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义务教育教科书（五·四学制） 数学 八年级 上册
定价：10.01元
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BA NIANJI SHANG CE
义务教育教科书（五·四学制）
数学
八年级 上册
*
山东出版传媒股份有限公司
山东教育出版社出版
（济南市市中区二环南路 2066 号 4 区 1 号）
山东新华书店集团有限公司发行
山东新华印刷厂潍坊厂印装
*
开本：787 毫米×1092 毫米 1/16
印张：10.75 字数：215 千 定价：10.01 元（上光）
ISBN 978-7-5328-8327-1
2014 年 7 月第 1 版 2021 年 7 月第 8 次印刷
著作权所有·请勿擅用本书制作各类出版物·违者必究
山东出版传媒股份有限公司教材中心售后服务电话：0531－82098188(cid:3413)(cid:1210)的(cid:3934)学(cid:470)
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（（aa - bb））22 == aa22 - 22aabb ++ bb22
aa22 -- 22aabb ++ bb22 ==（（aa - bb））22
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(cid:51) 平行四边形的判定 (cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269) (cid:50)(cid:51)(cid:56)
(cid:52) 三角形的中位线 (cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269) (cid:50)(cid:52)(cid:56)
(cid:53) 多边形的内角和与外角和 (cid:269)(cid:269) (cid:50)(cid:53)(cid:52)
(cid:2286)(cid:2085)与(cid:3762)(cid:2634) (cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269) (cid:50)(cid:53)(cid:57)
(cid:1968)(cid:4126)(cid:3894) (cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269)(cid:269) (cid:50)(cid:53)(cid:58)
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(cid:1666)(cid:2352)(cid:1132)(cid:5965)
第(cid:695)章(cid:1) (cid:1666)(cid:2352)(cid:1132)(cid:5965)
你能(cid:2690) 993 - 99 (cid:1233)成几个整数的(cid:754)积的形式吗？(cid:4829)(cid:875)地，你能(cid:2690) a 3 - a (cid:1233)
成几个整式的(cid:754)积的形式吗？
本章将研究如何(cid:2690)一个多(cid:7050)式分解成若干个整式的(cid:754)积的形式，你将体会
到这一过程与整式(cid:754)法(cid:6402)算的(cid:5135)系.
学习目标
(cid:3897)(cid:2295)(cid:4474)式(cid:1908)(cid:2484)的(cid:4458)(cid:4461)
能(cid:4623)(cid:4521)(cid:3893)公(cid:4474)式(cid:1862)和公式(cid:1862)(cid:2506)行(cid:4474)式(cid:1908)(cid:2484)，发展(cid:4623)(cid:3801)能力
(cid:3897)(cid:2295)(cid:4474)式(cid:1908)(cid:2484)与(cid:4765)式(cid:1521)(cid:1862)(cid:4782)(cid:2392)的(cid:2804)(cid:4131)与(cid:3446)(cid:1370)
（a + b）2 = a2 + 2ab + b2
a2 + 2ab
+
b2
=（a
+
b）2
因式分解号 整式乘法号
（a - b）2 = a2 - 2ab + b2
a2 - 2ab
+
b2
=（a -
b）2
1第(cid:695)章
(cid:1666)(cid:2352)(cid:1132)(cid:5965)
1
(cid:1666)(cid:2352)(cid:1132)(cid:5965)
993 - 99 能被 100 整(cid:6932)吗？你是怎样想的？与同伴进行交流.
小明是这样做的：
993 - 99
993 - 99 还能被
哪些正整数整(cid:6932)？
= 99×992 - 99×1
= 99（992 - 1）
= 99×（99 - 1）（99 + 1）
= 98×99×100.
所以，993 - 99 能被 100 整(cid:6932).
在这(cid:6615)，解决问题的关(cid:6788)是(cid:2690)算式 993 - 99 (cid:1233)成了几个数的积的形式.
议一议
你能(cid:2109)试(cid:2690) a 3 - a (cid:1233)成几个整式的(cid:754)积的形式吗？与同伴进行交流.
做一做
(cid:5946)(cid:2083)下面的拼图过程，(cid:1080)出相(cid:2308)的关系式.
（1）
a + b + c
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
2
m m m m
a b c1
(cid:1666)(cid:2352)(cid:1132)(cid:5965)
（2）
x 1 1 1 x + 1
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
(cid:2690)一个多(cid:7050)式(cid:1233)成几个整式的积的形式，这种变形叫做(cid:1666)(cid:2352)(cid:1132)解
（f a ct or i z a t i on ）. 例如，a 3 - a = a（a + 1）（a - 1），am + bm + cm = m（a + b
+ c），x 2 + 2x + 1 =（x + 1）2 都是(cid:1666)式分解. (cid:1666)式分解也可称为分解(cid:1666)式.
做一做
计算下(cid:1141)各式：
（1）3x （x - 1）= (cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96) ； （2）m（a + b - 1）= (cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96) ；
（3）（m + 4）（m - 4）= (cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)；（4）（y - 3）2 = (cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96) .
根据上面的算式(cid:1805)空：
（1）3x 2 - 3x =（ ）（ ）； （2）ma + mb - m =（ ）（ ）；
（3）m 2 - 16 =（ ）（ ）； （4）y 2 - 6y + 9 =（ ）（ ）.
做一做
举例说明(cid:1666)式分解与整式(cid:754)法之间的关系.
随堂练习
1. 连一连：
3
x x x
1
1
+
x
x 2 - y 2 （x + 1）2
9 - 25x 2 y （x - y ）
x 2 + 2x + 1 （3 - 5x ）（3 + 5x ）
x y - y 2 （x + y ）（x - y ）第(cid:695)章
(cid:1666)(cid:2352)(cid:1132)(cid:5965)
2. 下(cid:1141)由(cid:2235)边到(cid:1343)边的变形，哪些是(cid:1666)式分解？为什么？
（1）（a + 3）（a - 3） = a2 - 9； （2）m2 - 4 =（m + 2）（m - 2）；
（3）a2 - b2 + 1 =（a + b）（a - b）+ 1；（4）2mR + 2mr = 2m（R + r ）.
习题 1.1
知识技能
1. 连一连：
x 2 + 4x + 4 （x + 2）（x - 2）
x 2 - 2x + 1 （x - 1）（x + 1）
4x 2 - 1 （x - 1）2
x 2 - 1 （x + 2）2
x 2 - 4 （2x - 1）（2x + 1）
数学理解
2. 下列由(cid:2235)边到(cid:1343)边的变形，哪些是(cid:1666)式分解？
（1）a（x + y ）= ax + ay ；
（2）10x 2 - 5x = 5x （2x - 1）；
（3）y 2 - 4y + 4 = （y - 2）2；
（4）t2 - 16 + 3t = （t + 4）（t - 4）+ 3t.
3. 求(cid:829)数式 I R + I R + I R 的(cid:985)，其中 R = 16.2，R = 32.4，R = 35.4，I = 2.5.
1 2 3 1 2 3
4. 将下列四个图形，拼成一个大长方形，再据此写出一个多(cid:7050)式的(cid:1666)式分解.
x 1 x 1
(cid:320) (cid:321) (cid:322) (cid:323)
（第 4 题）
问题解决
5.（1）1 9992 + 1 999 能(cid:5890) 1 999 整(cid:6932)吗？能(cid:5890) 2 000 整(cid:6932)吗？
1 1
（2）16.9(cid:102) + 15.1(cid:102) 能(cid:5890) 4 整(cid:6932)吗？
8 8
4
x x
2 22
(cid:2850)(cid:1053)(cid:1666)(cid:2352)(cid:3586)
2
(cid:2850)(cid:1053)(cid:1666)(cid:2352)(cid:3586)
多(cid:7050)式 ab + bc 各(cid:7050)都(cid:1381)有相同的(cid:1666)式吗？多(cid:7050)式 3x 2 + x 呢？多(cid:7050)式
mb 2 + nb - b 呢？(cid:2109)试将这几个多(cid:7050)式分别(cid:1080)成几个(cid:1666)式的(cid:754)积，并与同伴交流.
多(cid:7050)式 ab + bc 的各(cid:7050)都(cid:1381)有相同的(cid:1666)式 b. 我们(cid:2690)多(cid:7050)式各(cid:7050)都(cid:1381)有的
相同(cid:1666)式，叫做这个多(cid:7050)式各(cid:7050)的(cid:1053)(cid:1666)(cid:2352)（co mmo n f a ct o r ）. 如 b 就是多(cid:7050)式
ab + bc 各(cid:7050)的(cid:1053)(cid:1666)式.
议一议
（1）多(cid:7050)式 2x 2 + 6x 3 中各(cid:7050)的(cid:1053)(cid:1666)式是什么？
（2）你能(cid:2109)试将多(cid:7050)式 2x 2 + 6x 3 (cid:1666)式分解吗？与同伴进行交流.
如果一个多(cid:7050)式的各(cid:7050)(cid:1381)有(cid:1053)(cid:1666)式，那么就可以(cid:2690)这个(cid:1053)(cid:1666)式(cid:2850)出来，从
而将多(cid:7050)式(cid:1233)成两个(cid:1666)式(cid:754)积的形式. 这种(cid:1666)式分解的方法叫做(cid:2850)(cid:1053)(cid:1666)(cid:2352)(cid:3586).
例 1 (cid:2690)下(cid:1141)各式(cid:1666)式分解：
（1）3x + x 3；
（2）7x 3 - 21x 2；
（3）8a 3 b 2 - 12ab 3 c + ab.
解：（1）3x + x 3 = x ·3 + x ·x 2 = x （3 + x 2）；
（2）7x 3 - 21x 2 = 7x 2·x - 7x 2·3 = 7x 2（x - 3）；
（3）8a 3 b 2 - 12ab 3 c + ab = ab·8a 2 b - ab·12b 2 c + ab·1
= ab（8a 2 b - 12b 2 c + 1）.
5第(cid:695)章
(cid:1666)(cid:2352)(cid:1132)(cid:5965)
想一想
（1）(cid:2850)(cid:1053)(cid:1666)式法(cid:1666)式分解与(cid:1261)(cid:7050)式(cid:754)多(cid:7050)式有什么关系？
（2）如何确定多(cid:7050)式各(cid:7050)的(cid:1053)(cid:1666)式？
随堂练习
(cid:2690)下(cid:1141)各式(cid:1666)式分解：
（1）ma + mb； （2）5y 3 + 20y 2；
（3）6x - 9x y ； （4）a2b - 5ab；
（5）4m3 - 6m2； （6）a2b - 5ab + 9b；
（7）3a2y - 3ay + 6ay 2； （8）10a2x - 15a2y + 5a2.
习题 1.2
知识技能
1. 把下列各式(cid:1666)式分解：
（1）2x 2 - 4x ； （2）8m2n + 2mn；
（3）a2x 2y - ax y 2； （4）3x 3 - 3x 2 - 9x ；
（5）12a2b - 9ab2 - 15a2b2； （6）2a2b2c3 - 4ab2c3 + 6a2bc3；
（7）56ax 2y + 14ax 2y 2 - 21a2x y 2； （8）15x 3y 3 + 5x 2y 2 - 20x 2y 3.
2. （1）利用(cid:1666)式分解进行计(cid:4779)：
mR 2 + mR 2 + mR 2，其中R = 20，R = 16，R = 12，m = 3.14；
1 2 3 1 2 3
7
（2）求 x z - y z 的(cid:985)，其中 x = 17.8，y = 28.8，z = ；
11
（3）已知 ab = 7，a + b = 6，求多(cid:7050)式 a2b + ab2 的(cid:985).
数学理解
3. 下列(cid:1666)式分解是否正确？为什么？
（1）2n2 - nm - n = 2n（n - m - 1）；
（2）- ab2 + 2ab - 3b = - b（ab - 2a - 3）；
（3）x （x - y ）- y （x - y ）=（x - y ）2；
（4）a2 - a - 2 = a（a - 1）- 2.
62
(cid:2850)(cid:1053)(cid:1666)(cid:2352)(cid:3586)
问题解决
4. 利用简(cid:935)方法计(cid:4779)：
（1）121×0.13 + 12.1×0.9 - 12×1.21；
（2）2.34×13.2 + 0.66×13.2 - 26.4.
例 2 (cid:2690)下(cid:1141)各式(cid:1666)式分解：
（1）a（x - 3）+ 2b（x - 3）；
（2）y （x + 1）+ y 2（x + 1）2 .
解：（1）a（x - 3）+ 2b（x - 3）=（x - 3）（a + 2b）；
（2）y （x + 1）+ y 2（x + 1）2 = y （x + 1）(cid:8057)1 + y （x + 1）(cid:8059)
= y （x + 1）（x y + y + 1）.
做一做
请在下(cid:1141)各式等号(cid:1343)边的(cid:2746)号前(cid:1805)(cid:1050)“ + ”或“ - ”，使等式成(cid:4705)：
（1）2 - a = (cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)（a - 2）； （2）y - x = (cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)（x - y ）；
（3）b + a = (cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)（a + b）； （4）（b - a）2 = (cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)（a - b）2；
（5）- m - n = (cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)（m + n）； （6）- s 2 + t 2 = (cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)（s 2 - t 2）.
你发现了什么规律？与同伴进行交流.
例 3 (cid:2690) - 4m 3 + 12m 2 - 6m (cid:1666)式分解.
解：- 4m 3 + 12m 2 - 6m
(cid:2375)多(cid:7050)式第一(cid:7050)的系
= -（4m 3 - 12m 2 + 6m）
数是(cid:6151)数时，通常先(cid:2850)出
= -（2m·2m 2 - 2m·6m + 2m·3） “ - ”号，使(cid:2746)号内第一
(cid:7050)的系数成为正数. 在(cid:2850)出
= - 2m（2m 2 - 6m + 3）.
“ - ”号时，多(cid:7050)式的各(cid:7050)
都(cid:5942)变号.
7第(cid:695)章
(cid:1666)(cid:2352)(cid:1132)(cid:5965)
例 4 (cid:2690)下(cid:1141)各式(cid:1666)式分解：
（1）a（x - y ）+ b（y - x ）；
（2）6（m - n）3 - 12（n - m）2 .
解：（1）a（x - y ）+ b（y - x ）= a（x - y ）- b（x - y ）
=（x - y ）（a - b）；
（2）6（m - n）3 - 12（n - m）2 = 6（m - n）3 - 12（m - n）2
= 6（m - n）2（m - n - 2）.
随堂练习
(cid:2690)下(cid:1141)各式(cid:1666)式分解：
（1）x （a + b）+ y （a + b）； （2）3a（x - y ）-（x - y ）；
（3）- a2 + ab - ac； （4）- 2x 3 + 4x 2 + 2x ；
（5）6（p + q ）2 - 12（q + p ）； （6）a（m - 2）+ b（2 - m）；
（7）2（y - x ）2 + 3（x - y ）； （8）mn（m - n）- m（n - m）2.
习题 1.3
知识技能
1. 把下列各式(cid:1666)式分解：
（1）- 24x 3 + 12x 2 - 28x ； （2）- 4a3b3 + 6a2b - 2ab；
（3）- 2x 2 - 12x y 2 + 8x y 3； （4）- 3a3m + 6a2m - 12am.
2. 把下列各式(cid:1666)式分解：
（1）7（a - 1）+ x （a - 1）； （2）3（a - b）2 + 6（b - a）；
（3）2（m - n）2 - m（m - n）； （4）x （x - y ）2 - y （y - x ）2；
（5）m（a2 + b2）+ n（a2 + b2）； （6）（2a + b）（2a - 3b）- 3a（2a + b）；
（7）18（a - b）3 - 12b（b - a）2； （8）x （x + y ）（x - y ）- x （x + y ）2.
3. (cid:1039)(cid:1666)式分解，再计(cid:4779)求(cid:985)：
（1）4x （m - 2）- 3x （m - 2），其中 x = 1.5，m = 6；
（2）（a - 2）2 - 6（2 - a），其中 a = - 2.
83
(cid:1053)(cid:2352)(cid:3586)
问题解决
4. 某大学有三块(cid:5465)(cid:1726)，第一块(cid:5465)(cid:1726)的面积为（a + b）2 m2，第(cid:772)块(cid:5465)(cid:1726)的面积
为 a（a + b） m2，第三块(cid:5465)(cid:1726)的面积为 b（a + b）m2，求这三块(cid:5465)(cid:1726)的(cid:2484)面积.
2 2
5. 已知实数 a，b 满足 ab = 3，a - b = 2，求(cid:829)数式 - a4b3 + a3b4 的(cid:985).
3 3
3
(cid:1053)(cid:2352)(cid:3586)
(cid:5946)(cid:2083)多(cid:7050)式 x 2 - 25，9x 2 - y 2，它们有什么共同特征？(cid:2109)试将它们分别(cid:1080)
成两个(cid:1666)式的(cid:754)积，并与同伴进行交流.
(cid:771)实上，(cid:2690)(cid:754)法(cid:1053)式（a + b）（a - b）= a 2 - b 2 反过来，就得到
a 2 - b 2 =（a + b）（a - b）.
例 1 (cid:2690)下(cid:1141)各式(cid:1666)式分解：
1
（1）25 - 16x 2； （2）9a 2 - b 2 .
4
解：（1）25 - 16x 2 = 52 -（4x ）2 =（5 + 4x ）（5 - 4x ）；
1 1 1 1
（2）9a 2 - b 2 =（3a）2 -（ b）2 =（3a + b）（3a - b）.
4 2 2 2
例 2 (cid:2690)下(cid:1141)各式(cid:1666)式分解：
（1）9（m + n）2 -（m - n）2； （2）2x 3 - 8x .
解：（1）9（m + n）2 -（m - n）2
=(cid:8057)3（m + n）(cid:8059)2 -（m - n）2
=(cid:8057)3（m + n）+（m - n）(cid:8059)(cid:8057)3（m + n）-（m - n）(cid:8059)
9第(cid:695)章
(cid:1666)(cid:2352)(cid:1132)(cid:5965)
=（3m + 3n + m - n）（3m + 3n - m + n）
=（4m + 2n）（2m + 4n）
= 4（2m + n）（m + 2n）； (cid:2375)多(cid:7050)式的各(cid:7050)(cid:1381)有(cid:1053)
(cid:1666)式时，通常先(cid:2850)出这个(cid:1053)(cid:1666)
（2）2x 3 - 8x = 2x （x 2 - 4）
式，(cid:1075)进一步(cid:1666)式分解.
= 2x （x 2 - 22）
= 2x （x + 2）（x - 2）.
随堂练习
1. 判(cid:2994)正(cid:6056)：
（1）x 2 + y 2 =（x + y ）（x + y ）； （ ）
（2）x 2 - y 2 =（x + y ）（x - y ）； （ ）
（3）- x 2 + y 2 =（-x + y ）（-x - y ）； （ ）
（4）- x 2 - y 2 = -（x + y ）（x - y ）. （ ）
2. (cid:2690)下(cid:1141)各式(cid:1666)式分解：
（1）a2b2 - m2；
（2）（m - a）2 - （n + b）2；
（3）a2 -（a + b - c）2；
（4）- 16x 4 + 81y 4.
3. 如图，从一张边长为 a cm 的正方形纸片的四个角处各
剪去一个边长为 b cm 的正方形，求剩(cid:888)(cid:6538)分的面积. 如
果 a = 3.6，b = 0.8 呢？
习题 1.4
知识技能
1. 把下列各式(cid:1666)式分解：
（1）a2 - 81； （2）36 - x 2；
（3）1 - 16b2； （4）m2 - 9n2；
（5）0.25q 2 - 121p 2； （6）169x 2 - 4y 2；
49
（7）9a2p 2 - b2q 2； （8） a2 - x 2y 2.
4
10
a
b
（第 3 题）3
(cid:1053)(cid:2352)(cid:3586)
2. 把下列各式(cid:1666)式分解：
（1）（m + n）2 - n2； （2）49（a - b）2 - 16（a + b）2；
（3）（2x + y ）2 -（x + 2y ）2； （4）（x 2 + y 2）2 - x 2y 2；
（5）3ax 2 - 3ay 4； （6）p 4 - 1.
问题解决
3. 如图，大(cid:1683)和小(cid:1683)的(cid:1683)心相同，已知它们的(cid:1255)(cid:2399)分别是 r
R
R cm 和 r cm，求它们所(cid:1674)成的(cid:4119)形的面积. 如果
R = 8.45，r = 3.45 呢？（ 取 3.14）
（第 3 题）
(cid:2690)(cid:754)法(cid:1053)式（a + b）2 = a 2 + 2ab + b 2，（a - b）2 = a 2 - 2ab + b 2 反过来，
就得到
a 2 + 2ab + b 2 =（a + b）2，a 2 - 2ab + b 2 =（a - b）2 .
由(cid:1666)式分解与整式(cid:754)法的关系可以看出，
如果(cid:2690)(cid:754)法(cid:1053)式反过来，那么就可以用来(cid:2690)(cid:3197) 形如 a2 (cid:288) 2ab + b2 的
些多(cid:7050)式(cid:1666)式分解. 通常我们(cid:2690)(cid:6402)用(cid:754)法(cid:1053)式 式子称为完全平方式.
进行(cid:1666)式分解的方法叫做(cid:1053)(cid:2352)(cid:3586).
例 3 (cid:2690)下(cid:1141)完全平方式(cid:1666)式分解：
（1）x 2 + 14x + 49； （2）（m + n）2 - 6（m + n）+ 9.
解：（1）x 2 + 14x + 49 = x 2 + 2×7x + 72 =（x + 7）2；
（2）（m + n）2 - 6（m + n）+ 9 =(cid:8057)（m + n）- 3(cid:8059)2 =（m + n - 3）2 .
例 4 (cid:2690)下(cid:1141)各式(cid:1666)式分解：
（1）3ax 2 + 6ax y + 3ay 2； （2）- x 2 - 4y 2 + 4x y .
11第(cid:695)章
(cid:1666)(cid:2352)(cid:1132)(cid:5965)
解：（1）3ax 2 + 6ax y + 3ay 2 = 3a（x 2 + 2x y + y 2）= 3a（x + y ）2；
（2）- x 2 - 4y 2 + 4x y = -（x 2 + 4y 2 - 4x y ）
= -（x 2 - 4x y + 4y 2）
= -(cid:8057)x 2 - 2·x ·2y +（2y ）2(cid:8059)
= -（x - 2y ）2 .
随堂练习
1. 下(cid:1141)多(cid:7050)式中，哪几个是完全平方式？请(cid:2690)是完全平方式的多(cid:7050)式(cid:1666)式分解：
1
（1）x 2 - x + ； （2）9a2b2 - 3ab + 1；
4
1
（3） m2 + 3mn + 9n2； （4）x 6 - 10x 3 - 25.
4
2. (cid:2690)下(cid:1141)各式(cid:1666)式分解：
（1）x 2 - 12x y + 36y 2； （2）16a4 + 24a2b2 + 9b4；
（3）- 2x y - x 2 - y 2； （4）4 - 12（x - y ） + 9（x - y ）2.
读一读
(cid:3077) (cid:2598) (cid:2973)
如(cid:3175)一个正整(cid:2973)能(cid:5867)示(cid:734)两个正整(cid:2973)的平方(cid:2240)，(cid:6503)(cid:742)称这个正整(cid:2973)(cid:734)(cid:254)(cid:3077)(cid:2598)(cid:2973)(cid:255).
例如，16 = 52 - 32，16 (cid:2115)是一个(cid:3077)(cid:2598)(cid:2973). 在正整(cid:2973)中，(cid:816) 1 (cid:2344)始，(cid:4740) 2 012 个(cid:3077)(cid:2598)(cid:2973)是
哪个(cid:2973)？
(cid:2101)(cid:7075)的方(cid:3586)是一个一个(cid:2685)出(cid:3151)：
3 = 22 - 12，5 = 32 - 22，7 = 42 - 32，
8 = 32 - 12，9 = 52 - 42，11 = 62 - 52，
(cid:256)(cid:256)
(cid:2101)(cid:3034)(cid:5987)(cid:734)(cid:2101)(cid:7075)的方(cid:3586)(cid:1850)(cid:7396)(cid:3921). (cid:821)(cid:2567)(cid:1154)：
设 k 是正整(cid:2973)，(cid:4224)于
（k + 1）2 - k 2 =（k + 1 + k ）（k + 1 - k ） = 2k + 1，
所以，(cid:6932) 1 外，所有的(cid:1865)(cid:2973)(cid:6544)是(cid:3077)(cid:2598)(cid:2973).
123
(cid:1053)(cid:2352)(cid:3586)
(cid:1313)(cid:1666)(cid:734)（k + 1）2 - （k - 1）2 =（k + 1 + k - 1）（k + 1 - k + 1） = 4k ，
所以，(cid:6932) 4 外，所有能(cid:5890) 4 整(cid:6932)的(cid:998)(cid:2973)(cid:6544)是(cid:3077)(cid:2598)(cid:2973).
(cid:6407)(cid:1180)(cid:804)(cid:742)(cid:2973)(cid:3557)(cid:2878)(cid:3725)(cid:3330)(cid:1412)？(cid:6407)(cid:1180)(cid:5890) 4 (cid:6932)(cid:888) 2 的(cid:2973).
(cid:6031)一下，2，6，10 (cid:6544)(cid:704)是(cid:3077)(cid:2598)(cid:2973). 能(cid:1377)下结(cid:6007)：(cid:5890) 4 (cid:6932)(cid:888) 2 的正整(cid:2973)(cid:6544)(cid:704)是(cid:3077)(cid:2598)
(cid:2973)？(cid:704)行(cid:7999)特殊(cid:704)能(cid:829)(cid:3107)一(cid:5322). (cid:6503)(cid:2463)(cid:742)(cid:1193)(cid:1412)？(cid:2101)(cid:3034)(cid:254)(cid:1269)(cid:1831)(cid:255)(cid:768)(cid:7999)
(cid:2101)(cid:797)(cid:5987)(cid:734)，如(cid:3175) 4k + 2 是(cid:3077)(cid:2598)(cid:2973)，(cid:6503)(cid:742)(cid:2425)有两个正整(cid:2973) m 和 n，(cid:910)(cid:2410)
4k + 2 = m2 - n2，
(cid:1281) 2（2k + 1） =（m + n）（m - n）. （* ）
(cid:1666)(cid:734) m + n 和 m - n 这两个(cid:2973)的(cid:1865)(cid:998)(cid:2477)相同，所以（* ）式(cid:1343)边(cid:5942)(cid:742)是 4 的倍(cid:2973)，
(cid:5942)(cid:742)是(cid:1865)(cid:2973)，(cid:5099)(cid:2235)边一(cid:2048)是(cid:998)(cid:2973)，(cid:878)一(cid:2048)(cid:704)是 4 的倍(cid:2973)，可见(cid:2235)、(cid:1343)两边(cid:704)相等. 所以
4k + 2 (cid:704)是(cid:3077)(cid:2598)(cid:2973)，(cid:1281)(cid:5890) 4 (cid:6932)(cid:888) 2 的正整(cid:2973)(cid:6544)(cid:704)是(cid:3077)(cid:2598)(cid:2973).
(cid:5296)此，问题(cid:2115)(cid:3467)(cid:6359)(cid:3725)(cid:3330)(cid:768)，(cid:2690)(cid:816) 1 (cid:2344)始的正整(cid:2973)(cid:922)(cid:3411)每 4 个分(cid:2631)一组，(cid:6932)(cid:4740)一组
有 1 个(cid:3077)(cid:2598)(cid:2973)外，(cid:1061)(cid:888)(cid:1354)组(cid:6544)有 3 个(cid:3077)(cid:2598)(cid:2973)，(cid:5099)且每组中(cid:4740)(cid:772)个(cid:704)是(cid:3077)(cid:2598)(cid:2973).
有(cid:768)这(cid:783)结(cid:6007)，(cid:1075)(cid:2685)(cid:4740) 2 012 个(cid:3077)(cid:2598)(cid:2973)(cid:2115)(cid:2068)(cid:3036)(cid:1843)(cid:768)(cid:7999)同(cid:2022)们，你们知道这个(cid:3077)(cid:2598)
(cid:2973)是(cid:1843)(cid:2102)吗？
习题 1.5
知识技能
1. 把下列各式(cid:1666)式分解：
（1）x 2y 2 - 2x y + 1； （2）9 - 12t + 4t2；
x 2
（3） + x y + y 2； （4）25m2 - 80m + 64；
4
y 2
（5）4x 2 - 2x y + ； （6）4a2b2 - 28ab + 49.
4
2. 把下列各式(cid:1666)式分解：
（1）（x + y ）2 + 6（x + y ）+ 9； （2）a2 - 2a（b + c）+（b + c）2；
（3）4x y 2 - 4x 2y - y 3； （4）-a + 2a2 - a3.
13第(cid:695)章
(cid:1666)(cid:2352)(cid:1132)(cid:5965)
数学理解
3. 已知多(cid:7050)式 x 2 + 1 与一个(cid:1261)(cid:7050)式的和是一个整式的完全平方，请你找出一个满
足条件的(cid:1261)(cid:7050)式.
问题解决
4. 两个连(cid:4958)(cid:1865)数的平方差能(cid:5890) 8 整(cid:6932)吗？为什么？
想一想
多(cid:7050)式 x （x + 6）+ 9 能(cid:1666)式分解吗？与同伴进行交流.
例 (cid:22) (cid:2690) y （y + 4）- 4（y + 1）(cid:1666)式分解.
解：y （y + 4）- 4（y + 1）
= y 2 + 4y - 4y - 4
= y 2 - 4
=（y + 2）（y - 2）.
例 (cid:23) (cid:2690)（x 2 + 1）2 - 4x 2 (cid:1666)式分解.
解：（x 2 + 1）2 - 4x 2
=（x 2 + 1）2 -（2x ）2
=（x 2 + 2x + 1）（x 2 - 2x + 1）
=（x + 1）2（x - 1）2 .
议一议
多(cid:7050)式(cid:1666)式分解的一(cid:5322)步(cid:7201)是什么？与同伴进行交流.
143
(cid:1053)(cid:2352)(cid:3586)
随堂练习
1. (cid:2690)下(cid:1141)各式(cid:1666)式分解：
（1）a（a - 2）+ 1； （2）m（m + 9）- 9（m + 1）；
（3）x （4 - x ）- 4.
2. (cid:2690)下(cid:1141)各式(cid:1666)式分解：
（1）x 4 - 2x 2 + 1； （2）（y 2 + 9）2 - 36y 2；
1
（3）2（x 2 - ）- x 4.
2
读一读
(cid:1339)(cid:1233)(cid:734) x2 +(cid:7991)a + b(cid:7992)x + ab (cid:1740)的二(cid:3411)三(cid:7050)(cid:2352)的(cid:1666)(cid:2352)(cid:1132)解
(cid:1150)用(cid:1843)(cid:7050)式的(cid:754)(cid:3586)(cid:3586)(cid:1143)，可以(cid:2410)(cid:1154)
（x + a）（x + b）= x 2 +（a + b）x + ab.
(cid:1318)(cid:6399)(cid:3151)，(cid:1143)有
x 2 +（a + b）x + ab =（x + a）（x + b）.
这(cid:2115)是(cid:6061)，对一个(cid:772)(cid:3411)(cid:7050)(cid:4871)(cid:2973)(cid:734) 1 的(cid:772)(cid:3411)三(cid:7050)式 x 2 + mx + n，如(cid:3175)能(cid:1845)(cid:2690)常(cid:2973)
(cid:7050) n 分(cid:5965)(cid:2631)两个(cid:1666)(cid:2973) a，b 的(cid:4645)，(cid:2291)且 a 与 b 的和(cid:2509)(cid:1886)等于一(cid:3411)(cid:7050)的(cid:4871)(cid:2973) m，(cid:6503)(cid:742)，这
个(cid:772)(cid:3411)三(cid:7050)式(cid:2115)可以分(cid:5965)(cid:2631)（x + a）（x + b）的(cid:4645)，(cid:1281)
x 2 + mx + n =（x + a）（x + b），
(cid:1061)中，ab = n，a + b = m.
例 (cid:2690)(cid:772)(cid:3411)三(cid:7050)式 x 2 - 4x - 12 (cid:1666)式分(cid:5965).
(cid:1132)(cid:3170)：常(cid:2973)(cid:7050) -12 可以分(cid:5965)(cid:734)：
- 12 = 1 ×（- 12）=（- 1）× 12
= 2 ×（- 6）=（- 2）× 6
= 3 ×（- 4）=（- 3）× 4，
(cid:1061)中，(cid:2509)有 2 +（- 6）= -4.
解： x 2 - 4x - 12
=（x + 2）(cid:8057)x +（- 6）(cid:8059)
=（x + 2）（x - 6）.
(cid:1150)用上(cid:6424)方(cid:3586)，可以(cid:2098)部分特殊的(cid:772)(cid:3411)三(cid:7050)式便(cid:2809)地(cid:5965)出(cid:3151). 同(cid:2022)们可以(cid:844)(cid:3954)上
(cid:6424)方(cid:3586)(cid:2098)(cid:772)(cid:3411)三(cid:7050)式 x 2 + 2x - 15 (cid:1666)式分(cid:5965).
15第(cid:695)章
(cid:1666)(cid:2352)(cid:1132)(cid:5965)
习题 1.6
知识技能
1. 把下列各式(cid:1666)式分解：
（1）（x + 1）2 - 4x ； （2）（m + n）3 - 4（m + n）；
1
（3）（x + 1）（x - 1）- 3； （4）（x + 2）（x + 3）+ .
4
2. 把下列各式(cid:1666)式分解：
（1）x 4 - 8x 2y 2 + 16y 4； （2）（b2 + c2）2 - 4b2c2；
（3）（x 2 - 2）2 - 4； （4）x 4 - 18x 2 + 81.
回顾与思考
1. 举(cid:915)说明什么是(cid:1666)式分解.
2. (cid:1666)式分解与整式(cid:754)法有什么关系？
3. (cid:1666)式分解常用的方法有哪些？
4. 用适当的方式梳理本章的知识，并与同伴进行交流.
复习题
知识技能
1. 把下列各式(cid:1666)式分解：
（1）7x 2 - 63；
（2）a3 - a；
（3）3a2 - 3b2；
（4）y 2 - 9（x + y ）2；
（5）a（x - y ）- b（y - x ）+ c（x - y ）；
（6）x （m + n）- y （n + m）+（m + n）；
16复习题
（7）（x + y ）2 - 16（x - y ）2；
（8）a2（a - b）2 - b2（a - b）2；
（9）（x + y + z ）2 -（x - y - z ）2；
（10）（x + y ）2 - 14（x + y ）+ 49.
2. 把下列各式(cid:1666)式分解：
（1）a2b2 - 0.01； （2）x 2y - 2x y 2 + y 3；
（3）16 -（2a + 3b）2； （4）（a2 + 4）2 - 16a2；
1
（5）x 2 - x y + y 2； （6）a2x 2 + 16ax + 64；
4
（7）a4 - 8a2b2 + 16b4； （8）9a2 - 6a（a + b）+（a + b）2.
3. (cid:1039)(cid:1666)式分解，(cid:3945)后计(cid:4779)求(cid:985)：
4 1
（1）9x 2 + 12x y + 4y 2，其中 x = ，y = - ；
3 2
a + b 2 a - b 2 1
（2）（ ） -（ ），其中 a = - ，b = 2.
2 2 8
4. 把下列各式(cid:1666)式分解：
1 1
（1）2x 2 + 2x + ； （2）（x + 1）（x + 2）+ .
2 4
数学理解
5. 利用(cid:1666)式分解说明：257 - 512 能(cid:5890) 120 整(cid:6932).
1 1
6. 已知 x + y = 1，求 x 2 + x y + y 2 的(cid:985).
2 2
问题解决
7. 利用(cid:1666)式分解计(cid:4779)：
（1）22 014 - 22 013； （2）（- 2）101 +（- 2）100.
8. 如图，在(cid:1255)(cid:2399)为 R 的(cid:1683)形(cid:6658)板上，(cid:1092)去(cid:1255)(cid:2399)为 r 的四个小(cid:1683)，利用(cid:1666)式分解计(cid:4779)当
R = 7.8 cm，r = 1.1 cm 时(cid:1180)(cid:888)部分的面积（ 取 3.14）.
l
（第 8 题）
17
D
d
（第 9 题）第(cid:695)章
(cid:1666)(cid:2352)(cid:1132)(cid:5965)
9. 如图，某(cid:1082)场(cid:958)建一(cid:2320)小(cid:1740)(cid:3509)(cid:2307)，(cid:6986)要一种(cid:4679)心(cid:3721)(cid:1110)(cid:1688)(cid:4782)道，它的(cid:5947)格是内(cid:2399)
d = 45 cm，外(cid:2399) D = 75 cm，长 l = 300 cm. 利用(cid:1666)式分解计(cid:4779)(cid:3643)制一节这样的(cid:4782)
道(cid:4894)(cid:6986)要多少立方(cid:4827)的(cid:3721)(cid:1110)(cid:1688)（ 取 3.14，结果精确到 0.01 m3）.
10. 已知正方形的面积是 9x 2 + 6x y + y 2（x > 0，y > 0），利用(cid:1666)式分解写出表示(cid:6047)正
方形的边长的(cid:829)数式.
※11. 当 x 取何(cid:985)时，多(cid:7050)式 x 2 + 2x + 1 取得最小(cid:985)？
※12. 正方形(cid:264)的周长(cid:3467)正方形(cid:265)的周长长 96 cm，它们的面积相差 960 cm2. 求这两个
正方形的边长.
联系拓广
13. 当 k 取何(cid:985)时，100x 2 - k x y + 49y 2 是一个完全平方式？
※14. 计(cid:4779)下列各式：
1
（1）1 - = (cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96) ；
22
1 1
（2）（1 - ）（1 - ） = (cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96) ；
22 32
1 1 1
（3）（1 - ）（1 - ）（1 - ） = (cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96) .
22 32 42
你能根据所学知识找到计(cid:4779)上面(cid:4779)式的简(cid:935)方法吗？请你利用你找到的简(cid:935)方法
计(cid:4779)下式：
1 1 1 1 1 1
（1 - ）（1 - ）（1 - ）…（1 - ）（1 - ）…（1 - ）.
22 32 42 92 102 n2
※15. 248 - 1 可以(cid:5890) 60 和 70 之间的某两个数整(cid:6932)，求这两个数.
181
(cid:5987)(cid:6018)(cid:1132)(cid:2352)
第(cid:772)章(cid:1) (cid:1132)(cid:2352)(cid:705)(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
a + 1 8 x + 2
我们在数学学(cid:760)中会(cid:6469)到(cid:6065)如 ， ， 之(cid:4829)的式子，你知道这
2a a - x y
x （x + 2） x + 2
些式子与整式有什么(cid:1245)别吗？你(cid:5987)为 与 相等吗？
x y y
1 3
你见过(cid:4829)(cid:875)于 = 这样的方程吗？你能求出它的解吗？
x - 2 x
本章将学(cid:760)分式的(cid:3344)(cid:2448)、性质和四则(cid:6402)算，以及分式方程的解法，并(cid:2308)用
分式方程解决一些(cid:4773)(cid:1261)问题.
学习目标
(cid:2837)(cid:2484)(cid:1908)式的(cid:1985)(cid:3154)，探索(cid:1908)式的(cid:2319)(cid:1320)性质
能(cid:2506)行(cid:1908)式的四(cid:4662)(cid:4623)(cid:3801)，发展(cid:4623)(cid:3801)能力
(cid:2295)(cid:2484)(cid:2647)(cid:2245)(cid:4026)(cid:4419)(cid:4590)(cid:4419)(cid:1618)(cid:1883)(cid:1522)的(cid:1908)式(cid:1883)(cid:1522)
能(cid:4623)(cid:4521)(cid:1908)式(cid:1883)(cid:1522)(cid:2484)(cid:2598)(cid:4419)(cid:4213)(cid:2406)(cid:1671)的(cid:3661)(cid:2366)(cid:4058)(cid:3894)，发展(cid:4492)(cid:4521)(cid:4458)
(cid:3662)，(cid:3897)(cid:2295)(cid:3079)(cid:4249)(cid:3762)(cid:4185)
1
y
15x 2 4 - x
a
c
b b
a
c
3
x -
-
4
x
m + n
15x 2
a
5x y 3
m - n
y x x （x + 2） abc
x 2 + 4
19第(cid:772)章
(cid:1132)(cid:2352)与(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
1
(cid:5987)(cid:6018)(cid:1132)(cid:2352)
面对(cid:3014)(cid:4382)(cid:721)重的(cid:1688)地(cid:3554)(cid:1233)问题，(cid:3197)(cid:1310)决定在一定(cid:3120)(cid:6925)内固(cid:3554)造(cid:3172) 2 400 (cid:1053)
(cid:7048)，实(cid:6917)每(cid:3109)固(cid:3554)造(cid:3172)的面积比(cid:1300)计(cid:1139)多 30 (cid:1053)(cid:7048)，结果(cid:2850)前完成(cid:1300)计(cid:1139)的
任(cid:1196).
