文档内容
重庆市南开中学校 2024-2025 学年高一上学期 9 月检测数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 下列各项中，不可以组成集合的是
A. 所有的正数 B. 等于2的数 C. 接近于0的数 D. 不等于0的偶数
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：集合中的元素满足三要素：确定性、互异性、无序性；“接近于 0的数”是不确定的
元素
故接近于0的数不能组成集合故选C．
考点：集合的含义．
2. 已知命题 ，则 为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
的
【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题 关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得：
命题 的否定是 ．
故选：D
3. ，若 ，则实数 的取值集合为（ ）
第1页/共14页
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】两个集合相等，则元素相同，据此分类讨论求解即可.
【详解】由题意 ， 或 ，∴ 或 ，
由集合元素互异性可知 ，
则实数 的取值集合为 .
故选：A.
4. 满足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，列举出满足条件的集合 ，即可求解.
【详解】由题意可知， , , , , ,
，共有6个集合满足条件.
故选：C
5. 如图， 是全集， 是 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
第2页/共14页
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据阴影部分的位置得答案.
【详解】图中阴影部分不在集合 中，在集合 中，
故阴影部分所表示的集合是 .
故选：C.
6. 设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为
（ ）
A. （﹣∞，2） B. （﹣∞，2] C. （2，+∞） D. [2，+∞）
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：当 时， ，此时 成立，当 时， ，当
时， ，即 ，当 时， ，当 时，
恒成立，所以 的取值范围为 ，故选B.
考点：集合的关系
7. 若 、 、 为三个集合， ，则一定有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
第3页/共14页
学科网（北京）股份有限公司【分析】由已知等式可推导得到 ，由此可依次判断各个选项得到结果.
【详解】因为 ，
所以 ， ， ，
所以 ,
所以 ，
对于A，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B，当且仅当 时， ，故B错误；
对于C，当 时，满足 ，故C错误；
对于D，当 时，满足 ，故D错误.
故选：A.
8. 设集合 ， 都是 的含两个元素的子集，且满足：对任意的
， （i≠ ， ），都有 （
表示两个数 中的较小者），则 的最大值是（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，首先分析出 的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注
意对 表示两个数 、 中的较小者）的把握，即可得答案．
【详解】解：根据题意，对于 ，含2个元素的子集有15个，
第4页/共14页
学科网（北京）股份有限公司但 ， 、 ， 、 ， 只能取一个；
， 、 ， 只能取一个；
， 、 ， 只能取一个，
故满足条件的两个元素的集合有11个；
故选： ．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 的值可能为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】BCD
【解析】
【分析】由充分不必要条件求出 的范围即可找到选项.
【详解】因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 .
故选：BCD
10. 设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可.
【详解】设 ，
而 ，即A错误，C正确；
，即B正确；
第5页/共14页
学科网（北京）股份有限公司，即D正确.
故选：BCD.
11. 集合 ，且若 ，则 ，那么下列说法正确的有（ ）
A. 若 ，则 B. ，则
C. D. 若 ，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据集合的定义，由 ， ，得到 ， ，即 ， ，然后利用一元二
次不等式的解法化简后逐项判断.
【详解】∵非空集合 满足：当 时，有
∴ ， ， .
则 ， ，且 ， .
即 或 ， 且 ，
对于A，当 时，有 ，故A正确；
对于B，当 时， ，所以 ，所以 ，故B正确；
对于C，因为 或 ，故C错误；
对于D，当 时，可知 或 ，故D错误.
故选：AB
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置
（只填结果，不写过程）.
第6页/共14页
学科网（北京）股份有限公司12. 设全集 ，集合 ， ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】由全集 ，可得 ，然后根据集合混合运算的法则即可求解．
【详解】 ， ，
，
，
，
故答案为： ．
13. 南开中学高一某班报名数学、物理竞赛班，两科都不参加的占全班的 ，只参加数学的占全班的 ，
参加物理的比参加数学的少11人，两门都参加的有5人，则全班有______人.
【答案】45
【解析】
的
【分析】引入参数 ，只参加数学 占参加了竞赛班的比例列方程即可求解.
【详解】设只参加物理的有 个人，则只参加数学的有 个人，
因为两科都不参加的占全班的 ，所以参加了竞赛班的占全班的 ，
所以只参加数学的占参加了竞赛班的 ，
解得 ，所以全班有 人.
第7页/共14页
学科网（北京）股份有限公司为
故答案 ：45.
14. 已知集合 ， ，定义集合
，则 中元素的个数为________.
【答案】
【解析】
【分析】首先用列举法表示集合 、 ，从而得到 ，即可得解.
【详解】因为 ，
，
又 ，
所以
， ，
所以 中元素的共 个.
故答案为：
四、解答题
15. （1）若集 中有且仅有一个元素，求实数 所的有取值.
（2）已知集合 ，若 ，求实数 的值.
