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2023 年内蒙通辽初中学业水平考试
一、选择题（本题包括 12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在
答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 在英语单词 （多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“ ”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接由概率公式求解即可．
【详解】解：单词 中共有10个字母，
其中 出现了1次，
故任意选择一个字母恰好是字母“ ”的概率为： ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查运用概率公式求概率，根据已知条件找出总的情况数和符合条件的情况数是解题关
键．
3. 如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式 时，若 平移到 ， ， ，
则 的平移距离为（ ）
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A. 3 B. 4 C. 5 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的方向可得， 平移到 ，则点 与点 重合，故 的平移距离为
的长．
【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式 时，将 平移到 ，
故平移后点 与点 重合，则 的平移距离为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
4. 在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依据一次函数 的图象经过点 和 ，即可得到一次函数 的图象
经过一、三、四象限．
【详解】解：一次函数 中，令 ，则 ；令 ，则 ，
∴一次函数 的图象经过点 和 ，
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∴一次函数 的图象经过一、三、四象限，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
5. 二次根式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．
【详解】解：根据题意得， ，
解得 ，
在数轴上表示如下：
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次
根式有意义的条件是解题关键．
6. 已知点 在反比例函数 的图像上，且 ，则下列结论一定正确的是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出 、 的大小关系．
【详解】解：∵点 ， ）是反比例函数 的图像上的两点，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关
键．
7. 如图，将 绕点A逆时针旋转到 ，旋转角为 ，点B的对应点D恰好落在
边上，若 ，则旋转角 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出 ，再利用旋转的性质求出 ， ，然后利用等边对等角求
出 ，最后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∵旋转，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即旋转角 的度数是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关
键．
8. 下列命题：
① ；
② ；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】运用同底数幂相乘法则可判定①；根据负数的绝对值越大，自身越小可判定②；根据圆周角定理
可判定③；根据随机事件和方差的意义可判定④⑤．
【详解】解：① ，故①是真命题；
② ，故②是假命题；
③在同圆或等圆值，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，故③是假命题；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是随机事件，故④是假命题；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差不变，故⑤是假命题．
综上，正确的只有①．
故选A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘、无理数大小比较、圆周角定理、随机事件、方差等知识点，灵活
运用相关知识成为解答本题的关键．
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9. 如图，在扇形 中， ， 平分 交 于点D，点C是半径 上一动点，
若 ，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由于 是定值，只需求解 的最小值即可，作点D关于 对称点 ，连接 、
、 ，则 最小值为 的长度，即阴影部分周长的最小最小值为 ．利用角平
分线的定义可求得 ，进而利用勾股定理和弧长公式求得 和 即可．
【详解】解：如图，作点D关于 对称点 ，连接 、 、 ，
则 ， ， ，
∴ ，当A、C、 共线时取等号，此时， 最小，即阴影部分周长的
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最小，最小值为 ．
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
又 ，
∴阴影部分周长的最小值为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查弧长公式、勾股定理、角平分线的定义、轴对称性质，能利用轴对称性质求解最短路径
问题是解答的关键．
10. 下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在 中， ．
求作： 的外接圆．
作法：如图2．
（1）分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线 ，交 于点O；
（3）以O为圆心， 为半径作 ， 即为所求作的圆．
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下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A. 两点确定一条直线
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
【解析】
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明： 即可．
【详解】解：作直线 （两点确定一条直线），
连接 ，
∵由作图， ，
∴ 且 （与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∵ ，
∴ （直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
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∴ ，
∴A，B，C三点在以O为圆心， 为直径的圆上．
∴ 为 的外接圆．
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的
关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转
得到点B，在 ， ， ， 四个点中，直线 经
过的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据含 角的直角三角形的性质可得 ，利用待定系数法可得直线 的解析式，
依次将 四个点的一个坐标代入 中可解答．
【详解】解：∵点 ，点 ，
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∴ 轴， ，
由旋转得： ，
如图，过点B作 轴于C，
∴ ，
∴ ，
∴ ），
的
设直线 解析式为： ，
则 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为： ，
当 时， ，
∴点 不在直线 上，
当 时， ，
∴ 直线 上，
在
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当 时 ，
∴ 不在直线 上，
当 时， ，
∴ 不在直线 上．
故选：B．
【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键．
12. 如图，抛物线 与x轴交于点 ，其中 ，下列四个结论：
① ；② ；③ ；④不等式 的解集为 ．其
中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当 时， 即可判断②；根据对称轴为
， 可判断③； ， 数形结合即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴ ，
∴ ，故①正确．
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∵当 时， ，
∴ ，故②错误．
∵抛物线 与x轴交于两点 ，其中 ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
，
，
∴ ，
∴ ，故③正确；
设 ， ，如图：
由图得， 时， ，故④正确．
综上，正确的有①③④，共3个，
12【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题
是解题的关键．