如果设(cid:1300)计(cid:1139)每(cid:3109)固(cid:3554)造(cid:3172) x (cid:1053)(cid:7048)，那么
（1）(cid:1300)计(cid:1139)完成造(cid:3172)任(cid:1196)(cid:6986)(cid:5942)多少个(cid:3109)？
（2）实(cid:6917)完成造(cid:3172)任(cid:1196)用了多少个(cid:3109)？
做一做
（1）2010(cid:2290)上(cid:3666)(cid:711)(cid:1264)会(cid:1390)(cid:2355)了成(cid:1250)上(cid:698)的(cid:1312)(cid:5946)者，(cid:3197)一时段内的(cid:4946)计
结果(cid:3053)示，前 a (cid:1849)(cid:3014)(cid:1705)(cid:1312)(cid:5946)(cid:801)数 35 (cid:698)(cid:801)，后 b (cid:1849)(cid:3014)(cid:1705)(cid:1312)(cid:5946)(cid:801)数 45 (cid:698)(cid:801)，这
（a + b）(cid:1849)(cid:3014)(cid:1705)(cid:1312)(cid:5946)(cid:801)数为多少(cid:698)(cid:801)？
（2）(cid:3197)(cid:762)(cid:2311)(cid:2307)(cid:2011)一(cid:2683)图(cid:762)，其中一种图(cid:762)的(cid:1300)(cid:841)是每(cid:1074) a (cid:1035)，现每(cid:1074)(cid:6924)
(cid:841) x (cid:1035)(cid:6745)(cid:1516)，(cid:2375)这种图(cid:762)的(cid:2307)(cid:2011)全(cid:6538)(cid:1516)出时，其(cid:6745)(cid:1516)(cid:7081)为 b (cid:1035). (cid:6924)(cid:841)(cid:6745)(cid:1516)开(cid:1917)
时，该(cid:762)(cid:2311)这种图(cid:762)的(cid:2307)(cid:2011)量是多少？
议一议
2 400 2 400 35a + 45b b
上面问题中出现了(cid:829)数式 ， ， 和 ，它们有什
x x + 30 a + b a - x
201
(cid:5987)(cid:6018)(cid:1132)(cid:2352)
么共同特征？它们与整式有什么不同？
A
一(cid:5322)地，用 A，B 表示两个整式，A (cid:290) B 可以表示成 的形式. 如果 B 中
B
A
(cid:1381)有字母，那么称 为(cid:1132)(cid:2352)（f r a ct i on ），其中 A 称为分式的分子，B 称为分式
B
的分母. 对于任意一个分式，分母都不能为(cid:6982).
a + 1
例 1 （1）(cid:2375) a = 1， - 2 时，分别求分式 的值；
2a - 1
a + 1
（2）(cid:2375) a 取何值时，分式 的值为(cid:6982)？
2a - 1
a + 1
（3）(cid:2375) a 取何值时，分式 有意义？
2a - 1
a + 1 1 + 1
解：（1）(cid:2375) a = 1 时， = = 2；
2a - 1 2 × 1 - 1
a + 1 -2 + 1 1
(cid:2375) a = - 2 时， = = .
2a - 1 2 ×(cid:452)-2）- 1 5
（2）(cid:2375)分子的值为(cid:6982)，分母的值不为(cid:6982)时，分式的值为(cid:6982).
由于 a + 1 = 0 时，a = - 1，此时分母 2a - 1(cid:313)0. 所以，(cid:2375) a = - 1 时，分
a + 1
式 的值为(cid:6982).
2a - 1
（3）(cid:2375)分母的值等于(cid:6982)时，分式没有意义，(cid:6932)此之外，分式都有意义.
1
由分母 2a - 1 = 0，得 a = .
2
1 a + 1
所以，(cid:2375) a 取 以外的任何实数时，分式 都有意义.
2 2a - 1
随堂练习
1. (cid:2375) x 取什么值时，下(cid:1141)分式有意义？
8 1
（1） ； （2） .
x - 1 x + 9
1 2x - 1
2. (cid:2375) x = 0，- 2， 时，分别求分式 的值.
2 3x + 2
3. (cid:2690)(cid:4225)、(cid:755)两种(cid:7117)料按质量比 x (cid:306)y (cid:3721)(cid:1356)在一起，可以(cid:6076)(cid:1156)成一种(cid:3721)(cid:1356)(cid:7117)料. (cid:6076)(cid:1156) 1 kg
这种(cid:3721)(cid:1356)(cid:7117)料(cid:6986)多少(cid:1250)(cid:1041)(cid:4225)种(cid:7117)料？
21第(cid:772)章
(cid:1132)(cid:2352)与(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
习题 2.1
知识技能
1. 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
b a + b x + 1 1
（1） ； （2） ； （3） - ； （4） x y + x 2y .
2a 2 4 - x 2
2. 当 x 取什么(cid:985)时，下列分式无意(cid:743)？
x x - 1
（1） ； （2） .
2x - 3 5x - 10
2 a - b
3. 当 a = - 1，b = 时，求分式 的(cid:985).
3 4a + 3b
问题解决
4. 列(cid:829)数式：
（1）(cid:3509)果(cid:2311)(cid:6164)进一(cid:4792)(cid:3392)(cid:2005)(cid:6986)要 a (cid:1035)，已知(cid:3392)(cid:2005)与(cid:4792)(cid:2005)的(cid:2484)质量为 m (cid:1250)(cid:1041)，(cid:4792)(cid:2005)
的质量为 n (cid:1250)(cid:1041)，为了不(cid:775)本，这(cid:4792)(cid:3392)(cid:2005)的(cid:6982)(cid:1516)(cid:841)(cid:5296)少应定为每(cid:1250)(cid:1041)多少(cid:1035)？
（2）有两块(cid:3295)(cid:4223)，第一块 x (cid:1053)(cid:7048)，(cid:2950)(cid:3295)(cid:5385) m (cid:1250)(cid:1041)，第(cid:772)块 y (cid:1053)(cid:7048)，(cid:2950)(cid:3295)(cid:5385) n (cid:1250)
(cid:1041)，这两块(cid:3295)(cid:4223)平均每(cid:1053)(cid:7048)的(cid:3295)(cid:791)量是多少？
（3）一件(cid:1528)品(cid:1516)(cid:841) x (cid:1035)，利(cid:3687)(cid:4107)为 a(cid:38)（a > 0），则这种(cid:1528)品每件的成本是多
少(cid:1035)？
a 1 n 2 n
你(cid:5987)为分式 与 相等吗？ 与 呢？与同伴交流.
2a 2 mn m
(cid:1132)(cid:2352)的(cid:1779)(cid:3125)(cid:2477)(cid:6159) 分式的分子与分母都(cid:754)（或(cid:6932)以）同一个不等于(cid:6982)的
整式，分式的值不变.
b b·m b b(cid:290)m
这一性质可以用式子表示为： = ， = （m(cid:313)0）.
a a·m a a(cid:290)m
例 2 下(cid:1141)等式的(cid:1343)边是怎样从(cid:2235)边得到的？
b by ax a
（1） = （y (cid:313)0）； （2） = .
2x 2x y bx b
b b·y by
解：（1）(cid:1666)为 y (cid:313)0，所以 = = ；
2x 2x ·y 2x y
221
(cid:5987)(cid:6018)(cid:1132)(cid:2352)
ax ax (cid:290)x a
（2）(cid:1666)为 x (cid:313)0，所以 = = .
bx bx (cid:290)x b 在例 2（2）中，
为什么 x (cid:313)0？
例 3 (cid:1233)(cid:4773)下(cid:1141)分式：
a 2 bc x 2 - 1
（1） ； （2） .
ab x 2 - 2x + 1
a 2 bc ab·ac
解：（1） = = ac；
ab ab
x 2 - 1 （x - 1）（x + 1） x + 1
（2） = = .
x 2 - 2x + 1 （x - 1）2 x - 1
a 2 bc x 2 - 1 x + 1
例 3 中， = ac，即分子、分母同时(cid:4894)去了整式 ab； = ，
ab x 2 - 2x + 1 x - 1
即分子、分母同时(cid:4894)去了整式 x - 1. (cid:2690)一个分式的分子和分母的(cid:1053)(cid:1666)式(cid:4894)去，
这种变形称为分式的(cid:4894)(cid:1132)（r e duc t i on of a f r a ct i on ）
做一做
(cid:1233)(cid:4773)下(cid:1141)分式：
5x y a 2 + ab
（1） ； （2） .
20x 2 y b 2 + ab
议一议
5x y
在(cid:1233)(cid:4773) 时，小(cid:7075)和小明出现了分(cid:3432).
20x 2 y
5x y 5x 5x y 5x y 1
20x 2y = 20x 2 . 20x 2y = 4x ·5x y = 4x .
你对他们两(cid:801)的做法有何看法？与同伴交流.
在小明的(cid:1233)(cid:4773)结果中，分子和分母已没有(cid:1053)(cid:1666)式，这样的分式称为(cid:3108)(cid:4773)(cid:1132)(cid:2352).
(cid:1233)(cid:4773)分式时，通常(cid:5942)使结果成为(cid:3108)(cid:4773)分式或者整式.
23第(cid:772)章
(cid:1132)(cid:2352)与(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
想一想
- x x - x x
（1） 与 有什么关系？ 与 有什么关系？
y - y - y y
- x x x x
（2） 与 - 有什么关系？ 与 - 有什么关系？
y y - y y
随堂练习
1. (cid:1805)空：
2x （ ） y + 2 1
（1） = （x + y (cid:313)0）； （2） = .
x - y （x - y ）（x + y ） y 2 - 4 （ ）
2. (cid:1233)(cid:4773)下(cid:1141)分式：
- 14mn2k x - y 4 - x 2
（1） ； （2） ； （3） .
4m2n （x - y ）3 x 2 - 2x
习题 2.2
知识技能
1. 化简下列分式：
12x 2y 3 x 2 + x x 2 - 9
（1） 9x 3y 2 ； （2） x 2 - 1 ； （3） x 2 - 6x + 9 .
2. 求下列各式的(cid:985)：
x 2 - 8x + 16 x 2 - 2x
（1） x 2 - 16 ，其中 x = 100； （2） 2y - x y ，其中 x = - 6，y = 28.
数学理解
3. 下列等式的(cid:1343)边是怎样(cid:816)(cid:2235)边得到的？
b 1 b bx
（1） = ； （2） = ；
2b 2 x 2y x 3y
ab 1 y aby
（3） = ； （4） = （ab(cid:313)0）.
4a2b 4a 2x 2abx
4. 写出一个能(cid:1845)(cid:4894)分的分式，并进行(cid:4894)分.
242
(cid:1132)(cid:2352)的(cid:754)(cid:6932)(cid:3586)
2
(cid:1132)(cid:2352)的(cid:754)(cid:6932)(cid:3586)
(cid:5946)(cid:2083)下(cid:1141)(cid:6402)算：
2 4 2×4 5 2 5×2
× = ， × = ，
3 5 3×5 7 9 7×9
2 4 2 5 2×5 5 2 5 9 5×9
(cid:290) = × = ， (cid:290) = × = .
3 5 3 4 3×4 7 9 7 2 7×2
b d b d
猜一猜： · = ？ (cid:290) = ？与同伴交流.
a c a c
与分数(cid:754)(cid:6932)法的法则(cid:4829)(cid:875)，分式(cid:754)(cid:6932)法的法则是：
两个分式相(cid:754)，(cid:2690)分子相(cid:754)的积作为积的分子，(cid:2690)分母相(cid:754)的积作为积
的分母；
两个分式相(cid:6932)，(cid:2690)(cid:6932)式的分子和分母(cid:7084)(cid:968)位置后(cid:1075)与被(cid:6932)式相(cid:754).
b d bd b d b c bc
这一法则可以用式子表示为： · = ， (cid:290) = · = .
a c ac a c a d ad
例 1 计算：
3a 2y 2 进行分式的(cid:754)(cid:6932)
（1） · ；
4y 3a 2 法(cid:6402)算时，结果(cid:2308)(cid:2375)
ab 2 2c 是(cid:3108)(cid:4773)分式或整式.
（2） ·（- ）.
4c 3a 2 b
3a 2y 2 3a·2y 2 y
解：（1） · = = ；
4y 3a 2 4y ·3a 2 2a
ab 2 2c ab 2·2c b
（2） ·（- ）= - = - .
4c 3a 2 b 4c·3a 2 b 6a
25第(cid:772)章
(cid:1132)(cid:2352)与(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
想一想
b
（1）（ ）3 = (cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)；
a
b
（2）（ ）n =(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)(cid:96)（n 是正整数）.
a
例 2 计算：
6y 2 a 2 a
（1）3x y 2 (cid:290) ； （2）（- ）(cid:290)（ ）2；
x b b
x x 2 2x
（3） · (cid:290) .
y y 3 y 2
6y 2 x 3x y 2·x 1
解：（1）3x y 2 (cid:290) = 3x y 2· = = x 2；
x 6y 2 6y 2 2
a 2 a a 2 a 2 a 2 b 2 a 2·b 2
（2）（- ）(cid:290)（ ）2 =（- ）(cid:290) =（- ）· = - = - b；
b b b b 2 b a 2 b·a 2
x x 2 2x x x 2 y 2 x 2
（3） · (cid:290) = · · = .
y y 3 y 2 y y 3 2x 2y 2
随堂练习
计算：
a b 12x y
（1） b · a2 ； （2）8x y 2 (cid:290) 7 ；
（3）（
m
）2·
n
； （4）
3y 2
(cid:290)（- 3x y ）；
n m 2x
a2 2 a2 m n m
（5） · (cid:290) ； （6）（ ）2· (cid:290)（- ）.
b b b2 n m n2
习题 2.3
知识技能
1. 计(cid:4779)：
bc 2a a
（1）
a2
·
b2c
； （2）（
2c
）2；
4x 2y 21b m 2n2
（3） · ； （4）（ ）2· .
- 3b 10x y 2 n 3m
262
(cid:1132)(cid:2352)的(cid:754)(cid:6932)(cid:3586)
2. 计(cid:4779)：
3y 6y 2 2a
（1） (cid:290) ； （2）4a2b (cid:290)（- ）2；
10x 5x 2 b
b b2c ac c
（3）（ ）2 (cid:290)（- b2）； （4） · (cid:290)（ ）2.
a a b a
数学理解
1 1
3. 对于 a (cid:290) b· ，小明是这样计(cid:4779)的：a (cid:290) b· = a (cid:290) 1 = a. 他的计(cid:4779)过程正
b b
确吗？为什么？
问题解决
4. 由(cid:4225)地到(cid:755)地的一条(cid:6689)(cid:6265)全程为 s km，(cid:3874)车全程(cid:6402)行时间为 a h；由(cid:4225)地到(cid:755)地
的(cid:1053)(cid:6265)全程为这条(cid:6689)(cid:6265)全程的 m 倍，(cid:3540)车全程(cid:6402)行时间为 b h. 那么(cid:3874)车的(cid:6452)度
是(cid:3540)车(cid:6452)度的多少倍？
想一想
a + 2 1
（1）怎样计算 · ？
a - 2 a 2 + 2a
（2）两个分式相(cid:754)时，如果分子或分母是多(cid:7050)式，(cid:2308)(cid:2375)怎样进行？
a + 2 1 a + 2 1
· = ·
a - 2 a 2 + 2a a - 2 a（a + 2）
1
= .
a 2 - 2a
在进行分式相(cid:754)时，如
果分子或分母是多(cid:7050)式，(cid:2308)
(cid:2375)先进行(cid:1666)式分解.
27第(cid:772)章
(cid:1132)(cid:2352)与(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
例 3 计算：
x - y 50x 2y 2 a - 1 a 2 - 1
（1） · ； （2） (cid:290) ；
10x y x 2 - y 2 a - 2 a 2 - 4
（3） x 2 - 4y 2 (cid:290)（ x + 2y ）2 .
x 2 + 2x y + y 2 x + y
x - y 50x 2y 2 x - y 50x 2y 2 5x y
解：（1） · = · = ；
10x y x 2 - y 2 10x y （x + y ）（x - y ） x + y
a - 1 a 2 - 1 a - 1 a 2 - 4 a - 1 （a + 2）（a - 2）
（2） (cid:290) = · = ·
a - 2 a 2 - 4 a - 2 a 2 - 1 a - 2 （a + 1）（a - 1）
a + 2
= ；
a + 1
（3） x 2 - 4y 2 (cid:290)（ x + 2y ）2 = x 2 - 4y 2 (cid:290) （x + 2y ）2
x 2 + 2x y + y 2 x + y x 2 + 2x y + y 2 （x + y ）2
（x + 2y ）（x - 2y ） （x + y ）2
= ·
（x + y ）2 （x + 2y ）2
x - 2y
= .
x + 2y
做一做
(cid:6164)(cid:764)(cid:5941)(cid:4193)时，(cid:801)们通常(cid:2255)(cid:3118)(cid:5941)(cid:4193)(cid:4198)(cid:1268)整个(cid:5941)(cid:4193)的比例(cid:6229)大(cid:6229)好. (cid:988)如我们
(cid:2690)(cid:5941)(cid:4193)看成(cid:4143)形，(cid:5941)(cid:4193)的半(cid:2399)为 r ，并且(cid:5941)(cid:4193)(cid:4198)的分(cid:2251)是(cid:1705)(cid:1225)的，(cid:5941)(cid:4193)(cid:4373)的(cid:1298)
4
度是 d . 已知(cid:4143)的体积(cid:1053)式为 V = R 3（其中 R 为(cid:4143)的半(cid:2399)），那么
3
（1）(cid:5941)(cid:4193)(cid:4198)与整个(cid:5941)(cid:4193)的体积各是多少？
（2）(cid:5941)(cid:4193)(cid:4198)与整个(cid:5941)(cid:4193)的体积的比是多少？
（3）你(cid:5987)为(cid:764)大(cid:5941)(cid:4193)(cid:1356)算还是(cid:764)小(cid:5941)(cid:4193)(cid:1356)算？与同伴交流.
随堂练习
计算：
x 2 - 1 y a
（1） y 2 · x + 1 ； （2）（a2 - a）· a - 1 ；
1 1 + m x 2 - y 2 x + y
（3） m2 - 1 (cid:290) 1 - m ； （4） x y (cid:290)（ x ）2.
283
(cid:1132)(cid:2352)的(cid:1195)(cid:1107)(cid:3586)
习题 2.4
知识技能
1. 计(cid:4779)：
b2 - b a + 3 a a - b
（1） · ； （2） ·（ ）2；
a2 - 9 b a - b a
a2 - ab a + b x 2 + 4x + 4 1
（3） · ； （4） · .
a2 - b2 a - b x + 2 x 2 - 4
2. 计(cid:4779)：
x 2 - 9 x + 3 x 2 + x y x y
（1） (cid:290) ； （2） (cid:290) ；
x 2 - 4 x - 2 x - y x - y
ab - a2 a2 - 2ab + b2 4x 2 - 4x y + y 2
（3） (cid:290) ； （4） (cid:290)（2x - y ）；
ab b 4x 2 - y 2
（x - y ）3 x 2 - 2x y + y 2 x - y
（5） (cid:290) ； （6）（x y - x 2）(cid:290) .
x + y 2x + 2y x y
3
(cid:1132)(cid:2352)的(cid:1195)(cid:1107)(cid:3586)
(cid:3041)(cid:3120)(cid:1849)，小明从(cid:2066)(cid:7185)(cid:6332)到距(cid:2066) 3 km 处的新(cid:1256)(cid:762)(cid:2311)，然后以同样的(cid:6452)度(cid:7185)
(cid:6332)到距新(cid:1256)(cid:762)(cid:2311) 2 km 处的(cid:1929)(cid:1929)(cid:2066). 设小明(cid:7185)(cid:6332)的(cid:6452)度是 v km/h，那么
（1）小明从(cid:2066)到新(cid:1256)(cid:762)(cid:2311)用了多长时间？
（2）小明从新(cid:1256)(cid:762)(cid:2311)到(cid:1929)(cid:1929)(cid:2066)用了多长时间？
（3）小明从(cid:2066)到(cid:1929)(cid:1929)(cid:2066)在路上(cid:7185)(cid:6332)一共用了多长时间？
想一想
（1）同分母的分数如何加(cid:1107)？
29第(cid:772)章
(cid:1132)(cid:2352)与(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
3 2
（2）你会计算 + 吗？
v v
（3）你(cid:5987)为，同分母的分式(cid:2308)该如何加(cid:1107)？
与同分母的分数加(cid:1107)法法则(cid:4829)(cid:875)，同分母的分式加(cid:1107)法法则是：
同分母的分式相加(cid:1107)，分母不变，(cid:2690)分子相加(cid:1107).
b c b (cid:288) c
这一法则可以用式子表示为： (cid:288) = .
a a a
例 1 计算：
a + b a - b x 2 4
（1） - ； （2） - ；
ab ab x - 2 x - 2
m - 2n 4m + n x - 3 x + 2 x - 1
（3） - ； （4） + - .
m + n m + n x + 1 x + 1 x + 1
a + b a - b a + b -（a - b） 2b 2
解：（1） - = = = ；
ab ab ab ab a
x 2 4 x 2 - 4 （x - 2）（x + 2）
（2） - = = = x + 2；
x - 2 x - 2 x - 2 x - 2
m - 2n 4m + n m - 2n - （4m + n）
（3） - =
m + n m + n m + n
- 3m - 3n
= 结果(cid:5942)(cid:1233)成(cid:3108)
m + n
(cid:4773)形式(cid:1485)！
- 3（m + n）
=
m + n
= - 3；
x - 3 x + 2 x - 1 x - 3 + x + 2 -（x - 1） x
（4） + - = = .
x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 x + 1
例 2 计算：
x y a 2 1 - 2a
（1） + ； （2） - .
x - y y - x a - 1 1 - a
x y x y x - y
解：（1） + = - = = 1；
x - y y - x x - y x - y x - y
303
(cid:1132)(cid:2352)的(cid:1195)(cid:1107)(cid:3586)
a 2 1 - 2a a 2 1 - 2a a 2 - 2a + 1
（2） - = + =
a - 1 1 - a a - 1 a - 1 a - 1
（a - 1）2
= = a - 1.
a - 1
随堂练习
1. 下(cid:1141)(cid:6402)算正确吗？如果不正确，请改正.
a b a + b a a
（1） + = ； （2） - = 0；
m m 2m x - y y - x
1 2 x y
（3）1 + = ； （4） - = 1.
a a x + y x + y
2. 计算：
2 5 3b b 2a b
（1） - ； （2） - ； （3） + .
a a x x 2a - b b - 2a
习题 2.5
知识技能
1. 计(cid:4779)：
m - 1 n - m 1 3 5
（1） + ； （2） + - .
x x m m m
2. 计(cid:4779)：
a2 b2 + 2ab x - 2y x + y
（1） + ； （2） - ；
a + b a + b 2x - y 2x - y
m + 2n n 2n x 2 - 5 x 1 + x
（3） + - ； （4） - - .
n - m n - m n - m x - 2 x - 2 2 - x
3. (cid:1039)化简，再求(cid:985)：
x 2 + 1 2 1
- ，其中 x = .
x + 1 x + 1 100
问题解决
4. 某(cid:801)用计(cid:4779)(cid:3131)(cid:2376)入(cid:3518)(cid:2010)文(cid:4669)的(cid:6452)度相当于手(cid:2688)的 3 倍，设他手(cid:2688)的(cid:6452)度为 a (cid:2010)/时，
那么他(cid:2376)入 3 000 (cid:2010)文(cid:4669)(cid:3467)手(cid:2688)少用多长时间？
31第(cid:772)章
(cid:1132)(cid:2352)与(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
你还记得(cid:2346)分母的分数如何加(cid:1107)吗？你(cid:5987)为(cid:2346)分母的分式(cid:2308)该如何加(cid:1107)？
3 1
比如 + (cid:2308)该怎样计算？
a 4a
议一议
小明(cid:5987)为，只(cid:5942)(cid:2690)(cid:2346)分母的分式(cid:1233)成同分母的分式，(cid:2346)分母分式的加(cid:1107)问
题就变成了同分母分式的加(cid:1107)问题. 小亮同意小明的这种看法，(cid:878)他(cid:955)的具体
做法不同.
3 1 3·4a a
+ = +
a 4a a·4a 4a·a
12a a 13a 13
= + = = .
4a2 4a2 4a2 4a
3 1 3 × 4 1
+ = +
a 4a a·4 4a
12 1 13
= + = .
4a 4a 4a
你对这两种做法有何(cid:6016)论？与同伴交流.
根据分式的(cid:1779)本性质，(cid:2346)分母的分式可以(cid:1233)为同分母的分式，这一过程
称为分式的(cid:6448)(cid:1132). 为了计算方(cid:935)，(cid:2346)分母分式通分时，通常取(cid:3108)(cid:4773)(cid:1261)的(cid:1053)分母
（(cid:4773)称(cid:3108)(cid:4773)(cid:1053)(cid:1132)(cid:3463)）作为它们的共同分母.
与(cid:2346)分母的分数加(cid:1107)法法则(cid:4829)(cid:875)，(cid:2346)分母的分式加(cid:1107)法法则是：
(cid:2346)分母的分式相加(cid:1107)，先通分，(cid:1233)为同分母的分式，然后(cid:1075)按同分母分
式的加(cid:1107)法法则进行计算.
b d bc ad bc (cid:288) ad
这一法则可以用式子表示为： (cid:288) = (cid:288) = .
a c ac ac ac
323
(cid:1132)(cid:2352)的(cid:1195)(cid:1107)(cid:3586)
例 3 计算：
3 a - 15 1 1 2a 1
（1）
a
+
5a
； （2）
x - 3
-
x + 3
； （3）
a 2 - 4
-
a - 2
.
3 a - 15 15 a - 15 15 + a - 15 a 1
解：（1） + = + = = = ；
a 5a 5a 5a 5a 5a 5
1 1 x + 3 x - 3
（2） - = -
x - 3 x + 3 （x - 3）（x + 3） （x - 3）（x + 3）
（x + 3）-（x - 3）
=
x 2 - 9
6
= ；
x 2 - 9
2a 1 2a a + 2
（3） - = -
a 2 - 4 a - 2 （a - 2）（a + 2） （a - 2）（a + 2）
2a -（a + 2）
=
（a - 2）（a + 2）
a - 2
=
（a - 2）（a + 2）
1
= .
a + 2
例 4 小刚(cid:2066)和小丽(cid:2066)到学(cid:3235)的路程都是 3 km，其中小丽(cid:6220)的是平路，(cid:7185)
(cid:6332)(cid:6452)度是 2v km/h. 小刚(cid:6986)(cid:5942)(cid:6220) 1 km 的上(cid:1721)路、2 km 的下(cid:1721)路，在上(cid:1721)路上的
(cid:7185)(cid:6332)(cid:6452)度为 v km/h，在下(cid:1721)路上的(cid:7185)(cid:6332)(cid:6452)度为 3v km/h. 那么
（1）小刚从(cid:2066)到学(cid:3235)(cid:6986)(cid:5942)多长时间？
（2）小刚和小丽(cid:6074)在路上(cid:5385)(cid:6176)的时间少？少用多长时间？
1 2 5
解：（1）小刚从(cid:2066)到学(cid:3235)(cid:6986)(cid:5942) + = （h）.
v 3v 3v
3
（2）小丽从(cid:2066)到学(cid:3235)(cid:6986)(cid:5942) h.
2v
5 3
(cid:1666)为 > ，所以小丽在路上(cid:5385)(cid:6176)的时间少.
3v 2v
5 3 1
小丽在路上(cid:5385)(cid:6176)的时间比小刚少 - = （h）.
3v 2v 6v
33第(cid:772)章
(cid:1132)(cid:2352)与(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
随堂练习
1. 将下(cid:1141)各分式通分：
x - 1 2 3a 1
（1） ， ； （2） ， - ；
3x 2 ax 2a - b b - 2a
1 2 1 x
（3） ， ； （4） ， .
a2 - 9 a2 + 6a+ 9 x 2 - 4 4 - 2x
2. 计算：
b a 1 2
（1） + ； （2） - .
3a 2b a - 1 1 - a2
习题 2.6
知识技能
1. 计(cid:4779)：
x y 1 b
（1） + ； （2） - ；
a b a2b ab2
a + b b + c 3x x
（3） - ； （4） - .
ab bc （x - 3）2 3 - x
问题解决
2. (cid:730)(cid:6403)(cid:3043)节，(cid:4225)(cid:1288)决定(cid:1226)(cid:4637)一(cid:6362)车(cid:6431)(cid:1408)工(cid:6405)(cid:761)过(cid:2290)，(cid:4637)(cid:6619)为 3 000 (cid:1035). 出发时，(cid:755)
(cid:1288)有 3 (cid:1360)同(cid:761)(cid:1408)工(cid:759)随车(cid:6405)(cid:761)，(cid:2484)(cid:801)数(cid:6394)到 x (cid:1360). 如果(cid:1226)车(cid:4637)(cid:6619)不变，那么(cid:4225)
(cid:1288)为每位(cid:1408)工平均每(cid:801)(cid:2947)(cid:823)车(cid:6176)可(cid:3467)原(cid:3151)少多少(cid:1035)？
3. 一(cid:7050)工程，(cid:4225)(cid:1261)(cid:4056)做 a h 完成，(cid:755)(cid:1261)(cid:4056)做 b h 完成，(cid:4225)、(cid:755)两(cid:801)一起完成这(cid:7050)工
程(cid:6986)要多长时间？
例 (cid:22) 计算：
x 2 1 1 a
（1） - x + 1； （2）（ + ）(cid:290) .
x + 1 a + b a - b a - b
2 2
x x
解：（1） - x + 1 = -（x - 1）
x + 1 x + 1
343
(cid:1132)(cid:2352)的(cid:1195)(cid:1107)(cid:3586)
x 2 （x - 1）（x + 1）
= -
x + 1 x + 1
x 2 -（x - 1）（x + 1）
=
x + 1
x 2 -（x 2 - 1）
=
x + 1
x 2 - x 2 + 1
=
x + 1
1
= ；
x + 1
1 1 a a - b + a + b a - b
（2）（ + ）(cid:290) = ·
a + b a - b a - b （a + b）（a - b） a
2
= .
a + b
x x y y 2
例 (cid:23) 已知 = 2，求 - - 的值.
y x - y x + y x 2 - y 2
x y y 2 x （x + y ）- y （x - y ）- y 2
解： - - =
x - y x + y x 2 - y 2 （x - y ）（x + y ）
x 2 + x y - x y + y 2 - y 2
=
（x - y ）（x + y ）
2
x
= .
x 2 - y 2
x
(cid:1666)为 = 2，即 x = 2y ，
y
还有其他
（2y ）2 4y 2 4 解法吗？
所以，(cid:1300)式 = = = .
（2y ）2 - y 2 3y 2 3
做一做
根据规(cid:1139)设计，(cid:3197)工程(cid:6899)(cid:1102)(cid:1836)(cid:958)(cid:2341)一条长 1 120 m 的(cid:4399)道. 由于(cid:6612)用新的
(cid:2999)工方式，实(cid:6917)每(cid:1849)(cid:958)(cid:2341)(cid:4399)道的长度比(cid:1300)计(cid:1139)(cid:1817)加 10 m，从而(cid:5014)(cid:4481)了工(cid:3120). (cid:988)
设(cid:1300)计(cid:1139)每(cid:1849)(cid:958)(cid:2341)(cid:4399)道 x m，那么
（1）(cid:1300)计(cid:1139)(cid:958)(cid:2341)这条(cid:4399)道(cid:6986)(cid:5942)多少(cid:1849)？实(cid:6917)(cid:958)(cid:2341)这条(cid:4399)道用了多少(cid:1849)？
（2）实(cid:6917)(cid:958)(cid:2341)这条(cid:4399)道的工(cid:3120)比(cid:1300)计(cid:1139)(cid:5014)(cid:4481)了几(cid:1849)？
35第(cid:772)章
(cid:1132)(cid:2352)与(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
随堂练习
1. 计算：
1 a - 3 1 1 2 m + n n 1
（1） + ； （2） + - ； （3） - + .
a2 - a a2 - 1 x + 1 x - 1 x 2m - 2n m - n 2
2. 先(cid:1233)(cid:4773)，(cid:1075)求值：
1 a + 1 a + 1
（1）(cid:2375) a = 时，求 - 的值；
10 a2 - 1 1 - a
4x y x + y
（2）设 x = 3y ，求 - 的值.
x 2 - y 2 x - y
习题 2.7
知识技能
1. 计(cid:4779)：
1 1 1 1 1 - x
（1） + + ； （2）1 + + ；
x + 1 x - 1 x 2 - 2x + 1 x - 3 3 - x
1 2 x m n m2
（3） - + ； （4） + + .
x 3x 3x - 2 m + n m + n n2 - m2
2. (cid:1039)化简，再求(cid:985)：
2r + 2 r - 1
（1）已知 r = 100，求 + + r 的(cid:985)；
r 2 + 2r + 1 r + 1
1 2n m 4mn
（2）设 m = n，求 + + 的(cid:985).
5 m + 2n 2n - m 4n2 - m2
3x x x 2 - 4
3. 用两种方法计(cid:4779)（ - ）· .
x - 2 x + 2 x
问题解决
4. 某(cid:5608)(cid:3509)池(cid:5897)有 A，B 两根进(cid:3509)(cid:4782)，每小时可分别进(cid:3509) a t，b t. 若(cid:1261)(cid:4056)开(cid:2954) A 进
(cid:3509)(cid:4782)，p h 可将(cid:6047)(cid:3509)池(cid:3596)满. 如果 A，B 两根(cid:3509)(cid:4782)同时开(cid:2954)，那么能(cid:2850)(cid:1170)多长时
间将(cid:6047)(cid:5608)(cid:3509)池(cid:3596)满？
联系拓广
a
※5. 有一(cid:3156)(cid:4862)(cid:3509)的(cid:1381)(cid:4862)量为 （a (cid:61) b），(cid:2396)(cid:3156)中加入 c（c > 0）(cid:1041)(cid:4862)，经验(cid:1399)(cid:6020)我
b
们现在(cid:4862)(cid:3509)的(cid:1381)(cid:4862)量(cid:3467)原(cid:3151)(cid:7220)了，你能用所学的数学知识解释其中的道理吗？
364
(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
4
(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
(cid:4225)、(cid:755)两地相距 1 400 km，从(cid:4225)地到
(cid:755)地(cid:754)(cid:7220)铁(cid:1141)(cid:6332)比(cid:754)特(cid:2444)(cid:1141)(cid:6332)少用 9 h，
已知(cid:7220)铁(cid:1141)(cid:6332)的平(cid:1705)行(cid:7162)(cid:6452)度是特(cid:2444)(cid:1141)(cid:6332)
的 2.8 倍.
（1）你能找出这一问题中的所有等量
关系吗？
（2）如果设特(cid:2444)(cid:1141)(cid:6332)的平(cid:1705)行(cid:7162)(cid:6452)度为 x km/h，请(cid:1141)出关于 x 的方程.
（3）如果设小明(cid:754)(cid:7220)铁(cid:1141)(cid:6332)从(cid:4225)地到(cid:755)地(cid:6986) y h，请(cid:1141)出关于 y 的方程.
做一做
为了(cid:2271)助(cid:6483)受自然(cid:3883)(cid:2063)的地(cid:1245)重(cid:2341)(cid:2066)(cid:1671)，(cid:3197)学(cid:3235)号(cid:1336)同学们自(cid:2589)(cid:2796)(cid:3420). 已
知(cid:697)(cid:2290)(cid:4895)同学(cid:2796)(cid:3420)(cid:2484)(cid:7081)为 4 800 (cid:1035)，八(cid:2290)(cid:4895)同学(cid:2796)(cid:3420)(cid:2484)(cid:7081)为 5 000 (cid:1035)，八(cid:2290)(cid:4895)
(cid:2796)(cid:3420)(cid:801)数比(cid:697)(cid:2290)(cid:4895)多 20 (cid:801)，而且两个(cid:2290)(cid:4895)(cid:801)(cid:1705)(cid:2796)(cid:3420)(cid:7081)恰好相等. 如果设(cid:697)(cid:2290)(cid:4895)
(cid:2796)(cid:3420)(cid:801)数为 x (cid:801)，请(cid:1141)出关于 x 的方程.
议一议
由上面的问题，你得到了哪些方程？下(cid:1141)方程有什么共同特点？
1 400 1 400 1 400 1 400 4 800 5 000
- = 9， = 2.8 × ， = .
x 2.8x y y + 9 x x + 20
分母中(cid:1381)有(cid:3123)知数的方程叫做(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)（f r a ct i ona l e qua t i on ）.
37第(cid:772)章
(cid:1132)(cid:2352)与(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
随堂练习
1. 据(cid:5135)(cid:1356)(cid:1678)(cid:466)2010 (cid:2290)(cid:711)(cid:4237)(cid:2694)(cid:6187)(cid:2705)(cid:1399)(cid:467)(cid:2761)出，中(cid:1678) 2009 (cid:2290)(cid:1390)(cid:2950)外(cid:1678)(cid:2694)(cid:6187)(cid:7081)为 950 (cid:803)美
(cid:1035)，比上一(cid:2290)(cid:1107)少了 12(cid:38). 设 2008 (cid:2290)我(cid:1678)(cid:1390)(cid:2950)外(cid:1678)(cid:2694)(cid:6187)(cid:7081)为 x (cid:803)美(cid:1035)，请(cid:1141)出关
于 x 的方程. 你能(cid:1141)出几个方程？其中哪些是分式方程？
2.“(cid:6430)(cid:5104)还(cid:3172)还(cid:5465)”是在我(cid:1678)(cid:5941)(cid:6538)地(cid:1245)实(cid:2999)的一(cid:7050)重(cid:5942)生(cid:2455)工程. (cid:3197)地规(cid:1139)(cid:6430)(cid:5104)面积
共 69 000 (cid:1053)(cid:7048)，(cid:6430)(cid:5104)还(cid:3172)与(cid:6430)(cid:5104)还(cid:5465)的面积比为 5(cid:306)3. 设(cid:6430)(cid:5104)还(cid:3172)的面积为 x (cid:1053)
(cid:7048)，请(cid:1141)出关于 x 的分式方程.
习题 2.8
问题解决
1. 有两块面积相同的小(cid:7393)试验(cid:4223)，第一块使用原品种，第(cid:772)块使用新品种，分别(cid:2950)
(cid:5517)小(cid:7393) 12 000 kg 和 14 000 kg，已知第一块试验(cid:4223)每(cid:1053)(cid:7048)的(cid:791)量(cid:3467)第(cid:772)块少
1 500 kg. 如果设第一块试验(cid:4223)每(cid:1053)(cid:7048)的(cid:791)量为 x kg，请列出关于 x 的分式方程.
2. 某(cid:6402)(cid:6373)(cid:1053)(cid:1347)(cid:6986)要(cid:5897)(cid:6402)一(cid:2683)(cid:6158)(cid:4013)，由于(cid:3131)(cid:3290)设备(cid:3557)有及时到位，(cid:1334)(cid:1886)(cid:1039)用(cid:801)工(cid:5897)
(cid:6402)，6 h 完成了一(cid:1255)任(cid:1196)；后(cid:3151)(cid:3131)(cid:3290)(cid:5897)(cid:6402)和(cid:801)工(cid:5897)(cid:6402)同时进行，1 h 完成了后一
(cid:1255)任(cid:1196). 如果设(cid:1261)(cid:4056)(cid:6612)用(cid:3131)(cid:3290)(cid:5897)(cid:6402) x h 可以完成后一(cid:1255)任(cid:1196)，请列出关于 x 的分
式方程.
3. (cid:816)(cid:4225)地到(cid:755)地有两条(cid:1053)(cid:6265)：一条是全长 600 km 的(cid:3071)(cid:6448)(cid:1053)(cid:6265)，另一条是全长
450 km 的(cid:7220)(cid:6452)(cid:1053)(cid:6265). 某(cid:2055)车在(cid:7220)(cid:6452)(cid:1053)(cid:6265)上行(cid:7162)的平均(cid:6452)度(cid:3467)在(cid:3071)(cid:6448)(cid:1053)(cid:6265)上(cid:2444)
30 km/h，(cid:816)(cid:4225)地到(cid:755)地由(cid:7220)(cid:6452)(cid:1053)(cid:6265)所(cid:6986)的时间是由(cid:3071)(cid:6448)(cid:1053)(cid:6265)所(cid:6986)时间的一(cid:1255).
