最值即可得解.
【详解】设收益为y元，则 ，
第3⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，当 时， ；当 时， ，
所以函数y在 上单调递增，在 上单调递减，
即当收集 数据量为15万条时，该软件能获得最⾼收益.
故选：C.
8. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在⽤7种颜
⾊给5个⼩区域（ ， ， ， ， ）涂⾊，规定每个区域只涂⼀种颜⾊，相邻区域所涂颜⾊不同，则
不同的涂⾊⽅法有（ ）
A.2520种 B.3360种 C.3570种 D.4410种
【答案】D
【解析】
【分析】利⽤分类加法计数原理，分步乘法计数原理解决.
【详解】分4步进⾏分析：
①对于区域 ，有7种颜⾊可选；
②对于区域 ，与 区域相邻，有6种颜⾊可选；
③对于区域 ，与 、 区域相邻，有5种颜⾊可选；
④对于区域 、
若 与 颜⾊相同， 区域有5种颜⾊可选，
若 与 颜⾊不相同， 区域有4种颜⾊可选， 区域有4种颜⾊可选，
则区域 、 有 种选择.
综上所述，不同的涂⾊⽅案有 种.
故选：D.
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 学⽣⻝堂提供 共4种主⻝和 共5种配菜，李明同学想点2种主⻝与2种配菜，则
第4⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（ ）
A. 不选主⻝ 的⽅法种数为30 B. 主⻝ 和配菜 都选的⽅法种数为12
C. 配菜 ⾄少选1种的⽅法种数为54 D. 主⻝ ，配菜 只选2种的⽅法种数为21
【答案】ABD
【解析】
【分析】由两种计数原理结合组合数逐个判断即可.
【详解】对于A，不选主⻝ 的⽅法种数为 ，A正确；
对于B，主⻝ 和配菜 都选的⽅法种数为 ，B正确；
对于C，配菜 ⾄少选1种的⽅法种数为 ，C错误；
对于D，主⻝ ，配菜 只选2种的⽅法种数为 ，D正确．
故选：ABD．
10. 下列关于 的⼆项展开式，说法正确的是（ ）
A. 展开式共有10项 B. 展开式 ⼆项式系数之和为1024
C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的⼆项式系数最⼤
【答案】BD
【解析】
【分析】由⼆项展开式及性质可知A错误，B正确.利⽤⼆项展开式的通项公式求常数项和第6项可知C错
误，D正确.
【详解】由题意可知，展开式共有11项，故A错误；
展开式的⼆项式系数之和为 ，故B正确；
展开式的通项为 ，
令 ，得 ，所以展开式的常数项为 ，故C错误；
当 时，⼆项式系数 最⼤，所以展开式的第6项的⼆项式系数最⼤，故D正确.
故选：BD.
11. 已知正数a，b满⾜ ，则（ ）
第5⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由题意 ，对于ABC，由⼆次函数性质即可判断；对于D，由基
本不等式即可判断.
【详解】由题意 ，
对于A， ，因为 ，所以 ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，
当 时， 有最⼩值 ，⽽ ，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 函数 的定义域是________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意列出不等式即可求解.
【详解】由题意 ，解得 且 ，所以函数 的定义域是
.
故答案为： .
13. 函数 的极⼩值点为________．
【答案】
第6⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【解析】
【分析】先求导，然后由 与 求得单调区间，再由导数与极值的关系求得极⼩值点.
【详解】 ，
令 ，即 ，∴ ；
令 ，即 ，∴ ．
∴ 的单调增区间为 ，单调减区间为 ．
因此 时函数 取得极⼩值.
函数 的极⼩值点为 .
故答案为：
14. 某校有10名同学进⼊“⼀带⼀路”知识竞赛的半决赛环节，半决赛设置 三道题⽬，选⼿按
的顺序回答题⽬，只要答对2道题⽬，即可进⼊决赛，若每位选⼿答对 、 题⽬的概率分
别为 ，且每道题⽬答对与否互不影响.设 ⼈进⼊决赛的概率为 ，当 取得最⼤值时，
________.
【答案】7
【解析】
【分析】根据相互独⽴事件的概率乘法公式计算出每个⼈进⼊决赛的概率，利⽤⼆项分布的概率公式写出
的表达式，列出不等式组，结合组合数的阶乘公式进⾏求解即可.
【详解】每位同学进⼊总决赛的概率为 ，
设 表示 ⼈进⼈总决赛，则 ，
则 .
当 取得最⼤值时，
第7⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司需满⾜
解得： ，⼜ ，所以当 取得最⼤值时， .
故答案为：7
四、解答题：本题共5⼩题，共77分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知命题 ：“ ，使得不等式 成⽴”是假命题．
（1）求实数m的取值范围；
（2）设m的取值范围为集合A，集合 ，若 是 的充分条件，求实数k
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题命题的否定为真命题，故有 恒成⽴，即可求m范围；
（2）由充分条件有 ，列出不等式组进⾏计算即可.
【⼩问1详解】
因为命题 是假命题，所以命题的否定“ ，
使得不等式 成⽴” 真命题，
则 ，解得 ，
故实数m的取值范围 ；
⼩问2详解】
若 是 的充分条件，则 ，
，解得 ，即 .
