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怀化市 2023 年初中学业水平考试试卷
数学
温馨提示：
1.本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分150分．
2.请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上．
3.请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效．
一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项
的代号填涂在答题卡的相应位置上）
1. 下列四个实数中，最小的数是（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最小的数即可．
【详解】
最小的数是：
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．
2. 2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超
环（EAST）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体
运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据122254用科学记数法表示为 ，
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故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是科学记数法—表示较绝对值较大的数．把一个大于等于10的数写成科学记数
法 的形式时，将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为a，把整数位数减1作为n，从而确定
它的科学记数法形式．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项分别计算后，即可得
到答案．
【详解】解：A． ，故选项正确，符合题意；
B． ，故选项错误，不符合题意；
C． ，故选项错误，不符合题意；
D． ，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项，熟练掌握运
算法则是解题的关键．
4. 剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创
作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸
中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如
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果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进
行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意．
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对
称图形的定义．
5. 在平面直角坐标系中，点 关于x轴对称的点 的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：点 关于x轴对称的点 的坐标是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，
纵坐标互为相反数是解题的关键．
6. 如图，平移直线 至 ，直线 ， 被直线 所截， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移可得 ，根据平行线的性质以及对顶角相等，即可求解．
【详解】解：如图所示，
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∵平移直线 至
∴ ， ，
∴ ,
又∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7. 某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是： ， ，9.6， ， .关于这组数据，下
列说法正确的是（ ）
A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是
【答案】A
【解析】
【分析】先把5个数据按从小到大的顺序排列，而后用中位数，众数，平均数和方差的定义及计算方法逐
一判断．
【详解】解：5个数按从小到大的顺序排列 ， ， ，9.6， ，
A、 出现次数最多，众数是 ，故正确，符合题意；
B、中位数是 ，故不正确，不符合题意；
C、平均数是 ，故不正确，不符合题意；
D、方差是 ，故不正确，不符合题意．
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故选：A．
【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数和方差，熟练掌握这些定义及计算方法是解决此类问题的关键．
8. 下列说法错误的是（ ）
A. 成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件
B. 一元二次方程 有两个相等的实数根
C. 任意多边形的外角和等于
D. 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心
【答案】B
【解析】
【分析】根据不可能事件、根的判别式、多边形的外角和以及三角形的重心的定义分别进行判断即可．
【详解】解：A、成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，故此选项不符合题意；
B、 ，则一元二次方程 没有实数根，故此选项符合题意；
C、任意多边形的外角和等于 ，故此选项不符合题意；
D、三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查不可能事件、根的判别式、多边形的外角和以及三角形的重心的定义，熟练掌握有关知
识点是解题的关键．
9. 已知压力 、压强 与受力面积 之间有如下关系式： ．当F为定值时，下图中
大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的定义，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得： ，
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∴当物体的压力F为定值时，该物体的压强P与受力面积S的函数关系式是： ，
则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握 以及反比例函数的定义，是解题的关键．
10. 如图，反比例函数 的图象与过点 的直线 相交于 、 两点．已知点 的坐标
为 ，点 为 轴上任意一点．如果 ，那么点 的坐标为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】反比例函数 的图象过点 ，可得 ，进而求得直线 的解析式为
，得出 点的坐标，设 ，根据 ，解方程即可求解．
【详解】解：∵反比例函数 的图象过点
∴
∴
设直线 的解析式为 ，
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∴ ，
解得： ,
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： 或 ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
解得： 或 ，
∴ 的坐标为 或 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点 的坐标是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11. 要使代数式 有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得出 ，即可求解．