如果设(cid:6047)(cid:2055)车(cid:816)(cid:4225)地到(cid:755)地由(cid:7220)(cid:6452)(cid:1053)(cid:6265)所(cid:6986)的时间为 x h，请列出关于 x 的分式
方程.
还记得什么是方程的解吗？你能设法求出上一节课(cid:1141)出的分式方程
1 400 1 400
- = 9 的解吗？
x 2.8x
384
(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
1 3
例 1 解方程 = .
x - 2 x
解：方程两边都(cid:754) x （x - 2），得
(cid:1233)成一(cid:1035)一次
x = 3（x - 2）.
方程来求解.
解这个方程，得 x = 3.
(cid:3293)验：将 x = 3 (cid:829)(cid:1050)(cid:1300)方程的两边，
(cid:2235)边 = 1，(cid:1343)边 = 1.
(cid:1666)为 (cid:2235)边 = (cid:1343)边，
所以，x = 3 是(cid:1300)方程的根.
一(cid:5322)地，解分式方程时，先将方程两边同(cid:754)一个(cid:6432)(cid:2375)的整式（通常是各分
式的(cid:3108)(cid:4773)(cid:1053)分母），(cid:4894)去分母，从而转(cid:1233)成整式方程，然后(cid:1075)解这个整式方程.
议一议
1 - x 1
在解方程 = - 2 时，小亮的解法如下：
x - 2 2 - x
方程两边都(cid:754) x - 2，得
1 - x = -1 - 2（x - 2）.
解这个方程，得
x = 2.
你(cid:5987)为 x = 2 是(cid:1300)方程的根吗？与同伴交流.
在这(cid:6615)，x = 2 不是(cid:1300)方程的根，(cid:1666)为它使得(cid:1300)分式方程中分式的分母的
值为(cid:6982). (cid:1016)这样，在方程变形中如果(cid:791)生了不(cid:6432)(cid:1356)(cid:1300)方程的根，那么我们称
它为(cid:1300)方程的(cid:1817)(cid:3242).
上面的解法中，(cid:791)生(cid:1817)根的(cid:1300)(cid:1666)是，我们在方程的两边同(cid:754)了一个整式
x - 2，而解得的 x = 2 恰好使这个整式的值为(cid:6982).
39第(cid:772)章
(cid:1132)(cid:2352)与(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
(cid:1666)为解分式方程可能(cid:791)生(cid:1817)根，所以解分式方程必(cid:7052)(cid:3293)验. 为了(cid:4773)(cid:935)，通
常只(cid:6986)(cid:3293)验所得的根是否使(cid:1300)方程中分式的分母的值等于(cid:6982)就可以了. 如果所
得到的是(cid:1300)方程的(cid:1817)根，(cid:2308)(cid:2375)(cid:5308)去.
1 2x
例 2 解方程： = .
x - 1 x 2 - 1
解：方程两边都(cid:754) x 2 - 1，得
x + 1 = 2x .
解这个方程，得 x = 1.
1 2x
(cid:3293)验：(cid:2375) x = 1 时，(cid:1300)方程中分式 和 的分母的值为(cid:6982)，
x - 1 x 2 - 1
所以 x = 1 是(cid:1300)方程的(cid:1817)根，(cid:2308)(cid:5308)去.
(cid:1666)此，(cid:1300)方程(cid:3012)解.
想一想
解分式方程一(cid:5322)(cid:6986)(cid:5942)经过哪些步(cid:7201)？
随堂练习
1. 解方程：
3 4 x 5
（1） = ； （2） + = 4.
x - 1 x 2x - 3 3 - 2x
2. 解上一节课“做一做”中所(cid:1141)的分式方程.
习题 2.9
知识技能
1. 解方程：
6 x + 5 3 - x 1
（1） = ； （2） + = 1；
x + 1 x （x + 1） x - 4 4 - x
y - 2 1 x - 1 2 - 3x
（3） = 2 - ； （4） = .
y - 3 3 - y 2x - 1 1 - 2x
404
(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
数学理解
x - 2 1.5
2. 小明解方程 + 1 = 的过程如下：
2x - 1 1 - 2x
方程两边都(cid:754) 2x - 1，得 x - 2 +（2x - 1）= -1.5.
1
解这个方程，得 x = .
2
1
所以 x = 是原方程的根.
2
你(cid:5987)为小明的解法对吗？为什么？
问题解决
利用分式方程解决下列问题（第 3 (cid:250) 4 题）：
3. 某(cid:2250)为(cid:3573)理(cid:3530)(cid:3509)，(cid:6986)要(cid:6740)设一段全长为 3 000 m 的(cid:3530)(cid:3509)(cid:2822)(cid:2954)(cid:4782)道. 为了(cid:2122)量(cid:1107)少
(cid:2999)工对(cid:1762)(cid:2250)交(cid:6448)所(cid:6453)成的(cid:2390)(cid:1470)，实(cid:6917)(cid:2999)工时每(cid:1849)的工(cid:2957)(cid:3467)原计(cid:1139)增加 25(cid:38)，结
果(cid:2850)(cid:1170) 30 (cid:1849)完成这一任(cid:1196). 实(cid:6917)每(cid:1849)(cid:6740)设多长(cid:4782)道？
4. 某质检部(cid:6851)(cid:2714)取(cid:4225)、(cid:755)两(cid:1288)相同数量的(cid:791)品进行质量检(cid:3646)，结果(cid:4225)(cid:1288)有 48 件合
格(cid:791)品，(cid:755)(cid:1288)有 45 件合格(cid:791)品，(cid:4225)(cid:1288)的合格(cid:4107)(cid:3467)(cid:755)(cid:1288)(cid:7220) 5(cid:38)，求(cid:4225)(cid:1288)的合格(cid:4107).
做一做
(cid:3197)(cid:1261)位将沿(cid:5860)的一(cid:6538)分(cid:2653)(cid:2132)出(cid:4637)，每间(cid:2653)(cid:2132)的(cid:4637)(cid:6619)相同. 已知每间(cid:2653)(cid:2132)的
(cid:4637)(cid:6619)第二(cid:2290)比第一(cid:2290)多 500(cid:1035)，所有(cid:2653)(cid:2132)出(cid:4637)的(cid:4637)(cid:6619)第一(cid:2290)为 9.6 (cid:698)(cid:1035)，第二
(cid:2290)为 10.2 (cid:698)(cid:1035).
（1）你能找出这一情(cid:1810)中的等量关系吗？
（2）根据这一情(cid:1810)你能(cid:2850)出哪些问题？
（3）你能利用方程求出这两(cid:2290)每间(cid:2653)(cid:2132)的(cid:4637)(cid:6619)各是多少吗？
例 3 (cid:3197)(cid:2250)从(cid:813)(cid:2290) 1 (cid:3109) 1 (cid:3014)起(cid:6076)整(cid:2128)(cid:3487)用(cid:3509)(cid:841)格，每(cid:4705)方(cid:4827)(cid:3509)(cid:6176)上(cid:3689)(cid:1300)
1
(cid:841)的 . 小丽(cid:2066)去(cid:2290) 12 (cid:3109)(cid:843)的(cid:3509)(cid:6176)是 14.7 (cid:1035)，而(cid:813)(cid:2290) 7 (cid:3109)(cid:843)的(cid:3509)(cid:6176)则是 28 (cid:1035).
3
已知小丽(cid:2066)(cid:813)(cid:2290) 7 (cid:3109)(cid:843)的用(cid:3509)量比去(cid:2290) 12 (cid:3109)(cid:843)的用(cid:3509)量多 3 (cid:4827)3，求该(cid:2250)(cid:813)(cid:2290)
(cid:2128)(cid:3487)用(cid:3509)的(cid:841)格.
41第(cid:772)章
(cid:1132)(cid:2352)与(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
(cid:1132)(cid:3170)：此题的(cid:735)要等量关系是：
小(cid:736)(cid:2066)(cid:813)(cid:2290) 7 (cid:3109)(cid:843)的用(cid:3509)量 - 小(cid:736)(cid:2066)去(cid:2290) 12 (cid:3109)(cid:843)的用(cid:3509)量 = 3 (cid:4827)3 .
所以，(cid:7147)(cid:1039)要表示出小(cid:736)(cid:2066)这两个(cid:3109)的用(cid:3509)量，(cid:5099)用(cid:3509)量可以用(cid:3509)(cid:6176)(cid:6932)以(cid:3509)的
(cid:1261)(cid:841)得出.
1
解：设该(cid:2250)去(cid:2290)(cid:2128)(cid:3487)用(cid:3509)的(cid:841)格为 x (cid:1035) / (cid:4827)3，则(cid:813)(cid:2290)的(cid:841)格为（1 + ）x
3
(cid:1035) / (cid:4827)3，根据题意，得
28 14.7
- = 3 .
1 x
（1 + ）x
3
解这个方程，得
x = 2.1 .
经(cid:3293)验，x = 2.1 是所(cid:1141)方程的根.
1
2.1 ×（1 + ）= 2.8（(cid:1035) / (cid:4827)3）.
3
所以，该(cid:2250)(cid:813)(cid:2290)(cid:2128)(cid:3487)用(cid:3509)的(cid:841)格为 2.8 (cid:1035) / (cid:4827)3 .
随堂练习
小明和同学一起去(cid:762)(cid:2311)(cid:764)(cid:762)，他们先用 15 (cid:1035)(cid:764)了一种(cid:4633)(cid:3071)(cid:762)若干本，又用 15 (cid:1035)(cid:764)
了一种(cid:2977)学(cid:762)若干本. (cid:4633)(cid:3071)(cid:762)的(cid:841)格比(cid:2977)学(cid:762)(cid:7220)出一半，(cid:1666)此他们所(cid:764)的(cid:4633)(cid:3071)(cid:762)比所
(cid:764)的(cid:2977)学(cid:762)少 1 本. 这种(cid:4633)(cid:3071)(cid:762)和这种(cid:2977)学(cid:762)的(cid:841)格各是多少？
习题 2.10
问题解决
利用分式方程解决下列问题（第 1 (cid:250) 3 题）：
1. (cid:4225)种原(cid:2984)与(cid:755)种原(cid:2984)的(cid:1261)(cid:841)(cid:3467)为 2(cid:306)3，将(cid:841)(cid:985) 2 000 (cid:1035)的(cid:4225)种原(cid:2984)与(cid:841)(cid:985) 1 000 (cid:1035)
的(cid:755)种原(cid:2984)(cid:3721)合后，(cid:1261)(cid:841)为 9 (cid:1035)，求(cid:4225)种原(cid:2984)的(cid:1261)(cid:841).
2. 某(cid:1528)(cid:2311)(cid:6745)(cid:1516)一(cid:2683)(cid:3113)(cid:5897)，每件(cid:1516)(cid:841) 150 (cid:1035)，可(cid:5517)利 25(cid:38). 求这种(cid:3113)(cid:5897)的成本(cid:841).
3. 某(cid:1528)(cid:2311)(cid:4225)种(cid:4862)果的(cid:1516)(cid:841)为 20 (cid:1035)/(cid:1250)(cid:1041)，(cid:755)种(cid:4862)果的(cid:1516)(cid:841)为 16 (cid:1035)/(cid:1250)(cid:1041). 为了(cid:936)(cid:6745)，
现将 10 (cid:1250)(cid:1041)(cid:755)种(cid:4862)果和一(cid:1226)(cid:4225)种(cid:4862)果(cid:3721)合后（(cid:2869)(cid:1225)）(cid:6745)(cid:1516)，如果将(cid:3721)合后的(cid:4862)果
(cid:2763) 17.5 (cid:1035)/ (cid:1250)(cid:1041)(cid:6745)(cid:1516)，那么(cid:3721)合(cid:6745)(cid:1516)与分开(cid:6745)(cid:1516)的(cid:6745)(cid:1516)(cid:7081)相同. 这(cid:1226)(cid:4225)种(cid:4862)果有多
少(cid:1250)(cid:1041)？
424
(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
例 4 一(cid:5341)(cid:6339)(cid:5333)顺(cid:3509)(cid:5320)行 40 km 所用的
时间与逆(cid:3509)(cid:5320)行 30 km 所用的时间相同，若
(cid:3509)流(cid:6452)度为 3 km/h，求(cid:6339)(cid:5333)在(cid:7010)(cid:3509)中的(cid:6452)度.
解：设(cid:6339)(cid:5333)在(cid:7010)(cid:3509)中的(cid:6452)度为 x km/h，则
顺(cid:3509)(cid:5320)行的(cid:6452)度为（x + 3）km/h，逆(cid:3509)(cid:5320)行的
(cid:6452)度为（x - 3）km/h. 根据题意，得
40 30
= .
x + 3 x - 3
解这个方程，得
x = 21.
经(cid:3293)验，x = 21 是所(cid:1141)方程的根.
所以，(cid:6339)(cid:5333)在(cid:7010)(cid:3509)中的(cid:6452)度是 21 km/h.
例 (cid:22) (cid:4225)、(cid:755)两(cid:801)都(cid:5942)(cid:6220) 3 km 的路，(cid:4225)的(cid:6452)度是(cid:755)的(cid:6452)度的 1.2 倍，(cid:4225)比
(cid:755)少用 0.1 h. (cid:4225)、(cid:755)两(cid:801)的(cid:6452)度各是多少？
解：设(cid:755)的(cid:6452)度是 x km/h，则(cid:4225)的(cid:6452)度是 1.2x km/h.
根据题意，得
3 3
- = 0.1.
x 1.2x
解这个方程，得
x = 5 .
经(cid:3293)验，x = 5 是所(cid:1141)方程的根.
1.2x = 1.2 × 5 = 6（km/h）.
所以，(cid:4225)、(cid:755)两(cid:801)的(cid:6452)度分别是 6 km/h 和 5 km/h.
随堂练习
1. (cid:4225)、(cid:755)两个(cid:3314)(cid:3230)(cid:6899)(cid:1312)加(cid:3314)(cid:3230)造(cid:3172)活(cid:1199). 已知(cid:4225)(cid:6899)每小时比(cid:755)(cid:6899)少种 3 (cid:3307)(cid:3230). (cid:4225)(cid:6899)种
60 (cid:3307)(cid:3230)与(cid:755)(cid:6899)种 66 (cid:3307)(cid:3230)所用的时间相同. (cid:4225)、(cid:755)两(cid:6899)每小时各种多少(cid:3307)(cid:3230)？
2. 八(cid:2290)(cid:4895)一(cid:4141)的(cid:1668)(cid:1408)(cid:801)数与(cid:7012)(cid:1668)(cid:1408)(cid:801)数之比为 2(cid:306)1，后来又有 5 (cid:1360)同学加(cid:1050)(cid:1668)组(cid:4923)，
(cid:4141)内的(cid:1668)(cid:1408)(cid:801)数与(cid:7012)(cid:1668)(cid:1408)(cid:801)数之比变为 7(cid:306)2. 求(cid:1300)来(cid:4141)内(cid:1668)(cid:1408)(cid:801)数.
43第(cid:772)章
(cid:1132)(cid:2352)与(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
习题 2.11
问题解决
利用分式方程解决下列问题（第 1 (cid:250) 3 题）：
1. (cid:4225)、(cid:755)两个(cid:3874)车(cid:4707)相(cid:6256) 720 km，(cid:3874)车(cid:2850)(cid:6452)后，行(cid:7162)(cid:6452)度是原(cid:3151)(cid:6452)度的 1.2 倍，
(cid:816)(cid:4225)(cid:4707)到(cid:755)(cid:4707)的时间缩(cid:4481) 1.2 h，求(cid:3874)车原(cid:3151)的(cid:6452)度.
2. 小(cid:3140)做 90 个(cid:6982)件与小(cid:4109)做 120 个(cid:6982)件所用的时间相同，他(cid:955)每小时一共做 35 个
(cid:6982)件. 小(cid:3140)、小(cid:4109)每小时各做多少个(cid:6982)件？
3. 某(cid:1082)场原有(cid:3509)(cid:4223) 400 (cid:1053)(cid:7048)，(cid:3024)(cid:4223) 150 (cid:1053)(cid:7048)，为了(cid:2850)(cid:7220)(cid:791)量，准备将部分(cid:3024)(cid:4223)(cid:2952)
为(cid:3509)(cid:4223)，(cid:2952)完之后，(cid:3024)(cid:4223)的面积占(cid:3509)(cid:4223)面积的 10(cid:8003). 应当把多少(cid:1053)(cid:7048)(cid:3024)(cid:4223)(cid:2952)为
(cid:3509)(cid:4223)？
回顾与思考
1. 实(cid:6917)生活中的一些量可以用分式表示，一些问题可以(cid:6448)过列分式方程解决，请
举一(cid:915).
2. 分式的基本性质及有关(cid:6402)(cid:4779)法则与分数有什么异同？分式的基本性质有哪些方
面的应用？请举(cid:915)说明.
3. 如何解分式方程？它与解一(cid:1035)一(cid:3411)方程有何(cid:5135)系与(cid:1245)别？
4. 用适当的方式梳理本章的知识，并与同伴进行交流.
复习题
知识技能
1. 化简下列分式：
- 2ac2 4 - a2 x 2 - 16
（1） ； （2） ； （3） .
14a2bc a2 - 2a 2x + 8
44复习题
2. 计(cid:4779)：
5x y 2a2b 1 1
（1） · ； （2） (cid:290)（- 2bx ）； （3） + ；
y 15x 2 x x - 1 1 + x
c a a 3a + 1 2a + 3
（4） - ； （5） + + .
ab bc a2 - 1 a2 - 1 1 - a2
3. (cid:1039)化简，再求(cid:985)：
x 2 - 16
（1） ，其中 x = - 2；
8 - 2x
x 2 - y 2
（2） ，其中 x = 110，y = 10.
x 2 - 2x y + y 2
4. 解方程：
1 1 1 x - 1 2 - x 1 1
（1） = ； （2） + 3 = ； （3） = + .
x - 1 x 2 - 1 x - 2 x - 2 3 + x 2 x + 3
m 5 m m n2
※5.（1）已知 = ，求 + - 的(cid:985)；
n 3 m + n m - n m2 - n2
1 1
（2）已知 x + = 2，求 x 2 + 的(cid:985)；
x x 2
3x - 4 A B
（3）已知 = + ，求实数 A，B.
（x - 1）（x - 2） x - 1 x - 2
数学理解
6. 当 x 分别为何(cid:985)时，下列分式有意(cid:743)？
x + 1 2x ax
（1） ； （2） ； （3） .
1 - x （1 - x ）2 x
x 2 x 2
7.“(cid:1666)为 = x ，(cid:5099) x 取任意实数 x 都有意(cid:743)，所以使分式 有意(cid:743)的条件是 x 为任
x x
意实数.”你(cid:5987)为这种说法对吗？为什么？
a - b
8. 分式 的(cid:985)为(cid:6982)时，实数 a，b 应满足什么条件？
a + 1
问题解决
9.（1）如果某(cid:1528)品(cid:6924)(cid:841) x (cid:38) 后的(cid:1516)(cid:841)为 a (cid:1035)，那么(cid:6047)(cid:1528)品的原(cid:841)为多少(cid:1035)？
（2）某(cid:801)(cid:2666)(cid:7020)，有 m (cid:3411)(cid:2666)中 a (cid:4119)，有 n (cid:3411)(cid:2666)中 b (cid:4119)，求此(cid:801)平均每(cid:3411)中(cid:7020)的(cid:4119)数.
45第(cid:772)章
(cid:1132)(cid:2352)与(cid:1132)(cid:2352)(cid:2997)(cid:4654)
利用分式方程解决下列问题（第 10 (cid:250) 12 题）：
10. (cid:4225)、(cid:755)两地相(cid:6256) 360 km，新(cid:958)的(cid:7220)(cid:6452)(cid:1053)(cid:6265)开(cid:6448)后，在(cid:4225)、(cid:755)两地间行(cid:7162)的长(cid:6445)(cid:2055)
车平均车(cid:6452)(cid:2850)(cid:7220)了 50(cid:38)，(cid:5099)(cid:816)(cid:4225)地到(cid:755)地的时间缩(cid:4481)了 2 h. 试确定长(cid:6445)(cid:2055)车原(cid:3151)的
平均车(cid:6452).
11. 八(cid:2290)(cid:4895)一(cid:4141)学生周(cid:3124)(cid:754)(cid:3540)车到(cid:3748)览(cid:1245)(cid:3748)览，(cid:3748)览(cid:1245)(cid:6256)学校 120 km. 一部分学生(cid:754)
(cid:2597)车(cid:1039)行，出发 20 mi n 后，另一部分学生(cid:754)(cid:2444)车(cid:1170)(cid:2396)，结果他们同时到(cid:6394)(cid:3748)览
(cid:1245). 已知(cid:2444)车的(cid:6452)度是(cid:2597)车(cid:6452)度的 1.2 倍，求(cid:2597)车的(cid:6452)度.
12. 某车间加工 1 300 个(cid:6982)件后，(cid:6612)用了新工(cid:5352)，工(cid:2957)(cid:2850)(cid:1252)了 30(cid:38)，这样加工同样多
的(cid:6982)件就少用 10 h. (cid:6612)用新工(cid:5352)(cid:1170)、后每小时分别加工多少个(cid:6982)件？
13. 一个(cid:2683)发(cid:1066)(cid:6982)(cid:1516)的文(cid:1062)(cid:2311)(cid:5947)定：(cid:1112)一(cid:3411)(cid:6164)(cid:764)(cid:6693)(cid:4728) 300 (cid:2947)以上（不(cid:1226)(cid:2746) 300 (cid:2947)），
可以(cid:2763)(cid:2683)发(cid:841)(cid:823)(cid:3420)；(cid:6164)(cid:764) 300 (cid:2947)以下（(cid:1226)(cid:2746) 300 (cid:2947)）(cid:1334)能(cid:2763)(cid:6982)(cid:1516)(cid:841)(cid:823)(cid:3420). 小明(cid:3151)
(cid:6047)(cid:2311)(cid:6164)(cid:764)(cid:6693)(cid:4728)，如果给学校八(cid:2290)(cid:4895)学生每(cid:801)(cid:6164)(cid:764) 1 (cid:2947)，那么(cid:1334)能(cid:2763)(cid:6982)(cid:1516)(cid:841)(cid:823)(cid:3420)，
(cid:6986)用 120 (cid:1035)；如果多(cid:6164)(cid:764) 60 (cid:2947)，那么可以(cid:2763)(cid:2683)发(cid:841)(cid:823)(cid:3420)，同样(cid:6986)用 120 (cid:1035).
（1）这个学校八(cid:2290)(cid:4895)的学生(cid:2484)数在什么(cid:5429)(cid:1674)内？
（2）若(cid:2763)(cid:2683)发(cid:841)(cid:6164)(cid:764) 6 (cid:2947)与(cid:2763)(cid:6982)(cid:1516)(cid:841)(cid:6164)(cid:764) 5 (cid:2947)所(cid:823)(cid:3420)相同，那么这个学校八(cid:2290)(cid:4895)
学生有多少(cid:801)？
14. 某(cid:1528)(cid:1304)进(cid:6158)(cid:1408)(cid:7061)(cid:3646)一种应(cid:2019)(cid:5870)(cid:5869)能(cid:4234)(cid:6745)(cid:2250)场，就用 8 (cid:698)(cid:1035)(cid:6164)进这种(cid:5870)(cid:5869)，面(cid:2250)后
果(cid:3945)(cid:921)不应求. (cid:1528)(cid:1304)又用 17.6 (cid:698)(cid:1035)(cid:6164)进了第(cid:772)(cid:2683)这种(cid:5870)(cid:5869)，所(cid:6164)数量是第一(cid:2683)(cid:6164)
进量的 2 倍，(cid:878)(cid:1261)(cid:841)(cid:6172)了 4 (cid:1035). (cid:1528)(cid:1304)(cid:6745)(cid:1516)这种(cid:5870)(cid:5869)时每件定(cid:841)都是 58 (cid:1035)，最后(cid:1180)
下 150 件(cid:2763)八折(cid:6745)(cid:1516)，很(cid:2444)(cid:1516)完. 在这两(cid:4728)生意中，(cid:1528)(cid:1304)共(cid:6213)利多少(cid:1035)？
联系拓广
※15. 某(cid:801)沿一条(cid:3570)(cid:7051)流(cid:3748)(cid:3603) l m，(cid:3945)后(cid:6436)流(cid:3748)(cid:1664)出发点，设此(cid:801)在(cid:7010)(cid:3509)中的(cid:3748)(cid:3603)(cid:6452)度为
x m/s ，(cid:3509)流(cid:6452)度为 n m/s .
（1）求他(cid:3151)(cid:1664)一(cid:6233)所(cid:6986)的时间 t； （2）用 t，x ，n 的(cid:829)数式表示 l.
※16. 某(cid:1528)品的标(cid:841)(cid:3467)成本(cid:7220) p (cid:38)，当(cid:6047)(cid:1528)品(cid:6924)(cid:841)出(cid:1516)时，为了不(cid:775)本，(cid:6924)(cid:841)(cid:2280)度最多为
d (cid:38)，请用 p 表示 d .
※17. (cid:4225)、(cid:755)两位(cid:6612)(cid:6164)(cid:1408)同去一(cid:2066)(cid:7121)(cid:2984)(cid:1053)(cid:1347)(cid:6164)(cid:764)两(cid:3411)(cid:7121)(cid:2984). 两(cid:3411)(cid:7121)(cid:2984)的(cid:841)格有变化，两
位(cid:6612)(cid:6164)(cid:1408)的(cid:6164)(cid:6158)方式(cid:759)不同，其中，(cid:4225)每(cid:3411)(cid:6164)(cid:764) 1 000 (cid:1250)(cid:1041)，(cid:755)每(cid:3411)用去 800 (cid:1035)，
(cid:5099)不(cid:4782)(cid:6164)(cid:764)多少(cid:7121)(cid:2984). 设两(cid:3411)(cid:6164)(cid:764)的(cid:7121)(cid:2984)(cid:1261)(cid:841)分别为 m (cid:1035)/(cid:1250)(cid:1041)和 n (cid:1035)/ (cid:1250)(cid:1041)（m，
n 是正数，且 m(cid:313)n），那么(cid:4225)、(cid:755)所(cid:6164)(cid:7121)(cid:2984)的平均(cid:1261)(cid:841)各是多少？哪一个(cid:6359)(cid:880)？
461
平(cid:1705)(cid:2973)
第第第(cid:700)(cid:700)(cid:700)章章章(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:2973)(cid:2973)(cid:2973)(cid:2806)(cid:2806)(cid:2806)(cid:4362)(cid:4362)(cid:4362)(cid:1132)(cid:1132)(cid:1132)(cid:3170)(cid:3170)(cid:3170)
生活中，(cid:801)们离不开数据，我们 成(cid:4955) / (cid:4119)
10
不(cid:809)(cid:5942)(cid:2950)(cid:6967)、整理和表示数据，还(cid:6986)
8
(cid:5942)对数据进行分(cid:3170)，进而(cid:2271)助我们(cid:3102)
6
好地作出判(cid:2994). 4
(cid:4225)、(cid:755)、(cid:713)三(cid:801)的(cid:2097)(cid:1124)成(cid:4955)如图
2
0
所示，(cid:6074)的成(cid:4955)(cid:3102)好？(cid:6074)(cid:3102)(cid:4663)定？你 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 次数
是怎么判(cid:2994)的？(cid:6932)了直(cid:5946)(cid:2582)(cid:5952)外，我们如何用量(cid:1233)的数据来(cid:1161)画“(cid:3102)好”“(cid:3102)
(cid:4663)定”呢？(cid:4829)(cid:875)地，在生活中我们还常(cid:1382)到“小亮的(cid:6326)(cid:7220)在(cid:4141)上是中等(cid:992)上
的”“A (cid:4808)(cid:4143)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)比 B (cid:6899)(cid:3102)(cid:2290)(cid:6352)”(cid:256)(cid:256)你思考过这些(cid:6039)的(cid:1381)义吗？你知道(cid:801)
们是如何作出这一判(cid:2994)的吗？
数学上，我们常(cid:974)助平(cid:1705)数、中位数、(cid:853)数、方(cid:2240)等来对数据进行分(cid:3170)和
(cid:1161)画.
学习目标
经(cid:2790)数(cid:2573)(cid:3693)(cid:2339)(cid:258)(cid:4765)理(cid:258)(cid:1908)(cid:4102)(cid:1706)活动(cid:2135)(cid:1522)，形(cid:1519)(cid:4521)数(cid:2573)(cid:3755)(cid:2246)的(cid:4126)(cid:2105)
能(cid:2037)(cid:2573)(cid:3661)(cid:2366)(cid:4276)(cid:4402)，(cid:4299)(cid:4661)(cid:3359)(cid:1683)的(cid:1883)(cid:1862)(cid:1908)(cid:4102)数(cid:2573)，(cid:2484)(cid:2598)(cid:4058)(cid:3894)
(cid:2295)(cid:2362)(cid:3801)(cid:4419)(cid:4935)数(cid:2573)的平(cid:2601)数(cid:258)中位数(cid:258)(cid:4826)数(cid:258)(cid:1883)(cid:1462)(cid:1706)，(cid:4638)(cid:3661)(cid:2366)(cid:1309)(cid:2528)中(cid:3897)
(cid:2295)(cid:3826)(cid:3021)的(cid:2148)(cid:4461)
47第三章
(cid:2973)(cid:2806)的(cid:1132)(cid:3170)
1
平(cid:1705)(cid:2973)
在(cid:4808)(cid:4143)比(cid:6207)中，(cid:6899)(cid:1408)的(cid:6326)(cid:7220)、(cid:2290)(cid:7444)都是(cid:2390)(cid:1470)(cid:4143)(cid:6899)实(cid:1191)的重(cid:5942)(cid:1666)(cid:4873)，如何(cid:5862)
量两个(cid:4143)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)的(cid:6326)(cid:7220)？怎样理解“(cid:4225)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)的(cid:6326)(cid:7220)比(cid:755)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)(cid:3102)(cid:7220)”？怎样
理解“(cid:4225)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)比(cid:755)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)(cid:3102)(cid:2290)(cid:6352)”？
中(cid:1678)(cid:4228)子(cid:4808)(cid:4143)(cid:5132)(cid:714)(cid:5135)(cid:6207) 2011 (cid:250) 2012 (cid:6207)(cid:2019)(cid:1083)(cid:782)(cid:1081)(cid:4143)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)(cid:6326)(cid:7220)、(cid:2290)(cid:7444)如下：
(cid:1083)(cid:1081)(cid:6899) (cid:782)(cid:1081)(cid:6899)
号(cid:4490) (cid:6326)(cid:7220)/cm (cid:2290)(cid:7444)/(cid:2151) 号(cid:4490) (cid:6326)(cid:7220)/cm (cid:2290)(cid:7444)/(cid:2151)
3 188 35 3 205 31
6 175 28 5 206 21
7 190 27 6 188 23
8 188 22 7 196 29
9 196 22 8 201 29
10 206 22 9 211 25
12 195 29 10 190 23
13 209 22 11 206 23
20 204 19 12 212 23
21 185 23 20 203 22
25 204 23 22 216 22
31 195 28 30 180 19
32 211 26 32 207 21
51 202 26 0 183 27
55 227 29
上述两(cid:2947)(cid:4808)(cid:4143)(cid:6899)中，哪(cid:2947)(cid:4143)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)的(cid:6326)(cid:7220)(cid:3102)(cid:7220)？哪(cid:2947)(cid:4143)(cid:6899)的(cid:6899)(cid:1408)(cid:3102)为(cid:2290)
(cid:6352)？你是怎样判(cid:2994)的？与同伴交流.
481
平(cid:1705)(cid:2973)
在(cid:3014)常生活中，我们常用平(cid:1705)数表示一组数据的“平(cid:1705)(cid:3509)平”.
1
一(cid:5322)地，对于 n 个数 x ，x ，(cid:256)，x ，我们(cid:2690) （x + x + (cid:256) + x ）叫做
1 2 n n 1 2 n
这 n 个数的(cid:4779)(cid:3127)平(cid:1705)(cid:2973)（me a n ），(cid:4773)称平(cid:1705)数，记为 (cid:250) x .
本章数据可能比较(cid:1837)
(cid:3134)，别(cid:2436)了使用计算(cid:1640)！
想一想
小明是这样计算(cid:1083)(cid:1081)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)的平(cid:1705)(cid:2290)(cid:7444)的：
(cid:2290)(cid:7444)/(cid:2151) 19 22 23 26 27 28 29 35
相(cid:2308)的(cid:6899)(cid:1408)数 1 4 2 2 1 2 2 1
平(cid:1705)(cid:2290)(cid:7444) =（19×1 + 22×4 + 23×2 + 26×2 + 27×1 + 28×2 + 29×2
+ 35×1）(cid:290)（1 + 4 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1）
= 25.4（(cid:2151)）.
你(cid:5987)为小明这样做对吗？试说明理由.
例 (cid:3197)广(cid:1399)(cid:1053)(cid:1347)(cid:3416)(cid:2736)(cid:5136)广(cid:1399)(cid:4758)(cid:1139)(cid:801)(cid:1408)一(cid:1360)，对 A，B，C 三(cid:1360)(cid:971)选(cid:801)进行
了三(cid:7050)(cid:4873)质测试. 他们的各(cid:7050)测试成(cid:4955)如下表所示：
成(cid:4955) (cid:971)选(cid:801)
A B C
(cid:7050)(cid:4396)
(cid:1145) 新 72 85 67
(cid:4972)(cid:1356)知(cid:6018) 50 74 70
(cid:6054) (cid:5971) 88 45 67
（1）如果根据三(cid:7050)测试的平(cid:1705)成(cid:4955)确定(cid:2376)用(cid:801)选，那么(cid:6074)将被(cid:2376)用？
（2）根据实(cid:6917)(cid:6986)(cid:5942)，(cid:1053)(cid:1347)将(cid:1145)新、(cid:4972)(cid:1356)知(cid:6018)和(cid:6054)(cid:5971)三(cid:7050)测试得分按
4(cid:306)3(cid:306)1 的比例确定各(cid:801)的测试成(cid:4955)，此时(cid:6074)将被(cid:2376)用？
1
解：（1）A 的平(cid:1705)成(cid:4955)为
3
（72 + 50 + 88）= 70（分）.
1
B 的平(cid:1705)成(cid:4955)为 3 （85 + 74 + 45）= 68（分）.
1
C 的平(cid:1705)成(cid:4955)为 3 （67 + 70 + 67）= 68（分）.
(cid:1666)此(cid:971)选(cid:801) A 将被(cid:2376)用.
49第三章
(cid:2973)(cid:2806)的(cid:1132)(cid:3170)
（2）根据题意，三(cid:801)的测试成(cid:4955)如下：
72×4 + 50×3 + 88×1
A 的测试成(cid:4955)为 = 65.75（分）.
4 + 3 + 1
85×4+74×3+45×1
B 的测试成(cid:4955)为 = 75.875（分）.
4 + 3 + 1 （1）（2）
67×4 + 70×3 + 67×1 的结果不一样说
C 的测试成(cid:4955)为 = 68.125（分）.
4 + 3 + 1 明了什么？
(cid:1666)此(cid:971)选(cid:801) B 将被(cid:2376)用.
实(cid:6917)问题中，一组数据(cid:6615)的各个数据的“重(cid:5942)程度”(cid:3123)必相同. (cid:1666)而，在计
算这组数据的平(cid:1705)数时，(cid:2396)(cid:2396)(cid:4940)每个数据一个“(cid:3135)”. 例如，在例题中 4，3，
72×4 + 50×3 + 88×1
1 分别是(cid:1145)新、(cid:4972)(cid:1356)知(cid:6018)、(cid:6054)(cid:5971)三(cid:7050)测试成(cid:4955)的(cid:3135)，而称
4 + 3 + 1
为 A 的三(cid:7050)测试成(cid:4955)的(cid:1195)(cid:3135)平(cid:1705)(cid:2973)（w e i ght e d me a n ）.
随堂练习
1. (cid:3197)次体操比(cid:6207)，六位(cid:6016)(cid:1922)对(cid:3197)选(cid:2660)的(cid:2666)分（(cid:1261)位：分）如下：
9.5，9.3，9.1，9.5，9.4，9.3.
（1）求这六个分数的平(cid:1705)分；
（2）如果规定：去掉一个(cid:3108)(cid:7220)分和一个(cid:3108)(cid:880)分，(cid:888)下分数的平(cid:1705)值作为选(cid:2660)的(cid:3108)后
得分，那么该选(cid:2660)的(cid:3108)后得分是多少？
2. (cid:3197)(cid:3235)规定学生的体(cid:5170)成(cid:4955)由三(cid:6538)分组成：(cid:3018)(cid:6800)(cid:3908)及体(cid:5170)课外活(cid:1199)表现(cid:1268)成(cid:4955)的
20(cid:38)，体(cid:5170)理论测试(cid:1268) 30(cid:38) ，体(cid:5170)(cid:2687)能测试(cid:1268) 50(cid:38). 小(cid:7075)的上述三(cid:7050)成(cid:4955)依次是：
92 分，80 分，84 分，则小(cid:7075)这学(cid:3120)的体(cid:5170)成(cid:4955)是多少？
习题 3.1
知识技能
1. 某(cid:3877)(cid:3592)(cid:1288)为了(cid:3646)定本(cid:1288)生(cid:791)的(cid:3877)(cid:3592)的使用(cid:2095)(cid:1425)（(cid:1261)位：h），(cid:816)中(cid:2714)(cid:3210)了 400 (cid:1334)
(cid:3877)(cid:3592)，(cid:3646)得它们的使用(cid:2095)(cid:1425)如下：
使用(cid:2095)命/ h 500 ~ 600 600 ~ 700 700 ~ 800 800 ~ 900 900 ~ 1 000 1 000 ~ 1 100
(cid:3877)(cid:3592)数/只 21 79 108 92 76 24
501
平(cid:1705)(cid:2973)
为了计(cid:4779)方(cid:935)，把使用(cid:2095)(cid:1425)(cid:814)于 500 h 到 600 h 之间的(cid:3877)(cid:3592)的使用(cid:2095)(cid:1425)均(cid:6403)似地
看做 550 h …… 把使用(cid:2095)(cid:1425)(cid:814)于 1 000 h 与 1 100 h 之间的(cid:3877)(cid:3592)的使用(cid:2095)(cid:1425)均(cid:6403)
似地看做 1 050 h，这 400 (cid:1334)(cid:3877)(cid:3592)的平均使用(cid:2095)(cid:1425)(cid:4894)是多少？
2. 八(cid:2290)(cid:4895)一(cid:4141)有学生 50 (cid:801)，(cid:772)(cid:4141)有学生 45 (cid:801)，(cid:3120)(cid:3124)数学(cid:3646)试中，一(cid:4141)学生的平
均分为 81.5 分，(cid:772)(cid:4141)学生的平均分为 83.4 分，这两个(cid:4141) 95 (cid:1360)学生的平均分是
多少？
数学理解
3. 某条小(cid:3570)平均(cid:3509)(cid:3719) 1.3 m，一个(cid:6326)(cid:7220) 1.6 m 的小(cid:2023)在这条(cid:3570)里(cid:3748)(cid:3603)是否一定(cid:3557)有
(cid:1280)(cid:6935)？
问题解决
4. 为(cid:5094)(cid:2083)(cid:4225)、(cid:755)两种(cid:1082)作(cid:4013)的长(cid:1209)，研究(cid:801)(cid:1408)分别(cid:2714)取了 10 (cid:3237)(cid:5408)，(cid:3646)得它们的(cid:7220)
度（(cid:1261)位：cm）如下：
(cid:4225)：9，14，11，12，9，13，10，8，12，8；
(cid:755)：8，13，12，11，9，12，7，7，9，11.
你(cid:5987)为哪种(cid:1082)作(cid:4013)长得(cid:7220)一些？说明理由.
5. (cid:2714)样(cid:6076)(cid:3210)了 20 (cid:1360)同学的(cid:2666)(cid:2010)(cid:6452)度（(cid:2010)/ 分），结果如下：
15，18，10，32，8，12，13，17，9，9，
27，18，4，6，11，14，16，21，25，12.
求这 20 (cid:801)(cid:2666)(cid:2010)的平均(cid:6452)度. 你可以尝试用计(cid:4779)(cid:1640)解决.
(cid:3197)学(cid:3235)进行广(cid:2919)操比(cid:6207)，比(cid:6207)(cid:2666)分(cid:1226)(cid:2746)以下几(cid:7050)：服装(cid:4946)一、进(cid:6430)场有
(cid:2304)、(cid:1199)作规(cid:5429)、(cid:1199)作整(cid:7439)（每(cid:7050)(cid:3800)分 10 分）.
