文档内容
高 2024 届学业质量调研抽测（第一次）
数学试卷
（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定
位置上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 若复数 满足 ，其中i为虚数单位，则 等于（ ）
A. i B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出 ，再结合共轭复数的意义求解即得.
【详解】依题意， ，则 ，
所以 .
故选：C
2. 已知集合 ， ，则 的真子集个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合 、 ，可求出集合 ，可得出集合 的元素个数，即可得出 的真子
集个数.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，
，则 ，
所以， 的真子集个数为 .
故选：C.
3. 2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校
组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样
本数据的75%分位数为x，众数为y，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先 ，再根据百分位数和众数的计算方法即可.
【详解】由题意得 ，解得 ，
因为 ， ，则 ，
则样本数据的75%分位数位于 ，则 ，解得 ，
因为样本数据中位于成绩 之间最多，则众数为 ，
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司4. 英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒
提 出 了 适 用 于 所 有 函 数 的 泰 勒 级 数 ， 泰 勒 级 数 用 无 限 连 加 式 来 表 示 一 个 函 数 ， 如 ：
，其中 ．根据该展开式可知，与 的
值最接近的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.
【详解】原式 ，
故选：C.
5. 已知某社区居民每周运动总时间为随机变量 （单位：小时），且 ， ．
现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（ ）
A. 0.642 B. 0.648 C. 0.722 D. 0.748
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性结合概率的乘法公式即可.
【详解】由题意得 ，则 ，
则 ，
的
则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时 概率为 ,
故选：B.
6. 已知定义在R上的函数 满足： ，且 时， ，则关于 的
不等式 的解集为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数单调性和奇偶性则得到不等式，解出即可.
【
详解】任取 ，则 ，
而 时， ，则 ，
，
所以 在 上单调递减，
， ，
取 ，则 ，令 ，
得 ，
所以 为 上的奇函数，
，即 ，则 ，解得
.
故选：A
7. 过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，若 为直角三角形，
为坐标原点，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出点 的轨迹，再利用圆的几何性质求解即得.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
由 切圆 于点 ，且 为直角三角形，得 ，连接 ，
是
则 ，即四边形 正方形， ，
因此点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，而 ，
于是 ，所以 的取值范围为 .
故选：D
8. 2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、
“宸宸”的三个吉样物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派 5名志愿者将
这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，
若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（ ）
A. 50 B. 36 C. 26 D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】按照 和 分组讨论安排.
【详解】（1）按照 分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有 种，
②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有 种，
（2）按照 分3组安装，
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学科网（北京）股份有限公司①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有 种，
②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有 种，
故共有 种，
故选：A.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断 ABC，利用基本不等式即可判断
D.
【详解】由题意得 ， ，
， ，则 ，则 ，
对A，根据对数函数 在 上单调递增，则 ，故A正确；
对B，因为 ，即 ，则 ，故B正确；
对C，因为 ，根据指数函数 在 上单调递减，则 ，故C错误；
对D，因为 ， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时等号成立，而显然 ，则 ，故D正确；
故选：ABD.
10. 已知函数 ，则 在 有两个不同零点的充分不必要条件可以是（
）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】将问题转化为 ，令 ，利用导数讨论 的单调性，
求出 ，由 在 有2个不同零点的充要条件为 ，从而作出判断.
【详解】因为 ，
令 ，则 ，
令 ，
则 ，
注意到 ，令 ，解得 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
则 ，且当 趋近于 或 时， 都趋近于 ，
若 在 有2个不同零点的充要条件为函数 与 图象在第一象限有2个交点，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 有2个零点的充要条件为 ，
若符合题意，则对应的取值范围为 的真子集，
结合选项可知：A错误，BCD正确；
故选：BCD.
11. 已知抛物线 的焦点为 为坐标原点，其准线与 轴交于点 ，经过点 的直线 与抛
物线交于不同两点 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 存在
C. 不存在以 为直径且经过焦点 的圆
D. 当 的面积为 时，直线 的倾斜角为 或
【答案】AD
【解析】
【分析】设直线 的方程为 ，将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，将其整体代入即可
判断ACD，求解直线与抛物线相切时的情况即可判断B.