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【详解】解：∵代数式 有意义，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12. 分解因式： _____．
【答案】
【解析】
【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：
原式 ，
故答案为： ．
13. 已知关于x的一元二次方程 的一个根为 ，则m的值为__________，另一个根为
__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】将 代入原方程，解得 ，根据一元二次方程根与系数的关系，得出 ，即可求
解．
的
【详解】解：∵关于x 一元二次方程 的一个根为 ，
∴
解得： ，
设原方程的另一个根为 ，则 ，
∵
∴
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故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与
系数的关系是解题的关键．
14. 定 义 新 运 算 ： ， 其 中 ， ， ， 为 实 数 ． 例 如 ：
．如果 ，那么 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵
∴
即
解得：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键．
15. 如图，点 是正方形 的对角线 上的一点， 于点 ， ．则点 到直线
的距离为__________．
【答案】
【解析】
【分析】过点 作 于 ，证明四边形四边形 是正方形，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于 ，
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∵点 是正方形 的对角线 上的一点， 于点
∴四边形 是矩形，
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴四边形 是正方形，
∴ ，
即点 到直线 的距离为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键．
16. 在平面直角坐标系中， 为等边三角形，点A的坐标为 ．把 按如图所示的方式放置，
并将 进行变换：第一次变换将 绕着原点O顺时针旋转 ，同时边长扩大为 边长的2
倍，得到 ；第二次旋转将 绕着原点O顺时针旋转 ，同时边长扩大为 ，边长的2
倍，得到 ，…．依次类推，得到 ，则 的边长为__________，点 的
坐标为__________．
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【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据旋转角度为 ，可知每旋转6次后点 又回到 轴的正半轴上，故点 在第四象限，且
，即可求解．
【详解】解：∵ 为等边三角形，点A的坐标为 ，
∴ ，
∵每次旋转角度为 ，
∴6次旋转 ，
第一次旋转后， 在第四象限， ，
第二次旋转后， 在第三象限， ，
第三次旋转后， 在 轴负半轴， ，
第四次旋转后， 在第二象限， ，
第五次旋转后， 在第一象限， ，
第六次旋转后， 在 轴正半轴， ，
……
如此循环，每旋转6次，点 的对应点又回到 轴正半轴，
∵ ，
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点 在第四象限，且 ，
如图，过点 作 轴于 ，
在在 中， ，
∴ ，
，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的
坐标规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、减法运算，再进行加减混合运算即可．
【详解】解：
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【点睛】此题考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18. 先化简 ，再从 ，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
【答案】 ，当 时，原式为 ；当 时，原式为 ．
【解析】
【分析】本题先对要求的式子进行化简，再选取一个适当的数代入即可求出结果．
【详解】解：
，
当a取 ，1，2时分式没有意义，
所以 或0，
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行通分，再约分化简．
19. 如图，矩形 中，过对角线 的中点 作 的垂线 ，分别交 ， 于点 ， ．
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（1）证明： ；
（2）连接 、 ，证明：四边形 是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得出 ，则 ，根据 是 的中点，可得
，即可证明 ；
（2）根据 可得 ，进而可得四边形 是平行四边形，根据对角线互相垂
直的四边形是菱形，即可得证．
【小问1详解】
证明：如图所示，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
在 与 中
，
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∴ ；
【
小问2详解】
∵
∴ ，
又∵
∴四边形 是平行四边形，
∵
∴四边形 是菱形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与
判定是解题的关键．
20. 为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士
纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高 （碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小
组进行测量．他们在地面的 点用测角仪测得碑顶 的仰角为 ，在 点处测得碑顶 的仰角为 ，
已知 ，测角仪的高度是 （ 、 、 在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通
高 ．（ ，结果保留一位小数）
【答案】烈士纪念碑的通高 约为 米
【解析】
【分析】根据题意，四边形 是矩形， 米， 米，根据三角
形的外角的性质得出， ，等角对等边得出 ，进而解 ，
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求得 ，最后根据 ，即可求解．
【详解】解：依题意，四边形 是矩形， 米， 米，
∵
∴
∴ ，
∴ 米，
在 中，
∴ 米
∴ 米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
21. 近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，
从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计
图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）所抽取的学生人数为__________；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；
（3）该校共有学生 人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．
【答案】（1） 人
（2）统计图见解析，
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（3） 人
【解析】
【分析】（1）用“视力正常”的人数除以其人数占比即可求出抽取的学生人数；
（2）先求出“中度近视”的人数，进而求出“轻度近视”的人数，由此补全统计图即可；再用 乘以
“轻度近视”的人数占比即可求出对应的圆心角度数；
（3）用 乘以样本中“轻度近视”的人数占比即可得到答案．
【小问1详解】
解： 人，
∴所抽取的学生人数为 人，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：中度近视的人数为 人，“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为