其中三个(cid:4141)(cid:4895)的成(cid:4955)分别如下：
服装(cid:4946)一 进(cid:6430)场有(cid:2304) (cid:1199)作规(cid:5429) (cid:1199)作整(cid:7439)
一(cid:4141) 9 8 9 8
二(cid:4141) 10 9 7 8
三(cid:4141) 8 9 8 9
51第三章
(cid:2973)(cid:2806)的(cid:1132)(cid:3170)
（1）若将服装(cid:4946)一、进(cid:6430)场有(cid:2304)、(cid:1199)作规(cid:5429)、(cid:1199)作整(cid:7439)这四(cid:7050)得分依次按
10(cid:38)，20(cid:38)，30(cid:38)，40(cid:38) 的比例计算各(cid:4141)的广(cid:2919)操比(cid:6207)成(cid:4955)，那么哪个(cid:4141)的成(cid:4955)
(cid:3108)(cid:7220)？
（2）你(cid:5987)为上述四(cid:7050)中，哪一(cid:7050)(cid:3102)为重(cid:5942)？请你按自己的想法设计一个(cid:6016)
分方案. 根据你的(cid:6016)分方案，哪一个(cid:4141)的广(cid:2919)操比(cid:6207)成(cid:4955)(cid:3108)(cid:7220)？与同伴进行交流.
议一议
小明(cid:7185)自行(cid:6332)的(cid:6452)度是 15 km / h，步行的(cid:6452)度是 5 km / h.
（1）如果小明先(cid:7185)自行(cid:6332) 1 h，然后又步行了 1 h，那么他的平(cid:1705)(cid:6452)度是
多少？
（2）如果小明先(cid:7185)自行(cid:6332) 2 h，然后步行了 3 h，那么他的平(cid:1705)(cid:6452)度是多
少？你能从“(cid:3135)”的角度来理解这样的平(cid:1705)(cid:6452)度吗？
（3）举出生活中加(cid:3135)平(cid:1705)数的几个实例，与同伴进行交流.
随堂练习
1. (cid:5543)(cid:2103)(cid:1064)(cid:1874)是数学(cid:7063)(cid:1771)的一(cid:7050)(cid:1678)(cid:6917)大(cid:1874)，每四(cid:2290)(cid:7058)发一次，从 1936 (cid:2290)到 2010 (cid:2290)共有
53 (cid:801)获(cid:1874)，获(cid:1874)者获(cid:1874)时的(cid:2290)(cid:7444)分(cid:2251)如下，请计算获(cid:1874)者的平(cid:1705)获(cid:1874)(cid:2290)(cid:7444).
(cid:801)数
7
6
5
4
3
2
1
0
28 29 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 (cid:2290)(cid:7444)
（第 1 题）
2. 面试时，(cid:3197)(cid:801)的(cid:1779)本知(cid:6018)、表(cid:6394)能(cid:1191)、工作(cid:2455)度的得分分别是 80，70，85，若依
次按 30(cid:38)，30(cid:38)，40(cid:38) 的比例确定成(cid:4955)，则这个(cid:801)的面试成(cid:4955)是多少？
521
平(cid:1705)(cid:2973)
习题 3.2
知识技能
1. 在 A，B，C，D 四块试验(cid:4223)进行(cid:3509)(cid:4666)新品种种(cid:3314)试验，各块试验(cid:4223)的面积和所
种(cid:3509)(cid:4666)的(cid:1261)位(cid:791)量如下表：
A B C D
(cid:1261)位(cid:791)量 /（kg / hm2） 8 250 7 875 7 125 6 375
面积 / hm2 4 3 1 2
则四块试验(cid:4223)中(cid:3509)(cid:4666)的平均(cid:1261)位(cid:791)量是多少？
2. 在学校内随(cid:3131)(cid:6076)(cid:3210) 50 (cid:1360)(cid:4228)同学所(cid:4680)(cid:6402)动(cid:7023)的尺(cid:4490)，计(cid:4779)它们的平均数.
数学理解
※3. 某(cid:2290)(cid:4895)共有 4 个(cid:4141)，各(cid:4141)学生的平均(cid:6326)(cid:7220)分别为 1.65 m，1.63 m，1.65 m，
1.66 m，你能(cid:869)计出(cid:6047)(cid:2290)(cid:4895)学生平均(cid:6326)(cid:7220)的(cid:5429)(cid:1674)吗？你能(cid:1062)(cid:884)计(cid:4779)出(cid:6047)(cid:2290)(cid:4895)学
生的平均(cid:6326)(cid:7220)吗？
※4. 八(cid:2290)(cid:4895)一(cid:4141)共有学生 46 (cid:801)，学生的平均(cid:6326)(cid:7220)是 1.58 m，小明(cid:6326)(cid:7220) 1.59 m，(cid:878)小
明说他的(cid:6326)(cid:7220)在全(cid:4141)是中等(cid:992)下的，(cid:4141)上有 25 位同学(cid:3467)他(cid:7220)，20 位同学(cid:3467)他
(cid:4482)，这可能吗？
问题解决
5. 某(cid:1053)(cid:1347)(cid:3416)(cid:2736)(cid:2950)(cid:5132)(cid:1408)一(cid:1360)，(cid:816)学(cid:1291)、经验和工作(cid:2455)度等三个方面对(cid:4225)、(cid:755)、(cid:713)三
(cid:1360)应(cid:5136)(cid:5096)进行了(cid:1146)(cid:3430)(cid:3646)试，(cid:3646)试成(cid:4955)如下表：
成(cid:4955) (cid:2308)(cid:5136)者
(cid:4225) (cid:755) (cid:713)
(cid:7050)(cid:4396)
学历 7 9 8
经验 8 7 7
工作(cid:2455)度 6 8 5
如果将学(cid:1291)、经验和工作(cid:2455)度三(cid:7050)得分(cid:2763) 1(cid:306)2(cid:306)2 的(cid:3467)(cid:915)确定各(cid:801)的最终得分，
并以此为(cid:922)据确定(cid:2376)用(cid:5096)，那么(cid:6074)将(cid:5890)(cid:2376)用？
6. 某学校对各个(cid:4141)(cid:4895)的(cid:2964)室(cid:1276)生(cid:2545)(cid:1094)的(cid:5094)(cid:3210)(cid:1226)(cid:2746)以下几(cid:7050)：(cid:7404)板、(cid:6851)(cid:4692)、桌(cid:3312)、
地面. 一(cid:1849)，三个(cid:4141)(cid:4895)的各(cid:7050)(cid:1276)生成(cid:4955)分别如下：
53第三章
(cid:2973)(cid:2806)的(cid:1132)(cid:3170)
成(cid:4955) (cid:7050)(cid:4396)
(cid:7404)(cid:3164) (cid:6851)(cid:4692) (cid:3256)(cid:3312) 地面
(cid:4141)(cid:4895)
一(cid:4141) 95 90 90 85
二(cid:4141) 90 95 85 90
三(cid:4141) 85 90 95 90
（1）小明将(cid:7404)板、(cid:6851)(cid:4692)、桌(cid:3312)、地面这四(cid:7050)得分(cid:922)(cid:3411)(cid:2763) 15(cid:38)，10(cid:38)，35(cid:38)，40(cid:38)
的(cid:3467)(cid:915)计(cid:4779)各(cid:4141)的(cid:1276)生成(cid:4955)，那么哪个(cid:4141)的(cid:1276)生成(cid:4955)最(cid:7220)？
（2）你(cid:5987)为上述四(cid:7050)中，哪一(cid:7050)(cid:3102)为重要？请你(cid:2763)(cid:5293)(cid:2242)的想法设计一个(cid:6016)分方
案. 根据你的(cid:6016)分方案，哪一个(cid:4141)的(cid:1276)生成(cid:4955)最(cid:7220)？
2
中位(cid:2973)与(cid:853)(cid:2973)
(cid:3197)(cid:1053)(cid:1347)(cid:1408)工的(cid:3109)工(cid:6187)如下：
(cid:1408) 工 经理 (cid:1182)经理 (cid:5132)(cid:1408) A (cid:5132)(cid:1408) B (cid:5132)(cid:1408) C (cid:5132)(cid:1408) D (cid:5132)(cid:1408) E (cid:5132)(cid:1408) F (cid:5132)(cid:1408) G
(cid:3109)工(cid:6187)(cid:8013)(cid:1035) 7 000 4 400 2 400 2 000 1 900 1 800 1 800 1 800 1 200
我的工(cid:6187)是 1 900(cid:1035)，
我(cid:1053)(cid:1347)(cid:1408)工(cid:2950)
在(cid:1053)(cid:1347)算中等(cid:2950)(cid:1050).
(cid:1050)很(cid:7220)，(cid:3109)平(cid:1705)工
(cid:6187)为 2 700 (cid:1035).
我们好几个(cid:801)工
(cid:5132)(cid:1408) C
经理 (cid:6187)都是 1 800 (cid:1035).
这个(cid:1053)(cid:1347)(cid:1408)工(cid:2950)
(cid:1050)到(cid:2309)怎样呢？
(cid:5132)(cid:1408) D
(cid:2308)(cid:5136)者
你怎样看(cid:2400)该(cid:1053)(cid:1347)(cid:1408)工的(cid:2950)(cid:1050)？
542
中位(cid:2973)与(cid:853)(cid:2973)
经理、(cid:5132)(cid:1408) C、(cid:5132)(cid:1408) D 从不同的角度(cid:2849)述了该(cid:1053)(cid:1347)(cid:1408)工的(cid:2950)(cid:1050)情况.
(cid:3109)平(cid:1705)工(cid:6187) 2 700 (cid:1035)，(cid:2761)所有(cid:1408)工工(cid:6187)的平(cid:1705)数是 2 700 (cid:1035)，说明(cid:1053)(cid:1347)每
(cid:3109)将(cid:2947)(cid:823)工(cid:6187)(cid:2484)计 2 700 × 9 = 24 300（(cid:1035)）.
(cid:5132)(cid:1408) C 的工(cid:6187) 1 900 (cid:1035)，恰好(cid:2128)于所有(cid:1408)工工(cid:6187)的“正中间”（恰有 4 (cid:801)
的工(cid:6187)比他(cid:7220)，有 4 (cid:801)的工(cid:6187)比他(cid:880)），我们称它为中位数.
9 个(cid:1408)工中有 3 个(cid:801)的工(cid:6187)为 1 800 (cid:1035)，出现的次数(cid:3108)多，我们称它为(cid:853)数.
议一议
（1）你(cid:5987)为用哪个数据表示该(cid:1053)(cid:1347)(cid:1408)工(cid:2950)(cid:1050)的“平(cid:1705)(cid:3509)平”(cid:3102)(cid:1356)(cid:6432)？
（2）为什么该(cid:1053)(cid:1347)(cid:1408)工(cid:2950)(cid:1050)的平(cid:1705)数比中位数(cid:7220)得多？
一(cid:5322)地，n 个数据按大小顺(cid:2304)(cid:2822)(cid:1141)，处于(cid:3108)中间位置的一个数据（或(cid:3108)中
间两个数据的平(cid:1705)数）叫做这组数据的中位(cid:2973)（me d i a n ）. 一组数据中出现次
数(cid:3108)多的那个数据叫做这组数据的(cid:853)(cid:2973)（mo d e ）. 如一组数据 1.5，1.5，1.6，
1
1.65，1.7，1.7，1.75，1.8 的中位数是 （1.65 + 1.7），即1.675；(cid:853)数是 1.5
2
和 1.7.
做一做
（1）中(cid:1678)(cid:4228)子(cid:4808)(cid:4143)(cid:5132)(cid:714)(cid:5135)(cid:6207) 2011 (cid:250) 2012 (cid:6207)(cid:2019)(cid:1083)(cid:1081)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)(cid:6326)(cid:7220)的平(cid:1705)数、
中位数和(cid:853)数分别是多少？
（2）你课前所(cid:6076)(cid:3210)的 50 (cid:1360)(cid:4228)同学所(cid:4680)(cid:6402)(cid:1199)(cid:7023)尺(cid:4490)的平(cid:1705)数、中位数和(cid:853)
数分别是多少？你(cid:5987)为学(cid:3235)(cid:1528)(cid:2311)(cid:2308)多进哪种尺(cid:4490)的(cid:6402)(cid:1199)(cid:7023)？
议一议
平(cid:1705)数、中位数和(cid:853)数有哪些特征？
平(cid:1705)数、中位数和(cid:853)数都是(cid:2849)述数据(cid:6967)中(cid:6230)(cid:1209)的(cid:4946)计量.
55第三章
(cid:2973)(cid:2806)的(cid:1132)(cid:3170)
计算平(cid:1705)数时，所有数据都(cid:1312)加(cid:6402)算，它能(cid:1037)分地利用数据所(cid:2850)(cid:921)的(cid:951)
(cid:2508)，(cid:1666)此在现实生活中较为常用，(cid:878)它容(cid:3036)受(cid:3165)端值的(cid:2390)(cid:1470). 如体操比(cid:6207)(cid:6016)分
时，个别(cid:5895)判不(cid:1053)正(cid:2666)分将直接(cid:2390)(cid:1470)(cid:6402)(cid:1199)(cid:1408)的成(cid:4955). 为此一(cid:5322)先去掉一个(cid:3108)(cid:7220)
分和一个(cid:3108)(cid:880)分，然后求其(cid:888)得分的平(cid:1705)数作为(cid:6402)(cid:1199)(cid:1408)的得分.
中位数的(cid:854)点是计算(cid:4773)(cid:1261)，受(cid:3165)端值(cid:2390)(cid:1470)较小，(cid:878)不能(cid:1037)分利用所有数据
的(cid:951)(cid:2508).
一组数据中(cid:3197)些数据多次重(cid:1837)出现时，(cid:853)数(cid:2396)(cid:2396)是(cid:801)们(cid:2111)为关心的一个量.
如选举，就是选(cid:2745)(cid:1360)字出现次数(cid:3108)多的那个(cid:801)，(cid:1666)而可以将(cid:2375)选者的(cid:1360)字(cid:2375)作
“(cid:853)数”. (cid:878)各个数据的重(cid:1837)次数大(cid:5297)相等时，(cid:853)数(cid:2396)(cid:2396)没有特别意义.
习题 3.3
知识技能
1. 某(cid:1528)(cid:2311)(cid:6745)(cid:1516)(cid:7063)(cid:1328)大小（(cid:1261)位：cm）分别为 38， 42 cm 38 cm
9 (cid:38) 13 (cid:38)
39，40，41，42 的 5 种(cid:5870)(cid:5869). 为了(cid:6076)(cid:3210)各种(cid:7063)(cid:1328)
大小(cid:5870)(cid:5869)的(cid:6745)(cid:1516)(cid:2545)(cid:1094)，(cid:1528)(cid:2311)(cid:4946)计了某周的(cid:6745)(cid:1516)(cid:2545) 41 cm 39 cm
25 (cid:38) 19 (cid:38)
(cid:1094)，并绘制了如图所示的(cid:2657)形(cid:4946)计图. 你(cid:5987)为(cid:6047)
(cid:1528)(cid:2311)应多进哪种(cid:7063)(cid:1328)大小的(cid:5870)(cid:5869)？
40 cm
2. 两个(cid:801)(cid:5062)的(cid:2290)(cid:7444)如下（(cid:1261)位：(cid:2151)）：
34 (cid:38)
(cid:801)(cid:5062) A：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； （第 1 题）
(cid:801)(cid:5062) B：3，4，4，5，5，6，6，6，54，57.
（1）(cid:801)(cid:5062) A (cid:2290)(cid:7444)的平均数、中位数、(cid:853)数分别是多少？你(cid:5987)为用哪一个数据可
以(cid:6359)(cid:1886)地反(cid:3042)(cid:6047)(cid:801)(cid:5062)(cid:2290)(cid:7444)的(cid:6967)中(cid:6230)(cid:1209)？
（2）(cid:801)(cid:5062) B (cid:2290)(cid:7444)的平均数、中位数、(cid:853)数分别是多少？你(cid:5987)为用哪一个数据可
以(cid:6359)(cid:1886)地反(cid:3042)(cid:6047)(cid:801)(cid:5062)(cid:2290)(cid:7444)的(cid:6967)中(cid:6230)(cid:1209)？
数学理解
3. 中(cid:1678)(cid:4228)(cid:2005)(cid:4808)(cid:4143)(cid:5132)(cid:714)(cid:5135)(cid:6207) 2011 (cid:250) 2012 (cid:6207)(cid:2019)(cid:782)(cid:1081)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)的(cid:6326)(cid:7220)、(cid:2290)(cid:7444)的平均数、
中位数和(cid:853)数分别是多少？你(cid:5987)为用平均数、中位数、(cid:853)数中哪一个数据可以
(cid:6359)(cid:1886)地反(cid:3042)(cid:782)(cid:1081)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)(cid:6326)(cid:7220)的(cid:6967)中(cid:6230)(cid:1209)？
563
(cid:816)(cid:4946)(cid:5984)图(cid:1132)(cid:3170)(cid:2973)(cid:2806)的(cid:6967)中(cid:6230)(cid:1209)
问题解决
4. 一个小(cid:7116)(cid:2311)所有(cid:1408)工的(cid:2950)入(cid:2545)(cid:1094)如下：
经理 (cid:7063)(cid:4141) (cid:6401)(cid:2070) (cid:1305)(cid:2254) (cid:1305)(cid:2254)助理 服(cid:1196)(cid:1408) (cid:3620)(cid:4546)工
(cid:801)数 1 2 2 2 3 8 2
(cid:2950)(cid:1050) / (cid:1035) 4 700 1 900 1 500 2 200 1 500 1 400 1 200
（1）(cid:6047)(cid:7116)(cid:2311)所有(cid:1408)工的平均(cid:2950)入是多少(cid:1035)？(cid:2950)入的中位数、(cid:853)数呢？
（2）你(cid:5987)为用以上三个数据中的哪一个可以(cid:6359)(cid:1886)地反(cid:3042)(cid:6047)(cid:7116)(cid:2311)(cid:1408)工(cid:2950)入(cid:3509)平的
(cid:6967)中(cid:6230)(cid:1209)？说说你的理由；
（3）某(cid:1849)，一个(cid:1408)工(cid:6383)(cid:5132)了，若其他(cid:1408)工的(cid:2950)入不变，平均工(cid:6187)(cid:1252)(cid:7220)了. 你(cid:5987)
为(cid:6383)(cid:5132)的可能是哪个(cid:2160)位上的(cid:1408)工呢？
3
(cid:816)(cid:816)(cid:4946)(cid:4946)(cid:5984)(cid:5984)(cid:1679)(cid:1679)(cid:1132)(cid:1132)(cid:3170)(cid:3170)(cid:2973)(cid:2973)(cid:2806)(cid:2806)的的(cid:6967)(cid:6967)中中(cid:6230)(cid:6230)(cid:1209)(cid:1209)
质量/g
为了(cid:3293)(cid:3210)面(cid:1226)的质量是否(cid:6394)标，(cid:6948)(cid:3131)(cid:2714) 106
105
取了同种规格的面(cid:1226) 10 个，这 10 个面(cid:1226)的 104
103
102
质量如图 3-1 所示. 101
100
这 10 个面(cid:1226)质量的(cid:853)数是多少？你能
9
9
9
8
97
估计出一个这样的面(cid:1226)的平(cid:1705)质量吗？你是 96
95
94
怎么估计的？
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
图 3-1
议一议
(cid:4225)、(cid:755)、(cid:713)三(cid:2947)(cid:7007)(cid:2290)(cid:2822)(cid:4143)(cid:6899)各有 12 (cid:1360)(cid:6899)(cid:1408)，三(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)的(cid:2290)(cid:7444)情况如图
3-2 所示.
57第三章
(cid:2973)(cid:2806)的(cid:1132)(cid:3170)
(cid:4225)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)(cid:2290)(cid:7444) (cid:755)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)(cid:2290)(cid:7444)
(cid:801)数 (cid:801)数
5 6
4 5
3 4
3
2
2
1 1
0 0
18 19 20 21 22 (cid:2290)(cid:7444)/(cid:2151) 18 19 20 21 22 (cid:2290)(cid:7444)/(cid:2151)
(cid:713)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)(cid:2290)(cid:7444)
(cid:801)数
6
5
4
3
2
1
0
18 19 20 21 22 (cid:2290)(cid:7444)/(cid:2151)
图 3-2
（1）(cid:5946)(cid:2083)图 3-2 中的三(cid:2280)图，你能从图中分别看出三(cid:2947)(cid:4143)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)(cid:2290)(cid:7444)的(cid:853)
数吗？中位数呢？
（2）根据图 3-2 中的图，你能大(cid:5297)估计出三(cid:2947)(cid:4143)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)的平(cid:1705)(cid:2290)(cid:7444)哪个
大、哪个小吗？你是怎么估计的？
（3）计算出三(cid:2947)(cid:4143)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)的平(cid:1705)(cid:2290)(cid:7444)，看看你的估计是否(cid:1102)确.
做一做
小明(cid:6076)(cid:3210)了(cid:4141)(cid:6615) 20 (cid:1360)同学本学(cid:3120)计(cid:1139)(cid:6164)(cid:764)课外(cid:762)的(cid:5385)(cid:6176)情况，并将结果
(cid:4939)(cid:1156)成了如图 3-3 所示的(cid:4946)计图.
（1）在这 20 (cid:1360)同学中，本学(cid:3120)计(cid:1139)(cid:6164)(cid:764)课外(cid:762)的(cid:5385)(cid:6176)的(cid:853)数是多少？
（2）计算这 20 (cid:1360)同学计(cid:1139)(cid:6164)(cid:764)课外(cid:762)的平(cid:1705)(cid:5385)(cid:6176)是多少. 你是怎么计算
的？
(cid:324)
(cid:320)
5(cid:38)
10(cid:38)
(cid:323)
20(cid:38)
(cid:321)
25(cid:38)
(cid:320)100(cid:1035)
(cid:321)80(cid:1035)
(cid:322)50(cid:1035)
(cid:323)30(cid:1035)
(cid:322) (cid:324)20(cid:1035)
40(cid:38)
图 3-3
583
(cid:816)(cid:4946)(cid:5984)图(cid:1132)(cid:3170)(cid:2973)(cid:2806)的(cid:6967)中(cid:6230)(cid:1209)
想一想
在上面的问题中，如果不知道(cid:6076)(cid:3210)的(cid:2484)(cid:801)数，你还能求平(cid:1705)数吗？
例 (cid:3197)地连(cid:4958) 10 (cid:1849)(cid:7220)(cid:3742)，其中(cid:3014)(cid:3108)(cid:7220)(cid:3489)(cid:3742)与(cid:1849)数之间的关系如图 3-4 所示.
32(cid:326)
36(cid:326) 10(cid:38)
20(cid:38)
32(cid:326)
33(cid:326)
33(cid:326)
20(cid:38)
34(cid:326)
35(cid:326)
36(cid:326)
35(cid:326) 34(cid:326)
30(cid:38) 20(cid:38)
图 3-4
（1）这 10 (cid:1849)中，(cid:3014)(cid:3108)(cid:7220)(cid:3489)(cid:3742)的(cid:853)数是多少？
（2）请计算这 10 (cid:1849)(cid:3014)(cid:3108)(cid:7220)(cid:3489)(cid:3742)的平(cid:1705)值.
解：（1）根据(cid:2657)形(cid:4946)计图，35 (cid:326) 的比重(cid:3108)大，(cid:3014)(cid:3108)(cid:7220)(cid:3489)(cid:3742)的(cid:853)数是 35 (cid:326).
（2）这 10 (cid:1849)(cid:3014)(cid:3108)(cid:7220)(cid:3489)(cid:3742)的平(cid:1705)值是 32 × 10(cid:38) + 33 × 20(cid:38) + 34 × 20(cid:38) + 35
× 30(cid:38) + 36 × 20(cid:38)，即 34.3 (cid:326).
随堂练习
根据下(cid:1141)(cid:4946)计图，分别(cid:1080)出相(cid:2308)分数的平(cid:1705)数、中位数和(cid:853)数.
(cid:3197)(cid:7077)(cid:7991)(cid:22)(cid:1132)(cid:7992)的(cid:2410)(cid:1132)(cid:2545)(cid:1094) (cid:2022)生(cid:4940)(cid:2022)(cid:3235)(cid:7100)(cid:1782)的(cid:2666)(cid:1132)(cid:2545)(cid:1094)
1分2分
(cid:801)数 5分
3(cid:38) 4(cid:38)
10(cid:38)
25
21
20 1 分
15 2 分
10
10
7
4分 3 分
5 32(cid:38) 4 分
2 3分
0 5 分
51(cid:38)
0分 1分 3分 5分 得分
（1） （2）
59第三章
(cid:2973)(cid:2806)的(cid:1132)(cid:3170)
习题 3.4
知识技能
1. (cid:1040)明中学八(cid:2290)(cid:4895)一(cid:4141)在一(cid:3411)(cid:3646)试中，某题（满分为 5 分）的得分(cid:2545)(cid:1094)如图，
计(cid:4779)(cid:6047)题得分的(cid:853)数、中位数和平均数.
(cid:3197)(cid:7077)的(cid:2410)(cid:1132)(cid:2545)(cid:1094)
(cid:4225)(cid:6899)(cid:1408) 1(cid:17) (cid:3411)(cid:2097)(cid:1124)(cid:2631)(cid:4955)
成(cid:4955)/(cid:4119)
5分 0分
6(cid:38) 6(cid:38) 1分 10
8(cid:38) 9.8
9.6
4分 9.4
24(cid:38) 2分 9.2
9
16(cid:38)
8.8
8.6
8.4
3分
8.2
40(cid:38) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 次
（第 1 题） （第 2 题）
2. 某(cid:3411)(cid:2097)(cid:1124)(cid:3467)(cid:6207)，(cid:4225)(cid:6899)(cid:1408)的成(cid:4955)如图. 根据此(cid:4946)计图，试求他的平均成(cid:4955).
3. 某(cid:7023)(cid:1288)为了了解(cid:1146)中学生(cid:7023)(cid:2005)的(cid:7023)(cid:1346)(cid:2545)(cid:1094)，对一中学八(cid:2290)(cid:4895)一(cid:4141)的 20 (cid:1360)(cid:4228)生所
(cid:4680)(cid:7023)(cid:1346)进行了(cid:6076)(cid:3210)，结果如图.
（1）写出(cid:4228)生(cid:7023)(cid:1346)数据的平均数、中位数、(cid:853)数；
（2）在平均数、中位数和(cid:853)数中，(cid:7023)(cid:1288)最(cid:2582)(cid:1059)(cid:6234)的是哪一个？
(cid:801)数
8
7
6
5
4
3
2
1
0
37(cid:4490) 38(cid:4490) 39(cid:4490) 40(cid:4490) 41(cid:4490) 42(cid:4490) (cid:7023)(cid:4490)
（第 3 题）
603
(cid:816)(cid:4946)(cid:5984)图(cid:1132)(cid:3170)(cid:2973)(cid:2806)的(cid:6967)中(cid:6230)(cid:1209)
联系拓广
4. 下图反(cid:3042)了八(cid:2290)(cid:4895)两个(cid:4141)的(cid:884)(cid:5170)成(cid:4955).
(cid:1052)(cid:2290)(cid:4895)一(cid:4141)(cid:884)(cid:5170)(cid:2631)(cid:4955) (cid:1052)(cid:2290)(cid:4895)二(cid:4141)(cid:884)(cid:5170)(cid:2631)(cid:4955)
(cid:801)数 (cid:801)数
25
25
20 20
20
20
15 15
10 10 10 11
10 10 8
5 5
5 5
1
0 0
不及格 及格 中 (cid:5346)好 (cid:854)(cid:4626) 成(cid:4955) 不及格 及格 中 (cid:5346)好 (cid:854)(cid:4626) 成(cid:4955)
（第 4 题）
（1）不用计(cid:4779)，根据条形(cid:4946)计图，你能判断哪个(cid:4141)学生的(cid:884)(cid:5170)成(cid:4955)(cid:1886)一些吗？
（2）你能(cid:816)图中(cid:5946)(cid:2083)出各(cid:4141)学生(cid:884)(cid:5170)成(cid:4955)等(cid:4895)的“(cid:853)数”吗？
（3）如果(cid:922)(cid:3411)将不及格、及格、中、(cid:5346)(cid:1886)、(cid:854)(cid:4626)(cid:5998)为 55 分、65 分、75 分、85
分、95 分，(cid:1039)分别(cid:869)(cid:4779)一下两个(cid:4141)学生(cid:884)(cid:5170)成(cid:4955)的平均(cid:985)，再(cid:4779)一(cid:4779)，看
看你(cid:869)计的结果怎么样；
（4）八(cid:2290)(cid:4895)一(cid:4141)学生(cid:884)(cid:5170)成(cid:4955)的平均数、中位数和(cid:853)数有什么关系？你能说说
其中的理由吗？
5. 小明(cid:6076)(cid:3210)了(cid:4141)中 20 (cid:1360)同学某(cid:3109)的(cid:2066)(cid:2321)用(cid:4227)量，结果如图所示. 若把每组中各个
用(cid:4227)数用这组数据的中间(cid:985)(cid:829)(cid:3107)（如 30 ~ 40 kW ·h 的中间(cid:985)为 35 kW ·h），则
这 20 (cid:1360)同学(cid:2066)(cid:6047)(cid:3109)的平均用(cid:4227)量是多少？
(cid:801)数
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
30 40 50 60 70 80 用(cid:4227)量/ kW ·h
（第 5 题）
61第三章
(cid:2973)(cid:2806)的(cid:1132)(cid:3170)
4
(cid:2973)(cid:2973)(cid:2806)(cid:2806)的的(cid:4623)(cid:4623)(cid:2969)(cid:2969)(cid:4654)(cid:4654)(cid:2319)(cid:2319)
为了(cid:2850)(cid:7220)(cid:1082)(cid:1182)(cid:791)(cid:1462)的(cid:1678)(cid:6917)(cid:4708)(cid:770)(cid:1191)，一些行(cid:714)(cid:1257)会对(cid:1082)(cid:1182)(cid:791)(cid:1462)的规格进行了
(cid:1139)分. (cid:3197)外(cid:6175)(cid:1053)(cid:1347)(cid:5942)出(cid:1328)一(cid:2683)规格为 75 g 的(cid:7324)(cid:5266)，现有 2 个(cid:1288)(cid:2066)(cid:2850)(cid:921)(cid:6158)(cid:3769)，它
们的(cid:841)格相同，(cid:7324)(cid:5266)的(cid:1462)质也相(cid:6403).
质(cid:3293)(cid:1408)分别从(cid:4225)、(cid:755)两(cid:1288)的(cid:791)(cid:1462)中(cid:2714)样(cid:6076)(cid:3210)了 20 只(cid:7324)(cid:5266)，它们的质量
（(cid:1261)位：g）如下：
(cid:4225)(cid:1288)：75，74，74，76，73，76，75，77，77，74，
74，75，75，76，73，76，73，78，77，72；
(cid:755)(cid:1288)：75，78，72，77，74，75，73，79，72，75，
80，71，76，77，73，78，71，76，73，75.
(cid:2690)这些数据表示成下图：
(cid:4225)(cid:1288) (cid:755)(cid:1288)
质量/g 质量/g
80 80
79 79
78 78
77 77
76 76
75 75
74 74
73 73
72 72
71 71
70 70
图 3-5
（1）你能从图 3-5 中估计出(cid:4225)、(cid:755)两(cid:1288)(cid:2714)取的(cid:7324)(cid:5266)的平(cid:1705)质量吗？
（2）从(cid:4225)、(cid:755)两(cid:1288)(cid:2714)取的(cid:7324)(cid:5266)的平(cid:1705)质量分别是多少？在上图中画出(cid:4907)(cid:1711)
标等于平(cid:1705)质量的直线.
（3）从(cid:4225)(cid:1288)(cid:2714)取的这 20 只(cid:7324)(cid:5266)质量的(cid:3108)大值是多少？(cid:3108)小值又是多少？
它们相(cid:2240)几(cid:1041)？(cid:755)(cid:1288)呢？
（4）如果只考(cid:5693)(cid:7324)(cid:5266)的规格，你(cid:5987)为外(cid:6175)(cid:1053)(cid:1347)(cid:2308)(cid:764)哪个(cid:1288)的(cid:7324)(cid:5266)？
624
(cid:2973)(cid:2806)的(cid:4623)(cid:2969)(cid:4654)(cid:2319)
实(cid:6917)生活中，(cid:801)们(cid:6932)了关心数据的(cid:6967)中(cid:6230)(cid:1209)外，(cid:2396)(cid:2396)还关(cid:3596)数据的离(cid:2969)程
度，即它们相对于“平(cid:1705)(cid:3509)平”的(cid:992)离情况. (cid:3165)(cid:2240)就是(cid:1161)画数据离(cid:2969)程度的一
个(cid:4946)计量.
(cid:3165)(cid:2240)是(cid:2761)一组数据中(cid:3108)大数据与(cid:3108)小数据的(cid:2240).
做一做
如果(cid:713)(cid:1288)也(cid:1312)与了(cid:4708)(cid:770)，从该(cid:1288)(cid:2714)样(cid:6076)(cid:3210)了 20 只(cid:7324)(cid:5266)，数据如图 3-6 所示.
(cid:713)(cid:1288)
质量/g
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
图 3-6
（1）(cid:713)(cid:1288)这 20 只(cid:7324)(cid:5266)质量的平(cid:1705)数和(cid:3165)(cid:2240)分别是多少？
（2）如何(cid:1161)画(cid:713)(cid:1288)这 20 只(cid:7324)(cid:5266)的质量与其平(cid:1705)数的(cid:2240)距？分别求出(cid:4225)、
(cid:713)两(cid:1288)的 20 只(cid:7324)(cid:5266)质量与其相(cid:2308)平(cid:1705)数的(cid:2240)距.
（3）在(cid:4225)、(cid:713)两(cid:1288)中，你(cid:5987)为哪个(cid:1288)的(cid:7324)(cid:5266)质量(cid:3102)符(cid:1356)(cid:5942)求？为什么？
数学上，数据的离(cid:2969)程度还可以用方(cid:2240)或标(cid:1102)(cid:2240)(cid:1161)画.
(cid:2997)(cid:2240)（v a r i a n ce ）是各个数据与平(cid:1705)数之(cid:2240)的平方的平(cid:1705)数，即
1
s 2 = (cid:8057)（x -(cid:250)x ） 2 +（x -(cid:250)x ） 2 +(cid:256)+（x -(cid:250)x ） 2 (cid:8059)，
n 1 2 n
其中， (cid:250)x 是 x ，x ，(cid:256)， x 的平(cid:1705)数，s 2 是方(cid:2240). 而(cid:3222)(cid:1102)(cid:2240)（s t a n d a r d d e v i a t i o n ）
1 2 n
就是方(cid:2240)的算(cid:3127)平方根.
一(cid:5322)而(cid:5971)，一组数据的(cid:3165)(cid:2240)、方(cid:2240)或标(cid:1102)(cid:2240)(cid:6229)小，这组数据就(cid:6229)(cid:4663)定.
例 计算从(cid:4225)(cid:1288)(cid:2714)取的 20 只(cid:7324)(cid:5266)质量的方(cid:2240).
解：从(cid:4225)(cid:1288)(cid:2714)取的 20 只(cid:7324)(cid:5266)质量的平(cid:1705)数是
63第三章
(cid:2973)(cid:2806)的(cid:1132)(cid:3170)
（75 + 74 + 74 + 76 + 73 + 76 + 75 + 77 + 77 + 74 + 74 + 75 + 75 + 76 +
73 + 76 + 73 + 78 + 77 + 72）(cid:290) 20 = 75.
各数值与 75 的(cid:2240)依次是
0，- 1，- 1，1，- 2，1，0，2，2，- 1，- 1，0，0，1，- 2，1，- 2，
3，2，- 3.
所以方(cid:2240)是
(cid:8057)02 +（- 1） 2 +（- 1） 2 + 12 +（- 2） 2 + 12 + 02 + 22 + 22 +（- 1） 2 +
（- 1） 2 + 02 + 02 + 12 +（- 2） 2 + 12 +（- 2） 2 + 32 + 22 +（- 3） 2 (cid:8059)(cid:290) 20 = 2.5.
(cid:1666)此，从(cid:4225)(cid:1288)(cid:2714)取的 20 只(cid:7324)(cid:5266)质量的方(cid:2240)是 2.5.
一(cid:5322)地，用笔算的方式计算方(cid:2240)或标(cid:1102)(cid:2240)比较(cid:3921)
(cid:4149)，我们可以利用计算(cid:1640)的(cid:4946)计(cid:1194)能求标(cid:1102)(cid:2240)，其大
体步(cid:7201)是：进(cid:1050)(cid:4946)计计算状(cid:2455)，(cid:6373)(cid:1050)数据，按(cid:6788)得出
标(cid:1102)(cid:2240).
以图中所示的计算(cid:1640)为例，按(cid:6788) 即可进
(cid:1050)(cid:4946)计计算状(cid:2455).
请在你自己使用的计算(cid:1640)上探索计算标(cid:1102)(cid:2240)的具
体操作步(cid:7201).
计算(cid:1640)一(cid:5322)不具有求方(cid:2240)的(cid:1194)能，可以先求出标(cid:1102)
(cid:2240)，(cid:1075)平方，即可求出方(cid:2240).
随堂练习
1. 请用计算(cid:1640)计算(cid:713)(cid:1288)(cid:2714)取的 20 只(cid:7324)(cid:5266)质量的方(cid:2240)，结(cid:1356)例题，说说(cid:4225)、(cid:713)两(cid:1288)哪
(cid:2066)的(cid:791)(cid:1462)(cid:3102)符(cid:1356)规格.
2. (cid:4225)、(cid:755)两(cid:2947)(cid:833)(cid:822)(cid:6899)(cid:6899)(cid:1408)的(cid:6326)(cid:7220)（(cid:1261)位：cm）如下：
(cid:4225)(cid:6899)：178，177，179，179，178，178，177，178，177，179；
(cid:755)(cid:6899)：178，177，179，176，178，180，180，178，176，178.
哪(cid:2947)(cid:833)(cid:822)(cid:6899)(cid:3102)为整(cid:7439)？你是怎么判(cid:2994)的？
644
(cid:2973)(cid:2806)的(cid:4623)(cid:2969)(cid:4654)(cid:2319)
习题 3.5
知识技能
1. 某(cid:1261)位要(cid:764)一(cid:2683)直(cid:2399)为 60 mm 的(cid:5827)(cid:717)，现有(cid:4225)、(cid:755)两个(cid:5827)(cid:717)加工(cid:1288)，它们生(cid:791)
的(cid:5827)(cid:717)的(cid:3142)(cid:2984)相同，(cid:841)格(cid:759)相同. (cid:6047)(cid:1261)位分别(cid:816)(cid:4225)、(cid:755)两(cid:1288)的(cid:791)品中(cid:2714)样(cid:6076)(cid:3210)
了 20 个(cid:5827)(cid:717)，它们的直(cid:2399)（(cid:1261)位：mm）如下：
(cid:4225)(cid:1288)： 60，59， 59.8， 59.7， 60.2， 60.3， 61， 60，60，60.5，
59.5，60.3，60.1，60.2，60，59.9， 59.7，59.8，60，60；
(cid:755)(cid:1288)：60.1，60，60，60.2， 59.9， 60.1， 59.7，59.9，60，60，
60，60.1，60.5，60.4， 60，59.6， 59.5，59.9，60.1，60.
你(cid:5987)为(cid:6047)(cid:1261)位应(cid:764)哪个(cid:1288)的(cid:5827)(cid:717)？
2. (cid:4225)、(cid:755)两(cid:1340)(cid:1226)(cid:5897)(cid:3131)同时分(cid:5897)质量为 400 g 的(cid:1883)(cid:4832). (cid:816)它们分(cid:5897)的(cid:1883)(cid:4832)中各随(cid:3131)(cid:2714)
取了 10 (cid:5883)，(cid:3646)得它们的实(cid:6917)质量（(cid:1261)位：g）如下：
(cid:4225)：401，400，408，406，410，409，400，393，394，394；
(cid:755)：403，404，396，399，402，401，405，397，402，399.
哪(cid:1340)(cid:1226)(cid:5897)(cid:3131)(cid:1226)(cid:5897)的(cid:1883)(cid:4832)质量(cid:3467)(cid:6359)(cid:4663)定？
数学理解
3. (cid:2097)(cid:4791)时，新手成(cid:4955)(cid:6448)常不(cid:1850)(cid:4663)定. 小明和小华练习(cid:2097)(cid:4791)，第一(cid:2125) 12 (cid:2947)(cid:4791)(cid:2097)完
后，两(cid:801)的成(cid:4955)如图所示. 请根据图中(cid:951)(cid:2508)(cid:869)计小明和小华(cid:6074)是新手，并说明
你这样(cid:869)计的理由.
