文档文本内容
南充市二○二二年初中学业水平考试
数学试卷
（满分150分，时间120分钟）
注意事项：
1.答题前将姓名、座位号、身份证号、准考证号填在答题卡指定位置．
2.所有解答内容均需涂、写在答题卡上．
3.选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂．
4.填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根
据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂
记0分．
1. 下列计算结果为5的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据去括号法则及绝对值化简依次计算判断即可．
【详解】解：A、-（+5）=-5，不符合题意；
B、+（-5）=-5，不符合题意；
C、-(-5)=5，符合题意；
D、 ，不符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查去括号法则及化简绝对值，熟练掌握去括号法则是解题关键．
2. 如图，将直角三角板 绕顶点A顺时针旋转到 ，点 恰好落在 的延长
线上， ，则 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出 的度数，由旋转可知 ，
在根据平角的定义求出 的度数即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵由旋转可知 ，
∴ ，
故答案选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解
答本题的关键．
3. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据单项式的减法、除法及同底数幂的除法、积的乘方运算依次计算判断即可．
【详解】解：A、5a-3a=2a，选项错误；
B、6a 2a=3，选项错误；
C、 ÷ ，选项错误；
D、 ，选项正确；
故选：D．
【点睛】题目主要考查单项式的减法、除法及同底数幂的除法、积的乘方运算，熟练掌握
各个运算法则是解题关键．
4. 《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，
问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设鸡有x只，则兔子有（35-x）只，根据足共有94列出方程即可．
【详解】解：设鸡有x只，则兔子有（35-x）只，
根据题意可得：2x+4(35-x)=94，
故选：D．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键．
5. 如图，在正五边形 中，以 为边向内作正 ，则下列结论错误的是（
学科网（北京）股份有限公司）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．
【详解】解：∵多边形 是正五边形，
∴该多边形内角和为： ， ，
∴ ，故D选项正确；
∵ 是正三角形，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，故B选项正确；
∵ ， ，
∴ ，故A选项正确；
∵ ， ，
∴ ，故C选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形的性质以及多边形内角和公式，熟练掌握正多边形“各边长度
相等，各角度数相等”是解题的关键．
6. 为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间（时
间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖关于睡眠时
间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，计算平均数、众数及方差需要全部数据，从统计图可得：前三组
的数据共有5+11+16=32，共有50名学生，中位数为第25与26位的平均数，据此即可得出
结果．
【详解】解：根据题意可得，计算平均数、方差需要全部数据，故A、D不符合题意；
∵50-5-11-16=18＞16，
∴无法确定众数分布在哪一组，故C不符合题意；
从统计图可得：前三组的数据共有5+11+16=32，
共有50名学生，中位数为第25与26位的平均数，
已知的数据中中位数确定，且不受后面数据的影响，
故选：B．
∴
【点睛】题目主要考查条形统计图与中位数、平均数、众数及方差的关系，理解题意，掌
握中位数、平均数、众数及方差的计算方法是解题关键．
7. 如图，在 中， 的平分线交 于点D，DE//AB，交 于
点E， 于点F， ，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线
得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，
故A错误．
【详解】解：在 中， 的平分线交 于点D， ，
∴CD=DF=3，故B正确；
∵DE=5，
∴CE=4，
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠DAF，
∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE=5，故C正确；
∴AC=AE+CE=9，故D正确；
∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，
∴△BDF≌△DEC，
∴BF=CD=3，故A错误；
故选：A．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等
三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．
8. 如图， 为 的直径，弦 于点E， 于点F， ，
则 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据邻补角得出∠AOF=180°-65°=115°，利用四边形内角和得出∠DCB=65°，结合
圆周角定理及邻补角进行求解即可．