【详解】对A，由题意得 ，准线方程 为，则 ，
显然当直线 的斜率为0，即直线 的方程为 ，此时不合题意，
设直线 的方程为 ，
联立抛物线方程 ，得 ， ，解得 或 ，
， ， ， ，则 ， ，则 ，
， ，
则 ，A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对B，当直线 与抛物线相切时， 最大，则 ，解得 ，
根据抛物线对称性取 分析：
此时直线方程为 ，此时直线斜率为1，则 ，因此不存在 ，B错误；
对C，假设存在以 为直径且经过焦点 的圆，则 ，
，则 ，
即 ， ,
即 ，即 ， ，满足 或 ，
即存在以 为直径且经过焦点 的圆，C错误；
对D， ， ，
此时直线斜率为 ，则直线 的倾斜角为 或 ，故D正确.
故选：AD.
12. 如图，在边长为1的正方体 中， 是 的中点， 是线段 上的一点，则下
列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 当 点与 点重合时，直线 平面
B. 当点 移动时，点 到平面 的距离为定值
C. 当 点与 点重合时，平面 与平面 夹角的正弦值为
D. 当 点为线段 中点时，平面 截正方体 所得截面面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，根据平行线确定一个平面即可判断，对BC建立空间坐标系进行判断，对D作出截面图形
并求出相关长度，利用面积公式即可求出.
【详解】对A，因为 ，所以点 四点共面，
当 点与 点重合时，直线 平面 ，故A正确；
对B，以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司因为 为 中点，则设 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的方向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
则点 到平面 的距离 ，显然不是定值，故B错误；
对C，当 点与 点重合时，由B知此时 ， ，平面 的法向量 ，
设平面 与平面 夹角为 ， ，
则 ，故C正确；
对D，连接 ，并在上底面内将直线 沿着 的方向平移，直至该直线经过点 ，交 于点
，交 于点 ，
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，因为点 ，
所以平面 截正方体 所得的图形为四边形 ，
不妨以 为坐标原点，在上底面内建立如图所示平面直角坐标系，
则 ，因为 为线段 中点，则 ，
根据直线 ，则 ，设直线 的方程为 ，代入点 坐标得
，解得 ，则 ，则点 位于线段 的四分之一等分点处，且靠近点 ，
点 位于线段 的四分之一等分点处，且靠近点 ，
则 ， ， ，结合 ，
则四边形 为等腰梯形，则其高为 ,
则 ，故D正确.
故选：ACD.
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点睛：本题BC选项的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式和面面
角的空间向量求法进行计算判断，对D选项的关键是作出截面图形，并求出相关长度，得出其截面为等腰
梯形，最后计算面积即可.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量 满足 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得.
【详解】由 ，得 ，而 ，
则 ，所以 .
故答案为：
14. 已知 的部分图象如图所示，当 时，
的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由图象求出函数 的解析式，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数 在 上
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学科网（北京）股份有限公司的最大值.
【详解】因为 ，
设 ，
由图可知，函数 的最小正周期为 ，则 ，
又因为 ，则 ，
因为 ，可得 ，
所以， ，则 ，
则 ，
当 时， ，
故 .
故答案为： .
15. 已知点 为椭圆 的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为 的直线交椭圆于
两点， ，则该椭圆的离心率为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】分析得四边形 为矩形，则得到 为正三角形，再利用椭圆定义和离心率定义即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】令椭圆的左焦点为 ，半焦距为 ，分别连接 ， ，
由 ，得四边形 为矩形，
而 ，则 为正三角形，所以 ， ，
，则椭圆离心率为 ，
故答案为： .
16. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，记 ，则 ________；
若数列 满足 ，则 的最小值是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由 与 的关系推导出数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列 的通
项公式，利用等比数列求和公式可求得 的表达式，分析数列 的单调性，找出数列 所有非正数
项，即可求得 的最小值.
【详解】因为数列 的前 项和为 ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，则 ，解得 ，
当 时，由 可得 ，
上述两个等式作差可得 ，则 ，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 ，
所以， ，则 ，且 ，
所以， ，
，
则 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，则 ，故数列 从第二项开始单调递增，
因为 ，且 ，
所以， 的最小值为 .
故答案为： ； .
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 在梯形 中， 为钝角， ， ．
（1）求 ；
（2）设点 为 的中点，求 的长．
【答案】（1） ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）在 中利用余弦定理求出 ，再利用二倍角的余弦公式计算即得.
（2）利用（1）的结论，借助向量数量积求出 的长.
【小问1详解】
在梯形 中，由 为钝角，得 是锐角，
在 中， ，则 ，
由余弦定理得 ，即 为等腰三角形，
所以 .
【小问2详解】
由 ，得 ，由点 为 的中点，得 ，
所以 .
18. 已知首项为正数的等差数列 的公差为2，前 项和为 ，满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）当 为偶数时， ，当 为奇数时， .