成(cid:4955)/(cid:4119)
10
8
6
4
2
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 次数
小明 小(cid:1256)
（第 3 题）
65第三章
(cid:2973)(cid:2806)的(cid:1132)(cid:3170)
(cid:3197)(cid:3014)，A，B 两地的(cid:3489)(cid:3742)如图 3-7 所示.
(cid:3489)(cid:3742) /(cid:326)
26
25
24
23
22
A 地 21
20
19
18
17
16
15
0 5 10 15 20 时(cid:1161) / 时
(cid:3489)(cid:3742) /(cid:326)
26
25
24
23
22
B 地 21
20
19
18
17
16
15
0 5 10 15 20 时(cid:1161) / 时
图 3-7
（1）不计算，说说 A，B 两地这一(cid:1849)(cid:3489)(cid:3742)的特点.
（2）分别计算 A，B 两地这一(cid:1849)(cid:3489)(cid:3742)的平(cid:1705)数和方(cid:2240)，与你刚才的看法一
(cid:5297)吗？
议一议
(cid:3197)(cid:3235)(cid:5942)从(cid:4225)、(cid:755)两(cid:1360)(cid:6266)(cid:6410)(cid:6402)(cid:1199)(cid:1408)中(cid:2765)选一(cid:801)(cid:1312)加一(cid:7050)比(cid:6207). 在(cid:3108)(cid:6403)的 10 次
选(cid:2730)(cid:6207)中，他们的成(cid:4955)（(cid:1261)位：cm）如下：
(cid:4225)：585，596，610，598，612，597，604，600，613，601；
(cid:755)：613，618，580，574，618，593，585，590，598，624.
（1）(cid:4225)、(cid:755)的平(cid:1705)成(cid:4955)分别是多少?
（2）(cid:4225)、(cid:755)这 10 次比(cid:6207)成(cid:4955)的方(cid:2240)分别是多少？
（3）这两(cid:1360)(cid:6402)(cid:1199)(cid:1408)的(cid:6402)(cid:1199)成(cid:4955)各有什么特点？
（4）历(cid:2131)比(cid:6207)成(cid:4955)表明，成(cid:4955)(cid:6394)到 5.96 m 就很可能(cid:1860)(cid:1083)，你(cid:5987)为为了(cid:1860)
664
(cid:2973)(cid:2806)的(cid:4623)(cid:2969)(cid:4654)(cid:2319)
(cid:1083)(cid:2308)选(cid:6074)(cid:1312)加这(cid:7050)比(cid:6207)？如果历(cid:2131)比(cid:6207)成(cid:4955)表明，成(cid:4955)(cid:6394)到 6.10 m 就能(cid:2666)(cid:4513)记
(cid:2376)，那么你(cid:5987)为为了(cid:2666)(cid:4513)记(cid:2376)(cid:2308)选(cid:6074)(cid:1312)加这(cid:7050)比(cid:6207)呢？
做一做
（1）两(cid:801)一组，在(cid:2039)(cid:7010)的(cid:4119)(cid:1810)中，一(cid:801)估计 1 mi n 的时间，另一(cid:801)记下实
(cid:6917)时间，将结果记(cid:2376)下来.
（2）在(cid:1609)(cid:3134)的(cid:4119)(cid:1810)中，(cid:1075)做一次这样的试验.
（3）将全(cid:4141)的结果(cid:3517)(cid:2484)起来，并分别计算(cid:2039)(cid:7010)状(cid:2455)和(cid:1609)(cid:3134)(cid:4119)(cid:1810)下估计结果
的平(cid:1705)值和方(cid:2240).
（4）两种情况下的结果是否一(cid:5297)？说说你的理由.
随堂练习
(cid:4225)、(cid:755)、(cid:713)三(cid:801)的(cid:2097)(cid:1124)成(cid:4955)如图所示，三(cid:801)中，(cid:6074)(cid:2097)(cid:1124)成(cid:4955)(cid:3102)好？(cid:6074)(cid:3102)(cid:4663)定？
你是怎么判(cid:2994)的？
成(cid:4955) / (cid:4119)
10
8
6
4
2
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 次数
读一读
(cid:1150)(cid:4217)(cid:5984)(cid:4779)(cid:3131)(cid:1132)(cid:3170)(cid:2973)(cid:2806)
(cid:2632)们知道，(cid:1150)用 M icr o s o f t O f f ice (cid:6340)件中的 E x ce l 可以(cid:2402)方便地(cid:1156)(cid:891)(cid:4946)计图. (cid:1061)实，
(cid:1150)用 E x ce l 同(cid:3240)可以(cid:2402)方便地(cid:3515)出平(cid:1705)(cid:2973)、中(cid:879)(cid:2973)、(cid:853)(cid:2973)和(cid:3222)(cid:1102)(cid:2240)等，进(cid:5099)(cid:3102)(cid:1886)地分(cid:3170)
(cid:2973)(cid:2806). 下面以 M icr o s o f t O f f ice E x ce l 2003 (cid:737)例(cid:6061)(cid:3034)(cid:1061)具(cid:884)(cid:2930)(cid:891)(cid:6399)(cid:4654).
1. (cid:2666)(cid:2344) E x ce l，(cid:2098)(cid:3125)(cid:4710)(cid:4740) 2 (cid:5356)中(cid:2850)(cid:921)的(cid:1408)工(cid:3109)工(cid:6187)(cid:922)(cid:3411)(cid:6373)(cid:1050) E x ce l (cid:5867)中的(cid:4740) 1 (cid:1141)，一
个(cid:2973)(cid:2806)(cid:1268)一(cid:3243). (cid:6373)(cid:1050)(cid:2041)(cid:3468)(cid:1361)，(cid:6437)中一个(cid:4679)(cid:4359)(cid:3243)(cid:891)(cid:734)(cid:4940)出(cid:4757)(cid:3253)的(cid:879)(cid:5046)（如 C1），如图 3-8.
67第三章
(cid:2973)(cid:2806)的(cid:1132)(cid:3170)
图 3-8 图 3-9
2. 在工具(cid:3229)中，(cid:6437)(cid:2745)(cid:2851)(cid:1050)(cid:1126)(cid:2973)，(cid:3945)(cid:1361)在(cid:254)(cid:6437)(cid:2745)
(cid:4829)别(cid:255)一(cid:3229)中(cid:6437)中(cid:254)(cid:4946)计(cid:255)，(cid:2291)在(cid:254)(cid:6437)(cid:2745)(cid:1126)(cid:2973)(cid:255)一(cid:3229)
中(cid:6437)中(cid:254)AV E R AG E (cid:255)，出(cid:4120)对(cid:6039)(cid:3252)如图 3-9.
(cid:1666)(cid:734)(cid:3515)的是 A1 (cid:1154) A9 中(cid:2973)(cid:2806)的平(cid:1705)(cid:2973)，(cid:1334)(cid:5942)
在 N u mb e r 1 中(cid:6373)(cid:1050) A1(cid:306)A9（(cid:2635)(cid:2731)动(cid:7429)(cid:3222)(cid:6437)(cid:2745) A1 (cid:1154)
A9），(cid:3945)(cid:1361)点(cid:1124)(cid:4536)(cid:2048)，(cid:1281)可在 C1 (cid:879)(cid:5046)(cid:2410)(cid:1154)平(cid:1705)(cid:2973)，
如图 3-10. 图 3-10
3. (cid:5418)(cid:2567)(cid:2410)(cid:1154)这组(cid:2973)(cid:2806)的中(cid:879)(cid:2973)（(cid:853)(cid:2973)、方(cid:2240)(cid:2635)(cid:3222)(cid:1102)(cid:2240)），方(cid:3586)同上，(cid:1334)(cid:5942)在(cid:254)(cid:6437)(cid:2745)
(cid:1126)(cid:2973)(cid:255)一(cid:3229)中(cid:2952)(cid:6437) (cid:254)M E D I AN (cid:255)（(cid:254)M O D E (cid:255)(cid:254)V AR P (cid:255)(cid:2635)(cid:254)S T D E V P (cid:255)），(cid:2115)可(cid:2410)(cid:1154)中(cid:879)
(cid:2973)（(cid:853)(cid:2973)、方(cid:2240)(cid:2635)(cid:3222)(cid:1102)(cid:2240)）(cid:768).
习题 3.6
知识技能
1. (cid:1925)明在(cid:5055)(cid:1678)(cid:4228)(cid:2005)(cid:4808)(cid:4143)(cid:5132)(cid:714)(cid:5135)(cid:6207) 2005 (cid:250) 2006 (cid:6207)(cid:2019)的常(cid:5947)(cid:6207)中表现(cid:854)异. 下面是他
在这个(cid:6207)(cid:2019)中，分别与“(cid:6228)(cid:7043)(cid:6452)”和“(cid:2444)(cid:5333)”(cid:6899)各四场(cid:3467)(cid:6207)中的(cid:2687)(cid:3127)(cid:4946)计.
对(cid:6908)“(cid:6228)(cid:7043)(cid:6452)”(cid:6899) 对(cid:6908)“(cid:2444)(cid:5333)”(cid:6899)
场次
得分 (cid:4808)(cid:3164) (cid:1855)(cid:6056) 得分 (cid:4808)(cid:3164) (cid:1855)(cid:6056)
第一场 22 10 2 25 17 2
第二场 29 10 2 29 15 0
第三场 24 14 2 17 12 4
第四场 26 10 5 22 7 2
684
(cid:2973)(cid:2806)的(cid:4623)(cid:2969)(cid:4654)(cid:2319)
（1）请分别计(cid:4779)(cid:1925)明在对(cid:6908)“(cid:6228)(cid:7043)(cid:6452)”和“(cid:2444)(cid:5333)”两(cid:6899)各四场(cid:3467)(cid:6207)中，平均每
场得分是多少；
（2）请你(cid:816)得分的角度分(cid:3170)，(cid:1925)明在与“(cid:6228)(cid:7043)(cid:6452)”和“(cid:2444)(cid:5333)”(cid:6899)的(cid:3467)(cid:6207)中，对
(cid:6908)哪一个(cid:6899)的发(cid:2777)(cid:3467)(cid:6359)(cid:4663)定；
（3）如果(cid:5947)定“(cid:4972)合得分”为：平均每场得分×1 + 平均每场(cid:4808)板×1.2 + 平均
每场(cid:1855)(cid:6056)×（- 1），且(cid:4972)合得分(cid:6229)(cid:7220)表现(cid:6229)(cid:1886)，那么请你利用这种(cid:6016)(cid:841)方
法，(cid:3467)(cid:6359)(cid:1925)明在与“(cid:6228)(cid:7043)(cid:6452)”和“(cid:2444)(cid:5333)”(cid:6899)的(cid:3467)(cid:6207)中，对(cid:6908)哪一个(cid:6899)时表
现(cid:3102)(cid:1886).
数学理解
2. 某校(cid:2738)(cid:3638)一(cid:1360)(cid:6266)(cid:7220)(cid:6402)动(cid:1408)(cid:1312)加一(cid:7050)校(cid:6917)(cid:3467)(cid:6207)，对(cid:4225)、(cid:755)两(cid:1360)(cid:6266)(cid:7220)(cid:6402)动(cid:1408)进行了
8 (cid:3411)选(cid:2730)(cid:3467)(cid:6207)，他们的成(cid:4955)（(cid:1261)位：m）分别如下：
(cid:4225)：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67；
(cid:755)：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75.
（1）(cid:4225)、(cid:755)两(cid:1360)(cid:6402)动(cid:1408)(cid:6266)(cid:7220)的平均成(cid:4955)分别是多少？
（2）(cid:6074)的成(cid:4955)(cid:3102)为(cid:4663)定？
（3）经(cid:7061)(cid:3646)，(cid:6266)(cid:7220) 1.65 m 就很可能(cid:5517)得(cid:1083)(cid:1081)，(cid:6047)校为了(cid:5517)取(cid:6266)(cid:7220)(cid:3467)(cid:6207)的(cid:1083)(cid:1081)，
可能选哪位(cid:6402)动(cid:1408)(cid:1312)(cid:6207)？若(cid:7061)(cid:3646) 1.70 m 方可(cid:1860)得(cid:1083)(cid:1081)呢？
3. 2012 (cid:2290) 8 (cid:3109) 6 (cid:3014)，我(cid:1678)选手(cid:1388)(cid:2960)(cid:6999)、何(cid:1934)分别(cid:5517)得(cid:864)(cid:2970)(cid:1880)(cid:6402)(cid:856)(cid:1881)(cid:2005)三(cid:4827)板(cid:6266)(cid:3509)
(cid:1083)(cid:1081)和(cid:782)(cid:1081). (cid:5517)得(cid:1170) 6 (cid:1360)的选手的决(cid:6207)成(cid:4955)如下：
(cid:6266)次
第一(cid:6266) 第二(cid:6266) 第三(cid:6266) 第四(cid:6266) 第五(cid:6266)
(cid:1921)(cid:1360)
(cid:1388)(cid:2960)(cid:6999)（中(cid:1678)） 79.50 79.75 85.25 84.00 85.50
何(cid:1934)（中(cid:1678)） 76.50 83.70 78.00 76.50 64.50
(cid:3259)(cid:1133)(cid:2995)·索(cid:2668)（(cid:1819)(cid:5941)(cid:1486)） 70.50 67.50 75.00 74.40 75.00
(cid:1269)(cid:2121)(cid:1880)(cid:2668)（意大利） 76.50 69.00 68.20 72.00 76.50
(cid:2995)特(cid:2722)(cid:7056)（(cid:3852)大利(cid:782)） 70.50 67.50 66.65 69.00 72.00
(cid:6913)(cid:6149)(cid:2103)（加(cid:2758)大） 66.00 77.50 55.50 72.00 72.00
试计(cid:4779)各(cid:1360)选手 5 (cid:3411)(cid:6266)(cid:3509)成(cid:4955)的平均分和方差，并(cid:3467)(cid:6359)这 6 (cid:1360)选手的表现.
69第三章
(cid:2973)(cid:2806)的(cid:1132)(cid:3170)
4. （1）(cid:816)下面两(cid:2280)图中分别“读”出(cid:4225)、(cid:755)两(cid:1360)(cid:6899)(cid:1408)(cid:2097)(cid:1124)成(cid:4955)的平均数.
(cid:4225)(cid:6899)(cid:1408)的(cid:2097)(cid:1124)(cid:2631)(cid:4955) (cid:755)(cid:6899)(cid:1408)的(cid:2097)(cid:1124)(cid:2631)(cid:4955)
次数
5
次数
4 4
3 3
2 2
1 1
0 0
6 7 8 9 10 成(cid:4955)/(cid:4119) 6 7 8 9 10 成(cid:4955)/(cid:4119)
（第 4（1）题）
（2）(cid:6448)过(cid:869)计，(cid:3467)(cid:6359)(cid:4225)、(cid:755)两(cid:1360)(cid:6899)(cid:1408)(cid:2097)(cid:1124)成(cid:4955)的方差的大小. 你是怎么(cid:869)计的？
（3）分别计(cid:4779)(cid:4225)、(cid:755)两(cid:1360)(cid:6899)(cid:1408)(cid:2097)(cid:1124)成(cid:4955)的方差，看看(cid:1144)(cid:2662)(cid:5293)(cid:2242)的(cid:869)计是否正确；
（4）如果(cid:713)(cid:6899)(cid:1408)的(cid:2097)(cid:1124)成(cid:4955)如下，三(cid:801)(cid:2097)(cid:1124)成(cid:4955)的方差(cid:6074)的最大，(cid:6074)的最小？
你是怎样判断的？
(cid:713)(cid:6899)(cid:1408)的(cid:2097)(cid:1124)(cid:2631)(cid:4955)
次数
4
3
2
1
0
6 7 8 9 10 成(cid:4955)(cid:4119)
（第 4（4）题）
回顾与思考
1. 刻画数据(cid:6967)中(cid:6230)(cid:1209)的(cid:4946)计量有哪些？
2. 举出生活中与平均数、中位数和(cid:853)数有关的几个(cid:915)(cid:2005).
3. 平均数、中位数和(cid:853)数各有什么特点？举(cid:915)说明.
4. 举出生活中与加(cid:3135)平均数有关的几个(cid:915)(cid:2005)，并说明(cid:4779)(cid:3127)平均数和加(cid:3135)平均数
的(cid:1245)别与(cid:5135)系.
5. 刻画数据(cid:4623)(cid:2969)程度的(cid:4946)计量有哪些？它们有什么作用？举(cid:915)说明.
6. 如何(cid:816)(cid:4946)计图上直(cid:5946)地(cid:869)计出相应的(cid:4946)计量？举(cid:915)说明.
7. 利用计(cid:4779)(cid:1640)怎样计(cid:4779)数据的平均数等(cid:4946)计量？举(cid:915)说明.
8. 用适当的方式梳理本章的知识，并与同伴进行交流.
70复习题
复习题
知识技能
1. (cid:816)一(cid:2683)(cid:6982)件(cid:3472)(cid:1729)中(cid:2714)取出 10 件，称得它们的质量（(cid:1261)位：g）如下：
400.0，400.3，401.2，398.9，399.8，399.8，400.0，400.5，399.7，399.8 .
求这 10 件(cid:6982)件的平均质量.
2. 为了了解(cid:4640)(cid:1060)(cid:7153)(cid:943)的(cid:6326)(cid:7220)状(cid:1094)，某(cid:5094)(cid:1329)(cid:6899)随(cid:3131)(cid:6076)(cid:3210)了 36 (cid:2100)(cid:4640)(cid:1060)(cid:7153)(cid:943)，它们的(cid:7220)度
（(cid:1261)位：cm）如下：
172， 178， 181， 184， 184， 187， 187， 190， 190， 175， 181， 181，
184， 184， 187， 187， 190， 193， 178， 181， 181， 184， 187， 187，
187， 190， 193， 178， 181， 184， 184， 187， 187， 190， 190， 196 .
（1）这 36 (cid:2100)(cid:4640)(cid:1060)(cid:7153)(cid:943)(cid:7220)度的平均数、中位数和
E A
(cid:853)数分别是多少？ 9(cid:38) 6(cid:38) B
D 14(cid:38) A
（2）你能据此(cid:869)计出(cid:4640)(cid:1060)(cid:7153)(cid:943)的平均(cid:7220)度吗？ B
20(cid:38)
C
3. 学校小(cid:1262)部有 A，B ，C，D ，E 五种(cid:1096)(cid:7117)(cid:6745)(cid:1516)，
D
C
它们的(cid:1261)(cid:841)(cid:922)(cid:3411)是 5 (cid:1035)、3 (cid:1035)、2 (cid:1035)、1 (cid:1035)和 51(cid:38) E
0.5 (cid:1035)，某(cid:1849)的(cid:1096)(cid:7117)(cid:6745)(cid:1516)(cid:2545)(cid:1094)如图所示，那么，
（第 3 题）
这(cid:1849)(cid:6047)小(cid:1262)部(cid:6745)(cid:1516)的(cid:1096)(cid:7117)的(cid:1261)(cid:841)的平均(cid:985)是多少(cid:1035)？
4. 某校(cid:5947)定：学生的平时作(cid:714)、(cid:3120)中检(cid:3646)、(cid:3120)(cid:3124)检(cid:3646)三(cid:7050)成(cid:4955)分别(cid:2763) 40(cid:38)，20(cid:38)，
40(cid:38) 的(cid:3467)(cid:915)计入学(cid:3120)(cid:2484)(cid:6016)成(cid:4955). 小(cid:797)的平时作(cid:714)、(cid:3120)中检(cid:3646)、(cid:3120)(cid:3124)检(cid:3646)的数学成(cid:4955)
(cid:922)(cid:3411)为 90 分、92 分、85 分，小(cid:797)这学(cid:3120)的数学(cid:2484)(cid:6016)成(cid:4955)是多少？
5. 现有两(cid:2683)(cid:5425)果，(cid:816)中各随(cid:3131)(cid:2714)取 20 个，(cid:3646)得它们的直(cid:2399)（(cid:1261)位：mm）如下：
第一(cid:2683)：81，85，80，75，78，76，83，82，78，84，
79，76，85，79，76，83，82，81，78，79；
第(cid:772)(cid:2683)：80，81，78，74，83，88，76，75，84，83，
82，80，78，84，85，78，76，77，83，77.
哪一(cid:2683)(cid:5425)果的大小(cid:3102)为整(cid:7439)？
6. 某(cid:1528)场新进了一(cid:2683)直(cid:2399)为 12 mm 的(cid:5827)(cid:717)，(cid:816)中(cid:2714)取了 20 个(cid:5827)(cid:717)，并(cid:5947)定它们的标
71第三章
(cid:2973)(cid:2806)的(cid:1132)(cid:3170)
准差若大于 0.2 mm，就可要求(cid:6430)(cid:6158). 这 20 个(cid:5827)(cid:717)的直(cid:2399)（(cid:1261)位：mm）如下：
11.8，11.7，12.0，12.1，12.3，12.2，12.0，11.5，12.3，12.1，
12.0，12.2，11.9，11.7，11.9，12.1，12.3，12.4，11.8，11.9.
(cid:6047)(cid:1528)场是否可以要求(cid:6430)(cid:6158)？
7. 某小(cid:1245)随(cid:3131)(cid:2714)取了 100 (cid:2650)(cid:801)(cid:2066)，(cid:6076)(cid:3210)
(cid:2650)数
60
了他们 5 (cid:3109)(cid:843)的用(cid:3509)量(cid:2545)(cid:1094)，如图. 51
50
（1）试(cid:869)计(cid:6047)小(cid:1245)用(cid:3509)量不(cid:7220)于 20 t 40
33
30
的(cid:2650)数占小(cid:1245)(cid:2484)(cid:2650)数的(cid:4360)分(cid:3467)；
20
（2）(cid:6047)小(cid:1245)有 500 (cid:2650)，若把每组中各 10 10
6
0
个用(cid:3509)量(cid:985)用(cid:6047)组的中间(cid:985)（如 10 20 30 40
用(cid:3509)量 / t
0 (cid:95) 10 的中间(cid:985)为 5）(cid:3151)(cid:829)(cid:3107)，(cid:869) （第 7 题）
计(cid:6047)小(cid:1245) 5 (cid:3109)(cid:843)的用(cid:3509)量.
数学理解
8. 小明所在(cid:4141)(cid:4895)学生的平均(cid:6326)(cid:7220)是 1.65 m，小(cid:797)所在(cid:4141)(cid:4895)学生的平均(cid:6326)(cid:7220)是 1.60 m，
小颖说“小(cid:797)一定(cid:3467)小明(cid:4482)”. 你(cid:5987)为小颖的说法正确吗？说说你的理由.
9. 一段时间内，一(cid:2066)(cid:7023)(cid:2311)(cid:6745)(cid:1516)了某种品(cid:4001)的(cid:1881)(cid:7023) 30 (cid:1317)，各种尺(cid:4490)的(cid:6745)(cid:1516)量如下表所示：
尺(cid:4490) / cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
(cid:6745)(cid:1516)量 / (cid:1317) 1 2 5 11 7 3 1
（1）求出这 30 (cid:1317)(cid:1881)(cid:7023)尺(cid:4490)的平均数、中位数和(cid:853)数；
（2）在（1）中求出的三个数据中，你(cid:5987)为(cid:7023)(cid:2311)(cid:5093)板最(cid:2582)(cid:1059)(cid:6234)的是哪一个？说说你
的理由.
10. 某(cid:1053)(cid:1347)(cid:6745)(cid:1516)部有(cid:6745)(cid:1516)(cid:801)(cid:1408) 15 (cid:801)，(cid:6745)(cid:1516)部为了制定某种(cid:1528)品的(cid:3109)(cid:6745)(cid:1516)定(cid:7081)，(cid:4946)计了
这 15 (cid:801)某(cid:3109)的(cid:6745)(cid:1516)量，如下表所示：
每(cid:801)(cid:6745)(cid:1516)量 / (cid:840) 1 800 510 250 210 150 120
(cid:801)数 1 1 3 5 3 2
（1）求这 15 位(cid:6745)(cid:1516)(cid:801)(cid:1408)(cid:6047)(cid:3109)(cid:6745)(cid:1516)量的平均数、中位数、(cid:853)数；
（2）(cid:988)设(cid:6745)(cid:1516)部经理把每位(cid:6745)(cid:1516)(cid:801)(cid:1408)的(cid:3109)(cid:6745)(cid:1516)(cid:7081)定为 320 件，你(cid:5987)为是否合理？
为什么？
※11. 三个组每组都有 20 (cid:801)，一道满分为 4 分的题(cid:4396)，三个组同学的得分(cid:2545)(cid:1094)如下：
72复复习习题题
(cid:4740)一(cid:4920)(cid:2410)(cid:1132)(cid:2545)(cid:1094) (cid:4740)二(cid:4920)(cid:2410)(cid:1132)(cid:2545)(cid:1094) (cid:4740)三(cid:4920)(cid:2410)(cid:1132)(cid:2545)(cid:1094)
(cid:801)数 (cid:801)数 (cid:801)数
10 10 10
8 8 8
6 6 6
4 4 4
2 2 2
0 0 0
0分 1分 2分 3分 4分 得分 0分 1分 2分 3分 4分 得分 0分 1分 2分 3分 4分 得分
（第 11 题）
（1）请你分别计(cid:4779)三个组(cid:6047)题的平均得分和方差；
（2）(cid:5946)(cid:2083)这三个组的得分(cid:2545)(cid:1094)，小明发现，“(cid:3215)(cid:2005)的(cid:7220)度”(cid:2484)是1，2，3，6，8，
(cid:878)是它们(cid:2822)列的(cid:7051)(cid:2304)不同，(cid:2094)(cid:5297)了平均数和方差发生了变化. 请你尝试将这些
“(cid:3215)(cid:2005)”重新(cid:2822)列一下，使各组平均数最大，再将这些“(cid:3215)(cid:2005)”重新(cid:2822)列，使
各组方差最小.
问题解决
12. 一个中学(cid:4586)(cid:833)(cid:6899)的 20 (cid:1360)(cid:1881)(cid:6899)(cid:1408)的(cid:6326)(cid:7220)（(cid:1261)位：cm）如图所示，你能大(cid:5297)(cid:869)计出
这些(cid:6899)(cid:1408)的平均(cid:6326)(cid:7220)吗？能用一种简(cid:935)的方法计(cid:4779)这些(cid:6899)(cid:1408)的平均(cid:6326)(cid:7220)吗？
(cid:4586)(cid:833)(cid:6899) 2(cid:17) (cid:1360)(cid:1881)(cid:6899)(cid:1408)(cid:6326)(cid:7220)(cid:2545)(cid:1094)
(cid:6326)(cid:7220)/cm
175
174
173
172
171
170
169
168
167
166
165
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11121314151617181920
（第 12 题）
13. 用直尺(cid:3646)量你的“拃长”，连(cid:4958)(cid:3646)量 10 (cid:3411)，计(cid:4779)这 10 (cid:3411)“拃长”的平均数，这
样你就有了一把(cid:5293)(cid:2242)的“尺(cid:2005)”了，试用这把“尺(cid:2005)”(cid:3646)量课桌的长度. 你还能
在(cid:5293)(cid:2242)的(cid:6326)上找到其他的“尺(cid:2005)”吗？
14. 某(cid:1288)用(cid:5033)头分(cid:5897)(cid:3131)分(cid:5897)某种鱼(cid:5033)头（每个(cid:5033)头的标准质量为 207 g）. 为了(cid:4387)(cid:2829)分(cid:5897)
质量，(cid:6047)(cid:1288)决定定(cid:3120)对(cid:5033)头的质量进行(cid:2714)样检(cid:3210)，并(cid:5947)定(cid:2714)检(cid:791)品的平均质量与
标准质量相差大于 5 g 或(cid:5033)头质量的标准差大于 8 g 时，就(cid:5987)为(cid:6047)分(cid:5897)(cid:3131)(cid:6402)行不正
常，将对它进行检(cid:958). 现(cid:2714)取了 20 个(cid:5033)头，它们的质量（(cid:1261)位：g）如下：
73第三章
(cid:2973)(cid:2806)的(cid:1132)(cid:3170)
200，205，208，212，223，199，193，208，204，200，
208，201，215，190，193，206，215，198，206，216.
(cid:6047)分(cid:5897)(cid:3131)(cid:6402)行是否正常？
15. 小明想(cid:6076)(cid:3210)某(cid:7220)(cid:6452)(cid:1053)(cid:6265)入(cid:1328)处每(cid:1849)的(cid:3540)车流量（(cid:1261)位：(cid:6362)），一(cid:1849)，他(cid:816)上(cid:1253) 8 时(cid:5296)
11 时在(cid:6047)入(cid:1328)处每隔相等的一段时间做一(cid:3411)(cid:4946)计，共(cid:4946)计了 8 (cid:3411)，数据如下：
记(cid:2376)的次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第(cid:697)次 第八次
3 min 内通过
51 50 64 62 58 55 55 53
的(cid:3540)(cid:6332)数量
试(cid:869)计这(cid:1849)上(cid:1253)这 3 h 内共有多少车(cid:3411)(cid:6448)过(cid:6047)入(cid:1328).
※16. 小明和小(cid:797)(cid:2066)去(cid:2290)的(cid:7117)(cid:7100)、(cid:2964)(cid:5170)和其他(cid:2947)出都分别是 3 600 (cid:1035)、1 200 (cid:1035)、7 200(cid:1035)，
小明(cid:2066)(cid:813)(cid:2290)这三(cid:7050)(cid:2947)出(cid:3467)去(cid:2290)(cid:922)(cid:3411)增长了 10(cid:38) ，20(cid:38) ，30(cid:38) ，小(cid:797)(cid:2066)(cid:813)(cid:2290)的这三
(cid:7050)(cid:2947)出(cid:3467)去(cid:2290)(cid:922)(cid:3411)增长了 20(cid:38)，30(cid:38) ，10(cid:38) . 小明和小(cid:797)(cid:2066)(cid:813)(cid:2290)的(cid:2484)(cid:2947)出(cid:3467)去(cid:2290)
增长的(cid:4360)分数相等吗？它们分别是多少？
74(cid:1491)(cid:724)(cid:1762)(cid:2250)(cid:1838)(cid:1849)(cid:3102)(cid:3927)
(cid:1491)(cid:724)(cid:1762)(cid:2250)(cid:1838)(cid:1849)(cid:3102)(cid:3927)
我(cid:5942)到长(cid:3554)去
出(cid:2240)，长(cid:3554)(cid:2784)(cid:3927)的.
我(cid:5942)到(cid:3431)(cid:3518)去工
作几(cid:1849)，(cid:3431)(cid:3518)也很(cid:3927).
长(cid:3554)和(cid:3431)(cid:3518)，哪个(cid:1762)
(cid:2250)(cid:1838)(cid:1849)(cid:3102)(cid:3927)？不(cid:1905)考(cid:2083)一
下 7，8 (cid:3109)(cid:843)的数据(cid:1378)！
××××(cid:2290) 7 (cid:3109)××(cid:1762)(cid:2250)
(cid:3014)(cid:3120)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (cid:256)
(cid:4829)别
平(cid:1705)(cid:3489)(cid:3742) / (cid:326) 25 26 26 28 27 29 27 30 32 28 (cid:256)
(cid:3108)(cid:7220)(cid:3489)(cid:3742) / (cid:326)
议一议
（1）(cid:2390)(cid:1470)(cid:801)体(cid:1096)(cid:3927)(cid:2582)(cid:5952)的(cid:1666)(cid:4873)有哪些？我们可以在上述小明设计的表格中
(cid:1817)补哪些数据？
（2）如何(cid:1156)定(cid:6432)(cid:2375)的标(cid:1102)进行比较？
（3）为作出(cid:2055)(cid:5946)的判(cid:2994)，我们该(cid:2950)(cid:6967)哪个时间段内这两个(cid:1762)(cid:2250)的相关数据？
75综合与实践
(cid:1491)(cid:724)(cid:1762)(cid:2250)(cid:1838)(cid:1849)(cid:3102)(cid:3927)
做一做
以小组为(cid:1261)位(cid:1356)作完成下(cid:1141)任(cid:1196)：
（1）(cid:1156)定(cid:6432)(cid:2375)的比较标(cid:1102).
（2）(cid:2950)(cid:6967)(cid:3197)段时间内几个(cid:1762)(cid:2250)的相关数据.
（3）对(cid:6076)(cid:3210)数据进行处理，并完成(cid:6076)(cid:3210)(cid:2705)(cid:1399).
（4）进行全(cid:4141)交流.
议一议
各组的结果一(cid:5297)吗？如果不一(cid:5297)，(cid:1300)(cid:1666)是什么？
习题
生活中还有一些问题，与“哪个(cid:1762)(cid:2250)(cid:1838)(cid:1849)(cid:3102)(cid:3927)”有类似的(cid:2545)(cid:1094)，(cid:759)(cid:6986)要制定标准
进行(cid:3467)(cid:6359). 如：你能设法(cid:2950)(cid:6967)(cid:951)(cid:2508)、制定标准(cid:3151)判断(cid:5055)(cid:1678)(cid:4228)(cid:2005)(cid:4808)(cid:4143)(cid:5132)(cid:714)(cid:5135)(cid:6207)(cid:4143)(cid:1408)(cid:4633)
(cid:3467)和(cid:7036)(cid:2420)(cid:6074)(cid:3102)适合得分后(cid:1276)这个位置吗？……组成(cid:1059)(cid:6234)小组，选择某个(cid:2582)(cid:1059)(cid:6234)的
问题进行研究，并形成(cid:6076)(cid:3210)(cid:2705)(cid:1399)，进行(cid:4141)(cid:4895)交流.
761
图形的平(cid:4648)
第(cid:1662)章(cid:1) (cid:1679)(cid:2382)(cid:4362)(cid:2289)(cid:4648)(cid:705)(cid:3005)(cid:6337)
在小学的学(cid:760)中，我们已经(cid:2582)知了生活中的平移、旋转现(cid:6134)，并在方格纸
上(cid:5987)(cid:6018)了图形的平移和旋转，会(cid:6402)用平移和旋转在方格纸上设计(cid:4773)(cid:1261)的图案.
本章将在小学学(cid:760)的(cid:1779)(cid:4521)上从图形变(cid:1233)的角度去进一步(cid:5987)(cid:6018)平移和旋转，
探索平移、旋转的(cid:1779)本性质，(cid:5987)(cid:6018)并(cid:3413)(cid:6198)平移、中心对称在自然(cid:4237)和现实生活
中的(cid:2308)用.
学习目标
经(cid:2790)平(cid:4430)与(cid:4297)(cid:4872)的(cid:3499)(cid:3662)(cid:2340)(cid:4492)(cid:4521)的(cid:2135)(cid:1522)，发展(cid:2659)(cid:2392)(cid:2101)(cid:3154)
探索平(cid:4430)与(cid:4297)(cid:4872)的(cid:2319)(cid:1320)性质
探索(cid:3950)形的平(cid:4430)与(cid:4950)(cid:1364)(cid:1358)(cid:2245)(cid:4782)(cid:2392)的(cid:2098)(cid:4131)
(cid:4666)(cid:3389)(cid:2101)(cid:1460)(cid:258)(cid:2115)(cid:3117)(cid:258)(cid:1551)(cid:4193)(cid:258)(cid:1985)(cid:2708)(cid:1706)能力
77第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
1
(cid:1679)形的平(cid:4648)
图 4-1
（1）你在(cid:4227)(cid:5949)上看过(cid:1880)(cid:6402)(cid:6207)场上的(cid:7058)(cid:1874)(cid:833)式吗？(cid:2375)我(cid:1678)(cid:6402)(cid:1199)(cid:1408)(cid:1860)(cid:1083)后，
五(cid:3041)(cid:4890)(cid:3011)(cid:2407)(cid:2407)(cid:1252)起时，(cid:1678)(cid:3011)做了怎样的移(cid:1199)？(cid:1678)(cid:3011)的形状和大小是否发生了改
变？
（2）小明(cid:2066)的(cid:2830)(cid:2722)(cid:4692)上(cid:6171)(cid:4428)一(cid:2280)“中(cid:1678)(cid:1279)”的(cid:4692)(cid:5385)，(cid:2375)(cid:2830)(cid:1199)(cid:2830)(cid:2722)(cid:4692)时，(cid:4692)
(cid:5385)在做怎样的移(cid:1199)？(cid:4692)(cid:5385)的形状和大小是否发生了改变？
（3）在平面内，将一个图形沿(cid:4428)(cid:3197)个方向移(cid:1199)，移(cid:1199)前后的图形是全等图
形吗？
在平面内，将一个图形沿(cid:3197)个方向移(cid:1199)一定的距离，图形的这种变(cid:1233)称为
平(cid:4648)（t r a n s l a t i o n ）. 由于一个图形和它经过平移所得到的图形是全等形，(cid:1666)此
平移不改变图形的形状和大小. E
如图 4-2，四边形 ABCD 沿直线 AE 的方向 H
A F
平移，平移的距离为线段 AE 的长，得到四边形 G
D
EFGH. 点 A，B，C，D 分别平移到了点 E，F，
B C
G，H. A 与 E 是一组对(cid:2308)点；AB 与 EF 是一组对
图 4-2
(cid:2308)线段；∠BAD 与∠FEH 是一组对(cid:2308)角.
你还能从图 4-2 中找出其他的对(cid:2308)点、对(cid:2308)线段、对(cid:2308)角吗？
781
图形的平(cid:4648)
想一想
（1）在图 4-2 中，线段 AE，BF，CG，DH 分别是对(cid:2308)点所连成的线段，
它们之间有怎样的关系？
（2）在图 4-2 中任意选一组对(cid:2308)线段，这两条线段之间有怎样的关系？
（3）在图 4-2 中任意选一组对(cid:2308)角，这两个角之间有怎样的关系？
议一议
（1）若点 P， 是边 AD 上的两点（P 与 不重(cid:1356)），你能在图 4-2 中确
定四边形 ABCD 经过平移后所得到的对(cid:2308)点 P′， ′的位置吗？你是怎样确
定的？
（2）连接 PP′， ′，你发现 PP′与 ′之间有怎样的关系？由此你得
到什么结论？
（3）如果将四边形 ABCD 沿直线 BC 的方向向(cid:1343)平移，平移后得到四边形
EFGH，其中对(cid:2308)线段 BC 与 FG 有怎样的关系？由此你又得到什么结论？
一(cid:5322)地，我们可以得到：
一个图形和它经过平移所得的图形中，对(cid:2308)点所连的线段平行（或在同一
条直线上）且相等；对(cid:2308)线段平行（或在同一条直线上）且相等，对(cid:2308)角相等.
例 1 如图 4-3 所示，△ABC 沿(cid:2097)线 X Y 的
方向平移一定距离，△DEF 为平移后的图形. Y
D
找出图中三组平行且相等的线段和一组全等三 X
角形. A E
F
解：如图 4-3，点 A，B，C 的对(cid:2308)点分别
B C
为点 D，E，F，(cid:1666)为经过平移，对(cid:2308)线段平行
（或在同一条直线上）且相等，所以 AB∥DE， 图 4-3
BC∥EF，AC∥DF，且 AB = DE，BC = EF，
AC = DF.
79第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
由于平移不改变图形的形状和大小，所以△ABC ≌ △DEF.
图 4-3 中还有哪些
平行且相等的线段？
随堂练习
1. 举出现实生活中平移的一些实例.
2. 如图，△DEF 是△ABC 经过平移得到的，∠ABC = 33°，∠ACB = 70°，求△DEF
各角的度数.
D
B
A D
F
C
B C E F A E
（第 2 题） （第 3 题）
3. 如图，点 A，B，C，D，E，F 都在方格纸的格点上，你能平移线段 AB，使得 AB
与 CD 重(cid:1356)吗？你能平移线段 AB，使得 AB 与 EF 重(cid:1356)吗？
习题 4.1
知识技能
A A′
1. 如图，五边形 A(cid:258)B(cid:258)C(cid:258)D(cid:258)E(cid:258)是五边
形 ABCDE 平移后的图形，请(cid:2761)出 B E B′ E′
对应点、对应线段、对应角及平移
C D C′ D′
的方(cid:1364)，并量出平移的(cid:6256)(cid:4623). （第 1 题）
D C
数学理解
C′
A
2. 如图，六边形的三条对角线将(cid:6047)六边形分成六个全等 B
的三角形，找出△ABD 经过平移后能(cid:1845)得到的三角
A′ B′
形，并说出平移的方(cid:1364)和(cid:6256)(cid:4623). （第 2 题）
801
图形的平(cid:4648)
问题解决
3. 如图所示的图案可以看做是由一个正方形和两个等边三
角形组成的“基本图形”经过怎样的平移得到的？在
图中标出平移的方(cid:1364)，并量出平移的(cid:6256)(cid:4623).
（第 3 题）
如图 4-4，经过平移，线段 AB 的端点 A 移到了点 A D
D，你能画出线段 AB 平移后的图形吗？与同伴交流.