【详解】解：∵∠BOF=65°，
∴∠AOF=180°-65°=115°，
∵CD⊥AB，OF⊥BC，
学科网（北京）股份有限公司∴∠DCB=360°-90°-90°-115°=65°，
∴∠DOB=2×65°=130°，
∴∠AOD=180°-130°=50°，
故选：C．
【点睛】题目主要考查邻补角的计算及圆周角定理，四边形内角和等，理解题意，综合运
用这些知识点是解题关键．
9. 已知 ，且 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将分式进件化简为 ，然后利用完全平方公式得出 ，
，代入计算即可得出结果．
【详解】解：
，
，
∵ ，
∴
，
∴ ，
∵a>b>0 ，
∴ ，
∵ ，
∴
，
∴ ，
∵a>b>0
学科网（北京）股份有限公司，
∴
原式
∴ =
，
故选：B．
【点睛】题目主要考查完全公式 计的算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键．
10. 已知点 在抛物线 上，当
且 时，都有 ，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得，抛物线的对称轴为 ，然后分四种情况进行讨论
分析，最后进行综合即可得出结果．
【详解】解：根据题意可得，抛物线的对称轴为 ，
①当0<m< 时， 恒成立；
②当 时， 恒不成立；
③当 时，使 恒成立，
∴m ，
∴m ，
，
④当 时， 恒不成立；
综上可得： ，
故选：A．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是
解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡
对应的横线上．
11. 比较大小： _______________ ．（选填＞，＝，＜）
学科网（北京）股份有限公司【答案】<
【解析】
【分析】先计算 ， ，然后比较大小即可．
【详解】解： ， ，
，
∵
，
∴故答案为： ．
【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，负整数指数幂的运算，零次幂的运算，熟练掌
<
握运算法则是解题关键．
12. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡
片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据简单的概率公式求解即可．
【详解】解：卡片中有2张是物理变化，一共有6张卡片，
是物理变化的概率为： ，
∴
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查简单的概率公式计算，理解题意是解题关键．
13. 数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在 外选
择一点C，测得 两边中点的距离 为 （如图），则A，B两点的距离是
_______________m．
学科网（北京）股份有限公司【答案】20
【解析】
【分析】根据题意得出DE为∆ABC的中位线，然后利用其性质求解即可．
【详解】解：∵点D、E为AC，BC的中点，
∴DE为∆ABC的中位线，
∵DE=10，
∴AB=2DE=20，
故答案为：20．
【点睛】题目主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题
关键．
14. 若 为整数，x为正整数，则x的值是_______________．
【答案】4或8##8或4
【解析】
【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、
8，再根据 为整数即可得 的值．
【详解】解：∵
∴
∵ 为正整数
∴ 可以为1、2、3、4、5、6、7、8
∵ 为整数
∴ 为4或8
故答案为：4或8．
【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根
式的性质是解答本题的关键．
15. 如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动
时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，
喷头高 时，水柱落点距O点 ；喷头高 时，水柱落点距O点 ．那么喷头
高_______________m时，水柱落点距O点 ．
学科网（北京）股份有限公司【答案】5.5
【解析】
【分析】设原抛物线的解析式为 ， 当向上移动1.5米到4米高度时，抛
物线解析式为： ，将两个交点分别代入求解确定原解析式，设向上
平移k个单位后， ，将点（4,0）代入求解，然后结合题意即可
得出结果．
【详解】解：设原抛物线的解析式为 ，根据题意可得，与x轴交于点
（2.5,0）代入得：
①，
当向上移动1.5米到4米高度时，
抛物线解析式为： ，与x轴交于点（4,0），代入得
②，
联立①②求解可得：
，
∴将其代入②解得 ，
∴原抛物线的解析式为 ，
设向上平移k个单位后，
∴
与x轴交点为（4,0），代入得：
解得：k=3，
∴原抛物线向上移动3个单位，
即喷头高3+2.5=5.5米，
故答案为：5.5．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，设出二次函数的解析式，然后利用待
定系数法求解是解题关键．
16. 如图，正方形 边长为1，点E在边 上（不与A，B重合），将 沿直
线 折叠，点A落在点 处，连接 ，将 绕点B顺时针旋转 得到 ，连
接 ．给出下列四个结论：① ；② ；
③点P是直线 上动点，则 的最小值为 ；④当 时，
的面积 ．其中正确的结论是_______________．（填写序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据全等三角形判定即可判断①；过D作DM⊥CA 于M，利用等腰三角形性质
1
及折叠性质得∠ADE+∠CDM，再等量代换即可判断②；连接AP、PC、AC，由对称性知，
PA=PA，知P、A、C共线时取最小值，最小值为AC长度，勾股定理求解即可判断③；过
1
点A 作AH⊥AB于H，借助特殊角的三角函数值求出BE，AH的长度，代入三角形面积