【答案】（1） ， ；（2） ， ， .
【解析】
【分析】（1）分 是否等于0两种情况讨论即可；
（2）分 是否等于0两种情况讨论即可.
第8页/共14页
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）情形一：若 ，则 中只有 这一个元素，故 符
合题意；
情形二：若 ，且集合 中只有一个元素，
这意味着当且仅当一元二次方程 有两个相等的实数根，
从而 ，解得 ；
综上所述，实数 的所有取值可能为： ， ；
（2） ，
情形一：当 时， ，此时满足 ，故 符合题意；
情形二：当 时， ，
若要 ，则当且仅当 或 ，
解得 或 ；
综上所述，实数 的值可能是： ， ， .
16. 设集合 .
（1）求
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
第9页/共14页
学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）先解不等式求出集合 ，再利用交集、补集的概念计算即可；
（2）先求出 并集的补集，再根据集合间的基本关系计算即可.
【小问1详解】
由 得 ，
由 得 或 ，即 {x|x>2或 }，
所以 ，故 ；
【小问2详解】
由上知 {x|x>−2或 }，所以 ，
而 ，
则 ，解之得 ，
即 的取值范围为 .
17. 已知全集 ，集合 ．
（1）若b＝4时，存在集合M使得AMB，求出所有这样的集合M；
（2）集合A，B能否满足 ？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由．
【答案】（1） ；
（2）能， .
第10页/共14页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）当 时，由 ，得到 ，求得 ，结合条件即可求解；
（2）由 ，得到 ，分 和 ，两种情况讨论，结合集合的包含关系，即可
求解.
【小问1详解】
解：当 时，可得 ，
因为 ，所以 ，
又由 ，
又因为AMB，
所以这样的集合M共有如下6个： .
【小问2详解】
解：能；
由 ，可得 ，
若 时，此时满足 是 的一个子集，此时 ，解得 ；
若 时，由（1）知 ，
当 时， ，此时 ，此时 不是 的一个子集；
当 时， ，此时 ，此时 是 的一个子集；
当 时， ，此时 ，此时 是 的一个子集，
综上可得，当 或 时，满足 ，
此时实数 的取值范围为 .
第11页/共14页
学科网（北京）股份有限公司18. 已知 .
（1）若 ，求实数 的取值范围;
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）由交集为空集得到一元二次方程无解，再由判别式小于等于零可解出；
（2）分 和 时，分别求出 的范围，注意 时 中的点都在集合 中，
即可解出；
【小问1详解】
由 得 ，①
因为 ，
所以①的 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ，
【小问2详解】
①若 ，由（1）可得 ，
②若 ，且其中的点都在集合 中，也符合题意，
此时 ，联立 ，得 ，且 ，
解得 ，
将 代入 中，整理可得 ，
第12页/共14页
学科网（北京）股份有限公司令 ，整理得 ，解得 ，
同理，把 代入 ，得
，
令 ，整理并化简可得 ，所以 ，
综上，实数 的取值范围为 或 .
19. 设集合 ），若 是 的子集，把 中所有元素的和称为 的"容量"（规定空集的
容量为0），若 的容量为奇（偶）数，则称 为 的奇（偶）子集.
（1）写出 的所有奇子集;
（2）求证： 的奇子集与偶子集个数相等；
（3）求证：当 时， 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.
【答案】（1） 、 、 , 、 , 、 , 、 , 、 ,2, 、 ,3, ；
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，分析 的子集，对应奇子集的定义，即可得 的所有奇子集；
（2）设 为 的奇子集，根据奇子集和偶子集的定义，按 1是否属于 进行分类，则得到奇子集和偶子
集之间的关系，分析即可证得结论；
（3）根据（2）中的结论，计算奇子集容量之和时，元素 的贡献是 ，即可求得奇子集的容量之和，
从而得到偶子集的容量之和，即可得到结论．
【小问1详解】
由题意可知，当 时， ，2，3， ，
第13页/共14页
学科网（北京）股份有限公司的容量为奇数，则 为 的奇子集，
所有的奇子集应为 、 、 , 、 , 、 , 、 , 、 ,2, 、 ,3, ；
【小问2详解】
设奇数 ，对于 的每个奇子集 ，
当 时，取 且 ．
当 时，取 ，则 为 的偶子集．
反之，亦然．
所以， 的奇子集与偶子集是一一对应的．
所以， 的奇子集与偶子集个数相等．
【小问3详解】
对任一 ，含 的子集共有 个，用上面的对应方法可知，
其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，
从而对于每个数 ，在奇子集的和与偶子集的和中， 所占的个数是一样的．
于是在计算奇子集容量之和时，元素 的贡献是 ，
奇子集容量之和是 ，
根据上面所说，这也是偶子集的容量之和，两者相等，
故当 时， 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．
【点睛】方法点睛：对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可
近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
第14页/共14页
学科网（北京）股份有限公司