B
图 4-4
例 2 如图 4-5，将△ABC 进行平移，使它的顶点 A 平移到点 D，画出平
移后的三角形.
(cid:1132)(cid:3170)：设顶点 B，C 分别平移到了点 E，F，根据“经过平移，对应点所连
的线段平行（或在同一条直线上）且相等”，可知线段 BE，CF 与 AD 平行且
相等.
A D
A D
C F
C
B E
B
图 4-5 图 4-6
解：如图 4-6，过点 B，C 分别作线段 BE，CF，使 BE∥CF∥AD，BE =
CF = AD，连接 DE，DF，EF，△DEF 就是△ABC 平移后的图形.
议一议
（1）在例 2 中，还有其他方法画出平移后的三角形吗？与同伴进行交流.
（2）确定一个图形平移后的位置，(cid:6932)(cid:6986)(cid:5942)(cid:1300)来的位置外，还(cid:6986)(cid:5942)什么条(cid:840)？
81第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
例 3 如图 4-7，将字母“A”按(cid:4791)(cid:1856)所(cid:2761)的方向平移 3 cm，画出平移后
的图形.
3 cm
图 4-7 图 4-8
解：在字母“A”上找出关(cid:6788)的 5 个点（如图 4-8 所示），分别过这 5 个
点按(cid:4791)(cid:1856)所(cid:2761)的方向画 5 条长 3 cm 的线段，将所画线段的另 5 个端点按(cid:1300)来
的方式连接，即可得到字母“A”平移后的图形.
随堂练习
1. 如图，将△ABC 进行平移，使它的边 AB 平移到 EF，画出平移后的三角形，你能
(cid:4940)出几种画法？
A E
B C F
（第 1 题） （第 2 题）
2. 将图中的字母“N ”按(cid:3509)平方向向(cid:1343)平移 4 cm，画出平移后的图形.
习题 4.2
知识技能
1. 线段 CD 是线段 AB 平移后的图形，点 D 是点 B 的对应点，画出线段 AB.
C
B
D
（第 1 题）
821
图形的平(cid:4648)
2. 如图，经过平移，五边形的顶点 A 移到 A
了点 F . 画出平移后的五边形. F
（第 2 题）
问题解决
3. 平移△ABC，使得边 AB 移到 DE 的位置. A
下面是小(cid:1144)的作(cid:714)，他的做法完全正确，
可由于不小心将一(cid:1668)(cid:1819)(cid:3514)(cid:3576)(cid:3200)了作(cid:714)本，
B D
请设法帮小(cid:1144)(cid:5866)全平移(cid:1170)后的△ABC 和
△DEF.
F
（第 3 题）
想一想
在如图 4-9 所示的直角(cid:1711)标系中，
点 A 的(cid:1711)标为（- 2，1）. y
4
（1）将点 A 的(cid:3383)(cid:1711)标加 3，(cid:4907)(cid:1711)标 3
2
A
(cid:948)(cid:2759)不变，得到点 A 1 ，点 A 1 与点 A 相比 1
有什么变(cid:1233)？ -4-3-2-1 O 1 2 3 4 x
-1
（2）将点 A 沿 y (cid:6345)方向向下平移 3 个 -2
-3
(cid:1261)位长度，点 A 的(cid:3383)(cid:1711)标、(cid:4907)(cid:1711)标分别
-4
有什么变(cid:1233)？(cid:1080)出平移后得到的点 A 的
2 图 4-9
(cid:1711)标.
议一议
（1）将直角(cid:1711)标系中的点沿 x (cid:6345)方向向(cid:1343)（或向(cid:2235)） 平移 h（h > 0）个(cid:1261)
位长度，平移后的点的(cid:1711)标有什么变(cid:1233)？
（2）将直角(cid:1711)标系中的点沿 y (cid:6345)方向向上（或向下）平移 k （k > 0）个(cid:1261)
位长度，平移后的点的(cid:1711)标有什么变(cid:1233)？与同伴进行交流.
83第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
例 4 如图 4-10，点 A 的(cid:1711)标为（- 3，4），点 B 的(cid:1711)标为（3，2），将
线段 AB 沿 x (cid:6345)方向向(cid:2235)平移 4 个(cid:1261)位长度，得到线段 A′B′，分别求点 A′与
B′的(cid:1711)标，并画出线段 A′B′.
y y
5 5
A A' A
4 4
3 3
2 B B' 2 B
1 1
-8-7-6-5-4-3-2-1 O 1 2 3 4 5 x -8-7-6-5-4-3-2-1 O 1 2 3 4 5 x
-1 -1
-2 -2
-3 -3
-4 -4
-5 -5
图 4-10 图 4-11
解：将线段 AB 沿 x (cid:6345)方向向(cid:2235)平移 4 个(cid:1261)位长度，得到线段 A′B′，点 A′，
B′的(cid:1711)标分别为 A′（- 3 - 4，4），B′（3 - 4，2），即 A′（- 7，4），B′（- 1，2）.
作出点 A′（- 7，4），B′（- 1，2），连接 A′B′（如图 4-11）.
线段 A′B′就是(cid:5942)求画的线段 .
做一做
如图 4-12，在直角(cid:1711)标系中，△ABC A y
5
经过平移后得到△DEF 和△MNG. 已知点 4
3
A，B，C，F，N 的(cid:1711)标分别为（- 3，5）， C
2
B
（- 5，2），（- 1，3），（4，3），（- 5，- 3）， 1
-5-4-3-2-1 O 1 2 3 4 5 x
求点 D，E，M，G 的(cid:1711)标，并画出△DEF -1
-2
和△MNG .
-3
-4
-5
图 4-12
841
图形的平(cid:4648)
随堂练习
1. 在直角(cid:1711)标系中，已知 A，B 两点的(cid:1711)标分别为 A（3，- 2），B（- 1，- 3）.
（1）(cid:1080)出点 A 向(cid:1343)平移 6 个(cid:1261)位长度后所得点 A′的(cid:1711)标；
（2）(cid:1080)出点 B 向下平移 3.5 个(cid:1261)位长度后所得点 B′的(cid:1711)标.
2. 如图，点 A，B 的(cid:1711)标分别为（- 3，- 2），（- 1，2）.
（1）将线段 AB 沿 x (cid:6345)方向向(cid:1343)平移 4 y
4
个(cid:1261)位长度得到线段 CD，分别求
3
B
点 C，D 的(cid:1711)标，并在该直角(cid:1711)标 2
1
系中画出线段 CD；
-4-3 -1 O 1 2 3 4 5 x
（2）将线段 AB 沿 y (cid:6345)方向向下平移 2
-1
个(cid:1261)位长度得到线段 EF，分别求 A -2
-3
点 E，F 的(cid:1711)标，并在该直角(cid:1711)标
-4
系中画出线段 EF.
（第 2 题）
习题 4.3
知识技能
1. 图中的“鱼”是将(cid:1711)标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，-1），（3，0），
（4，-2），（0，0）的点用线段(cid:922)(cid:3411)连接(cid:5099)成的.
y
4
3
2
1
O 2 3 5 6 7 8 9 10 x
-1
-2
（第 1 题）
（1）如果图中“鱼”的每个“顶点”的(cid:3383)(cid:1711)标保持不变，(cid:4907)(cid:1711)标分别(cid:1107) 3，所
得的图案与原图案相(cid:3467)有什么变化？
（2）如果图中“鱼”的每个“顶点”的(cid:3383)(cid:1711)标分别加 5，(cid:4907)(cid:1711)标保持不变，所
得的图案与原图案相(cid:3467)有什么变化？
85第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
2. 如图，(cid:6693)(cid:4728)图案的 5 个顶点的(cid:1711)标分别是 y
（0，1），（4，1），（5，1.5），（4，2）， 3
（0，2）. 将(cid:6693)(cid:4728)图案中各个点的(cid:3383)(cid:1711)标保 2
（5，1.5）
持不变，(cid:4907)(cid:1711)标分别(cid:1107) 2，所得图案与原 1
图案相(cid:3467)有什么变化？
O 1 2 3 4 5 x
-1
（第 2 题）
数学理解
3. 四边形的顶点(cid:1711)标分别为 A（1，8），B（0，6），C（3，4），D（3，7）. 将四边
形 ABCD 平移后得到的四个对应顶点的(cid:1711)标可能分别是 A(cid:258)（1，5），B(cid:258)（0，3），
C(cid:258)（3，1），D(cid:258)（3，4）吗？可能分别是 A(cid:258)（8，8），B(cid:258)（7，6），C(cid:258)（9，4），
D(cid:258)（3，7）吗？
4. 如图，点 A 的(cid:1711)标为（- 3，- 2），(cid:317)A 的(cid:1255)(cid:2399)为 2，将 (cid:317)A 沿 y 轴方(cid:1364)(cid:1364)上平
移 4 个(cid:1261)位长度得到 (cid:317)A . 求点 A 的(cid:1711)标，并画出 (cid:317)A .
1 1 1
y
5
4
3
2
1
-5-4-3-2-1 O 1 2 3 4 5 x
-1
A -2
-3
-4
-5
（第 4 题）
联系拓广
5. 如图，在直角(cid:1711)标系中，正方形 ABCD 的顶点 A 与原点
y
O 重合，点 B 的(cid:1711)标是（4，0）；正方形 EFGH 的边长
为 2，顶点 E 与 D 重合，点 H 在 y 轴上. H G
F
（1）将正方形 ABCD 沿(cid:1711)标轴方(cid:1364)平移，当点 A 与点 E D( E) C
重合时，正方形 ABCD 平移的(cid:6256)(cid:4623)是多少？这时点
C 到(cid:6394)点 C 1 处，点 C 1 的(cid:1711)标是什么？ O ( A) B x
（2）将正方形 EFGH 沿(cid:1711)标轴方(cid:1364)平移，当点 F 与点
（第 5 题）
C 重合时，正方形 EFGH 平移的(cid:6256)(cid:4623)是多少？点 G
到(cid:6394)点 G 处，点 G 的(cid:1711)标是什么？
1 1
861
图形的平(cid:4648)
图 4-13 中的“(cid:7251)”(cid:264)是将(cid:1711)标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），
（5，-1），（3，0），（4，-2），（0，0）的点用线段依次连接而成的.
y
5
4
3
2
1
(cid:264)
-1 O 2 3 5 6 7 8 9 10 x
-1
-2
-3
-4
-5
图 4-13
先将图中的“(cid:7251)”(cid:264)向下平移 2 个(cid:1261)位长度，(cid:1075)向(cid:1343)平移 3 个(cid:1261)位长度，得
到新“(cid:7251)”(cid:265).
（1）在图 4-13 所示的直角(cid:1711)标系中画出“(cid:7251)”(cid:265).
（2）能否将“(cid:7251)”(cid:265)看成是“(cid:7251)”(cid:264)经过一次平移得到的？如果能，请(cid:2761)出
平移的方向和平移的距离，并与同伴交流.
（3）在“(cid:7251)”(cid:264)和“(cid:7251)”(cid:265)中，对(cid:2308)点的(cid:1711)标之间有什么关系？
改变“(cid:7251)”(cid:264)(cid:3108)(cid:1146)的平移方向（(cid:815)沿(cid:1711)标(cid:6345)方向）和平移距离，(cid:1075)试一
试，并与同伴交流.
做一做
先将图 4-13 中“(cid:7251)”(cid:264)的每个“顶点”的(cid:3383)(cid:1711)标分别加 2，(cid:4907)(cid:1711)标(cid:948)(cid:2759)不
变，得到“(cid:7251)”(cid:266)；(cid:1075)将“(cid:7251)”(cid:266) 的每个“顶点”的(cid:3383)(cid:1711)标(cid:948)(cid:2759)不变，(cid:4907)(cid:1711)标
分别(cid:1107) 3，得到“(cid:7251)”(cid:267). “(cid:7251)”(cid:267) 与(cid:1300)来的“(cid:7251)”(cid:264)相比有什么变(cid:1233)？能否将
“(cid:7251)”(cid:267) 看成是(cid:1300)来的“(cid:7251)”(cid:264)经过一次平移得到的？与同伴进行交流.
如果将“(cid:7251)”(cid:264)的每个“顶点”的(cid:3383)(cid:1711)标分别加 2，(cid:4907)(cid:1711)标分别(cid:1107) 3，得到
的“(cid:7251)”与“(cid:7251)”(cid:267) 相比，你发现了什么？
87第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
议一议
一个图形依次沿 x (cid:6345)方向、y (cid:6345)方向平移后所得图形与(cid:1300)来的图形相比，
位置有什么变(cid:1233)？它们对(cid:2308)点的(cid:1711)标之间有怎样的关系？
一个图形依次沿 x (cid:6345)方向、y (cid:6345)方向平移后所得图形，可以看成是由(cid:1300)
来的图形经过一次平移得到的.
例 (cid:22) 如图 4-14，点 A，B，C 的(cid:1711)标分别为 A（1，- 1），B（3，1），
C（2，3），将△ABC 平移后得到△A′B′C′，已知点 A 平移到点 A′（- 3，1）.
（1）(cid:1080)出 B′，C′两点的(cid:1711)标；
（2）画出△A′B′C′.
y
y
C′
5 5
4 4
C B′ C
3 3
2 2
B B
A′（-3，1） 1 A′（-3，1） 1
-3 -2 -1 O 1 3 x -3 -2 -1 O 1 3 x
-1 A -1 A
图 4-14 图 4-15
(cid:1132)(cid:3170)：点 A（1，- 1）平移到点 A(cid:258)（- 3，1）时，(cid:3383)(cid:1711)标(cid:1107)小了 4，(cid:4907)(cid:1711)标
增加了 2，所以 B(cid:258)，C(cid:258)两点的(cid:3383)(cid:1711)标(cid:3467) B，C 两点的(cid:3383)(cid:1711)标(cid:759)应分别(cid:1107)小 4，
(cid:5099)(cid:4907)(cid:1711)标分别增加 2.
解：（1）点 B' 的(cid:1711)标为（3 - 4，1 + 2），即（- 1，3）；点 C′的(cid:1711)标为
（2 - 4，3 + 2），即（- 2，5）.
（2）画出点 B'，C'，分别连接 A'B'，B'C'，C'A'（如图 4-15），△A′B′C′
就是所求的三角形.
881
图形的平(cid:4648)
做一做
图 4-16 中的图案是从一个正方形中(cid:2766)去
C y
7
一个半(cid:1683)和一个等(cid:5257)直角三角形得到的. 已知
6
这个图案上的点 M（0，3）经过平移后的对 D 5 B
4
(cid:2308)点是 M ′（5，0）.
A 3 M
（1）分别(cid:1080)出点 A，B，C，D 平移后得到 2
1
的点 A′，B′，C′，D′的(cid:1711)标. -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
（2）画出该图案平移后的图案. 图 4-16
（3）说明上述图案是通过怎样的平移得到
的，计算平移的距离，并与同伴交流.
随堂练习
1.（1）在直角(cid:1711)标系中(cid:2849)出点 A（6，0），B（10，3），C（9，1），D（12，0），
E（9，- 1），F（10，- 3），然后用线段依次连接 A，B，C，D，E，F，A 各点；
（2）将（1）中所画图形先向(cid:2235)平移 12 个(cid:1261)位长度，(cid:1075)向上平移 5 个(cid:1261)位长度，画
出第二次平移后的图形；
（3）如何将（1）中所画图形经过一次平移得到（2）中所画图形？平移前后对(cid:2308)点
的(cid:3383)(cid:1711)标有什么关系？(cid:4907)(cid:1711)标呢？
2. 已知△AOC 的顶点(cid:1711)标分别为 A（- 3，0），O（0，0），C（- 1，3），将△AOC
平移后顶点 A 的对(cid:2308)点是 A′（0，- 1），分别(cid:1080)出其他对(cid:2308)顶点的(cid:1711)标.
习题 4.4
知识技能
1.（1）在直角(cid:1711)标系中(cid:2849)出点 A（- 8，7），B（- 7，3），C（- 6，7），
D（- 5， 3），E（- 4，7），并将它们(cid:922)(cid:3411)连接起(cid:3151)；
（2）将（1）中所画图形(cid:1039)(cid:1364)(cid:1343)平移 5 个(cid:1261)位长度，再(cid:1364)下平移 5 个(cid:1261)位长
度，画出第(cid:772)(cid:3411)平移后的图形；
89第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
（3）如何将（1）中所画图形经过一(cid:3411)平移得到（2）中所画图形？平移(cid:1170)后对
应点的(cid:3383)(cid:1711)标有什么关系？(cid:4907)(cid:1711)标呢？
2. 如图，长方形的顶点(cid:1711)标分别为
y
C B
A（7，3），B（7，5），C（2，5）， 5
4
D（2，3），将点 A，B，C，D 的(cid:3383)
3 D A
(cid:1711)标分别(cid:1107) 3，(cid:4907)(cid:1711)标分别(cid:1107) 2，再
2
将所得的点用线段(cid:7051)(cid:3411)连接起(cid:3151)，
1
你得到一个怎样的图形？它可以看 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 x
成是长方形 ABCD 经过怎样的平 -1
移得到的？
（第 2 题）
数学理解
3. 如图，已知 A，B 两点的(cid:1711)标分别为 A（1，4），B（3，1），把线段 AB 平移，使
它的一个(cid:4715)点在点 C（1，1）处，求出点 D 的(cid:1711)标，并画出平移后的线段 CD.
y y
A
4
4
(cid:265) 3
3
2
2 1
B
1 C -5-4 -3-2-1 O 1 2 3 4 5 x
-1
(cid:264)
-2 -1 O 1 2 3 x -2
-1 -3
-2 -4
（第 3 题） （第 4 题）
4. 如图，图(cid:264)与图(cid:265)对应“顶点”的(cid:1711)标之间有什么关系？图(cid:265)可以由图(cid:264)经过
怎样的变化(cid:5099)得到？
5. △ABC 三个顶点的(cid:1711)标分别为 A（0，3），B（- 1，0），C（1，0）. 小(cid:4890)把
△ABC 平移后得到了△A(cid:258)B(cid:258)C(cid:258)，并写出了它的三个顶点的(cid:1711)标 A(cid:258)（0，0），
B(cid:258)（- 2，- 3），C(cid:258)（2，- 3）.
（1）你(cid:5987)为小(cid:4890)所写的三个顶点的(cid:1711)标正确吗？
（2）如果小(cid:4890)所写三个顶点的(cid:4907)(cid:1711)标都正确，三个顶点的(cid:3383)(cid:1711)标中(cid:1334)有一个正
确，那么你能帮小(cid:4890)正确写出三个顶点的(cid:1711)标吗？
902
图形的(cid:3005)(cid:6337)
2
(cid:1679)形的(cid:3005)(cid:6337)
（1）说出上面情(cid:1810)中的转(cid:1199)现(cid:6134)，它们有什么共同特征？
（2）在上图中，(cid:6655)表的(cid:2761)针、(cid:6655)摆在转(cid:1199)过程中，其形状、大小、位置是
否发生改变？(cid:3540)(cid:6332)方向(cid:4392)、(cid:2681)(cid:2660)以及(cid:5827)(cid:2277)的转(cid:1199)呢？
（3）在平面内，将一个图形绕一个定点沿(cid:3197)个方向转(cid:1199)一个角度，转(cid:1199)前
后的图形是全等图形吗？
在平面内，将一个图形绕一个定点按(cid:3197)个方向转(cid:1199)
A D
一个角度，图形的这种变(cid:1233)称为(cid:3005)(cid:6337)（r o t a t i o n ），这个
定点称为(cid:3005)(cid:6337)中(cid:2423)，转(cid:1199)的角称为(cid:3005)(cid:6337)角. (cid:1666)为一个图
形和它经过旋转所得到的图形是全等形，(cid:1666)此旋转不改 C
E F
变图形的形状和大小.
B
如图 4-17， △ABC 绕点 O 按顺时针方向旋转一个
角度，得到 △DEF，点 A 旋转到了点 D. 点 A 与点 D
是一组对(cid:2308)点，线段 AB 与线段 DE 是一组对(cid:2308)线段， O
∠BAC 与∠EDF 是一组对(cid:2308)角. 在这一旋转过程中，点 图 4-17
O 是旋转中心，∠AOD 是旋转角.
91第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
想一想
你还能从图 4-17 中找出其他的对(cid:2308)点、对(cid:2308)线段、旋转角吗？
做一做
如图 4-18，两张(cid:6441)明纸上的四边形 ABCD 和四边形 EFGH 完全重(cid:1356)，
在纸上选取旋转中心 O， 并将其固定，(cid:2690)其中一张纸片绕点 O 旋转一定角度
（如图 4-19）.
O O
A(cid:708)E(cid:709) D(cid:708)H(cid:709) D A
B(cid:708)F(cid:709) C(cid:708)G(cid:709) B C
图 4-18 图 4-19
92
E
H
F
G
（1）(cid:5946)(cid:2083)图 4-19 的两个四边形，你能发现有哪些相等的线段和相等的
角？为什么？
（2）连接 AO，BO，CO，DO，EO，FO，GO，HO，你又能发现有哪些
相等的线段和相等的角？
（3）在图 4-19 中(cid:1075)取一些对(cid:2308)点，画出它们与旋转中心所连成的线段，
你又能发现什么？
改变(cid:6441)明纸上所画图形的形状，(cid:1075)试一试，并与同伴交流.
一(cid:5322)地，我们可以得到：
一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对(cid:2308)点到旋转中心的距离相
等，任意一组对(cid:2308)点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对(cid:2308)线段相
等，对(cid:2308)角相等.2
图形的(cid:3005)(cid:6337)
例 1 如图 4-20 所示，如果(cid:2690)(cid:6655)表的时针看做四边形 C F
AOBC，它绕点 O 按顺时针方向旋转得到四边形 DOEF. 在 B D
A E
这个旋转过程中：
（1）(cid:1080)出它的旋转中心和旋转角； O
（2）经过旋转，点 A，C，B 分别到(cid:6394)什么位置？ 图 4-20
（3）AO 与 DO 的长有什么关系？你还能在图 4-20 中找出相等的线段吗？
说明理由；
（4）∠AOD 与∠BOE 有什么大小关系？你还能在图 4-20 中找出相等的角
吗？说明理由.
解：（1）旋转中心是点 O，旋转角是∠AOD .
（2）点 A，C，B 分别旋转到点D，F，E .
（3）AO = DO，BO = EO，AC = DF，CB = FE.
（4）∠AOD =∠BOE，∠A =∠D，∠C =∠F，∠B =∠E，∠AOB =∠DOE.
随堂练习
1. (cid:6655)表的分针旋转一周(cid:6986)(cid:5942) 60 分(cid:6655).
（1）(cid:2761)出它的旋转中心；
（2）经过 20 分(cid:6655)，分针旋转了多少度？时针呢？
A′
B
A B′
C
（第 1 题） （第 2 题）
C
2. 如图，等(cid:5257)直角三角尺 ABC 在(cid:3509)平(cid:3256)面上绕点 C 按顺
D
时针方向旋转到 A′B′C 的位置，使 A，C，B′三点在同 E
B
一条直线上，求旋转角的度数.
F
3. 如图，四边形 ABCD 经过旋转后与四边形 ADEF 重(cid:1356).
（1）(cid:2761)出这一旋转的旋转中心和旋转角；
（2）(cid:1080)出图中相等的线段和相等的角，并说明依据. A
（第 3 题）
93第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
习题 4.5
知识技能
A
1. 如图，△ABC (cid:2763)(cid:6436)时(cid:6635)方(cid:1364)旋转得到△ADE .
E
（1）(cid:2761)出图中的旋转中心；
B
（2）(cid:2761)出△ABC 与△ADE 的对应边；
C D
（3）说出图中哪些角等于旋转角.
（第 1 题）
数学理解
2. 如图，你能(cid:4937)点 O 旋转，使得线段 AB 与线段 CD 重合吗？为什么？
B
A
C D C
O
E
D
F A B
（第 2 题） （第 3 题）
3. 如图，四边形 ABCD 是正方形，E 为 BC 边上的一点，延长 BA (cid:5296) F，使 AF =
CE，连接 DE，DF.
（1）△DAF 可以看做是△DCE (cid:6448)过旋转得到的吗？如果是， 旋转中心是哪一
点？旋转角是多少度？
（2）(cid:2761)出图中相等的线段、相等的角.
问题解决
※4. 如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，且 PA = 6，PB = B
8，PC = 10. 若将△PAC (cid:4937)点 A (cid:2763)(cid:6436)时(cid:6635)方(cid:1364)旋转后，得到
P′
△P'AB，则点 P 与点 P(cid:258)之间的(cid:6256)(cid:4623)为_ _ _ _ _ _ _ ，(cid:296)APB =
P
_ _ _ _ _ _ _ °.
A C
（第 4 题）
942
图形的(cid:3005)(cid:6337)
例 2 如图 4-21，已知线段 AB 和线段 AB 所在直线外的一点 O，画出线
段 AB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后的线段.
D
N B
45°
A O
45°
B
A O C M
图 4-21 图 4-22
解：（1）连接 OA，OB；
（2）以 OA 为一边在 OA 边的下方画∠AOC = 45°，并在 OC 上(cid:2645)取 OM = OA；
（3）以 OB 为一边在 OB 边的(cid:2235)(cid:927)画∠BOD = 45°，并在 OD 上(cid:2645)取 ON = OB；
（4）连接 MN.（如图 4-22）
线段 MN 就是线段 AB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后的线段.
例 3 如图 4-23，△ABC 绕点 C 旋转后，顶点 A 的对(cid:2308)点为点 D. 试画出
顶点 B 的对(cid:2308)点，以及旋转后的三角形.
F
D E
A D
A
B C
B C
图 4-23 图 4-24
(cid:1132)(cid:3170)：(cid:1666)为点 C 为旋转中心，点 A 与点 D 是对应点，所以∠ACD 是旋转
角. (cid:988)设顶点 B 的对应点为点 E， 则∠BCE = ∠ACD，且 CE = CB.
解：（1）连接CD；
（2）以 CB 为一边作∠BCF，使得∠BCF = ∠ACD；
（3）在(cid:2097)线 CF 上(cid:2645)取 CE = CB；
（4）连接 DE.（如图 4-24）
△DEC 就是△ABC 绕点 C 旋转后的三角形.
95第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
议一议
你还能用其他方法画出例 3 中的△DEC 吗？
想一想
在旋转过程中，确定一个图形绕一个定点旋转后的位置，(cid:6932)(cid:6986)(cid:5942)这个图形
(cid:1300)来的位置外，还(cid:6986)(cid:5942)什么条(cid:840)？
随堂练习
1. 如图，线段 AB 绕点 O 旋转后，点 A 旋转到点 A′. 画出线段 AB 绕点 O 旋转后所得
的线段.
B
A′
A O O
B C A
（第 1 题） （第 2 题）
2. 如图，画出△ABC 绕边 AB 的中点 O 旋转 180°后的图形.
习题 4.6
知识技能
1. 将一个等边三角形(cid:4937)它的一个顶点(cid:2763)(cid:6436)时(cid:6635)方(cid:1364)旋转，分别画出旋转 30°(cid:456)
60°(cid:456)90°(cid:456)120°后的图形.
2. 如图，四边形 ABCD (cid:4937)点 D 旋转，边 AD 旋转到了 ED A
D
的位置，画出旋转后的四边形.
B C
E
（第 2 题）
962
图形的(cid:3005)(cid:6337)
3. 将如图所示的图案(cid:4937)点 O (cid:2763)(cid:7051)时(cid:6635)方(cid:1364)旋转 90°，画出
旋转后的图形.
O
问题解决 （第 3 题）
※4. 如图，在直角(cid:1711)标系中，△ABC 的顶点(cid:1711)标分别 y
2
为 A（- 1，0），B（0，- 2），C（- 3，- 3）. 将
1
△ABC (cid:4937)原点 O (cid:2763)(cid:6436)时(cid:6635)方(cid:1364)旋转 90°. A
-3 -2 O 1 2 3 x
（1）写出旋转后三角形各顶点的(cid:1711)标；
（2）画出旋转后的图形. -2 B
C -3
（第 4 题）
议一议
1. 如图 4-25，正六边形 ABCDEF，它可以看做是由线段 AB 绕(cid:3197)一点按同
一方向旋转 5 次所得到的图形.
（1） 你能画出旋转中心 O 吗？
（2） 每次旋转的旋转角分别是多少度？与同伴进行交流.
A B
A B
H
F C G C
E
E D
F D
图 4-25 图 4-26
2. 如图 4-26 所示的“(cid:2362)图”，如果将 R t △ACB 看做是一个“(cid:1779)本图形”，
你能说出这个图形是通过怎样的旋转形成的吗？你能画出它的旋转中心吗？旋
转角分别是多少度？
例 4 画一个(cid:5257)长等于 3 的等(cid:5257)直角三角形 ABC，取一个锐角为 45°的三
角尺，(cid:2690)三角尺的直角顶点放在 R t △ABC 的(cid:2986)边 BC 的中点 O 处，并使三角尺
97第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
的一条直角边经过点 A，另一条直角边经过点 B（如图 4-27（1））. 将三角尺
绕点 O 按顺时针方向旋转一个角度，记三角尺的两(cid:5257)与 R t △ABC 的两(cid:5257) AB，
AC 的交点分别为 E，F（如图 4-27（2））. 在三角尺按图 4-27 所示的方式绕
点 O 旋转的过程中，线段 AE 与 CF 的长度有什么关系？OE 与 OF 的长度有什
么关系？证明你的结论.
A A
E
F
B O C B O C
（1） （2）
图 4-27
解：AE = CF，OE = OF .
证明如下：连接 AO，在△AEO 和△CFO 中，
∵ △ABC 是等(cid:5257)直角三角形，AO(cid:318)BC，垂足为点 O，
∴ ∠EAO =∠C = 45°，AO = OC，∠EOA =∠COF = 90°-∠AOF ，
∴ △AEO ≌△CFO（AS A），
∴ AE = CF，OE = OF .
想一想
在例 4 中，△COF 能否由△AOE 旋转得到？其旋转中心是哪个点？旋转
角是多少度？
随堂练习
1. 如图所示的图案可以看做是一个四边形通过几次旋转得到的？每次
(cid:6986)(cid:5942)旋转多少度？
（第 1 题）
982
图形的(cid:3005)(cid:6337)
2. 如图，如果将 △ABC 看做“(cid:1779)本图形”，分(cid:3170)这 F E
个图案是通过怎样的旋转形成的，并画出它的旋
转中心.
A D
B C
（第 2 题）
习题 4.7
知识技能
E
1. 如图，正方形 ABCD 与正方形 EFGH 的边长相等. 对于 M
A D
这个图案： N
（1）能否看成是由△AMN 经过几(cid:3411)旋转得到的？若 F H
O
能，每(cid:3411)最少旋转多少度？旋转几(cid:3411)后，(cid:935)能得
B C
到整个图案？
G
（2）能否看成是由线段 AD 经过几(cid:3411)旋转得到的呢？ （第 1 题）
数学理解
2. 如图，△ADE 是由△CBF 经过一(cid:3411)旋转得到的，请找出它的旋转中心，并求出
旋转角.
D C
F
E
A B
（第 2 题）
问题解决
3. 如图，P 是正方形 ABCD 内一点，将△ABP (cid:4937)点 B (cid:2763)(cid:7051) A D
P
时(cid:6635)方(cid:1364)旋转到△CBP(cid:258)的位置，PB = 1，求 PP(cid:258)的长.
B C
P′
（第 3 题）
99第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
3
中(cid:2423)(cid:2091)(cid:4646)
(cid:5946)(cid:2083)图 4-28 和图 4-29.
（1）在图 4-28 中，将半(cid:1683) M 绕点 O 旋转 180°后，它能与半(cid:1683) N 重(cid:1356)
吗？
（2）在图 4-29 中，将△ABC 绕点 P 旋转 180°后，它能与 △A′B′C′重(cid:1356)
吗？
B′
A
P C
N C′
O M A′
B
图 4-28 图 4-29
在平面内，如果(cid:2690)一个图形绕(cid:3197)个点旋转 180°后，能与另一个图形重
(cid:1356)，那么就说这两个图形关于这个点成中(cid:2423)对(cid:4646)（ce n t r a l s y mme t r y ），这个点
叫做对(cid:4646)中(cid:2423)（ce nt r e of s ym me t r y ）. 两个图形上，经过旋转 180°后重(cid:1356)的两
个点叫做对(cid:2308)点. 例如，在图 4-28 中，半(cid:1683) M 与半(cid:1683) N 关于点 O 成中心对
称；在图 4-29 中，△ABC 与△A′B′C′关于点 P 成中心对称，点 A 与点 A′、
点 B 与点 B′、点 C 与点 C′等都是对(cid:2308)点.
议一议
如图 4-29，连接 AA′，BB′，CC′，点 P 在线段 AA′上吗？在线段 BB′上
吗？在线段 CC′上吗？线段 AP 与 PA′，BP 与 PB′，CP 与 PC′分别有什么关
系？由此你能得出什么结论？你能说明得出这些结论的理由吗？
1003
中(cid:2423)(cid:2091)(cid:4646)
(cid:771)实上，将点 A 绕点 P 旋转 180°与点 A′重(cid:1356)，即线段 AP 绕点 P 旋转
180°与线段 A′P 重(cid:1356)，所以线段 PA 与 PA′在同一条直线上，从而点 P 在线段
AA′上，也就是线段 AA′经过点 P，且 PA = PA′，即点 P 是线段 AA′的中点.
同理，线段 BB′，CC′都经过点 P ，且 PB = PB′，PC = PC′，即点 P 是
线段 BB′，CC′的中点.
一(cid:5322)地，我们可以得到：
成中心对称的两个图形中，对(cid:2308)点的连线经过对称中心，且被对称中心
平分.
做一做
如图 4-30，已知点 A 和点 O，怎样画出点 A 关于点 O 成中心对称的对(cid:2308)
点 A′？
O
A
图 4-30
D
例 1 如图 4-31，已知四边形 ABCD 和点 O，画出四边
A C
形 A′B′C′D′，使它与四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称.
解：（1）连接 AO，BO，CO，DO； O B
（2）分别延长 AO 到 A′，BO 到 B′，CO 到 C′，DO 到 图 4-31
D′，使 OA′= OA，OB′= OB，OC′= OC，OD′= OD； D
（3）顺次连接点 A′，B′，C′，D′.（如图 4-32） A C
四边形 A′B′C′D′就是所求的四边形. B′ O
B
C′ A′
D′
图 4-32
101第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
随堂练习
1. 如图，画出 △ABC 关于点 O 成中心对称的三角形.
B
C
O O
A
（第 1 题） （第 2 题）
2. 如图是由四个等(cid:5257)直角三角形构成的图形，画出这个图形关于点 O 成中心对称的
图形.
习题 4.8
知识技能
1. (cid:2763)下列要求，画出线段 AB 关于点 O 成中心对称的线段.
（1）点 O 在线段 AB 上；
（2）点 O 在线段 AB 所在的直线外；
（3）点 O 在线段 AB 外(cid:878)在线段 AB 所在的直线上.
2. 如图，AO = DO，画出这个图形关于点 O 成中心对称的图形.
y
4
A 3
A
2
B
B 1
O C -4-3-2-1 O 1 2 3 4 x
-1
-2
-3
D
（第 2 题） （第 3 题）
数学理解
3. 如图， A，B 两点的(cid:1711)标分别为（3，2），（- 4，1），画出线段 AB 和它关于(cid:1711)
标原点 O 成中心对称的线段 A'B(cid:258).
1023
中(cid:2423)(cid:2091)(cid:4646)
(cid:5946)(cid:2083)图 4-33.
（1）图中的图形有什么共同的特征？
（2）你能将图中的一(cid:2280)图绕其上的一点旋转 180°，使旋转前后的图形完
全重(cid:1356)吗？另一(cid:2280)图呢？
图 4-33
在平面内，(cid:2690)一个图形绕(cid:3197)个点旋转 180°，如果旋转前后的图形互相重
(cid:1356)，那么这个图形叫做中(cid:2423)对(cid:4646)(cid:1679)形（ce n t r a l s y mme t r y f i gu r e ），这个点就是
它的对称中心.
议一议
图 4-34 是一个以点 O 为对称中心的中心对称图形，
在该图形上任取一点 A，你能画出点 A 关于点 O 成中心对 A
O
称的点吗？由此你发现了什么？与同伴进行交流.
图 4-34
中心对称图形上的每一组对(cid:2308)点
所连成的线段都被对称中心平分.
如图 4-35，(cid:2375)线段 AB 绕它的中点 O 旋转 180°时，它的两个端点 A 与 B
互(cid:2801)了位置，旋转后的线段与(cid:1300)线段重(cid:1356)，(cid:1666)此，线段是中心对称图形，线段
的中点是它的对称中心.
A（B） O B（A）
图 4-35
103第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
做一做
（1）举出生活中的一些中心对称图形.
（2）图 4-36 中的(cid:2664)(cid:1041)(cid:4001)，哪些(cid:4001)的(cid:4001)面图案是中心对称图形？
图 4-36
想一想
如图 4-37，点 O 是线段 AE 的中点，以点 O 为对称中心，画出与五边形
ABCDE 成中心对称的图形 AD′C′B′E（如图 4-38）. 图形 ABCDEB′C′D′是中
心对称图形吗？由此，你发现了什么？
C
B D
C
A
E
O
B
D D′
B′
A E
O C′
图 4-37 图 4-38
随堂练习
下面哪些图形是中心对称图形？
(cid:320) (cid:321) (cid:322) (cid:323) (cid:324)
1043
中(cid:2423)(cid:2091)(cid:4646)
读一读
(cid:3005)(cid:6337)对(cid:4646)(cid:1679)形
(cid:5946)(cid:2083)图 4-39 中的等边三角形，点 O 是它的角平分(cid:4915)的(cid:788)点，(cid:2098)这个三角形(cid:4937)(cid:4428)
点 O (cid:3005)(cid:6337) 120°，可以(cid:1319)(cid:4120)，(cid:3005)(cid:6337)(cid:1361)的图形与(cid:3005)(cid:6337)(cid:1170)的图形(cid:6616)合.
O O
图 4-39 图 4-40
(cid:4829)(cid:875)地，(cid:5946)(cid:2083)图 4-40 中的正六边形，点 O 是它的(cid:1071)角平分(cid:4915)的(cid:788)点，(cid:2098)这个正
六边形(cid:4937)(cid:4428)点 O (cid:3005)(cid:6337) 60°，(cid:3005)(cid:6337)(cid:1361)的图形也与(cid:3005)(cid:6337)(cid:1170)的图形(cid:6616)合.
一(cid:5322)地，如(cid:3175)(cid:2690)一个图形(cid:4937)(cid:4428)(cid:3197)一点(cid:3005)(cid:6337)一(cid:2048)角(cid:2319)(cid:1361)，能(cid:1845)与(cid:1300)(cid:3151)的图形(cid:6616)合，
(cid:6503)(cid:742)这个图形叫做(cid:3005)(cid:6337)对称图形，这个点叫做它的对称中(cid:2423)，(cid:3005)(cid:6337)的角(cid:2319)叫做(cid:3005)(cid:6337)角.
上(cid:6424)等边三角形和正六边形(cid:6544)是(cid:3005)(cid:6337)对称图形，下(cid:1141)图形也(cid:6544)是(cid:3005)(cid:6337)对称图形.
（1） （2） （3）
图 4-41
(cid:2567)一(cid:2567)，在你(cid:2022)(cid:6399)的(cid:1111)(cid:885)图形中，哪(cid:783)图形是(cid:3005)(cid:6337)对称图形？
你能设计一个(cid:3005)(cid:6337)对称图形吗？（(cid:5942)(cid:3515)它(cid:704)是中(cid:2423)对称图形）(cid:6064)你(cid:6031)一(cid:6031).
习题 4.9
知识技能
1. 在下面 26 个(cid:5422)文大写(cid:2010)(cid:3463)中，哪些(cid:2010)(cid:3463)是中心对称图形？
（第 1 题）
105第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
数学理解
2. 有的图形是轴对称图形(cid:878)不是中心对称图形，有的图形(cid:3013)是轴对称图形又是中
心对称图形. 你能分别举出一些(cid:915)(cid:2005)吗？
3. 图中画出了六(cid:1345)(cid:7091)车中的三个(cid:7091)(cid:1345)，请以点 O 为对称中心，画出六(cid:1345)(cid:7091)车的整
(cid:884)图形.
O
（第 3 题） （第 4 题）
问题解决
4. 在图中的(cid:4679)白正方形内部设计一个图案，使得设计的图案和正方形构成的整(cid:884)
(cid:3013)是中心对称图形，又是轴对称图形，并说明你所设计图案的(cid:1381)(cid:743).