二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横
线上）
13. 已知一组数据：3，4，5，5，6，则这组数据的众数是___________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据众数的定义（一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数）求解即可．
的
【详解】解：由这组数据可知，数字5出现2次，出现 次数最多，
∴这组数据的众数是5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查众数的定义，熟练掌握众数的概念是解题的关键．
14. 将一副三角尺如图所示放置，其中 ，则 ___________度．
【答案】105
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得 ，根据平角的定义即可求得．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为：105．
【点睛】本题考查了三角板中角度计算，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15. 点Q的横坐标为一元一次方程 的解，纵坐标为 的值，其中a，b满足二元一次方
程组 ，则点Q关于y轴对称点 的坐标为___________．
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【答案】
【解析】
【分析】先分别解一元一次方程 和二元一次方程组 ，求得点Q的坐标，再
根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．
【详解】解： ，
移项合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
∴点Q的横坐标为5，
∵ ，
由 得， ，解得： ，
把 代入①得， ，解得： ，
∴ ，
∴点Q的纵坐标为 ，
∴点Q的坐标为 ，
∴点Q关于y轴对称点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直
角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题
的关键．
16. 如图，等边三角形 的边长为 ，动点P从点A出发以 的速度沿 向点B匀速运动，
过点P作 ，交边 于点Q，以 为边作等边三角形 ，使点A，D在 异侧，当点D
14【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
落在 边上时，点P需移动___________s．
【答案】1
【解析】
【分析】当点D落在 上时，如图， ，根据 等边三角形， 是等
边三角形，证明 ，进而可得x的值．
【详解】解：设点P的运动时间为 ，由题意得 ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ 和 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含 角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵
活运用等边三角形的性质是解题的关键．
17. 某款“不倒翁”（如图 ）的主视图是图 ， 分别与 所在圆相切于点A，B，若该圆半径是
，则主视图的面积为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先找到圆心 ，然后根据 ， 分别与 所在圆相切于点A，B．
可以得到 的度数，然后即可得到优弧 对应的圆心角，再根据主视图的面积为
计算即可．
【详解】解：设圆心为O，过O作 ， ， 和 相交于点 ，连接 ，如图，
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∵ ， 分别与 所在圆相切于点A，B．
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴优弧 对应的圆心角为 ， ，
∵该圆半径是 ，
∴ ，
∴主视图的面积为
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，求扇形面积，牢记扇形面积公式是解题
的关键．
三、解答题（本题包括 9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上
写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）
18. 计算： ．
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【答案】0
【解析】
【分析】根据负整数次幂、特殊角的三角函数值、算术平方根化简，然后在计算即可．
【详解】解： ，
，
．
【点睛】本题主要考查了负整数次幂、特殊角的三角函数值、算术平方根等知识点，掌握基本的运算法则
是解答本题的关键．
19. 以下是某同学化简分式 的部分运算过程：
解：原式 …………第一步
…………第二步
…………第三步
……
（1）上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【答案】（1）一 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答；
（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：
18【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故第一步错误．
故答案为：一．
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．
20. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东 方向，距离灯塔 的A处，它沿正南方向航行一段时
间后，到达位于灯塔P的南偏东 方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参
考数据： ．）
19【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】B处距离灯塔P大约有 ．
【解析】
【分析】在 中，求出 的长，再在 中，求出 即可．
【详解】解：设 与灯塔P的正东方向相交于点C，
根据题意，得 ， ， ；
在 中，
∵ ，
∴ ；
在
中， ，
∵ ，
∴ ，
答：B处距离灯塔P大约有 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关
知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
21. 党的十八大以来，习近平总书记对推动全民阅读、建设书香中国高度重视，多次作出重要指示．×××中
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学在第 个“世界读书日”到来之际，对全校 名学生阅读课外书的情况进行了解，随机抽取部分学
生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
调查方式 抽样调查 调查对象 ×××中学部分学生
平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每
项含最小值，不含最大值）
A．8小时以上
B．6-8小时
C．4~6小时
D．0~4小时
请解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数；
（2）求图2中扇形A所占百分比；
（3）估计该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“ 小时”人数；
（4）在学生众多阅读书籍中，学校推荐阅读书目为四大名著：《三国演义》《红楼梦》《西游记》《水
浒传》（分别记为甲、乙、丙、丁），现从这4部名著中选择2部为课外必读书籍，请用列表法或画树状
图法中任意一种方法，求《西游记》被选中的概率．
【答案】（1）300 （2）
（3）320 （4）
【解析】
【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，根据平均每周阅读课外书的时间在“ 小时”中人数及
其所占百分比可得总人数；
（2）用扇形A的圆心角 除以 即可求得扇形A所占百分比；
（3）根据扇形统计图求得平均每周阅读课外书的时间在“ 小时”所占的百分比，用总人数乘以百分
比即可求得；
（4）画树状图得出所有等可能的结果数和《西游记》被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
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在这次调查中一共抽查学生 （人），
即参与本次抽样调查的学生人数为300人．
【小问2详解】
扇形A所占百分比为 ，
即扇形A所占百分比为 ．
【小问3详解】
平均每周阅读课外书的时间在“ 小时”所占的百分比为 ，
∴ （人），
即该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“ 小时”人数为320人．
【
小问4详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中《西游记》被选中的结果有6种，
∴《西游记》被选中的概率为 ．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，求扇形统计图的相关数据，样本估计总体，列
表法或画树状图法求概率等，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键．
22. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：在 上选一点P，沿 折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接 、 ，