16. 已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
第8⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）若 恒成⽴，求实数 的取值范围．
【答案】（1）单调减区间是 ，单调增区间是 和 ；
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，由导函数的符号确定函数的单调区间即可；
（2）解法1：将题设不等式等价转化，参变分离为 ，从⽽求函数 的最⼤值
即可；解法2：根据 值分类讨论函数 的单调性，再由函数的最值列出不等式确
定参数范围即可.
【⼩问1详解】
当 时， ， ，
，
由 ，可得 或 ，
由 ，可得 ，
所以函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 和 ；
【⼩问2详解】
解法1：由 恒成⽴，可得：对 ， ，
即 ， ，
令 ，可得 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减，
所以当 时， ，所以 ，
第9⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以实数 的取值范围为 ．
解法2：由 恒成⽴，可得： ， ，
令 ，
当 时，可得 ，即 在 上单调递增，
⼜ ，即 不能恒成⽴，不合题意；
当 时，令 ，解得 ，
所以当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减．
所以 ，
因为 恒成⽴，则需使 恒成⽴，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ．
17. 随着互联⽹的⾼速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为⼀种新兴的⽂化载体，正逐渐成为拓展⽂
化消费空间的重要途径．某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下
列联表：
年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计
是微短剧消费者 30 45
不是微短剧消费者
合计 100 200
（1）根据⼩概率值 的独⽴性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？
（2）记2020~2024年的年份代码 依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024
年中国微短剧预测的市场规模 （单位：亿元）与 的统计数据：
第10⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司年份代码x 1 2 3 4 5
市场规模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m
根据上表数据求得 关于 的经验回归⽅程为 ，求相关系数 ，并判断该经验回归⽅
程是否有价值．
参考公式： ，其中 ， ．
回归⽅程 ，其中 ， ， ，相关系数
．若 ，则认为经验回归⽅程有价值．
【答案】（1）认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联
（2） ，该经验回归⽅程有价值．
【解析】
【分析】（1）补全 列联表，根据公式求出 ，再通过独⽴性检验与临界值⽐较判断即可；
（2）通过给出的经验回归⽅程公式求相关系数，再判断．
【⼩问1详解】
补全 列联表如下：
年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计
微短剧消费者 30 15 45
不是微短剧消费者 70 85 155
合计 100 100 200
假设 “是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”⽆关联，
第11⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因为 ，
根据⼩概率值 的独⽴性检验，推断 不成⽴，
即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05．
【⼩问2详解】
由x的取值依次为1，2，3，4，5，可得 ， ，
因为经验回归⽅程为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以该经验回归⽅程有价值．
18. 某⽹红景点为促进本地旅游，在五⼀期间举⾏购票抽奖活动，根据⽹上购票与景点购票，设置两种不同
的抽奖⽅案．
⽅案1：通过⽹上购票的游客，可进⼊景点⽹⻚中设置的⼩程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随
机获得0元、10元、20元的奖⾦，且抽到0元，10元，20元的概率均为 ．
⽅案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个⽩球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个
球，第 次取到红球，可得10i元奖⾦，取到⽩球没有奖⾦．
（1）游客甲通过⽹上购票，记甲抽奖获得的奖⾦总⾦额为X元，求 ；
（2）游客⼄通过景点购票，记⼄抽奖获得的奖⾦为Y元，求Y的分布列；
（3）试从游客所得奖⾦⾦额的期望值分析，游客选择哪种购票⽅式更划算．
【答案】（1）
第12⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）答案⻅解析 （3）游客选择⽹上购票更划算
【解析】
【分析】（1）利⽤独⽴事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算即可；
（2）利⽤排列组合和古典概型的概率公式求分布列；
（3）先求出 的分布列，再计算两个随机变量的期望，⽐⼤⼩即可.
【⼩问1详解】
，即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包
的概率均为 ，
所以 ．
【⼩问2详解】
由题意得 的可能取值为0，10，20，30，40，50，60，
，
，
， ，
所以 的分布列为：
0 10 20 30 40 50 60
【⼩问3详解】通过景点购票，由（2）得
，
的可能取值为0，10，20，30，40，
，
，
，
第13⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 ，
故 ，
所以游客选择⽹上购票更划算.
19. 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，若 存在零点，求实数 的取值范围；
（3）证明： .
【答案】（1）答案⻅解析
（2）
（3）证明⻅解析
【解析】
【分析】（1）求导后分 和 讨论可得；
（2）求导后分析单调性和最值，再结合零点可得；
（3）当 时，令 ，结合（2）的结论和对数的运算性质以及等差数列的求和公式得到
，再两边同时取指数运算可得.
【⼩问1详解】
的定义域为 ， ，
当 时，因 ，所以 恒成⽴，即 在 为单调递减函数；
当 时，令 ，所以当 时， ， 为单调递减函数；当
时， ， 为单调递增函数，
综上，当 时， 在 为单调递减函数；
第14⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司当 时， 时， 为单调递减函数； 时， 为单调递增函数.
【⼩问2详解】
当 时， ， ， ，
则 ，
令 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 ，
因为 存在零点，所以 ，
即实数 的取值范围为 .
【⼩问3详解】
由（2）可得，当 时， ，
令 ，则 ，
所以
，
即 ，
两边同时取指数可得 ，
⼜上式中 ，所以 .
第15⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