4
(cid:1679)(cid:1679)形形(cid:1323)(cid:1323)(cid:1233)(cid:1233)的的(cid:4773)(cid:4773)(cid:1261)(cid:1261)(cid:2308)(cid:2308)(cid:4217)(cid:4217)
图 4-42 是由 △ABC 和 △A B C 组成的
1 1 1
A
中心对称图形. C 1 B 1
C
（1）请找出它的对称中心 P； B A 1
（2）过点 P 画一条直线 l，并画出△ABC 图 4-42
关于直线 l 成(cid:6345)对称的△A B C .
2 2 2
议一议
(cid:5946)(cid:2083)图 4-42 中 △A B C 和 △A B C ，你有什么发现？与同伴进行交流.
1 1 1 2 2 2
1064
图形(cid:1323)(cid:1233)的(cid:4773)(cid:1261)(cid:2308)(cid:4217)
想一想
（1）(cid:5946)(cid:2083)图 4-43 中的两个图形，它们有什么关系？
（2）将(cid:2235)边的图形进行怎样的变(cid:1233)可以得到(cid:1343)边的图
形？(cid:6612)用平移变(cid:1233)可以吗？(cid:6612)用旋转变(cid:1233)呢？
图 4-43
做一做
1. 如图 4-44，你能对(cid:4225)图案进行(cid:6432)(cid:2375)的(cid:6402)(cid:1199)变(cid:1233)，使它与(cid:755)图案重(cid:1356)吗？
(cid:1080)出你的操作过程.
(cid:755)
(cid:4225)
B A
图 4-44
2.（1）将图 4-43 中的(cid:2235)、(cid:1343)两图摆成图 4-45 的样
子. 在图 4-45 中，(cid:2235)上方的图形通过怎样的变(cid:1233)可以得
到(cid:1343)下方的图形？与同伴进行交流.
（2）如果将图 4-45 中的两个全等图形(cid:6948)(cid:935)放置到同
一平面上的两个不同的位置，你能通过(cid:6432)(cid:2375)的变(cid:1233)使其
中一个图形与另一个图形重(cid:1356)吗？试试看.
图 4-45
随堂练习
1. (cid:5946)(cid:2083)下面各图，分别说明是怎样将 △ABC 变成另一个与它全等的三角形的.
C A
E
B
D D
A B
A
F
C
B E C
D
（1） （2） （3）
（第 1 题） （第 2 题）
107第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
2. (cid:5946)(cid:2083)如图所示的图案，这个图案可以看做是由什么“(cid:1779)本图形”经过怎样的变(cid:1233)得
到的？
A
3. 如图，在△ABC 中，AB = AC. 请你用两个与△ABC
全等的三角形拼成一个四边形，并说明其中一个三
角形怎样(cid:6402)(cid:1199)变(cid:1233)就可得到另一个三角形. B C
（第 3 题）
习题 4.10
知识技能
1. 如图是由三个等边三角形拼成的图形，它可以看做是由其中一个等边三角形经
过怎样的变化(cid:5099)得到的？
B′
A′
C′
C
D′
B D
（第 1 题）
A
（第 2 题）
2. 如图，方格纸上的四边形 A(cid:258)B(cid:258)C(cid:258)D(cid:258)是由四边形 ABCD 经过变化得到的，试说出
它的变化过程.
3. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC . 把四边形 ABCD (cid:4937) CD 的中点 O (cid:2763)(cid:7051)时(cid:6635)
方(cid:1364)旋转 180°，请画出旋转后的图形.
A D
O
B C
（第 4 题）
（第 3 题）
数学理解
4. 如图所示的图案是由 12 个全等三角形组成的，利用平移、旋转或轴对称分(cid:3170)这
个图案的形成过程.
1084
图形(cid:1323)(cid:1233)的(cid:4773)(cid:1261)(cid:2308)(cid:4217)
在现实生活中，我们经常见到一些美丽的图案.
你能用平移、旋转或(cid:6345)对称分(cid:3170)图 4-46 中各个图案的形成过程吗？你是
怎样分(cid:3170)的？与同伴进行交流.
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
图 4-46
议一议
如图 4-47 .
（1）你能分(cid:3170)小(cid:7251) (cid:324) (cid:325) (cid:326) 分别是由 (cid:320) 经过怎样的变(cid:1233)得到的吗？
（2）小(cid:7251) (cid:320) 通过怎样的变(cid:1233)可以得到 (cid:323)（不考(cid:5693)(cid:7080)(cid:5348)）？
（3）小(cid:7251) (cid:320) 通过怎样的变(cid:1233)可以得到 (cid:321)（不考(cid:5693)(cid:7080)(cid:5348)）？还有其他方法吗？
（4）小(cid:7251) (cid:320) 通过怎样的变(cid:1233)可以得到 (cid:322) ？与同伴进行交流.
(cid:320) (cid:324) (cid:325) (cid:326)
(cid:321)
(cid:322)
(cid:323)
图 4-47
想一想
（1）图 4-48 中是否(cid:2011)在这样的两个三角形，其中一个
是由另一个通过旋转得到的？
（2）你能利用图形的变(cid:1233)说明图 4-48 的形成过程吗？
图 4-48
109第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
议一议
你能举出生活中利用图形的(cid:6345)对称、平移或旋转设计图案的实例吗？分(cid:3170)
其中一个图案的形成过程，并与同伴进行交流.
随堂练习
1. 请(cid:3413)(cid:6198)如图所示的图案，先找出组成该图案的“(cid:1779)本图
形”，然后分(cid:3170)它的形成过程.
2. 利用旋转分(cid:3170)下(cid:1141)(cid:2422)标图案，并设计一个你喜欢的(cid:2422)标.
（第 1 题）
（1） （2） （3） （4）
（第 2 题）
读一读
(cid:1150)(cid:4217)(cid:1679)形(cid:1323)(cid:1233)(cid:6010)(cid:5984)的(cid:854)(cid:5055)(cid:1679)(cid:3253)
(cid:5946)(cid:2083)图 4-49 中的图(cid:3253)，这个图(cid:3253)的特点是：它可以(cid:6448)(cid:6399)(cid:2235)上角的(cid:254)(cid:1849)(cid:7352)(cid:255)图(cid:3253)(cid:4931)
(cid:6399)(cid:1364)(cid:1343)和(cid:1364)下的平移便(cid:2410)(cid:1154)(cid:768)整幅图. (cid:2291)且在平移的(cid:6399)(cid:4654)中，(cid:254)(cid:1849)(cid:7352)(cid:255)图(cid:3253)的(cid:1848)(cid:2101)、形
状(cid:6544)(cid:704)(cid:1323)，(cid:1334)是(cid:879)(cid:5046)(cid:1319)生(cid:768)(cid:1323)(cid:1233).
（1）你能(cid:5965)(cid:6614)(cid:1061)中的道理吗？
（2）两(cid:1334)相(cid:6518)的(cid:704)同(cid:5348)的(cid:254)(cid:1849)(cid:7352)(cid:255)(cid:744)(cid:6862)(cid:5418)(cid:704)(cid:5094)(cid:5693)(cid:7080)(cid:5348)，你可以(cid:4224)(cid:1061)中的一(cid:1334)(cid:4931)(cid:6399)
(cid:2463)(cid:3240)的(cid:1323)(cid:1233)(cid:2410)(cid:1154)(cid:1331)一(cid:1334)？
图 4-49
1104
图形(cid:1323)(cid:1233)的(cid:4773)(cid:1261)(cid:2308)(cid:4217)
图 4-50 的(cid:254)(cid:3509)(cid:1060)合(cid:1519)(cid:1668)(cid:255)图(cid:3253)是(cid:4224)一个(cid:254)(cid:3509)(cid:1060)(cid:255)(cid:6448)(cid:6399)平移(cid:2410)(cid:1154)的. (cid:6503)(cid:742)(cid:1061)中的一
个(cid:254)(cid:3509)(cid:1060)(cid:255)(cid:6339)(cid:2333)(cid:1313)是(cid:2463)(cid:742)(cid:2410)(cid:1154)的(cid:1412)？实际上，一个(cid:254)(cid:3509)(cid:1060)(cid:255)(cid:6339)(cid:2333)可以(cid:4410)做是(cid:5034)(cid:3243)中一
个边(cid:6850)(cid:734) 3 的正方形（如图 4-51（1）），(cid:1039)(cid:2098)中下方(cid:3243)（(cid:4740) 3 行(cid:4740) 2 个）(cid:1364)上平移 3
个(cid:1261)(cid:879)，(cid:1075)(cid:2098)(cid:1343)上的直角三角形(cid:1364)(cid:2235)平移 3 个(cid:1261)(cid:879)便可(cid:2410)(cid:1154)（如图 4-51（2））. 有(cid:768)
(cid:3509)(cid:1060)的(cid:6339)(cid:2333)，(cid:1075)(cid:1195)上(cid:4915)(cid:3150)(cid:2291)(cid:4428)(cid:5348)（如图 4-51（3）），问题(cid:2115)(cid:5965)(cid:1093)(cid:768).
图 4-50
（1） （2） （3）
图 4-51
(cid:3413)(cid:6198)图 4-52 中的图(cid:3253)，(cid:6047)图(cid:3253)可以(cid:4410)(cid:2631)是(cid:4224)三个图(cid:3253)组(cid:2631)的，它们分别是三种(cid:704)
同(cid:7080)(cid:5348)的(cid:254)(cid:1822)(cid:5690)(cid:255)（形状、(cid:1848)(cid:2101)(cid:2041)(cid:1051)相同）.
在图中，同(cid:5348)的(cid:254)(cid:1822)(cid:5690)(cid:255)(cid:744)(cid:6862)是平移(cid:1058)(cid:4871)，所有同(cid:5348)的(cid:254)(cid:1822)(cid:5690)(cid:255)可以(cid:4224)(cid:1061)中一(cid:1334)
(cid:4931)(cid:6399)平移(cid:5099)(cid:2410)(cid:1154)；相(cid:6518)的(cid:704)同(cid:5348)的(cid:254)(cid:1822)(cid:5690)(cid:255)(cid:744)(cid:6862)可以(cid:6448)(cid:6399)(cid:3005)(cid:6337)(cid:5099)(cid:2410)(cid:1154)，(cid:1061)中，(cid:3005)(cid:6337)角
(cid:2319)(cid:734) 120°，(cid:3005)(cid:6337)中(cid:2423)(cid:734)(cid:254)(cid:1822)(cid:5690)(cid:255)(cid:1856)（(cid:2235)(cid:927)）上、(cid:5266)（(cid:1343)下(cid:5266)）上(cid:2635)(cid:5230)(cid:6242)（(cid:2235)下(cid:5230)(cid:6242)）
上的一点.
图 4-52 图 4-53
你能分(cid:3170)图 4-53 中的图(cid:3253)是如(cid:885)形(cid:2631)的吗？它是(cid:4224)哪个(cid:254)(cid:1779)(cid:3125)图形(cid:255)(cid:4931)(cid:6399)(cid:2463)(cid:3240)的
(cid:1323)(cid:1233)(cid:2410)(cid:1154)的？你能(cid:4231)出这个(cid:254)(cid:1779)(cid:3125)图形(cid:255)吗？
111第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
习题 4.11
知识技能
1. 利用角、线段等基本图形，借助旋转、平移或轴对称设计一个图案，并简述你
的设计意图.
2. 如图是 4(cid:102)4 的正方形网格，请在其中选取一个白色的小正方形并(cid:3669)(cid:7404)，使图中
(cid:7404)色部分是一个中心对称图形.
（第 2 题）
问题解决
3. (cid:2763)下面的(cid:3430)(cid:7201)，可以得到一个很别(cid:5297)的图案：
（1）准备一张等边三角形纸片；
（2）把纸片任意(cid:2912)成两部分（图 ① 、图 ②）；
（3）以图 ① 中原等边三角形的一边为对称轴，画出与图 ①成轴对称的图形（如
图③），并将新画出的图形以等边三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，
得到图 ④（图 ② 保持不动）；
（4）把图 ④ 平移到图 ② 的(cid:1343)边，得到图 ⑤；
（5）对图 ⑤ 进行适当地(cid:958)(cid:7119)，(cid:935)得到一个别(cid:5297)的图案 ⑥ .
仿照上述(cid:3430)(cid:7201)(cid:1062)(cid:884)做一做，并将你的设计与同伴交流.
(cid:320) (cid:321) (cid:322) (cid:323) (cid:324) (cid:325)
（第 3 题）
112复习题
回顾与思考
1. 平移是否(cid:2952)变图形的位置、形状和大小？旋转呢？请举(cid:915)说明.
2. 平移、旋转各有哪些基本性质？请举(cid:915)说明.
3. 怎样(cid:2763)要求画出已知图形平移后的图形？怎样(cid:2763)要求画出已知图形旋转后的
图形？
4. 在直角(cid:1711)标系中，一个图形平移(cid:1170)后对应点的(cid:1711)标之间有什么关系？请举(cid:915)
说明.
5. 中心对称图形与两个图形关于某个点成中心对称有什么(cid:1245)别和(cid:5135)系？
6. 两个成中心对称的图形有哪些特性？中心对称图形有哪些特性？你能举出中
心对称图形的实(cid:915)吗？
7. (cid:2950)(cid:6967)生活中利用轴对称、平移、旋转设计(cid:5099)成的图案，(cid:884)(cid:856)设计(cid:5096)的意图.
8. 用适当的方式梳理本章的知识，并与同伴进行交流.
复习题
知识技能
1. 如图所示的图形沿(cid:4791)头所(cid:2761)方(cid:1364)平移了 4 cm ，请画出平
移后的图形.
2. 在直角(cid:1711)标系中，将(cid:1711)标为（0，0），（2，4），（2，0），
（4，4）的点用线段(cid:922)(cid:3411)连接起(cid:3151)得到一个图案 N .
（1）将图案 N (cid:1364)(cid:2235)平移 3 个(cid:1261)位长度，画出平移后的图 （第 1 题）
案；
（2）将图案 N (cid:1364)下平移 4 个(cid:1261)位长度，画出平移后的图案；
（3）将图案 N (cid:1039)(cid:1364)(cid:2235)平移 3 个(cid:1261)位长度，再(cid:1364)下平移 4 个(cid:1261)位长度，画出第(cid:772)(cid:3411)
平移后的图案；
（4）画出图案 N 关于(cid:3383)轴对称的图案；
（5）画出图案 N 关于(cid:4907)轴对称的图案；
（6）以原点为对称中心，画出与图案 N 成中心对称的图案.
3. 在直角(cid:1711)标系中，将(cid:1711)标为（2，0），（2，2），（0，2），（0，3），（2，5），（3，5），
（2，2），（5，3），（5，2），（3，0），（2，0）的点用线段(cid:922)(cid:3411)连接起(cid:3151)得到一个图案.
113第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
（1）每个点的(cid:3383)(cid:1711)标分别加 5，(cid:4907)(cid:1711)标保持不变，再将所得到的各个点用线段(cid:922)(cid:3411)
连接起(cid:3151)，所得的图案与原图案相(cid:3467)有什么变化？
（2）如果(cid:3383)(cid:1711)标保持不变，(cid:4907)(cid:1711)标分别加 7 呢？
（3）如果(cid:3383)(cid:1711)标分别加 7，(cid:4907)(cid:1711)标分别加 5 呢？
（4）如果(cid:3383)(cid:1711)标分别(cid:754) -1，(cid:4907)(cid:1711)标保持不变呢？
（5）如果(cid:3383)(cid:1711)标保持不变，(cid:4907)(cid:1711)标分别(cid:754) -1 呢？
（6）如果(cid:3383)(cid:1711)标、(cid:4907)(cid:1711)标都分别(cid:754) -1 呢？
G
4. 如图，△AOB (cid:4937)点 O 旋转后，点 G 是点 B 的对应点，画 B
出 △AOB 旋转后的三角形.
A O
5. 任画一个 R t△ABC，其中∠B = 90°，分别画出 △ABC (cid:2763)
（第 4 题）
如下条件旋转或平移后的图形：
（1）以点 B 为旋转中心，(cid:2763)(cid:6436)时(cid:6635)方(cid:1364)旋转 30°；
（2）以点 B 为旋转中心，(cid:2763)(cid:6436)时(cid:6635)方(cid:1364)旋转 180°；
（3）取三角形外一点 P 为旋转中心，(cid:2763)(cid:6436)时(cid:6635)方(cid:1364)旋转 180°；
（4）将 △ABC 平移，使得点 B 的对应点为点 A .
6. 如图，长方形 A(cid:258)B(cid:258)C(cid:258)D(cid:258)是长方形 ABCD (cid:4937)点 O (cid:2763)(cid:7051)时(cid:6635)方(cid:1364)旋转 70°后得到的，
请画出旋转(cid:1170)的长方形 ABCD .
D′
A B
45°
A′ E
O C′
D C
B′ F
（第 6 题） （第 7 题）
※7. 如图，点 E，F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，∠EAF = 45°.
（1）以点 A 为旋转中心，将△ABE (cid:2763)(cid:7051)时(cid:6635)方(cid:1364)旋转 90°，画出旋转后得到的图形；
（2）已知 BE = 2 cm，DF = 3 cm，求 EF 的长.
8. 已知点 A（2，7），B（- 5，0），C（0，- 1），在直角(cid:1711)标系中，以原点为对称中
心，画出与 △ABC 成中心对称的图形.
9. 如图（1），(cid:5987)(cid:4414)(cid:5946)(cid:2083)四个图中(cid:6907)(cid:2390)部分构成的图案，(cid:1664)(cid:4757)下列问题：
（1） （2）
（第 9 题）
114复习题
（1）请写出这四个图案都(cid:1062)有的两个共同特征；
（2）请在图（2）中设计出一个(cid:5055)(cid:736)的图案，使它(cid:759)(cid:1062)备你所写出的上述特征.
数学理解
10. (cid:3874)车在一段(cid:4728)直的(cid:6689)(cid:6334)上行(cid:7162)，这个过程可以看成是车(cid:1301)沿着(cid:6689)(cid:6334)的方(cid:1364)平移的
过程. 如果(cid:3874)车(cid:7162)入(cid:2367)道，这时还可以看成是平移吗？说说你的理由.
11. 如图（1），点 D 是等边三角形 ABC 的边 BC 上的一点，将 △ABD (cid:4937)点 A 旋转，
使得旋转后点 B 的对应点为点 C .
（1）在图（1）中画出旋转后的图形；
（2）小明是这样做的：如图（2），过点 C 画 BA 的平行线 l ，在 l 上取 CE = BD，
连接 AE，则△ACE (cid:1281)为△ABD 旋转后的图形. 你能说说小明这样做的道理吗？
A A
l
E
B D C B D C
（1） （2）
（第 11 题）
12. 如图，△ABC，△ADE 均是顶角为 42°的等(cid:5257)三角形，BC，DE 分别是(cid:2309)边，图
中的哪两个三角形可以(cid:6448)过怎样的旋转(cid:5099)相互得到？
A B′
A
A′
E
D
C′
B
B C C
（第 12 题） （第 13 题）
※13. 如图，△ABC 经过两(cid:3411)变化得到△A(cid:258)B(cid:258)C(cid:258)，请说明是
如何进行变化的.
14. 如图，(cid:6047)图案是由一个正方形(cid:4937)点 O 旋转几(cid:3411)得到 O
的？旋转角分别是多少度？
（第 14 题）
115第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
15. 判断正(cid:6056)：
（1）可以把(cid:1255)(cid:2399)相等的两个(cid:1683)中的一个看成是由另一个平移得到的； （ ）
（2）可以把两个全等图形中的一个看成是由另一个平移得到的； （ ）
（3）经过旋转，对应线段平行且相等； （ ）
（4）中心对称图形上每一组对应点所连成的线段都(cid:5890)对称中心平分. （ ）
16. 剪两张等边三角形纸片，把它们的一个顶点(cid:1677)定在一起（如图），旋转其中的一
个三角形，再分别连接 BE，CD，并(cid:3646)量 BE，CD 的长度，你发现了什么？再旋
转一个角度试一试，看看有(cid:3557)有同样的(cid:5947)(cid:2405).
A
E
B C
C A
C B
1 1
D
B
A
1
（第 16 题） （第 17 题）
17. 如图，方格纸上每个小方格的边长都是 1，△ABC 与 △A B C 成中心对称.
1 1 1
（1）画出对称中心 O ；
（2）画出将△A B C (cid:1364)上平移 6 个(cid:1261)位长度得到的△A B C ；
1 1 1 2 2 2
（3）△A B C (cid:4937)点 C (cid:2763)(cid:7051)时(cid:6635)方(cid:1364)(cid:5296)少旋转多少度，(cid:2662)能与△CC C 重合？
2 2 2 2 1 2
问题解决
※18. 如图所示的“鱼”是将(cid:1711)标为（0，0），（5，4）， y
4
（3，0），（5，1），（5，-1），（3，0），（4，-2），
3
（0，0）的点用线段(cid:922)(cid:3411)连接(cid:5099)成的. 将这条“鱼” 2
1
(cid:4937)原点 O (cid:2763)(cid:7051)时(cid:6635)方(cid:1364)旋转 90°.
-1 O 2 3 6 x
（1）画出旋转后的新“鱼”； -1
-2
（2）写出旋转后新“鱼”各“顶点”的(cid:1711)标.
-3
-4
19. 利用平移、旋转、轴对称设计一个图案，说明你
所表(cid:6394)的(cid:1381)(cid:743)，并在(cid:4141)上(cid:2137)示你的作品.
（第 18 题）
20. 利用一个(cid:1683)、一个正三角形，(cid:6448)过 2 (cid:3411)旋转或平
移设计一个图案，说明你的设计意图.
116复习题
21. 现有如图所示的 6 种(cid:4204)(cid:4498)，请用其中的 4 块(cid:4204)(cid:4498)（(cid:1034)(cid:6005)有相同的）设计出(cid:5055)(cid:736)的
图案.
（第 21 题）
(cid:915)如：
(cid:3945)后利用你设计的图案，(cid:6448)过平移、旋转或轴对称，设计出(cid:3102)加(cid:5055)(cid:736)、(cid:3102)加大(cid:1740)
的图案. (cid:915)如：
（1）(cid:6448)过平移得到的图案： （2）(cid:6448)过轴对称得到的图案：
※22. 如图，(cid:4225)、(cid:755)两个(cid:1261)位分别位于一条(cid:2096)(cid:6855)式(cid:5860)道的两(cid:3000)，现准备合作(cid:958)建一(cid:2320)过
(cid:5860)(cid:1849)(cid:3268).
（1）(cid:1849)(cid:3268)建在何处(cid:2662)能使由(cid:4225)(cid:1261)位到(cid:755)(cid:1261)位的(cid:6265)线最(cid:4481)？（(cid:3596)意：(cid:1849)(cid:3268)(cid:2425)(cid:7052)与(cid:5860)道
垂直）
（2）(cid:1849)(cid:3268)建在何处(cid:2662)能使(cid:4225)、(cid:755)两(cid:1261)位到(cid:1849)(cid:3268)的(cid:6256)(cid:4623)相等？
（第 22 题）
23. 如图，A，B 两点(cid:5890)大(cid:2147)阻隔，为了(cid:2952)(cid:1555)(cid:2147)(cid:1245)的交(cid:6448)，现(cid:2738)开(cid:1127)一条
(cid:6166)(cid:4680) A，B 的(cid:6955)道，(cid:958)建一条(cid:7220)(cid:6452)(cid:1053)(cid:6265). 请你设计出一个方案，利
用平移的有关知识(cid:3646)量出 A，B 之间的(cid:6256)(cid:4623)和(cid:6955)道开(cid:1127)的方(cid:1364).
（第 23 题）
117第四章
图形的平(cid:4648)与(cid:3005)(cid:6337)
联系拓广
24. 如图，将 △ABC (cid:4937)点 A (cid:2763)(cid:7051)时(cid:6635)方(cid:1364)旋转 60°，得到 △AB(cid:258)C(cid:258). 试判断 △ABB(cid:258)，
△ACC(cid:258)的形状.
y
C
B
B A A O x
（第 24 题） （第 25 题）
25. 如图， △OAB 是边长为 2 的等边三角形.
（1）写出 △OAB 各顶点的(cid:1711)标；
（2）以点 O 为旋转中心， 将 △OAB (cid:2763)(cid:7051)时(cid:6635)方(cid:1364)旋转 60°，得到△OA(cid:258)B(cid:258)，写
出点 A(cid:258)，B(cid:258)的(cid:1711)标.
※26. 把一(cid:1182)三角尺如图（1）所示(cid:2954)置，其中∠ACB = ∠DEC = 90°，∠A = 45°，∠D = 30°，
(cid:2986)边 AB = 6 cm，DC = 7 cm. 把三角尺 DCE (cid:4937)点 C (cid:2763)(cid:7051)时(cid:6635)方(cid:1364)旋转 15°得到
△D CE （图（2）），这时 AB 与 CD 相交于点 O，与 D E 相交于点 F.
1 1 1 1 1
（1）求∠OFE 的度数；
1
（2）求线段 AD 的长；
1
（3）若把三角尺 D CE (cid:4937)着点 C (cid:2763)(cid:7051)时(cid:6635)方(cid:1364)再旋转 30°得△D CE ，这时点 B
1 1 2 2
在△D CE 的内部、外部还是边上？说明理由.
2 2
D
D
1
A
A
O
F
C B
C E B E
1
（1） （2）
（第 26 题）
1181
平行四边形的性质
第五章(cid:1) (cid:2289)(cid:5857)(cid:1662)(cid:6392)(cid:2382)
生活中有哪些物体的形状是平行四边形？平行四边形有哪些性质？能证明
它们吗？用两对长度分别相等的细木条能搭出一个平行四边形吗？任意作一个
四边形，依次连接它的各边中点，你能得到一个怎样的四边形呢？
本章将研究平行四边形的性质与判别方法，以及三角形中位线的性质，还
将探索多边形的内角和、外角和的规律；经历操作、实验等几何发现之旅，享
受几何证明之完美.
学习目标
探索并证明平行四边形的性质定理和判定定理
探索并证明三角形中位线定理
探索并掌握多边形内角和与外角和公式
积累数学活动经验，发展推理能力
119第五章
平行四边形
1
平行四边形的性质
平行四边形是生活中常见的图形，你能举出一些实例吗？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
A D
（p a r a l l e l o gr a m）. 平行四边形不相邻的两个顶点连
成的线段叫做它的对角线（d i a go n a l ）. 如图 5-1，
B C
四边形 ABCD 是平行四边形，记作 ABCD，读作
图 5-1
“平行四边形 ABCD”. 线段 BD 就是 ABCD 的一
条对角线.
做一做
（1）平行四边形是中心对称图形吗？如果是，你能找出它的对称中心并验
证你的结论吗？
（2）你还发现平行四边形有哪些性质？
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
我们还发现：平行四边形的两组对边分别相等，两组对角分别相等. 你能
证明这些结论吗？
1201
平行四边形的性质
已知：如图 5-2（1），四边形 ABCD 是平行四边形.
求证： AB = CD，BC = AD.
A D A 4 D
1
2
B C B 3 C
（1） （2）
图 5-2
证明：连接 AC（如图 5-2（2））.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ∥CD ，BC ∥AD（平行四边形的定义）.
∴ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
∵ AC = CA，
∴ △ABC ≌ △CDA.
∴ AB = CD，BC = AD.
请你证明：平行四边形的两组对角分别相等.
定理 平行四边形的对边相等.
定理 平行四边形的对角相等.
例 1 已知：如图 5-3，在 ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两点，并
且 AE = CF.
求证：BE = DF.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
A D
∴ AB = CD（平行四边形的对边相等），
E
AB∥CD（平行四边形的定义）.
F
∴ ∠BAE = ∠DCF. B C
图 5-3
又∵ AE = CF，
∴ △ABE ≌ △CDF.
∴ BE = DF.
121第五章
平行四边形
随堂练习
1. 小斌用一根 50 m 长的绳子围成一个平行四边形场地，其中一边长 16 m，求其他三
边的长度.
2. 已知平行四边形一个内角的度数，能确定其他内角的度数吗？说说你的理由.
3. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形. 求： A 30 D
（1）∠ADC 和∠BCD 的度数；
25
（2）AB 和 BC 的长度. 56°
B C
（第 3 题）
习题 5.1
知识技能
1. 在 ABCD 中，∠A = 48°，BC = 3 cm，求∠B，∠C 的度数及 AD 边的长度.
2. 如图，在 ABCD 中，∠ADC = 125°，∠CAD = 21°，求∠ACB 和 ∠CAB 的
度数.
A D A F D
B C B E C
（第 2 题） （第 3 题）
3. 已知：如图，在 ABCD 中，E，F 分别是 BC 和 AD 上的点，且 BE = DF.
求证：AE = CF.
联系拓广
D E C
4. 已知：如图，在 ABCD 中，∠ABC 的平分线
交 CD 于点 E，∠ADC 的平分线交 AB 于点 F.
求证：BF = DE. A F B
（第 4 题）
在上一课的“做一做”中，我们还发现：平行四边形的对角线互相平分.
你能证明这一结论吗？试一试.
1221
平行四边形的性质
已知：如图 5-4， ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
求证：OA = OC ，OB = OD.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD（平行四边形的对边相等），
A D
AB∥CD（平行四边形的定义）.
O
∴ ∠BAO = ∠DCO，∠ABO = ∠CDO.
∴ △ABO ≌ △CDO.
B C
∴ OA = OC，OB = OD. 图 5-4
你还有其他证明方法吗？与同伴交流.
定理 平行四边形的对角线互相平分.
例 2 已知：如图 5-5， ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O
的直线与 AD，BC 分别相交于点 E，F.
求证：OE = OF .
A E D
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
O
∴ DO = BO（平行四边形的对角线互相平分）.
∵ AD∥BC（平行四边形的定义）， B F C
∴ ∠ODE =∠OBF. 图 5-5
∵ ∠DOE =∠BOF，
∴ △DOE ≌ △BOF.
∴ OE = OF.
做一做
如图 5-6， ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交 D C
于点 O. 已知 ∠ODA = 90°，OA = 6，OB = 3. 求 O
AD 和 AB 的长度.
A B
图 5-6
123第五章
平行四边形
随堂练习
1. 已知 ABCD 的两条对角线相交于点 O，OA，OB，AB 的长分别为 3，4，5，求其
他各边以及两条对角线的长度.
2. 已知 ABCD 的两条对角线相交于点 O，OA，OB，AB 的长分别为 3，5，4. 求 AD
的长度.
习题 5.2
知识技能
1. 在 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，已知 AC = 16 mm，BD = 24 mm，AD =
13 mm，求 △OBC 的周长.
2. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，BD ⊥ AD，AB = 10，
AD = 8 . 求 OB 的长度及 ABCD 的面积.
E
A D
8 D
A
O
O
10 B C
C
B F
（第 2 题） （第 3 题）
3. 已知：如图，点 O 为 ABCD 的对角线 BD 的中点，直线 EF 经过点 O，分别
交BA 的延长线、DC 的延长线于点 E，F.
求证： AE = CF.
数学理解
4. 如图，直线 BD 可以将 ABCD 分成全等的两
A D
部分，这样的直线还有很多.
（1）多画几条这样的直线，看看它们有什么
共同的特征； B C
（2）尝试用中心对称图形的性质去解释你的 （第 4 题）
发现.
1241
平行四边形的性质
在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕
木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴交流.
例 3 已知：如图 5-7，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC ⊥ b，
BD ⊥ b，垂足分别为 C，D.
A B
a
求证：AC = BD.
证明：∵ AC ⊥ b，BD ⊥ b，
b
∴ AC∥BD. C D
图 5-7
∵ AB∥CD，
∴ 四边形 ACDB 是平行四边形（平行四边形的定义）.
∴ AC = BD（平行四边形的对边相等）.
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上所有各点到另一条直线的距离
都相等. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，就叫做这
两条平行线之间的距离. 图 5-7 中，AC（或 BD）的长就是平行线 a，b 之间的
距离.
想一想
夹在两条平行线之间的平行线段一定相等吗？为什么？
例 4 已知 ABCD，AB = 8 cm，BC = 10 cm，∠B = 30°.
求 ABCD 的面积.
解：过点 A 作 AE ⊥ BC，垂足为点 E（如图 5-8）.
在 R t △ABE 中， A
D
∵∠B = 30°，AB = 8，
30°
AB 8 B E C
∴ AE = 2 = 2 = 4. 图 5-8
∴ ABCD 的面积 S = BC·AE = 10 × 4 = 40（cm2）.
ABCD
125第五章
平行四边形
想一想
如图 5-9，已知直线 l∥AB，点 P 1 ，P 2 ，P 3 P 1 P 2 P 3 l
都在 l 上，△ABP ，△ABP ，△ABP 的面积是
1 2 3
否相等？为什么？
A B
图 5-9
随堂练习
1. 如图，已知直线 a∥b，度量 a，b 之间的距离.
2. 如图，已知 AB∥CD，AC，BD 相交于点 O，△AOD 与△BOC 的面积相等吗？为
什么？
a D C
O
b
A B
（第 1 题） （第 2 题）
3. 在 ABCD 中，AB = 3，AD = 2，∠B = 135°，求 ABCD 的面积 .
习题 5.3
知识技能
1. 如图，某停车场的停车位都是平行四边形，根据图中的尺寸求每个停车位的占
地面积（精确到 0.1 m2）.
h
2
2.4 m C
D b
h
1
4 m a B
A
60°
（第 1 题） （第 2 题）
1262
平行四边形的判定
2. 如图，小明将两张对边平行的纸条随意交叉叠在一起，重合的部分构成了四边形
ABCD. 小明说：“如果 AB = a，BC = b，两张纸条的宽分别为 h，h，那么等式 ah
1 2 1
= bh 一定成立.”小明说的对吗？为什么？
2
3. 求证：平行四边形两条对角线将平行四边形的面积四等分.
联系拓广
4. 如图，在 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的任意一点，过点 P 作 EF∥BC，分别
与 AB，CD 相交于点 E，F；过点 P 再作 GH∥AB，分别与 AD，BC 相交于点
G，H. 图中有几个平行四边形？其中哪几对平行四边形面积相等？为什么？
D F C C
D
P
G H
A E
A E B B
（第 4 题） （第 5 题）
※5. 小颖对小明说，你给我任意一个四边形 ABCD，我都可以画出一个与你给的四
边形面积相等的三角形，方法如下：连接 BD，过点 C 作 CE∥BD，交 AB 的延
长线于点 E，连接 DE，则 S = S . 她说的有道理吗？
△AED 四边形ABCD
2
平行四边形的判定
有两组长度分别相等的细木条，能否在平面 A D
内将这四根细木条首尾顺次相接拼成一个平行四
边形？说说你的理由，并与同伴交流.
B C
图 5-10
定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
127第五章
平行四边形
已知：如图 5-11（1），在四边形 ABCD 中，AB = CD，AD = CB.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A D A D
3
2
1
4
B C B C
（1） （2）
图 5-11
证明：如图 5-11（2），连接 BD.
在△ABD 和△CDB 中，
∵ AD = CB，AB = CD，BD = DB，
∴ △ABD ≌ △CDB.
∴ ∠1 =∠2，∠3 =∠4.
∴ AB∥CD，AD∥CB.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形（平行四边形的定义）.
例 1 已知：如图 5-12，E，F，G，H 分别是 ABCD 四条边上的点，AE =
CG，BF = DH.
求证：四边形 EFGH 是平行四边形，
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠A =∠C，AD = BC.
∵ DH = BF, D G C
∴ AH = CF.
H F
又∵ AE = CG，
∴ △AEH ≌ △CGF . A E B
图 5-12
∴ EH = GF.
同理，EF = GH.
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边
形）.
1282
平行四边形的判定
议一议
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？为什么？
随堂练习
1. 已知：如图，在 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点.
求证：四边形 DEBF 是平行四边形.
D F C A A′
A E B B C B′ C′
（第 1 题） （第 2 题）
2. 如图，△ABC ≌ △A′B′C′. 用这两个三角形可以拼成几个不同的四边形？其中有几
个是平行四边形？拼一拼，试试看.
习题 5.4
知识技能
1. 已知：如图，已知 ∠1 = ∠2，∠B =∠D.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
D C
1
2
A B
（第 1 题）
联系拓广
2. 有一组对边平行，且有一组对角相等的四边形是平行四边形吗？为什么？
129第五章
平行四边形
议一议
有两根长度相等的细木条，在平面内怎样摆放才能使它们的四个端点恰好
是一个平行四边形的四个顶点？
定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
已知：如图 5-13（1），在四边形 ABCD 中，AB CD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A D A D
B C B C
（1） （2）
图 5-13
证明：如图 5-13（2），连接 AC.
你还有其他证
∵ AB∥CD，
法吗？与同伴交流.
∴ ∠BAC =∠DCA.
又∵ AB = CD，AC = CA，
∴ △ABC ≌ △CDA.
∴ BC = DA.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
例 2 已知：如图 5-14，在 ABCD 中，点 M，N 分别在 AD 和 BC 上，
点 E，F 在 BD 上，DM = BN，DF = BE.
求证：四边形 MENF 是平行四边形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC（平行四边形的定义）.
符号“ ”表示平行且相等，读作“平行且等于”.
1302
平行四边形的判定
∴ ∠MDF =∠NBE.
A M D
∵ DM= BN，DF = BE，
F
∴ △MDF ≌ △NBE. E
∴ MF = NE，∠MFD =∠NEB. B N C
∴ ∠MFE =∠NEF. 图 5-14
∴ MF∥NE.
∴ 四边形 MENF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形）.
做一做
如图 5-15，以方格纸的格点为顶点用直尺画
出三个平行四边形，并说明你画图的方法和其中
的道理.
图 5-15
随堂练习
1. 如图， 线段 AD 是线段 BC 经过平移得到的， 分别连接 AB，CD， 四边形 ABCD
是平行四边形吗？请说明理由.
A C
A D
E
B D
B C
F
（第 1 题） （第 2 题）
2. 已知：四边形 ABDC 与四边形 DCEF 都是平行四边形.
求证：四边形 ABFE 是平行四边形.
131第五章
平行四边形
习题 5.5
知识技能
1. 如图，AC∥DF，点 B 在 AC 上，点 E 在 FD 上，且 AB = BC = DE = EF. 找出图
中的平行四边形，并说明理由.
F E D
D F C
A B C A E B
（第 1 题） （第 2 题）
2. 已知：在 ABCD 中， 点 E，F 分别在 AB 和 CD 上，AE = CF.
求证：四边形 DEBF 是平行四边形.
数学理解
3. 小明是这样画平行四边形的： 如图， 将三角尺 ABC 的一边 AC 贴着直尺推移到
A B C 的位置，这时四边形 ABB A 就是平行四边形. 你能说说小明这样做的道
1 1 1 1 1
理吗？
AA 111 B 1
CC
CC 11
11
AAA
B
AA
CC
CC
（第 3 题） （第 4 题）
4. 如图，为了检验一块木板相对的两个边缘是否平行，木工师傅常常把两把曲尺
的一边紧靠木板一个边缘，再看木板另一边缘对应曲尺上的刻度是否相等. 如果
刻度相等，木工师傅就判断木板的两个边缘平行. 你能说说木工师傅这样做的道
理吗？
1322
平行四边形的判定
前面我们已经得到了平行四边形的两个判定方法，你还能找到其他的判定
方法吗？
如图 5-16，将两根
木条 AC，BD 的中点重
D
A
叠，并用钉子固定，四边
O
形 ABCD 看起来是平行四
边形. 于是我猜想：对角
C
B
线互相平分的四边形是平
图 5-16
行四边形.
你同意小明的想法吗？你能证明他的猜想吗？试一试.
已知：如图 5-17，四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O，并
且 OA= OC，OB = OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A D
O
B C
图 5-17
证明：∵ OA = OC，OD = OB，
∠AOD =∠COB，
∴ △AOD ≌ △COB.
∴ AD = CB ，∠ADO =∠CBO.
∴ AD∥CB.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形）.
定理 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
133第五章
平行四边形
例 3 已知：如图 5-18（1），E，F 为 ABCD 对角线 AC 上的两点，且
AE = CF.
求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
A D A D
E E
O
F F
B B
C C
（1） （2）
图 5-18
证明：如图 5-18（2），连接 BD，交 AC 于点 O.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA= OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）.
∵ AE = CF，
∴ OA - AE = OC - CF，即 OE = OF.
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
随堂练习
1. 已知：如图，延长 △ABC 的中线 BD 到点 E，使 DE = BD，连接 AE，CE.
求证：∠BAE =∠BCE.
B
D
C
D
A C F
E O
A
E B
（第 1 题） （第 2 题）
2. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E，F 分别是 OA 和 OC 的中
点，四边形 BFDE 是平行四边形吗？请说明理由.
1342
平行四边形的判定
读一读
生活中的平行四边形
平行四边形是日常生活中常见的图形，如折叠晾衣架、折叠拉门等. 此外，如图
5-19 所示的缩放尺的结构也是平行四边形.