延长 交 于点Q，连接 ．
22【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）如图1，当点M在 上时， ___________度；
（2）改变点P在 上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断 与 的数量关系，并
说明理由．
【答案】（1）30 （2） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质结合折叠的性质可得出 ， ，进而可求出
，即得出 ；
（2）由正方形的性质结合折叠的性质可证 ，即得出 ．
【小问1详解】
解：∵对折正方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，
∴ ， ．
∵在 上选一点P，沿 折叠，使点A落在正方形内部点M处，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
故答案为： ．
【小问2详解】
解：结论： ，理由如下：
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∵四边形 是正方形，
， ．
由折叠可得： ， ，
， ．
又 ，
，
∴ ．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形、三角形全等的判定和性质、勾股定理
等知识点．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键．
23. 如图， 为 的直径，D，E是 上的两点，延长 至点C，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）求证： 是 的切线；
（3）若 ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） 的半径为 ．
【解析】
【分析】（1）利用两角对应相等两个三角形相似，得出结论；
（2）连接 ，由圆周角定理得出 ，证出 ，由切线的判定可得出结论；
24【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（3）由相似三角形的性质得出 ，由比例线段求出 和 的长，可求出 的长，
则可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
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【小问3详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题
目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24. 某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨
货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满
足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【答案】（1）每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨
（2）当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．
【解析】
【分析】（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运 吨，根据题意列出分式方
程，解方程、检验后即可解答；
（2设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器 台，再题意列出一元一次不等式组，解不等
式组求出m的取值范围，再列出公司计划采购A型机器m台与采购支出金额w的函数关系式，最后利用一
次函数的增减性求最值即可．
26【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问1详解】
解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运 吨，
由题意可得： ，
解得：
经检验， 是分式方程 的解
每台A型机器每天搬运 吨
答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨
【小问2详解】
解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器 台
由题意可得： ，
解得： ，
公司采购金额：
∵
∴w随m的增大而减小
∴当 时，公司采购金额w有最小值，即 ，
∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，理解题意正确列
出分式方程、不等式组和一次函数解析式是解答本题的关键．
25. 阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程 的两个实数根 和系数a，b，c有如下关系：
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， ．
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值．
解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ．
则 ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程 的两个实数根为 ，则 ___________，
___________；
（2）类比：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n，求 的值；
（3）提升：已知实数s，t满足 且 ，求 的值．
【答案】（1） ，
（2）
（3） 的值为 或 ．
【解析】
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出 ， ，再根据
，最后代入求值即可；
28【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（3）由题意可将s、t可以看作方程 的两个根，即得出 ， ，从而由
，求得 或 ，最后分类讨论分别代入求值即可．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ，
∴ ， ．
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：∵一元二次方程 的两根分别为m、n，
∴ ， ，
∴
；
【小问3详解】
解：∵实数s、t满足 ，
∴s、t可以看作方程 的两个根，
∴ ， ，
29【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵
，
∴ 或 ，
当 时，
，
当 时，
，
综上分析可知， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，
掌握一元二次方程 根与系数的关系： 和 是解题关键．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交于
点 ．
30【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作 轴，垂足为D，连接 ．
①如图，若点P在第三象限，且 ，求点P的坐标；
②直线 交直线 于点E，当点E关于直线 的对称点 落在y轴上时，请直接写出四边形
的周长．
【答案】（1）
（2）① ② 或
【解析】
【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，c，进而求得结果；
（ 2 ） ① 设 ， 过 点 作 于 点 ， 求 出 ， 根 据
列出方程求出 的值即可；
②可推出四边形 是菱形，从而得出 ，分别表示出 和 ，从而列出方程，进一步求
得结果．
【小问1详解】
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∵抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，
∴把 ， 代入 得，
，
解得， ，
∴抛物线的函数解析式为 ；
【小问2详解】
①设 ，过点 作 于点 ，如图，
∴
∵
∴
∵ 轴，
∴
32【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
又
∴四边形 是矩形，
∴
∴
∵
∴
∴ （不合题意，舍去）
∴
∴ ；
②设 ，
对于 ，当 时，
解得，
∴
∵
由勾股定理得，
33【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
当点 在第三象限时，如图，过点 作 轴于点 ，
则四边形 是矩形，
∵点 与点 关于 对称，
∴
∵ 轴，
∴
∴
∴
∴
∴四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形，
∵
∴
34【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴
∴
∴
设直线 的解析式为 ，
把 代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ,
又 且
∴
解得， （舍去）
∴
35【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴四边形 的周长 ；
当点 在第二象限时，如图，
同理可得：
解得， （舍去）
∴
∴四边形 的周长 ；
综上，四边形 的周长为 或 ．
【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性
质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量．
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