1 1 1
公式求解即可判断④．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
由旋转知，∠ABA=90°，AB=AB，
1 2 1 2
∴∠ABA=∠CBA，
1 2
∴ ABA≌ CBA，
1 2
故①正确；
△ △
过D作DM⊥CA 于M，如图所示，
1
由折叠知AD=AD=CD，∠ADE=∠ADE，
1 1
学科网（北京）股份有限公司∴DM平分∠CDA ，
1
∴∠ADE+∠CDM=45°，
又∠BCA+∠DCM=∠CDM+∠DCM=90°，
1
∴∠BCA=∠CDM，
1
∴∠ADE+∠BCA=45°，
1
故②正确；
连接AP、PC、AC，由对称性知，PA=PA，
1
即PA+PC=PA+PC，当P、A、C共线时取最小值，最小值为AC的长度，即为 ，
1
故③正确；
过点A 作AH⊥AB于H，如图所示，
1 1
∵∠ADE=30°，
∴AE=tan30°·AD= ，DE= ，
∴BE=AB-AE=1- ，
由折叠知∠DEA=∠DEA =60°，AE=AE= ，
1 1
∴∠AEH=60°，
1
∴AH=AE·sin60°= ，
1 1
∴ ABE的面积= ，
1
△
学科网（北京）股份有限公司故④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了正方形性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定、折叠性质及解直
角三角形等知识点，综合性较强．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明
过程或演算步骤．
17. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【解析】
【分析】利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代入求值即
可．
【详解】解：原式=
= ；
当x= 时，
原式=
=3+1-
=- ．
【点睛】题目主要考查整式的乘法及加减化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握运算法
则是解题关键．
18. 如图，在菱形 中，点E，F分别在边 上， ， 分别与
交于点M，N．求证：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先利用菱形的性质和已知条件证明 ，即可利用SAS证明
学科网（北京）股份有限公司；
（2）连接BD交AC于点O，先利用ASA证明 ，推出 ，再由
（1）中结论推出 ，即可证明 ．
【小问1详解】
证明：由菱形的性质可知， ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ．
【小问2详解】
证明：如图，连接BD交AC于点O，
由菱形的性质可知 ， ，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的
关键．
19. 为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个
项目：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．挑战数学游戏要求
七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调
查结果制作成统计表和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答下列问题：
项目 A B C D
人数/人 5 15 a b
（1） _______________， _______________．
（2）扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为_______________度．
（3）在月末的展示活动中，“C”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人
获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请
用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率．
【答案】（1）20；10 （2）108
（3）
【解析】
【分析】（1）根据A项目人数为5，占比为10%，得出总人数，然后根据D项目占比得出
D项目人数，利用总人数减去各项目人数即可得出C项目人数；
（2）利用B项目占比然后乘以360度即可得出结果；
（3）设七（1）班有3人获得一等奖分别为F、G、H；七（2）班有2人获得一等奖分别为
M、N；利用列表法得出所有可能的结果，然后找出满足条件的结果即可得出概率．
【小问1详解】
解：A项目人数为5，占比为10%，
∴总人数为：5÷10%=50；
D项目人数为：b=50×20%=10人，
C项目人数为：a=50-10-5-15=20人，
学科网（北京）股份有限公司故答案为：20；10；
【小问2详解】
解： ，
故答案为：108；
【小问3详解】
解：设七（1）班有3人获得一等奖分别为F、G、H；七（2）班有2人获得一等奖分别为
M、N；
列表如下：
F G H M N
F FG FH FM FN
G GF GH GM GN
H HF HG HM HN
M MF MG MH MN
N NF NG NH NM
共有20中等可能的结果，其中满足条件的有12中结果，
，
2名同学来自不同班级的概率为 ．
【点睛】题目主要考查统计表及扇形统计图，利用树状图或列表法求概率等，理解题意，
综合运用这些知识点是解题关键．
20. 已知关于x的一元二次方程 有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为 ，若 ，求k的值．
【答案】（1）k ；
（2）k=3
【解析】
【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2） 0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到 ，将等式左侧展开代入计算即可