图 5-19
实际上，平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件. 这种连杆在移动时，两对
边始终保持平行，能方便地进行往复运动.
下面有三组平行四边形连杆机械的实例设计图（图 5-20），它们分别是：（A）指
针式弹簧秤；（B ）活动工具箱；（C）儿童荡板. 每一组设计图中有一幅是合理的，
有一幅有一点问题，你知道哪一幅有问题吗？
A A B B
1 2 1 2
C C
1 2
图 5-20
135第五章
平行四边形
习题 5.6
知识技能
D
A
1. 已知：如图， ABCD 的对角线 AC，BD 相交于
M O
点 O，BM ⊥ AC，DN ⊥ AC，垂足分别为 M，N. N
求证：四边形 BMDN 是平行四边形. B C
（第 1 题）
数学理解
2. 如图，已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E，F 是 BD 上的两点.
（1）当 BE，DF 满足什么条件时，四边形 AECF 是平行四边形？请说明理由；
（2）当∠AEB 与∠CFD 满足什么条件时，四边形 AECF 是平行四边形？请说明
理由.
D
C
A D
F O
O
A
E
B
B C
（第 2 题） （第 3 题）
3. 如图，点 A，B，C，D 都在正方形网格格点上，试用多种方法说明四边形 ABCD
是平行四边形.
联系拓广
4. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， A D
E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 上的点. E H
（1）如果 AE = 1 AO，BF = 1 BO，CG = 1 CO， F O G
2 2 2
1 B C
DH = DO，那么四边形 EFGH是平行四边形
2 （第 4 题）
吗？证明你的结论；
1 1 1 1
（2）如果 AE = AO，BF = BO，CG = CO，DH = DO，那么四边形 EFGH
3 3 3 3
是平行四边形吗？证明你的结论；
1 1 1 1
（3）如果 AE = AO，BF = BO，CG = CO，DH = DO，其中 n 为大于 1 的
n n n n
正整数，那么上述结论还成立吗？
1 1 1 1
（4）如果 AE = AO，BF = BO，CG = CO，DH = DO 呢？
m n m n
1363
三角形的中位线
3
三角形的中位线
你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？你能通过剪拼的方式，
将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
如图 5-21（1），在 △ABC 中，连接每两边的中点，
看上去就得到了四个全等的三角形. 将 △ADE 绕点 E 按顺
时针方向旋转 180°到 △CFE 的位置（如图 5-21（2）），
这样就得到了一个与 △ABC 面积相等的 DBCF.
A A
D D E F
E
B C B C
G G
（1） （2）
图 5-21
想一想
从小明的上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样
的关系？能证明你的猜想吗？
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
137第五章
平行四边形
三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
已知：如图 5-22（1），DE 是 △ABC 的中位线.
1
求证：DE∥BC，DE = BC .
2
A A
1 E
D E D F
2
B C B C
（1） （2）
图 5-22
证明：如图 5-22（2），延长 DE 到 F，使 FE = DE，连接 CF.
在△ADE 和△CFE 中，
∵ AE = CE，∠1 =∠2，DE = FE，
∴ △ADE ≌ △CFE.
∴ ∠A =∠ECF，AD = CF.
∴ CF∥AB.
∵ BD = AD，
∴ CF = BD.
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形）.
∴ DF∥BC（平行四边形的定义），
DF = BC（平行四边形的对边相等）.
1
∴ DE∥BC，DE = BC.
2
利用三角形中位线定理可以证明小明分割的四个小三角形全等 .
1383
三角形的中位线
议一议
如图 5-23，任意画一个四边形 ABCD，并将四边的中点 E，F，G，H 依
次连接起来，得到一个新四边形 EFGH，四边形 EFGH 的形状有什么特征？请
证明你的结论，并与同伴交流.
D
H
A
G
E
B C
F
图 5-23
随堂练习
1. 已知三角形的各边长分别为 8 cm，10 cm 和 12 cm，求以各边中点为顶点的三角形
的周长.
2. 如图，A，B 两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方
法估测出了 A，B 间的距离：先在 AB 外选一点 C，然后步测出 AC，BC 的中点 M，
N，并测出 MN 的长，由此他就知道了 A，B 间的距离. 你能说说其中的道理吗？
A
M
C
N B
（第 2 题）
习题 5.7
知识技能
1. 已知：在 △ABC 中，D，E，F 分别是边 BC，CA，AB 的中点.
求证：四边形 AFDE 的周长等于 AB 与 AC 的和.
2. 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
139第五章
平行四边形
数学理解 C
F
D
3. 如图，在四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别为
G
H
AB，CD，AC，BD 的中点. 四边形 EGFH 是平行四
边形吗？请证明你的结论.
A E B
（第 3 题）
问题解决
4. 在本节随堂练习第 2 题中，如果 M，N 两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？
说明你的理由.
联系拓广
D C
5. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB > CD.
E，F 分别是 AC，BD 的中点.
E F
1
求证：EF = （AB - CD）.
2 A B
（第 5 题）
议一议*
如图 5-24（1），由三角形中位线定理可知，在△ABC 中，若点 D，E 分
别是 AB，AC 边的中点，则 DE∥BC.
A
A
E
D F
D E
B C
B C
（1） （2）
图 5-24
反过来，若 D 是 AB 边的中点，DE∥BC，交 AC 于点 E，点 E 是 AC 边的
中点吗？如果是，怎样证明？你能从证明三角形中位线定理添加辅助线的方法
*
本节课为选学内容.
1403
三角形的中位线
（如图 5-24（2））中得到启发吗？
已知：如图 5-24（1），在 △ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，AD
= DB，DE∥BC.
求证：AE = EC.
证明一：过点 C 作 CF∥AB，交 DE 的延长线于点 F，如图 5-24（2）.
∵ DF∥BC，CF∥BD，
∴ 四边形 BCFD 是平行四边形.
∴ DB = CF .
∵ AD = DB，
∴ AD = CF .
在△ADE 与△CFE 中，
∵ CF∥AB，
∴ ∠A =∠ECF，∠ADE =∠F .
又∵ AD = CF，
∴△ADE ≌ △CFE .
∴AE = EC.
证明二：取 BC 的中点 F，连接 DF（如图 5-25），则 DF 是△ABC 的中位
线，
∴ DF∥AC，AC = 2DF. A
又∵ DE∥FC，
D E
∴ 四边形 FCED 是平行四边形.
∴ DF = EC. B C
F
∴ AC = 2EC. 图 5-25
∴ AE = EC.
想一想
（1）下面两种添加辅助线的方法可以证明“议一议”中的问题吗？试一试 .
141第五章
平行四边形
A A
F D
D E E
B C B C
F
图 5-26 图 5-27
你还有其他添加辅助线的方法吗？
（2）小明说，由上述证明可以得到一个真命题：经过三角形一边的中点且
平行于另一边的直线，必平分三角形的第三边. 他说的对吗？
随堂练习
1. 本课证明一中，若改成如下添加辅助线的方法：“延长 DE 到 F，使 DF = BC，连接
FC”，怎样证明 AE = EC ？
2. 本课证明二中，若改成如下添加辅助线的方法：“过点 D 作 DF∥AC，交 BC 于点
F”，怎样证明 AE = EC ？
习题 5.8
知识技能
1. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，E，F，M 分别是 AB，CD，BD 的中点，AD = BC.
求证：∠EFM =∠FEM.
A
F C
D
F
M M E
A B C
E B D
（第 1 题） （第 2 题）
问题解决
2. 如图，在 △ABC 中，AD 是 BC 边的中线，E 是 AD 的中点，连接 BE 并延长交
AC 于点 F . 用图中添加辅助线的方法（取 BF 的中点 M，连接 MD）证明：AF
1
= FC .
2
1424
多边形的内角和与外角和
联系拓广
3. 如图，△ABC 的中线 BE，CF 相交于点 G，用图中添加辅助线的方法（延长 BE
到 D，使 GD = BG，连接 AD）证明：BG = 2GE，CG = 2GF .
A A
F D F E
E G
G
P Q
B C B C
（第 3 题） （第 4 题）
4. 已知：如图，△ABC 的中线 BE，CF 相交于点 G，P，Q 分别是 BG，CG 的中点.
求证：（1）四边形 EFPQ 是平行四边形；
（2）BG = 2GE，CG = 2GF .
5. 根据三角形中位线定理，用反证法证明本节课“议一议”中的问题.
4
多边形的内角和与外角和
（1）上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的
和吗？与同伴交流.
（2）小明、小亮分别利用图 5-28、图 5-29 求出了该五边形的五个内角的
和. 你知道他们是怎样做的吗？你还有其他的方法吗？
143第五章
平行四边形
图 5-28 图 5-29
想一想
（1）按照图 5-28 的方法，六边形能分成多少个三角形？n 边形呢？（n 是
大于或等于 3 的自然数）
（2）按照图 5-29 的方法，六边形能分成多少个三角形？n 边形呢？
（3）你能确定 n 边形的内角和吗？
n 边形的内角和等于（n - 2）·180°.
例 1 如图 5-30，在四边形 ABCD 中，∠A +∠C = B
180°. ∠B 与∠D 有怎样的关系？
C
解：∵ ∠A +∠B +∠C +∠D =（4 - 2）× 180° A
= 360°，
D
∴ ∠B +∠D = 360°-（∠A +∠C） 图 5-30
= 360°- 180°= 180°.
例 1 说明：如果四边形
一组对角互补，那么另一组
对角也互补.
想一想
正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角
分别是多少度？正 n 边形的内角是多少度？
1444
多边形的内角和与外角和
议一议
剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？剪下角后得到的多边
形的内角和是多少度？与同伴交流 .
随堂练习
1.（1）从八边形 ABCDEFGH 的顶点 A 出发，可以作多少条对角线？分别用字母表
示出来；
（2）这些对角线将八边形分割成多少个三角形？
（3）你能求出八边形的内角和吗？
2. 小彬求出一个正多边形的一个内角为 145°. 他的计算正确吗？如果正确，他求的是
正几边形的内角？如果不正确，请说明理由.
习题 5.9
知识技能
1. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成 5 个三角形. 这个多边
形是几边形？它的内角和是多少？
2. 一个多边形的内角和是 1 440°，它是几边形？
数学理解
3. 如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的
图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？
问题解决 （第 3 题）
4. 设计一个实验（如剪纸、拼图），说明四边形的内角和是360°.
145第五章
平行四边形
联系拓广
5. 如图，在 n 边形的边上取一点，连接这点与各顶点， A
5
A
4
可以把 n 边形分成几个三角形？你能利用这个图形求
出 n 边形的内角和吗？试一试. A
n A
3
A P A
1 2
（第 5 题）
如图 5-31，小刚沿一个五边形广场周
A
围的小路按逆时针方向跑步.
（1）小刚每从一条小路转到下一条小
B E
路时，跑步方向改变的角是哪个角？在图
上标出这些角.
C D
（2）他每跑完一圈，跑步方向改变的
角一共有几个？它们的和是多少？ 图 5-31
小刚是这样思考的：
如图 5-32，跑步方向改变的角分别是 ∠1，∠2，∠3，∠4，∠5.
∵ ∠1 +∠EAB = 180°， A
1
5
∠2 +∠ABC = 180°，
B
E
∠3 +∠BCD = 180°， 2
4
∠4 +∠CDE = 180°， C
3 D
∠5 +∠DEA = 180°， 图 5-32
∴ ∠1 +∠EAB +∠2 +∠ABC +∠3 +∠BCD +∠4 +∠CDE +∠5 +∠DEA
= 900°.
∵ 五边形的内角和为（5 - 2）× 180°= 540°，
即∠EAB +∠ABC +∠BCD +∠CDE +∠DEA = 540°，
∴ ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 +∠5 = 900°- 540°= 360°.
你的思路与小刚一样吗？与同伴交流.
1464
多边形的内角和与外角和
想一想
如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样？
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形
的外角（e x t e r i o r a n gl e ）. 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫
做这个多边形的外角和.
多边形的外角和都等于 360°.
例 2 一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，它是几边形？
解：设这个多边形是 n 边形，则它的内角和是（n - 2）· 180°，外角和等
于 360°. 根据题意，得
（n - 2）·180°= 3 × 360°.
解得 n = 8.
所以，这个多边形是八边形.
随堂练习
1. 一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，它是几边形？如果这个多边形的每个内角都
相等，那么每个内角等于多少度？
2. 一个多边形能否有 4 个锐角？为什么？
习题 5.10
知识技能
1. 一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个多边形是几边形？能确定
它的每个外角的度数吗？
1
2. 是否存在一个多边形，它的每个外角都等于相邻内角的 ？简述你的理由.
5
147第五章
平行四边形
3. 若两个多边形的边数相差 1，则它们的内角和、外角和分别有什么异同？
数学理解
4. 如图，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果.
C
C
D B C C
D B
A D B D B
A A A
（第 4 题）
（1）在图中标出各个四边形的外角；
（2）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？
（3）如果保持四边形的形状不变，将四边形不断缩小下去，你能想象一下最终
的形状吗？你能借助上面的变化过程说明四边形的外角和吗？
（4）你能类似地说明五边形、六边形……一般多边形的外角和吗？
5. 在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？分别画出 1 个
钝角最多的四边形和 1 个锐角最多的四边形.
回顾与思考
1. 平行四边行是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？此外，平行四边形还有哪
些性质？
2. 一个四边形满足什么条件时是平行四边形？这些结论与平行四边形的性质之
间有什么样的关系？
3. 你是怎样得到三角形中位线定理的？
4. 多边形的内角和与边数有什么关系？内角和随着边数的增加有什么变化？多
边形的外角和呢？
5. 用适当的方式梳理本章的知识，并与同伴进行交流.
148复习题
复习题
知识技能
2
1. 在 ABCD 中，已知 AB = 6，AD 为 ABCD 周长的 ，求 BC 的长度.
7
2. 在四边形 ABCD 中，∠A = 30°，∠B = 150°，∠C = 30°，AB = 2，求 DC 的长度.
3. 如图，在 ABCD 中，点 E，H，F，G 分别在边 AB，BC，CD，DA 上，AD∥EF，
CD∥GH，EF 与 GH 相交于点 O. 图中共有多少个平行四边形？
A G D
E
O F
B
H C
（ 第 3 题）
4. 在 ABCD 中，AB = 17，AC = 16，BD = 30，求 BC 的长.
5. 已知：如图，在 ABCD 中，AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，垂足分别为 E，F.
求证：∠BAE =∠DCF.
A D
A D
F
E
B C B C E
（ 第 5 题） （ 第 6 题）
6. 已知：如图，E 是 ABCD 的边 BC 的延长线上的一点，且 CE = BC.
求证：四边形 ACED 是平行四边形.
7. 已知：如图，在 ABCD 中，E，F 分别是 AB 和 CD 上的点，AE = CF，M，N 分
别是 DE 和 BF 的中点.
求证：四边形 ENFM 是平行四边形.
D F C A D
G
E
N
M
F
A E B H
B C
（ 第 7 题） （ 第 8 题）
149第五章
平行四边形
8. 已知：如图，在 ABCD 中，E，F 分别是边 CD 和 AB 上的点，AE∥CF，BE，
DF 分别交 CF，AE 于点 H，G.
求证：四边形 FHEG 是平行四边形.
9. 画一个 ABCD，使∠B = 45°，AB = 2 cm，BC = 3 cm.
10. 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，P，Q 是对角线 BD 上的两个点，且
BP = DQ.
求证：AP 和 QC 互相平行且相等.
A B A F E D
P
Q G
D C B C
（ 第 10 题） （ 第 11 题）
11. 已知：如图，在 ABCD 中，∠ABC 的平分线交 AD A
于点 E，∠BCD 的平分线交 AD 于点 F，交 BE 于点 G.
求证：AF = DE.
12. 如图，△ ABC 的三边长分别为 a，b，c，以它的三边
中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边 B C
中点为顶点又组成一个小三角形. 求这个小三角形的周长. （ 第 12 题）
13. 分别确定一般三角形、四边形、五边形、六边形……的内角和，以及正三角形、正
四边形、正五边形、正六边形……内角的度数，并填入下表：
边数 3 4 5 6 …
多边形的内角和
正多边形内角的度数
14. 过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成 7 个三角形，这个多边形是几
边形？
15. 以正八边形为“基本图形”构成的一种图案如图所示. 图中的白色缝隙所形成的图
形的轮廓是怎样的四边形？
A F
D
O
B E C
（第 15 题） （第 16 题）
16. 已知：如图，在 ABCD 中，E，F 分别为 BC 和 AD 上的点，且 AE∥FC.
求证：EF 过 BD 的中点 O.
150复习题
17. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，DE ⊥ AC，
D C
BF ⊥ AC，垂足分别为 E，F，DE = BF，
F
E
∠ADB =∠CBD.
A
B
求证：四边形 ABCD 是平行四边形. （第 17 题）
数学理解
18. 如图，AG∥BC，FG∥AB，AC 与 FG 相交于点 E，AD = DB，AE = EC . 利用平
移或旋转的方法研究图中的线段 DE，BF，FC 之间的位置关系和数量关系.
A F
A G
O
B E
D E
B F C C D
（第 18 题） （第 19 题）
19. 用六个全等的正三角形拼成如图所示的图形，请找出其中所有的平行四边形，并
选择其中之一加以证明.
M
20. 已知：如图，直线 MN 与 ABCD 的对角线 AC 平 A D
E
行，延长 DA，CB，AB，DC，分别交 MN 于点 E，
B
C
F，G，H. F G
求证：EF = GH.
H
N
（第 20 题）
问题解决
21. 小华要做一个平行四边形木框，他手头有七根木条，长度分别为：① 3 cm，② 5 cm，
③ 3 cm，④ 6 cm，⑤ 5 cm，⑥ 8 cm，⑦ 9 cm. 请你帮他选一选，哪四根木条可
以组成一个平行四边形木框？请说明理由.
22. 如图，在平行四边形纸片 ABCD 中，AB = 3 cm，
B'
将纸片沿对角线 AC 对折，BC 边与 AD 边相交于点
E
E，此时 △CDE 恰为等边三角形. 求： A D
（1）AD 的长度；
（2）重叠部分的面积. B C
（第 22 题）
151第五章
平行四边形
23. 如图，方格纸上小正方形的边长为 1，A，B 两点在格点上，请在格点上找到
点 C，使△ABC 的面积为 2. 满足条件的点 C 有几个？
B
A
（第 23 题）
联系拓广
※24. 如图，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点 A，B，C，D 处均有一棵大树，村
里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求
扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问能否实现这一设想？若能，请你画出你
设计的图形；若不能，请说明理由.
D
A C
B
（第 24 题）
152平面图形的镶嵌
(cid:2289)(cid:7015)(cid:1679)(cid:2382)(cid:4362)(cid:6849)(cid:2214)
生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形
状相同的图形拼接而成的.
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空
隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌.
镶嵌平面的图形有很多，值得我们研究的问题也有许多！
做一做
1. 如果只用一种多边形镶嵌整个平面，那么这样的多边形可能有哪些？它
们是如何镶嵌而成的？请你试一试.
153综合与实践
平面图形的镶嵌
2.（1）用图 1 中的若干正三角形和若干正六边形能镶嵌整个平面吗？如果
能，请你试一试. 如果用图 2 中的若干正三角形和若干正六边形呢？
1 cm 1 cm 2 cm 1 cm
图 1 图 2
（2）用其他两种正多边形能镶嵌整个平面吗?
议一议
（1）用图 3 的两种图形若干，能镶嵌整个平面吗？请你试一试.
2 cm
1 cm
图 3
（2）图 4 两种图形分别能镶嵌整个平面吗？将它们与平行四边形的镶嵌图
案比较，两者之间分别有什么关系？
图 4
（3）从问题（2）的解决过程中，你获得了哪些启发？
（4）设计一个自己喜欢的图形，构造美丽的镶嵌图案，与同伴交流你的设
计过程和成果.
154平面图形的镶嵌
读一读
等腰梯形和直角梯形
两腰相等的梯形叫做等腰梯形，如图 5. 等腰梯形是轴对称图形，且同一底上的两
个角相等.
D C
D C
A B A B
图 5 图 6
图 6 是一种特殊的等腰梯形，它的上底与腰相等，且下底等于上底的 2 倍. 这种
等腰梯形可以拼接出正六边形、等边三角形、等腰梯形、平行四边形、菱形（四边相
等的四边形）等图形，如图 7. 图 7（3）与图 6 形状相同.
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
图 7
用图 6 所示的等腰梯形可以镶嵌整个平面（如图 8）.
（1） （2）
图 8
一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形，如图 9.
D C D C
A B A B
图 9 图 10
155综合与实践
平面图形的镶嵌
图 10 是一种特殊的直角梯形，它的上底与高相等，且下底等于上底的 2 倍. 这种
等腰梯形可以拼接出等腰梯形、直角梯形和正方形等，如图 11. 图 11（2）与图 10 形
状相同.
（1）
（2） （3）
图 11
用图 10 所示的直角梯形也可以镶嵌整个平面（如图12）.
（1） （2）
图 12
习题
1. 为了灵活地拼接书桌以举行各种活动，某学校阅览室特意设计了一种书桌，桌
面形状如图所示.
（第 1 题）
（1）将 4 张这样的书桌拼接成一个图案，并与同伴交流；
（2）你能说说这个桌面是如何设计的吗？请仿照这个桌面，设计一个可以随意
拼接的桌面.
2. 如图是一个学生的作品，你能说说他绘制图案的过程吗？
156平面图形的镶嵌
（第 2 题）
3. 请你仿照第 2 题图案的绘制方法设计一个平面镶嵌图，并写一篇小论文与同伴交
流你的设计过程和原理.
157(cid:2484)复习题
总复习题
(cid:454) 整理本学(cid:3120)学过的数学内(cid:2068)，能用一张图把它们表示出(cid:3151)吗？与同伴进行交流.
(cid:454) 在(cid:5293)(cid:2242)经(cid:1291)过的解决问题活动中，选择一个最(cid:1062)有(cid:2765)(cid:2637)性的问题，写下解决它
的过程，(cid:1226)(cid:2746)(cid:6469)到的(cid:1672)(cid:6962)、(cid:1041)(cid:3113)(cid:1672)(cid:6962)的方法与过程及所(cid:5517)得的(cid:884)(cid:856)，并解释选
择这个问题的原(cid:1666).
(cid:454) (cid:6448)过本学(cid:3120)的数学学习，你有哪些(cid:2950)(cid:5517)？有哪些(cid:6986)要(cid:2952)进的地方？
知识技能
1. 把下列各式(cid:1666)式分解：
（1）x y （x - y ）- x （x - y ）2； （2）- a2 + 1.96b2； （3）- 12x y + x 2 + 36y 2；
1
（4） + a2 + a4； （5）a2 - 8ab + 16b2.
4
2. 把下列各式(cid:1666)式分解：
1 1
（1）（a2 + b2）2 - 4a2b2； （2）（ a - ）a + 1.
36 3
3. 把下列各式(cid:1666)式分解：
（1）2（a - 1）2 - 12（a - 1）+ 18；
（2）（x 2 - 2x y + y 2）+（- 2x + 2y ）+ 1.
4. 已知：x + y = 0.2，x + 3y = 1，求 3x 2 + 12x y + 12y 2 的(cid:985).
5. (cid:1039)化简，再求(cid:985)：
（x + 2）（x 2 - 6x + 9） x 2 - 4x
（1） ，其中 x = 3； （2） ，其中 x = 5.
x 2 - 4 x 2 - 8x + 16
6. 解方程：
1 4 3 x + 2
（1） = ； （2） - = 0；
x - 4 x 2 - 16 x - 1 x （x - 1）
2 - x 1
（3） + = 1.
x - 3 3 - x
158(cid:2484)复习题
7. 某(cid:1053)(cid:1347)(cid:1408)工的(cid:3109)工(cid:6187)(cid:4946)计如下：
(cid:3109)工(cid:6187) / (cid:1035) 5 000 4 000 2 000 1 000 800 500
(cid:801)数 1 2 5 12 30 6
求(cid:6047)(cid:1053)(cid:1347)(cid:1408)工(cid:3109)工(cid:6187)的平均数、中位数和(cid:853)数.
8. 某(cid:6228)(cid:2250)(cid:2736)(cid:5136)(cid:2950)(cid:6736)(cid:1408)一(cid:1360). 对三(cid:1360)(cid:4226)请(cid:801)进行了三(cid:7050)(cid:4873)质(cid:3646)试. 三(cid:1360)(cid:971)选(cid:801)的(cid:4873)质(cid:3646)
试成(cid:4955)如下表. (cid:1053)(cid:1347)根据实(cid:6917)(cid:6986)要，对计(cid:4779)(cid:3131)、(cid:6054)(cid:5971)、(cid:1528)品知识三(cid:7050)(cid:3646)试成(cid:4955)分别
(cid:6194)(cid:769)(cid:3135) 4，3，2，这三(cid:801)中(cid:6074)将(cid:5890)(cid:2376)用？
测试成(cid:4955)
(cid:4873)质测试
小(cid:6223) 小(cid:6673) 小(cid:2012)
计算(cid:3131) 70 90 65
(cid:6054) (cid:5971) 50 75 55
(cid:1528)(cid:1462)知(cid:6018) 80 35 80
9. 为了(cid:2818)(cid:2855)本地(cid:1245)(cid:2290)(cid:6924)(cid:6977)量的分(cid:2251)(cid:2545)(cid:1094)，某(cid:2250)(cid:3489)象(cid:2125)(cid:2950)(cid:6967)了(cid:6047)(cid:2250) 99 (cid:2290)的(cid:2290)(cid:6924)(cid:6977)量数
据（(cid:5945)下表，(cid:1261)位：mm）.
1 184.4 1 113.4 1 203.9 1 160.7 975.4 1 462.3 947.8 1 416.0 709.2
1 147.5 935.0 1 016.3 1 031.6 1 105.7 849.9 1 233.4 1 008.6 1 063.8
1 004.9 1 086.2 1 022.5 1 330.9 1 439.4 1 236.5 1 088.1 1 288.7 1 115.8
1 217.5 1 320.7 1 078.1 1 203.4 1 480.0 1 269.9 1 099.2 1 318.4 1 192.0
946.0 1 508.2 1 159.6 1 021.3 986.1 794.7 1 318.3 1 171.2 1 161.7
791.2 1 143.8 1 602.0 951.4 1 003.2 840.4 1 061.4 958.0 1 025.2
1 285.0 1 196.5 1 120.7 1 659.3 942.7 1 123.3 910.2 1 398.5 1 208.6
1 305.5 1 242.3 1 572.3 1 416.9 1 256.1 1 285.9 984.8 1 390.3 1 062.2
1 287.3 1 477.0 1 017.9 1 127.7 1 197.1 1 143.0 1 018.8 1 243.7 909.3
1 030.3 1 124.4 811.4 820.9 1 187.1 1 107.5 991.4 901.7 1 176.5
1 133.5 1 272.9 1 200.3 1 508.7 772.3 813.0 1 392.3 1 006.2 1 108.8
现在(cid:2666)(cid:4779)(cid:6448)过对这些数据的分(cid:3170)找出(cid:2290)(cid:6924)(cid:6977)量的大(cid:5297)分(cid:2251)(cid:2545)(cid:1094).
（1）这 99 (cid:2290)(cid:2290)(cid:6924)(cid:6977)量的最大(cid:985)、最小(cid:985)、(cid:3165)差分别是多少？
（2）将这 99 (cid:2290)的(cid:2290)(cid:6924)(cid:6977)量分成下表的 10 组，并分别计(cid:4779)各(cid:5293)的(cid:7072)数和(cid:7072)(cid:4107)：
159(cid:2484)复习题
(cid:2290)(cid:6924)(cid:6977)量 x / mm (cid:7072) 数 (cid:7072) (cid:4107)
670 (cid:316) x (cid:472) 770
770 (cid:316) x (cid:472) 870
870 (cid:316) x (cid:472) 970
970 (cid:316) x (cid:472) 1 070
1 070 (cid:316) x (cid:472) 1 170
1 170 (cid:316) x (cid:472) 1 270
1 270 (cid:316) x (cid:472) 1 370
1 370 (cid:316) x (cid:472) 1 470
1 470 (cid:316) x (cid:472) 1 570
1 570 (cid:316) x (cid:472) 1 670
（3）根据上表绘制相应的(cid:7072)数直方图.
10. 某(cid:1082)(cid:4633)所在我(cid:1678) 8 个不同的地方对 2 个小(cid:7393)新品种进行种(cid:3314)试验. 连(cid:4958)几(cid:2290)试种的
平均(cid:791)量（(cid:1261)位：kg / hm2）(cid:5945)下表：
试验(cid:1245)
A B C D E F G H
(cid:1462) 种
(cid:4225) 4 800 5 200 4 600 6 000 6 500 4 300 5 000 5 200
(cid:755) 5 200 5 400 4 800 5 500 5 200 4 900 5 300 5 300
你(cid:5987)为哪个品种的小(cid:7393)对(cid:3489)(cid:971)等条件的适应性(cid:6359)(cid:2370)？
11. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为 2 cm，4 cm，将这个三角形(cid:4937)直角顶
点(cid:2763)(cid:6436)时(cid:6635)方(cid:1364)连(cid:4958)旋转三(cid:3411)，每(cid:3411)都旋转 90°.
（1）试画出每(cid:3411)旋转(cid:1170)后的三角形；
（2）将所得的所有三角形看成一个图形，你将得到怎样的图形？
12.（1）在直角(cid:1711)标系中，(cid:2849)出点（9，1），（11，6），（16，8），（11，10），（9，15），
（7，10），（2，8），（7，6），（9，1），并将各点用线段(cid:922)(cid:3411)连接起(cid:3151)，(cid:5946)(cid:2083)这
组点组成的图形，你(cid:5952)得它(cid:1016)什么？它是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
（2）如果将（1）中各点的(cid:3383)(cid:1711)标分别变为原(cid:3151)的相反数，(cid:4907)(cid:1711)标保持不变呢？
（3）如果将（1）中各点的(cid:3383)(cid:1711)标、(cid:4907)(cid:1711)标都分别变为原(cid:3151)的相反数呢？
（4）如果将（1）中各点的(cid:3383)(cid:1711)标分别(cid:1107) 2，(cid:4907)(cid:1711)标分别(cid:1107) 1 呢？
13. 图（1）（2）中各有两个图形，其中一个图形是另一个图形经过某种简(cid:1261)的变化得
到的，在图（1）（2）中各选择三对对应点，(cid:2093)找每对对应点之间的(cid:1711)标关系.
160(cid:2484)复习题
y y
6 4
5 3
4 2
3 1
2 -6-5-4-3-2-1 O 1 2 3 4 5 6 x
1 -1
-5-4-3-2-1 O 1 2 3 4 5 6 x -2
-1 -3
-2
-3
（1） （2）
（第 13 题）
14. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？证明你的结论.
15. 如图，直线 l ∥l ，AB ⊥ l ，CD ⊥ l ，垂足分别是 B，D，AE，DF 分别交 l 于点
1 2 1 2 1
E，F，且 AE∥DF. BE 与 CF 相等吗？为什么？
A D
l 2 D C
l
1
B E C F A M B
（第 15 题） （第 16 题）
16. 已知：如图，在 (cid:447)ABCD 中，AB = 2AD，M 为 AB 的中点，连接 DM，MC.
求证：DM ⊥ MC.
数学理解
17. 求证：当 n 为(cid:5293)(cid:3945)数时，（n + 7）2 -（n - 5）2 能(cid:5890) 24 整(cid:6932).
18.（1）把图（1）中的图形平移后，“顶点”A（4，4）的对应点是 A(cid:258)（4，0），写
出另外 6 个“顶点”的对应点的(cid:1711)标；
y y y
A
4 1 5
3 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 x 4
2 -1 3
1 -2 2
-1 O 1 2 3 4 5 6 7 x -3 1
-1 -4 -6-5-4-3-2-1 O 1 x
-2 -5 -1
（1） （2） （3）
（第 18 题）
161(cid:2484)复习题
（2）图（2）与图（1）对应“顶点”的(cid:1711)标之间有怎样的关系？它可以由图（1）
如何变化(cid:5099)(cid:3151)？
（3）图（3）与图（1）对应“顶点”的(cid:1711)标之间有怎样的关系？它可以由图（1）
如何变化(cid:5099)(cid:3151)？
19. 已知四边形 ABCD 四条边相等，它的两个顶点(cid:1711)标分别为 A（3，3），B（1，2），
对角线的交点为 M（3，2）. 将四边形 ABCD 平移后，顶点 A 的对应点是 A(cid:258)（7，6），
请写出点 B，C，D，M 对应点的(cid:1711)标.
20. 如图所示的四个四边形全等，在图（1）~ （3）中，哪个图形可以由四边形 ABCD
经过平移或旋转得到？
B
C
A D
（1） （2） （3）
（第 20 题）
21.（1）OA 是(cid:1683) O 的任意一条(cid:1255)(cid:2399)，将 OA (cid:4937)点 O (cid:2763)同一方(cid:1364)连(cid:4958)旋转三(cid:3411)，每(cid:3411)
旋转 90°，(cid:922)(cid:3411)得到(cid:1255)(cid:2399) OB，OC，OD，它们将(cid:1683)分成四部分，这四部分的
形状和大小有什么关系？
A
（2）如图，A 为(cid:1683)周上一点，O 为(cid:1683)心，将曲线 OA (cid:4937)点 O (cid:2763)
同一方(cid:1364)连(cid:4958)旋转三(cid:3411)，每(cid:3411)旋转 90°，这样得到的四条
O
曲线将(cid:1683)分成了四部分，这四部分的形状和大小又有什么
关系？你能利用旋转的有关知识进行说明吗？
（第 21（2）题）
问题解决
22. 某(cid:1082)场原计(cid:1139)在 m (cid:1849)内(cid:2950)(cid:1183)小(cid:7393) 960 (cid:1053)(cid:7048)，实(cid:6917)每(cid:1849)(cid:3467)原计(cid:1139)多(cid:2950)(cid:1183) 40 (cid:1053)(cid:7048)，实
(cid:6917)几(cid:1849)完成了任(cid:1196)？
23. 某工(cid:1288)(cid:1010)存了 t (cid:1849)用的(cid:3952) m (cid:1379)，要使(cid:1010)存的(cid:3952)(cid:3467)(cid:7061)定的时间多用 d (cid:1849)，每(cid:1849)应节(cid:4894)
用(cid:3952)多少(cid:1379)？
24. 据(cid:466)新华(cid:3014)(cid:2705)(cid:467)(cid:2705)道，(cid:716)方(cid:5320)(cid:4679)(cid:1053)(cid:1347)(cid:3528)(cid:5402)(cid:1053)(cid:1347)为了保证 1996 (cid:2290) 12 (cid:3109)(cid:1146)开(cid:1917)的 C
检工作正常进行，(cid:771)(cid:1039)组(cid:4923)(cid:3131)(cid:1196)(cid:801)(cid:1408)到外地(cid:6258)(cid:4141)学习 C 检工作，后又(cid:1062)(cid:884)分(cid:3170)研
究，周(cid:2075)地制(cid:5985)出 C 检的(cid:1062)(cid:884)实(cid:2999)方案，(cid:1666)(cid:5099)工作(cid:2957)(cid:4107)(cid:2850)(cid:7220)了 30(cid:38). 经过 31 (cid:1360)(cid:3131)
(cid:1196)(cid:801)(cid:1408)的(cid:5347)(cid:5419)(cid:1201)(cid:1191)，终于(cid:2850)(cid:1170) 5 (cid:1849)完成了 C 检，为(cid:1053)(cid:1347)节(cid:4894)了数(cid:1249)(cid:698)(cid:1035)的(cid:4965)(cid:958)(cid:6176)
用. 请问：原计(cid:1139)多少(cid:1849)完成 C 检？（根据(cid:7099)(cid:3131)(cid:4965)(cid:2704)(cid:5947)定，一(cid:3190)(cid:7099)(cid:3131)每(cid:7099)行 250 h，要
进行一(cid:3411)定(cid:3120)检(cid:3210)，称为 A 检；每(cid:7099)行 3 000 h，就要进行一(cid:3411)中大(cid:958)性质的全面
(cid:4965)(cid:2704)、保(cid:1065)、检(cid:3210)工作，称为 C 检.）
162(cid:2484)复习题
(cid:260)25. 在直角(cid:1711)标系中(cid:2849)出点 O（0，0），A（1，2），B（2，4），C（3，2），D（4，0）.
(cid:1039)用线段(cid:922)(cid:3411)连接点 O，A，B，C，D，(cid:3945)后再用线段连接 A，C 两点.
（1）你得到了一个什么图形？
（2）填写表 1，在直角(cid:1711)标系中(cid:2849)出点 O，A，B，C，D，并(cid:2763)同样的方式连接
1 1 1 1 1
各点. 这样得到的图形与（1）中的图形相(cid:3467)有什么变化？
（3）如果把表 1 (cid:2801)成表 2 呢？
(cid:5867) 1
（x ，y ） O（0，0） A（1，2） B（2，4） C（3，2） D（4，0）
（- y ，x ） O（ ， ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ）
1 1 1 1 1
(cid:5867) 2
（x ，y ） O（0，0） A（1，2） B（2，4） C（3，2） D（4，0）
（y ，- x ） O（ ， ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ）
2 2 2 2 2
(cid:260)26. 如图所示的“鱼”是将(cid:1711)标为（3，- 2），（8，2），（6，- 2），（8，- 1），（8，- 3）
（6，- 2），（7，- 4），（3，- 2）的点用线段(cid:922)(cid:3411)连接(cid:5099)成的.
y
4
3
2
1
-8-7-6-5-4-3-2-1 O 1 2 3 4 6 8 x
-1
-2
-3
-4
（第 26 题）
（1）以原点 O 为对称中心，画出与这条“鱼”成中心对称的新“鱼”；
（2）写出新“鱼”各“顶点”的(cid:1711)标.
(cid:260)27. 在直角(cid:1711)标系中将点（3，0），（3，2），（2，3），（2，5），（3，4），（4，5），
（4，3），（3，2）用线段(cid:922)(cid:3411)连接起(cid:3151)，可以得到一个图形. 把这些点的(cid:3383)(cid:1711)标、
(cid:4907)(cid:1711)标都(cid:754) - 1，再将所得的各个点用线段(cid:922)(cid:3411)连接起(cid:3151)，所得的图形与原图形相
(cid:3467)有什么变化？
28. 现有如图所示两种(cid:4204)(cid:4498)，请用其中 4 块(cid:4204)(cid:4498)
（可以重(cid:1837)），设计出(cid:5055)(cid:736)的“基本图案”，
(cid:3945)后利用“基本图案”，(cid:6448)过平移、旋转或
轴对称，设计出(cid:3102)加(cid:5055)(cid:736)、(cid:3102)大的图案. （第 28 题）
163(cid:2484)复习题
联系拓广
29. 已知：a，b，c 是三角形的三边，且满足（a + b + c）2 = 3（a2 + b2 + c2）.
求证：这个三角形是等边三角形.
30.（1）如图，在 (cid:447)ABCD 中，AM = 1 AB，CN = 1 CD， A D
2 2
求证：四边形 AMCN 是平行四边形； M N
1 1
（2）当 AM = AB，CN = CD 时，四边形 AMCN 是
3 3
B C
平行四边形吗？ （第 30 题）
1 1
（3）如果 AM = AB，CN = CD（m > 1）呢？
m m
你能得出一个一般性的结论吗？
31. (cid:1039)判断下列各(cid:1425)题的(cid:4414)(cid:988)，(cid:3945)后写出它们的(cid:6436)(cid:1425)题，并判断(cid:6436)(cid:1425)题的(cid:4414)(cid:988)：
（1）平行四边形相邻的两个角都相等；
（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.
A E D
32. 已知：如图，将平行四边形纸片 ABCD 折叠，使得点 C (cid:5568)
在点 A 的位置，折(cid:4297)为 EF，连接 AF，CE.
求证：四边形 AFCE 为平行四边形.
B F C
33. 如图，如果四边形 ABCD 和 BEFC 都是平行四边形，那
（第 32 题）
么四边形 AEFD 是平行四边形吗？小明(cid:5987)为四边形 AEFD 是平行四边形，并且给
出了证明.
证明：(cid:305) 四边形 ABCD 是平行四边形， A D
(cid:304) AD = BC， ①
B C
AB = CD. ②
E F
又 (cid:305) 四边形 BEFC (cid:759)是平行四边形，
（第 33 题）
(cid:304) BC = EF， ③
BE = CF. ④
由 ①③，得
AD = EF. ⑤
由 ②④，得
AB + BE = DC + CF. ⑥
(cid:305) ⑤⑥ 成立，
(cid:304) 四边形 AEFD 是平行四边形.
小明的(cid:5094)(cid:5693)全面吗？为什么？你是怎样想的？把你的想法写出(cid:3151).
164