【解析】
【分析】（1）根据等差数列前 和公式即可求出 ，则得到其通项公式；
（2）分 为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.
【小问1详解】
由题意得 是公差为2的等差数列，且 ，
即 ，又因为 ，所以 ，
所以数列 的通项公式 .
【小问2详解】
由（1）知 ，
当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
经检验， 时，满足 ，
综上，当 为偶数时， ，
当 为奇数时， .
19. 实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实
现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近 6年产值
情况，数据如下表所示：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023
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学科网（北京）股份有限公司编号x 1 2 3 4 5 6
产值y/百万辆 9 18 30 51 59 80
（1）若用模型 拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精确到
0.01）；
（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油
汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X，求随机变
量X的分布列与数学期望，
参考数据： ，其中 ．
参考公式：对于一组数据 ，其经验回归直线 的斜率截距的最小二乘估
计分别为 ．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）令 ，利用最小二乘法求出，即可得解；
（2）分析可知，利用超几何分布 可得出随机变量的分布列，利用超几何分布的期望公式可
求
【小问1详解】
令
， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
，
所以 ，
所以
【小问2详解】
由题意得 ，
，
，
，
，
分布列为：
1 2 3 4
数学期望
20. 如 图 ， 四 棱 锥 中 ， 底 面 ， 四 边 形 中 ， ，
．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 为 的中点，求证：平面 平面 ；
（2）若平面 与平面 所成的角的余弦值为 ．
（ⅰ）求线段 的长；
（ⅱ）设 为 内（含边界）的一点，且 ，求满足条件的所有点 组成的轨迹的长度．
【答案】20. 证明见解析；
21. （ⅰ）2；（ⅱ） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，再结合面面垂直的判定推理即得.
（2）以点A为原点，建立空间直角坐标系，设 ，利用面面角的向量求法结合已知求出 ，再求出
并确定轨迹求解即得.
【小问1详解】
在四棱锥 中， 底面 ， 平面 ，则 ，
而 平面 ，于是 平面 ，又 平面 ，
则 ，由 ， 为 的中点，得 平面 ，
因此 平面 ，而 平面 ，
所以平面 平面 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司（ⅰ）由（1）知，直线 两两垂直，
以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
过 作 于 ，由 ，得 ，令 ，
则 ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
由 平面 ，得平面 的一个法向量 ，
依题意， ，整理得 ，而 ，解得 ，
所以线段 的长为2.
（ⅱ）显然 平面 ，而 平面 ，则 ，又 ，
于是 ，解得 ，因此点 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆的 ，
所以点 的轨迹的长度为 .
21. 已知点 为圆 上任意一点， ，线段 的垂直平分线交直线 于点
．
（1）求 点的轨迹方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设过点 的直线 与 点的轨迹交于点 ，且点 在第一象限内．已知 ，请问是否存在常数
，使得 恒成立？若存在，求 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用双曲线定义即可得到其方程；
（2）先得到特殊情况时 ，再证明其对一般情况也适用.
【小问1详解】
连接 ，则 ，
点的轨迹是以点 ， 为焦点的双曲线，
点的轨迹方程为: .
【小问2详解】
因为 点的轨迹方程为: ，则 .
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学科网（北京）股份有限公司当直线 的方程为 时，则 ，解得 （负舍，） 则 ，
而 ，易知此时 为等腰直角三角形，
其中 ，
即 ，即: ，
下证： 对直线 斜率存在的情形也成立，
设 ，其中 ，且 ，因为 ，则 ，且 ，
即 ，
，
，
，
结合正切函数在 上的图象可知， .
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用先猜后证的思想，先得到直线斜率不存在时 ，然后通
过二倍角得正切公式证明一般情况即可.
22. （1）已知函数 ，（ 为自然对数的底数），记 的最小值为 ，求证：
；
（2）若对 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）对 求导，利用导数求出 最小值，即 ，然后得到 ，进而证明不等式；
（2）将 变形为 ，构造函数 ，
利用导数求单调性和最值，证明恒成立，求出 的取值范围.
【详解】（1）证明：因为 ， ，
因为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，即 ，
当 时， ， 在 ， 上单调递增，
当 时， ， 在 ， 上单调递减，
当 时，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 .
综上， .
（2） ，即 ，
所以 ，即 ，
令 ， ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，即 ，即 ，
第26页/共27页
学科网（北京）股份有限公司令 ， ，
当 时， ，
当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，，
所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：将原不等式进行构造，利用函数的单调性转化为 在 上恒成立，利
用分离参数思想再求最值即可.
第27页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