得到k值．
【小问1详解】
学科网（北京）股份有限公司解：∵一元二次方程 有实数根．
∴ 0，即32-4（k-2） 0，
∆
解得k
【小问2详解】
∵方程的两个实数根分别为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得k=3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌
握一元二次方程有关知识是解题的关键．
21. 如图，直线 与双曲线交于 两点，直线 与双曲线在第一象限交
于点C，连接 ．
（1）求直线 与双曲线的解析式．
（2）求 的面积．
【答案】（1）直线AB的解析式为y=2x+4；双曲线解析式为 ；
（2）16
【解析】
【分析】（1）根据点A的坐标求出双曲线的解析式，求出点B的坐标，再利用待定系数法
求出直线AB的解析式；
（2）求出直线OB的解析式为y= x，得到点C的坐标，过点B作BE∥x轴，交AC的延
长线于E，求出直线AC的解析式，进而得到点E的坐标，根据 的面积=S -S
△ABE △BCE
学科网（北京）股份有限公司求出答案．
【小问1详解】
解：设双曲线 解析式为 ，将点A（1，6）代入，
的
得 ，
∴双曲线解析式为 ，
∵双曲线过点B（m，-2），
∴-2m=6，
解得m=-3，
∴B（-3，-2），
设直线AB的解析式为y=nx+b，
得 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y=2x+4；
【小问2详解】
设直线OB的解析式为y=ax，
得-3a=-2，解得a= ，
∴直线OB的解析式为y= x，
当 时，解得x=3或x=-3（舍去），
∴y=2，
∴C（3，2），
过点B作BE∥x轴，交AC的延长线于E，
∵直线AC的解析式为y=-2x+8，
∴当y=-2时，得-2x+8=-2，解得x=5，
∴E（5，-2），BE=8，
∴ 的面积=S -S
△ABE △BCE
=
=16．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合知识，正确掌握待定系数法求函数的解
析式，求图象交点坐标，求图形的面积，正确掌握一次函数与反比例函数的知识是解题的
关键．
22. 如图， 为 的直径，点C是 上一点，点D是 外一点，
，连接 交 于点E．
（1）求证： 是 的切线．
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）见解析；
（2）3
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据OA=OC推出
∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到结论；
（2）过点O作OF⊥BC于F，设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求
出AC，根据OF∥AC，得到 ，证得OF为△ABC的中位线，求出OF及
EF，即可求出 的值．
【小问1详解】
证明：连接OC，
学科网（北京）股份有限公司∵ 为 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO,
∵ ，
∴∠BCD=∠ACO，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
∴OC⊥CD，
∴ 是 的切线．
【小问2详解】
解：过点O作OF⊥BC于F，
∵ ，
∴设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，
∴BE=BC-CE=1.5x，
∵∠C=90°，
∴AC= ，
∵OA=OB，OF∥AC，
∴ ，
∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，
∴OF为△ABC的中位线，
∴OF= ，
∴ = ．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的
判定与性质，平行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键．
23. 南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价
和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价）
种类 真丝衬衣 真丝围巾
进价（元/件） a 80
售价（元/件） 300 100
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围
巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大
利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半
时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销
售，每件最多降价多少元？
【答案】（1）a=260；
（2）真丝衬衣件数进货100件，真丝围巾进货200件，最大利润为8000元；
（3）每件最多降价28元．
【解析】
【分析】（1）根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）设真丝衬衣件数进货x件，则真丝围巾进货(300-x)件，根据题意列出不等式得出
x≤100；设总利润为y，由题意得出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可得出；
（3）设降价z元，根据题意列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：根据表格数据可得：
50a+25×80=15000，
解得：a=260；
【小问2详解】
解：设真丝衬衣件数进货x件，则真丝围巾进货(300-x)件，
根据题意可得：300-x≥2x，
解得：x≤100；
学科网（北京）股份有限公司设总利润为y，
根据题意可得y=(300-260)x+(100-80)(300-x)=20x+6000，
∵20>0，
∴y随x的增大而增大，