∴高度近视的人数为 人，
补全统计图如下：
【小问3详解】
解： 人，
∴估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数为 人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题
的关键．
22. 如图， 是 的直径，点 是 外一点， 与 相切于点 ，点 为 上的一点．连接
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、 、 ，且 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）延长 与 的延长线交于点D，求证： ；
（3）若 ，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接 ，证明 ，即可得证；
（2）根据 ，即可得证；
（ 3 ） 根 据 圆 周 角 定 理 得 出 ， 进 而 勾 股 定 理 求 得 ， 根 据
，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵ 是 的切线，
∴
如图所示，连接
18【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
在 与 中，
∴
∵ 为 上的一点．
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
∵ 是 的切线；
∴ ，
∴
∴
【小问3详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
19【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求扇
形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23. 某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客 人的 种客车若干辆，则有 人没有座位；若租用可
坐乘客 人的 种客车，则可少租 辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用 种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用 、 两种客车共 辆，要求 种客车不超过 辆，且每人都有座位，则有哪几种
租车方案？
（3）在（2）的条件下，若 种客车租金为每辆 元， 种客车租金每辆 元，应该怎样租车才最合
算？
【答案】（1）原计划租用 种客车 辆，这次研学去了 人
（2）共有 种租车方案，方案一：租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆；方案二：租用 种客车
辆，则租用 种客车 辆；方案三：租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，
（3）租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆才最合算
【解析】
【分析】（1）设原计划租用 种客车 辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）设租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组
即可求解；
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（3）分别求得三种方案 的费用，进而即可求解．
【小问1详解】
解：设原计划租用 种客车 辆，根据题意得，
，
解得：
所以 （人）
答：原计划租用 种客车 辆，这次研学去了 人；
【小问2详解】
解：设租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，根据题意，得
解得： ，
∵ 为正整数，则 ，
∴共有 种租车方案，
方案一：租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，
方案二：租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，
方案三：租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，
【小问3详解】
∵ 种客车租金为每辆 元， 种客车租金每辆 元，
∴ 种客车越少，费用越低，
方案一：租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，费用为 元，
方案二：租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，费用为 元，
方案三：租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，费用为 元，
∴租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆才最合算．
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【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次方程与不等
式组是解题的关键．
24. 如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 两点，与
轴交于点 ．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
（2）点 为第三象限内抛物线上一点，作直线 ，连接 、 ，求 面积的最大值及此时点
的坐标；
（3）设直线 交抛物线于点 、 ，求证：无论 为何值，平行于 轴的直线
上总存在一点 ，使得 为直角．
【答案】（1）
（2） 面积 的最大值为 ，此时点 的坐标为
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）如图所示，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，得出直线 的解析式为 ，设
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，则 ，得出 ，当 取得最大值时， 面积
取得最大值，进而根据二次函数的性质即可求解；
（3）设 、 ， 的中点坐标为 ，联立 ，消
去 ，整理得： ，得出 ，则 ，
设 点到 的距离为 ，则 ，依题意， ，
，得出
，则 ， ， 点总在 上， 为直径，且 与 相
切，即可得证．
【小问1详解】
解：将 代入 ，得
，
解得： ，
∴抛物线解析式为： ；
【小问2详解】
解：如图所示，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，
23【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
由 ，令 ，
解得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，将点 代入得， ，
解得： ，
的
∴直线 解析式为 ，
设 ，则 ，
∴
，
当 时， 的最大值为
∵
∴当 取得最大值时， 面积取得最大值
∴ 面积的最大值为 ，
此时 ，
24【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴
【小问3详解】
解：设 、 ， 的中点坐标为 ，
联立 ，消去 ，整理得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 点到 的距离为 ，则 ，
∵ 、 ，
∴ ，
∴
25【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴
∴ ，
∴ 点总在 上， 为直径，且 与 相切，
∴ 为直角．
∴无论 为何值，平行于 轴的直线 上总存在一点 ，使得 为直角．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程根与系数的关系，切线的性质与判定，直角所对的弦
是直径，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26