当x=100时，y最大为：20×100+6000=8000元，
此时方案为：真丝衬衣件数进货100件，真丝围巾进货200件，最大利润为8000元；
【小问3详解】
设降价z元，
根据题意可得100×（100-80）+100×（300-260）+100×（300-260-z）≥8000×90%，
解得：z≤28，
∴每件最多降价28元．
【点睛】题目主要考查一元一次方程及不等式的应用，一次函数的应用，理解题意，列出
相应方程不等式是解题关键．
24. 如图，在矩形 中，点O是 的中点，点M是射线 上动点，点P在线段
上（不与点A重合）， ．
（1）判断 的形状，并说明理由．
（2）当点M为边 中点时，连接 并延长交 于点N．求证： ．
（3）点Q在边 上， ，当 时，求 的长．
【答案】（1） 为直角三角形，理由见解析
（2）见解析 （3） 或12
【解析】
【分析】（1）由点O是 的中点， 可知 ，由等边对等角可
以推出 ；
（2）延长AM，BC交于点E，先证 ，结合（1）的结论得出PC是直角 斜
学科网（北京）股份有限公司边的中线，推出 ，进而得到 ，再通过等量代换推出 ，
即可证明 ；
（3）过点P作AB的平行线，交AD于点F，交BC于点G，得到两个K型，证明
， ，利用相似三角形对应边成比例列等式求出QF，
FP，再通过 即可求出DM．
【小问1详解】
解： 为直角三角形，理由如下：
∵点O是 的中点， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形；
【小问2详解】
证明：如图，延长AM，BC交于点E，
由矩形的性质知： ， ，
∴ ，
∵ 点M为边 中点，
∴ ，
在 和 中，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即C点为BE的中点，
由（1）知 ，
∴ ，即 为直角三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图，过点P作AB的平行线，交AD于点F，交BC于点G，
由已知条件 ，设 ， ，
则 ， ， ．
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
同理，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
∴ ，
解得 ，
∴ ，
将 代入 得 ，
整理得 ，
解得 或 ．
∵ ， ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ，
∴ ，
∴当 时， ，
当 时， ，此时点M在DC的延长线上，
综上， 的长为 或12．
【点睛】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质等，
第3问有一定难度，解题关键是作辅助线构造K字模型．
25. 抛物线 与x轴分别交于点 ，与y轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1， 顶点P在抛物线上，如果 面积为某值时，符合条件的点
P有且只有三个，求点P的坐标．
（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在 延长线上， ，连接
并延长到点D，使 ． 交x轴于点E， 与 均为锐角，
，求点M的坐标．
【答案】（1）
（2）（2， ），（ ， ）或（ ， ）
学科网（北京）股份有限公司（3）（－4， ）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）先根据题意判断出三角形BCP面积为平行四边形BCPQ面积的一半，得出当P在直
线BC下方的抛物线上时，面积取最大值时满足题意，求出最大面积后得到直线BC下方的
P点坐标，再根据 BCP的面积求出BC上方P点坐标即可；
（3）过点N作NH⊥x轴，过D作DP⊥x轴，过M作MQ⊥x轴，根据平行线性质求出
△
MQ=PD，证明 MEQ≌△DEP，得PQ=2PE，设OP=x，用x表示出PB，PE的长度，再根
据 得出PB=2PE，代入求出x值，进而求得Q点坐标及M点坐
△
标．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与x轴分别交于点 ，与y轴交于点 ，
∴ ，
解得： ，
即抛物线解析式为 ．
【小问2详解】
解：由题意知，三角形BCP面积为平行四边形BCPQ面积的一半，
设直线BC下方抛物线上有一点P，过P作平行于BC的直线l，作直线l关于BC对称的直
线MN，由图知，直线MN与抛物线必有两个交点，根据平行线间距离处处相等知，当三
角形BCP面积取最大值时即直线l与抛物线只有一个交点时，符合题意的P点只有三个，
学科网（北京）股份有限公司由B（4,0），C（0，-4）知直线BC解析式为：y=x-4，
过P作PH⊥x轴于H，交BC于E，
则S =S +S
BCP PCE PBE
△ △ △
=
=2PE，
设P（m， ），则E（m，m-4），
∴S =
△BCP
= ，
∴当m=2时，△BCP面积取最大值，最大值为 ，
此时，直线BC下方抛物线上的P点坐标为（2， ），
学科网（北京）股份有限公司同理，设直线BC上方抛物线上P点横坐标为n，则：
，
解得：n= 或n= ，
即P（ ， ）或（ ， ），
综上所述，满足题意的P点坐标为（2， ），（ ， ）或（ ，
）．
【小问3详解】
解：过点N作NH⊥x轴，过D作DP⊥x轴，过M作MQ⊥x轴，垂足分别为H、P、Q，如
图所示，
则NH∥PD∥MQ，
∴ ， ，
∴PD=2HN，QM=2HN，
即PD=QM，
∵∠MEQ=∠PED，
∴△MEQ≌△DEP，
∴QE=PE，
设OP=x，则BP=4-x，PH=BH= ，
学科网（北京）股份有限公司∴OH=OP+PH=x+ = ，OQ=2OH=4+x，PQ=4+2x，PE=2+x，
∵ ，
∴ ，
即PB=2PE，
∴4-x=2（2+x），
解得：x=0，
即P点为坐标原点，D在y轴上，
∴OQ=4，即Q（－4,0），
∴M（－4, ）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与三角形面积最值问题、平
行线分线段成比例性质、全等三角形证明等知识点，解题关键是利用平行线分线段成比例
定理找出各线段间的关系．
学科网（北京）股份有限公司
